1. Εισαγωγή
2. 1847—Οι απαρχές των σύγχρονων εκδόσεων της άλγεβρας της λογικής
3. 1854—Η τελική παρουσίαση του Μπουλ για την Άλγεβρα της Λογικής του
4. Jevons: Μια άλγεβρα λογικής βασισμένη σε συνολικές πράξεις
5. Peirce: Βασίζοντας την άλγεβρα της λογικής στην υπαγωγή
6. De Morgan και Peirce: Σχέσεις και ποσοδείκτες στην άλγεβρα της λογικής
7. Η συστηματοποίηση της άλγεβρας της λογικής από τον Schröder
8. Huntington: Αξιωματικές έρευνες της άλγεβρας της λογικής
9. Πέτρα: Μοντέλα για την Άλγεβρα της Λογικής
10. Skolem: Εξάλειψη ποσοτικοποιητών και αποφασισιμότητα
11. Ο Τάρσκι και η αναβίωση της αλγεβρικής λογικής
1. Εισαγωγή
Η Μαθηματική Ανάλυση της Λογικής του Μπουλ παρουσιάζει πολλά ενδιαφέρουσες λογικές καινοτομίες: Ήταν η αρχή του δέκατος ένατος αιώνας μαθηματικοποίηση της λογικής και παρείχε μια αλγοριθμική εναλλακτική λύση (μέσω μιας μικρής τροποποίησης του συνηθισμένη άλγεβρα) στην προσέγγιση καταλόγου που χρησιμοποιείται στην παραδοσιακή λογική (ακόμη και αν αναπτύχθηκαν διαδικασίες μείωσης στην τελευταία). Αντί για έναν κατάλογο έγκυρων μορφών επιχειρημάτων, η εγκυρότητα του Τα επιχειρήματα καθορίστηκαν με βάση τις γενικές αρχές και Κανόνες. Επιπλέον, παρείχε μια αποτελεσματική μέθοδο απόδειξης λογικούς νόμους με βάση ένα σύστημα αξιωμάτων. Όπως έγραψε ο Boole Αργότερα, ήταν μια σωστή «επιστήμη της λογικής», και όχι μια "μνημονική τέχνη" όπως η παραδοσιακή Syllogistics (Boole 1997: 136). Τρία τέταρτα του δρόμου μέσα από αυτό το βιβλίο, μετά την ολοκλήρωση τη συζήτησή του για τη συλλογιστική λογική, ο Boole άρχισε να αναπτύσσει το γενικά εργαλεία που θα χρησιμοποιούνταν στους Νόμους της Σκέψης του (1854) για να επεκτείνουν σε μεγάλο βαθμό την παραδοσιακή λογική επιτρέποντας ένα επιχείρημα Να υπάρχουν πολλές εγκαταστάσεις και να συμμετέχουν πολλές τάξεις. Για να χειριστείτε το Απείρως πολλά πιθανά λογικά επιχειρήματα αυτής της διευρυμένης λογικής, αυτός παρουσίασε θεωρήματα που παρείχαν βασικά εργαλεία για μια αλγοριθμική ανάλυση (ένας κατάλογος δεν ήταν πλέον εφικτός).
Οι ιδέες του Μπουλ σχεδιάστηκαν ανεξάρτητα από προηγούμενες προβλέψεις, όπως αυτές που αναπτύχθηκαν από τον G.W. Leibniz. Προέκυψαν από το συγκεκριμένο πλαίσια των αγγλικών μαθηματικών (βλ. Peckhaus 2009). Σύμφωνα με Víctor Sánchez Valencia, η παράδοση από την οποία προήλθε με Boole έγινε γνωστή ως η άλγεβρα της λογικής δεδομένου ότι το δημοσίευση το 1879 των Αρχών της Άλγεβρας της Λογικής από Alexander MacFarlane (βλέπε Sánchez Valencia 2004: 389). Ο MacFarlane θεώρησε "την αναλυτική μέθοδο συλλογισμού σχετικά με Ποιότητα που προτείνεται από τον Boole" ως άλγεβρα (βλ. MacFarlane 1879: 3).
Αυτή η προσέγγιση διαφέρει από αυτό που συνήθως ονομάζεται αλγεβρική λογική; Αν και υπάρχει κάποια επικάλυψη, η ιστορική εξέλιξη των δύο περιοχών είναι διαφορετικές. Η αλγεβρική λογική νοείται ως:
ένα στυλ [λογικής] στο οποίο έννοιες και σχέσεις εκφράζονται με μαθηματικά σύμβολα [\(\ldots\)] έτσι ώστε Μπορούν να εφαρμοστούν μαθηματικές τεχνικές. Εδώ μαθηματικά σημαίνει κυρίως άλγεβρα, δηλαδή το τμήμα των μαθηματικών που ασχολείται με το πεπερασμένο λειτουργίες σε κάποιο σετ. (Hailperin 2004: 323)
Η αλγεβρική λογική μπορεί ήδη να βρεθεί στο έργο του Leibniz, Jacob Bernoulli και άλλους σύγχρονους στοχαστές, και αναμφίβολα αποτελεί ένα σημαντικό προηγούμενο της προσέγγισης του Boole. Σε μια ευρύτερη προοπτική, Και οι δύο αποτελούν μέρος της παράδοσης της συμβολικής γνώσης στο τυπικές επιστήμες, όπως τις συνέλαβε για πρώτη φορά ο Leibniz (βλ. Esquisabel 2012). Αυτή η ιδέα της αλγεβρικής λογικής συνεχίστηκε σε κάποιο βαθμό στο Ο Γαλλικός Διαφωτισμός στο έργο των Condillac και Condorcet (βλ. Grattan-Guinness 2000: 14 κ.ε.)
Η μεθοδολογία του Boole για την αντιμετώπιση λογικών προβλημάτων μπορεί να περιγραφεί ως εξής:
- Μεταφράστε τα λογικά δεδομένα σε κατάλληλες εξισώσεις.
- Εφαρμόστε αλγεβρικές τεχνικές για την επίλυση αυτών των εξισώσεων.
- Μεταφράστε αυτήν τη λύση, αν είναι δυνατόν, πίσω στο πρωτότυπο Γλώσσα.
Αργότερα, στο έργο του Pure Logic από το 1864, ο Jevons άλλαξε το Boole's μερική λειτουργία της ένωσης των ασύνδετων συνόλων στο σύγχρονο απεριόριστο ένωση και εξάλειψε την αμφισβητήσιμη χρήση μη ερμηνεύσιμων όρων από τον Boole (βλέπε Jevons 1890). Ο Peirce (1880) εξάλειψε ρητά το Αριστοτελική προέλευση συγκεκριμένων δηλώσεων από το καθολικό δηλώσεις δίνοντας τη σύγχρονη έννοια για το "All \(A\) is \(Β\)". Επιπλέον, επέκτεινε την άλγεβρα της λογικής για τάξεις στην άλγεβρα της λογικής για δυαδικές σχέσεις και εισήχθησαν γενικά ποσά και προϊόντα για τον ποσοτικό προσδιορισμό. Ερνστ Schröder, αντλώντας έμπνευση από προηγούμενες δουλειές του Hermann (1809–1877) και Robert Grassmann (1815–1901) και χρησιμοποιώντας το πλαίσιο που αναπτύχθηκε από τον Peirce, ανέπτυξε και συστηματοποίησε το 19ου Επιτεύγματα αιώνα στην άλγεβρα της λογικής στο δικό του τρίτομο έργο Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890–1910).
Οι συνεισφορές του Gottlob Frege (1848-1925) στη λογική από το περίοδος 1879-1903, βασισμένη σε αξιωματική προσέγγιση λογική, είχε πολύ μικρή επιρροή εκείνη την εποχή (και το ίδιο μπορεί να ειπωθεί των διαγραμματικών συστημάτων του C.S. Peirce που αναπτύχθηκαν στο στροφή του αιώνα). Οι Γουάιτχεντ και Ράσελ απέρριψαν την άλγεβρα του λογική προσέγγιση, με τις κυρίως εξισωτικές διατυπώσεις της και αλγεβρικός συμβολισμός, υπέρ μιας προσέγγισης έντονα εμπνευσμένης από το αξιωματικό σύστημα του Frege, και χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία που αναπτύχθηκε από Giuseppe Peano, δηλαδή να χρησιμοποιούν λογικούς συνδέσμους, σύμβολα σχέσεων και ποσοτικοποιητές.
Κατά τη διάρκεια των δύο πρώτων δεκαετιών του εικοστού αιώνα, η άλγεβρα του η λογική αναπτύχθηκε περαιτέρω στα έργα του Πλάτωνα Σεργκέιεβιτς Πορέτσκι (1846–1907), Λουί Κουτουράτ (1868–1914), Λεοπόλδος Löwenheim (1878–1957) και Heinrich Behmann (1891–1970) (βλ. Styazhkin 1969). Ειδικότερα, η εξάλειψη Θεωρήματα στην άλγεβρα της λογικής επηρέασαν τις διαδικασίες λήψης αποφάσεων για θραύσματα λογικής πρώτης και δεύτερης τάξης (βλέπε Mancosu, Zach, Badesa 2009).
