Όταν έγραφα για τον Πλάτωνα στον σχολιασμό της πλατωνικής θεωρίας για τη δικαιοσύνη και της διάκρισης που κάνει ο Πλάτων σε «αριθμητική» ισότητα και «αναλογική» (ή «γεωμετρική») ισότητα· και προσάρτησα τα συμπεράσματά μου από μία μελέτη για τον Πλάτωνα και τη γεωμετρία.
1 Ο Πλάτων και η γεωμετρία
Σχετικά με τις περί πολιτικής δικαιοσύνης και ισότητας απόψεις του Πλάτωνα στους Νόμους, βλ. ιδίως το χωρίο για τα δύο είδη ισότητας (Νόμοι 757b-d), που το παραθέτω στο τμήμα με αριθμό (1) πιο κάτω. Σχετικά με το ότι, όπως αναφέρει το πλατωνικό κείμενο, στην απονομή τιμών και ωφελημάτων έπρεπε να λαμβάνεται υπόψη όχι μόνο η αρετή και η ανατροφή, αλλά και ο πλούτος (ακόμα και το παράστημα και το σωματικό κάλλος), βλ. Νόμους 744c- το κείμενο δίνεται σε παράθεμα στη σημείωση 20 (1) του Κεφαλαίου 6 τής Ανοικτής κοινωνίας, όπου εξετάζονται επίσης και άλλα σχετικά χωρία.
(1) Στους Νόμους, 757b-d, ο Πλάτων μιλάει για τα «δύο είδη ισότητας»:
Το ένα από αυτά ... είναι ισότητα μετρητή, σταθμητή ή αριθμητή {δηλ. αριθμητική ισότητα}· αλλά η απόλυτα αληθινή και η άριστη ισότητα ... απονέμει στον μεγαλύτερο περισσότερα και στον μικρότερο λιγότερα, δίνοντας στον καθένα το σύμμετρο γι’ αυτόν, σε συμφωνία με τη φύση. ... Παρέχοντας τις μεγαλύτερες τιμές σε όσους υπερτερούν σε αρετή και τις μικρότερες τιμές σε όσους υστερούν σε αρετή και σε διαπαιδαγώγηση απονέμει στον καθένα αυτό που του πρέπει, σύμφωνα με αυτή την αρχή των {ρητών} αναλογιών. Και ακριβώς αυτή είναι που θα τη λέμε «πολιτική δικαιοσύνη». Και όποιος ποτέ ιδρύσει πολιτεία, αυτήν πρέπει να θέσει μοναδικό στόχο της νομοθεσίας του ...: αυτή και μόνο τη δικαιοσύνη που, όπως λέχθηκε ήδη, είναι φυσική ισότητα και απονέμεται, όπως το απαιτεί κάθε φορά η περίσταση, σε άνισους.
[δυοῖν γάρ ἰσοτήτοιν οὔσαιν, ὁμωνύμοιν μέν, ἔργῳ δέ εἰς πολλά σχεδόν ἐναντίαιν, τήν μέν ἑτέραν εἰς τάς τιμάς πᾶσα πόλις ἱκανή παραγαγεῖν καί πᾶς νομοθέτης, τήν μέτρῳ ἴσην καί σταθμῷ καί ἀριθμῷ, κλήρῳ ἀπευθύνων εἰς τάς διανομάς αἀτήν· τήν δέ ἀληθεστάτην καί ἀρίστην ἰσότητα οὐκέτι ῥᾴδιον παντί ἰδεῖν. Διός γάρ δή κρίσις ἐστι, καί τοῖς ἀνθρώ- ποις ἀεί σμικρά μέν ἐπαρκεῖ, πᾶν δέ ὅσον ἄν ἐπαρκέςῃ πόλεσιν ἤ καί ἰἰδιώταις, πάντ’ ἀγαθά ἀπεργάζεται· τῷ μέν γάρ μείζονι πλείω, τῷ δ’ ἐλάττονι σμικρότερα νέμει, μέτρια διδοῦσα πρός τήν αὐτῶν φύσιν ἑκατέρῳ, καί δή καί τιμάς μείζοσι μέν πρός ἀρετήν ἀεί μείζους, τοῖς δέ τουναντίον ἔχουσιν ἀρετῆς τε καί παιδείας τό πρέπον ἑκατέροις ἀπονέμει κατά λόγον, ἔστιν γάρ δήπου καί τό πολιτικόν ἡμῖν ἀεί τοῦτ’ αὐτό τό δίκαιον· οὗ καί νῦν ἡμᾶς ὀρεγομένους δεῖ καί πρός ταύτην την ἰσότητα, ὦ Κλεινία, ἀποβλέποντας, την νῦν φυομένην κατοικίζειν πόλιν. ἄλλην τε ἄν ποτέ τις οἰκίζῃ, πρός ταὐτόν τοῦτο σκοπούμενον χρεών νομοθετεῖν, ἀλλ’ οὐ πρός ὀλίγους τυράννους ἤ πρός ἕνα ἤ καί κράτος δήμου τι, πρός δέ τό δίκαιον ἀεί, τοῦτο δ’ ἐστί το νυνδή λεχθέν, τό κατά φύσιν ἴσον ἀνίσοις ἑκάστοτε δοθέν· ]
Η δεύτερη από τις δυο αυτές ισότητες, που συνιστά ό,τι ο Πλάτων ονομάζει εδώ «πολιτική δικαιοσύνη» (και ο Αριστοτέλης θα την ονομάσει «διανεμητική δικαιοσύνη»), και που προσδιορίζεται από τον Πλάτωνα (και από τον Αριστοτέλη) ως «αναλογική ισότητα» - η απόλυτα αληθινή και η πιο φυσική ισότητα - αργότερα ονομάστηκε «γεωμετρική» (Γοργίας 508a· βλ. και 465b/c, επίσης και Πλουτάρχου [Συποσιακών προβλημάτων] Ηθικά 719b κ.εξ.), σε αντιδιαστολή προς την υποδεέστερη και δημοκρατική, την «αριθμητική» ισότητα. Οι παρατηρήσεις τού μέρους (2) θα φωτίσουν κάπως αυτή την αντιστοίχιση.
(2) Σύμφωνα με την παράδοση (βλ. Commentaria in Aristotelem Graeca, μέρος XV, Βερολίνο, 1897, σελ. 117.27, και μέρος XVIII, Βερολίνο, 1900, σελ. 118.18), μία επιγραφή στο υπέρθυρο της Ακαδημίας του Πλάτωνα έλεγε: «Κανένας ακατάρτιστος στη γεωμετρία να μην περάσει στη κατοικία μου!» [Μηδείς άγεωμέτρητός είσίτω]. Έχω την υποψία ότι το νόημα αυτών των λόγων δεν είναι να εξάρουν τη σπουδαιότατα των μαθηματικών, αλλά ότι σημαίνουν: «Η αριθμητική (δηλ., για την ακρίβεια, η Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών) δεν αρκεί· πρέπει να ξέρετε γεωμετρία!» Και θα προσπαθήσω να σκιαγραφήσω τους λόγους που με κάνουν να πιστεύω ότι η τελευταία φράση συνοψίζει ακριβοδίκαια μία από τις σπουδαιότερες συνεισφορές του Πλάτωνα στην επιστήμη. Βλ. και την Ενότητα 2, πιο κάτω.
Όπως είναι γενικά πιστευτό σήμερα, στην ενασχόληση των παλαι- ότερων πυθαγορείων με τη γεωμετρία εφαρμοζόταν μία μέθοδος παρόμοια κάπως με αυτή που ονομάζεται στις μέρες μας «αριθμητικοποίη- ση». Η γεωμετρία ενδιέφερε ως μέρος της θεωρίας των ακεραίων (ή των «φυσικών» αριθμών, δηλ. των αριθμών που αποτελούνται από ακέραιες ή «άτμητες» μονάδες· πρβλ. Πολιτεία 525e) και των σχέσεων ή, αλλιώς, “λόγων” των ακεραίων, δηλ. των «ρητών» αναλογιών. Επί παραδείγματι, τα πυθαγόρεια ορθογώνια τρίγωνα ήταν τα τρίγωνα που οι πλευρές τους συνδέονται με τέτοιες ρητές αναλογίες. (Όπως είναι π.χ. 3:4:5·ή 5:12:13.) Ένας γενικευτικός τύπος που αποδίδεται στον Πυθαγόρα είναι ο εξής: 2ν + 1 : 2ν(ν + 1) : 2ν(ν + 1) + 1. Αλλά ο τύπος αυτός, που δίνεται από τον “γνώμονα”, δεν έχει επαρκή γενικότητα, όπως δείχνει το παράδειγμα 8 : 15 : 17. Ένας γενικός τύπος, από τον οποίο μπορεί να παραχθεί ο πυθαγόρειος, αν θέσουμε μ =ν + 1, είναι ο εξής: μ2 — ν2 : 2μν : μ2 + ν2 (όπου μ > ν). Επειδή αυτός ο τύπος είναι άμεσο επακόλουθο του λεγάμενου «θεωρήματος του Πυθαγόρα» (αν το εννοήσουμε σε συνδυασμό με εκείνο το είδος άλγεβρας που φαίνεται ότι ήταν γνωστό στους παλαιότερους πυθαγόρειους) και επειδή τέτοιος τύπος, κατά τα φαινόμενα, ήταν άγνωστος όχι μόνο στον Πυθαγόρα αλλά ακόμα και στον Πλάτωνα (ο οποίος, κατά τον Πρόκλο, πρότεινε έναν άλλο, μη γενικό, τύπο), φαίνεται ότι το «θεώρημα του Πυθαγόρα», στη γενική μορφή του, δεν ήταν γνωστό ούτε στον Πυθαγόρα ούτε και στον Πλάτωνα. (Για μία λιγότερο ριζική άποψη πάνω σ’ αυτό το θέμα, βλ. Τ. Heath, A History of Greek Mathematics, Οξφόρδη, 1921, τόμ. I, σελ. 80-82.0 τύπος τον οποίο χαρακτήρισα «γενικό» κατ’ ουσίαν είναι του Ευκλείδη· εξάγεται από τον υπέρμετρα περίπλοκο τύπο τής σελ. 82 τού Heath, αν πάρουμε πρώτα τις πλευρές τού τριγώνου και τις πολλαπλασιάσουμε επί 2/mn και κατόπιν αντικαταστήσουμε στο εξαγόμενο τα m και η, καθώς και τα ρ και q.)
Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας τής τετραγωνικής ρίζας τού δύο (για την οποία ο Πλάτων κάνει υπαινιγμό στον Ιππία μείξονα και στον Μένωνα· πρβλ. τη σημείωση 10 στο Κεφάλαιο 7 τής Ανοικτάς κοινωνίας- και βλ. επίσης Αριστοτέλη, Ἀναλυτικά πρότερα 41a26 κ.εξ.) έπληξε το πυθαγόρειο πρόγραμμα της «αριθμητικοποίησης» της γεωμετρίας και μαζί με αυτό, όπως φαίνεται, έπληξε και τον ίδιο τον Κανόνα ζωής των πυθαγορείων. Η παράδοση κατά την οποία η ανακάλυψη αυτή αρχικά τηρήθηκε μυστική ενισχύεται από το ότι στην αρχή ο Πλάτων εξακολουθούσε να ονομάζει ακόμη τους ασύμμετρους αριθμούς ἀρρήτους, δηλ. απόρρητους, ανέκφραστο μυστήριο· πρβλ. Ἰππία μείζονα 303b/c· και επίσης Πολιτεία 546c. (Μεταγενέστερος είναι ο όρος «ασύμμετροι»· πρβλ. Θεαίτητο 147d και Νόμους 820c. Υπάρχει και ο όρος άλογοι, που για πρώτη φορά φαίνεται ότι απαντά στον Δημόκριτο, του οποίου ένα έργο, από τα μη σωζόμενα, είχε ως τίτλο «Για τις άλογες γραμμές και τα άτομα (ή: και τα στερεά σώματα)» [Περί άλογων γραμμών καί ναστών]· τον όρο αυτό γνώριζε και ο Πλάτων, όπως αποδεικνύει ένας κάπως υποτιμητικός υπαινιγμός του στην Πολιτεία 534d για τον τίτλο τού έργου τού Δημόκριτου [τούς· γε σαυτοϋ παίδας ... ούκ άν έάσαις, ... άλογους όντας ώσπερ γραμμάς, άρχοντας έν τη πόλει... είναι], αλλά ποτέ δεν τον χρησιμοποίησε ως συνώνυμο του άφφητοι. Η πρώτη σωζόμενη και αναμφισβήτητη χρήση του όρου [άλογος·] φαίνεται ότι υπάρχει στον Αριστοτέλη, ’Αναλυτικά ϋστερα 76b9. Βλ. επίσης και Τ. Heath, ίδιο έργο, τόμ. I, σελ. 84 κ.εξ. και εδώ, παρακάτω, Ενότητα 2.)
Καθώς φαίνεται, η κατάρρευση του πυθαγόρειου προγράμματος, δηλ. της αριθμητικής μεθόδου στη γεωμετρία, οδήγησε στην ανάπτυξη της αξιωματικής μεθόδου τού Ευκλείδη, με άλλα λόγια, μιας νέας μεθόδου προορισμένης, από το ένα μέρος, να περισώσει ό,τι ήταν δυνατόν να περισωθεί από την κατάρρευση (ανάμεσα στα άλλα και τη μέθοδο της λογικής απόδειξης) και, από το άλλο, να συμφωνήσει ότι η γεωμετρία είναι ανεπίδεκτη αναγωγής στην αριθμητική. Ύστερα από όλες αυτές τις παραδοχές, με μεγάλο βαθμό πιθανότητας ο ρόλος τού Πλάτωνα στη μετάβαση από την παλαιότερη πυθαγόρεια μέθοδο στη μέθοδο του Ευκλείδη φαίνεται να υπήξε εξαιρετικά σπουδαίος - ο Πλάτων ακριβώς να ήταν ένας από τους πρώτους που ανέπτυξε μία μέθοδο ειδικά γεωμετρική με την επιδίωξη να περισώσει από την κατάρρευση του πυθαγορισμού ό,τι ήταν δυνατόν να περισωθεί και να μειώσει τις εξ αιτίας της απώλειες. Αυτά κατά μέγα μέρος πρέπει να λογιστούν ως ιστορική υπόθεση με υψηλό βαθμό αβεβαιότητας, αλλά κάποια επιβεβαίωση είναι δυνατόν να βρούμε στο χωρίο τού Αριστοτέλη Ἀναλυτικά ὕστερα 76b9 (το αναφέραμε ήδη), ιδίως αν το παραλληλίσουμε με τους Νόμους 818c, 895e (περιττοί και άρτιοι), και 819e- 820a, 820c (ασύμμετροι). Το αριστοτελικό χωρίο λέει: «Η αριθμητική λαμβάνει ως δεδομένο τί σημαίνει “περιττό” και “άρτιο” ..., και η γεωμετρία τί σημαίνει “άρρητο” [άλογον].» [Ή μέν άριθμητική <λαμβάνει> τί περιττόν ἤ άρτιον ἤ τετράγωνον ἤ κύβος, ἡ δέ γεωμετρία τί τό ἄλογον ή ... ]. (Ή “ασύμμετρο”· πρβλ. Ἀναλυτικά πρότερα 41a26 κ.εξ., 50a37. Βλ. επίσης Μετά τά φυσικά 983a20, 1061Μ-3, όπου το πρόβλημα των ασυμμέτρων αντιμετωπίζεται σαν να είναι ό,τι το ιδιάζον για τη γεωμετρία, καθώς και 1089a, όπου υπάρχει, όπως και στα ’Αναλυτικά ϋστερα 76b40, υπαινικτική αναφορά στη μέθοδο της «ποδιαίας [τετραγωνικής] ρίζας» τού Θεαίτητου 147d.) Το μεγάλο ενδιαφέρον τού Πλάτωνα για το πρόβλημα των ασυμμέτρων καταδεικνύεται ιδίως από τα δύο χωρία που προαναφέρθηκαν, του Θεαίτητου 147d-148a και των Νόμων 819d-822d, όπου ο Πλάτων δηλώνει ότι αισθάνεται ντροπή για τους Έλληνες που δεν είναι ενημερωμένοι για το μέγα πρόβλημα των ασυμμέτρων μεγεθών.
Έχω λοιπόν την ιδέα ότι η «θεωρία των αρχικών σωμάτων» (στον Τίμαιο 53c-62c, ίσως και πιο κάτω, ως το 64a· πρβλ. και Πολιτεία 528b-d) ήταν μέρος της απόκρισης του Πλάτωνα στην πρόκληση [των καιρών]. Από τη μία πλευρά, από τον Πυθαγορισμό, διασώζει την ατομική θεώρηση - τα αδιαίρετα (τις «μονάδες») που και στη σχολή των ατομικών παίζουν επίσης ρόλο - και από την άλλη, εισάγει τις ασυμμετρϊες (της τετραγωνικής ρίζας τού δύο και της τετραγωνικής ρίζας τού τρία), που η εισδοχή τους στο σύστημα του κόσμου είχε γίνει αναπόφευκτη. Και το επιτυγχάνει αυτό καθώς παίρνει δύο από τα ενεχόμενα [στο πρόβλημα] ορθογώνια τρίγωνα —ένα είναι το ήμισυ του τετραγώνου, που υλοποιεί την τετραγωνική ρίζα τού δύο, και ένα άλλο το ήμισυ του ισόπλευρου τριγώνου, που υλοποιεί την τετραγωνική ρίζα τού τρία - και τα χρησιμοποιεί ως μονάδες, από τη σύνθεση των οποίων σχηματίζονται όλα τα άλλα. Η διδασκαλία ακριβώς ότι αυτά τα δύο ασύμμετρα τρίγωνα αποτελούν τα όρια (πέρας· πρβλ. Μένωνα 75d-76a) ή τις μορφές όλων των στοιχειωδών φυσικών σωμάτων μπορούμε να πούμε ότι είναι μία από τις κεντρικές φυσικές θεωρίες του Τίμαιου.
Μια σκέψη που μας υπαγορεύουν όλα τα παραπάνω θα ήταν ότι η προειδοποίηση προς τους ακατάρτιστους στη γεωμετρία (ίσως ένας υπαινιγμός γι’ αυτήν βρίσκεται στον Τίμαιο 54a) μπορεί να είχε την περισσότερο αιχμηρή σημασία που προαναφέρθηκε και ότι μπορεί να ήταν αλληλένδετη με την πίστη πως η γεωμετρία είναι αντικείμενο ανώτερης σπουδαιότητας από την αριθμητική. (Πρβλ. Τίμαιο 31c.) Και αυτό πάλι θα εξηγούσε γιατί η «αναλογική ισότητα» του Πλάτωνα, για την οποία είπε ότι είναι περισσότερο αριστοκρατική σε σύγκριση με τη δημοκρατική αριθμητική ισότητα, ταυτίστηκε αργότερα με τη «γεωμετρική ισότητα», που μιλάει γι’ αυτήν ο Πλάτων στον Γοργία 508a, και ακόμα γιατί (στον Πλούταρχο, έξαφνα, Ηθικά 719b κ,εξ.) ότι η αριθμητική και η γεωμετρία συσχετίζονται με τη δημοκρατία και τη σπαρτιατική αριστοκρατία, αντίστοιχα - παρά το γεγονός, κατά τα φαινόμενα λησμονημένο πιά, ότι οι πυθαγόρειοι είχαν εξίσου αριστοκρατικό φρόνημα όσο είχε και ο Πλάτων· ότι το πρόγραμμά τους εξήρε την αριθμητική· και ότι στο λεξιλόγιό τους «γεωμετρική» αναλογία ονομαζόταν ένα από τα είδη τής αριθμητικής αναλογίας.
(3) Στον Τίμαιο ο Πλάτων χρειάζεται για την κατασκευή των Αρχικών σωμάτων ένα Στοιχειώδες τετράγωνο και ένα Στοιχειώδες ισόπλευρο τρίγωνο. Αυτά πάλι σχηματίζονται από δύο διαφορετικά είδη υποστοιχειωδών τριγώνων - από το ήμισυ τετραγώνου, υλοποίηση της V2, και από το ήμισυ ισοπλεύρου τριγώνου, υλοποίηση της V3, αντίστοιχα. Πολλές συζητήσεις προκάλεσε το ερώτημα γιατί επιλέγει αυτά τα δύο υποστοιχειώδη τρίγωνα και όχι κατ’ ευθείαν το Τετράγωνο και το Ισόπλευρο τρίγωνο· επίσης και ένα δεύτερο ερώτημα - βλ. στο μέρος με αριθμό (4), πιο κάτω - γιατί σχηματίζει κάθε Στοιχειώδες τετράγωνό του από τέσσερα υποστοιχειώδη ημίση τετραγώνου, και όχι από δύο, και κάθε Στοιχειώδες Ισόπλευρο τρίγωνό του από έξι υποστοιχειώδη ημίση ισοπλεύρου τριγώνου, και όχι από δύο. (Βλ. τα Σχήματα 6 και 7.)
