Θεωρήματα Μη Πληρότητας του Gödel

Στη μαθηματική λογική, τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκόντελ, τα οποία αποδείχτηκαν από τον Κουρτ Γκόντελ (Kurt Gödel) το 1931, είναι δύο θεωρήματα που υποδεικνύουν έμφυτους περιορισμούς σε όλα τα (πλην των τετριμμένων) τυπικά συστήματα των μαθηματικών. Τα θεωρήματα είναι πολύ σημαντικά για τη φιλοσοφία των μαθηματικών.

Ερμηνεύονται γενικά ως μια απόδειξη πως το πρόγραμμα του Χίλμπερτ να βρεθεί ένα πλήρες και συνεπές σύνολο από αξιώματα για όλα τα μαθηματικά είναι αδύνατο, δίνοντας έτσι αρνητική απάντηση στο δεύτερο πρόβλημα του Χίλμπερτ.

Στη μαθηματική λογική, μια θεωρία είναι ένα σύνολο από προτάσεις εκφρασμένες σε μια τυπική γλώσσα. Μερικές δηλώσεις σε μια θεωρία (τα αξιώματα) συμπεριλαμβάνονται χωρίς απόδειξη και άλλες (τα θεωρήματα) συμπεριλαμβάνονται επειδή συνάγονται από τα αξιώματα.

Επειδή οι δηλώσεις μιας τυπικής θεωρίας γράφονται σε συμβολική μορφή, είναι δυνατόν να επαληθευτεί μηχανικά ότι μία τυπική απόδειξη από ένα πεπερασμένο σύνολο από αξιώματα είναι έγκυρη. Αυτή η δουλειά, γνωστή ως αυτοματοποιημένη επαλήθευση αποδείξεων, σχετίζεται στενά με την αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων.

Η διαφορά είναι ότι αντί να κατασκευάσει μια νέα απόδειξη, ο επαληθευτής αποδείξεων απλά ελέγχει αν μια δεδομένη τυπική απόδειξη (ή, σε μερικές περιπτώσεις, οι οδηγίες που μπορεί να ακολουθήσει κανείς για να δημιουργήσει μια τυπική απόδειξη) είναι σωστή. Αυτό δεν είναι απλά και μόνο υποθετικό. Συστήματα όπως το Isabelle χρησιμοποιούνται σήμερα για να τυποποιούν αποδείξεις και μετά να ελέγχουν την εγκυρότητά τους.

Παρόλα αυτά, πολλές θεωρίες που μας ενδιαφέρουν περιλαμβάνουν ένα άπειρο σύνολο από αξιώματα. Για να επαληθευτεί μια τυπική απόδειξη όταν το σύνολο των αξιωμάτων είναι άπειρο, πρέπει να είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε αν μία δήλωση η οποία θεωρείται ότι είναι αξίωμα είναι πράγματι αξίωμα. Αυτό το ζήτημα προκύπτει στις πρώτου βαθμού θεωρίες της αριθμητικής, όπως η αριθμητική του Πεάνο, επειδή η αρχή της μαθηματικής επαγωγής εκφράζεται ως ένα άπειρο σύνολο αξιωμάτων (ένα αξιωματικό σχήμα).

Μια τυπική θεωρία λέγεται πως είναι αποτελεσματικά παραχθείσα αν το σύνολο των αξιωμάτων της είναι ένα αναδρομικά απαριθμήσιμο σύνολο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα πρόγραμμα υπολογιστή που, κατ` αρχήν, θα μπορούσε να απαριθμήσει όλα τα αξιώματα της θεωρίας χωρίς να συμπεριλάβει στη λίστα καμία δήλωση που δεν είναι αξίωμα.

Αυτό είναι ισοδύναμο με την ικανότητα να απαριθμήσει όλα τα θεωρήματα της θεωρίας χωρίς να απαριθμήσει καμία δήλωση που δεν είναι θεώρημα. Για παράδειγμα, η θεωρία της αριθμητικής του Πεάνο (η αξιωματική περιγραφή των φυσικών αριθμών) και η θεωρία συνόλων των Τσερμέλο-Φρένκελ έχουν άπειρο αριθμό αξιωμάτων η κάθε μια, και κάθε μια είναι αποτελεσματικά παραχθείσα.