Μετά τον Α ́ Παγκόσμιο Πόλεμο ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ (1862-1943), ο οποίος αρχικά είχε υιοθετήσει η αλγεβρική προσέγγιση, πήρε την προσέγγιση του Principia, και η άλγεβρα της λογικής έπεσε σε δυσμένεια. Ωστόσο, το 1941, ο Τάρσκι αντιμετώπισε τις άλγεβρες σχέσεων ως εξισωτικά καθορισμένη κλάση. Μια τέτοια κατηγορία έχει πολλά μοντέλα εκτός από τη συλλογή όλων των δυαδικών σχέσεων σε ένα δεδομένο σύμπαν που εξετάστηκε το 1800, όπως υπάρχουν πολλές άλγεβρες Boole εκτός από το σύνολο ισχύος Άλγεβρες Boole που μελετήθηκαν το 1800. Στα χρόνια 1948-1952 Ο Τάρσκι, μαζί με τους μαθητές του Τσιν και Τόμσον, δημιούργησε κυλινδρικές άλγεβρες ως αλγεβρική λογική σύντροφο λογική πρώτου βαθμού, και το 1956 ο Paul Halmos (1916-2006) εισήγαγε πολυαδικές άλγεβρες για τον ίδιο σκοπό. Ως Halmos (1956 β, C και D) σημείωσε, αυτές οι νέες αλγεβρικές λογικές έτειναν να επικεντρώνονται στη μελέτη ο βαθμός στον οποίο αποτύπωσαν τη λογική πρώτου βαθμού και την καθολικές αλγεβρικές πτυχές όπως αξιωματοποιήσεις και δομή θεωρήματα, αλλά πρόσφερε λίγη εικόνα για τη φύση του λογική πρώτου βαθμού που ενέπνευσε τη δημιουργία τους.
2. 1847—Οι απαρχές των σύγχρονων εκδόσεων της άλγεβρας της λογικής
Στα τέλη του 1847, ο Boole και ο Augustus De Morgan (1806-1871) ο καθένας δημοσίευσε ένα βιβλίο για τη λογική—Boole's Mathematical Analysis of Λογική (1847) και Τυπική λογική του De Morgan (1847). Γερμανία Η προσέγγιση του Morgan ήταν να αναλύσει κάθε πτυχή της παραδοσιακής παραγωγικής λογική (συνήθως ονομάζεται «αριστοτελική λογική») στο ελάχιστα στοιχεία, να εξετάσει τρόπους γενίκευσης αυτών των στοιχείων, και στη συνέχεια, σε ορισμένες περιπτώσεις, αναλάβετε να δημιουργήσετε ένα λογικό σύστημα χρησιμοποιώντας αυτά τα στοιχεία. Δυστυχώς, δεν μπόρεσε ποτέ να ενσωματώσει το δικό του καλύτερες ιδέες σε ένα σημαντικό σύστημα. Η παράλειψη ενός συμβόλου για Η ισότητα κατέστησε αδύνατη την ανάπτυξη μιας εξισωτικής άλγεβρας λογικής. Φαίνεται ότι η σύνθεση δεν ήταν το δυνατό χαρτί του De Morgan.
Το βιβλίο του De Morgan του 1847 ήταν μέρος μιας αναβίωσης στις λογικές μελέτες που δημιουργήθηκε στις αρχές του 19ου αιώνα με τον Joseph Diez Gergonne (1771–1859) στη Γαλλία, και ο Bernhard Bolzano (1781–1848) στη Γαλλία Βοημία, μεταξύ άλλων. Ο George Bentham και ο William Hamilton στο Το Ηνωμένο Βασίλειο ήταν επίσης μέρος αυτής της αναβίωσης και των σπουδών τους επικεντρώθηκε στη φύση των παραλλαγών των κατηγορικών προτάσεων στο παραδοσιακή συλλογιστική, συμπεριλαμβανομένου αυτού που ονομάστηκε "ποσοτικός προσδιορισμός του κατηγορήματος"· Για παράδειγμα, "Όλα \(A\) είναι μερικά \(B\)" ή "Μερικά \(A\) είναι όλα \(Β\)". Θεωρήθηκε ότι αυτό το πρόβλημα απαιτούσε παράταση της συλλογιστικής λογικής του Αριστοτέλη και ότι κάποια μορφή συμβολικής Χρειαζόταν μέθοδος τόσο για το χειρισμό τέτοιων δηλώσεων όσο και για την παροχή ταξινόμηση των διαφόρων τύπων τους (βλ. Heinemann 2015, κεφάλαια 2· και 3).
Ο Boole προσέγγισε τη λογική από μια εντελώς διαφορετική οπτική γωνία, δηλαδή πώς να ρίξει την αριστοτελική λογική στο ένδυμα της συμβολικής άλγεβρας. Η χρήση συμβολικής άλγεβρας ήταν ένα θέμα με το οποίο ήταν καλά εξοικειωμένος από την εργασία του στις διαφορικές εξισώσεις, και από τις διάφορες εργασίες του νεαρού φίλου και μέντορά του Duncan Farquharson Gregory (1813-1844), ο οποίος έκανε προσπάθειες να ρίξει άλλα θέματα όπως γεωμετρία στη γλώσσα της συμβολικής άλγεβρας. Δεδομένου ότι η Η εφαρμογή της συμβολικής άλγεβρας στις διαφορικές εξισώσεις είχε προχώρησε μέσω της εισαγωγής διαφορικών τελεστών, πρέπει ήταν φυσικό για τον Boole να αναζητήσει τελεστές που εφαρμόστηκαν στο περιοχή της αριστοτελικής λογικής. Αμέσως σκέφτηκε να χρησιμοποιήσει τελεστές "επιλογής", για παράδειγμα, τελεστής επιλογής Για το κόκκινο χρώμα θα επιλέξει τα κόκκινα μέλη από μια τάξη. Στο δικό του Το βιβλίο του 1854, ο Boole συνειδητοποίησε ότι ήταν απλούστερο να παραλείψει την επιλογή χειριστές και εργάζονται απευθείας με τάξεις. (Ωστόσο, κράτησε το τελεστές επιλογής για να δικαιολογήσει τον ισχυρισμό του ότι οι νόμοι της λογικής του ήταν δεν βασίζεται τελικά σε παρατηρήσεις σχετικά με τη χρήση της γλώσσας, αλλά στην πραγματικότητα ήταν βαθιά ριζωμένες στις διαδικασίες του ανθρώπινου νου.) Από τώρα και στο εξής σε αυτό το άρθρο, όταν συζητάμε για το βιβλίο του Boole του 1847, το Οι τελεστές επιλογής αντικαταστάθηκαν με τους απλούστερους άμεσους διατύπωση χρησιμοποιώντας τάξεις.
Δεδομένου ότι η συμβολική άλγεβρα ήταν απλώς η συντακτική πλευρά του συνηθισμένου άλγεβρα, ο Boole χρειαζόταν τρόπους για να ερμηνεύσει τις συνήθεις πράξεις και σταθερές της άλγεβρας για να δημιουργήσει την άλγεβρα της λογικής του για. Ο πολλαπλασιασμός ερμηνεύτηκε ως τομή, οδηγώντας στο ένα νέο του νόμος, ο ιδεοδύναμος νόμος \(XX = X\) για πολλαπλασιασμό, ανακαλύπτοντας εκ νέου ένα λογικός νόμος που έχει ήδη διατυπωθεί από τον Λάιμπνιτς. Η πρόσθεση ορίστηκε ως ένωση, υπό την προϋπόθεση ότι κάποιος είχε να κάνει με ασύνδετες τάξεις. και αφαίρεση ως ταξική διαφορά, υπό την προϋπόθεση ότι κάποιος αφαιρούσε ένα υποκλάση από μια κλάση. Σε άλλες περιπτώσεις, η πρόσθεση και η αφαίρεση Οι λειτουργίες ήταν απλώς απροσδιόριστες ή, όπως έγραψε ο Boole, . Οι συνήθεις νόμοι της αριθμητικής έλεγαν στον Μπουλ ότι 1 πρέπει να είναι το σύμπαν και \(1 - X\) πρέπει να είναι το συμπλήρωμα του \(X\).
Το επόμενο βήμα στο σύστημα του Μπουλ ήταν να μεταφράσει τα τέσσερα είδη κατηγορικές προτάσεις σε εξισώσεις, για παράδειγμα "Όλα \(X\) είναι \(Y\)" γίνεται \(X = XY\), και "Μερικά \(X\) είναι \(Y\)" γίνεται \(V = XY\), όπου \(V\) είναι ένα νέο σύμβολο. Προς Εξαλείψτε τον μεσοπρόθεσμο όρο σε έναν συλλογισμό Ο Boole δανείστηκε μια εξάλειψη θεώρημα από τη συνηθισμένη άλγεβρα, αλλά ήταν πολύ αδύναμο για την άλγεβρα του λογική. Αυτό θα διορθωνόταν στο βιβλίο του 1854. Ο Μπουλ διαπίστωσε ότι δεν θα μπορούσε πάντα να εξάγει τα επιθυμητά συμπεράσματα με τα παραπάνω μετάφραση συγκεκριμένων προτάσεων (π.χ. εκείνων με υπαρξιακή εισαγωγή), οπότε πρόσθεσε τις παραλλαγές \(X = VY\), \(Y = VX\) και \(VX = VY\) (δείτε την καταχώρηση στο Boole).
Η συμβολική άλγεβρα του 1800 περιελάμβανε πολύ περισσότερα από το άλγεβρα πολυωνύμων, και ο Boole πειραματίστηκε για να δει ποια αποτελέσματα Και τα εργαλεία μπορεί να εφαρμοστούν στην άλγεβρα της λογικής. Για παράδειγμα, απέδειξε Ένα από τα αποτελέσματά του χρησιμοποιώντας μια επέκταση άπειρης σειράς. Του Η γοητεία με τις δυνατότητες της συνηθισμένης άλγεβρας τον οδήγησε στο εξετάστε ερωτήσεις όπως: Πώς θα ήταν η λογική αν το ιδεοδύναμο νόμος αντικαταστάθηκαν από το νόμο \(X^3 = X\); Οι διάδοχοί του, ειδικά Ο Jevons, σύντομα θα περιόριζε τις λειτουργίες στις τάξεις σε αυτές που Χρησιμοποιούμε το σήμερα, δηλαδή την ένωση, τη διασταύρωση και το συμπλήρωμα.