Σχετικά με το πρώτο από τα δύο αυτά ερωτήματα, φαίνεται να έχει γενικά αγνοηθεί ότι ο Πλάτων, που τόσο φλογερό ενδιαφέρον είχε για το πρόβλημα της ασυμμετρίας, ποτέ δεν θα επιχειρούσε να εισαγάγει τους δύο ασυμμέτρους, τη V2 και τη V3 (που αυτή την αναφέρει και ρητά στο 54b), αν αυτό που τον απασχολούσε δεν ήταν να εισαγάγει στο κοσμικό του σύστημα, ως στοιχεία μη παραπέρα αναγώγιμα, αυτούς ακριβώς τους ασυμμέτρους. (Ο Cornford, Plato’s Cosmology, Λονδίνο, 1937, σελ. 214 και 231 κ.εξ., εξετάζει διά μακρών τα δύο αυτά ερωτήματα, αλλά η κοινή και για τα δύο λύση που προσφέρει - η δική του«υπόθεση», όπως τη λέει στη σελ. 234 - δεν μου φαίνεται και τόσο αποδεκτή· αν ήθελε ο Πλάτων να δημιουργήσει κάποια «κλιμάκωση» σαν αυτή που εξετάζει ο Cornford - ας σημειωθεί ότι δεν δίνει καμιά νύξη ο Πλάτων πως υπάρχει οτιδήποτε μικρότερο από ό,τι ο Cornford ονομάζει “Βαθμίδα Β” - θα ήταν αρκετό να διαιρέσει στα δύο τις πλευρές των Στοιχειωδών τετραγώνων και των Ισοπλεύρων τής “Βαθμίδας Β”, όπως την ονομάζει ο Cornford, και να κατασκευάσει το καθένα από αυτά με τέσσερα στοιχειώδη σχήματα που δεν θα εμπεριείχαν ασύμμετρα μεγέθη.) Αν όμως αυτό που απασχολούσε τον Πλάτωνα ήταν να εισαγάγει στο κοσμικό σύστημα αυτά τα ασύμμετρα μεγέθη ως πλευρές υποστοιχειωδών τριγώνων, από τη σύνθεση των οποίων να σχηματίζεται οτιδήποτε άλλο, πρέπει τότε να πίστευε ότι με αυτό τον τρόπο μπορούσε να λύσει ένα πρόβλημα· και αυτό το πρόβλημα φρονώ ότι ήταν «Ποια η φύση (των συμμέτρων και) των ασυμμέτρων» (Νόμοι 820c [:Τά των μετρητών τε και άμετρων πρός άλληλα ήτινι φύσει γέγονεν]). Είναι σαφές ότι αυτό το πρόβλημα ήταν εξαιρετικά δύσκολο να λυθεί με βάση μια κοσμολογία που χρησιμοποιούσε οποιουδήποτε είδους έννοιες ατόμων, αφού οι ασύμμετροι δεν είναι πολλαπλάσια κάποιας μονάδας με την οποία μπορούν να μετρούνται οι ρητοί· αν όμως οι ίδιες οι μετρικές μονάδες εμπεριέχουν στις πλευρές τους «άρρητους λόγους» [ασύμμετρα μεγέθη], τότε το μέγα παράδοξο είναι δυνατόν να λυθεί· γιατί τότε μπορούν να μετρού- νται με αυτές και τα δύο [είδη μεγεθών] και η ύπαρξη των ασυμμέτρων παύει πια να είναι κάτι ασύλληπτο ή, αλλιώς, «άρρητο».
Αλλά γνώριζε ο Πλάτων ότι υπάρχουν και άλλοι ασύμμετροι πέρα από τη V2 και τη V3, διότι στον Θεαίτητο κάνει λόγο για ανακάλυψη άπειρης σειράς άρρητων τετραγωνικών ριζών [147d7-8: έπειδη άπειροι το πλήθος αΐ δυνάμεις έφαίνοντο] (και μιλάει επίσης, στο 148b, για «παρόμοιες σκέψεις και γύρω από τα στερεά» [και περί τα στερεά άλλο τοιοϋτον], χωρίς να αναφέρεται αυτό απαραίτητα σε κυβικές ρίζες, αλλά μπορεί να αναφέρεται στη διαγώνιο του κύβου, δηλ. στη V3)· ακόμα λέει, στον Ιππία μείξονα (303b-c· πρβλ. Heath, ίδιο έργο, σελ. 304), ότι με πρόσθεση [ἀρρήτων] ασυμμέτρων (ή άλλη πράξη) μπορεί να προκόψουν άλλοι [ἀρρητοι] ασύμμετροι (αλλά μπορεί και ρητοί - πιθανόν υπονοείται π.χ. ο 2 μείον V2, που είναι άρρητος· διότι ο ίδιος αυτός συν V2 δίνει φυσικά ρητό). Με όλα αυτά τα περιστατικά μπροστά μας γίνεται φανερό ότι αν ο Πλάτων ήθελε να λύσει το πρόβλημα των ασυμμέτρων [ἀρρήτων] εισάγοντας τα στοιχειώδη τρίγωνά του, πρέπει να σκέφτηκε ότι όλοι οι ασύμμετροι [ἄρρητοι] (ή τουλάχιστον τα πολλαπλάσιά τους) μπορούν να σχηματιστούν με πρόσθεση (α) μονάδων (β) της V2· (γ) της V3· και πολλαπλασίων τους. Αυτό βέβαια θα ήταν λάθος, αλλά έχουμε κάθε λόγο να πιστεύουμε ότι εκείνη την εποχή δεν υπήρχε απόδειξη που να το αναιρεί· και η πρόταση ότι μόνο δύο ειδών στοιχειώδη άτομα ασυμμέτρων υπάρχουν - οι διαγώνιοι των τετραγώνων και οι διαγώνιοι των κύβων - και ότι όλοι οι άλλοι ασύμμετροι [ἄρρητοι] είναι ρητοί σε σχέση με (α) τη μονάδα· (β) τη V2· και (γ) τη V3 έχει κάποιο βαθμό ευλογοφάνειας, αν σκεφτούμε τον συσχετικό χαρακτήρα της ασυμμετρίας. (Εννοώ ότι εξίσου δικαιολογημένα μπορούμε να πούμε ότι άρρητη είναι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά τη μονάδα ή ότι άρρητη είναι η πλευρά τετραγώνου με διαγώνιο τη μονάδα. Και δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι ο Ευκλείδης, στο 10ο Βιβλίο, στον ορισμό 2, χαρακτηρίζει ακόμα όλες [;] τις ασύμμετρες τετραγωνικές ρίξες «σύμμετρες μέσω των τετραγώνων τους».) Μπορεί λοιπόν θαυμάσια ο Πλάτων να πίστευε σ’ αυτή την πρόταση, και χωρίς να μπορεί να έχει πιθανόν στη διάθεσή του έγκυρη ενισχυτική απόδειξη της εικασίας του. (Αναιρετική απόδειξη δόθηκε κατά τα φαινόμενα πρώτη φορά από τον Ευκλείδη.) Αναμφισβήτητα πάντως αναφορά σε κάποια αναπόδεικτη εικασία υπάρχει στο χωρίο ακριβώς του Τίμαιου, όπου ο Πλάτων εξηγεί για ποιον λόγο επέλεξε τα υποστοιχειώδη τρίγωνα, διότι λέει εκεί (Τίμαιος 53c/d):
Όλα τα τρίγωνα προέρχονται από δύο, που το καθένα έχει μία ορθή γωνία ... από τα τρίγωνα αυτά το ένα {το ήμισυ τετραγώνου} έχει σε κάθε πλευρά του από μισή ορθή γωνία ... και πλευρές ίσες· το άλλο {το σκαληνό}... έχει πλευρές άνισες. Αυτά τα δύο δεχόμαστε υποθετικά ως πρώτες αρχές ... σύμφωνα με μια λογική πορεία που συνδυάζει πιθανοφάνεια {ή αλλιώς, πιθανή εικασία} και αναγκαιότητα {απόδειξη}. Αρχές άλλες παραπέρα από αυτές είναι γνωστές μόνο στους ουράνιους και σε όποιον άνθρωπο τούς είναι προσφιλής.
[Τά δέ τρίγωνα πάντα ἐκ δυοῖν ἄρχεται τριγώνοιν, μίαν μέν ὀρθήν ἔχοντος ἑκατέρου γωνίαν, τάς δέ ὀξείας· ὧν τό μέν ἕτερον ἑκατέρωθεν ἔχει μέρος γωνίας ὀρθῆς πλευραῖς ἴσαις διηρημένης, τό δ’ ἕτερον ἀνίσοις ἄνισα μέρη νενεμημένης. ταύτην δή πυρός ἀρχήν καί τῶν ἄλλων σωμάτων ὑποτιθέμε- θα κατά τόν μετ’ ἀνάγκης εἰκότα λόγον πορευόμενοι· τάς δ’ ἔτι τούτων ἀρχάς ἄνωθεν θεός οἶδεν καί ἀνδρῶν ὅς ἄν ἐκείνῳ φίλος ᾖ.]
Και πιο κάτω, αφού εξηγεί ότι υπάρχουν απειράριθμα είδη σκαληνών τριγώνων και από αυτά πρέπει να επιλεχθεί “τό κάλλιστον”, και αφού δηλώσει ότι επιλέγει το ήμισυ του ισοπλεύρου ως το κάλλιστον, λέει ο Πλάτων (Τίμαιος 54a/b· ο Cornford χρειάστηκε να προτείνει διόρθωση στο κείμενο προκειμένου να το προσαρμόσει στη δική του ερμηνεία· πρβλ. τη σημείωση 3 στη σελίδα του 214): «Ο λόγος απαιτεί μακρά εξήγηση· αν όμως κάποιος υποβάλει το θέμα σε έλεγχο και ανακαλύψει κάποτε ότι αυτό το ιδίωμα έχει, τότε δικό του θα είναι το έπαθλο με όλη μας τη φιλική διάθεση» [διότι δέ, λόγος π λείων- άλλα τω τοϋτο έλέγξαντι και άνευρόντι δη οϋτως έχον κείται φίλια τα άθλα.] Ο Πλάτων δεν επεξηγεί τί σημαίνει «αυτό το ιδίωμα»· πρέπει να είναι μία (αποδείξιμη ή απορρίψιμη) μαθηματική ιδιότητα που θα δικαιολογεί γιατί, μετά την επιλογή του τριγώνου που υλοποιεί τη V2, το κάλλιστον είναι να επιλεχθεί εκείνο που υλοποιεί τη ν"3· και νομίζω ότι, αν ακολουθήσουμε την παραπάνω σειρά σκέψεων, η ιδιότητα που είχε στον νου του ήταν η υποτιθέμενη συσχετική συμμετρία των άλλων ασυμμετρών, σε σχέση εννοείται με τη μονάδα και με τις τετραγωνικές ρίζες τού δύο και του τρία.
