Περίληψη
Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων Ελλήνων για την ακρίβεια του λόγου τους και την απόδειξη.
Χρησιμοποιήθηκαν για να περιγράψουν τις φιλοσοφικές δομές των Πλάτωνα και Αριστοτέλη για την θεμελίωση της παιδείας και την οριοθέτηση του ορθού.
Ο Πλάτων, ο μεγάλος φιλόσοφος του 4ου π.Χ. αιώνα, είναι εκείνος που πίστευε στην ύπαρξη του κόσμου των «Ιδεών» και θεωρούσε τον άνθρωπο δέσμιο του αισθητού κόσμου.
Τα μαθηματικά κατά τον Πλάτωνα είναι ένα μέσο για να εξυψωθεί το πνεύμα πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του "Είναι".
Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των "Ιδεών" και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Την θεωρία των αριθμών στην αρχαία Ελλάδα την έλεγαν αριθμητική, ενώ την πρακτική αριθμητική λογιστική. Η αριθμητική και η λογιστική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των "Ιδεών".
Για την δημιουργία του κόσμου, στον Τίμαιο, εισάγει με τη βοήθεια των μαθηματικών ένα μοντέλο στηριζόμενο στα τέσσερα κανονικά στερεά : Το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο, και τον κύβο. Ως βασικές δομικές μονάδες θεωρεί τα δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το ιδεαλιστικό αυτό μοντέλο διαφέρει από το υλιστικό μοντέλο του Δημόκριτου γιατί ο Πλάτων θεωρεί, ως βασική προϋπόθεση για την ανακάλυψη του κόσμου των "Ιδεών", τη μελέτη και χρήση των Μαθηματικών.
Οι απόψεις του Πλάτωνα έρχονται στην επικαιρότητα με την εστίαση των αστροφυσικών στις ιδιότητες του κανονικού δωδεκαέδρου, με το οποίο ο φιλόσοφος συμβόλιζε το Σύμπαν.
Η διαχρονική της θεωρίας των "Ιδεών" και της "Μάθησης" του Πλάτωνα
H αρχαία Ελλάδα ήταν το μέρος όπου γεννήθηκε η δυτική, μη θρησκευτική κοσμική φιλοσοφία. Βλέπουμε τον Σωκράτη , τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη ( όπως επίσης και μερικούς από τους Προσωκρατικούς φιλοσόφους) να παλεύουν με πολλά από τα ζητήματα που απασχολούν τους σημερινούς φιλοσόφους. Βλέπουμε τον Πλάτωνα να επιθυμεί τη φυγή από αυτόν τον κάτω κόσμο, για να ξανασυναντηθεί με τη θεϊκή τελειότητα, ενώ ο Αριστοτέλης να καταγράφει μεθοδικά αυτό που έχουμε στα χεριά μας, μπροστά στα μάτια μας και στο κεφάλι μας. Επίσης βλέπουμε τον Σωκράτη να είναι μαιευτήρας ψυχών, ο δάσκαλος του Πλάτωνα να είναι ο δημιουργός της μόρφωσης δια των σωστών ερωτήσεων, αντιτιθέμενος στις πρόχειρες απαντήσεις και εμβαθύνοντας στην γενεαλογία των «Ιδεών».
Ο Πλάτωνας αρχίζει μια φιλοσοφική και επιστημονική επανάσταση ( ήταν ο κατ' εξοχήν μαθηματικός φιλόσοφος) θεωρώντας ότι ο μιμητισμός και η αντιγραφή είναι τα δεσμά που κρατάνε τις ψυχές φυλακισμένες στο σπήλαιο. Για τον Αθηναίο φιλόσοφο η υπόθεση της Παιδείας είναι εξ' ίσου σημαντική όσο και η επιστημονική έρευνα, και τα δύο αυτά συνθετικά αποτελούν μέρος του ίδιου του προβλήματος. Η παιδεία είναι απαραίτητη για την αποκάλυψη της αλήθειας, και η αλήθεια δεν είναι μόνο χρήσιμη για την ίδια την παιδεία, σαν αυτοσκοπός, αλλά αποτελεί και στόχο απελευθέρωσης του ατόμου από την κατάσταση της δουλείας που το υποτάσσει η έλλειψή της.
Ο Πλάτωνας είναι επικεφαλής μιας μεγάλης παράδοσης της φιλοσοφίας που λέγεται ρασιοναλισμός[1] ή <<πλατωνισμός>>.