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, τα τρία τέταρτα της διαδρομής μέσω του σύντομου βιβλίου του του 1847, μετά την ολοκλήρωση των παραγώγων της παραδοσιακής αριστοτελικής συλλογισμούς στο σύστημά του, ο Boole ανακοίνωσε ότι η άλγεβρα της λογικής του ήταν ικανή για πολύ πιο γενικές εφαρμογές. Στη συνέχεια προχώρησε στην προσθήκη γενικά θεωρήματα για την ανάπτυξη (επέκταση) όρων, παρέχοντας ερμηνείες εξισώσεων, και χρησιμοποιώντας μακρά διαίρεση για να εκφράσετε μία κλάση σε μια εξίσωση ως προς τις άλλες (με πλευρά προστέθηκαν όροι).
Τα θεωρήματα του Boole, που ολοκληρώθηκαν και τελειοποιήθηκαν το 1854, έδωσαν αλγόριθμους για αναλύοντας απείρως πολλές μορφές επιχειρημάτων. Αυτό άνοιξε ένα νέο και γόνιμη προοπτική, αποκλίνοντας από την παραδοσιακή προσέγγιση λογική, όπου για αιώνες οι μελετητές είχαν αγωνιστεί να βρουν Έξυπνα μνημονικά για να απομνημονεύσετε έναν πολύ μικρό κατάλογο έγκυρων μετατροπών και τους συλλογισμούς και τις διάφορες αλληλεπιδράσεις τους.
Η Τυπική Λογική του Ντε Μόργκαν δεν κέρδισε σημαντικά αναγνώριση, κυρίως επειδή ήταν μια μεγάλη συλλογή μικρών γεγονότα χωρίς σημαντική σύνθεση. Το μαθηματικό του Μπουλ Η ανάλυση της λογικής είχε ισχυρές μεθόδους που τράβηξαν την προσοχή μερικών μελετητών όπως ο De Morgan και ο Arthur Cayley (1821–1895); Αλλά αμέσως υπήρχαν σοβαρά ερωτήματα σχετικά με η λειτουργία της άλγεβρας της λογικής του Boole: Πόσο στενά ήταν δεμένη στη συνηθισμένη άλγεβρα; Πώς θα μπορούσε ο Μπουλ να δικαιολογήσει τις διαδικασίες του άλγεβρα της λογικής; Εκ των υστέρων, φαίνεται αρκετά βέβαιο ότι ο Boole το έκανε Δεν ξέρω γιατί λειτούργησε το σύστημά του. Ο ισχυρισμός του, μετά τον Γρηγόριο, ότι στο Για να δικαιολογηθεί η χρήση της συνηθισμένης άλγεβρας ήταν αρκετό να ελεγχθεί το αντιμεταθετικός νόμος \(XY = YX\) για τον πολλαπλασιασμό και τη διανεμητική νόμος \(X(Y + Z) = XY + XZ\), είναι σαφώς ψευδής. Παρ 'όλα αυτά, είναι επίσης πιθανό ότι είχε ελέγξει τα αποτελέσματά του σε επαρκή αριθμό περιπτώσεων να δώσει υπόσταση στην πεποίθησή του ότι το σύστημά του ήταν σωστό.
3. 1854—Η τελική παρουσίαση του Μπουλ για την Άλγεβρα της Λογικής του
Στο δεύτερο βιβλίο του, The Laws of Thought, ο Boole όχι μόνο εφάρμοσε αλγεβρικές μεθόδους στην παραδοσιακή λογική, αλλά επιχείρησε και κάποιες μεταρρυθμίσεις στη λογική. Ξεκίνησε αυξάνοντας τους νόμους του 1847 άλγεβρα της λογικής (χωρίς να λέει ρητά ότι η προηγούμενη λίστα του τρία αξιώματα ήταν ανεπαρκής), και έκανε κάποια σχόλια σχετικά με τον κανόνα της συμπέρασμα (εκτέλεση της ίδιας λειτουργίας και στις δύο πλευρές ενός εξίσωση). Αλλά στη συνέχεια δήλωσε τυχαία ότι το θεμέλιο του Στην πραγματικότητα, το σύστημα στηριζόταν σε μία μόνο (νέα) αρχή, δηλαδή αρκούσε Για να ελέγξετε ένα όρισμα βλέποντας αν ήταν σωστό όταν η τάξη Τα σύμβολα πήραν μόνο τις τιμές 0 και 1 και οι λειτουργίες ήταν οι συνήθεις αριθμητικές πράξεις. Ας ονομάσουμε αυτόν τον κανόνα του Boole του 0 και 1. Δεν δόθηκε καμία ουσιαστική αιτιολόγηση για την υιοθεσία του Boole Από αυτό το νέο ίδρυμα, δεν δόθηκε ένα ειδικό όνομα, και το ελάχιστο Οι αναφορές σε αυτό στο υπόλοιπο βιβλίο ήταν συνήθως μάλλον αδέξια δηλωμένος. Για μια σύγχρονη ανάλυση αυτού του κανόνα 0 και 1 δείτε Burris & Sankappanavar 2013.
Η ανάπτυξη της άλγεβρας της λογικής στους Νόμους της Η σκέψη προχώρησε όπως και στο βιβλίο του 1847, με μικρές αλλαγές στο το μεταφραστικό του σύστημα, και με τους φορείς επιλογής να αντικαθίστανται από Κατηγορίες. Υπάρχει ένα νέο και πολύ σημαντικό θεώρημα (διόρθωση του ενός είχε χρησιμοποιήσει το 1847), το θεώρημα εξάλειψης, το οποίο λέει το επόμενο: δεδομένης μιας εξίσωσης \(F(x,y, z, \ldots) = 0\) στην κλάση σύμβολα \(x, y, z\), κ.λπ., το πιο γενικό συμπέρασμα που ακολουθεί από την εξάλειψη ορισμένων συμβόλων κλάσης επιτυγχάνεται από το (1) αντικαθιστώντας τα 0s και 1s σε \(F(x, y, z, \ldots)\) για τα σύμβολα σε να εξαλειφθεί, με όλους τους δυνατούς τρόπους, τότε (2) πολλαπλασιάζοντας αυτά διάφορες παρουσίες υποκατάστασης μαζί και ρύθμιση του προϊόντος ίσης έως 0. Έτσι, η εξάλειψη των \(y\) και \(z\) από \(F(x, y, z) = 0\) δίνει \(F(x, 0, 0)F(x, 0, 1)F(x, 1, 0)F(x, 1, 1) = 0\). Αυτό το θεώρημα επίσης έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ερμηνεία του Μπουλ για τον Αριστοτέλη συλλογιστική.
Από μια άλγεβρα λογικής άποψης, η θεραπεία του 1854 κατά καιρούς φαίνεται λιγότερο κομψό από αυτό στο βιβλίο του 1847, αλλά δίνει ένα πολύ πλουσιότερη εικόνα για το πώς σκέφτεται ο Μπουλ για τα θεμέλια του άλγεβρα λογικής. Το τελευταίο κεφάλαιο για τη λογική, το κεφάλαιο XV, ήταν ένα προσπαθούν να δώσουν μια ομοιόμορφη απόδειξη των αριστοτελικών προσηλυτισμών και συλλογισμοί. (Είναι περίεργο ότι πριν από το κεφάλαιο XV ο Boole δεν το έκανε Παρουσιάστε τυχόν παραδείγματα επιχειρημάτων που περιλαμβάνουν συγκεκριμένες προτάσεις.) Οι λεπτομέρειες του κεφαλαίου XV είναι αρκετά περίπλοκες, κυρίως λόγω της αύξηση του μεγέθους των εκφράσεων όταν η εξάλειψη και η ανάπτυξη Εφαρμόζονται θεωρήματα. Ο Boole απλά άφησε το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς στο αναγνώστης. Μεταγενέστεροι σχολιαστές θα αποσιωπούσαν αυτό το κεφάλαιο, και κανείς δεν θα το έκανε φαίνεται να έχει επεξεργαστεί τις λεπτομέρειές του.
Εκτός από τον κανόνα 0 και 1 και το θεώρημα εξάλειψης, το 1854 Η παρουσίαση είναι κυρίως ενδιαφέρουσα για τις προσπάθειες του Boole να δικαιολογήσει το δικό του άλγεβρα λογικής. Υποστήριξε ότι στη συμβολική άλγεβρα ήταν αρκετά αποδεκτή για τη διεξαγωγή εξισωτικών αφαιρέσεων με μερικές πράξεις, Ακριβώς όπως θα έκανε κανείς όταν οι επιχειρήσεις ήταν συνολικές, αρκεί οι όροι στις εγκαταστάσεις και το συμπέρασμα ήταν ερμηνεύσιμα. Είπε αυτό ήταν ο τρόπος με τον οποίο η συνηθισμένη άλγεβρα δούλευε με το ανερμήνευτο \(\sqrt{-1}\), η τετραγωνική ρίζα του −1. (Η γεωμετρική Η ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών αναγνωρίστηκε νωρίς από τον Wessel, Argand, και Gauss, αλλά ήταν μόνο με τις δημοσιεύσεις του Gauss και Χάμιλτον στη δεκαετία του 1830 που αμφιβάλλει για την αποδοχή του σύνθετου Οι αριθμοί στην ευρύτερη μαθηματική κοινότητα ξεπεράστηκαν. Είναι περίεργο ότι το 1854 ο Boole θεωρούσε \(\sqrt{-1}\) ως ανερμήνευτο.)