(4) Ένας πρόσθετος λόγος υπέρ της ερμηνείας μας, που όμως γι’ αυτόν πια δεν βρίσκω τεκμηρίωση στο πλατωνικό κείμενο, μπορεί ίσως να προκύπτει από την εξής σκέψη. Είναι αξιοπερίεργο ότι το άθροισμα V2 + V3 είναι με μεγάλη προσέγγιση ίσον με jr. (Πρβλ. Ε. Borel, Space and Time, Λονδίνο, 1926, ανατύπωση 1960, σελ. 216· ο W. Marinelli, με άλλη ευκαιρία, μού επέστησε την προσοχή σ’ αυτό.) Η επιπλέον διαφορά που έχει είναι μικρότερη από 0,0047, δηλ. κάτω του 1V2 τοις χιλίοις τού π, και εκείνη την εποχή μεγαλύτερη προσέγγιση στον π πολύ δύσκολο να ήταν γνωστή. Κάποιου είδους εξήγηση γι’ αυτό το αξιοπερίεργο είναι ότι ο αριθμητικός μέσος όρος των εμβα- δών τού περιγεγραμμένου σε κύκλο εξαγώνου και του εγγεγραμμένου οκταγώνου δίνει με αρκετά μεγάλη προσέγγιση το εμβαδόν του κύκλου. Όπως φαίνεται λοιπόν, ο Βρύσων, από το ένα μέρος, ήξερε να υπολογίζει τους μέσους όρους περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων [σε κύκλο] πολυγώνων (πρβλ. Heath, ίδιο έργο, σελ. 224), ενώ, από το άλλο μέρος, γνωρίζουμε (από τον Ιππία μείζονα) ότι ο Πλάτων έδειχνε ενδιαφέρον για την πρόσθεση αρρήτων και, επομένως, πρέπει να είχε βγάλει το άθροισμα V2 + V3. Άρα από δύο δρόμους μπορούσε ο Πλάτων να διαπιστώσει την κατά προσέγγιση ισότητα V2 + V3 - π και από αυτούς ο δεύτερος μοιάζει να ήταν σχεδόν αναπόφευκτος. Φαίνεται εύλογη η υπόθεση ότι ο Πλάτων γνώριζε αυτή την ισότητα, αλλά δεν ήταν σε θέση να γνωρίζει αν επρόκειτο για ισότητα με την αυστηρή έννοια ή μόνο για προσέγγιση. [Το Σχήμα 8 αποδίδει παραστατικά το σκεπτικό αυτής εδώ της παραγράφου.]
Αν είναι έτσι όμως, τότε μπορούμε ίσως να δώσουμε απάντηση στο «δεύτερο ερώτημα» που αναφέρθηκε πιο πάνω, στο μέρος με αριθμό (3), στο ερώτημα, δηλαδή, γιατί ο Πλάτων σχημάτισε το στοιχειώδες τετράγωνό του με τέσσερα υποστοιχειώδη τρίγωνα (ημίση τετραγώνου), και όχι με δύο, και το στοιχειώδες ισόπλευρο τρίγωνό του με έξι υποστοιχειώδη τρίγωνα (ημίση ισοπλεύρου τριγώνου), και όχι με δύο.
Αν κοιτάξουμε τα Σχήματα 6 και 7, θα δούμε ότι αυτός ο τρόπος κατασκευής κάνει εμφανές το κέντρο τού περιγεγραμμένου κύκλου και του εγγεγραμμένου [σ’ αυτόν, για την κάθε περίπτωση, ευθύγραμμου σχήματος}, καθώς και τις ακτίνες του περιγεγραμμένου κύκλου, και για τις δύο περιπτώσεις. (Στην περίπτωση του ισόπλευρου τριγώνου, εμφανής γίνεται και η ακτίνα του εγγεγραμμένου σ’ αυτό κύκλου- αλλά ο Πλάτων είχε φαίνεται στον νου του το κέντρο του περιγεγραμ- μένου κύκλου, αφού σ’ αυτό αναφέρεται όταν, περιγράφοντας τη μέθοδο κατασκευής τού ισόπλευρου τριγώνου, μιλάει για τη «διαγώνιο»· πρβλ. Τίμαιο 54d-e· πρβλ. και 54b.)
Αν λοιπόν κατασκευάσουμε τους δύο αυτούς περιγεγραμμένους κύκλους ή, ακριβέστερα, αν σε κύκλο με ακτίνα r εγγράψουμε το στοιχειώδες τετράγωνο και το στοιχειώδες ισόπλευρο τρίγωνο, θα δούμε ότι το άθροισμα της πλευράς του ενός σχήματος με την πλευρά τού άλλου είναι κατά προσέγγιση γτγ με άλλα λόγια, η πλατωνική κατασκευή μάς υποδεικνύει μία από τις απλούστερες προσεγγιστικές λύσεις στο πρόβλημα του τετραγωνισμού τού κύκλου, όπως γίνεται φανερό από τα τρία σχήματά μας. Με όλα αυτά που έχουμε μπροστά μας, εύκολα μπορεί να συμβαίνει η προαναφερθείσα, στο μέρος (3), εικασία τού Πλάτωνα και η προσφορά τού έπαθλου εκ μέρους του «με κάθε φιλική διάθεση», να ήταν συνυφασμένη όχι μόνο με το γενικό πρόβλημα της συμμετρικότητας των ασυμμέτρων, αλλά και με το πιο ειδικό πρόβλημα αν το άθροισμα V2 + V3 δίνει τη μονάδα τετραγωνισμού τού κύκλου.
Πρέπει να τονίσω άλλη μια φορά ότι δεν μου είναι γνωστή καμιά άμεση μαρτυρία που να φανερώνει ότι έτσι σκεφτόταν ο Πλάτων· αν κοιτάξουμε όμως τις έμμεσες μαρτυρίες που παρατέθηκαν εδώ, τότε η υπόθεσή μας ίσως να μη φαίνεται και τόσο εξεζητημένη. Δεν νομίζω ότι είναι περισσότερο από όσο η υπόθεση του Cornford· και αν μάλιστα είναι αληθινή, θα έδινε και καλύτερη ερμηνεία στα σχετικά κείμενα.
(5) Αν υπάρχει κάποιο νόημα στον ισχυρισμό μας, που αναπτύχθηκε πιο πάνω, στο μέρος (2), ότι η πλατωνική επιγραφή σήμαινε «Η αριθμητική δεν αρκεί- πρέπει να ξέρετε γεωμετρία!», καθώς και στον ισχυρισμό μας ότι αυτή η έξαρση που δίνεται είχε σχέση με την ανακάλυψη της ασυμμετρίας των τετραγωνικών ριζών τού 2 και του 3, τότε θα μπορούσε αυτό να φωτίσει περισσότερο τη Θεωρία των Ιδεών και τις πολυσυζητημένες θεωρήσεις της από τον Αριστοτέλη. Θα εξηγούσε γιατί, μπροστά σ’ αυτή την ανακάλυψη, η πυθαγόρεια άποψη ότι τα πράγματα (οι μορφές, τα σχήματα) είναι αριθμοί και οι ηθικές ιδέες είναι λόγοι αριθμών έπρεπε να εκλείψει - ίσως για να αντικα- τασταθεί, όπως βλέπουμε στον Τίμαιο, από τη διδσκαλία ότι οι στοιχειώδεις μορφές ή, αλλιώς, τα όρια (πέρας- πρβλ. το χωρίο από τον Μένωνα 7 5-7 6a, που προαναφέραμε) ή σχήματα ή ιδέες των πραγμάτων είναι τρίγωνα. Αλλά θα εξηγούσε και γιατί η Ακαδημία να ξανα- γυρίσει μία γενεά αργότερα στην πυθαγόρεια διδασκαλία. Όταν παρήλθε ο κλονισμός από την ανακάλυψη της ασυμμετρίας, οι μαθηματικοί άρχισαν να συνηθίζουν στην ιδέα ότι, παρ’ όλα τα εμπόδια, πρέπει οι άρρητοι να είναι αριθμοί, εφόσον πληρούν τις στοιχειώδεις σχέσεις του μικρότερου και μεγαλύτερου απέναντι στους άλλους (τους ρητούς) αριθμούς. Σ’ αυτό το στάδιο πια εξέλιπαν οι λόγοι κατά του πυθαγορισμού, παρόλο που η θεωρία ότι τα σχήματα είναι αριθμοί Λ λόγοι αριθμών τώρα, μετά την εισδοχή των αρρήτων σήμαινε κάτι άλλο από ό,τι σήμαινε πριν γίνει η εισδοχή (ένα σημείο που οι οπαδοί της ανανεωμένης θεωρίας πιθανόν να μην εκτίμησαν πλήρως).
2 Ο Πλάτων και η γεωμετρία
Η υπόθεση μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: (1) η ανακάλυψη της ασυμμετρίας της τετραγωνικής ρίζας τού δύο, που οδήγησε στην κατάρρευση του πυθαγορικού προγράμματος αναγωγής τής γεωμετρίας και της κοσμολογίας (και όλης τάχα της γνώσης) στην αριθμητική, προκάλεσε κρίση στα ελληνικά μαθηματικά· (2) τα Στοιχεία τού Ευκλείδη δεν είναι εγχειρίδιο γεωμετρίας, αλλά είναι πιο πολύ η τελευταία προσπάθεια της πλατωνικής Σχολής να λύσει την κρίση με μια ολική ανασυγκρότηση των μαθηματικών και της κοσμολογίας σε γεωμετρικές βάσεις, ώστε να αντιμετωπισθεί το πρόβλημα των αρρήτων με τρόπο συστηματικό και όχι περιστασιακά, σε αντίστροφη κατεύθυνση από το πυθαγορικό πρόγραμμα αριθμητικοποίησης· (3) πρώτος ο Πλάτων συνέλαβε το πρόγραμμα που αργότερα έφερε εις πέρας ο Ευκλείδης: πρώτος ο Πλάτων αναγνώρισε την ανάγκη ανασυγκρότησης· αυτός επέλεξε ως νέα βάση τη γεωμετρία και ως νέα μέθοδο τη γεωμετρική μέθοδο της αναλογίας· αυτός κατέστρωσε το πρόγραμμα γεωμετρικοποίησης των μαθηματικών, όπου περιλαμβάνονταν και η αριθμητική, η αστρονομία και η κοσμολογία· και αυτός έγινε ο θεμελιωτής τής γεωμετρικής εικόνας τού κόσμου και, μέσω αυτής, ο θεμελιωτής επίσης της νεότερης επιστήμης — της επιστήμης του Κοπέρνικου, του Γαλιλαίου, του Kepler και του Newton.
Εισηγήθηκα την ιδέα ότι η περίφημη επιγραφή στο υπέρθυρο της πλατωνικής Ακαδημίας (πιο πάνω, Ενότητα 1(2)) ήταν υποδήλωση αυτού του προγράμματος γεωμετρικοποίησης. (Ότι γράφτηκε με την πρόθεση να αναγγείλει μια αντιστροφή του πυθαγόρειου προγράμματος φαίνεται εύλογο όταν φέρουμε στον νου μας τον Αρχύτα, DK [47] Β1.)
Στην προηγούμενη Ενότητα 1 ([μέρος] 2) πρότεινα την ιδέα «ότι ο Πλάτων ήταν ένας από τους πρώτους που ανέπτυξε μία μέθοδο ειδικά γεωμετρική με την επιδίωξη να περισώσει από την κατάρρευση του πυθαγορισμού ό,τι Λίαν δυνατόν να περισωθεί»· και χαρακτήρισα αυτή την πρότασή μου «μια ιστορική υπόθεση με υψηλό βαθμό αβεβαιότητας». Δεν πιστεύω πλέον ότι η υπόθεση είναι τόσο πολύ αβέβαιη. Αντίθετα, αισθάνομαι τώρα ότι από ένα νέο διάβασμα του Πλάτωνα, του Αριστοτέλη, του Ευκλείδη και του Πρόκλου θα αποκόμιζε κανείς όση επιβεβαίωση θα μπορούσε να ελπίζει. Συμπληρωματικά προς τις επιβεβαιωτικές μαρτυρίες που παρατέθηκαν στην προανα- φερόμενη παράγραφο, επιθυμώ να προσθέσω τώρα ότι ήδη ο Γοργίας (451a/b· c· 453e) εκλαμβάνει την ενασχόληση με το «περιττό» και το «άρτιο» ως χαρακτηριστικό έργο τής αριθμητικής, ταυτίζοντας έτσι σαφώς την αριθμητική με την πυθαγορική θεωρία των αριθμών, ενώ παρουσιάζει τον γεωμέτρη ως τον άνθρωπο που υιοθετεί τη μέθοδο των αναλογιών (465b/c). Επιπλέον, στον Γοργία (στο χωρίο 508a που παραθέσαμε) ο Πλάτων δεν μιλάει μόνο για τη γεωμετρική ισότητα, αλλά και διατυπώνει ρητά την αρχή που αργότερα θα την ανέπτυσσε πλήρως στον Τίμαιο: ότι η κοσμική τάξη είναι τάξη γεωμετρική. Εντωμεταξύ, ο Γοργίας αποδεικνύει επίσης ότι η λέξη “άλογος" στη σκέψη του Πλάτωνα δεν συνδέεται με τους ασύμμετρους αριθμούς, αφού στο 465a λέει ότι και μία τεχνική ακόμα ή μία τέχνη δεν πρέπει να είναι άλογος· και αυτό θα ίσχυε ττολλώ μάλλον για μία επιστήμη, όπως η γεωμετρία. Νομίζω ότι μπορούμε απλώς τη λέξη άλογος να τη μεταφράζουμε «μη λογικός». (Πρβλ. και Γοργία 49a/b· και 522e.) Η παρατήρηση αυτή έχει σημασία για την ερμηνεία του τίτλου του μή σωζόμενου έργου του Δημόκριτου, που προαναφέραμε στην Ενότητα 1(2).
3 Η χρονολόγηση του Θεαίτητου
Υπάρχει μία νύξη, «ότι ο Θεαίτητος είναι ίσως (σε αντίθεση με την κρατούσα παραδοχή) προγενέστερος από την Πολιτεία». Ήταν υπόδειξη που μού έκανε ο αείμνηστος Δρ Robert Eisler σε μια συνομιλία μας λίγον καιρό πριν. Αλλά επειδή από τότε δεν μου είπε τίποτε άλλο για την εικασία του παρά μόνο ότι βασιζόταν εν μέρει στον Θεαίτητο 147e κ.εξ. - στο κρίσιμο χωρίο που η χρονολόγησή του μετά την Πολιτεία δεν μου φαινόταν να συμβιβάζεται με τη θεωρία μου - αισθανόμουν ότι δεν υπήρχε επαρκής τεκμηρίωση γι’ αυτή την εικασία και ότι ήταν πολύ περιστασιακή ως δικαιολόγησή μου, ώστε να φορτώσω δημόσια την ευθύνη γι’ αυτήν στον Eisler.
Βρήκα όμως έκτοτε όχι λίγα ανεξάρτητα επιχειρήματα υπέρ μιας πρωιμότερης χρονολόγησης του Θεαίτητου και γι’ αυτό επιθυμώ τώρα να αποδώσω την οφειλόμενη αναγνώριση στον Eisler για την αρχική υπόδειξή του.
Αφότου η Eva Sachs (πρβλ. Socrates, 5, 1917, σελ. 531 κ.εξ.) διαπίστωσε ότι το προοίμιο του Θεαίτητου, στη μορφή που το ξέρουμε, γράφτηκε μετά το 369 πΧ, η παραδοχή για υποτιθέμενο σωκρατικό πυρήνα και για πρώιμη χρονολόγηση του έργου απαιτεί άλλο ένα, το προοίμιο μιας αρχικής μη σωζόμενης έκδοσης, που ο Πλάτων την αναθεώρησε μετά τον θάνατο του Θεαίτητου. Αυτή είναι μια υπόθεση που έχει ανεξάρτητα προταθεί από διάφορους μελετητές και πριν από την ανακάλυψη ενός παπύρου (έκδοσή του από τον Diels, Berliner Klassikertexte, 2, 1905) που περιέχει μέρος κάποιου Υπομνήματος εις Θεαίτητον όπου γίνεται λόγος για δύο διαφορετικές εκδόσεις του διαλόγου. Προς υποστήριξη των δύο υποθέσεων φέρονται τα ακόλουθα επιχειρήματα.
(1) Ορισμένα χωρία τού Αριστοτέλη παρουσιάζουν υπαινιγμούς στον Θεαίτητο: ανταποκρίνονται απόλυτα στο κείμενο του έργου και συγχρόνως βεβαιώνουν ότι οι ιδέες που εκφράζονται σ’ αυτό ανήκουν πιο πολύ στον Σωκράτη και όχι στον Πλάτωνα. Τα χωρία που έχω στον νου μου είναι όσα αποδίδουν στον Σωκράτη την ανακάλυψη της επαγωγής (Μετά τά φυσικά 1078bl7-30· πρβλ. 987bl και 1086b3), που υποδηλώνουν, νομίζω, τη μαιευτική τού Σωκράτη (που γίνεται εκτεταμένη παρουσίασή της στον Θεαίτητο), τη μέθοδο με την οποία βοηθούσε τον μαθητή να αντιληφθεί τον αληθή λόγο της ουσίας κάποιου πράγματος απαλλάσσοντας τη σκέψη του από εσφαλμένες προκαταλήψεις· και επιπλέον όσα χωρία αποδίδουν επίσης στον Σωκράτη τη στάση εκείνη που τόσο ζωηρά εκφράζεται σε πολλά σημεία του Θεαίτητου: «Ο Σωκράτης έθετε ερωτήματα, δεν έδινε απαντήσεις- διότι παραδεχόταν ότι έχει άγνοια» (Περί σοφιστικών ἐλέγχων 183b7 [:Σωκράτης ἠρώτα, ἀλλ’ οὐκ ἀπεκρίνετο· ὡμολόγει γάρ οὐκ εἰδέναι]). (Τα χωρία αυτά εξετάζονται πλατύτερα πιο κάτω, στην Ενότητα 5, καθώς και στο Δοκίμιο 10, Ενότητες IV-VII.)
(2) Ο Θεαίτητος έχει το εκπληκτικό ότι τελειώνει χωρίς κανένα συμπέρασμα, έστω και αν αποκαλύπτεται ότι έτσι σχεδιάστηκε και προετοιμάζεται γι’ αυτό σχεδόν από την αρχή. (Στην πραγματικότητα, ως απόπειρα για μία λύση τού προβλήματος της γνώσης, κάτι που ολοφάνερα επιχειρεί, ο ωραίος αυτός διάλογος είναι μια τέλεια αποτυχία.) Αλλά ανάλογου είδους τελείωμα χωρίς κανένα συμπέρασμα είναι γνωστό χαρακτηριστικό αρκετών πρώιμων διαλόγων.
(3) Το «Γνώριζε τον εαυτό σου» [γνώθι σαυτόν] ερμηνεύεται, όπως και στην Απολογία, «Γνώριζε πόσο λίγα γνωρίζεις». Στην τελική, ομιλία του ο Σωκράτης λέει:
Έπειτα από αυτά, Θεαίτητε, ... θα είσαι λιγότερο τραχύς και πιο ήπιος απέναντι στους συνεργάτες σου, διότι θα έχεις την αυτοεπίγνωση να μη νομίζεις ότι γνωρίζεις κάτι που δεν γνωρίζεις. Τόσα μπορεί η τέχνη μου [η μαιευτική] να επιτύχει- ούτε γνωρίζω τίποτε από όσα γνωρίζουν οι άλλοι.
[... μετά ταῦτα, ὦ Θεαίτητε, ... ᾖττον ἔσῃ βαρύς τοῖς συνοῦσι και ἡμερότερος σωφρόνως οὐκ οἰόμενος εἰδέναι ἅ μή οἶσθα. Τοσοῦτον γάρ μόνον ἡ ἐμή τέχνη δύναται, πλέον δέ οὐδέν, οὐδέ τι οἶδα ὧν οἱ ἄλλοι...]
(4) Ότι το κείμενο που έχουμε είναι μια δεύτερη έκδοση αναθεωρημένη από τον Πλάτωνα, φαίνεται εύλογο, ιδίως αν λάβουμε υπόψη ότι το εισαγωγικό μέρος τού διαλόγου (από το 142a ως το τέλος τού 143c), που κάλλιστα θα μπορούσε να έχει προστεθεί ως εγκώμιο στη μνήμη ενός μεγάλου ανδρός, όπως είναι διαμορφωμένο έρχεται σε αντίφαση με ένα χωρίο τού διαλόγου, το οποίο παρά την αναθεώρηση θα επιβίωσε από την αρχική έκδοση του έργου· εννοώ το τέλος του, που όπως σε πολλούς πρώιμους διαλόγους, αναφέρεται στη δίκη τού Σωκράτη ως επικείμενη. Η αντίφαση έγκειται στο ότι ο Ευκλείδης, ο οποίος εμφανίζεται στο εισαγωγικό μέρος ως το πρόσωπο που αφη- γείται πώς κατέγραψε έναν πραγματικό διάλογο, λέει (142c-d,143a) ότι πήγε και ήρθε πολλές φορές στην Αθήνα (από τα Μέγαρα, εννοείται) και κάθε φορά είχε την ευκαιρία να ελέγχει τα χειρόγραφά του με τη βοήθεια του Σωκράτη και να κάνει εδώ και εκεί «διορθώσεις». Είναι σαν να μάς λέει ότι με τέτοιο τρόπο που καταγράφτηκε ο διάλογος, πρέπει να είχε διεξαχθεί αρκετούς μήνες τουλάχιστον πριν τη δίκη και τον θάνατο του Σωκράτη· κάτι που δεν συμφωνεί όμως με το τέλος τού διαλόγου. (Καθόλου λόγος δεν έχω δει να γίνεται γι’ αυτό το ζήτημα, αλλά δεν μπορώ να φανταστώ ότι δεν το έχει αντιμετωπίσει κάποιος πλατωνιστής.) Είναι ενδεχόμενο επίσης η αναφορά σε «διορθώσεις», στο 143a, και η πολυσυζητημένη έκθεση του «νέου εκφραστικού ύφους» στο 143b-c (βλ. π.χ. C. Ritter, Platon, τόμ. I, Μόναχο, 1910, σελ. 220 κ,εξ.) να έχουν παρεμβληθεί για αιτιολόγηση κάποιων αποκλίσεων της αναθεωρημένης έκδοσης από την αρχική έκδοση του έργου. (Αυτό θα συνηγορούσε για πιθανή τοποθέτηση της αναθεωρημένης έκδοσης αργότερα και από τον Σοφιστή.)
4 Περί των πηγών τής γνώσεως καν της αγνωσίας
Αποφασιστικός είναι ο ρόλος τού Πλάτωνα στην προϊστορία της διδασκαλίας του Descartes για τη θεϊκή αυτοαλήθεια - veracitas dei - κατά την οποία η ενορατική μας νόηση δεν μας απατά, διότι ο Θεός είναι η αυτοαλήθεια και δεν είναι δυνατόν να μας εξαπατήσει· ή, με άλλα λόγια, ότι η νόησή μας αποτελεί πηγή γνώσης, επειδή ο Θεός είναι πηγή γνώσης. Αυτή η διδασκαλία έχει μακρά ιστορία που εύκολα μπορεί να αναχθεί τουλάχιστον ως τον Όμηρο και τον Ησίοδο.
Για μας σήμερα, το έθος να αναφέρει κανείς τις πηγές του φαίνεται φυσικό για ένα φιλόλογο ή έναν ιστορικό και ίσως μάς εκπλήσσει λίγο που βρίσκουμε ότι το έθος αυτό ξεκινάει από τους ποιητές· αλλά αυτή είναι η αλήθεια. Οι Έλληνες ποιητές δηλώνουν τις πηγές τής γνώσης τους. Οι πηγές τους είναι θεϊκές. Είναι οι Μούσες. «Οι Έλληνες βάρδοι», παρατηρεί ο Gilbert Murray
οφείλουν πάντοτε στις Μούσες, όχι μόνο αυτό που εμείς έμελλε να ονομάσουμε την έμπνευσή τους, αλλά και την καθαυτό γνώση τους για τα καθέκαστα. Οι Μούσες «είναι (σε όλα) παρούσες και γνωρίζουν τα πάντα» ... Ο Ησίοδος πάντα δηλώνει ότι για τη γνώση του εξαρτάται από τις Μούσες. Αναγνωρίζει και άλλες πηγές γνώσης.... Τις πιο πολλές φορές όμως συμβουλεύεται τις Μούσες. ...το ίδιο κάνει και ο Όμηρος, για θέματα όπως ο Κατάλογος των στρατιωτικών δυνάμεων των Ελλήνων [νεών κατάλογος].
Όπως δείχνει αυτό το παράθεμα, έθος των ποιητών ήταν να επαγγέλλονται όχι μόνο έμπνευση θεϊκή, αλλά και θεϊκές πηγές γνώσης — θεϊκούς εγγυητές της αλήθειας των αφηγήσεών τους.
Και τις δύο ακριβώς επαγγελίες προέβαλλαν και οι φιλόσοφοι Ηράκλειτος και Παρμενίδης. Ο Ηράκλειτος, όπως φαίνεται, έβλεπε τον εαυτό του ως προφήτη που «εκφράζεται με στόμα παράφορο ... συνεπαρμένος από τον θεό» — από τον Δία, την πηγή κάθε σοφίας [<φθέγγεται> μαινομένω στόματι ... διά τον Θεόν]. Και μπορούμε να πούμε σχεδόν ότι ο Παρμενίδης αποτελεί τον ελλείποντα κρίκο μεταξύ Ομήρου ή Ησιόδου, από τη μια, και του Descartes από την άλλη. Οδηγητικό άστρο του και εμπνεύστριά του είναι η θεά Δίκη, που χαρακτηρίζεται από τον Ηράκλειτο φρουρός τής αλήθειας. Ο Παρμενίδτις την περιγράφει ως την φύλακα και κλειδοκράτειρα της αλήθειας και ως την πηγή όλης τής γνώσης. Αλλά ο Παρμενίδης και ο Descartes έχουν και άλλα κοινά εκτός από τη διδασκαλία για τη θεϊκή αυτοαλήθεια. Επί παραδείγματι, στον Παρμενίδη λέει η θεϊκή του εγγυήτρια της αλήθειας ότι, προκειμένου να διακρίνει την αλήθεια από το ψεύδος, πρέπει να εμπιστεύεται μόνο τη νόησή του και να απέχει από τις αισθήσεις της όρασης, της ακοής και της γεύσης. Ακόμα και η βασική αρχή τής φυσικής του θεωρίας, την οποία, όπως και ο Descartes, θεμελιώνει πάνω στη νοησιοκεντρική του γνωσιοθε- ωρία, είναι ίδια με αυτή που υιοθετεί ο Descartes: το αδύνατο της ύπαρξης κενού, η αναγκαιότητα να είναι ο κόσμος πλήρης.
Στον Ίωνα ο Πλάτων κάνει μια διάκριση μεταξύ θεϊκής έμπνευσης —της θείας μανίας του ποιητή - και θεϊκών πηγών ή απαρχών της αληθινής γνώσης. (Το ίδιο θέμα αναπτύσσεται πλατύτερα στον Φαίδρο, από το 259e και πέρα ιδίως· και ακόμα, στο 275c-d, ο Πλάτων, όπως μου επεσήμανε ο Harold Cherniss, επίμονα διακρίνει τα ζητήματα προέλευσης από τα ζητήματα αλήθειας.) Ο Πλάτων αναγνωρίζει ως δεδομένο ότι οι ποιητές έχουν την έμπνευση, αλλά τους αρνείται οποι- αδήποτε θεϊκή αυθεντία που δήθεν τούς παρέχει γνώση για τα καθέκαστα. Ωστόσο, η διδασκαλία για θεϊκές πηγές της γνώσης παίξει αποφασιστικό ρόλο στην περίφημη πλατωνική θεωρία της ανάμνησης, που ως ένα βαθμό απονέμει σε κάθε άνθρωπο ένα κλήρο από τις θεϊκές πηγές τής γνώσης. (Η γνώση που αυτή η θεωρία πραγματεύεται είναι γνώση τής ουσίας ή της φύσης κάποιου πράγματος και όχι γνώση ενός επιμέρους ιστορικού γεγονότος.) Κατά τον πλατωνικό Μένωνα (81b-d) δεν υπάρχει τίποτε που η αθάνατη ψυχή μας δεν γνωρίζει πριν από τη γέννησή μας. Διότι όπως οι φύσεις όλων των ειδών είναι ομογενείς και συγγενεύουν μεταξύ τους, πρέπει και η ψυχή μας να συγγενεύει με όλες τις φύσεις. Κατά συνέπεια, τις γνωρίζει όλες: γνωρίζει δηλαδή τα πάντα. Με τη γέννησή μας ξεχνάμε καθετί· μπορούμε όμως να ανακτήσουμε τη μνήμη και τη γνώση μας, αλλά μόνο εν μέρει: μόνο όταν ξαναντικρίζουμε την αλήθεια, την αναγνωρίζουμε. Επομένως, όλη η γνώση είναι ανα-γνώριση - ανάκληση ή ανάμνηση της ουσίας ή της αληθινής φύσης, που κάποτε γνωρίζαμε.
Αυτή η θεωρία συνυπονοεί ότι η ψυχή μας βρίσκεται σε θεϊκή κατάσταση παγγνωσίας, ενόσω παραμένει και συμμετέχει σε ένα θεϊκό κόσμο ιδεών ή ουσιών ή φύσεων, πριν από τη γέννησή μας. Η γέννηση είναι έκπτωση του ανθρώπου από τη χάρη· είναι η έκπτωσή του από μια φυσική ή θεϊκή κατάσταση γνώσης· και άρα είναι η απαρχή και η αιτία της αγνωσίας του. (Εδώ μπορεί να βρίσκεται το σπέρμα της ιδέας ότι η αγνωσία είναι αμαρτία ή τουλάχιστον ότι έχει σχέση με την αμαρτία.)
Είναι σαφές ότι υπάρχει στενή σύνδεση ανάμεσα σ’ αυτή τη θεωρία τής άναμνήσεως και στη διδασκαλία για θεϊκή προέλευση ή πηγή τής γνώσης μας. Συγχρόνως, υπάρχει στενή σύνδεση επίσης ανάμεσα στη θεωρία της άναμνήσεως και της διδασκαλίας για την αυτοπρόδηλη αλήθεια: αν έστω και στην εξαχρειωμένη κατάσταση της λήθης αντικρίσουμε την αλήθεια, δεν είναι δυνατόν να μη την αναγνωρίσουμε ότι είναι η αλήθεια. Ως αποτέλεσμα της άναμνήσεως λοιπόν η αλήθεια αποκαθίσταται στη μορφή που είναι αλησμόνητη και μένει άρα έξω από τη λήθη (αληθής): αυτό θα πει αυτοπρόδηλη.
Ο Σωκράτης το αποδεικνύει αυτό σε ένα ωραίο χωρίο τού Μένωνα, όπου υποβοηθεί έναν αμόρφωτο νεαρό δούλο να «αναπλάσει» την απόδειξη μιας ειδικής περίπτωσης του πυθαγόρειου θεωρήματος. Αυτή είναι ακριβώς μια αισιόδοξη επιστημολογία και η ρίζα τού καρτεσιανισμού. Φαίνεται ότι στον Μένωνα ο Πλάτων είχε τη συναίσθηση του έντονα αισιόδοξου χαρακτήρα τής θεωρίας του- διότι την παρουσιάζει ως διδασκαλία που ξυπνά στον άνθρωπο τη διάθεση να γνωρίζει, να ερευνά, να ανακαλύπτει.
Ο Πλάτων πρέπει να μετέπεσε όμως σε απογοήτευση· διότι στην Πολιτεία (επίσης και στον Φαίδρο) βρίσκουμε τις απαρχές μιας απαισιόδοξης επιστημολογίας. Στην περίφημη περιγραφή τού σπηλαίου με τους δεσμώτες (514 κ.εξ.) μάς δείχνει ότι ο κόσμος της εμπειρίας μας είναι μόνο μια σκιά, μια αντανάκλαση του πραγματικού κόσμου. Και δείχνει ότι και αν ακόμα κάποιος από τους δεσμώτες δραπέτευε από το σπήλαιο και αντίκριζε τον πραγματικό κόσμο, θα είχε σχεδόν αξεπέραστες δυσκολίες να βλέπει τον κόσμο και να τον κατανοεί — χώρια από τις δυσκολίες που θα είχε να τον κάνει κατανοητό και σε εκείνους που έμειναν στη σπηλιά. Οι δυσκολίες στην πορεία για κατανόηση του πραγματικού κόσμου είναι κάτι το σχεδόν υπεράνθρωπο και μόνο οι ελάχιστοι, αν υπάρξουν, μπορούν να φτάσουν στη θεϊκή κατάσταση της κατανόησης του πραγματικού κόσμου — στη θεϊκή κατάσταση της αληθινής γνώσης, της έπιστήμης.
Αυτή είναι μια θεωρία απαισιόδοξη σχεδόν για όλους, όχι όμως για όλους. (Διότι διδάσκει ότι η αλήθεια είναι προσιτή σε λίγους — στους εκλεκτούς. Γι’ αυτούς είναι, θα μπορούσαμε να πούμε, πιο επίμονα αισιόδοξη από όσο είναι ακόμα και η θεωρία ότι η αλήθεια είναι αυτοπρόδηλη.) Οι αυταρχικές και παραδοσιοκρατικές συνέπειες της απαισιόδοξης θεωρίας αναπτύσσονται πλήρως στους Νόμους.
Στον Πλάτωνα επομένως συναντάμε την πρώτη μετάβαση από μια αισιόδοξη, σε μια απαισιόδοξα επιστημολογία. Καθεμιά αποτελεί τη βάση για μία από τις εξής δύο διαμετρικά αντίθετες φιλοσοφίες τού κράτους και της κοινωνίας: για έναν αντιπαραδοσιακό, αντιαυταρχικό, επαναστατικό και ουτοπικό ορθολογισμό καρτεσιανού τύπου, από τη μια, και για μία αυταρχική παραδοσιοκρατία, από την άλλη.
Η εξέλιξη αυτή μπορεί κάλλιστα να συνδέεται με το ότι η ιδέα μιας επιστημολογικής πτώσης τού ανθρώπου είναι δυνατόν να ερμηνευτεί όχι μόνο με την έννοια της αισιόδοξης διδασκαλίας τής άναμνήσεως, αλλά και με απαισιόδοξη έννοια.
Κατά τη δεύτερη αυτή ερμηνεία, η πτώση του ανθρώπου καταδικάζει όλους τους θνητους - ή σχεδόν όλους - στην αγνωσία. Μπορούμε νομίζω στην περιγραφή του σπηλαίου (ίσως και στην αφήγηση για την πτώση τής πολιτείας όταν παραμελούνται οι Μούσες και τα διδάγματά τους) να διακρίνουμε τον απόηχο από μια ενδιαφέρουσα παλαιότερη μορφή αυτής της ιδέας. Έχω στον νου μου τη διδασκαλία τού Παρμενίδη ότι οι δοξασίες των θνητών είναι αυταπάτες και έχουν την αιτία τους σε μία παραπλανημένη επιλογή - μια παραπλανημέ- νη σύμβαση. (Και αυτό μπορεί να ξεκινά από τη διδασκαλία τού Ξενοφάνη ότι όλη η ανθρώπινη γνώση είναι ένα πλέγμα από εικασίες και ότι και οι ίδιες του οι θεωρίες είναι, στην καλύτερη περίπτωση, απλώς όμοιες με την αλήθεια. Η παραπλανημένη σύμβαση είναι σύμβαση γλωσσική: συνίσταται στην απόδοση ονομάτων σε ανύπαρκτα. Η ιδέα μιας επιστημολογικής πτώσης τού ανθρώπου μπορεί επίσης να ανιχνευτεί, όπως υπέδειξε ο Karl Reinhardt, στα λόγια τής θεάς που σηματοδοτούν τη μετάβαση από τον δρόμο τής αλήθειας στον δρόμο τής απατηλής δοξασίας.
Αλλά γρήγορα θα μάθεις πώς έγινε και η απατηλή αυτή δοξασία, που ήταν γραφτό να περνάει για αληθινή, βίαια εισχώρησε σε όλα τα πράγματα.
τώρα γι’ αυτό το σύμπαν, έτσι διακοσμημένο ώστε σε όλα με την αλήθεια να φαίνεται όμοιο, θα σου μιλήσω· κι εσύ επομένως ποτέ πια δεν θα καταπτοηθείς από των θνητών
τις αντιλήψεις.
[ἀλλ’ ἔμπης καί ταῦτα μαθήσεαι, ὡς τά δοκοῦντα
χρῆν δοκίμως εἶναι διά παντός πάντα περῶντα.
τόν σοι ἐγώ διάκοσμον ἐοικότα πάντα φατίζω,
ὡς οὐ μή ποτέ τίς σε βροτῶν γνώμη παρελάσςῃ.]
Άρα, ενώ η πτώση επηρεάζει όλους τους ανθρώπους, η αλήθεια μπορεί και αποκαλύπτεται στους εκλεκτούς με μια πράξη χάριτος - ακόμα και η αλήθεια για τον μη πραγματικό κόσμο των πλανών και των δοξασιών, των συμβατικών αντιλήψεων και αποφάσεων των θνητών ανθρώπων: τον μη πραγματικό κόσμο της φαινομενικότητας, που ήταν μοιραίο να γίνει παραδεκτός και να επικροτηθεί σαν αληθινός.
Η αποκάλυψη που δόθηκε στον Παρμενίδη και η πεποίθησή του ότι λίγοι μπορούν να κατακτήσουν τη βεβαιότητα και για τον αμετάβλητο κόσμο της αιώνιας πραγματικότητας και για τον μη πραγματικό και μεταβαλλόμενο κόσμο της ομοιαλήθειας και της απάτης, ήταν δύο από τις κύριες αφορμές φιλοσοφικής έμπνευσης του Πλάτωνα. Στο θέμα αυτό αδιάκοπα ξαναγύριξε, ταλαντευόμενος μεταξύ ελπίδας, απελπισίας και παραίτησης.
5 Η μαιευτική τέχνη της σωκρατικής κριτικής έναντι της αριστοτελικής επαγωγής
Όμως αυτό που μας ενδιαφέρει εδώ είναι η αισιόδοξη επιστημολογία του Πλάτωνα, η θεωρία της άναμνήσεως του Μένωνα. Αυτή, πιστεύω, περιέχει όχι μόνο τα σπέρματα του νοησιοκεντρισμού τού Descartes, αλλά και τα σπέρματα των θεωριών της επαγωγής τού Αριστοτέλη και πιο ειδικά τού Bacon.
Διότι ο δούλος του Μένωνα βοηθείται από τα ευμέθοδα ερωτήματα του Σωκράτη να θυμηθεί ή να ανακτήσει τη λησμονημένη γνώση που η ψυχή, του κατείχε στην κατάσταση της παγγνωσίας πριν από τη γέννησή του. Αυτή είναι, πιστεύω, η περίφημη σωκρατική μέθοδος, η τέχνη του μαιευτή, η μαιευτικά, όπως περιγράφεται στον Θεαίτητο, την οποία ο Αριστοτέλης υπονοεί όταν λέει ότι ο Σωκράτης είναι ο ευρετής τής μεθόδου τής επαγωγής.
Ο Αριστοτέλης, το ίδιο και ο Bacon, θέλω να υποστηρίξω, «επαγωγή» εννοούσαν όχι τόσο τη συναγωγή καθολικών νόμων από παρατηρήσεις επιμέρους περιπτώσεων, όσο μία μέθοδο για να φτάνουμε στο σημείο από όπου μπορούμε να έχουμε εποπτεία ή, αλλιώς, άμεση αντίληψη της ουσίας ή της αληθινής φύσης ενός πράγματος. Αλλά, όπως είδαμε, αυτή είναι και η επιδίωξη της μαιευτικής τού Σωκράτη: να μας βοηθήσει ή να μας οδηγήσει να αναμνησϋούμε· και άνάμνησις είναι η δύναμη να αντικρίσουμε την αληθινή φύση ή την ουσία ενός πράγματος, τη φύση ή την ουσία που μας ήταν γνώριμη πριν τη γέννησή μας, πριν εκπέσουμε από τη χάρη. Άρα η επιδίωξη και των δύο, της μαιευτικής και της επαγωγής, είναι ίδια. (Συμβαίνει μάλιστα ο Αριστοτέλης να διδάσκει ότι το αποτέλεσμα μιας επαγωγής - η θέα μιας ουσίας - βρίσκει έκφραση σε έναν ορισμό αυτής της ουσίας.)
Ας δούμε τώρα από πιο κοντά τις δύο μεθοδικές πορείες. Η μαιευτική τέχνη τού Σωκράτη συνίσταται, ουσιαστικά, σε ερωτήματα που τίθενται με σκοπό να διαλύσουν προκαταλήψεις· ψευδείς πίστεις που συχνά είναι πίστεις παραδοσιακές ή του συρμού- ψευδείς απαντήσεις που προβάλλονται με την αγέρωχη βεβαιότητα της αμάθειας. Ο Σωκράτης δεν παριστάνει ότι αυτός ξέρει. Η στάση του είναι όπως τη χαρακτηρίζει ο Αριστοτέλης, όταν λέει, «ο Σωκράτης έθετε ερωτήματα, δεν έδινε απαντήσεις· διότι παραδεχόταν ότι έχει άγνοια.»
Άρα η σωκρατική μαιευτική δεν είναι τέχνη που επιδιώκει να μεταδώσει κάποια πίστη., αλλά να απαλλάξει ή να αποκαθάρει την ψυχή από τις δικές της ψευδείς πίστεις, τη δήθεν γνώση της, τις προκαταλήψεις της. Αυτό το επιτυγχάνει μαθαίνοντάς μας να αμφιβάλλουμε για τις ίδιες τις πεποιθήσεις μας.
Ίδια κατά βάση μεθοδική πορεία αποτελεί μέρος της επαγωγής τού Bacon.
6 Η κοσμολογική, προέλευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας
(1) Θα πρέπει κατ’ αρχήν να πω πόσο χάρηκα τη θαυμάσια ανακοίνωση του καθηγητή Szab0. Η θέση που υποστήριξε, ότι η μέθοδος της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι δανεισμένη από τις διαλεκτικές μεθόδους που εφάρμοζαν οι Ελεάτες φιλόσοφοι, είναι εξαιρετικά ενδιαφέρουσα και πρωτότυπη. Είναι βέβαια σε μεγάλο βαθμό υποθετική, όπως πρέπει να είναι κάθε τέτοια θέση, αν λάβουμε υπόψη την πενιχρή πληροφόρηση που μάς έχει διασωθεί για τις απαρχές τής ελληνικής επιστήμης.
(2) Ο Szabo εξήγησε, μου φαίνεται, μόνο ένα πράγμα για την Ευκλείδεια γεωμετρία, πώς ανακαλύφθηκε η μέθοδος που εφαρμόζεται σ’ αυτή. Το ερώτημα, στο οποίο έδωσε μια δοκιμαστική απάντηση, είναι: «Πώς έφτασε ο Ευκλείδης να υιοθετήσει την αξιωματική μέθοδο στη γεωμετρία;» Θέλω όμως να σημειώσω ότι υπάρχει ένα δεύτερο, ίσως πιο σημαντικό, ερώτημα. Είναι το εξής: «Ποιο ήταν το πρόβλημα της Ευκλείδειας γεωμετρίας;» Ή, για να το διατυπώσω αλλιώς: γιατί αυτό που ο Ευκλείδης τόσο συστηματικά ανέπτυξε ήταν η γεωμετρία;
(3) Τα δύο ερωτήματα είναι διαφορετικά αλλά, πιστεύω, συνδέονται στενά μεταξύ τους. Θα ήθελα μόνο να αναφέρω μία δική μου ιστορική εικασία σχετικά με το δεύτερο αυτό πρόβλημα. Είναι η εξής: Η Ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι μια πραγματεία αφηρημένων, αξιωμα- τικοποιημένων μαθηματικών, αλλά μάλλον μια πραγματεία κοσμολογίας· προτάθηκε ως λύση σε κάποιο πρόβλημα που είχε ανακύψει στην κοσμολογία, το πρόβλημα που τέθηκε με την ανακάλυψη των ασυμμέτρων. Ότι η γεωμετρία είναι η θεωρία που πραγματεύεται τους ασυμμέτρους (σε αντίθεση με την αριθμητική, που πραγματεύεται τους περιττούς και τους άρτιους» επανειλημμένα το τονίζει ο Αριστοτέλης.1
Η ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών κατέστρεψε το πυθαγόρειο πρόγραμμα για την παραγωγή- της κοσμολογίας (και της γεωμετρίας) από την αριθμητική των φυσικών αριθμών. Αυτό το αντιλή- ψθηκε ο Πλάτων και επιζήτησε την αντικατάσταση της αριθμητικής θεωρίας για τον κόσμο με μία γεωμετρική θεωρία για τον κόσμο. Αυτό ακριβώς που έλεγε η περίφημη επιγραφή στο υπέρθυρο της Ακαδημίας του το εννοούσε πράγματι: ότι η αριθμητική δεν ήταν αρκετή και ότι η βασική επιστήμη ήταν η γεωμετρία. Ο Τίμαιός του, σε αντίθεση με την προγενέστερη αριθμητική των ατόμων, περιέχει μια γεωμετρική ατομική θεωρία, όπου όλα τα βασικά στοιχεία των σωμάτων είναι κατασκευασμένα από δύο τρίγωνα που πλευρές τους είναι οι (ασύμμετρες) τετραγωνικές ρίζες τού δύο και του τρία. Ο Πλάτων κληροδότησε αυτό το πρόβλημα στους διαδόχους του και αυτοί το έλυσαν. Τα Στοιχεία τού Ευκλείδη εκπλήρωσαν το πλατωνικό πρόγραμμα, αφού σ’ αυτά η γεωμετρία αναπτύσσεται αυτόνομα, δηλαδή, χωρίς την «αριθμητική» παραδοχή της συμμετρίας ή, αλλιώς, των ρητών λόγων. Στα κοσμολογικά κατά το πλείστον προβλήματα του Πλάτωνα δόθηκε τόσο επιτυχής λύση από τον Ευκλείδη, ώστε τα ίδια ξεχάστηκαν: τα Στοιχεία θεωρήθηκαν το πρώτο εγχειρίδιο καθαρών μαθηματικών κατά την παραγωγική μέθοδο, από μια πραγματεία κοσμολογική, που πιστεύω ότι ήταν.
Σε ό,τι αφορά το πρόβλημα του καθηγητή Szabo, γιατί η αξιωματική μέθοδος εφαρμόστηκε για πρώτη φορά από τον Ευκλείδη, νομίζω ότι μια ανάλυση της κοσμολογικής προϊστορίας τής γεωμετρίας τού Ευκλείδη μπορεί να βοηθήσει τη λύση και αυτού του προβλήματος. Διότι οι μέθοδοι για τη λύση προβλημάτων πολλές φορές κληρονομούνται μαζί με τα προβλήματα. Οι προσωκρατικοί προσπαθούσαν να λύσουν κοσμολογικά προβλήματα και σ’ αυτή την προσπάθειά τους ανακάλυψαν την κριτική μέθοδο και την εφάρμοσαν στους θεωρητικούς διαλογισμούς τους. Ο Παρμενίδης, που ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μεταξύ αυτών των κοσμολόγων, χρησιμοποίησε την ίδια μέθοδο για να καταρτίσει αυτό που υπήρξε ίσως το πρώτο παραγωγικό σύστημα. Μπορεί κανείς να το πει και την πρώτη παραγωγική θεωρία φυσικής - ή την τελευταία προεπιστημονική φυσική θεωρία πριν από τη φυσική των ατομικών, που η θεωρία τους ξεκίνησε με μία ανασκευή της θεωρίας του Παρμενίδη (ιδίως ανασκευή τού συμπεράσματος του ότι κίνηση είναι αδύνατη επειδή ο κόσμος είναι πλήρης).
Τίποτε από τα παραπάνω δεν είναι ασυμβίβαστο με τις απόψεις τού Szabo, ο οποίος ανευρίσκει τις απαρχές τής παραγωγικής μεθόδου στη διαλεκτική μέθοδο των Ελεατών, δηλαδή στην κριτική αντε- ξέταση. Αλλά η σύνδεση με την κοσμολογία προσθέτει μία επιπλέον διάσταση, κατά την άποψή μου απαραίτητη διάσταση, στην ανάλυσή του. Διότι, όπως μού φαίνεται, η οξεία διάκριση ανάμεσα στα μαθηματικά και στις φυσικές επιστήμες με βάση τις διαφορετικές μεθόδους τους ήταν ξένη στους Έλληνες. Ακριβώς η σπουδαία επιτυχία τού Ευκλείδη έφερε αυτή τη διάκριση σε πρωταρχική θέση. Διότι μέχρι τον Ευκλείδη (κατά τη γνώμη μου μάλιστα, μέχρι καί τον Ευκλείδη) τα μαθηματικά και η κοσμολογία των Ελλήνων ήταν, ή πολύ πλησίαζαν να είναι, ένα και το αυτό. Για να κατανοήσουμε πλήρως την ανακάλυψη των «μαθηματικών μεθόδων» πρέπει να μην ξεχνάμε τα κοσμολογικά προβλήματα που εκείνοι προσπάθησαν να λύσουν με τη χρήση αυτών των μεθόδων. Ο Παρμενίδης ήταν κοσμολόγος· και προς υποστήριξη της κοσμολογίας τού Παρμενίδη ανέπτυξε ο Ζήνων τα επιχειρήματά του, τα οποία, όπως τονίζει ο καθηγητής Szabo, εγκαινίασαν τον ειδικά μαθηματικό τρόπο σκέψης των Ελλήνων.
7 Πλάτωνος Τίμαιος 54e-55a
τρίγωνα δέ ἰσόπλευρα συνιστάμενα τέτταρα κατά σύντρεις ἐπιπέδους γωνίας μίαν στερεάν γωνίαν ποιεῖ, ταῆς ἀμβλυτάτης ταῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐφεξῆς γεγονυῖαν.
Η παραπάνω πρόταση είναι η παλαιότερη περιγραφή στερεομετρικής κατασκευής. Όμως δεν έχω βρει μετάφρασή της ή σχόλιο που να μη την παρανοεί.
Η κατασκευή που περιγράφεται είναι η εξής. Παίρνουμε τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα και τα τοποθετούμε έτσι ώστε ανά τρεις εφεξής επίπεδες γωνίες να αθροίζουν 180°, δηλαδή «την πιο μεγάλη αμβλεία επίπεδη γωνία». (Για μεγαλύτερη σαφήνεια σκιάζω το κεντρικό τρίγωνο στο Σχήμα.)
Λυγίζουμε τώρα διαδοχικά δύο από τα μη σκιασμένα τρίγωνα έτσι, ώστε μαζί με το σκιασμένο να σχηματίσουν μία στερεά γωνία. (Άρα, η στερεά γωνία ήταν ίση ή ισοδυναμούσε, στο σύστημα των εφεξής γωνιών, με τη μεγαλύτερη αμβλεία επίπεδη γωνία· και κατασκευάστηκε ως επόμενο βήμα, δηλαδή διαδοχικά, μετά τον σχηματισμό της μεγαλύτερης αμβλείας επίπεδης γωνίας.) Τελικά «όταν δημιουργηθούν τέσσερις τέτοιες {στερεές} γωνίες, έχουμε κατασκευάσει το πρώτο στερεό σχήμα» (55a).
Η παρουσία του διαγράμματος, για το οποίο ο Πλάτων δίνει μια ένδειξη υποτυπώδη, διότι ίσως το υποθέτει πολύ γνωστό, κάνει περιττή κάθε λεπτομερέστερη περιγραφή.
Προτείνω την ακόλουθη μετάφραση:
Ας τοποθετηθούν τέσσερα μαζί ισόπλευρα τρίγωνα έτσι, ώστε ανά τρεις (σύντρεις) εφεξής επίπεδες γωνίες να σχηματίζουν μία στερεά γωνία, που θα είναι η διαδοχική κατασκευή αμέσως μετά τον σχηματισμό της πιο μεγάλης αμβλείας επίπεδης γωνίας.
Το νόημα παραμένει περίπου ίδιο αν (λαμβάνοντας της άμβλυτά- της συντακτικά ως μία, ας πούμε, γενική της αξίας) μεταφράσουμε ως εξής: « ... η οποία, στο σύστημα των εφεξής γωνιών, ήταν ίση {ή ισοδύναμη} με τη μεγαλύτερη αμβλεία επίπεδη γωνία».
Οι συνήθεις παρανοήσεις (π.χ. των Archer-Hind, Bury, Cornford, Taylor), που είναι και σοβαρές, οφείλονται (α) στο ότι δεν γίνεται αντιληπτό ποια είναι η επιδιωκόμενη γεωμετρική κατασκευή και (β) ότι ο όρος έφεξης μεταφράζεται ως «η αμέσως επόμενη κατά σειρά μεγέθους»· που είναι προφανές ότι δεν έχει κανένα νόημα εδώ.
Στον Ευκλείδη ή έφεξης γωνία σημαίνει γωνία που έχει κοινή πλευρά και κορυφή με άλλη γωνία. Παρόλο ότι ο πρώτος από τους δύο τρόπους απόδοσης που προτείνω φαίνεται ευκολότερος, η ορολογία τού Ευκλείδη υποδεικνύει, νομίζω, ότι μπορεί ένας τρόπος απόδοσης σαν τον δεύτερο να είναι αξιοπρόσεκτος. (Και επιπλέον, η σύνταξη τού έφεξης με γενική φαίνεται να είναι μεμονωμένη περίπτωση, τουλάχιστον στον Πλάτωνα, και γι’ αυτό ίσως όχι εκτός υποψίας· από το άλλο μέρος πάλι, η σύνταξη τού γίγνομαι με γενική, ενώ απαντά στον Αριστοφάνη και στον Ξενοφώντα, θα είναι ομολογουμέ- νως και αυτή μεμονωμένη περίπτωση στον Πλάτωνα.)
Οφείλω να ευχαριστήσω τον καθηγητή Charles Kahn που συζήτησε μαζί μου τις δύο μεταφραστικές μου προτάσεις (κατά την αίσθησή του, η δεύτερη μάλλον δεν μπορεί να είναι ορθή), καθώς και τον καθηγητή W. Κ. C. Guthrie που μου επέτρεψε να προσαρτήσω στο παρόν κείμενό μου το ακόλουθο σχόλιο από μια επιστολή του:
ἐφεξῆς σημαίνει βέβαια στον Πλάτωνα «σε επαφή με», αλλά επίσης και «σε άμεση διαδοχή με», όπως στον Παρμενίδη 149a, όπου λέει ότι για να είναι κάτι σε επαφή με κατι άλλο πρέπει να είναι κάτι χωριστό αλλά ἐφεξῆς. Νομίζω ωστόσο (αν και διατηρώ λίγη αβεβαιότητα γι’ αυτό - είναι μια δύσκολη πρόταση) ότι η σειρά των λέξεων ευνοεί να συνάψουμε άμεσα τις λέξεις έφεξης γεγονυϊαν με την έννοια «σχηματισμένη αμέσως μετά».
---------------------------------------
ΕΚ. ταῖς θεαῖσι πρῶτα σύμμαχος γενήσομαι