Το πλατωνικό φιλοσοφικό σύστημα αποτελεί κορυφαία στιγμή της αρχαίας Ελληνικής σκέψης, όχι γιατί οι βασικές του αρχές και τα αξιώματα παρέμειναν απρόσβλητα στην πάροδο των αιώνων, αλλά γιατί η διάσταση ανάμεσα στο "όν" και στη γνώση του αναδεικνύεται για πρώτη φορά γυμνή σ' όλη της την πραγματικότητα και στη συνέχεια έρχεται να γεφυρώσει το χάσμα με τις "Ιδέες" ως μόνες απόλυτες πραγματικές οντότητες που μπορούν να γνωσθούν άμεσα.
Ο Πλάτωνας θεωρεί τη μόνη πραγματικότητα, η οποία δεν αλλοιώνεται, αυτή των "Ιδεών", οι οποίες είναι αιώνιες και σταθερές οντότητες. Το σύμπαν των "Ιδεών" γίνεται αντιληπτό από τη νόηση, παραμένει αμετάβλητο και δεν προσδιορίζεται χωροχρονικά. Η πραγματική γνώση είναι αυτή του κόσμου των "Ιδεών". Δεν μπορούμε να γνωρίσουμε αυτόν τον κόσμο βασιζόμενοι στις αισθήσεις μας και στον υλικό κόσμο. Σε αντίθεση με τους Επικούρειους ο μεταβαλλόμενος υλικός κόσμος δεν είναι αντικείμενο της γνώσης. Ο αισθητός κόσμος είναι πεπερασμένος και φθαρτός. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα στηριζόμενοι στις αισθήσεις δεν έχουμε γνώση αλλά γνώμη. Ο αισθητός κόσμος δημιουργήθηκε σε ιδεατά πρότυπα. Γι αυτό λοιπόν στον Τίμαιο παρουσιάζει μια κοσμογονία, η οποία βασίζεται σε καθαρά γεωμετρικά και όχι σε υλικά στοιχεία.
Ο διάλογος που φέρει το όνομα Τίμαιος, είναι ένα από τα πλέον σημαντικά έργα του Πλάτωνα, όπου αναπτύσσονται οι απόψεις του μεγάλου αυτού φιλοσόφου σχετικά με τη φυσική. Για το λόγο αυτό φέρει και τον υπότιτλο "Περί φύσεως". Είναι ένα έργο που ανήκει στην τελευταία συγγραφική περίοδο του Πλάτωνα και έχει περιεχόμενο κοσμολογικής φύσης καθώς και ανθρωπολογική διάσταση. Τα πρόσωπα που διαλέγονται στο έργο αυτό είναι ο Τίμαιος, ο Κριτίας, ο Ερμοκράτης και ο Σωκράτης. Ο διάλογος αυτός του Πλάτωνα φαίνεται να διαδραματίζεται στην εποχή της Νικίειας ειρήνης (421 π.Χ.) ή λίγο νωρίτερα και έχει γραφεί περί το 360-347 π.Χ. Δύο βασικά στοιχεία ξεχωρίζουν στο διάλογο αυτό.
• Το πρώτο είναι ότι κάθε τι που βλέπουμε και ακούμε ή μάλλον γενικότερα κάθε τι που μπορούμε να το αντιληφθούμε με τις αισθήσεις ανήκει στον λεγόμενο κόσμο του αισθητού και για το λόγο αυτό στον κόσμο της γενέσεως. Άρα κάθε αισθητό αντικείμενο είναι αποτέλεσμα της δημιουργίας.
• Το δεύτερο στοιχείο είναι η αιτιολόγηση αυτής της δημιουργίας του αισθητού κόσμου είναι δηλαδή η απάντηση στο «γιατί». Η αιτία της ύπαρξης των πραγμάτων που μας περιβάλλουν είναι ο δημιουργός. Είναι ο μεγάλος τεχνίτης που κατασκεύασε τον κόσμο αυτό. Η δημιουργία του αισθητού κόσμου έχει ως αρχικό υπόδειγμα κάτι το οποίο συγκεντρώνει όλα εκείνα τα στοιχεία της τελειότητας, της αρμονίας και της ωραιότητας, τον κόσμο των «Ιδεών», ο οποίος είναι αιώνιος και αμετάβλητος.
Υπάρχουν δύο βασικές κατηγορίες «Ιδεών»: οι ηθικές-αισθητικές (όπως αυτές της δικαιοσύνης, του ωραίου, του αγαθού) και οι μαθηματικές-γεωμετρικές (όπως του ίσου ή του τριγώνου). Στην εξέλιξη της οντολογικής σκέψης του Πλάτωνα οι Ιδέες γίνονται όλο και πιο αφηρημένες. Στον Σοφιστή τα πέντε μέγιστα γένη είναι το ον, η στάσις, η κίνησις, το ταυτόν και το έτερον. Αλλά υπάρχουν Ιδέες πραγμάτων όπως η τρίχα και ο πηλός ; Ο Πλάτωνας θέτει το ερώτημα, χωρίς να το απαντάει. Στους μετέπειτα διάλογους χρησιμοποιεί τις Ιδέες για να αποκρυπτογραφήσει την ίδια τη δομή του φυσικού κόσμου. Η αρμονία που διέπει τον τελευταίο γίνεται εμφανής στις σταθερές τροχιές των ουράνιων σωμάτων και μπορεί να συλληφθεί μέσω των μαθηματικών.
Οι "Ιδέες" αποτελούν οντότητες άφθαρτες και ανεξάρτητες από την εμπειρία και από οποιοδήποτε γνωστικό υποκείμενο. Είναι επίσης οι εξηγητικές αρχές της πραγματικότητας: ο λόγος που ένας άνθρωπος ή μια πράξη είναι δίκαιη είναι ότι «μετέχει» της Ιδέας της δικαιοσύνης. Αλλά το εμπειρικό τρίγωνο δεν έχει πλήρως τις ιδιότητες (της Ιδέας) του τριγώνου, γι' αυτό και ταυτόχρονα είναι (στον βαθμό που μιμείται το ιδεατό) και δεν είναι (εφόσον δεν ταυτίζεται απόλυτα με αυτό) τρίγωνο. Από εδώ ο Πλάτωνας καταλήγει στο ότι μόνο οι "Ιδέες" μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο «επιστήμης», δηλαδή βέβαιης γνώσης, ενώ για τα αισθητά μόνο «δόξαι», δηλαδή γνώμες, μπορούν να υπάρξουν.
Οι "Ιδέες", κατά τον Πλάτωνα, υπάρχουν στην ψυχή μας χωρίς την άμεση γνώση μας, αφού μία ιδέα μπορεί να γίνει γνωστή μόνο κατά την επαναφορά της στην μνήμη μας, την οποία δεχόμαστε από τον ανάλογο ερεθισμό που διεγείρει τη συνείδηση μας. Η επαναφορά της ιδέας στη μνήμη μας από το υποσυνείδητο σημαίνει την ίδια την ιδέα που γνωρίζουμε, την ανάμνηση της ιδέας που υπάρχει στην ψυχή μας.
Η ανάμνηση των «Ιδεών» είναι γνωστή ως η θεωρία της "ανάμνησης" του Πλάτωνα, η οποία σημαίνει ότι ο άνθρωπος ξετυλίγει τη συνείδησή του και ανακαλύπτει την αλήθεια των πραγμάτων. Αποτέλεσμα της γνωστικής διαδικασίας της ανάμνησης, κατά τον Πλάτωνα, είναι η μάθηση αφού η γνώση λαμβάνει χώρα κατά την επαναφορά των «Ιδεών» στη μνήμη του ανθρώπου από το υποσυνείδητό του.
Η μάθηση κατά τον Πλάτωνα είναι έμφυτη και συμβαίνει κατά την ανάμνηση των «Ιδεών», τις οποίες η ψυχή μας συλλαμβάνει μέσω της νοήσεως, αφού μπορεί να γίνουν κατανοητές μόνο από το νου.
Κλασικό παράδειγμα της θεωρίας "ανάμνησης" του Πλάτωνα, αποτελεί ο απαίδευτος δούλος του Μένωνος, ο οποίος, χωρίς να έχει διδαχθεί γεωμετρία από κανένα γεωμέτρη και χωρίς την βοήθεια κανενός δίνει σωστές γεωμετρικές απαντήσεις. Στο διάλογο αυτόν ο Πλάτωνας βάζει τον Σωκράτη να οδηγήσει έναν σκλάβο στο θεώρημα το οποίο λέει ότι το τετράγωνο της διαγωνίου ενός δοσμένου τετραγώνου είναι το διπλάσιο του αρχικού τετραγώνου. Ο Σωκράτης δίνει έμφαση στο ότι ούτε αυτός ούτε κάποιος άλλος δίδαξε το θεώρημα στον σκλάβο. Ρωτώντας προσεκτικά επιλεγμένες ερωτήσεις και με τη βοήθεια κάποιου σχήματος, ο Σωκράτης οδηγεί τον σκλάβο στο να ανακαλύψει το θεώρημα από μόνος του.
Ο Πλάτωνας χρησιμοποιεί το πείραμα για να υποστηρίξει τη θεωρία ότι, όταν πρόκειται για γεωμετρία -ή για τον κόσμο του Γίγνεσθαι γενικότερα-αυτό που λέγεται "μάθηση" είναι στη πραγματικότητα "ανάμνηση" από μια προηγούμενη ζωή, πιθανώς από μια περίοδο όπου η ψυχή είχε απευθείας πρόσβαση στον κόσμο του Είναι.
Οι ειδικοί μελετητές διαφωνούν σχετικά με τη φύση και το ρόλο αυτής της "ανάμνησης" στην επιστημολογία του Πλάτωνα, και πολλοί μετέπειτα πλατωνιστές τον αμφισβητούν. Ασχέτως μ' αυτό, ο Πλάτωνας υποστήριζε ότι η ψυχή ανήκει σε μια τρίτη οντολογική κατηγορία, με την ικανότητα να καταλαβαίνει και τον κόσμο του Είναι και το κόσμο του Γίγνεσθαι.
Με ή χωρίς τα "μυστικιστικά" στοιχεία της επιστημολογίας, έχει κανείς την εντύπωση από τους διάλογους ότι ο φυσικός κόσμος είναι κατασκευασμένος με αυτό τον τρόπο ακριβώς για να μας οδηγεί πέρα από τις αισθήσεις για την εξερεύνηση του κόσμου του Είναι.
Για τον Πλάτωνα, τα μαθηματικά είναι ένα κρίσιμο μέσον για αυτήν τη διαδικασία. Εξυψώνουν το πνεύμα, φτάνοντας πέρα από τον υλικό κόσμο στον αιώνιο κόσμο του Είναι.
Το Πλατωνικό Σύμπαν, τα Μαθηματικά και ο Άνθρωπος
Οι νόμοι που αφορούν τις κινήσεις των ουρανίων σωμάτων και είναι η απόδειξη της αιώνιας αρμονίας αποτέλεσαν την αφετηρία της φυσικής και μεταφυσικής αναζήτησης του Πλάτωνα. Το γεγονός ότι ο Πλάτων στην πραγματικότητα δημιούργησε μια εξ ολοκλήρου νέα ατομική θεωρία στηριγμένη σ' αυτή του Δημόκριτου ( ουσιαστικά του Λεύκιππου), είναι κάτι που πρέπει να κατακτήθηκε μέσα από πολλά χρόνια αναζήτησης. Βέβαια, η δημοκρίτεια μηχανική εξήγηση του σύμπαντος, η οποία δεν αναγνώριζε καμία αρχική αιτία, βρισκόταν σε πλήρη αντίθεση με όσα πρέσβευε ο Πλάτων.
Η Πλάτων χωρίς αμφιβολία έκανε τις σκέψεις ότι η ατομική θεωρία φαινόταν να δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσει το "ον", το "είναι", το "μη ον", αυτό που "δεν είναι" και κατέβαλε προσπάθεια για να εξελίξει τις σκέψεις σε γνώση. Στην προσπάθεια του να εξηγήσει τη φυσική του σύμπαντος, χρησιμοποίησε τη μεταφυσική του πεποίθηση, την ύπαρξη ενός νοητού κόσμου, ενός κόσμου αιώνιων μορφών, μέσα από τον οποίον παίρνουν μορφή τα πράγματα του κόσμου που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις. Στον Αναξαγόρα βρήκε τον νου, σαν μορφοποιό, κοσμική δύναμη. Στον Εμπεδοκλή, εντόπισε τα τέσσερα στοιχεία, στα οποία στηρίχθηκε αργότερα, συνδυάζοντάς τα ακόμα και με τον Δημόκριτο, παρόλο που δύσκολα ταίριαζαν.
Βασικά από όλους ήταν κατανοητό ότι μέσα στο φαινομενικά άνομο γίγνεσθαι, όπου απέναντι του είναι το αιώνια-ταυτόν αποδεικνύεται ότι υπάρχει μια "αναγκαιότητα", αιτία για νομοτέλεια. Μόνο όταν εμφανίζεται κάτι που έγινε, πρέπει αναγκαστικά να υπάρχει χώρος και χρόνος που να το προσδιορίζει.
Ο Πλάτων θεωρούσε τη σπουδή των μαθηματικών απαραίτητη προϋπόθεση για τη σπουδή της φιλοσοφίας. Η μελέτη των αριθμών και των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών ήταν ο καταλληλότερος τρόπος για την τελική απελευθέρωση της ανθρώπινης σκέψης από τα δεσμά του εφήμερου κόσμου. Κάνοντας χρήση των μαθηματικών του ο Πλάτωνας, των θεωριών της στερεομετρίας που διατύπωσε στον Θεαίτητο, υποστήριξε ότι το τρίγωνο είναι ένα υλικό που πάνω του είναι κατασκευασμένο το σύμπαν.
Παρουσίασε αυτή την ιδέα του για την κατασκευή του κόσμου, ως να δημιουργήθηκε το σύμπαν για να μοιάζει σε μια γεωμετρική ακολουθία. Τα τρίγωνα, λέει ο Πλάτωνας δημιουργούν 5 στερεά. Τα πλατωνικά στερεά και πως αυτά τα στερεά τα 4 στοιχε α και τον Παράδεισο. Τα Πλατωνικά στερεά ανήκουν στο σύνολο των γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται πολύεδρα. Πολύεδρο είναι ένα στερεό που οριοθετείται από επίπεδα πολύγωνα. Ένα κανονικό πολύεδρο είναι αυτό που όλες οι πλευρές του είναι κανονικά πολύγωνα. Μόνο 5 κανονικά στερεά ε ναι πιθανά, ο κύβος, το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο.
Σύμφωνα με τη φιλοσοφία του Πλάτωνα ο κόσμος στηρίζεται πάνω σε πέντε βασικά στοιχεία. Αυτά είναι: η φωτιά, ο αέρας, το νερό, η Γή και το σύμπαν. Σε κάθε ένα από αυτά τα στοιχεία αντιστοιχεί και ένα κανονικό κυρτό πολύεδρο εγγράψιμο σε μια σφαίρα. Όλες οι έδρες των πολυέδρων αυτών είναι κανονικά πολύγωνα, όλες οι ακμές είναι μεταξύ των ίσες και όλες οι γωνίες του στερεές και επίπεδες είναι αντίστοιχα μεταξύ των ίσες. Τέτοια πολύγωνα υπάρχουν μόνο πέντε! Είναι το τετράεδρο, το οκτάεδρο, το εικοσάεδρο, ο κύβος και το δωδεκάεδρο. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα η τελειότητα του κόσμου μοιάζει με την απαράμιλλη ομορφιά των κανονικών αυτών πολυέδρων.
• Το τετράεδρο συμβολίζει τη φωτιά.
Έχει 4 έδρες οι οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα, 4 κορυφές και 6 ακμές.
• Το οκτάεδρο συμβολίζει τον αέρα.
Έχει 8 έδρες οι οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα , 6 κορυφές και 12 ακμές
• Το εικοσάεδρο συμβολίζει το νερό
Αποτελείται από 20 έδρες οι οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα, 12 κορυφές και 30 ακμές
• Ο κύβος συμβολίζει τη Γη
Αποτελείται από 6 έδρες οι οποίες είναι τετράγωνα, 8 κορυφές και 12 ακμές
• Το δωδεκάεδρο συμβολίζει το Σύμπαν
Αποτελείται από 12 έδρες οι οποίες είναι κανονικά πεντάγωνα, 20 κορυφές και 30 ακμές
Δηλαδή το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο κατασκευάζονται από ίσα μεταξύ των ισόπλευρα τρίγωνα, το εξάεδρο δηλαδή ο κύβος κατασκευάζεται από ίσα τετράγωνα και το δωδεκάεδρο κατασκευάζεται από ίσα κανονικά πεντάγωνα.
Τα πέντε αυτά αποκαλούνται σήμερα πλατωνικά στερεά, επειδή ο Πλάτωνας τα χρησιμοποίησε για την συγκρότηση του υλικού σύμπαντος. Ένας σπουδαίος μαθηματικός και συνεργάτης του Πλάτωνα στην Ακαδημία του, ο Θεαίτητος προχώρησε στην κατασκευή αυτών των στερεών και μάλλον είναι αυτός που απέδειξε ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε. Την ίδια πρόταση περί μοναδικότητας βρίσκουμε και στον Ευκλείδη. Η απόδειξη του Πλάτωνα, για τη μοναδικότητα αυτών των στερεών, δεν θεωρείται αξιόλογη γιατί δεν στηρίζεται στα μαθηματικά αλλά στην φιλοσοφία.