Υπήρξαν ορισμένες ανησυχίες σχετικά με την προσέγγιση του Boole στο Άλγεβρα της λογικής:Υπήρχε ένας ουσιαστικός δεσμός μεταξύ της άλγεβρας της λογικής του και του άλγεβρα αριθμών, ή ήταν απλώς ένα ατύχημα που ήταν έτσι όμοιος;
Θα μπορούσε κανείς να χειριστεί συγκεκριμένες προτάσεις σε μια αλγεβρική λογική που επικεντρώθηκε στις εξισώσεις;
Ήταν πραγματικά αποδεκτό να δουλεύουμε με ανερμήνευτους όρους στο εξισωτικά παράγωγα;
Ο Μπουλ χρησιμοποιούσε «αριστοτελική» σημασιολογία (το Η σημασιολογία προϋπέθετε στην παραδοσιακή λογική, όπου η επέκταση ενός όρος είναι μη κενό);
4. Jevons: Μια άλγεβρα λογικής βασισμένη σε συνολικές πράξεις
Ο Jevons, ο οποίος είχε σπουδάσει με τον De Morgan, ήταν ο πρώτος που προσέφερε ένα εναλλακτική λύση στο σύστημα του Boole. Το 1863 έγραψε στον Boole ότι σίγουρα Η λειτουργία προσθήκης του Boole πρέπει να αντικατασταθεί από την πιο φυσική «χωρίς αποκλεισμούς ή» (ή «ένωση»), που οδηγεί στην νόμος \(X + X = X\). Ο Boole απέρριψε εντελώς αυτή την πρόταση (θα το έκανε κατέστρεψαν το σύστημά του που βασίζεται στη συνηθισμένη άλγεβρα) και διέκοψαν το αλληλογραφία. Ο Jevons δημοσίευσε το σύστημά του στο βιβλίο του 1864, Ο Jevons, ο οποίος είχε σπουδάσει με τον De Morgan, ήταν ο πρώτος που προσέφερε ένα εναλλακτική λύση στο σύστημα του Boole. Το 1863 έγραψε στον Boole ότι σίγουρα Η λειτουργία προσθήκης του Boole πρέπει να αντικατασταθεί από την πιο φυσική «χωρίς αποκλεισμούς ή» (ή «ένωση»), που οδηγεί στην νόμος (ανατυπώθηκε στο Jevons 1890). Λέγοντας «καθαρός» εννοούσε ότι αποτίναζε κάθε εξάρτηση από την άλγεβρα του αριθμοί—αντί για, οι οποίες σχετίζονται με την ποσότητα, Θα χρησιμοποιούσε κατηγορήματα, τα οποία συνδέονται με την ποιότητα, και τα δικά του Οι νόμοι θα προέκυπταν απευθείας από τις (συνολικές) θεμελιώδεις πράξεις της περιεκτικής διάζευξης και σύνδεσης. Αλλά διατήρησε τη χρήση του Boole εξισώσεις ως η θεμελιώδης μορφή των δηλώσεων στην άλγεβρα του λογική.
Υιοθετώντας τη σύμβαση του De Morgan για τη χρήση κεφαλαίων/πεζών επιστολές για συμπληρώματα, το σύστημα του Jevons δεν ήταν κατάλληλο να παρέχει εξισωτικά αξιώματα για τη σύγχρονη άλγεβρα Boolean. Ωστόσο, βελτίωσε το δικό του σύστημα αξιωμάτων και κανόνων συμπερασμάτων έως ότου το αποτέλεσμα ήταν ουσιαστικά το σύγχρονο σύστημα άλγεβρας Boole για το έδαφος όροι, δηλαδή όροι όπου πρέπει να σκεφτούμε τα σύμβολα κλάσης ως σταθερές, όχι ως μεταβλητές.
Πρέπει να σημειωθεί ότι η σύγχρονη εξισωτική λογική ασχολείται με καθολικά ποσοτικοποιημένες εξισώσεις (οι οποίες θα ήταν αποκαλούμενοι νόμοι το 1800). Στο 19ου αιώνας άλγεβρα λογικής θα μπορούσε κανείς να μεταφράσει "Όλα \(X\) είναι \(Y\)" ως εξίσωση \(X = XY\). Αυτό αιώνας άλγεβρα της λογικής θα μπορούσε κανείς να μεταφράσει "Όλα πρέπει να θεωρηθεί ως καθολικά ποσοτικοποιημένη έκφραση \((\forall X)(\forall Y)(X = XY)\). Τα \(X\) και \(Y\) πρέπει να αντιμετωπίζονται ως σταθερές (ή σχηματικά γράμματα). Οι όροι που έχουν μόνο σταθερές (χωρίς μεταβλητές) ονομάζονται βασικοί όροι.
Πραγματοποιώντας αυτή την ανάλυση στο ειδικό περιβάλλον μιας άλγεβρας κατηγορήματα (ή ισοδύναμα, σε άλγεβρα τάξεων) που έπαιζε ο Jevons Ένας σημαντικός ρόλος στην ανάπτυξη της σύγχρονης εξισωτικής λογικής. Όπως που αναφέρθηκε προηγουμένως, ο Boole έδωσε ανεπαρκή σύνολα εξισωτικών αξιωμάτων για το σύστημά του, ξεκινώντας αρχικά με τους δύο νόμους λόγω του Γρηγορίου συν τον ιδεοδύναμο νόμο του· αυτά συνοδεύονταν από το συμπέρασμα του De Morgan κανόνας ότι κάποιος θα μπορούσε να πραγματοποιήσει την ίδια λειτουργία (θεμελιώδης Boole Οι πράξεις στην άλγεβρα της λογικής του ήταν πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός) σε ίσα και λάβετε ίσα. Στη συνέχεια, ο Boole άλλαξε σε ο απλός και ισχυρός (αλλά ανεξήγητος) κανόνας του 0 και του 1.
Έχοντας αντικαταστήσει τις θεμελιώδεις λειτουργίες του Boole με συνολικές λειτουργίες, Ο Jevons προχώρησε, για μια περίοδο πολλών ετών, να εργαστεί πάνω στα αξιώματα και κανόνες για το σύστημά του. Μερικά στοιχεία εξισωτικής λογικής που εμείς Τώρα θεωρείται δεδομένο απαιτήθηκε ένας σημαντικός αριθμός ετών για Jevons για την επίλυση:
Ο Αντανακλαστικός Νόμος (\(A=A\)). Το 1864 ο Jevons το ανέφερε ως αξίωμα (1890, σ. 11) και στη συνέχεια στην §24 αναφέρθηκε στο \(A = A\) ως «άχρηστη πανομοιότυπη πρόταση». Στην εργασία του το 1869 με θέμα αντικατάσταση έγινε ο «νόμος της ταυτότητας». Στις Αρχές της Επιστήμης (1874) ήταν ένα από τα τρία «Θεμελιώδεις νόμοι της σκέψης».
Ο Συμμετρικός Νόμος (\(B = A\) προκύπτει από το \(A = B\)). Το 1864 Ο Jevons έγραψε "\(A = B\) και \(B = A\) είναι τα ίδια δήλωση". Αυτή είναι μια θέση που θα διατηρούσε. Το 1874 Έγραψε
Θα εξετάσω τις δύο μορφές \(A = B\) και \(B = A\) για να εκφράσω ακριβώς η ίδια ταυτότητα γραμμένη διαφορετικά.
Για μια τελική μορφή της άλγεβρας της λογικής του στρεφόμαστε στους νόμους που είχε σκορπίσει πάνω από 40 σελίδες στις Αρχές της Επιστήμης (1874), έχοντας αντικαταστήσει την προηγούμενη χρήση του + από \(\ORjev\), προφανώς για να μετακινηθεί πιο μακριά από οποιαδήποτε εμφάνιση σύνδεσης με την άλγεβρα του Αριθμοί:
Νόμοι συνδυασμού\[ \begin{align} A &= AA = AAA = \& c & \mbox{Νόμος του Απλότητα (σελ. 33)}\\ AB &= BA & \mbox{A Law of Αντιμεταθετικότητα (σελ. 35)}\\ A \ORjev A & = A &\mbox{Νόμος του Ενότητα (σελ. 72)}\\ A \ORjev B &= B \ORjev A &\mbox{A Law of Αντιμεταθετικότητα (σελ. 72)}\\ A(B \ORjev C) &= AB \ORjev AC & \mbox{(δεν δίνεται όνομα) (σελ. 76)}\\ \end{align} \]
Νόμοι της σκέψης\[ \begin{align} A &= A & \mbox{Νόμος της ταυτότητας (σελ. 74)}\\ Aa &= o & \mbox{Νόμος της Αντίφασης (σελ. 74)}\\ A &= AB \ORjev Ab & \mbox{Νόμος της δυαδικότητας (σελ. 74)}\\ \end{align} \]
Για τον μοναδικό κανόνα συμπερασμάτων του, ο Jevons επέλεξε την αρχή του: Υποκατάσταση – με σύγχρονους όρους αυτό ήταν ουσιαστικά ένας συνδυασμός αντικατάστασης εδάφους και μεταβατικότητας. Έδειξε πώς να αντλεί μεταβατικότητα της ισότητας από αυτό. Θα μπορούσε να έχει αντλήσει συμμετρία ως καλά, αλλά δεν το έκανε. Ο συνεταιριστικός νόμος έλειπε – ήταν υπονοείται από την έλλειψη παρενθέσεων στις εκφράσεις του.