Κατά την επιλογή ενός συνόλου από αξιώματα, ο στόχος είναι με βάση αυτά να μπορεί να αποδείξει κανείς όσο το δυνατόν περισσότερα σωστά αποτελέσματα, χωρίς να μπορεί να αποδείξει κανένα λανθασμένο αποτέλεσμα. Ένα σύνολο από αξιώματα είναι πλήρες αν, για κάθε δήλωση στη γλώσσα των αξιωμάτων, είτε η αυτή δήλωση είτε η άρνησή της μπορεί να αποδειχτεί από τα αξιώματα. Ένα σύνολο αξιωμάτων είναι (απλά) συνεπές αν δεν υπάρχει δήλωση τέτοια ώστε και αυτή και η άρνηση της να μπορούν να αποδειχτούν από τα αξιώματα.

Στο πρότυπο σύστημα της λογικής πρώτου βαθμού ένα συνεπές σύνολο αξιωμάτων θα αποδείξει κάθε δήλωση στη γλώσσα της (αυτό μερικές φορές καλείται η αρχή της έκρηξης) και είναι επομένως αυτόματα πλήρες. Ένα σύνολο από αξιώματα που είναι και πλήρες και συνεπές, παρόλα αυτά, αποδεικνύει ένα μέγιστο σύνολο από μη-αντιφατικά θεωρήματα. Τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκόντελ δείχνουν ότι σε συγκεκριμένες περιπτώσεις δεν είναι δυνατόν να έχουμε μια αποτελεσματικά παραχθείσα, πλήρη και συνεπή θεωρία.

Πρώτο θεώρημα μη πληρότητας

Το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας του Γκόντελ δηλώνει ότι Οποιαδήποτε αποτελεσματικά παραχθείσα θεωρία που είναι ικανή να εκφράσει τη στοιχειώδη αριθμητική δεν μπορεί να είναι και συνεπής και πλήρης. Συγκεκριμένα, για κάθε συνεπή, αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία που αποδεικνύει συγκεκριμένες αλήθειες βασικής αριθμητικής, υπάρχει μία αριθμητική δήλωση η οποία είναι αληθής, αλλά δεν μπορεί να αποδειχθεί από τη θεωρία (Kleene 1967, p. 250).

Η αληθής δήλωση που δεν μπορεί να αποδειχθεί στην οποία αναφέρεται το θεώρημα συχνά αναφέρεται ως “η πρόταση Γκόντελ” της θεωρίας. Αυτή δεν είναι μοναδική. Υπάρχουν άπειρες δηλώσεις στη γλώσσα της θεωρίας οι οποίες έχουν την ιδιότητα ότι είναι αληθείς και δεν μπορούν να αποδειχθούν.

Για κάθε συνεπή τυπική θεωρία Θ που περιλαμβάνει αρκετές ιδιότητες της θεωρίας αριθμών, η αντίστοιχη πρόταση Γκόντελ G ισχυρίζεται: “Η G δεν μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι αληθής μέσα στη θεωρία Θ”. Αν η G μπορούσε να αποδειχθεί μέσω των αξιωμάτων και των κανόνων συμπερασμού της Θ, τότε η Θ θα είχε ένα θεώρημα G, το οποίο αντίκειται στον εαυτό του, και άρα η θεωρία Θ θα ήταν ασυνεπής.

Αυτό σημαίνει ότι αν η θεωρία Θ είναι συνεπής τότε η G δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα σ` αυτή. Αυτό σημαίνει ότι ο ισχυρισμός της G, ότι η ίδια δεν αποδεικνύεται, είναι σωστός. Υπό αυτήν την έννοια η G όχι μόνο δεν μπορεί να αποδειχθεί αλλά είναι και αληθής. Συνεπώς αποδεικνύεται-μέσα-στη-θεωρία-Θ και αλήθεια δεν είναι το ίδιο. Η θεωρία Θ δεν είναι πλήρης (είναι μη πλήρης).

Αν η G είναι αληθής τότε η G δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσα στη θεωρία, και η θεωρία είναι μη πλήρης. Αν η G είναι ψευδής τότε η G μπορεί να αποδειχθεί μέσα στη θεωρία, και η θεωρία είναι ασυνεπής μιας και η G και αποδεικνύεται και αντικρούεται από την Θ.

Είναι δυνατόν να ορίσουμε μια μεγαλύτερη θεωρία Θ’ που να περιέχει όλη την Θ, συν την G ως πρόσθετο αξίωμα. Σε αυτήν την περίπτωση, η G είναι πράγματι θεώρημα στην Θ’ (τετριμμένα, μιας και είναι αξίωμα). Παρόλα αυτά, αυτό το θεώρημα μη πληρότητας τότε εφαρμόζεται στην Θ’. Θα υπάρχει μια νέα πρόταση Γκόντελ G’ για την Θ’, που θα δείχνει ότι η Θ’ είναι επίσης μη πλήρης. Κάθε θεωρία έχει τη δική της πρόταση Γκόντελ.

Για να αποδείξει το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας, ο Γκόντελ απαρίθμησε τις προτάσεις της θεωρίας: Σε κάθε πρόταση αντιστοίχισε έναν αριθμό. Σε αυτές τις προτάσεις συμπεριέλαβε και δηλώσεις πάνω στις ίδιες τις προτάσεις, οι οποίες θα πρέπει να είναι είτε αληθείς είτε ψευδείς. Θεώρησε την πρόταση “η πρόταση με τον αριθμό x δεν μπορεί να αποδειχτεί”.

Κατόπιν έδειξε ότι υπάρχει μια αντιστοίχιση, τέτοια ώστε η παραπάνω πρόταση να έχει τον αριθμό x. Έτσι η πρόταση παίρνει τη μορφή: “Η παρούσα πρόταση δεν μπορεί να αποδειχτεί”. Αν είναι αληθής, τότε υπάρχει μια πρόταση στη θεωρία που δεν είναι αποδείξιμη και επομένως η θεωρία δεν είναι πλήρης. Αν είναι ψευδής, τότε η συγκεκριμένη πρόταση μπορεί να αποδειχτεί. Μια θεωρία όμως μέσα στην οποία μπορεί να αποδειχτεί μια λάθος πρόταση είναι αντιφατική και άρα ασυνεπής.

Δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας

Το δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας Γκόντελ μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Για κάθε αποτελεσματικά παραχθείσα τυπική θεωρία Θ που συμπεριλαμβάνει βασικές αριθμητικές αλήθειες και επίσης συγκεκριμένες αλήθειες για την δυνατότητα τυπικής απόδειξης, η Θ συμπεριλαμβάνει δήλωση περί της ιδίας συνέπειας αν και μόνο αν η Θ είναι ασυνεπής.

Αυτό ενισχύει το πρώτο θεώρημα μη πληρότητας, επειδή η δήλωση που κατασκευάσαμε στο πρώτο θεώρημα μη πληρότητας δεν εκφράζει ευθέως την συνέπεια της θεωρίας. Η απόδειξη του δεύτερου θεωρήματος μη πληρότητας λαμβάνεται, ουσιαστικά, τυπικοποιόντας την απόδειξη του πρώτου θεωρήματος μη πληρότητας μέσα στην ίδια την θεωρία.

Μια τεχνική λεπτομέρεια στο δεύτερο θεώρημα μη πληρότητας είναι πως να εκφράσουμε την συνέπεια της Θ ως φόρμουλα στην γλώσσα της Θ. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να το κάνουμε, και δεν οδηγούν όλοι στο ίδιο αποτέλεσμα. Συγκεκριμένα, διαφορετικές τυπικοποιήσεις της αξίωσης ότι η Θ είναι συνεπής μπορεί να είναι ή να μην είναι ισοδύναμες στην Θ, και μερικές μπορεί ακόμα και να μπορούν να αποδειχθούν. Για παράδειγμα, η πρώτου βαθμού αριθμητική του Πεάνο (PA: Peano arithmetic) μπορεί να αποδείξει ότι το μεγαλύτερο συνεπές υποσύνολο της PA είναι συνεπές.

Αλλά μιας και η PA είναι συνεπής, το μεγαλύτερο συνεπές υποσύνολο της PA είναι απλά η PA, οπότε υπό αυτή την έννοια η PA «αποδεικνύει ότι είναι συνεπής». Αυτό που η PA δεν αποδεικνύει είναι πως το μεγαλύτερο συνεπές υποσύνολο της PA είναι, στην πραγματικότητα, ολόκληρη η PA. (Ο όρος «μεγαλύτερο συνεπές υποσύνολο της PA» είναι μάλλον ασαφής, αλλά αυτό που εννοούμε εδώ είναι το μεγαλύτερο συνεπές αρχικό κομμάτι των αξιωμάτων της PA ταξινομημένο σύμφωνα με κάποια κριτήρια. Για παράδειγμα, με τους «αριθμούς Γκόντελ», τους αριθμούς που κωδικοποιούν τα αξιώματα όπως στο σχήμα που χρησιμοποίησε ο Γκόντελ που αναφέρθηκε παραπάνω).

Περιορισμοί των θεωρημάτων του Γκόντελ

Τα συμπεράσματα των θεωρημάτων του Γκόντελ ισχύουν μόνο για τις τυπικές θεωρίες που ικανοποιούν τις απαραίτητες υποθέσεις. Δεν ικανοποιούν όλα τα αξιωματικά συστήματα αυτές τις υποθέσεις, ακόμα και όταν αυτά τα συστήματα έχουν μοντέλα που συμπεριλαμβάνουν τους φυσικούς αριθμούς ως υποσύνολο. Για παράδειγμα, υπάρχουν πρώτου βαθμού αξιωματικοποιήσεις της Ευκλείδειας γεωμετρίας και των πραγματικών κλειστών πεδίων που δεν ικανοποιούν τις υποθέσεις των θεωρημάτων του Γκόντελ.

Το γεγονός κλειδί είναι ότι αυτές οι αξιωματικοποιήσεις δεν είναι αρκετά εκφραστικές ώστε να ορίσουν το σύνολο των φυσικών αριθμών ή να αναπτύξουν βασικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών.  Οι Αρχαίοι Έλληνες, θεωρώντας ότι τα Μαθηματικά πρέπει να είναι διαχωρισμένα από την εμπειρική γνώση οδηγήθηκαν στη θεμελίωση του πρώτου αξιωματικού συστήματος των μαθηματικών, αυτό της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, ο Ευκλείδης περίπου το 300 π.κ.ε. με το βιβλίο του «Στοιχεία» που το αποτελούσαν 13 τόμοι, ήταν ο πρώτος που τοποθέτησε τη γεωμετρία σε αξιωματική βάση, δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος «Ευκλείδεια γεωμετρία».

Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση), τις γραμμές (με μία διάσταση) και τις επιφάνειες (με δύο διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για «γραμμές της ασφάλτου» ή «σιδηροδρομικές γραμμές», ή «ακτοπλοϊκές γραμμές» λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο.

Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις». Λέγεται ότι, όταν ζητήθηκε στον Ευκλείδη από τον Πτολεμαίο να του μάθει γεωμετρία, ο Πτολεμαίος του ζήτησε να μάθει μια «βασική» Γεωμετρία. Η απάντηση του Ευκλείδη ήταν «δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για τη Γεωμετρία»   

Πρωταρχικές έννοιες (ή αλλιώς, θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία γραμμή, η γραμμή, το επίπεδο και η επιφάνεια.  

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε [όχι ότι απαραίτητα είναι] ως αληθινές: τα αξιώματα. Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα αξιώματα) την θεωρούμε ώς αληθή μόνο εάν έχουμε καταλήξει – συμφωνήσει σε αυτή αποδεικνύοντας την με βάση τα αξιώματα, κατά συνέπεια κάθε αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης πρότασης.

Κάθε πρόταση περιέχει την Υ Π Ο Θ Ε Σ Η και το συμπέρασμα, στο οποίο καταλήγουμε με τη βοήθεια της όποιας απόδειξης.   

Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης.

Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται:

    -αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.

    -αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος

    -αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.

    Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα.

    Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη.

    Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στη Στερεομετρία.

Σχέση με την υπολογισιμότητα

Το θεώρημα μη πληρότητας έχει στενή συγγένεια με αρκετά αποτελέσματα σχετικά με τα μη-αποφασίσιμα σύνολα στη θεωρία αναδρομής, η οποία αποτελεί κεντρικό πυλώνα της επιστήμης υπολογιστών.

Ο Στίβεν Κλέινι (Stephen Cole Kleene) (1943) παρουσίασε μία απόδειξη του θεωρήματος μη πληρότητας του Γκόντελ χρησιμοποιώντας βασικά αποτελέσματα της θεωρίας υπολογισμού. Ένα τέτοιο αποτέλεσμα δείχνει ότι το πρόβλημα τερματισμού δεν έχει λύση: δεν υπάρχει πρόγραμμα υπολογιστή που δοθέντος ενός προγράμματος Π ως είσοδο, να μπορεί να αποφασίσει σωστά αν το Π τελικά σταματά όταν τρέξει χωρίς είσοδο.

Ο Κλιν έδειξε ότι η ύπαρξη μιας πλήρους, αποτελεσματικής θεωρίας της αριθμητικής με συγκεκριμένες ιδιότητες συνέπειας θα σήμαινε πως το πρόβλημα του τερματισμού είναι αποφασίσιμο (υπολογίσιμο), μια αντίφαση. Η μη-υπολογισιμότητα μπορεί επομένως να περιγραφεί ως συνέπεια της μη πληρότητας του Γκόντελ.

Επιγραμματικά

Για να εκτιμηθεί ο αντίκτυπος του θεωρήματος της μη πληρότητας του Godel, είναι κρίσιμο να καταλάβουμε πώς τα μαθηματικά ήταν αντιληπτά την περίοδο που αποδείχθηκε. Μετά από πολλούς αιώνες συνύπαρξης υπό ίσους όρους ασαφών διαισθητικών αντιλήψεων και ακριβούς λογικής, τα μαθηματικά στο τέλος του 19ου αιώνα άρχισαν να αποσαφηνίζονται. Επινοήθηκαν τα αποκαλούμενα τυπικά συστήματα.

Στα τυπικά συστήματα τα θεωρήματα, με χρήση αυστηρών κανόνων, βλαστάνουν από τα αξιώματα όπως τα κλαδιά από ένα δέντρο. Αυτή η διαδικασία έπρεπε να αρχίσει από κάπου. Και τα αξιώματα ήταν αυτοί οι αρχέγονοι σπόροι από τους οποίους όλα τα άλλα αναπήδησαν.

Η δύναμη αυτού του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών ήταν ότι εξάλειπτε την ανάγκη για τη σκέψη ή την κρίση. Εφ’ όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ’ όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. Η αλήθεια θεωρητικά ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας.

Έτσι εάν κάναμε τη δήλωση «κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων» θα ήμασταν σε θέση να αποδείξουμε αυστηρά, από τα αξιώματα, είτε ότι είναι αληθής είτε ότι είναι ψευδής. Οι λέξεις «αληθές» και «ψευδές» θα γίνονταν συνώνυμα των «αποδείξιμο» και «διαψεύσιμο» αντίστοιχα, μέσα στο σύστημα αυτό. Το Principia Mathematica των Russell και Whitehead ήταν η διασημότερη προσπάθεια να βρεθεί ένα τέτοιο σύστημα.

Το θεώρημα του Godel κατέρριψε την ελπίδα αυτήν εντελώς. Δε βρήκε απλά μια ρωγμή στο συλλογισμό των Russell και Whitehead, η οποία πιθανώς θα μπορούσε να επιδιορθωθεί. Έδειξε ότι ο ολόκληρος στόχος είναι ανεπίτευκτος! Πιο συγκεκριμένα, ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα.

Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες. Το θεώρημα του Godel έχει χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ να γίνει τόσο έξυπνος όσο ένας άνθρωπος επειδή η έκταση της γνώσης του πρώτου περιορίζεται από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, ενώ οι άνθρωποι μπορούν να ανακαλύψουν απροσδόκητες αλήθειες.

Παίζει ρόλο στις σύγχρονες γλωσσικές θεωρίες, οι οποίες υπογραμμίζουν τη δύναμη της γλώσσας να βρίσκει νέους τρόπους να εκφραστούν οι ιδέες.

Eχει επίσης χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι δεν θα γίνουμε ποτέ κατανοητοί από τον εαυτό μας, δεδομένου ότι το μυαλό σας, είναι κι αυτό ένα κλειστό σύστημα. Όπως δεν μπορούμε να δούμε τα πρόσωπά μας με τα μάτια μας, δεν μπορούμε να καθρεπτίσουμε πλήρως τις διανοητικές μας δομές στον ίδιο μας τον εγκέφαλο.

Ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος είναι πως δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον κόσμο μέσω της (παραδόξως) συνεπούς λογικής του. Πώς μπορούμε να αποφανθούμε εάν η λογική μας είναι παράδοξη ή όχι, δεδομένου ότι έχουμε μόνο τη λογική μας για να το κρίνουμε;

«Πιστεύω, ότι ο Όσκαρ Ουάιλντ δεν πιστεύει, ότι πιστεύω,
ότι δεν πιστεύει πως πιστεύω, αυτή τη ρήση. ‘Η όχι.»
~ Ο Όσκαρ Ουάιλντ για το Θεώρημα της μη πληρότητας

«Δεν το τρώω αυτό, μην επιμένετε»
~ Κουρτ Γκέντελ για το ίδιο Θεώρημα