Πολύ αργότερα κατά την περίοδο της Αναγέννησης Ο Ιωάννης Κέπλερ(1571-1630) δημοσιεύει στα 1596 το έργο του «Κοσμολογικό Μυστήριο» όπου προτείνει ένα μοντέλο του σύμπαντος στηριζόμενος στα στερεά του Πλάτωνα. Αυτή την εποχή, έξη μόνο πλανήτες ήταν γνωστοί. Ο Κέπλερ σημειώνει ότι οι σφαίρες στις οποίες ανήκουν οι τροχιές των πλανητών μπορούν να περιέχουν τα στερεά του Πλάτωνα. Στον Κρόνο αντιστοιχεί τον κύβο, στον Δία το τετράεδρο, στον Άρη το δωδεκάεδρο, στην Αφροδίτη το εικοσάεδρο και στο Ερμή το οκτάεδρο. Η Γη, η οποία παρουσιάζεται ως η εικόνα του Θεού, χρησιμεύει ως διαχωριστικό μεταξύ των δύο ομάδων των στερεών αυτών.
Τέλος ο Leonard Euler αποδείχνει το έτος 1752 ότι για τα στερεά αυτά και όχι μόνο, ισχύει ο τύπος:
Κ+Ε=Α+2
όπου: Κ= το πλήθος των κορυφών Ε= το πλήθος των εδρών Α= το πλήθος των ακμών
Η Επίδραση των Μαθηματικών στον Πλάτωνα
Τα μαθηματικά και η φιλοσοφία γεννήθηκαν στην αρχαία Ελλάδα, ως αποτέλεσμα της αγάπης των αρχαίων ελλήνων στην ακριβολόγηση και την απόδειξη, υπάρχει στενή σχέση μεταξύ φιλοσοφίας και μαθηματικών.
"Ο Πλάτων θεώρησε τα Μαθηματικά όχι σαν μια εξιδανίκευση ορισμένων πλευρών του εμπειρικού κόσμου από τους Μαθηματικούς, αλλά σαν την περιγραφή ενός μέρους της πραγματικότητας."[2] Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι: α) Ο Πλάτωνας, που τόνισε την σχέση μεταξύ Μαθηματικών και Φιλοσοφίας, θεωρούσε τα Μαθηματικά σαν προπαρασκευαστικό μάθημα για την Φιλοσοφία. β) Υπάρχουν πολλές ομοιότητες μεταξύ Φιλοσοφίας και Μαθηματικών. Για παράδειγμα, είναι οι δύο πιο αφηρημένες επιστήμες, καθώς επίσης και στις δύο αυτές επιστήμες, η ορθολογικότητα παίζει κυρίαρχο ρόλο. γ) Η αναζήτηση της αλήθειας δια μέσου της επιστημονικής έρευνας αναπόφευκτα γεννά όλο και πιο βαθιά και πολυσύνθετα ερωτήματα, που με την σειρά τους οδηγούν στην τάση για μια ενοποιημένη αντιμετώπισή τους και κατά συνέπεια στην φιλοσοφία.
Ο θαυμασμός του Πλάτωνα για τα συναρπαστικά επιτεύγματα των μαθηματικών είναι προφανής, ακόμα και στον περιστασιακό αναγνώστη των διαλόγων. O Πλάτωνας «μπορούσε να συναναστρέφεται με άνεση στην Ακαδημία τους καλύτερους μαθηματικούς της εποχής του συμμεριζόμενος και ενθαρρύνοντας τον ενθουσιασμό τους για τη δουλειά τους». Σήμερα είναι παραδεκτό πως τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το αποτέλεσμα μιας διαδικασίας που ξεκίνησε κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα. Μερικοί πρόσφατοι μελετητές έχουν εστιάσει τη προσοχή τους στην επιρροή της εξέλιξης των μαθηματικών στη φιλοσοφία του Πλάτωνα.
Ο Πλάτωνας πιστεύει ότι τα μαθηματικά «είναι καθολικά χρήσιμα σε όλες τις τέχνες και σε κάθε μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας - το πρώτο πράγμα που πρέπει κανείς να μάθει». Σημειώνει ο Πλάτωνας, ότι για να μάθει κανείς μαθηματικά χρειάζονται εντατικές και παρατεταμένες σπουδές, μια πρόχειρη εξοικείωση με αυτά δεν είναι καθόλου αρκετή. Κατά συνέπεια, ο Πλάτωνας συνειδητοποίησε ότι τα Μαθηματικά όντα είναι το κατ' εξοχήν πραγματικό ερέθισμα της διανόησης μας για πνευματικές δραστηριότητες, ενώ η αλήθεια της ύπαρξης τους είναι αποτέλεσμα του διαχρονικού και σταθερού χαρακτήρα τους, συνεπώς για τον Πλάτωνα χρειαζόταν κανείς εντατικές και μακροχρόνιες σπουδές για οποιαδήποτε «μορφή γνώσης και διανοητικής λειτουργίας».
Τα μαθηματικά «αποσπούν την ψυχή από τον κόσμο της αλλαγής στη πραγματικότητα». «Ξυπνά με φυσικό τρόπο τη δύναμη της σκέψης... να μας αποσπάσει από την πραγματικότητα» -τουλάχιστον για τις λίγες ψυχές που είναι ικανές για μια τέτοια άνοδο.
Η διαφοροποίηση του Πλάτωνα από τον δάσκαλο του είναι κατανοητή, εάν όχι αξιοθαύμαστη. Ο Σωκράτης δεν έδινε αξία στα μαθηματικά, ενώ ο Πλάτωνας έβλεπε τα μαθηματικά ως μια πύλη στον κόσμο του Είναι, μια πύλη την οποία πρέπει κανείς να περάσει εάν θέλει να έχει κάποια ελπίδα να καταλάβει οτιδήποτε πραγματικό. Τα μαθηματικά, η προϋπόθεση της φιλοσοφικής μελέτης, απαιτούν μια μεγάλη περίοδο εντατικών σπουδών.
Η γοητεία που ασκούσαν τα μαθηματικά στον Πλάτωνα ίσως να ήταν υπεύθυνη για την αντιπάθεια του για την υποθετική και υποκείμενη σε λάθη σωκρατική μεθοδολογία.
Το μέρος του Πλατωνικού κόσμου των "Ιδεών" που περιέχει τις αριθμητικές και τις γεωμετρικές Ιδέες αποτελεί το αντικείμενο των Μαθηματικών. Ο Πλάτων δεν αναφέρεται σε μαθηματικούς τύπους και δεν είναι στα ενδιαφέροντα του να κάνει προβλέψεις με χρήση των μαθηματικών. Αντιθέτως, προσπαθεί να αναγάγει τις αισθητές ποιότητες των τεσσάρων στοιχείων στις γεωμετρικές κατασκευές μέσα στη μικροφυσική του Τιμαίου, όπως και να ενσωματώσει τις μαθηματικές δομές του σύμπαντος.
Η αναγκαιότητα της αλήθειας των σωστών μαθηματικών προτάσεων οφείλεται στο ότι περιγράφουν αναλλοίωτες δομικές σχέσεις ενός σύμπαντος αναλλοίωτων αντικειμένων. Ο μαθηματικός, για τον Πλάτωνα , δεν εφευρίσκει νέες μαθηματικές αλήθειες, οι αλήθειες αυτές δεν εξαρτώνται από τη δυνατότητα ή μη του μαθηματικού να τις συλλάβει, αυτές υπάρχουν ανεξάρτητα απ' αυτόν και αναμένουν υπομονετικά τον εξερευνητή τους, αποδέχεται την ύπαρξη των μαθηματικών ανεξάρτητα από την ανθρώπινη διανόηση ,η σχέση μαθηματικών και αισθητού κόσμου δεν είναι αυτονόητη. Υπάρχουν ανεξάρτητα από αυτόν και ο μαθηματικός τις ανακαλύπτει, όπως ο αστρονόμος ανακαλύπτει για πρώτη φορά ένα άγνωστο άστρο.
Η σχέση ανάμεσα στα εφαρμοσμένα και στα καθαρά Μαθηματικά είναι κατά τον Πλάτωνα τέτοια ώστε η ύπαρξη των εφαρμοσμένων να δικαιώνεται από την ύπαρξη των καθαρών και όχι να τη δικαιώνει, όπως θα συνέβαινε, για παράδειγμα, στα πλαίσια μια φιλοσοφικής θεωρίας με εμπειρικό χαρακτήρα. Αυτή η πλατωνική αντίληψη για τα Μαθηματικά επιτρέπει την κατανόηση των θεμελίων της σύγχρονης Φυσικής, πιο συγκεκριμένα τη μηχανική αντίληψη της φύσης στους κλασικούς ( Γαλιλαίο, Ντεκάρτ, Χάιζενμπεργκ). Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι οι πιο πολλοί από τους μεγάλους μαθηματικούς είναι Πλατωνιστές. Όπως είναι ευρύτατα γνωστό, ο Πλάτωνας μίλαγε για ένα κόσμο ιδεών ο οποίος υπάρχει ανεξάρτητα από εμάς σε μια άλλη πραγματικότητα. Οι Πλατωνιστές Μαθηματικοί πιστεύουν ότι σε αυτόν ακριβώς τον κόσμο κατοικούν και θεμελιώδεις μαθηματικές σχέσεις τις οποίες εμείς απλώς προσπαθούμε να ανακαλύψουμε. Δηλαδή, δεν δημιουργούμε αλλά ανακαλύπτουμε Μαθηματικά. Θα ήθελα να παρουσιάσω δύο επιχειρήματα υπέρ αυτής της απόψεως. α) Υπάρχει πειραματική επιβεβαίωση ότι οι βασικοί νόμοι της φύσεως εκφράζονται με μαθηματικές εξισώσεις. Για παράδειγμα οι νόμοι της Κβαντομηχανικής εκφράζονται με την περίφημη εξίσωση του Schrodinger και οι νόμοι της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητος με τις εξισώσεις του Einstein. Είναι επίσης γνωστό ότι επειδή οι δύο παραπάνω βασικές θεωρίες είναι ασυμβίβαστες, η μεγάλη πρόκληση σήμερα των θεωρητικών φυσικών είναι να ανακαλύψουν μια καινούρια θεωρία, την λεγόμενη «Θεωρία των Πάντων». Κατά συνέπεια ο Steven Hawking στο Cambridge και άλλοι μεγάλοι θεωρητικοί φυσικοί προσπαθούν να ανακαλύψουν ένα καινούριο μαθηματικό φορμαλισμό που θα ενοποιεί όλες τις φυσικές αλληλοεπιδράσεις. Προφανώς αυτός ο μαθηματικός φορμαλισμός ήδη κατοικεί στο κόσμο του Πλάτωνα. Εδώ πρέπει να τονίσω ότι όσο πιο πολύ βαθαίνει η σχέση Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής τόσο και φαίνεται πιο καθαρά ότι σε μεγάλο βαθμό αποτελούν ένα ενιαίο σύνολο. Κατά συνέπεια τόσο πιο πολύ αποκτούν Πλατωνική υπόσταση, μεγάλες κατηγορίες αφηρημένων Μαθηματικών όπως η μη Riemanian Γεωμετρία, η Τοπολογία, η Αλγεβρική Γεωμετρία και η Θεωρία Αριθμών. β) Γνωρίζουμε ήδη από το 1931, βάσει του περίφημου θεωρήματος του Godel πως καμία μαθηματική λογική δεν είναι πλήρης. Δηλαδή, δεν υπάρχει κανένα σύστημα, στο οποίο αρχίζοντας από ένα πεπερασμένο αριθμό αξιωμάτων τα οποία έχουμε επινοήσει (τους κανόνες λογικής αυτού του συστήματος) να μπορούμε να απαντήσουμε αν οποιαδήποτε πρόταση σε αυτό το σύστημα είναι αληθινή ή όχι. Αυτό συνήθως χρησιμοποιείται ως τεκμηρίωση της αδυναμίας των Μαθηματικών. Η άποψη μου όμως είναι ότι το θεώρημα του Godel εκφράζει ακριβώς το αντίθετο, ότι δηλαδή μέσα στα Μαθηματικά συστήματα υπάρχει περισσότερη πληροφορία, περισσότερη «αλήθεια» αν θέλετε, από αυτή που εμείς μπορούμε να αντιληφθούμε.
-------------------
Ο Ρασιοναλισμός ( από το λατινικό "ratio"= σημαίνει «λογική») είναι φιλοσοφία που επικεντρώνεται στην λογική διαδικασία για την απόκτηση γνώσης. Πατέρας του Ρασιοναλισμού θεωρείται ο Γάλλος επιστήμονας και φιλόσοφος Ren Descartes του 17ου αιώνα, ο οποίος υποστήριξε πως με την λογική και μαθηματική συνέχεια και σκέψη, μπορεί να ανακαλυφθεί η οποιαδήποτε αλήθεια, είτε αυτή είναι επιστημονική, είτε είναι φιλοσοφική.
"S. Korner The Philosophy of Mathematics. Hutchinson Un. Library, London, 1971, σ.18.
ΕΠΕΙΣΟΔΙΟΝ Δ΄