Μόνο στις Μελέτες του στην Παραγωγική Λογική (1880) ήταν που Ο Jevons ανέφερε τη χρήση μιας προφοράς από τον McColl για να δείξει την άρνηση. Μετά σημειώνοντας ότι η προφορά του McColl επέτρεψε σε κάποιον να πάρει την άρνηση του σύνθετους όρους σε παρένθεση συνέχισε λέγοντας ότι, ως επί το πλείστον, βρήκε τη σημειογραφία του De Morgan, τη σημειογραφία που χρησιμοποιούσε πάντα, να είναι το πιο κομψό.
5. Peirce: Βασίζοντας την άλγεβρα της λογικής στην υπαγωγή
Ο Peirce ξεκίνησε την έρευνά του για την άλγεβρα της λογικής στα τέλη της Δεκαετία 1860. Στην εργασία του "On an Improvement in Boole's calculus of Λογική» (Peirce 1867), έφτασε ανεξάρτητα στο ίδιο συμπέρασμα στο οποίο είχε φτάσει νωρίτερα ο Jevons, ότι κάποιος έπρεπε να αντικαταστήσει Η μερική λειτουργία προσθήκης του Boole με τη συνολική λειτουργία του ένωση (βλέπε CP 3.3.6). Στη σημαντική εργασία του το 1880, "On the Άλγεβρα της Λογικής», ο Peirce έσπασε ήσυχα με την παραδοσιακή επεκτατική σημασιολογία και εισήγαγε μια συνήθη υπόθεση της σύγχρονης Σημασιολογία: Η επέκταση μιας έννοιας, νοούμενης ως κλάσης, θα μπορούσε να είναι άδειο (καθώς και το σύμπαν), και δήλωσε τις τιμές αλήθειας του κατηγορηματικές προτάσεις που χρησιμοποιούμε σήμερα. Για παράδειγμα, είπε το Η πρόταση "All \(A\) is \(B\)" είναι αληθής αν \(A\) και \(B\) είναι και οι δύο κενές. Μετατροπή με περιορισμό, δηλαδή, το όρισμα "Όλα \(A\) είναι \(B\)" επομένως "Μερικά \(B\) είναι \(A\)", δεν ήταν πλέον έγκυρο συμπέρασμα. Ο Peirce δεν είπε τίποτα σχετικά με τους λόγους και τα πλεονεκτήματα της απομάκρυνσής του από το παραδοσιακό σημασιολογική υπόθεση ύπαρξης.
Ο Peirce ήρθε επίσης σε ρήξη με τη χρήση της ισότητας από τους Boole και Jevons ως θεμελιώδης πρωτόγονη, χρησιμοποιώντας αντ' αυτού τη σχέση του "υπαγωγή" ερμηνεύσιμη με διαφορετικούς τρόπους (υποκλάση σχέση, υπαινιγμός κ.λπ.). Δήλωσε τις ιδιότητες μερικής παραγγελίας υπαγωγής και στη συνέχεια προχώρησε στον καθορισμό των πράξεων του + και × τα ελάχιστα ανώτερα όρια και τα μέγιστα κατώτερα όρια—αυτός Σιωπηρά υπέθεσε ότι υπήρχαν τέτοια όρια – και απαρίθμησε το κλειδί Εξισωτικές ιδιότητες των αλγεβρών με δύο δυαδικές πράξεις που Τώρα ονομάζουμε πλέγματα. Στη συνέχεια, ισχυρίστηκε ότι ο διανεμητικός νόμος ακολούθησε, αλλά είπε ότι η απόδειξη ήταν πολύ κουραστική για να συμπεριληφθεί. Ο Η καρποφορία αυτής της προοπτικής είναι εμφανής στη σημαντική εργασία του από το 1885. Εκεί ο Peirce εισήγαγε ένα σύστημα για την προτασιακή λογική που βασίζεται σε πέντε αξιώματα για υπαινιγμό (που αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο '\(-\kern-.4em<\)'), συμπεριλαμβανομένου αυτού που τώρα ονομάζεται Ο νόμος του Peirce. Σίγουρα έκανε την άλγεβρα της λογικής πιο κομψή.
6. De Morgan και Peirce: Σχέσεις και ποσοδείκτες στην άλγεβρα της λογικής
Ο De Morgan έγραψε μια σειρά από έξι εργασίες με τίτλο "On the Syllogism" κατά τα έτη 1846 έως 1863 (ανατύπωση στο De Morgan 1966). Στις προσπάθειές του να γενικεύσει τον συλλογισμό, ο De Morgan αντικατέστησε Το copula "είναι" με μια γενική δυαδική σχέση στο Δεύτερη εργασία της σειράς που χρονολογείται από το 1850. Επιτρέποντας διαφορετικές δυαδικές σχέσεις στις δύο προϋποθέσεις ενός συλλογισμού, οδηγήθηκε σε Εισαγάγετε τη σύνθεση των δύο δυαδικών σχέσεων για να εκφράσετε το Συμπέρασμα του συλλογισμού. Σε αυτή την επιδίωξη γενικευμένων συλλογισμών Εισήγαγε διάφορες άλλες πράξεις στις δυαδικές σχέσεις, συμπεριλαμβανομένων την αντίστροφη πράξη, και ανέπτυξε ένα θραύσμα ενός λογισμού για αυτές τις λειτουργίες. Η κύρια εργασία του για το θέμα αυτό ήταν η τέταρτη στο σειρά, που ονομάζεται "Σχετικά με τον συλλογισμό, αριθ. IV, και σχετικά με τη λογική του σχέσεις» που δημοσιεύθηκε το 1859 (βλ. De Morgan 1966).
Ακολουθώντας την εργασία του De Morgan, Peirce, στην εργασία του "Περιγραφή μιας σημειογραφίας για τη λογική των συγγενών, που προκύπτει από ένα Ενίσχυση των αντιλήψεων του λογισμού της λογικής του Boole" από το 1870, ανύψωσε το έργο του Μπουλ στη ρύθμιση του δυαδικού Σχέσεις – με δυαδικές σχέσεις είχε, εκτός από την ένωση, τομή και συμπλήρωμα, τις φυσικές λειτουργίες της σύνθεσης και συνομιλώ. Μια δυαδική σχέση χαρακτηρίστηκε ως ένα σύνολο διατεταγμένων ζεύγη (βλέπε σημείο 3.328). Εργάστηκε σε αυτόν τον νέο λογισμό μεταξύ 1870 και 1883. Όπως και ο De Morgan, ο Peirce θεώρησε επίσης μια σειρά από άλλα φυσικά πράξεις επί των σχέσεων. Η κύρια εργασία του Peirce σχετικά με το θέμα ήταν "Για την άλγεβρα της λογικής" (1880). Απασχολώντας απεριόριστες ενώσεις, που συμβολίζονται με Σ, και απεριόριστες ενώσεις διασταυρώσεις, που συμβολίζονται με Π, ο Peirce εισήγαγε έτσι ποσοδείκτες στην άλγεβρα της λογικής του.
Σε ένα έγγραφο από το 1882, "Σύντομη περιγραφή της άλγεβρας του Συγγενείς", ανατυπώθηκε στο De Morgan το 1966, χρησιμοποίησε αυτά ποσοτικοποιητές για τον καθορισμό πράξεων στις σχέσεις μέσω πράξεων σε ορισμένα είδη συντελεστών. Ο Ντε Μόργκαν παίρνει τα εύσημα για την εισαγωγή την έννοια της σχέσης, αλλά ο Peirce θεωρείται ο πραγματικός δημιουργός του τη θεωρία των σχέσεων (βλέπε, π.χ., Tarski 1941: 73). Ωστόσο, ο Peirce δεν ανέπτυξε αυτή τη θεωρία. Όπως έγραψε ο Calixto Badesa, «το Ο λογισμός των συγγενών δεν άρεσε ποτέ στον Peirce» (Badesa 2004: 32). Το θεώρησε πολύ περίπλοκο λόγω του συνδυασμού ταξικών πράξεων με σχεσιακές. Αντ 'αυτού, προτιμούσε από 1885 και μετά για την ανάπτυξη μιας «γενικής άλγεβρας» που περιλαμβάνει ποσοτικοποιητές, αλλά καμία πράξη στις σχέσεις. Με αυτόν τον τρόπο, έφτασε στο μια στοιχειώδης και ανεπίσημη παρουσίαση αυτού που τώρα ονομάζεται λογική πρώτου βαθμού (βλ. Badesa 2004, ό.π.).
7. Η συστηματοποίηση της άλγεβρας της λογικής από τον Schröder
Ο Γερμανός μαθηματικός Ernst Schröder διαδραμάτισε βασικό ρόλο στην παράδοση της άλγεβρας της λογικής. Ένα καλό παράδειγμα ήταν η πρόκλησή του να Peirce να παράσχει μια απόδειξη του νόμου διανομής, ως ένα από τα βασικά Εξισωτικές ιδιότητες των αλγεβρών με δύο δυαδικές πράξεις. Ο Peirce (1885) παραδέχτηκε ότι δεν μπορούσε να παράσχει απόδειξη. Χρόνια αργότερα Ο Huntington (1904: 300-301) περιέγραψε μέρος του περιεχομένου ενός επιστολή που είχε λάβει από τον Peirce τον Δεκέμβριο του 1903 που ισχυριζόταν ότι παρέχουν τις αποδείξεις που λείπουν - προφανώς ο Peirce είχε σκοντάψει τις χαμένες σελίδες μετά το θάνατο του Σρέντερ το 1902. Περς εξήγησε στον Χάντινγκτον ότι είχε αρχικά αναλάβει την υπόθεση του Σρέντερ Η αμφισβήτηση ήταν βάσιμη και ότι αυτή η προφανής έλλειψη του χαρτί "επρόκειτο να προστεθεί στον κατάλογο των σφαλμάτων, λόγω της λαβή, με την οποία βρίθει αυτό το χαρτί, ...". Πραγματικά Η απόδειξη του Peirce δεν διόρθωσε το σφάλμα μετά τον νόμο περί διανομής δεν συγκρατεί σε πλέγματα γενικά. Αντ 'αυτού, η απόδειξή του έφερε το Λειτουργία της συμπλήρωσης—χρησιμοποίησε το αξίωμα
Εάν το \(a\) δεν περιέχεται στο συμπλήρωμα του \(b\) τότε \(a\) και \(b\) έχουν ένα κοινό κατώτερο όριο.
Με βάση το προηγούμενο αλγεβρικό έργο του, ο Schröder έγραψε ένα Εγκυκλοπαιδικό τρίτομο έργο στο τέλος του 19ου αιώνα που ονομάζεται Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890-1905), χτισμένος στο πλαίσιο υπαγωγής με το σύγχρονο σημασιολογία των τάξεων όπως παρουσιάζεται από τον Peirce. Αυτό το έργο ήταν το αποτέλεσμα της έρευνάς του στην άλγεβρα και αποκάλυψε διαφορετικές επιρροές. Ο Schröder στόχευε σε μια γενική αλγεβρική θεωρία με εφαρμογές σε Πολλά μαθηματικά πεδία, όπου η άλγεβρα της λογικής ήταν στον πυρήνα. Όπως επεσήμανε η Geraldine Brady, προσφέρει την πρώτη έκθεση αφηρημένη θεωρία πλέγματος, η πρώτη έκθεση της θεωρίας του Dedekind αλυσίδες μετά Dedekind, η πιο ολοκληρωμένη ανάπτυξη του λογισμός των σχέσεων, και μια επεξεργασία των θεμελίων του μαθηματικά με βάση τον λογισμό σχέσεων (βλ. Brady 2000: 143 f.)
Ο πρώτος τόμος αφορούσε την εξισωτική λογική των τάξεων, ο κύριος αποτέλεσμα είναι το θεώρημα εξάλειψης του Boole του 1854. Τρεις μάλλον περίπλοκα αντιπαραδείγματα στον ισχυρισμό του Peirce για διανεμητικότητα· εμφανίστηκε σε παράρτημα του Vol. I, ένα από τα οποία περιελάμβανε εννιακόσια και ενενήντα ταυτότητες για οιονεί ομάδες. Με βάση τον τόμο αυτό, Ο Dedekind (1897) συνέθεσε μια κομψή σύγχρονη αφηρημένη παρουσίαση πλέγματα (τα οποία ονόμασε Dualgruppen). Σε αυτό το άρθρο παρουσίασε ένα αντιπαράδειγμα πέντε στοιχείων στον ισχυρισμό του Peirce για το διανεμητικό δίκαιο.
Ο Τόμος ΙΙ αυξάνει την άλγεβρα της λογικής για που αναπτύσσονται σε Τόμος Ι ώστε να μπορεί να χειριστεί υπαρξιακές δηλώσεις. Πρώτον, χρησιμοποιώντας σύγχρονη σημασιολογία, ο Schröder απέδειξε ότι δεν μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει εξισώσεις για να εκφράσετε "Κάποιο \(X\) είναι \(Y\)". Ωστόσο, σημείωσε ότι κάποιος μπορεί εύκολα να το εκφράσει με μια αναιρούμενη εξίσωση, δηλαδή \(XY \ne 0\). Τόμος ΙΙ, μια μελέτη του λογισμού των τάξεων χρησιμοποιώντας και τα δύο εξισώσεις και αναιρούμενες εξισώσεις, προσπάθησαν να καλύψουν τα ίδια θέματα καλύπτονται στο Vol. Εγώ, ειδικότερα, καταβλήθηκε σημαντική προσπάθεια στην εύρεση ενός θεωρήματος εξάλειψης. Μετά την αντιμετώπιση αρκετών ειδικών περιπτώσεις, ο Schröder συνέστησε αυτό το θέμα ως σημαντική έρευνα περιοχή—η αναζήτηση ενός θεωρήματος εξάλειψης θα ήταν γνωστή ως Πρόβλημα εξάλειψης.
Εμπνευσμένος κυρίως από το έργο του Peirce, ο Schröder εξέτασε την άλγεβρα της λογικής για τις δυαδικές σχέσεις στον Τόμο ΙΙΙ του Vorlesungen του über die Algebra der Logik. Όπως σημείωσε κάποτε ο Τάρσκι, του Peirce Οι εργασίες συνεχίστηκαν και επεκτάθηκαν με πολύ διεξοδικό και συστηματικό τρόπο από τον Schröder. Ένα στοιχείο ιδιαίτερης γοητείας γι 'αυτόν ήταν αυτό: Δεδομένης μιας εξίσωσης \(E(x, y, z, \ldots) = 0\) σε αυτή την άλγεβρα, βρείτε το Γενική λύση για ένα από τα σύμβολα σχέσης, ας πούμε για \(x\), στο όροι των άλλων συμβόλων σχέσης. Τα κατάφερε, δεδομένης μιας συγκεκριμένης λύση \(x = x0\), για να βρείτε έναν αξιοσημείωτο όρο \(S(t, y, z, \ldots)\) με τις ακόλουθες ιδιότητες: (1) \(x = S(t, y, z, \ldots)\) αποδίδει a λύση σε \(E = 0\) για οποιαδήποτε επιλογή σχέσης \(t\), και (2) κάθε λύση \(x\) του \(E = 0\) μπορεί να ληφθεί με αυτόν τον τρόπο επιλέγοντας ένα κατάλληλο \(t\). Ο Peirce δεν εντυπωσιάστηκε από τον Schröder ενασχόληση με το πρόβλημα της επίλυσης εξισώσεων, και επεσήμανε ότι η παραμετρική λύση του Schröder ήταν λίγο φάρσα - το Η εκφραστική δύναμη της άλγεβρας της λογικής για τις σχέσεις ήταν τόσο ισχυρή ότι αξιολογώντας τον όρο \(S(t, y, z, \ldots)\) ουσιαστικά πραγματοποίησε τα βήματα για να ελέγξει εάν \(E(t, y, z, \ldots) = 0\); Εάν η ένδειξη απάντηση ήταν ναι τότε \(S(t, y, z, \ldots)\) επέστρεψε την τιμή \(t\), Διαφορετικά, θα επιστρέψει την τιμή \(x0\).
Συνοψίζοντας, ο Schröder κατασκεύασε μια αλγεβρική εκδοχή του σύγχρονου κατηγορηματική λογική και επίσης μια θεωρία σχέσεων. Το εφάρμοσε σε διαφορετικά πεδία (π.χ. θεωρία συνόλων του Cantor), και θεωρούσε το δικό του Η αλγεβρική σημειογραφία ως γενική ή καθολική γλώσσα (πασιγραφία, βλ. Peckhaus 2004 και Legris 2012). Πρέπει να είναι σημείωσε ότι το Löwenheim το 1940 εξακολουθούσε να πιστεύει ότι ήταν εξίσου λογικό ως θεωρία συνόλων. Σύμφωνα με τον ίδιο, η ιδέα του Schröder για την επίλυση ενός η σχεσιακή εξίσωση ήταν πρόδρομος των συναρτήσεων Skolem, και Ο Schröder ενέπνευσε τη διατύπωση του Löwenheim και την απόδειξη της διάσημο θεώρημα ότι κάθε "αριθμητική" πρόταση με ένα Το άπειρο μοντέλο έχει ένα μετρήσιμο μοντέλο. Ο λογισμός του Schröder Οι σχέσεις ήταν η βάση για τη διδακτορική διατριβή του Norbert Wiener (1894–1964) στο Χάρβαρντ (Wiener 1913). Σύμφωνα με τον Brady, Ο Wiener έδωσε την πρώτη αξιωματική επεξεργασία του λογισμού του σχέσεις, πριν από την αξιωματοποίηση του Τάρσκι για περισσότερα από είκοσι χρόνια (βλέπε Brady 2000: 165).
8. Huntington: Αξιωματικές έρευνες της άλγεβρας της λογικής
Στη στροφή του 19ου Αιώνας, Ντέιβιντ Χίλμπερτ (1862-1943) παρουσίασε, στο Grundlagen der Geometrie, Η Ευκλείδεια γεωμετρία ως αξιωματικό υποκείμενο που δεν εξαρτιόταν από διαγράμματα για τις αποδείξεις του (Hilbert 1899). Αυτό οδήγησε σε ένα κύμα ενδιαφέροντος στη μελέτη συστημάτων αξιωμάτων στα μαθηματικά. Συγκεκριμένα, κάποιος ήθελε να Μάθετε αν τα αξιώματα ήταν ανεξάρτητα και ποια πρωτόγονα οδήγησαν στο πιο κομψά συστήματα. Edward Vermilye Huntington (1874-1952) ήταν Ένας από τους πρώτους που εξέτασε αυτό το ζήτημα για την άλγεβρα της λογικής. Αυτός έδωσε τρεις αξιωματοποιήσεις της άλγεβρας της λογικής, έδειξε κάθε σύνολο Τα αξιώματα ήταν ανεξάρτητα και ότι ήταν ισοδύναμα (βλ. Huntington 1904). Το 1933 επέστρεψε σε αυτό το θέμα με τρία νέα σύνολα αξιώματα, ένα από τα οποία περιείχε τις ακόλουθες τρεις εξισώσεις (1933): 280):\[ \begin{align} a + b &= b + a \\ (a + b) + c &= a + (b + c) \\ (α' + β')' + (α' + β)' &= α. \end{align} \]
Λίγο αργότερα, ο Herbert Robbins (1915-2001) υπέθεσε ότι Η τρίτη εξίσωση θα μπορούσε να αντικατασταθεί από την ελαφρώς απλούστερη\[ [(α + β)' + (α + β')']' = α. \]
Ούτε ο Χάντινγκτον ούτε ο Ρόμπινς μπόρεσαν να το αποδείξουν αυτό, και αργότερα άντεξε τις προσπάθειες πολλών άλλων, συμπεριλαμβανομένου ακόμη και του Τάρσκι και του ταλαντούχο σχολείο στο Berkeley. Με βάση τα επιμέρους αποτελέσματα του Winker, το αυτοματοποιημένο θεώρημα prover EQP, σχεδιασμένο από τον William McCune του Το Εθνικό Εργαστήριο Argonne, βρήκε μια απόδειξη της εικασίας Robbins το 1996. Αυτό το επίτευγμα έγινε δημοφιλές στο Kolata 2010.
Σύμφωνα με τον Huntington (1933: 278), ο όρος "Boolean άλγεβρα" εισήχθη από τον Henry M. Sheffer (1882-1964) στο Το χαρτί όπου έδειξε ότι κάποιος θα μπορούσε να δώσει μια εξίσωση πέντε αξιωματοποίηση της άλγεβρας Boole χρησιμοποιώντας το μοναδικό θεμελιώδες λειτουργία του αποκλεισμού των αρθρώσεων, τώρα γνωστή ως εγκεφαλικό επεισόδιο Sheffer (βλ. Σέφερ 1913). Οι Γουάιτχεντ και Ράσελ ισχυρίστηκαν στον πρόλογο του δεύτερη έκδοση του Principia ότι το εγκεφαλικό επεισόδιο Sheffer ήταν το μεγαλύτερη πρόοδος στη λογική από τη δημοσίευση του Principia. (Οι Hilbert και Ackermann (1928), αντίθετα, δήλωσαν ότι ο Sheffer εγκεφαλικό επεισόδιο ήταν απλώς μια περιέργεια.) Κανείς από τους δύο δεν το συνειδητοποίησε αυτό δεκαετίες νωρίτερα Ο Schröder είχε ανακαλύψει ότι το διπλό του εγκεφαλικού επεισοδίου Sheffer ήταν Επίσης, μια τέτοια επιχείρηση – το σύμβολο του Σρέντερ για τη λειτουργία του ήταν αυτό ενός δίκοπου σπαθιού.
Στη δεκαετία του 1930 ο Garrett Birkhoff (1911-1996) ίδρυσε το Θεμελιώδη αποτελέσματα της εξισωτικής λογικής, δηλαδή (1) εξισωτικές των αλγεβρών είναι ακριβώς οι τάξεις κλειστές κάτω από ομομορφισμούς, υποάλγεβρες και άμεσα προϊόντα, και (2) η εξισωτική λογική βασίζεται σε πέντε κανόνες: αντανακλαστικότητα, συμμετρία, μεταβατικότητα, αντικατάσταση και αντικατάσταση. Στη δεκαετία του 1940, ο Τάρσκι συμμετείχε σε αυτή την ανάπτυξη του εξισωτική λογική. Το θέμα εξελίχθηκε ραγδαία από τη δεκαετία του 1950 μέχρι την παρούσα στιγμή.
9. Πέτρα: Μοντέλα για την Άλγεβρα της Λογικής
Η παραδοσιακή λογική μελέτησε ορισμένες απλές σχέσεις μεταξύ τάξεις, δηλαδή να είναι μια υποκατηγορία και να έχει ένα μη κενό διασταύρωση με. Ωστόσο, μόλις κάποιος υιοθέτησε ένα αξιωματικό προσέγγιση, το θέμα των πιθανών μοντέλων εκτός από τα προφανή Εμφανιστεί. Ο Beltrami εισήγαγε μοντέλα μη-Ευκλείδειας γεωμετρίας στο τέλη της δεκαετίας του 1860. Στη δεκαετία του 1890 οι Schröder και Dedekind κατασκεύασαν μοντέλα των αξιωμάτων της θεωρίας πλέγματος για να δείξει ότι ο διανεμητικός νόμος έκανε δεν ακολουθούν. Αλλά όταν επρόκειτο για την άλγεβρα των τάξεων, ο Schröder θεωρούσε μόνο τα τυποποιημένα μοντέλα, δηλαδή το καθένα ήταν η συλλογή όλες τις υποκλάσεις μιας δεδομένης κλάσης.
Η μελέτη των γενικών μοντέλων των αξιωμάτων της άλγεβρας Boole δεν να ξεκινήσει μέχρι τα τέλη της δεκαετίας του 1920. Σύντομα έφτασε σε πολύ υψηλό επίπεδο επίπεδο στο έργο του Marshall Harvey Stone (1903-1989) (βλ. έγγραφα 1936, 1937). Ενδιαφερόταν για τη δομή των δακτυλίων του γραμμικούς τελεστές και συνειδητοποίησε ότι οι κεντρικοί ιδεοδύναμοι, δηλαδή, οι χειριστές \(E\) που μετακινούνταν με όλους τους άλλους χειριστές στον δακτύλιο υπό πολλαπλασιασμό (δηλαδή, \(EL = LE\) για όλα \(L\) στο δακτύλιο) και τα οποία ήταν ιδεοδύναμα υπό πολλαπλασιασμό (\(EE = E\)) έπαιξαν ένα σημαντικό ρόλο. Με φυσικό τρόπο, οι κεντρικοί ιδεοδύναμοι σχημάτιζαν ένα Άλγεβρα Boolean.
Ακολουθώντας αυτή την κατεύθυνση της έρευνας οδήγησε τον Stone να ρωτήσει για το δομή μιας αυθαίρετης άλγεβρας Boolean, μια ερώτηση που απάντησε αποδεικνύοντας ότι κάθε άλγεβρα Boole είναι ισομορφική με μια Boolean άλγεβρα συνόλων. Στο έργο του για τις άλγεβρες Boole παρατήρησε ένα Κάποια αναλογία μεταξύ των πυρήνων των ομομορφισμών και των ιδανικών Σπούδασε στη θεωρία των δαχτυλιδιών – αυτό τον οδήγησε να δώσει το όνομα "ιδανικό" σε τέτοιους πυρήνες. Λίγο αργότερα ανακάλυψε μια μετάφραση μεταξύ άλγεβρας Boole και δακτυλίων Boolean. σύμφωνα με αυτό μετάφραση τα ιδανικά μιας άλγεβρας Boole αντιστοιχούσαν ακριβώς σε τα ιδανικά του σχετικού δακτυλίου Boolean. Η επόμενη σημαντική συνεισφορά του ήταν να δημιουργήσει μια αντιστοιχία μεταξύ Boolean άλγεβρες και ορισμένες τοπολογικοί χώροι που τώρα ονομάζονται Boolean spaces (ή Stone spaces). Αυτό Η αλληλογραφία θα αποδεικνυόταν αργότερα πολύτιμο εργαλείο στην κατασκευή εξωτικών άλγεβρες Boolean. Αυτά τα αποτελέσματα της πέτρας είναι: εξακολουθεί να αποτελεί παράδειγμα για τις εξελίξεις στην άλγεβρα της λογικής.
Εμπνευσμένο από τη μάλλον σύντομη επεξεργασία δηλώσεων πρώτης τάξης σχετικά με σχέσεις στον τόμο III της Algebra der Logik, Ο Löwenheim (1915) έδειξε ότι αν μια τέτοια δήλωση θα μπορούσε να είναι ικανοποιημένος σε έναν άπειρο τομέα, τότε θα μπορούσε να ικανοποιηθεί σε ένα αριθμήσιμο τομέα. Το 1920 ο Θόραλφ Σκόλεμ (1887–1963) απλοποίησε την απόδειξη του Löwenheim εισάγοντας κανονικές μορφές Skolem, και το 1928 ο Skolem αντικατέστησε τη χρήση των κανονικών μορφών με μια απλούστερη ιδέα, δηλαδή να χρησιμοποιηθούν οι λεγόμενες συναρτήσεις Skolem. Χρησιμοποίησε Αυτές οι λειτουργίες μετατρέπουν προτάσεις πρώτης τάξης σε καθολικές προτάσεις, δηλαδή σε προτάσεις σε μορφή prenex με όλα Οι ποσοδείκτες είναι καθολικοί (\(\forall\)).
10. Skolem: Εξάλειψη ποσοτικοποιητών και αποφασισιμότητα
Ο Skolem επηρεάστηκε έντονα από την Άλγεβρα του Schröder Logik, ξεκινώντας με τη διδακτορική του διατριβή. Αργότερα πήρε ένα συγκεκριμένο ενδιαφέρον για την αναζήτηση ενός θεωρήματος εξάλειψης στο λογισμό του Κατηγορίες. Στην εργασία του το 1919 διαπίστωσε κάποια αποτελέσματα για πλέγματα, Συγκεκριμένα, έδειξε ότι μπορεί κανείς να αποφασίσει την εγκυρότητα του καθολικές προτάσεις Horn (δηλαδή, καθολικές προτάσεις με μήτρα που είναι ένας διαχωρισμός αναιρούμενων και μη αναιρούμενων ατόμων, με το πολύ ένα θετικό άτομο) με μια διαδικασία που τώρα αναγνωρίζουμε ότι είναι πολυώνυμο αλγόριθμος χρόνου. Αυτός ο αλγόριθμος βασίστηκε στην εύρεση ενός λιγότερο σταθερού σημείο πεπερασμένου μερικού πλέγματος σύμφωνα με κανόνες παραγωγής που προέρχονται από καθολικές ποινές Horn. Αν και αυτό το αποτέλεσμα, το οποίο ισοδυναμεί με Το πρόβλημα ομοιόμορφης λέξης για πλέγματα, ήταν στο ίδιο χαρτί με Η διάσημη συμβολή του Skolem στο θεώρημα του Löwenheim, ήταν ξεχασμένο μέχρι μια τυχαία εκ νέου ανακάλυψη στις αρχές της δεκαετίας του 1990. (Whitman (1941) έδωσε μια διαφορετική λύση στην πιο περιορισμένη εξίσωση πρόβλημα απόφασης για πλέγματα. Έγινε ευρέως γνωστή ως η λύση στη λέξη πρόβλημα στα πλέγματα.)
Ο Skolem (1920) έδωσε μια κομψή λύση στο πρόβλημα της εξάλειψης που έθεσε ο Schröder για τον λογισμό των τάξεων δείχνοντας ότι αν Ένα προστιθέμενο κατηγορήματα για να εκφράσει "έχει τουλάχιστον \(n\) στοιχεία", για κάθε \(n = 1, 2, \ldots\), τότε υπήρχε ένα Απλή (αλλά συχνά χρονοβόρα) διαδικασία μετατροπής ενός τύπου πρώτης τάξης σχετικά με τις σε έναν τύπο χωρίς ποσοδείκτη. Ειδικότερα, αυτό έδειξε ότι η θεωρία πρώτου βαθμού του λογισμού των τάξεων ήταν αποφασίσιμη. Αυτό το αποτέλεσμα ποσοτικής εξάλειψης χρησιμοποιήθηκε από τον Mostowski (1952) να αναλύσει τις ιδιότητες πρώτης τάξης των άμεσων δυνάμεων και των άμεσων αθροίσματα μεμονωμένων δομών, και στη συνέχεια από τους Feferman και Vaught (1959) έως Κάντε το ίδιο για γενικά άμεσα ποσά και άμεσα προϊόντα Δομές.
Η εξάλειψη των ποσοδεικτών έγινε μια κύρια μέθοδος στα μαθηματικά λογική για την απόδειξη της αποφασισιμότητας και η απόδειξη της αποφασισιμότητας δηλώθηκε ως το κύριο πρόβλημα της μαθηματικής λογικής στους Hilbert και Ackermann (1928)—Αυτός ο στόχος εγκαταλείφθηκε στις επόμενες εκδόσεις λόγω το περίφημο αποτέλεσμα του αναποφάσιστου της Εκκλησίας και του Τούρινγκ.
11. Ο Τάρσκι και η αναβίωση της αλγεβρικής λογικής
Η θεωρία μοντέλων μπορεί να θεωρηθεί ως προϊόν της μεθοδολογίας του Χίλμπερτ των μεταμαθηματικών και της άλγεβρας της λογικής παράδοσης, που αντιπροσωπεύεται συγκεκριμένα από τα αποτελέσματα που οφείλονται σε Löwenheim και Skolem. Αλλά αυτό ήταν ο Τάρσκι που έδωσε στην πειθαρχία την κλασική της βάση. Υπόδειγμα Η θεωρία είναι η μελέτη των σχέσεων μεταξύ μιας τυπικής γλώσσας και της ερμηνεία σε "υλοποιήσεις" (δηλαδή, ένα πεδίο για τις μεταβλητές της γλώσσας μαζί με μια διερμηνεία για την πρωτόγονα σημάδια). Εάν η ερμηνεία τυχαίνει να κάνει μια πρόταση Η γλώσσα δηλώνει κάτι αληθές, τότε η ερμηνεία είναι ένα μοντέλο της πρότασης (δείτε το λήμμα για τη θεωρία μοντέλων). Τα μοντέλα αποτελούνται βασικά από αλγεβρικές δομές και θεωρία μοντέλων έγινε μια αυτόνομη μαθηματική πειθαρχία με τις ρίζες της όχι μόνο στην άλγεβρα της λογικής αλλά στην αφηρημένη άλγεβρα (βλ. Sinaceur 1999).
Εκτός από τη θεωρία μοντέλων, ο Τάρσκι αναβίωσε την άλγεβρα των σχέσεων στο Η εργασία του το 1941 "On the Calculus of Relations". Πρώτα αυτός περιέγραψε μια τυπική λογική που βασίζεται στο να επιτρέπεται η ποσοτικοποίηση και των δύο στοιχεία και σχέσεις, και στη συνέχεια στράφηκε σε μια πιο λεπτομερή μελέτη του Οι τύποι χωρίς ποσοδείκτες αυτού του συστήματος που αφορούσαν μόνο μεταβλητές σχέσης. Μετά την παρουσίαση μιας λίστας αξιωμάτων που προφανώς που πραγματοποιήθηκε στην άλγεβρα των σχέσεων όπως παρουσιάζεται στο τρίτο του Schröder Τόμος Απέδειξε ότι αυτά τα αξιώματα επέτρεπαν σε κάποιον να μειώσει Τύποι σχέσης χωρίς ποσοδείκτες με εξισώσεις. Έτσι, ο λογισμός του Οι σχέσεις έγιναν η μελέτη μιας συγκεκριμένης εξισωτικής θεωρίας την οποία σημείωσε είχε την ίδια σχέση με τη μελέτη όλων των δυαδικών σχέσεων σχετικά με σύνολα όπως η εξισωτική θεωρία της άλγεβρας Boole είχε στη μελέτη του όλα τα υποσύνολα συνόλων. Αυτό οδήγησε σε ερωτήματα παράλληλα με αυτά που ήδη τέθηκε και επιλύθηκε για τις άλγεβρες Boolean, για παράδειγμα, ήταν κάθε μοντέλο των αξιωμάτων του για άλγεβρες σχέσεων ισομορφικές με άλγεβρα σχέσεις σε ένα σετ; Μια ερώτηση είχε απαντηθεί από τον Arwin Korselt (1864–1947), δηλαδή υπήρχαν ποινές πρώτης τάξης στο θεωρία δυαδικών σχέσεων που δεν ήταν ισοδύναμες με μια εξίσωση στο Ο λογισμός των σχέσεων – άρα ο λογισμός των σχέσεων Σίγουρα είχε ασθενέστερη εκφραστική δύναμη από τη θεωρία πρώτης τάξης των σχέσεων. Στην πραγματικότητα η εκφραστική δύναμη της άλγεβρας σχέσεων είναι Ακριβώς ισοδύναμο με τη λογική πρώτου βαθμού με μόλις τρεις μεταβλητές. Ωστόσο, αν σε σχέση άλγεβρες (ο λογισμός των σχέσεων) κάποιος θέλει για να επισημοποιήσει μια θεωρία συνόλων που έχει κάτι όπως το αξίωμα ζεύγους, Τότε μπορεί κανείς να μειώσει πολλές μεταβλητές σε τρεις μεταβλητές, και έτσι είναι είναι δυνατόν να εκφραστεί οποιαδήποτε δήλωση πρώτου βαθμού μιας τέτοιας θεωρίας από ένα εξίσωση. Ο μοναχός απέδειξε ότι, σε αντίθεση με τον λογισμό των τάξεων, υπάρχει Δεν υπάρχει πεπερασμένη εξισωτική βάση για τον λογισμό των δυαδικών σχέσεων (βλ. Μοναχός 1964). Οι Tarski και Givant (1987) έδειξαν ότι η εξισωτική λογική των αλγεβρών σχέσεων είναι τόσο εκφραστική που μπορεί κανείς να πραγματοποιήσει θεωρία συνόλων πρώτης τάξης σε αυτό.
Επιπλέον, κυλινδρικές άλγεβρες, ουσιαστικά Boolean άλγεβρες εξοπλισμένες με μοναδιαίες κυλινδρικές λειτουργίες \(C_x\) που προορίζονται να συλλάβουν Οι υπαρξιακοί ποσοδείκτες (\(\exists x\)), εισήχθησαν στο χρόνια 1948-1952 από τον Τάρσκι, δουλεύοντας με τους μαθητές του Λουίζ Τσιν και Frederick Thompson (βλ. Henkin &; Tarski 1961), για να δημιουργήσει ένα άλγεβρα λογικής που συνέλαβε την εκφραστική δύναμη της πρώτης τάξης Θεωρία δυαδικών σχέσεων. Η πολυαδική άλγεβρα είναι μια άλλη προσέγγιση σε μια άλγεβρα λογικής για λογική πρώτου βαθμού—δημιουργήθηκε από τον Halmos (1956γ). Το επίκεντρο της εργασίας σε αυτά τα συστήματα ήταν και πάλι να δούμε τι έκταση θα μπορούσε κανείς να παραλληλιστεί με τα περίφημα αποτελέσματα του Stone for Boolean άλγεβρα από τη δεκαετία του 1930.
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου