ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ: Αρχύτας

Ο Αρχύτας από τον Τάραντα ήταν Έλληνας μαθηματικός, πολιτικός ηγέτης και φιλόσοφος, που έδρασε στο πρώτο μισό του τέταρτου αιώνα π.Χ. (δηλαδή, κατά τη διάρκεια της ζωής του Πλάτωνα). Ήταν η τελευταία εξέχουσα προσωπικότητα στην πρώιμη Πυθαγόρεια παράδοση και η κυρίαρχη πολιτική προσωπικότητα στον Τάραντα, εκλεγμένος στρατηγός επτά συνεχόμενες φορές. Έστειλε ένα πλοίο για να σώσει τον Πλάτωνα από τα νύχια του τυράννου των Συρακουσών, Διονυσίου Β', το 361, αλλά οι προσωπικές και φιλοσοφικές του συνδέσεις με τον Πλάτωνα είναι περίπλοκες και υπάρχουν πολλά σημάδια διαφωνίας μεταξύ των δύο φιλοσόφων. Ένας μεγάλος αριθμός ψευδοεπιγράφων γράφτηκε στο όνομα του Αρχύτα από τον πρώτο αιώνα π.Χ. και μόνο τέσσερα αποσπάσματα του γνήσιου έργου του σώζονται, αν και αυτά συμπληρώνονται από μια σειρά σημαντικών μαρτυριών. Ο Αρχύτας ήταν ο πρώτος που έλυσε ένα από τα πιο διάσημα μαθηματικά προβλήματα της αρχαιότητας, την αντιγραφή του κύβου. Έχουμε επίσης την απόδειξή του που δείχνει ότι οι λόγοι της μορφής (n + 1) : n , οι οποίοι είναι σημαντικοί στη μουσική θεωρία, δεν μπορούν να διαιρεθούν με μια μέση αναλογία. Ήταν ο πιο εξελιγμένος από τους Πυθαγόρειους αρμονικούς θεωρητικούς και παρείχε μαθηματικές ερμηνείες των μουσικών κλιμάκων που χρησιμοποιούσαν οι μουσικοί της εποχής του. Ο π. 1 του Αρχύτα μπορεί να είναι το πρώτο κείμενο που προσδιορίζει την ομάδα των τεσσάρων κανονικών επιστημών (λογιστική [αριθμητική], γεωμετρία, αστρονομία και μουσική), οι οποίες θα γίνονταν γνωστές ως quadrivium στον Μεσαίωνα. Υπάρχουν επίσης ορισμένες ενδείξεις ότι συνέβαλε στην ανάπτυξη της επιστήμης της οπτικής και έθεσε τα μαθηματικά θεμέλια για την επιστήμη της μηχανικής. Έβλεπε τον απώτερο στόχο των επιστημών ως την περιγραφή των μεμονωμένων πραγμάτων στον κόσμο με όρους αναλογίας και λόγου και κατά συνέπεια θεωρούσε τη λογιστική, την επιστήμη του αριθμού και της αναλογίας, ως την κυρίαρχη επιστήμη. Ο ορθολογικός υπολογισμός και η κατανόηση της αναλογίας ήταν επίσης οι βάσεις της δίκαιης πολιτείας και της καλής ζωής για ένα άτομο. Έδωσε ορισμούς των πραγμάτων που λάμβαναν υπόψη τόσο την ύλη τους όσο και τη μορφή τους. Αν και έχουμε λίγες πληροφορίες για την κοσμολογία του, ανέπτυξε το πιο διάσημο επιχείρημα για το άπειρο του σύμπαντος στην αρχαιότητα.

1. Ζωή και Έργα

1.1 Οικογένεια, Εκπαιδευτικοί και Μαθητές· Ημερομηνία
1.2 Πηγές
1.3 Αρχύτας και Τάρεντος
1.4 Αρχύτας και Πλάτωνας
1.5 Το ζήτημα της αυθεντικότητας
1.6 Ψευδοεπίγραφα που αποδίδονται στον Αρχύτα
1.7 Γνήσια Έργα και Μαρτυρίες
2. Ο Αρχύτας ως Μαθηματικός και Θεωρητικός της Αρμονίας

2.1 Διπλασιασμός του κύβου
2.2 Μουσική και Μαθηματικά
2.3 Αξιολόγηση του Αρχύτα ως Μαθηματικού
3. Ο Αρχύτας και οι Επιστήμες

3.1 Η Αξία των Επιστημών
3.2 «Λογιστική» ως Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης
3.3 Οπτική και Μηχανική
4. Ορισμοί
5. Κοσμολογία και Φυσική
6. Ηθική και Πολιτική Φιλοσοφία
7. Σημασία και Επιρροή

1. Ζωή και Έργα

1.1 Οικογένεια, Εκπαιδευτικοί και Μαθητές· Ημερομηνία

Ο Αρχύτας, γιος του Εστιαίου (βλ. Αριστόξενος στο Diels-Kranz 1952, κεφ. 47, απόσπασμα A1· συντομογραφία DK47 A1), έζησε στην Ελληνική πόλη Τάραντα, στην άκρη της μπότας της Ιταλίας. Η μεταγενέστερη παράδοση τον προσδιορίζει σχεδόν καθολικά ως Πυθαγόρειο (π.χ., A1, A2, A7, A16). Ο Αριστοτέλης και ο μαθητής του Εύδημος δεν αποκαλούν ρητά τον Αρχύτα Πυθαγόρειο και φαίνεται να τον αντιμετωπίζουν ως σημαντικό ανεξάρτητο στοχαστή. Ο Πλάτωνας δεν αναφέρεται ποτέ στον Αρχύτα ονομαστικά εκτός από την Έβδομη Επιστολή, αν αυτή είναι του Πλάτωνα (βλ. §1.4 παρακάτω), και δεν αποκαλείται Πυθαγόρειος εκεί. Στην Πολιτεία , ωστόσο, όταν ο Πλάτωνας παραθέτει μια πρόταση που εμφανίζεται στο Πράγμα 1 του Αρχύτα (DK47 B1), την χαρακτηρίζει ρητά ως μέρος των Πυθαγόρειων αρμονικών (530d). Ο Κικέρων (de Orat. III 34. 139) αναφέρει ότι ο Αρχύτας ήταν μαθητής του Φιλόλαου, κάτι που δεν είναι απίθανο. Ο Φιλόλαος ήταν ο πιο εξέχων Πυθαγόρειος της προηγούμενης γενιάς (περίπου 470–390) και μπορεί να δίδαξε στον Τάραντα. Τα επιτεύγματα του Αρχύτα στα μαθηματικά εξαρτώνται από το έργο του Ιπποκράτη της Χίου, αλλά δεν έχουμε στοιχεία ότι σπούδασε με τον Ιπποκράτη. Ο μόνος μαθητής του Αρχύτα που είναι κάτι περισσότερο από ένα όνομα είναι ο Εύδοξος (περίπου 390–340), ο εξέχων μαθηματικός. Ο Εύδοξος πιθανώς δεν έμαθε τον περίφημο ηδονισμό του από τον Αρχύτα (βλ. DK47 A9), και λέγεται ότι σπούδασε συγκεκριμένα γεωμετρία με τον Αρχύτα (Διογένης Λαέρτιος VIII 86).

Ο Αρχύτας ήταν, σε γενικές γραμμές, σύγχρονος του Πλάτωνα, αλλά είναι δύσκολο να είμαστε πιο ακριβείς σχετικά με τις ημερομηνίες του. Ο μαθητής του Αριστοτέλη, Εύδημος, τον παρουσιάζει ως σύγχρονο του Πλάτωνα (γεννημένος το 428/7) και του Λεοδάμαντα (γεννημένος περίπου το 430), αφενός, και του Θεαίτητου (γεννημένος περίπου το 415), αφετέρου (A6). Δεδομένου ότι θα ήταν δύσκολο να τον ονομάσουμε σύγχρονο του Θεαίτητου, αν γεννήθηκε πολύ νωρίτερα από το 435, αυτή είναι η νωρίτερη πιθανή ημερομηνία που ήταν. Από την άλλη πλευρά, θα μπορούσε να είχε γεννηθεί ακόμη και το 410 και να εξακολουθεί να θεωρείται σύγχρονος του Πλάτωνα. Ο Στράβων συνδέει τον Αρχύτα με την άνθηση του Τάρεντου, πριν από μια περίοδο παρακμής, κατά την οποία ο Τάρεντος προσέλαβε μισθοφόρους στρατηγούς (A4). Δεδομένου ότι οι μισθοφόροι εμφανίζονται περίπου το 340, φαίνεται πιθανό ότι ο Αρχύτας πέθανε το αργότερο το 350. Μια τέτοια χρονολογία συμφωνεί με άλλα στοιχεία (A5 = [Δημοσθένης], Erot. Or. 61.46), τα οποία συνδέουν τον Αρχύτα με τον Τιμόθεο, ο οποίος πέθανε περίπου το 355, και με την Έβδομη Επιστολή του Πλάτωνα (?) (350a), η οποία παρουσιάζει τον Αρχύτα να εξακολουθεί να δραστηριοποιείται στον Τάραντα το 361. Έτσι, ο Αρχύτας γεννήθηκε μεταξύ 435 και 410 και πέθανε μεταξύ 360 και 350.

Μερικοί μελετητές (π.χ., Ciaceri 1927–32: III 4) έχουν υποθέσει ότι ο ομιλητής της Ωδής του Αρχύτα (I 28 = A3) του Ρωμαίου ποιητή Οράτιου είναι ο ίδιος ο Αρχύτας και ως εκ τούτου έχουν συμπεράνει ότι ο Αρχύτας πέθανε σε ναυάγιο. Η καθιερωμένη ερμηνεία, ωστόσο, ορθώς αναγνωρίζει ότι ο ομιλητής δεν είναι ο Αρχύτας αλλά ένας ναυαγός που αποστροφιάζει τον Αρχύτα (Nisbet και Hubbard 1970, 317 κ.ε.). Η ωδή δεν μας λέει τίποτα για τον θάνατο του Αρχύτα, αλλά είναι ένα από τα πολλά στοιχεία που αποδεικνύουν τη γοητεία που άσκησαν στον Αρχύτα οι Ρωμαίοι συγγραφείς του πρώτου αιώνα π.Χ. (Προπέρτιος IV 1b.77· Βάρρων στο B8· Κικέρων, Rep. I 38.59, I 10.16· Fin. V 29.87· Tusc. IV 36.78, V 23.64, de Orat. III 34.139· Amic. XXIII 88· Sen. XII 39–41), ίσως επειδή ο Πυθαγορισμός είχε αρχίσει να θεωρείται ως μια εγγενής ιταλική φιλοσοφία και όχι ως Ελληνική εισαγωγή (Burkert 1961· Powell 1995, 11 κ.ε.).

1.2 Πηγές

Εκτός από τα σωζόμενα αποσπάσματα των γραπτών του, η γνώση μας για τη ζωή και το έργο του Αρχύτα εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από συγγραφείς που έγραψαν στο δεύτερο μισό του τέταρτου αιώνα, πενήντα χρόνια μετά τον θάνατο του Αρχύτα. Η σημασία του Αρχύτα τόσο ως διανοούμενου όσο και ως πολιτικού ηγέτη αντικατοπτρίζεται στον αριθμό των γραπτών που δημοσιεύτηκαν γι' αυτόν σε αυτή την περίοδο, αν και μόνο αποσπάσματα αυτών των έργων έχουν διασωθεί. Ο Αριστοτέλης έγραψε ένα έργο σε τρεις τόμους για τη φιλοσοφία του Αρχύτα, περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο προκάτοχό του, καθώς και ένα δεύτερο έργο, που αποτελείται από μια περίληψη του Τίμαιου του Πλάτωνα και των γραπτών του Αρχύτα (A13). Δυστυχώς, σχεδόν τίποτα από αυτά τα έργα δεν έχει διασωθεί. Οι μελετητές τα θεωρούν γενικά αυθεντικά (Huffman 2005: 583–94), αλλά ο Schofield πρόσφατα εξέφρασε ορισμένες αμφιβολίες (2014: 81–2). Ο μαθητής του Αριστοτέλη, Εύδημος, συζήτησε τον Αρχύτα με περίοπτη θέση στην ιστορία της γεωμετρίας (A6 και A14) και στο έργο του για τη φυσική (A23 και A24). Ένας άλλος μαθητής του Αριστοτέλη, ο Αριστόξενος, έγραψε τον Βίο του Αρχύτα, ο οποίος αποτελεί τη βάση για μεγάλο μέρος της βιογραφικής παράδοσης που τον αφορά (A1, A7, A9). Ο Αριστόξενος (375-περίπου 300) ήταν σε καλή θέση να έχει ακριβείς πληροφορίες για τον Αρχύτα. Γεννήθηκε στον Τάραντα και μεγάλωσε κατά τη διάρκεια της ακμής του Αρχύτα στην πόλη. Εκτός από τις όποιες προσωπικές γνώσεις είχε για τον Αρχύτα, αντλεί πληροφορίες από τον πατέρα του, τον Σπίνθαρο, ο οποίος ήταν νεότερος σύγχρονος του Αρχύτα, ως πηγή (π.χ., A7). Ο Αριστόξενος ξεκίνησε τη φιλοσοφική του καριέρα ως Πυθαγόρειος και σπούδασε με τον Πυθαγόρειο Ξενόφιλο στην Αθήνα, επομένως δεν προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η απεικόνιση του Αρχύτα είναι σε μεγάλο βαθμό θετική. Παρ' όλα αυτά, οι αντίπαλοι του Αρχύτα τυγχάνουν δίκαιης ακρόασης (π.χ., ο Πολύαρχος στο A9), και ο ίδιος ο Αρχύτας παρουσιάζεται ως μη απαλλαγμένος από μικρά ελαττώματα χαρακτήρα (A7). Άλλες πηγές του τέταρτου αιώνα, όπως η Έβδομη Επιστολή στο πλατωνικό σώμα και ο Ερωτικός Λόγος του Δημοσθένη (;) , εστιάζουν στη σύνδεση μεταξύ Αρχύτα και Πλάτωνα (βλ. παρακάτω).

1.3 Αρχύτας και Τάρεντος

Ο Αρχύτας είναι μοναδικός μεταξύ των Ελλήνων φιλοσόφων για τον εξέχοντα ρόλο που έπαιξε στην πολιτική της γενέτειράς του. Εξελέγη στρατηγός (στρατηγός) επτά συνεχόμενα χρόνια σε ένα σημείο της καριέρας του (A1), ένα ιστορικό που μας θυμίζει τον Περικλή στην Αθήνα. Η εκλογή του αποτελούσε εξαίρεση από έναν νόμο, ο οποίος απαγόρευε την εκλογή σε διαδοχικά έτη, και έτσι πιστοποιεί τη φήμη του στον Τάραντα. Ο Αριστόξενος αναφέρει ότι ο Αρχύτας δεν ηττήθηκε ποτέ σε μάχη και ότι, όταν σε κάποιο σημείο αναγκάστηκε να αποσυρθεί από τη θέση του από τον φθόνο των εχθρών του, οι Ταρεντίνοι υπέστησαν αμέσως ήττα (A1). Πιθανότατα υπηρέτησε ως μέλος ενός συμβουλίου στρατηγών (υπήρχε ένα συμβούλιο δέκα ατόμων στην Αθήνα). Η αναλογία με την Αθήνα υποδηλώνει ότι ως στρατηγός μπορεί επίσης να είχε ειδικά προνόμια να απευθύνεται στη συνέλευση στον Τάραντα για ζητήματα σημαντικά για την πόλη, έτσι ώστε η θέση του ως στρατηγού του έδινε σημαντική πολιτική αλλά και στρατιωτική δύναμη. Σε κάποιο σημείο της καριέρας του, μπορεί να ορίστηκε γενικός αυτοκράτορας («πληρεξούσιος») (A2), γεγονός που του έδινε ιδιαίτερη ελευθερία στην αντιμετώπιση διπλωματικών και στρατιωτικών ζητημάτων χωρίς να συμβουλεύεται τη συνέλευση, αν και αυτή δεν ήταν δικτατορική εξουσία και όλες οι ρυθμίσεις πιθανότατα απαιτούσαν την τελική έγκριση της συνέλευσης. Δεν γνωρίζουμε πότε ο Αρχύτας υπηρέτησε τα επτά συνεχόμενα χρόνια του ως στρατηγός. Κάποιοι έχουν υποθέσει ότι πρέπει να συμπίπτουν με την επταετή περίοδο που περιλαμβάνει τη δεύτερη και τρίτη επίσκεψη του Πλάτωνα στην Ιταλία και τη Σικελία, 367–361 (π.χ., Wuilleumier 1939, 68–9), αλλά ο Αρχύτας δεν ήταν απαραίτητο να ήταν στρατηγός για να παίξει τον ρόλο που του ανατέθηκε κατά τη διάρκεια αυτών των ετών στην Έβδομη Επιστολή. Τα στοιχεία υποδηλώνουν ότι οι περισσότερες στρατιωτικές εκστρατείες του Αρχύτα δεν στρεφόντουσαν εναντίον άλλων Ελλήνων αλλά εναντίον ιθαγενών Ιταλικών λαών, όπως οι Μεσσαπικοί και οι Λουκανοί, με τους οποίους το Τάρεντον βρισκόταν σε συνεχή σύγκρουση από την ίδρυσή του.

Είναι σημαντικό να αναγνωρίσουμε ότι ο Τάρεντος, στον οποίο ο Αρχύτας άσκησε τέτοια επιρροή, δεν ήταν κάποιο ασήμαντο οπισθόχωρο. Σπαρτιάτες άποικοι τον ίδρυσαν το 706. Αρχικά επισκιάστηκε από άλλες Ελληνικές αποικίες στη νότια Ιταλία, όπως ο Κρότωνας, αν και είχε το καλύτερο λιμάνι στη νότια ακτή της Ιταλίας και ήταν το φυσικό σημείο στάσης για τυχόν πλοία που έπλεαν δυτικά από την ηπειρωτική Ελλάδα. Ο Αρχύτας θα μεγάλωσε σε έναν Τάρεντο που, σύμφωνα με την ίδρυσή του από τη Σπάρτη, τάχθηκε στο πλευρό των Πελοποννησίων και των Συρακούσιων εναντίον της Αθήνας στον Πελοποννησιακό Πόλεμο (Θουκ. VI 44; VI 104; VII 91). Η Αθήνα συμμάχησε με τους Μεσσαπίους (Θουκ. VII 33), τον μακροχρόνιο εχθρό των Ταρεντίνων, εναντίον των οποίων ο Αρχύτας αργότερα θα ηγούνταν εκστρατειών (A7). Μετά τον Πελοποννησιακό Πόλεμο, ο Τάρεντος φαίνεται να απέφυγε την άμεση εμπλοκή στη σύγκρουση μεταξύ του τυράννου των Συρακουσών, Διονυσίου Α΄, και μιας συμμαχίας Ελληνικών πόλεων στη νότια Ιταλία με επικεφαλής τον Κρότωνα. Αφού ο Διονύσιος συνέτριψε τη συμμαχία, ο Τάραντας αναδείχθηκε ως το ισχυρότερο ελληνικό κράτος στη νότια Ιταλία και πιθανώς έγινε ο νέος επικεφαλής της συμμαχίας των ιταλικών Ελληνικών πόλεων (A2). Κατά την περίοδο 380-350, όταν ο Αρχύτας βρισκόταν στην ακμή και τα γεράματά του, ο Τάραντας ήταν μια από τις ισχυρότερες πόλεις στον Eλληνικό κόσμο (Purcell 1994, 388). Η περιγραφή του Στράβωνα για τη στρατιωτική του ισχύ (VI 3.4) συγκρίνεται ευνοϊκά με την περιγραφή του Θουκυδίδη για την Αθήνα στην αρχή του Πελοποννησιακού πολέμου (II. 13).

Παρά τις προγονικές του διασυνδέσεις με τη Σπάρτη, η οποία ήταν ολιγαρχία, το Τάρεντο φαίνεται να ήταν δημοκρατία κατά τη διάρκεια της ζωής του Αρχύτα. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη (Πολ. 1303α), η δημοκρατία ιδρύθηκε μετά τον θάνατο ενός μεγάλου μέρους της αριστοκρατίας του Τάρεντο σε μάχη με έναν ιθαγενή λαό, τους Ιαπύγους, το 473. Ο Ηρόδοτος επιβεβαιώνει ότι αυτή ήταν η μεγαλύτερη σφαγή Ελλήνων για την οποία γνώριζε (VII 170). Δεν υπάρχουν στοιχεία ότι το Τάρεντο ήταν οτιδήποτε άλλο εκτός από δημοκρατία μεταξύ της ίδρυσης της δημοκρατίας το 473 και του θανάτου του Αρχύτα περίπου το 350. Μερικοί μελετητές έχουν υποστηρίξει ότι οι δεσμοί του Τάρεντο με τη Σπάρτη και η υποτιθέμενη προτίμηση των Πυθαγορείων για την αριστοκρατία θα έχουν διασφαλίσει ότι το Τάρεντο δεν θα παρέμενε δημοκρατία για πολύ και ότι δεν ήταν δημοκρατία υπό τον Αρχύτα (Minar 1942, 88–90· Ciaceri 1927–32, II 446–7). Ο Στράβων, ωστόσο, περιγράφει ρητά τον Τάρεντο ως δημοκρατία κατά την εποχή της ακμής του υπό τον Αρχύτα (A4), και οι περιγραφές της εξουσίας του Αρχύτα στον Τάρεντο τονίζουν τη δημοτικότητά του στις μάζες και την εκλογή του ως στρατηγού από τους πολίτες (A1 και A2). Τέλος, η περιγραφή του Αριστοτέλη για τη δομή της κυβέρνησης του Ταρεντίνου τον τέταρτο αιώνα (Pol. 1291b14), αν και πιθανώς συνεπής με άλλες μορφές διακυβέρνησης, έχει περισσότερο νόημα αν ο Τάρεντος ήταν δημοκρατία. Το ίδιο ισχύει και για τον π. Β3 του Αρχύτα, με την έμφαση που δίνει σε μια πιο ισότιμη κατανομή του πλούτου.

1.4 Αρχύτας και Πλάτωνας

Ο Αρχύτας ήταν πιο διάσημος στην αρχαιότητα και είναι πιο διάσημος στον σύγχρονο κόσμο για την αποστολή ενός πλοίου για να σώσει τον Πλάτωνα από τον τύραννο των Συρακουσών, Διονύσιο Β΄, το 361. Και στους δύο σωζόμενους αρχαίους βίους του Αρχύτα (του Διογένη Λαέρτιου, VIII 79–83, και στη Σούδα) το πρώτο πράγμα που αναφέρεται γι' αυτόν, μετά το όνομα της πόλης-κράτους του και του πατέρα του, είναι η διάσωση του Πλάτωνα (A1 και A2). Αυτή η ιστορία αφηγείται με τη μεγαλύτερη λεπτομέρεια στην Έβδομη Επιστολή που αποδίδεται στον Πλάτωνα. Συνεπώς, είναι σύνηθες να αναγνωρίζεται ο Αρχύτας ως «φίλος του Πλάτωνα» (Mathieu 1987). Ο Αρχύτας συναντήθηκε για πρώτη φορά με τον Πλάτωνα είκοσι χρόνια νωρίτερα, όταν ο Πλάτωνας επισκέφθηκε τη νότια Ιταλία και τη Σικελία για πρώτη φορά το 388/7, κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του μετά τον θάνατο του Σωκράτη (Πλ. [?], Επ. VII 324a, 326b-d· Κικέρων, Έκθεση I 10. 16· Φιλόδημος, Ακαδ. Ινδ. X 5–11· πρβλ. DL III 6). Μερικοί μελετητές έχουν θεωρήσει τον Αρχύτα ως την κυρίαρχη φιγούρα στη σχέση (Zhmud 2006, 93) και ακόμη και ως το «νέο πρότυπο φιλοσόφου για τον Πλάτωνα» (Vlastos 1991, 129) και το αρχέτυπο του φιλοσόφου-βασιλιά του Πλάτωνα (Guthrie 1962, 333). Η πραγματική κατάσταση φαίνεται να είναι πολύ πιο περίπλοκη. Τα αρχαία στοιχεία, εκτός από την Έβδομη Επιστολή, παρουσιάζουν τη σχέση μεταξύ Αρχύτα και Πλάτωνα με διαμετρικά αντίθετους τρόπους. Μια παράδοση παρουσιάζει τον Αρχύτα ως τον Πυθαγόρειο δάσκαλο, στα πόδια του οποίου κάθισε ο Πλάτωνας, μετά τον θάνατο του Σωκράτη (π.χ. Κικέρων, Απ. I 10.16), αλλά μια άλλη παράδοση καθιστά τον Αρχύτα μαθητή του Πλάτωνα, στον οποίο όφειλε τη φήμη και την επιτυχία του στον Τάραντα (Δημοσθένης [?], Ερωτικός Λόγος 44).

Η ίδια η Έβδομη Επιστολή αμφισβητείται ως αυθεντική. Πολλοί μελετητές τη θεωρούν είτε ως έργο του ίδιου του Πλάτωνα είτε ενός μαθητή του Πλάτωνα που γνώριζε επαρκώς τη συμμετοχή του Πλάτωνα στα γεγονότα στη Σικελία (βλ. π.χ., Brisson 1987; Lloyd 1990; Schofield 2000), αλλά σοβαρές αμφιβολίες για αυτήν την άποψη έχουν διατυπωθεί από τους Burnyeat και Frede (2015). Η επιστολή φαίνεται να χρησιμεύει ως απολογία για τη συμμετοχή του Πλάτωνα στα γεγονότα στη Σικελία. Ο Lloyd έχει υποστηρίξει, ωστόσο, ότι η επιστολή χρησιμεύει επίσης για να αποστασιοποιήσει τον Πλάτωνα από τον Πυθαγορειανισμό και από τον Αρχύτα (1990). Τίποτα στην επιστολή δεν υποδηλώνει ότι ο Πλάτωνας ήταν ποτέ μαθητής του Αρχύτα. Αντίθετα, η σχέση είναι πολύ πιο κοντά σε αυτήν που παρουσιάζεται στον Ερωτικό Λόγο. Ο Πλάτωνας παρουσιάζεται ως η κυρίαρχη μορφή από την οποία εξαρτάται ο Αρχύτας τόσο φιλοσοφικά όσο και πολιτικά. Ο Αρχύτας γράφει στον Πλάτωνα ισχυριζόμενος ότι ο Διονύσιος Β' έχει σημειώσει μεγάλη πρόοδο στη φιλοσοφία, προκειμένου να παροτρύνει τον Πλάτωνα να έρθει στη Σικελία για τρίτη φορά (339d-e). Αυτοί οι ισχυρισμοί διαψεύδονται μόλις φτάνει ο Πλάτωνας (340b). Η επιστολή υποδηλώνει έτσι ότι, αντί να είναι ο Πυθαγόρειος δάσκαλος από τον οποίο ο Πλάτωνας έμαθε τη φιλοσοφία του, ο Αρχύτας είχε μια πολύ ατελή κατανόηση του τι θεωρούσε ο Πλάτωνας φιλοσοφία. Η επιστολή καθιστά σαφές ότι ο Πλάτωνας έχει μια σχέση ξενίας, «φιλίας-φιλίας», με τον Αρχύτα και άλλους στον Τάραντα (339e, 350a). Αυτή η σχέση θα μπορούσε να είχε δημιουργηθεί κατά την πρώτη επίσκεψη του Πλάτωνα το 388/7, αφού ο Πλάτωνας τη χρησιμοποιεί ως βάση για να δημιουργήσει μια παρόμοια σχέση μεταξύ του Αρχύτα και του Διονυσίου Β' κατά τη δεύτερη επίσκεψή του το 367 (338c). Είναι επίσης η σχέση για την οποία ο Πλάτωνας απευθύνεται στον Αρχύτα για βοήθεια, όταν κινδυνεύει μετά την άσχημα απογείωση του τρίτου ταξιδιού στη Σικελία (350a). Ωστόσο, μια τέτοια φιλία δεν υπονοεί απαραίτητα κάποια στενή προσωπική οικειότητα. Ο Αριστοτέλης κατατάσσει την ξενία ως φιλία για ωφέλεια και επισημαίνει ότι τέτοιοι φίλοι δεν περνούν απαραίτητα πολύ χρόνο μαζί ή δεν βρίσκουν καν ευχάριστη την παρέα ο ένας του άλλου (EN 1156a26 κ.ε.). Εκτός από τη διάσωση του Πλάτωνα από τον Αρχύτα το 361 (ακόμα και αυτή περιγράφεται ως επινοημένη από τον Πλάτωνα [350a]), ο Πλάτωνας είναι σαφώς η κυρίαρχη φιγούρα στη σχέση. Ο Αρχύτας απεικονίζεται ως κατώτερος του Πλάτωνα στην κατανόηση της φιλοσοφίας, και ο Πλάτωνας παρουσιάζεται ακόμη και ως υπεύθυνος για μέρος της πολιτικής επιτυχίας του Αρχύτα, στο βαθμό που εδραιώνει τη σχέση μεταξύ του Αρχύτα και του Διονυσίου Β', η οποία περιγράφεται ως σημαντικής πολιτικής σημασίας (339d).

Πώς θα ξεδιαλύνουμε την πραγματική φύση της σχέσης μεταξύ Πλάτωνα και Αρχύτα υπό το φως αυτών των αντικρουόμενων στοιχείων; Εκτός από την Έβδομη Επιστολή, ο Πλάτωνας δεν κάνει ποτέ άμεση αναφορά στον Αρχύτα. Ωστόσο, ουσιαστικά παραθέτει μια πρόταση από το βιβλίο του Αρχύτα για τις αρμονικές στο Βιβλίο VII της Πολιτείας (530d), και οι συζητήσεις του για την επιστήμη της στερεομετρίας λίγο πριν από αυτήν είναι πιθανό να έχουν κάποιες συνδέσεις με το έργο του Αρχύτα στη στερεά γεωμετρία (528d). Έτσι, στο πλαίσιο της συζήτησης για τις επιστήμες ο Πλάτωνας αναφέρεται στον Αρχύτα, και τα υπολείμματα του έργου του Αρχύτα επικεντρώνονται ακριβώς στις επιστήμες (π.χ., π. Β1). Και τα δύο σκέλη της παράδοσης μπορούν να συμβιβαστούν, αν υποθέσουμε ότι η πρώτη επίσκεψη του Πλάτωνα στην Ιταλία και τη Σικελία υποκινήθηκε τουλάχιστον εν μέρει από την επιθυμία του να συναντήσει τον Αρχύτα, όπως ισχυρίζεται η πρώτη παράδοση, αλλά ότι αναζήτησε τον Αρχύτα όχι ως νέο «πρότυπο φιλόσοφο» αλλά μάλλον ως ειδικό στις μαθηματικές επιστήμες, για τις οποίες ο Πλάτωνας είχε αναπτύξει βαθύ ενδιαφέρον. Στην Πολιτεία Ζ΄, ο Πλάτωνας ασκεί κριτική στις Πυθαγόρειες αρμονικές και στο τρέχον έργο στη στερεά γεωμετρία σε φιλοσοφικά εδάφη, έτσι ώστε, ενώ αναμφίβολα έμαθε ένα σημαντικό ποσό μαθηματικών από τον Αρχύτα και σημαντικά αποσπάσματα του Πλάτωνα (π.χ. Γοργίας 507e6–8a8 με την αναφορά της «γεωμετρικής ισότητας» και Φίληβος 64d-e) μπορεί να δείχνουν την επιρροή του έργου του Αρχύτα στην αναλογία, διαφωνούσε σαφώς με την κατανόηση του Αρχύτα για τις φιλοσοφικές χρήσεις των επιστημών. Το 388 ο Τάρεντος δεν είχε φτάσει ακόμη στο απόγειο της δύναμής του, και ο Αρχύτας πιθανότατα δεν είχε επιτύχει ακόμη την πολιτική του κυριαρχία, έτσι ώστε να υπάρχει και κάποια αλήθεια στον ισχυρισμό της δεύτερης παράδοσης ότι ο Αρχύτας δεν πέτυχε τη μεγάλη πρακτική του επιτυχία παρά μόνο μετά την επαφή του με τον Πλάτωνα. Το αν αυτή η επιτυχία είχε κάποια άμεση σχέση με την επαφή του με τον Πλάτωνα είναι πιο αμφίβολο. Κατά την πρώτη τους συνάντηση το 388/7, ο Πλάτωνας και ο Αρχύτας δημιούργησαν μια σχέση φιλίας-φιλίας, η οποία τους υποχρέωσε να προωθήσουν τα συμφέροντα ο ένας του άλλου, κάτι που και έκαναν, όπως δείχνουν τα γεγονότα του 367–361. Ο Πλάτωνας και ο Αρχύτας δεν χρειάζεται να συμφωνούσαν σε φιλοσοφικά ζητήματα και ίσως είναι καλύτερο να θεωρηθούν ως ανταγωνιστικοί συνάδελφοι που συμμετέχουν σε μια συνεχιζόμενη συζήτηση σχετικά με την αξία των επιστημών για τη φιλοσοφία (Huffman 2005, 32–42).

1.5 Το ζήτημα της αυθεντικότητας

Περισσότερες σελίδες κειμένου έχουν διασωθεί στο όνομα του Αρχύτα παρά στο όνομα οποιουδήποτε άλλου Πυθαγορείου. Δυστυχώς, η συντριπτική πλειοψηφία αυτού του υλικού δικαίως θεωρείται πλαστή. Το ίδιο ισχύει και για την πυθαγόρεια παράδοση γενικά. Η συντριπτική πλειοψηφία των κειμένων που ισχυρίζονται ότι είναι από πρώιμους Πυθαγορείους είναι, στην πραγματικότητα, μεταγενέστερες πλαστογραφίες. Ορισμένες από αυτές τις πλαστογραφίες δημιουργήθηκαν για καθαρά οικονομικούς λόγους. Ένα κείμενο ενός «σπάνιου» έργου ενός διάσημου Πυθαγορείου θα μπορούσε να αποφέρει ένα σημαντικό ποσό από συλλέκτες βιβλίων. Υπήρχαν, ωστόσο, χαρακτηριστικά μοναδικά στην πυθαγόρεια παράδοση που οδήγησαν σε πολλαπλασιασμό των πλαστογραφιών. Ξεκινώντας ήδη από τα τέλη του τέταρτου αιώνα π.Χ., ο Πυθαγόρας άρχισε να θεωρείται, σε ορισμένους κύκλους, ως ο κατ' εξοχήν φιλόσοφος, στον οποίο είχε αποκαλυφθεί όλη η αλήθεια. Όλη η μεταγενέστερη φιλοσοφία, στο βαθμό που ήταν αληθινή, ήταν μια αναδιατύπωση αυτής της αρχικής αποκάλυψης (βλ., π.χ., O'Meara 1989). Για να υποστηριχθεί αυτή η άποψη για τον Πυθαγόρα, πλαστογραφήθηκαν κείμενα στο όνομα του Πυθαγόρα και άλλων πρώιμων Πυθαγορείων, για να αποδειχθεί ότι είχαν, στην πραγματικότητα, προβλέψει τις σημαντικότερες ιδέες του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη. Αυτά τα ψευδοπυθαγόρεια κείμενα χαρακτηρίζονται έτσι από τη χρήση κεντρικών πλατωνικών και αριστοτελικών ιδεών, που εκφράζονται στην τεχνική ορολογία που χρησιμοποιούσαν ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης. Ορισμένες από τις πλαστογραφίες προσπαθούν ακόμη και να βελτιώσουν τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη προσθέτοντας βελτιώσεις στις θέσεις τους, οι οποίες προτάθηκαν για πρώτη φορά αρκετές εκατοντάδες χρόνια μετά τον θάνατό τους. Η ημερομηνία και ο τόπος προέλευσης αυτών των ψευδοπυθαγόρειων πραγματειών είναι δύσκολο να προσδιοριστεί, αλλά τα περισσότερα φαίνεται να έχουν συνταχθεί μεταξύ 150 π.Χ. και 100 μ.Χ. (Burkert 1972b; Centrone 1990; Moraux 1984). Η Ρώμη (Burkert 1972b) και η Αλεξάνδρεια (Centrone 1990) είναι οι πιο πιθανές τοποθεσίες προέλευσης. Ο Αρχύτας είναι η κυρίαρχη μορφή σε αυτήν την ψευδοπυθαγόρεια παράδοση, πιθανώς λόγω της σύνδεσής του με τον Πλάτωνα και της επακόλουθης φήμης του την εποχή που γράφτηκαν τα ψευδοεπίγραφα (Zhmud 2019· Centrone 2021). Στη συλλογή ψευδοπυθαγόρειων γραπτών του Thesleff το 1965, σαράντα πέντε από τις διακόσιες σαράντα πέντε σελίδες (2-48), περίπου το 20%, που περιλαμβάνει περίπου 1.200 γραμμές, είναι αφιερωμένες σε κείμενα που πλαστογραφήθηκαν στο όνομα του Αρχύτα. Από την άλλη πλευρά, τα αποσπάσματα που πιθανότατα είναι γνήσια, τα οποία συλλέγονται στη DK, συμπληρώνουν μόνο εκατό γραμμές κειμένου. Έτσι, έχει διατηρηθεί πάνω από δέκα φορές περισσότερο νόθο από γνήσιο υλικό στο όνομα του Αρχύτα. Είναι πιθανό το ύφος και η δωρική διάλεκτος των ψευδοπυθαγόρειων γραπτών να βασίστηκαν επίσης στο μοντέλο των γνήσιων γραπτών του Αρχύτα.

1.6 Ψευδοεπίγραφα που αποδίδονται στον Αρχύτα

Οι πραγματείες υπό το όνομα του Αρχύτα που συλλέχθηκαν στο Thesleff το 1965 έχουν θεωρηθεί σχεδόν καθολικά ως μη ιστορικές από τους Αρχύτες, εκτός από το Περί Νόμου και Δικαιοσύνης , όπου υπήρξε σημαντική διαμάχη. Οι περισσότερες σώζονται μόνο σε αποσπάσματα, αν και υπάρχουν δύο σύντομα ολοκληρωμένα έργα. Το πιο διάσημο από αυτά τα ψευδεπίγραφα είναι το Περί Ολόκληρου του Συστήματος [εν ολ. Κατηγοριών] ή Περί των Δέκα Κατηγοριών (διατηρημένο πλήρες, βλ. Szlezak 1972). Αυτό το έργο μαζί με την πραγματεία Περί Αντιθέτων (Thesleff 1965, 15.3–19.2) και τις πολύ μεταγενέστερες Δέκα Οικουμενικές Ισχυρισμοί (διατηρημένο πλήρες, αποδόθηκε για πρώτη φορά στον Αρχύτα τον 15ο αιώνα μ.Χ. βλ. Szlezak 1972) αντιπροσωπεύουν την προσπάθεια να διεκδικηθεί η διδασκαλία των κατηγοριών του Αριστοτέλη για τον Αρχύτα και τους Πυθαγόρειους (βλ. επίσης Griffin 2015). Αυτή η προσπάθεια ήταν σε κάποιο βαθμό επιτυχής. Τόσο ο Σιμπλίκιος όσο και ο Ιάμβλιχος θεωρούσαν τα έργα του Αρχύτα περί κατηγοριών ως γνήσιες προβλέψεις του Αριστοτέλη (CAG VIII. 2, 9–25). Τα «Περί των Δέκα Κατηγοριών» και «Περί των Αντιθέτων» αναφέρονται πολύ συχνά στα αρχαία σχόλια των Κατηγοριών του Αριστοτέλη. Ο Ψευδο-Αρχύτας προσδιορίζει δέκα κατηγορίες με ονόματα που είναι σχεδόν πανομοιότυπα με αυτά που χρησιμοποίησε ο Αριστοτέλης, και η γλώσσα του ακολουθεί πιστά τον Αριστοτέλη σε πολλά σημεία. Η διαίρεση του έργου του Αρχύτα σε δύο πραγματείες, «Περί των Δέκα Κατηγοριών» και «Περί των Αντιθέτων», αντικατοπτρίζει το έργο του Ανδρόνικου του Ρόδιου, ο οποίος πρώτος διαχώρισε τα τελευταία έξι κεφάλαια των Κατηγοριών του Αριστοτέλη από τα υπόλοιπα. Έτσι, τα έργα στο όνομα του Αρχύτα πρέπει να γράφτηκαν μετά το έργο του Ανδρόνικου τον πρώτο αιώνα π.Χ. Άλλα ψευδεπίγραφα στη μεταφυσική και την επιστημολογία περιλαμβάνουν τα Περί Αρχών (Thesleff 1965, 19.3 – 20.17) και Περί Νοημοσύνης και Αντίληψης (Thesleff 1965, 36.12–39.25), τα οποία περιλαμβάνουν μια παράφραση του αποσπάσματος με τις διαιρεμένες γραμμές στην Πολιτεία του Πλάτωνα. Ο Mansfeld έδειξε πρόσφατα ότι το Απόσπασμα 1 του τελευταίου έργου στη συλλογή του Thesleff ανήκει στο πρώτο έργο (Mansfeld 2019). Οι De Cesaris και Horky (2018) παρέχουν σχόλια στο Περί Νοημοσύνης και Αντίληψης, αλλά πολλά παραμένουν ασαφή σε αυτό το δύσκολο έργο. Ο Mansfeld (2019) δείχνει ότι το Περί Νοημοσύνης και Αντίληψης δεν είναι πιθανό να επηρέασε την ερμηνεία των Πυθαγορείων αρχών στον Αέτιο Πλακίτα 1.3.8, όπως έχει προταθεί από τους De Cesaris και Horky (2018). Ο Ulacco (2017) δημιουργεί νέα κείμενα (με σχόλια) για τα βιβλία Περί Αρχών, Περί Νοημοσύνης και Αντίληψης και Περί Αντιθέτων. Άλλα μεταφυσικά και επιστημολογικά έργα περιλαμβάνουν τα Περί Όντος (Thesleff 1965, 40.1–16) και Περί Σοφίας (Thesleff 1965, 43.24–45.4). Η αυθεντικότητα αυτού του τελευταίου έργου έχει πρόσφατα υπερασπιστεί το επιχείρημα ότι οι παραδεκτές ομοιότητές του με αποσπάσματα του Αριστοτέλη είναι αποτέλεσμα της επιρροής του Αρχύτα στον Αριστοτέλη και όχι ένδειξη ότι το έργο πλαστογραφήθηκε με βάση τον Αριστοτέλη (Johnson 2008, 193–194). Είναι πράγματι αλήθεια ότι ο Αριστοτέλης αφιέρωσε αρκετά χαμένα έργα στον Αρχύτα και πρέπει να ήταν εξοικειωμένος με τη σκέψη του. Ωστόσο, το ζήτημα της αυθεντικότητας εντός της πυθαγόρειας παράδοσης έχει διαφορετικό χαρακτήρα από ό,τι συμβαίνει με άλλους αρχαίους συγγραφείς. Στην περίπτωση ενός συγγραφέα όπως ο Πλάτωνας, όπου η συντριπτική πλειοψηφία των σωζόμενων έργων είναι σίγουρα αυθεντικά, το βάρος της απόδειξης βαρύνει όποιον θέλει να υποστηρίξει ότι ένα έργο είναι πλαστό. Στην Πυθαγόρεια παράδοση, από την άλλη πλευρά, όπου τα πλαστά έργα σίγουρα υπερτερούν κατά πολύ των γνήσιων, η κατάσταση αντιστρέφεται. Το βάρος της απόδειξης βαρύνει όποιον θεωρεί ένα Πυθαγόρειο έργο γνήσιο για να δείξει ότι δεν ταιριάζει με το πρότυπο των πλαστογραφημένων Πυθαγορείων πραγματειών και ότι το περιεχόμενό του μπορεί να επιβεβαιωθεί από στοιχεία που χρονολογούνται πριν από τον τρίτο αιώνα, όταν αρχίζουν να παράγονται τα πυθαγόρεια ψευδεπίγραφα. Δεδομένου ότι το Περί Σοφίας μοιράζεται με τα ψευδεπίγραφα το χαρακτηριστικό της χρήσης σημαντικών αριστοτελικών διακρίσεων (Huffman 2005, 598–599), ακόμη και αν δεν είναι τόσο κραυγαλέα αντιγραφή των ιδεών του Αριστοτέλη όσο τα έργα για τις κατηγορίες που αποδίδονται στον Αρχύτα, είναι πολύ πιο πιθανό να πλαστογραφήθηκε με βάση τον Αριστοτέλη παρά να χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης το Περί Σοφίας χωρίς απόδοση. Για να είναι πιθανή η τελευταία περίπτωση, θα χρειάζονταν στοιχεία του τέταρτου αιώνα ανεξάρτητα από το Περί Σοφίας, τα οποία να απέδιδαν τις ιδέες που βρίσκονται σε αυτό στον Αρχύτα. Ο Horky (2015) περιλαμβάνει το «Περί Σοφίας» στα ψευδοεπίγραφα και παρέχει ανάλυσή τους. Για πρόσφατες συζητήσεις σχετικά με τη φύση των ψευδοεπιγράφων που αποδίδονται στον Αρχύτα, βλ. Bonazzi 2013 και Centrone 2014. Για τη φύση της οικειοποίησης του Αριστοτέλη στα ψευδοεπίγραφα που αποδίδονται στον Αρχύτα και σε άλλους πρώιμους Πυθαγόρειους, βλ. Ulacco 2016. Ο Horky (2021a) υποστηρίζει ότι ο όρος «Ψευδο-Αρχύτας» είναι προβληματικός και εξετάζει τον ρόλο του Αρχύτα ως συγγραφέα και ως αυθεντικοποιητή των πυθαγορείων κειμένων.

Υπάρχουν επίσης αποσπάσματα δύο ψευδοεπιγράφων για την ηθική και την πολιτική, τα οποία έχουν πρόσφατες εκδόσεις με σχόλια: Περί του Καλού και Ευτυχισμένου Ανθρώπου (Centrone 1990), το οποίο δείχνει συνδέσεις με τον Άρειο Δίδυμο, συγγραφέα του πρώτου αιώνα π.Χ., και Περί Ηθικής Αγωγής (Centrone 1990), το οποίο έχει δεσμούς με τον Καρνεάδη ​​(2ος αιώνας π.Χ.). Η κατάσταση μιας τελευταίας πραγματείας είναι λιγότερο σαφής. Τα αποσπάσματα του Περί Νόμου και Δικαιοσύνης (Thesleff 1965, 33.1–36.11) μελετήθηκαν λεπτομερώς από τον Delatte (1922), ο οποίος έδειξε ότι η πραγματεία ασχολείται με τις πολιτικές αντιλήψεις του τέταρτου αιώνα και κατέληξε στο μετριοπαθές συμπέρασμα ότι το έργο μπορεί να είναι του Αρχύτα, καθώς δεν υπήρχαν θετικές ενδείξεις όψιμης σύνθεσης. Ο Thesleff κατέληξε ομοίως στο συμπέρασμα ότι η πραγματεία «μπορεί να είναι αυθεντική ή τουλάχιστον συγκριτικά παλιά» (1961, 112), ενώ ο Minar υποστήριξε ότι «έχει εξαιρετική αξίωση αυθεντικότητας» (1942, 111). Η αυθεντικότητά του υποστηρίχθηκε από τον Johnson (2008, 194–198), αλλά πιο πρόσφατα οι Horky και Johnson υποστηρίζουν ότι δεν γράφτηκε από τον ίδιο τον Αρχύτα και προτείνουν την κάπως βυζαντινή θεωρία ότι γράφτηκε από έναν συγγραφέα που το βάσισε σε μια ομιλία την οποία υποθέτουν ότι ο Αριστόξενος ανέθεσε στον Αρχύτα στον Βίο του Αρχύτα (2020: 459–460). Από την άλλη πλευρά, ο DK δεν συμπεριέλαβε τα αποσπάσματα του Περί Νόμου και Δικαιοσύνης μεταξύ των γνήσιων αποσπασμάτων, και οι πιο πρόσφατοι μελετητές έχουν υποστηρίξει ότι η πραγματεία είναι ψευδής. Ο Aalders παρέχει την πιο λεπτομερή επεξεργασία, αν και ορισμένα από τα επιχειρήματά του είναι ασαφή (1968, 13–20). Άλλοι αντίπαλοι της αυθεντικότητας είναι οι Burkert (1972a), Moraux (1984, 670–677), Centrone (2000) και πιο πρόσφατα ο Schofield (2014). Οι συνδέσεις του Περί Νόμου και Δικαιοσύνης με το γνήσιο Fr. Το Β2 του Αρχύτα μαρτυρά την αυθεντικότητά του, αλλά οι ομοιότητές του, μερικές φορές λέξη προς λέξη, με ψευδοπυθαγόρειες πραγματείες του «Διοτογένη» (Θεσλέφ 76.2–3, 71. 21–2), του «Δάμίππου» (Θεσλέφ 68.26) και του «Μέτωπου» (Θεσλέφ 119.28) υποστηρίζουν την πλαστότητά του. Επιπλέον, το αυθεντικό Π. 3 του Αρχύτα δείχνει ότι ο λογισμός ήταν η βασική έννοια στην πολιτική του φιλοσοφία. Η πλήρης απουσία του από το Περί Νόμου και Δικαιοσύνης, του οποίου το επίκεντρο είναι η πολιτική φιλοσοφία, μαζί με την απουσία άλλων βασικών όρων στο Π. 3 (π.χ., πλεονεξία, ομόνοια και ισότητα) είναι δύσκολο να εξηγηθεί, αν το Περί Νόμου και Δικαιοσύνης είναι αυθεντικό (Huffman 2005, 599–606). Για ένα πρόσφατο επιχείρημα κατά της αυθεντικότητας του Περί Νόμου και Δικαιοσύνης, το οποίο το αντιπαραβάλλει περαιτέρω με το αυθεντικό Π. 3, βλέπε Schofield 2014: 82–5. Για ένα πρόσφατο επιχείρημα ότι το «Περί Δικαίου και Δικαιοσύνης» και Fr. 3, αντιθέτως, συνδέονται στενά μεταξύ τους βλ. Scrofani 2021: 187–200. Ακόμα κι αν το έργο ανήκει στα ψευδοεπίγραφα, οι Horky και Johnson έχουν σίγουρα δίκιο ότι η διαμάχη σχετικά με την αυθεντικότητά του έχει οδηγήσει τους μελετητές να παραμελήσουν το φιλοσοφικό περιεχόμενο της πραγματείας (Horky και Johnson 2020: 487) και παρέχουν ένα σχόλιο που επιχειρεί να διευκρινίσει αυτό το δύσκολο κείμενο. Θεωρούν το κείμενο στενά συνδεδεμένο με γνήσια αποσπάσματα του Αρχύτα και υπονοούν ότι μπορεί να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε αυτά τα αποσπάσματα, αλλά οι ομοιότητες είναι πολύ γενικού είδους. Όπως υποστήριξε πρόσφατα ο Zhmud, υπάρχουν πολύ λίγα που είναι γνήσια Πυθαγόρεια στα ψευδοεπίγραφα (Zhmud 2019) και αυτό φαίνεται να ισχύει και για το Περί Νόμου και Δικαιοσύνης. Ο Scrofani (2021: 178–187) δείχνει ότι υπάρχουν στενές συνδέσεις μεταξύ του Περί Νόμου και Δικαιοσύνης και του ψευδοπλατωνικού Μίνωα.

Ορισμένες μαρτυρίες υποδηλώνουν ότι υπήρχαν ακόμη περισσότερες ψευδο-Αρχυτανικές πραγματείες, οι οποίες δεν έχουν διασωθεί ούτε σε αποσπάσματα (Thesleff 47.8 κ.ε.). Δύο πλαστές επιστολές του Αρχύτα έχουν διασωθεί. Η μία είναι η επιστολή στην οποία απαντά η ψευδο-Πλατωνική Δωδέκατη Επιστολή (DL VIII 79–80), και η άλλη είναι η υποτιθέμενη επιστολή του Αρχύτα προς τον Διονύσιο Β΄, η οποία στάλθηκε μαζί με το πλοίο για να εξασφαλιστεί η απελευθέρωση του Πλάτωνα το 361 (DL III 21–2). Ο Αρχύτας ήταν μια δημοφιλής προσωπικότητα κατά τον Μεσαίωνα και την πρώιμη Αναγέννηση, όταν συνέχισαν να γράφονται έργα στο όνομά του, συνήθως με την γραφή Αρχίτας ή Αρχίτα. Το Ars geometriae, το οποίο αποδίδεται στον Βοήθιο, αλλά στην πραγματικότητα γράφτηκε τον 12ο αιώνα (Folkerts 1970, 105), αποδίδει στον Αρχίτα ανακαλύψεις στα μαθηματικά που είναι σαφώς πλαστές (Burkert 1972a, 406). Αρκετές αλχημικές συνταγές που περιλαμβάνουν το κερί του αριστερού αυτιού ενός σκύλου και την καρδιά ενός λύκου αποδίδονται στον Αρχίτα στην υ.γ.-Albertus Magnus, Τα Θαύματα του Κόσμου (De mirabilibus mundi – 13ος αιώνας μ.Χ.). Πολυάριθμα αποσπάσματα από ένα βιβλίο με τίτλο Περί Γεγονότων στη Φύση (de eventibus in natura, που αναφέρεται επίσης ως de effectibus in natura και ως de eventibus futurorum) του Αρχίτα Θαρεντίνου (ή Θαρεντίνου, ή απλώς Θαρέν) σώζονται στα μεσαιωνικά κείμενα γνωστά ως Το Φως της Ψυχής (Lumen Animae), τα οποία συντάχθηκαν τον δέκατο τέταρτο αιώνα και κυκλοφόρησαν ευρέως στην Ευρώπη τον δέκατο πέμπτο αιώνα ως εγχειρίδιο για ιεροκήρυκες (Rouse 1971· Thorndike 1934, III 546–60). Ένα απόκρυφο έργο, Η Κυκλική Θεωρία των Πραγμάτων στον Ουρανό, του Αρχύτα Μάξιμου [!], το οποίο δεν έχει ποτέ δημοσιευτεί πλήρως, διασώζεται στον Κώδικα Αμβροσιανού D 27, επιμ. (Βλέπε Catalogus Codicum Astrologorum Graecorum, επιμ. F. Cumont et al., Τόμος III, σελ. 11).

1.7 Γνήσια Έργα και Μαρτυρίες

Δεν μας έχει διασωθεί κανένας κατάλογος έργων του Αρχύτα από την αρχαιότητα, επομένως δεν γνωρίζουμε πόσα βιβλία έγραψε. Μπροστά στη μεγάλη μάζα πλαστών έργων, είναι απογοητευτικό το γεγονός ότι έχουν διασωθεί μόνο λίγα αποσπάσματα γνήσιων έργων. Οι περισσότεροι μελετητές δέχονται ως γνήσια τα τέσσερα αποσπάσματα που τυπώθηκαν από τους Diels και Kranz (B1–4). Ο Burkert (1972a, 220 σημείωση 14 και 379 σημείωση 46) εξέφρασε ορισμένες ανησυχίες σχετικά με την αυθεντικότητα ακόμη και ορισμένων από αυτά τα αποσπάσματα, αλλά βλέπε τις απαντήσεις των Bowen (1982) και Huffman (1985 και 2005). Τα στοιχεία μας για τους τίτλους των γνήσιων γραπτών του Αρχύτα εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από τις παραπομπές που δίνουν οι συγγραφείς που παραθέτουν τα αποσπάσματα. Τα αποσπάσματα Β1 και Β2 αναφέρονται ότι προέρχονται από μια πραγματεία με τίτλο Αρμονικές, και οι κύριες μαρτυρίες σχετικά με την αρμονική θεωρία του Αρχύτα είναι πιθανό να βασίζονται τελικά σε αυτό το βιβλίο (A16–19). Αυτή η πραγματεία ξεκίνησε με μια συζήτηση για τις βασικές αρχές της ακουστικής (Β1), όρισε τους τρεις τύπους μέσου που είναι σημαντικοί στη μουσική θεωρία (Β2) και συνέχισε παρουσιάζοντας τις μαθηματικές περιγραφές του Αρχύτα για το τετράχορδο (το τέταρτο) στα τρία κύρια γένη (χρωματικό, διατονικό και εναρμονικό – A16-A19). Το B3 πιθανότατα προέρχεται από ένα έργο Περί Επιστημών, το οποίο μπορεί να ήταν μια γενικότερη συζήτηση για την αξία των μαθηματικών για την ανθρώπινη ζωή γενικά και για την εγκαθίδρυση ενός δίκαιου κράτους ειδικότερα. Νέα υποστήριξη για την αυθεντικότητά του έχει παρασχεθεί από τον Schofield (2009). Το B4 προέρχεται από ένα έργο με τίτλο Λόγοι (Διατριβαί). Το ίδιο το απόσπασμα επιβεβαιώνει την προτεραιότητα της επιστήμης του υπολογισμού (ha logistika, «λογιστική») έναντι των άλλων επιστημών, όπως η γεωμετρία, και έτσι υποδηλώνει ένα τεχνικό έργο των μαθηματικών. Ο τίτλος Διατριβαί θα υποδήλωνε, ωστόσο, πιο κανονικά μια πραγματεία ηθικού περιεχομένου, έτσι ώστε σε αυτό το έργο οι επιστήμες να έχουν αξιολογηθεί με βάση τη συμβολή τους στη σοφία που οδηγεί σε μια καλή ζωή.

Ένα σχετικά πλούσιο σύνολο μαρτυριών, πολλές από συγγραφείς του 4ου αιώνα π.Χ., υποδεικνύουν ότι ο Αρχύτας έγραψε και άλλα βιβλία. Το διάσημο επιχείρημα του Αρχύτα για την απεριόριστη έκταση του σύμπαντος (A24), η θεωρία του για την όραση (A25) και η περιγραφή του για την κίνηση (A23, A23a) υποδηλώνουν ότι μπορεί να έγραψε ένα έργο για την κοσμολογία. Τα σχόλια του Αριστοτέλη στα Μεταφυσικά υποδηλώνουν ότι ο Αρχύτας μπορεί να έγραψε ένα βιβλίο για τον ορισμό (A22), και τα A20 και A21 μπορεί να υποδηλώνουν ένα έργο για την αριθμητική. Ίσως υπήρχε μια πραγματεία για τη γεωμετρία ή τη στερεά γεωμετρία στην οποία δημοσιεύτηκε η λύση του Αρχύτα στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου (A14–15). Υπάρχει επίσης μια παράδοση ανεκδότων για τον Αρχύτα, η οποία πιθανότατα τελικά προέρχεται από τον Βίο του Αρχύτα του Αριστόξενου (A7, A8, A9, A11). Είναι πιθανό ακόμη και οι μαρτυρίες για το επιχείρημα του Αρχύτα για ένα απεριόριστο σύμπαν και τη θεωρία του για την όραση να προέρχονται από ανέκδοτα που διασώζει ο Αριστόξενος και καθόλου από έργα του ίδιου του Αρχύτα.

Δεν είναι βέβαιο εάν οι πραγματείες Περί Αυλών (B6), Περί Μηχανών (B1 και B7) και Περί Γεωργίας (B1 και B8), οι οποίες κυκλοφορούσαν με το όνομα Αρχύτας, ήταν στην πραγματικότητα του Αρχύτα από τον Τάραντα ή από άλλους άνδρες με το ίδιο όνομα. Ο Διογένης Λαέρτιος απαριθμεί τρεις άλλους συγγραφείς με το όνομα Αρχύτας (VIII 82). Η πραγματεία Περί Δεκαδάδου που αναφέρει ο Θέων (B5) μπορεί να είναι του Αρχύτα, αλλά η πραγματεία του Φιλόλαου με την οποία συνδέεται είναι ψευδής (Huffman 1993, 347–350), υποδηλώνοντας έτσι ότι το ίδιο μπορεί να ισχύει και για την πραγματεία υπό το όνομα του Αρχύτα.

2. Ο Αρχύτας ως Μαθηματικός και Θεωρητικός της Αρμονίας

2.1 Διπλασιασμός του κύβου

Ο Αρχύτας ήταν ο πρώτος που βρήκε λύση σε ένα από τα πιο διάσημα μαθηματικά αινίγματα της αρχαιότητας, την αντιγραφή του κύβου. Η πιο ρομαντική εκδοχή της ιστορίας, η οποία εμφανίζεται σε πολλές παραλλαγές και τελικά ανάγεται στον Ερατοσθένη (3ος αιώνας π.Χ.), αναφέρει ότι οι κάτοικοι του Eλληνικού νησιού της Δήλου μαστίζονταν από πανώλη και, όταν συμβουλεύτηκαν ένα μαντείο, τους είπαν ότι, αν διπλασίαζαν το μέγεθος ενός συγκεκριμένου βωμού, που είχε τη μορφή κύβου, η πανώλη θα σταματούσε (Ευτόκιος, στο Archim. sphaer. et cyl. II [III 88.3–96.27 Heiberg/Stamatis]). Η απλοϊκή απάντηση στο μαντείο, το οποίο στην πραγματικότητα αποδίδεται στους Δηλίους σε ορισμένες εκδοχές, είναι η κατασκευή ενός δεύτερου βωμού πανομοιότυπου με τον πρώτο και η τοποθέτησή του πάνω στον πρώτο (Φιλόπονος, In Anal. post., CAG XIII.3, 102.12–22). Το προκύπτον βωμό έχει πράγματι διπλάσιο όγκο από τον πρώτο βωμό, αλλά δεν είναι πλέον κύβος. Η επόμενη απλή απάντηση είναι να υποθέσουμε ότι, εφόσον θέλουμε ένα βωμό διπλάσιου όγκου, παραμένοντας παράλληλα κύβος, θα πρέπει να κατασκευάσουμε το νέο βωμό με πλευρά διπλάσια από το μήκος της πλευράς του αρχικού βωμού. Αυτή η προσέγγιση αποτυγχάνει επίσης. Ο διπλασιασμός της πλευράς του βωμού παράγει ένα νέο βωμό που δεν έχει διπλάσιο όγκο από τον αρχικό βωμό, αλλά οκτώ φορές τον όγκο. Εάν το αρχικό βωμό είχε πλευρά δύο, τότε ο όγκος του θα ήταν 2 3 ή 8, ενώ ένας βωμός χτισμένος σε πλευρά διπλάσια θα έχει όγκο 4 3 ή 64. Ποιο είναι λοιπόν το μήκος της πλευράς που θα παράγει έναν κύβο με διπλάσιο όγκο από τον αρχικό κύβο; Οι Δήλιοι ήταν μπερδεμένοι και παρουσίασαν το πρόβλημά τους στον Πλάτωνα στην Ακαδημία. Ο Πλάτωνας στη συνέχεια έθεσε το «Δήλιο Πρόβλημα», όπως έγινε γνωστό, σε μαθηματικούς που σχετίζονταν με την Ακαδημία, και επινοήθηκαν όχι λιγότερες από τρεις λύσεις, αυτές του Εύδοξου, του Μεναίχμου και του Αρχύτα.

Δεν είναι σαφές εάν η ιστορία για τους Δήλιους έχει κάποια πραγματική βάση. Ακόμα κι αν έχει, δεν θα πρέπει να ερμηνευθεί ως υπαινιγμός ότι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου προέκυψε για πρώτη φορά τον τέταρτο αιώνα με τους Δήλιους. Μας λέγεται ότι ο μαθηματικός Ιπποκράτης της Χίου, ο οποίος δραστηριοποιήθηκε στο δεύτερο μισό του πέμπτου αιώνα, είχε ήδη αντιμετωπίσει το πρόβλημα και το είχε αναγάγει σε ένα ελαφρώς διαφορετικό πρόβλημα (Ευτόκιος, στο Archim. sphaer. et cyl. II [III 88.3–96.27 Heiberg/Stamatis]). Ο Ιπποκράτης αναγνώρισε ότι εάν μπορούσαμε να βρούμε δύο μέσες αναλογίες μεταξύ του μήκους της πλευράς του αρχικού κύβου G και του μήκους D, όπου D = 2G, έτσι ώστε G : x :: x : y :: y :: D, τότε ο κύβος μήκους x θα είναι διπλάσιος από τον κύβο μήκους G. Το πώς ακριβώς ο Ιπποκράτης έφτασε στο σημείο αυτό είναι εικασία και δεν χρειάζεται να μας απασχολήσει εδώ, αλλά το ότι είχε δίκιο μπορεί να φανεί σχετικά εύκολα. Κάθε μία από τις τιμές στη συνεχή αναλογία G : x :: x : y :: y :: D είναι ίση με G : x, επομένως μπορούμε να τις ορίσουμε όλες ίσες με G : x. Αν το κάνουμε αυτό και πολλαπλασιάσουμε τις τρεις αναλογίες μεταξύ τους, παίρνουμε την τιμή G 3 : x 3 . Από την άλλη πλευρά, αν πάρουμε την ίδια συνεχή αναλογία και εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό στους αρχικούς όρους, τότε G : x επί x : y αποδίδει G : y, και G : y επί τον υπόλοιπο όρο δίνει G : D. Έτσι G : D = G 3 : x 3 , αλλά το D είναι διπλάσιο του G , άρα το x 3 είναι διπλάσιο του G 3 . Θυμηθείτε ότι το G ήταν το μήκος της πλευράς του αρχικού κύβου, επομένως ο κύβος που είναι διπλάσιος από τον κύβο που είναι χτισμένος πάνω στο G, θα είναι ο κύβος που είναι χτισμένος πάνω στο x. Οι Έλληνες δεν θεωρούσαν το πρόβλημα ως πρόβλημα στην άλγεβρα, αλλά μάλλον ως πρόβλημα στη γεωμετρία. Μετά τον Ιπποκράτη, το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου θεωρούνταν πάντα ως το πρόβλημα της εύρεσης δύο γραμμών τέτοιων ώστε να είναι μέσες ανάλογες μεταξύ του G, του μήκους της πλευράς του αρχικού κύβου, και του D, ενός μήκους που είναι διπλάσιο του G. Σε αυτή τη μορφή του προβλήματος ο Αρχύτας έδωσε την πρώτη λύση.

Η λύση του Αρχύτα έχει δικαίως χαιρετιστεί ως «η πιο αξιοσημείωτη από όλες [τις λύσεις]» και ως μια «τολμηρή κατασκευή σε τρεις διαστάσεις» (Heath 1921, 246). Ο Mueller την αποκαλεί «ένα επίτευγμα της χωρικής φαντασίας» (1997, 312 σημ. 23). Ο Netz την χαιρετίζει ως «εντυπωσιακή» και «φανταστική» (2022, 62 και 70). Οφείλουμε τη διατήρηση της λύσης του Αρχύτα στον Ευτόκιο, ο οποίος τον έκτο αιώνα μ.Χ. συγκέντρωσε περίπου έντεκα λύσεις στο πρόβλημα ως μέρος των σχολίων του στο δεύτερο βιβλίο του έργου του Αρχιμήδη «Περί σφαίρας και κυλίνδρου». Η πηγή του Ευτόκιου για τη λύση του Αρχύτα ήταν τελικά ο μαθητής του Αριστοτέλη, Εύδημος, ο οποίος στα τέλη του τέταρτου αιώνα π.Χ. έγραψε μια ιστορία της γεωμετρίας. Η λύση είναι σύνθετη και δεν είναι δυνατόν να την εξετάσουμε βήμα προς βήμα εδώ (βλ. Huffman 2005, 342–401 και Netz 2022, 62–70 για λεπτομερείς επεξεργασίες της λύσης). Ο Αρχύτας προχωρά κατασκευάζοντας μια σειρά από τέσσερα όμοια τρίγωνα (βλ. Σχήμα 1 παρακάτω) και στη συνέχεια δείχνοντας ότι οι πλευρές είναι ανάλογες έτσι ώστε AM : AI :: AI : AK :: AK : AD, όπου AM ήταν ίση με την πλευρά του αρχικού κύβου (G) και AD ήταν διπλάσια από AM. Έτσι, ο κύβος διπλάσιος από τον όγκο του κύβου επί του AM θα ​​πρέπει να κατασκευαστεί επί του AI. Η πραγματική δυσκολία ήταν στην κατασκευή των τεσσάρων όμοιων τριγώνων, όπου το δεδομένο μήκος της πλευράς του αρχικού κύβου και ένα μήκος διπλάσιο από το μέγεθος ήταν δύο από τις πλευρές στα όμοια τρίγωνα. Το σημείο κλειδί για την κατασκευή αυτών των τριγώνων, το σημείο Κ, προσδιορίστηκε ως η τομή δύο περιστρεφόμενων επίπεδων σχημάτων. Το πρώτο σχήμα είναι ένα ημικύκλιο, το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο του κύκλου ABDZ και το οποίο ξεκινά από τη διάμετρο AED και, με το σημείο A να παραμένει σταθερό, περιστρέφεται στη θέση AKD. Το δεύτερο είναι το τρίγωνο APD, το οποίο περιστρέφεται προς τα πάνω εκτός του επιπέδου του κύκλου ABDZ στη θέση ALD. Καθώς κάθε ένα από αυτά τα σχήματα περιστρέφεται, χαράσσει μια γραμμή στην επιφάνεια ενός ημικυλίνδρου, ο οποίος είναι κάθετος στο επίπεδο του ABDZ και έχει ως βάση το ABD. Η τόλμη και η φαντασία της κατασκευής έγκειται στο να οραματίζεται κανείς την τομή στο σημείο Κ της γραμμής που σχεδιάζει το περιστρεφόμενο ημικύκλιο στην επιφάνεια του ημικυλίνδρου με τη γραμμή που σχεδιάζει το περιστρεφόμενο τρίγωνο στην ίδια επιφάνεια. Απλώς δεν γνωρίζουμε τι οδήγησε τον Αρχύτα να παράγει αυτό το εκπληκτικό κατόρθωμα χωρικής φαντασίας, προκειμένου να κατασκευάσει τα τρίγωνα με τις πλευρές σε κατάλληλη αναλογία. Για μια πρόσφατη προσπάθεια να τοποθετηθεί η λύση του Αρχύτα στα μαθηματικά της εποχής του και να γίνει λιγότερο «θαυματουργή», βλέπε Menn 2015.

Σχήμα 1

Στη μεταγενέστερη παράδοση, αναφέρεται ότι ο Πλάτωνας επέκρινε τη λύση του Αρχύτα επειδή προσφεύγει σε «κατασκευές που χρησιμοποιούν όργανα και είναι μηχανικές» (Πλούταρχος, Πίνακας Συζήτησης VIII 2.1 [718e]· Μάρκος XIV 5–6). Ο Πλάτωνας υποστήριξε ότι η αξία της γεωμετρίας και των υπόλοιπων μαθηματικών έγκειται στην ικανότητά τους να μετατρέπουν την ψυχή από το αισθητό στο νοητό βασίλειο. Ο κύβος με τον οποίο ασχολείται η γεωμετρία δεν είναι ένας φυσικός κύβος ή ακόμα και ένα σχέδιο κύβου, αλλά μάλλον ένας νοητός κύβος που ταιριάζει στον ορισμό του κύβου, αλλά δεν είναι ένα αισθητηριακό αντικείμενο. Χρησιμοποιώντας φυσικά όργανα, τα οποία «απαιτούσαν πολύ κοινή χειροτεχνία» και στην πραγματικότητα κατασκευάζοντας μηχανές για να προσδιορίσουν τις δύο μέσες αναλογίες, ο Αρχύτας δεν επικεντρωνόταν στον νοητό κόσμο αλλά στον φυσικό κόσμο και ως εκ τούτου κατέστρεφε την αξία της γεωμετρίας. Η διαμάχη του Πλάτωνα με τον Αρχύτα είναι μια γοητευτική ιστορία, αλλά είναι δύσκολο να συμβιβαστεί με την πραγματική λύση του Αρχύτα, η οποία, όπως είδαμε, δεν προσελκύει κανένα όργανο ή μηχανή. Η ιστορία της διαμάχης, η οποία αναφέρεται για πρώτη φορά στον Πλούταρχο τον πρώτο αιώνα μ.Χ., είναι επίσης δύσκολο να συμβιβαστεί με την παλαιότερη πηγή μας για την ιστορία του Δηλιακού προβλήματος, τον Ερατοσθένη. Ο Ερατοσθένης είχε ο ίδιος εφεύρει ένα όργανο για τον προσδιορισμό των μέσων αναλογιών, το mesolab («mean-getter»), και αφηγείται την ιστορία του Δηλιακού προβλήματος ακριβώς για να τονίσει ότι οι παλαιότερες λύσεις, συμπεριλαμβανομένης αυτής του Αρχύτα, είχαν τη μορφή γεωμετρικών επιδείξεων, οι οποίες δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για πρακτικούς σκοπούς. Ονομάζει συγκεκριμένα τη λύση του Αρχύτα ως dysmêchana, «μόλις μηχανική». Μερικοί μελετητές προσπαθούν να συμβιβάσουν τις εκδοχές του Πλούταρχου και του Ερατοσθένη εστιάζοντας στους διαφορετικούς λογοτεχνικούς τους στόχους (Knorr 1986, 22; van der Waerden 1963, 161; Wolfer 1954, 12 κ.ε.; Sachs 1917, 150). Κάποιοι υποστηρίζουν ότι η περιστροφή του ημικυκλίου και του τριγώνου στη λύση του Αρχύτα θα μπορούσε να θεωρηθεί μηχανική, καθώς εμπλέκεται κίνηση (Knorr 1986, 22). Είναι, ωστόσο, πιθανό η ιστορία του Πλούταρχου για μια διαμάχη μεταξύ Πλάτωνα και Αρχύτα σχετικά με τη χρήση μηχανικών συσκευών στη γεωμετρία να είναι μια εφεύρεση της μεταγενέστερης παράδοσης (Riginos 1976, 146· Zhmud 1998, 217) και ίσως να χρησίμευσε ως ένα είδος θεμελιακού μύθου για την επιστήμη της μηχανικής, ένας μύθος που εξηγούσε τον διαχωρισμό της μηχανικής από τη φιλοσοφία ως αποτέλεσμα μιας διαμάχης μεταξύ δύο φιλοσόφων. Στην Πολιτεία, Ο Πλάτωνας ασκεί κριτική στη στερεά γεωμετρία της εποχής του, αλλά η κριτική του δεν κάνει καμία αναφορά στη χρήση οργάνων. Η κριτική του επικεντρώνεται αντ' αυτού στην αποτυχία της στερεάς γεωμετρίας να αναπτυχθεί σε έναν συνεκτικό κλάδο παράλληλα με τη γεωμετρία και την αστρονομία (528b-d). Αυτή η παραμέληση της στερεάς γεωμετρίας αποδίδεται στην αποτυχία των ελληνικών πόλεων-κρατών να τιμήσουν αυτές τις δύσκολες μελέτες, στην έλλειψη διευθυντή για την οργάνωση των μελετών και στην αλαζονεία των σημερινών ειδικών στον τομέα, οι οποίοι δεν θα υποτασσόντουσαν σε έναν τέτοιο διευθυντή. Δεδομένου ότι η αντιγραφή του κύβου από τον Αρχύτα τον δείχνει έναν από τους κορυφαίους στερεούς γεωμέτρες της εποχής, είναι δύσκολο να αποφύγουμε το συμπέρασμα ότι ο Πλάτωνας τον θεωρούσε έναν από τους αλαζόνες ειδικούς, οι οποίοι επικεντρώνονταν στην επίλυση γοητευτικών προβλημάτων, αλλά απέτυχαν να δημιουργήσουν έναν συνεκτικό κλάδο στερεάς γεωμετρίας. Δεδομένου ότι ο Αρχύτας ήταν μια κορυφαία πολιτική προσωπικότητα στον Τάραντα, είναι επίσης πιθανό ο Πλάτωνας να τον επέκρινε επειδή δεν έκανε τον Τάραντα ένα κράτος που έτρεφε σε εκτίμηση τη στερεά γεωμετρία.

Ο Brisson (2013) τηρεί μια σκεπτικιστική στάση απέναντι στα στοιχεία και καταλήγει στο συμπέρασμα ότι ο Αρχύτας δεν έλυσε ποτέ το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Υποστηρίζει ότι ο Πλάτωνας θα είχε αναφέρει μια λύση στο πρόβλημα αν υπήρχε στην εποχή του και ότι τα μαθηματικά της λύσης που αποδίδονται στον Αρχύτα είναι αδύνατα για κάποιον της εποχής του, καθώς χρησιμοποιούν κωνικές τομές, οι οποίες δεν αναπτύχθηκαν μέχρι τον τρίτο αιώνα (2013: 220–1). Ωστόσο, ενώ ο Πλάτωνας επικρίνει την κατάσταση της στερεομετρίας (γεωμετρία στερεού) στην εποχή του, επιβεβαιώνει επίσης ότι υπάρχουν άνθρωποι που τη μελετούν και ότι ορισμένα από τα αποτελέσματά τους έχουν γοητεία και ομορφιά (Απ. 528c-d). Δεν υπάρχει λόγος η διπλασιασμός του Αρχύτα να μην μπορεί να συμπεριληφθεί σε αυτά τα αποτελέσματα. Επιπλέον, τα μαθηματικά που χρησιμοποιούνται στη λύση του Αρχύτα δεν βασίζονται σε καμία περίπτωση σε κωνικές τομές, αλλά σε μαθηματικά που βρίσκονται στα Στοιχεία Βιβλία 1, 3, 4, 6 και 11 του Ευκλείδη, τα οποία βασίζονται στη γεωμετρία του τέταρτου αιώνα, όταν ο Αρχύτας ήταν ενεργός (Heath 1921, Knorr 1986, Mueller 1997 και Menn 2015, θεωρούν όλα τα μαθηματικά κατάλληλα για τον Αρχύτα). Ο Μέναιχμος, ο οποίος έζησε δύο γενιές μετά τον Αρχύτα, είναι ο πρώτος που έλυσε το πρόβλημα χρησιμοποιώντας κωνικές τομές (βλ. Menn 2015: 415–6). Ο Brisson πρέπει να αγνοήσει τη ρητή παράδοση ότι ήδη από τον τέταρτο αιώνα ο Εύδημος γνώριζε τη λύση του Αρχύτα και να υποθέσει ότι η λύση αναπτύχθηκε από έναν μεταγλωττιστή στην τελευταία παράδοση, αλλά είναι απίθανο ένας τέτοιος μεταγλωττιστής να μπορούσε να είχε αναπτύξει τα εξελιγμένα μαθηματικά της λύσης και ότι, αν ήταν τόσο καταξιωμένος μαθηματικός, θα τα απέδιδε στον Αρχύτα.

2.2 Μουσική και Μαθηματικά

Μία από τις πιο εκπληκτικές ανακαλύψεις της πρώιμης Eλληνικής επιστήμης ήταν ότι τα θεμελιώδη διαστήματα της μουσικής, η οκτάβα, η τέταρτη και η πέμπτη, αντιστοιχούσαν σε αναλογίες ακεραίων αριθμών του μήκους της χορδής. Έτσι, αν τραβήξουμε μια χορδή μήκους x και στη συνέχεια μια χορδή μήκους 2 x , θα ακούσουμε το διάστημα μιας οκτάβας μεταξύ των δύο ήχων. Αν τα δύο μήκη χορδών έχουν αναλογία 4:3, θα ακούσουμε μια τέταρτη και, αν η αναλογία είναι 3:2, θα ακούσουμε μια πέμπτη. Αυτή η ανακάλυψη ότι τα φαινόμενα του μουσικού ήχου διέπονται από αναλογίες ακεραίων αριθμών πρέπει να έπαιξε κεντρικό ρόλο στην Πυθαγόρεια αντίληψη, που εκφράστηκε για πρώτη φορά από τον Φιλόλαο, ότι όλα τα πράγματα είναι γνωστά μέσω του αριθμού (DK 44 B4). Το επόμενο βήμα στην αρμονική θεωρία ήταν η περιγραφή μιας ολόκληρης κλίμακας μήκους οκτάβας με όρους μαθηματικών αναλογιών. Η παλαιότερη τέτοια περιγραφή μιας κλίμακας βρίσκεται στον Φιλόλαο από τον B6. Ο Φιλόλαος αναγνωρίζει ότι, αν ανεβάσουμε το διάστημα μιας τέταρτης από οποιαδήποτε δεδομένη νότα και στη συνέχεια ανεβάσουμε το διάστημα μιας πέμπτης, η τελευταία νότα θα είναι μια οκτάβα πάνω από την πρώτη νότα. Έτσι, η οκτάβα αποτελείται από μια τέταρτη και μια πέμπτη. Σε μαθηματικούς όρους, οι αναλογίες που διέπουν την πέμπτη (3:2) και την τέταρτη (4:3) προστίθενται πολλαπλασιάζοντας τους όρους και έτσι παράγουν μια οκτάβα (3:2 × 4:3 = 12:6 = 2:1). Το διάστημα μεταξύ της νότας που είναι μια τέταρτη πάνω από την αρχική νότα και της νότας που είναι μια πέμπτη πάνω θεωρούνταν ως η βασική μονάδα της κλίμακας, ο ακέραιος τόνος, που αντιστοιχούσε στην αναλογία 9:8 (η αφαίρεση των αναλογιών γίνεται διαιρώντας τους όρους ή διασταυρούμενος πολλαπλασιασμός: 3:2 / 4:3 = 9:8). Η πέμπτη θεωρούνταν έτσι ως μια τέταρτη συν έναν ακέραιο τόνο, και η οκτάβα μπορεί να θεωρηθεί ως δύο τέταρτα συν έναν ακέραιο τόνο. Η τέταρτη αποτελείται από δύο ολόκληρους τόνους με υπόλοιπο, το οποίο έχει την άσχημη αναλογία 256 : 243 (4 : 3 / 9 : 8 = 32 : 27 / 9 : 8 = 256 : 243). Η κλίμακα του Φιλόλαου αποτελούνταν έτσι από τα ακόλουθα διαστήματα: 9 : 8, 9 : 8, 256 : 243 [αυτά τα τρία διαστήματα μας οδηγούν σε μια τέταρτη], 9 : 8, 9 : 8, 9 : 8, 256 : 243 [αυτά τα τέσσερα διαστήματα αποτελούν μια πέμπτη και συμπληρώνουν την οκτάβα από την αρχική μας νότα]. Αυτή η κλίμακα είναι γνωστή ως η Πυθαγόρεια διατονική και είναι η κλίμακα που υιοθέτησε ο Πλάτωνας στην κατασκευή της παγκόσμιας ψυχής στον Τίμαιο (36a-b).

Ο Αρχύτας ανέβασε την αρμονική θεωρία σε ένα εντελώς νέο επίπεδο θεωρητικής και μαθηματικής πολυπλοκότητας. Ο Πτολεμαίος, γράφοντας τον δεύτερο αιώνα μ.Χ., αναγνωρίζει τον Αρχύτα ως έναν από τους «πιο δραστήριους στη μελέτη της μουσικής από όλους τους Πυθαγόρειους» (A16). Πρώτον, ο Αρχύτας παρείχε μια γενική εξήγηση για την ένταση του ήχου, υποστηρίζοντας ότι η ένταση ενός ήχου εξαρτάται από την ταχύτητα με την οποία διαδίδεται και ταξιδεύει ο ήχος (B1). Έτσι, αν ένα ραβδί κουνιέται γρήγορα μπρος-πίσω, θα παράγει έναν ήχο που ταξιδεύει γρήγορα στον αέρα, ο οποίος θα γίνει αντιληπτός ως υψηλότερου τόνου από τον ήχο που παράγεται από ένα ραβδί που κουνιέται πιο αργά. Ο Αρχύτας έχει δίκιο που συνδέει την ένταση με την ταχύτητα, αλλά παρερμήνευσε τον ρόλο της ταχύτητας. Η ένταση του ήχου δεν εξαρτάται από την ταχύτητα με την οποία ένας ήχος φτάνει σε εμάς, αλλά μάλλον από τη συχνότητα των κρούσεων σε μια δεδομένη χρονική περίοδο. Μια χορδή που δονείται πιο γρήγορα παράγει έναν ήχο υψηλότερου τόνου, αλλά όλοι οι ήχοι, ανεξάρτητα από την ένταση, ταξιδεύουν με ίση ταχύτητα, αν το μέσο είναι το ίδιο. Αν και η ερμηνεία του Αρχύτα για την ένταση του ήχου ήταν τελικά λανθασμένη, είχε μεγάλη επιρροή. Υιοθετήθηκε και προσαρμόστηκε τόσο από τον Πλάτωνα όσο και από τον Αριστοτέλη και παρέμεινε η κυρίαρχη θεωρία σε όλη την αρχαιότητα (Barker 1989, 41 σημ. 47; Barker 2014: 187). Δεύτερον, ο Αρχύτας εισήγαγε νέα μαθηματική αυστηρότητα στις Πυθαγόρειες αρμονικές. Ένα από τα σημαντικά αποτελέσματα της ανάλυσης της μουσικής με βάση τους λόγους των ακεραίων αριθμών είναι η αναγνώριση ότι δεν είναι δυνατόν να διαιρεθούν τα βασικά μουσικά διαστήματα στο μισό. Η οκτάβα δεν διαιρείται σε δύο ίσα μισά αλλά σε μια τέταρτη και μια πέμπτη, η τέταρτη δεν διαιρείται σε δύο ίσα μισά αλλά σε δύο ακέραιους τόνους και ένα υπόλοιπο. Ο ολόκληρος τόνος δεν μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα ημιτόνια. Από την άλλη πλευρά, είναι δυνατό να διαιρεθεί μια διπλή οκτάβα στο μισό. Μαθηματικά, αυτό μπορεί να φανεί αναγνωρίζοντας ότι είναι δυνατό να εισαχθεί μια μέση αναλογία μεταξύ των όρων της αναλογίας που αντιστοιχεί στη διπλή οκτάβα (4:1) έτσι ώστε 4:2:2:1. Η διπλή οκτάβα μπορεί έτσι να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, καθένα από τα οποία έχει αναλογία 2:1. Οι αναλογίες που διέπουν τα βασικά μουσικά διαστήματα (2:1, 4:3, 3:2, 9:8), ανήκουν όλες σε έναν τύπο αναλογίας που είναι γνωστός ως υπερμερικός λόγος - περίπου, λόγοι της μορφής (n + 1): n . Ο Αρχύτας συνέβαλε καθοριστικά παρέχοντας μια αυστηρή απόδειξη ότι δεν υπάρχει μέση αναλογία μεταξύ αριθμών σε υπερμερικό λόγο (A19) και επομένως ότι τα βασικά μουσικά διαστήματα δεν μπορούν να διαιρεθούν στο μισό. Η απόδειξη του Αρχύτα υιοθετήθηκε αργότερα και τροποποιήθηκε ελαφρώς στο Sectio Canonis που αποδίδεται στον Ευκλείδη (Πρόταση 3· βλέπε Barker 1989, 195). Για την απόδειξη του Αρχύτα βλ. Huffman 2005: 451–70 και Barker 2007: 303–5.

Η τελική συμβολή του Αρχύτα στη μουσική θεωρία έχει να κάνει με τη δομή της κλίμακας (για μια πιο λεπτομερή περιγραφή από ό,τι ακολουθεί βλ. Huffman 2005: 402–25 και Barker 2007: 292–302). Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν μια σειρά από διαφορετικές κλίμακες, οι οποίες διακρίνονταν από τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάζονταν η τέταρτη, ή τετράχορδη. Αυτές οι κλίμακες ομαδοποιούνταν σε τρεις κύριους τύπους ή γένη. Ένα γένος ονομαζόταν διατονική. Ένα παράδειγμα αυτού είναι η Πυθαγόρεια διατονική που περιγράφηκε παραπάνω, η οποία βασίζεται στο τετράχορδο με τα διαστήματα 9:8, 9:8 και 256:243 και χρησιμοποιήθηκε από τον Φιλόλαο και τον Πλάτωνα. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Αρχύτας γνώριζε αυτή τη διατονική κλίμακα, αλλά η δική του διατονική τετράχορδη ήταν κάπως διαφορετική, καθώς αποτελούνταν από τα διαστήματα 9:8, 8:7 και 28:27. Ο Αρχύτας όρισε επίσης κλίμακες στα δύο άλλα μεγάλα γένη, την εναρμονική και τη χρωματική. Η εναρμονική τετράχορδη του Αρχύτα αποτελείται από τα διαστήματα 5:4, 36:35 και 28:27 και η χρωματική του τετράχορδη των διαστημάτων 32:27, 243:224 και 28:27. Υπάρχουν αρκετά αινίγματα σχετικά με τα τετράχορδα που υιοθετεί ο Αρχύτας σε κάθε γένη. Πρώτον, γιατί ο Αρχύτας απορρίπτει την Πυθαγόρεια διατονική που χρησιμοποιούσαν ο Φιλόλαος και ο Πλάτωνας; Δεύτερον, ο Πτολεμαίος, ο οποίος είναι η κύρια πηγή μας για τα τετράχορδα του Αρχύτα (A16), υποστηρίζει ότι ο Αρχύτας υιοθέτησε ως αρχή ότι όλα τα σύμφωνα διαστήματα θα πρέπει να αντιστοιχούν σε υπερατομικές αναλογίες. Οι αναλογίες στα διατονικά και εναρμονικά τετράχορδα του Αρχύτα είναι πράγματι υπερατομικές, αλλά δύο από τις αναλογίες στο χρωματικό τετράχορδό του δεν είναι υπερατομικές (32: 27 και 243: 224). Γιατί αυτές οι αναλογίες δεν είναι επίσης υπερατομικές; Τέλος, ο Πλάτωνας επικρίνει τις Πυθαγόρειες αρμονικές στην Πολιτεία.για την αναζήτηση αριθμών σε ακουστικές αρμονίες αντί για την άνοδο σε γενικευμένα προβλήματα (531c). Μπορεί να βγάλει νόημα αυτή η κριτική υπό το φως των τετράχορδων του Αρχύτα; Η ​​βάση για την απάντηση σε όλα αυτά τα ερωτήματα περιέχεται στο έργο των Winnington-Ingram (1932) και Barker (1989, 46–52). Το κρίσιμο σημείο είναι ότι η περιγραφή του Αρχύτα για τα τετράχορδα σε καθένα από τα τρία γένη μπορεί να αποδειχθεί ότι αντιστοιχεί στη μουσική πρακτική της εποχής του. Οι κριτικές του Πτολεμαίου χάνουν τον στόχο τους λόγω της άγνοιάς του για τη μουσική πρακτική της εποχής του Αρχύτα, περίπου 500 χρόνια πριν από τον Πτολεμαίο (Winnington-Ingram 1932, 207). Ο Αρχύτας δίνει μαθηματικές περιγραφές των κλιμάκων που χρησιμοποιούνταν στην πραγματικότητα. Αν και οι μαθηματικές σκέψεις έπαιξαν ρόλο (Barker 2007: 295–302), κατέληξε στους αριθμούς του εν μέρει παρατηρώντας τον τρόπο με τον οποίο οι μουσικοί κούρδιζαν τα όργανά τους (Barker 1989, 50–51). Δεν ακολούθησε την Πυθαγόρεια διατονική κλίμακα επειδή δεν αντιστοιχούσε σε καμία κλίμακα που χρησιμοποιούνταν στην πραγματικότητα, αν και αντιστοιχεί σε μια μέθοδο κουρδίσματος. Οι ασυνήθιστοι αριθμοί στο χρωματικό τετράχορδο του Αρχύτα αντιστοιχούν σε μια χρωματική κλίμακα που χρησιμοποιούνταν στην εποχή του Αρχύτα. Ο Πτολεμαίος έκανε λάθος υποστηρίζοντας ότι ο Αρχύτας τηρούσε την αρχή ότι όλα τα σύμφωνα διαστήματα θα έπρεπε να έχουν υπερατομικές αναλογίες (Huffman 2005: 422–3), αν και ο Barker υποστηρίζει ότι μπορεί να ακολουθούσε μια διαφορετική αλλά σχετική αρχή (2007: 301). Ο Αρχύτας παρέχει έτσι μια λαμπρή ανάλυση της μουσικής της εποχής του, αλλά ακριβώς η εστίασή του στην πραγματική μουσική πρακτική είναι που προκαλεί την οργή του Πλάτωνα. Ο Πλάτωνας δεν θέλει να επικεντρωθεί στη μουσική που ακούει γι' αυτόν («άκουγε αρμονίες»), αλλά μάλλον να ανέβει για να εξετάσει αρκετά αφηρημένα ερωτήματα σχετικά με το ποιοι αριθμοί είναι αρμονικοί με ποιους. Ο Πλάτωνας θα μπορούσε κάλλιστα να χαιρετίσει μια αρχή της συμφωνίας που βασίζεται αποκλειστικά σε μαθηματικές σκέψεις, όπως η αρχή ότι μόνο οι υπερατομικές αναλογίες είναι σύμφωνες, αλλά ο Αρχύτας ήθελε να εξηγήσει τους αριθμούς της μουσικής που άκουσε στην πραγματικότητα να παίζεται. Υπάρχει ένα σημαντικό μεταφυσικό ζήτημα που διακυβεύεται εδώ. Ο Πλάτωνας ζητά τη μελέτη του αριθμού καθαυτού, εκτός από τον αισθητό κόσμο, ενώ ο Αρχύτας, όπως και οι Πυθαγόρειοι πριν από αυτόν, δεν προβλέπει διάσπαση μεταξύ ενός αισθητού και ενός νοητού κόσμου και αναζητά τους αριθμούς που διέπουν τα αισθητά πράγματα. Για συζητήσεις σχετικά με τον Αρχύτα ως στόχο των παραπόνων του Πλάτωνα στην Πολιτεία , βλ. Huffman 2005: 423–5 και Barker 2014:192–3.

2.3 Αξιολόγηση του Αρχύτα ως Μαθηματικού

Υπήρξαν τάσεις τόσο υπερεκτίμησης όσο και υποτίμησης των επιτευγμάτων του Αρχύτα ως μαθηματικού. Ο Van der Waerden έφτασε στο σημείο να προσθέσει στα επιτεύγματα του Αρχύτα τόσο το Βιβλίο VIII των Στοιχείων του Ευκλείδη όσο και την πραγματεία για τα μαθηματικά της μουσικής, γνωστή ως Sectio Canonis, η οποία αποδίδεται στον Ευκλείδη στην αρχαία παράδοση (1962, 152–5). Αν και μεταγενέστεροι μελετητές (π.χ., Knorr 1975: 244) επαναλαμβάνουν αυτούς τους ισχυρισμούς, βασίζονται εν μέρει σε μια πολύ υποκειμενική ανάλυση του ύφους του Αρχύτα. Ο Αρχύτας επηρέασε την Sectio Canonis, καθώς η Πρόταση 3 βασίζεται σε μια απόδειξη του Αρχύτα (A19), αλλά η πραγματεία δεν μπορεί να είναι του Αρχύτα, επειδή η θεωρία της για το ύψος των φθόγγων και η περιγραφή των διατονικών και εναρμονικών τετραχόρδων διαφέρουν από αυτές του Αρχύτα. Από την άλλη πλευρά, ορισμένοι μελετητές έχουν αμφισβητήσει την ικανότητα του Αρχύτα ως μαθηματικού, υποστηρίζοντας ότι μέρος του έργου του μοιάζει με «απλή αριθμολογία» και «μαθηματική μυστικοποίηση» (Burkert 1972a, 386· Mueller 1997, 289). Αυτή η κρίση βασίζεται σε μεγάλο βαθμό σε ένα κείμενο (A17) που έχει ερμηνευτεί λανθασμένα ως παρουσίαση των ίδιων των απόψεων του Αρχύτα, ενώ, στην πραγματικότητα, παρουσιάζει την αναφορά του Αρχύτα για τους προκατόχους του (Huffman 2005: 428–37· Barker 2007: 193–5). Η αντιγραφή του κύβου και η συμβολή του Αρχύτα στα μαθηματικά της μουσικής (ο Barker 2007: 287 τον αποκαλεί «ηρωική φιγούρα στην πρώιμη ιστορία των μαθηματικών αρμονικών») δείχνουν ότι δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ήταν ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς του πρώτου μέρους του τέταρτου αιώνα π.Χ. Αυτή ήταν σίγουρα η κρίση της αρχαιότητας. Στην ιστορία της γεωμετρίας του, ο Εύδημος αναγνώρισε τον Αρχύτα μαζί με τον Λεοδάμα και τον Θεαίτητο ως τους τρεις πιο εξέχοντες μαθηματικούς της γενιάς του Πλάτωνα (A6 = Πρόκλος, στο Ευκλ., πρόλ. II 66, 14). Ο Netz (2014) υποστήριξε πρόσφατα ότι υπήρχαν δύο δίκτυα που ευθύνονταν για το μεγαλύτερο μέρος της προόδου στα αρχαία Eλληνικά μαθηματικά. Το δεύτερο χρησιμοποίησε τον Αρχιμήδη ως παραδειγματική μορφή, ενώ το προηγούμενο τον Αρχύτα. Ο Netz προτείνει να εφαρμόσουμε την περιγραφή του Πυθαγόρα από τον Bertrand Russell ως «έναν από τους σημαντικότερους ανθρώπους που έζησαν ποτέ» στον Αρχύτα, τόσο λόγω της μαθηματικής του ιδιοφυΐας όσο και λόγω της κεντρικής του θέσης σε τρεις διαφορετικές ομάδες: (1) Πυθαγόρειους της Νότιας Ιταλίας, (2) Έλληνες μαθηματικούς και (3) φιλοσόφους των οποίων το έργο ήταν σε διάλογο με τον Πλάτωνα (2014: 181–2).

3. Αρχύτας επί των Επιστημών

3.1 Η Αξία των Επιστημών

Το Αρχύτας Β1 είναι η αρχή του βιβλίου του για τις αρμονικές, και το μεγαλύτερο μέρος του είναι αφιερωμένο στις βασικές αρχές της θεωρίας του για την ακουστική και, ειδικότερα, στη θεωρία του για το ύψος των συχνοτήτων που περιγράφεται στην ενότητα 2.2 παραπάνω. Στις πρώτες πέντε γραμμές, ωστόσο, ο Αρχύτας παρέχει ένα πρόθεμα για την αξία των επιστημών (matêmata) γενικά. Υπάρχουν πολλά σημαντικά χαρακτηριστικά αυτού του προθέματος. Πρώτον, ο Αρχύτας προσδιορίζει ένα σύνολο τεσσάρων επιστημών: αστρονομία, γεωμετρία, «λογιστική» (αριθμητική) και μουσική. Το Β1 είναι επομένως πιθανώς το πρώτο κείμενο που προσδιορίζει το σύνολο των επιστημών που έγιναν γνωστές ως quadrivium στον Μεσαίωνα και που αποτελούν τέσσερις από τις επτά ελεύθερες τέχνες. Δεύτερον, ο Αρχύτας δεν παρουσιάζει αυτήν την ταξινόμηση των επιστημών ως δική του ανακάλυψη, αλλά αντίθετα ξεκινά με επαίνους των προκατόχων του που εργάστηκαν σε αυτούς τους τομείς. Μερικοί μελετητές υποστηρίζουν ότι, όταν επαινεί «αυτούς που ασχολούνται με τις επιστήμες», σκέφτεται μόνο τους Πυθαγόρειους (π.χ., Zhmud 1997, 198 και Lasserre 1954, 36), αλλά αυτό είναι λανθασμένο να υποθέσουμε ότι όλα τα πρώιμα Eλληνικά μαθηματικά είναι Πυθαγόρεια. Ο Αρχύτας δεν δίνει καμία υπόνοια ότι περιορίζει τις παρατηρήσεις του στους Πυθαγόρειους και, σε τομείς όπου μπορούμε να εντοπίσουμε εκείνους που τον επηρέασαν περισσότερο, αυτές οι μορφές δεν περιορίζονται στους Πυθαγόρειους (π.χ., τον Ιπποκράτη της Χίου στη γεωμετρία, βλέπε ενότητα 2.1). Επαινεί τους προκατόχους του στις επιστήμες, επειδή, «έχοντας διακρίνει καλά τη φύση των συνόλων, ήταν πιθανό επίσης να δουν καλά πώς είναι τα πράγματα στα μέρη τους» και να «έχουν σωστή κατανόηση των επιμέρους πραγμάτων όπως είναι». Εδώ ο Αρχύτας παρουσιάζει τη δική του κατανόηση της φύσης και της αξίας των επιστημών. Λόγω της συντομίας του αποσπάσματος, πολλά παραμένουν ασαφή. Ο Αρχύτας φαίνεται να επαινεί όσους ασχολούνται με τις επιστήμες για τη διάκρισή τους, την ικανότητά τους να κάνουν διακρίσεις (diagignôskein). Υποστηρίζει ότι ξεκινούν διακρίνοντας τη φύση των ολοτήτων, τις καθολικές έννοιες μιας επιστήμης, και, επειδή το κάνουν αυτό καλά, είναι σε θέση να κατανοήσουν συγκεκριμένα αντικείμενα (τα μέρη). Ο Αρχύτας φαίνεται να ακολουθεί ακριβώς αυτή τη διαδικασία στις Αρμονικές του. Ξεκινά ορίζοντας την πιο καθολική έννοια της επιστήμης, τον ήχο, και την εξηγεί με όρους άλλων εννοιών όπως η κρούση, προτού προχωρήσει στη διάκριση μεταξύ ακουστών και μη ακουστών ήχων και ήχων υψηλής και χαμηλής συχνότητας. Στόχος της επιστήμης δεν είναι, ωστόσο, η πραγματοποίηση αυτών των διακρίσεων σχετικά με τις καθολικές έννοιες, αλλά η γνώση της πραγματικής φύσης των μεμονωμένων πραγμάτων. Έτσι, οι αρμονικές του Αρχύτα τελειώνουν με τη μαθηματική περιγραφή των μουσικών διαστημάτων που ακούμε τους μουσικούς να χρησιμοποιούν (βλ. ενότητα 2.2 παραπάνω). Η αστρονομία θα τελειώσει με μια μαθηματική περιγραφή των περιόδων, των ανατολών και των δυτών των πλανητών. Ένας τρόπος για να κατανοήσουμε το έργο του Αρχύτα είναι να τον δούμε να επεξεργάζεται το πρόγραμμα που πρότεινε ο προκάτοχός του στην πυθαγόρεια παράδοση, ο Φιλόλαος. Μία από τις κεντρικές θέσεις του Φιλόλαου ήταν ότι αποκτούμε γνώση των πραγμάτων μόνο στο βαθμό που μπορούμε να τα εξηγήσουμε με όρους αριθμών (DK 44 B4). Ενώ ο Φιλόλαος έκανε μόνο τα πρώτα βήματα σε αυτό το έργο, ο Αρχύτας είναι πολύ πιο επιτυχημένος στο να δώσει μια περιγραφή των επιμέρους πραγμάτων στον φαινομενικό κόσμο με όρους αριθμών, όπως δείχνει η περιγραφή του για τα μουσικά διαστήματα. Ο Feke (2021: 125–127) υποστηρίζει ότι ο Αρχύτας μπορεί να μην έβλεπε τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία ως ριζικά διαφορετικά μαθήματα και σαφώς θεωρούσε τα μαθηματικά ως λύση φιλοσοφικών προβλημάτων στην επιστημολογία (Β 1) και την ηθική (βλ. Β 3).

Η περιγραφή των επιστημών από τον Πλάτωνα στο Βιβλίο VII της Πολιτείας μπορεί να θεωρηθεί ως απάντηση στην άποψη του Αρχύτα για τις επιστήμες. Πρώτον, ο Πλάτωνας προσδιορίζει μια ομάδα πέντε αντί για τέσσερις επιστημών και καταδικάζει την παραμέληση της προτεινόμενης πέμπτης επιστήμης του, της στερεομετρίας (στερεά γεωμετρία), με μια πιθανή αναφορά στον Αρχύτα (βλ. ενότητα 2.1). Ο Πλάτωνας παραθέτει με επιδοκιμασία τον ισχυρισμό του Αρχύτα ότι «αυτές οι επιστήμες φαίνεται να είναι συγγενείς» (Β1), αν και τον εφαρμόζει μόνο στις αρμονικές και την αστρονομία και όχι στο τετράγωνο του Αρχύτα και δεν τον αναφέρει ονομαστικά. Στο ίδιο απόσπασμα, ωστόσο, ο Πλάτωνας απορρίπτει εύστοχα την πυθαγόρεια προσπάθεια αναζήτησης αριθμών σε «ακουστικές αρμονίες». Με αυτόν τον τρόπο, ο Πλάτωνας διαφωνεί με την προσπάθεια του Αρχύτα να προσδιορίσει τους αριθμούς που διέπουν τα πράγματα στον αισθητό κόσμο. Για τον Πλάτωνα, η αξία των επιστημών είναι η ικανότητά τους να στρέφουν το μάτι της ψυχής από το αισθητό στο νοητό βασίλειο. Το Βιβλίο VII της Πολιτείας, με το περίτεχνο επιχείρημά του για τη διάκριση μεταξύ του νοητού και του αισθητού βασιλείου, μεταξύ του σπηλαίου και του νοητού κόσμου έξω από το σπήλαιο, μπορεί σε μεγάλο βαθμό να αφορά την προσπάθεια του Αρχύτα να χρησιμοποιήσει τα μαθηματικά μόνο για να εξηγήσει τον αισθητό κόσμο και όχι για να προσελκύσει την ψυχή στον νοητό κόσμο. Όπως τονίζει επανειλημμένα ο Αριστοτέλης, οι Πυθαγόρειοι διέφεραν από τον Πλάτωνα ακριβώς στην άρνησή τους να διαχωρίσουν τους αριθμούς από τα πράγματα (π.χ., Μεταφ. 987b27).

3.2 Η Λογιστική ως το Μεταπτυχιακό Δίπλωμα

Στο Β4, ο Αρχύτας ισχυρίζεται ότι «η λογιστική φαίνεται να είναι πράγματι πολύ ανώτερη από τις άλλες τέχνες όσον αφορά τη σοφία». Τι εννοεί ο Αρχύτας με τη λέξη «λογιστική»; Φαίνεται να είναι ο όρος του Αρχύτα για την επιστήμη των αριθμών, η οποία αναφέρθηκε ως μία από τις τέσσερις αδελφές επιστήμες στο Β1. Απλώς δεν υπάρχει αρκετό πλαίσιο στο Β4 ή σε άλλα κείμενα του Αρχύτα για να προσδιοριστεί η έννοια της λογιστικής μόνο από τη χρήση του Αρχύτα. Είναι απαραίτητο να βασιστούμε σε κάποιο βαθμό στον Πλάτωνα, ο οποίος είναι η μόνη άλλη πρώιμη μορφή που χρησιμοποιεί τον όρο εκτενώς. Μια μεταγενέστερη αντίληψη της λογιστικής, ως κάτι που ασχολείται με αριθμημένα πράγματα και όχι με τους ίδιους τους αριθμούς, η οποία βρίσκεται, π.χ., στον Γέμινο, δεν θα πρέπει να αποδοθεί στον Πλάτωνα ή στον Αρχύτα (Klein 1968· Burkert 1972a, 447 σημ. 119). Στον Πλάτωνα, η «λογιστική» μπορεί να αναφέρεται σε καθημερινούς υπολογισμούς, αυτό που θα ονομάζαμε αριθμητική (π.χ. 3 × 700 = 2.100· βλέπε, Hp. Mi. 366c). Σε άλλα αποσπάσματα, ωστόσο, ο Πλάτωνας ορίζει τη λογιστική παράλληλα με την αριθμητική και αντιμετωπίζει τις δύο ως συνυφασμένες με την επιστήμη των αριθμών, στην οποία βασίζεται ο πρακτικός χειρισμός των αριθμών (Klein 1968, 23–24). Τόσο η αριθμητική όσο και η λογιστική ασχολούνται με τον άρτιο και τον περιττό αριθμό. Η Αριθμητική δεν εστιάζει στις ποσότητες αλλά στα είδη των αριθμών (Grg. 451b), ξεκινώντας με τον άρτιο και τον περιττό και πιθανώς συνεχίζοντας με τους τύπους που βρίσκουμε αργότερα στον Νικόμαχο (Ar. 1.8 – 1.13), όπως ο πρώτος, ο σύνθετος και ο άρτιος επί τον άρτιο. Η Λογιστική, από την άλλη πλευρά, εστιάζει στην ποσότητα, το «ποσό που έχουν οι περιττοί και οι ζυγοί αριθμοί τόσο καθαυτοί όσο και σε σχέση μεταξύ τους» (Grg. 451c). Ένα παράδειγμα ενός μέρους της λογιστικής θα μπορούσε να είναι η μελέτη διαφόρων ειδών μέσων και αναλογιών, τα οποία εστιάζουν στις ποσοτικές σχέσεις των αριθμών μεταξύ τους (π.χ., Νικόμαχος, Ar. II. 21 κ.ε.). Στο Β2, ο Αρχύτας πιθανότατα θα θεωρούσε τον εαυτό του ότι ασχολείται με τη λογιστική, όταν ορίζει τους τρεις τύπους μέσων που σχετίζονται με τη μουσική (γεωμετρικά, αριθμητικά και αρμονικά). Ο γεωμετρικός μέσος όρος προκύπτει κάθε φορά που τρεις όροι σχετίζονται τόσο πολύ ώστε, όπως ο πρώτος είναι με τον δεύτερο, έτσι και ο δεύτερος είναι με τον τρίτο (π.χ., 8:4:4:2) και η αριθμητική, όταν τρεις όροι σχετίζονται τόσο πολύ ώστε ο πρώτος να υπερβαίνει τον δεύτερο κατά το ίδιο ποσό που ο δεύτερος υπερβαίνει τον τρίτο (π.χ., 6:4:4:2). Ο Αρχύτας, όπως και ο Πλάτωνας (R. 525c), χρησιμοποιεί τη λογιστική όχι μόνο με αυτή τη στενή έννοια της μελέτης της σχετικής ποσότητας, αλλά και για να δηλώσει ολόκληρη την επιστήμη των αριθμών, συμπεριλαμβανομένης της αριθμητικής.

Γιατί ο Αρχύτας πιστεύει ότι η λογιστική είναι ανώτερη από τις άλλες επιστήμες; Στο Β4, τη συγκρίνει ιδιαίτερα με τη γεωμετρία, υποστηρίζοντας ότι η λογιστική (1) «ασχολείται με αυτό που επιθυμεί πιο έντονα από τη γεωμετρία» και (2) «ολοκληρώνει τις αποδείξεις» όπου η γεωμετρία δεν μπορεί, ακόμη και «αν υπάρχει κάποια έρευνα σχετικά με τα σχήματα». Αυτή η τελευταία παρατήρηση είναι εκπληκτική, καθώς η μελέτη των σχημάτων φαίνεται να είναι ο κατάλληλος τομέας της γεωμετρίας. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος εξήγησης της παρατήρησης του Αρχύτα είναι να υποθέσουμε ότι υποστηρίζει ότι η λογιστική είναι μαθηματικά ανώτερη από τη γεωμετρία, με την έννοια ότι ορισμένες αποδείξεις μπορούν να ολοκληρωθούν μόνο με την επίκληση της λογιστικής. Ο Μπούρκερτ βλέπει αυτό ως λόγο αμφιβολίας για την αυθεντικότητα του αποσπάσματος, καθώς το ακριβώς αντίθετο φαίνεται να ισχύει. Ο Αρχύτας μπορούσε να προσδιορίσει την κυβική ρίζα του δύο γεωμετρικά, μέσω της λύσης του για την επανάληψη του κύβου, αλλά δεν μπορούσε να το κάνει αριθμητικά, αφού η κυβική ρίζα του δύο είναι ένας άρρητος αριθμός (1972a, 220 σημ. 14). Άλλοι μελετητές έχουν επισημάνει, ωστόσο, ότι ορισμένες αποδείξεις στη γεωμετρία απαιτούν μια επίκληση στη λογιστική (Knorr 1975, 311; Mueller 1992b, 90 σημ. 12), π.χ., η λογιστική απαιτείται να αναγνωρίσει την ασφαλισιμότητα της διαγωνίου με την πλευρά του τετραγώνου, καθώς η ασυμμετρία προκύπτει όταν δύο μεγέθη «δεν έχουν μεταξύ τους την αναλογία που έχει ο αριθμός προς τον αριθμό» (Ευκλείδης X 7). Αυτές οι προτάσεις δείχνουν ότι η λογιστική μπορεί να είναι ανώτερη από τη γεωμετρία σε ορισμένες περιπτώσεις, αλλά δεν εξηγούν τον γενικότερο ισχυρισμό του Αρχύτα ότι η λογιστική αντιμετωπίζει όποια προβλήματα θέλει με μεγαλύτερη σαφήνεια από τη γεωμετρία. Ο Goldin (2021: 213–218) υποστηρίζει ότι ο Αρχύτας αναγνώρισε ότι οι αποδείξεις στη γεωμετρία δεν είναι τόσο πλήρως επεξεργασμένες όσο αυτές στη λογιστική, δηλαδή ότι είχαν κενά, αλλά δεν ήταν σε θέση να προσδιορίσει τα ακριβή σημεία στα οποία ήταν ελλιπείς. Μια τέτοια εξειδίκευση επιτεύχθηκε μόνο από τον Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη.

Ωστόσο, είναι πιθανό το Β4 να μην συγκρίνει στην πραγματικότητα τη λογιστική με τις άλλες επιστήμες ως επιστήμες - όσον αφορά τη σχετική επιτυχία τους στην παροχή επιδείξεων. Ο τίτλος του έργου από το οποίο λέγεται ότι προέρχεται το Β4, Λόγοι (Διατριβαί), χρησιμοποιείται συχνότερα σε ηθικές πραγματείες. Επιπλέον, ειδικά σε σχέση με τη σοφία (σοφία) η λογιστική λέγεται ανώτερη και, ενώ η σοφία μπορεί να αναφέρεται στην τεχνική εμπειρογνωμοσύνη, αναφέρεται συχνότερα στο υψηλότερο είδος πνευματικής αριστείας, συχνά στην αριστεία που μας επιτρέπει να ζούμε μια καλή ζωή (Αριστ., EN 1141a12; Pl., R . 428d κ.ε.). Υπάρχει κάποια έννοια με την οποία η λογιστική μας κάνει σοφότερους από τις άλλες επιστήμες; Δεδομένου ότι ο Αρχύτας προφανώς συμφωνούσε με τον Φιλόλαο ότι κατανοούμε μεμονωμένα πράγματα στον κόσμο μόνο στο βαθμό που κατανοούμε τους αριθμούς που τα περιγράφουν, φαίνεται αρκετά εύλογο ότι ο Αρχύτας θα θεωρούσε τη λογιστική ως την επιστήμη που μας κάνει σοφούς για τον κόσμο. Με αυτή την έννοια, η λογιστική θα είναι πάντα ανώτερη από τη γεωμετρία, ακόμη και όταν ασχολείται με σχήματα. Ίσως το πιο διάσημο άγαλμα της κλασικής περιόδου είναι ο Δορυφόρος του Αργείου γλύπτη Πολύκλειτου, τον οποίο ο ίδιος ονόμασε επίσης Κανόνα (δηλαδή, το πρότυπο). Αν και ο Πολύκλειτος αναμφίβολα χρησιμοποίησε τη γεωμετρία για την κατασκευή αυτού του υπέροχου σχήματος, σε μια διάσημη πρόταση από το βιβλίο του, με τίτλο επίσης Κανόνας, ισχυρίζεται ότι το άγαλμά του δεν δημιουργήθηκε μέσω πολλών σχημάτων αλλά «μέσω πολλών αριθμών» (DK40 B2, βλ. Huffman 2002a). Οι γεωμετρικές σχέσεις από μόνες τους δεν καθορίζουν τη μορφή ενός δεδομένου αντικειμένου, πρέπει να ορίσουμε συγκεκριμένες αναλογίες, συγκεκριμένους αριθμούς. Ο Αρχύτας πίστευε επίσης ότι οι αριθμοί και η λογιστική ήταν η βάση του δίκαιου κράτους και, ως εκ τούτου, της καλής ζωής. Στο Β3 υποστηρίζει ότι ο ορθολογικός υπολογισμός (λογισμός) παράγει τη δικαιοσύνη από την οποία εξαρτάται το κράτος. Η δικαιοσύνη είναι μια σχέση που πρέπει να διατυπωθεί αριθμητικά και μέσω μιας τέτοιας δήλωσης, πλούσιοι και φτωχοί μπορούν να ζήσουν μαζί, βλέποντας ο καθένας ότι έχει αυτό που είναι δίκαιο. Η Λογιστική θα είναι πάντα ανώτερη από τις άλλες επιστήμες, επειδή αυτές οι επιστήμες τελικά θα βασίζονται στους αριθμούς για να μας δώσουν γνώση των ήχων που ακούμε, των σχημάτων που βλέπουμε και των κινήσεων των ουράνιων σωμάτων που παρατηρούμε.

3.3 Οπτική και Μηχανική

Ο Αριστοτέλης είναι ο πρώτος Έλληνας συγγραφέας που αναφέρει τις επιστήμες της οπτικής και της μηχανικής, περιγράφοντας την οπτική ως δευτερεύουσα επιστήμη της γεωμετρίας και τη μηχανική ως δευτερεύουσα επιστήμη της στερεάς γεωμετρίας (APo. 78b34). Ο Αρχύτας δεν αναφέρει καμία από αυτές τις επιστήμες στο Β1, όταν περιγράφει το έργο των προκατόχων του στις επιστήμες, ούτε ο Πλάτωνας τις αναφέρει. Αυτή η σιωπή υποδηλώνει ότι οι δύο κλάδοι μπορεί να αναπτύχθηκαν για πρώτη φορά στο πρώτο μισό του τέταρτου αιώνα, όταν ο Αρχύτας ήταν πιο δραστήριος, και είναι πιθανό να έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη και των δύο. Σε ένα πρόσφατα αναγνωρισμένο απόσπασμα από το βιβλίο του για τους Πυθαγόρειους (Iamblichus, Comm. Math. XXV· βλ. Burkert 1972a, 50 σημ. 112), ο Αριστοτέλης αποδίδει μια μέχρι τότε άγνωστη σημασία στην οπτική στον Πυθαγορισμό. Όπως ακριβώς οι Πυθαγόρειοι εντυπωσιάστηκαν από το γεγονός ότι τα μουσικά διαστήματα βασίζονταν σε λόγους ακεραίων αριθμών, έτσι εντυπωσιάστηκαν και από το γεγονός ότι τα φαινόμενα της οπτικής μπορούσαν να εξηγηθούν με όρους γεωμετρικών διαγραμμάτων. Εκτός του ότι ήταν ένας καταξιωμένος μαθηματικός, ο Αρχύτας είχε μια θεωρία της όρασης και προφανώς προσπάθησε να εξηγήσει ορισμένα από τα φαινόμενα που εμπλέκονται στους καθρέφτες. Σε αντίθεση με τον Πλάτωνα, ο οποίος υποστήριζε ότι η οπτική ακτίνα, η οποία προερχόταν από το μάτι, απαιτεί την υποστήριξη και συγχωνεύεται με το εξωτερικό φως, ο Αρχύτας εξήγησε την όραση μόνο με βάση την οπτική ακτίνα (A25). Είναι δελεαστικό, λοιπόν, να υποθέσουμε ότι ο Αρχύτας έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της μαθηματικά βασισμένης Πυθαγόρειας οπτικής, στην οποία αναφέρεται ο Αριστοτέλης (Burnyeat 2005). Από την άλλη πλευρά, όταν ο Αριστοτέλης αναφέρεται σε Πυθαγόρειους, εννοεί γενικά Πυθαγόρειους του πέμπτου αιώνα. Αλλού αντιμετωπίζει τον Αρχύτα ανεξάρτητα από την πυθαγόρεια παράδοση, γράφοντας έργα για τον Αρχύτα που ήταν διαφορετικά από το έργο του για τους Πυθαγόρειους. Θα ήταν επομένως πιο φυσικό να ερμηνεύσουμε την αναφορά του Αριστοτέλη στην πυθαγόρεια οπτική ως παραπομπή σε Πυθαγόρειους του πέμπτου αιώνα, όπως ο Φιλόλαος. Ο Αρχύτας θα ήταν τότε υπεύθυνος για την ανάπτυξη μιας ήδη υπάρχουσας πυθαγόρειας οπτικής παράδοσης σε επιστήμη, αντί να θεμελιώσει μια τέτοια παράδοση.

Ο Διογένης Λαέρτιος αναφέρει ότι ο Αρχύτας ήταν «ο πρώτος που συστηματοποίησε τη μηχανική χρησιμοποιώντας μαθηματικές πρώτες αρχές» (VIII 83 = A1), και ως εκ τούτου ο Αρχύτας μερικές φορές χαιρετίζεται από τους σύγχρονους μελετητές ως ο ιδρυτής της επιστήμης της μηχανικής. Υπάρχει ένα αίνιγμα, ωστόσο, δεδομένου ότι κανένας αρχαίος Έλληνας συγγραφέας στη μεταγενέστερη μηχανική παράδοση (π.χ., ο Ήρωνας, ο Πάππος, ο Αρχιμήδης, ο Φίλωνας) δεν αποδίδει ποτέ κάποιο έργο στον τομέα στον Αρχύτα. Τι εννοούσαν οι αρχαίοι με τη μηχανική; Ένας πρόχειρος ορισμός θα ήταν «η περιγραφή και η εξήγηση της λειτουργίας των μηχανών» (Knorr 1996). Η παλαιότερη πραγματεία στη μηχανική, τα Μηχανικά Προβλήματα που αποδίδεται στον Αριστοτέλη, ξεκινά με προβλήματα που σχετίζονται με μια απλή μηχανή, τον μοχλό. Ο Πάππος (320 μ.Χ.) αναφέρεται σε μηχανές που χρησιμοποιούνται για την ανύψωση μεγάλων βαρών, πολεμικές μηχανές όπως ο καταπέλτης, μηχανές ανύψωσης νερού, καταπληκτικές συσκευές (αυτόματα) και μηχανές που χρησίμευαν ως μοντέλα των ουρανών (1024.12 – 1025.4, για τον Πάππο, βλ. Cuomo 2000). Ο Πάππος τονίζει, ωστόσο, ότι, εκτός από αυτό το πρακτικό μέρος της μηχανικής, υπάρχει ένα θεωρητικό μέρος που είναι σε μεγάλο βαθμό μαθηματικό (1022. 13–15). Δεδομένου του ενδιαφέροντός του για την περιγραφή των φυσικών φαινομένων με μαθηματικούς όρους, μπορεί να φαίνεται λογικό ότι ο Αρχύτας θα έκανε σημαντικές συνεισφορές στη μηχανική. Τα πραγματικά στοιχεία είναι λιγότερο πειστικά. Ένα μεγάλο μέρος της τάσης να αποδίδεται στον Αρχύτα ένας ρόλος στην ανάπτυξη της μηχανικής μπορεί να εντοπιστεί στην ιστορία του Πλούταρχου σχετικά με τη διαμάχη μεταξύ Πλάτωνα και Αρχύτα σχετικά με την υποτιθέμενη μηχανική λύση του Αρχύτα στο πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου. Αυτή η ιστορία είναι πιθανό να είναι ψευδής (βλ. 2.1 παραπάνω). Μερικοί μελετητές έχουν υποστηρίξει ότι ο Αρχύτας επινόησε πολεμικές μηχανές (Diels 1965· Cambiano 1998), όπως έκανε αργότερα ο Αρχιμήδης, αλλά αυτό το συμπέρασμα βασίζεται σε αμφισβητήσιμα συμπεράσματα και καμία αρχαία πηγή δεν αποδίδει τέτοιες μηχανές στον Αρχύτα. Η μόνη μηχανική συσκευή που μπορεί με κάποια πιθανότητα να αποδοθεί στον Αρχύτα, εκτός από το παιδικό παιχνίδι που είναι γνωστό ως «κλακέτα» (A10), είναι ένα αυτόματο σε μορφή ξύλινου περιστεριού, το οποίο συνδεόταν με μια τροχαλία και αντίβαρο και «πετούσε» από μια χαμηλότερη θέση σε μια υψηλότερη, όταν τίθεται σε κίνηση από μια ριπή αέρα (A10a). Ο Kingsley ασκεί έντονη κριτική στους μελετητές που βλέπουν αυτές τις εφευρέσεις ως παιχνίδια και προτείνει συνδέσεις με προηγούμενους Κινέζους εφευρέτες που κατασκεύασαν ένα ξύλινο πουλί που μπορούσε να πετάξει για στρατιωτικούς σκοπούς (2014: 155–9). Άλλοι έχουν υποστηρίξει ότι, δεδομένου ότι οι αρχαίες πολιορκητικές συσκευές ονομάζονταν με τα ονόματα ζώων (π.χ. «χελώνα» και «κόρακας»), το «περιστέρι» του Αρχύτα μπορεί να ήταν ένας πρώιμος καταπέλτης της επινόησής του ή ένα βλήμα που εκτοξεύτηκε από έναν τέτοιο καταπέλτη, το οποίο αργότερα παρερμηνεύτηκε ως μηχανικό περιστέρι (Berryman 2003: 355; 2009: 78). Ωστόσο, καμία αρχαία πηγή δεν εξηγεί το περιστέρι με αυτόν τον τρόπο. Ένας παράγοντας που περιπλέκει εδώ είναι ότι ο Διογένης Λαέρτιος αναφέρει (A1) ότι υπήρχε ένα βιβλίο για τη μηχανική σε κυκλοφορία, το οποίο ορισμένοι πίστευαν ότι ήταν από έναν διαφορετικό Αρχύτα, επομένως είναι πιθανό το ιπτάμενο περιστέρι να είναι, στην πραγματικότητα, έργο ενός ξεχωριστού Αρχύτα. Η λύση του Αρχύτα για την αντιγραφή του κύβου, αν και δεν ήταν η ίδια μηχανική, είχε τεράστια σημασία για τη μηχανική, καθώς η λύση στο πρόβλημα επιτρέπει όχι μόνο να διπλασιαστεί ένας κύβος αλλά και να κατασκευαστούν σώματα που είναι μεγαλύτερα ή μικρότερα από ένα δεδομένο σώμα σε οποιαδήποτε δεδομένη αναλογία. Έτσι, η λύση επιτρέπει την κατασκευή μιας μηχανής πλήρους κλίμακας με βάση ένα λειτουργικό μοντέλο. Ο Πάππους αναφέρει τη λύση του διπλασιασμού του κύβου ως ένα από τα τρία πιο κρίσιμα γεωμετρικά θεωρήματα για την πρακτική μηχανική ( Math. Coll. 1028. 18–21). Είναι λοιπόν πιθανό η κύρια συμβολή του Αρχύτα στη μηχανική να ήταν ακριβώς η λύση του για την αντιγραφή του κύβου και ότι αυτή η λύση αποτέλεσε τις πρώτες μαθηματικές αρχές που παρείχε ο Αρχύτας για τη μηχανική. Για μια πρόσφατη συζήτηση αυτών των ζητημάτων, βλέπε Berryman 2009: 87–97. Είναι πιο αμφίβολο ότι ο Αρχύτας έγραψε μια πραγματεία για τη μηχανική. Ο Schofield υποστήριξε πρόσφατα ότι τα στοιχεία για το έργο του Αρχύτα τόσο στην οπτική όσο και στη μηχανική είναι τόσο πενιχρά που θα πρέπει να «είμαστε σκεπτικοί σχετικά με τον υποτιθέμενο ρόλο του Αρχύτα» (2014: 86).

4. Ορισμοί

Στα Μεταφυσικά, ο Αριστοτέλης επαινεί τον Αρχύτα για τον ορισμό που έλαβε υπόψη τόσο τη μορφή όσο και την ύλη (1043a14–26 = A22). Τα παραδείγματα που δίνονται είναι η «ανανέμια» (nênemia), η οποία ορίζεται ως «η ηρεμία [η μορφή] σε μια ποσότητα αέρα [η ύλη]», και η «γαλήνη στον ωκεανό» (galênê), η οποία ορίζεται ως «η επιπεδότητα [η μορφή] της θάλασσας [η ύλη]». Οι όροι μορφή και ύλη είναι του Αριστοτέλη και δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι για το πώς ο Αρχύτας διατύπωσε τη σύλληψη των δύο μερών των ορισμών του. Μια εύλογη υπόθεση είναι ότι ακολούθησε τον προκάτοχό του Φιλόλαο υιοθετώντας τους περιοριστές και τα απεριόριστα ως βασικές μεταφυσικές αρχές του και ότι έβλεπε τους ορισμούς του ως συνδυασμούς περιοριστών, όπως η επιπεδότητα και η ηρεμία, με απεριόριστα, όπως ο αέρας και η θάλασσα. Η ιδιορρυθμία της «ανανέωσης» και της «γαλήνης στη θάλασσα» ως παραδείγματα υποδηλώνει ότι δεν ήταν υποπροϊόντα κάποιου άλλου είδους έρευνας, π.χ. της κοσμολογίας, αλλά επιλέχθηκαν ακριβώς για να επεξηγήσουν τις αρχές του ορισμού. Ο Αρχύτας μπορεί επομένως να αφιέρωσε μια πραγματεία στο θέμα. Ο Horky (2021b: 57–60), ωστόσο, υποστηρίζει ότι η «ανανέωση» και η «γαλήνη στη θάλασσα» έχουν μια θέση στην ηθική ψυχολογία του Αρχύτα. Ο Αρχύτας παρουσιάζεται ως άνθρωπος που εκτιμά την ηρεμία σε ηθικά ανέκδοτα (βλ. ενότητα 6 παρακάτω) και η ανανέωση αναφέρεται στην περιγραφή του Αριστοτέλη για μια Πυθαγόρεια άποψη ότι η ψυχή είναι οι κόκκοι στον αέρα (ή ό,τι κινεί αυτούς τους κόκκους) οι οποίοι κινούνται συνεχώς ακόμη και όταν είναι άνευ αέρα (De Anima 404a16–25). Δυστυχώς, δεν υπάρχουν στοιχεία ότι ο Αρχύτας είχε μια θεωρία για την ψυχή και η εμφάνιση της ανανέωσης στους ορισμούς του μπορεί να μην έχει καμία σχέση με τη συζήτηση του Αριστοτέλη για τους κόκκους στον αέρα.

Ο Αριστοτέλης σχολιάζει αλλού τη χρήση της αναλογίας στην ανάπτυξη ορισμών και χρησιμοποιεί τα ίδια παραδείγματα (Κορυφή 108a7). Η ικανότητα αναγνώρισης ομοιότητας σε πράγματα διαφορετικών γενών θεωρείται το κλειδί. Η «ανανέμια» και η «γαλήνη στον ωκεανό» αναγνωρίζονται ως όμοια, και αυτή η ομοιότητα μπορεί να εκφραστεί με την ακόλουθη αναλογία: όπως η νενεμία είναι για τον αέρα, έτσι και η γαλήνη είναι για τη θάλασσα. Είναι δελεαστικό να υποθέσουμε ότι ο Αρχύτας, ο οποίος έβλεπε τον κόσμο ως εξηγήσιμο με όρους αριθμού και αναλογίας, έβλεπε επίσης την αναλογία ως το κλειδί στην ανάπτυξη ορισμών. Αυτό θα εξηγούσε μια άλλη αναφορά στον Αρχύτα στον Αριστοτέλη. Στη Ρητορική 1412a9–17 (= A12) ο Αριστοτέλης επαινεί τον Αρχύτα ακριβώς για την ικανότητά του να βλέπει ομοιότητα, ακόμη και σε πράγματα που διαφέρουν σημαντικά, και δίνει ως παράδειγμα τον ισχυρισμό του Αρχύτα ότι ένας διαιτητής και ένας βωμός είναι το ίδιο. Παραδόξως, ο DK συμπεριλαμβάνει αυτό το κείμενο στις μαρτυρίες για τη ζωή του Αρχύτα, αλλά σαφώς αποτελεί μέρος του έργου του Αρχύτα για τον ορισμό. Οι ορισμοί τόσο του βωμού όσο και του διαιτητή θα επικαλούνται τις κοινές τους λειτουργίες ως καταφύγιο, αναγνωρίζοντας παράλληλα το διαφορετικό πλαίσιο και τον τρόπο με τον οποίο εκτελείται αυτή η λειτουργία. Για αμφιβολίες σχετικά με αυτήν την ανακατασκευή της θεωρίας ορισμού του Αρχύτα, βλ. Barker 2006, 314–318, Schofield 2014, 80 και Payne 2021.

5. Κοσμολογία και Φυσική

Έχουμε πολύ λίγα στοιχεία για την κοσμολογία του Αρχύτα, ωστόσο ήταν υπεύθυνος για ένα από τα πιο διάσημα κοσμολογικά επιχειρήματα στην αρχαιότητα, ένα επιχείρημα που έχει χαιρετιστεί ως «το πιο πειστικό επιχείρημα που έχει ποτέ παραχθεί για το άπειρο του χώρου» (Sorabji 1988, 125). Το επιχείρημα αποδίδεται στον Αρχύτα σε ένα απόσπασμα του Ευδήμου που διασώζεται από τον Σιμπλίκιο (= A24), και πιθανότατα στον Αρχύτα αναφέρεται ο Αριστοτέλης όταν περιγράφει τον πέμπτο και «σημαντικότερο» λόγο για τον οποίο οι άνθρωποι πιστεύουν στην ύπαρξη του απεριόριστου (Φιλ. 203b22 κ.ε.). Ο Αρχύτας ρωτά όποιον υποστηρίζει ότι το σύμπαν είναι περιορισμένο να συμμετάσχει σε ένα νοητικό πείραμα (αυτό είναι ένα από τα πρώτα καταγεγραμμένα νοητικά πειράματα στην αρχαιότητα): «Αν έφτανα στο άκρο του ουρανού, θα μπορούσα να απλώσω το χέρι ή το ραβδί μου σε ό,τι είναι έξω ή όχι; Θα ήταν παράδοξο [δεδομένων των κανονικών υποθέσεων μας για τη φύση του χώρου] να μην μπορώ να το επεκτείνω». Το τέλος του ραβδιού, μόλις επεκταθεί, θα σηματοδοτήσει ένα νέο όριο. Ο Αρχύτας μπορεί να προχωρήσει στο νέο όριο και να θέσει ξανά το ίδιο ερώτημα, έτσι ώστε να υπάρχει πάντα κάτι, μέσα στο οποίο μπορεί να επεκταθεί η ράβδος του, πέρα ​​από το υποτιθέμενο όριο, και επομένως ότι κάτι είναι σαφώς απεριόριστο. Ούτε ο Πλάτωνας ούτε ο Αριστοτέλης αποδέχτηκαν αυτό το επιχείρημα, και αμφότεροι πίστευαν ότι το σύμπαν ήταν περιορισμένο. Παρ' όλα αυτά, το επιχείρημα του Αρχύτα είχε μεγάλη επιρροή και υιοθετήθηκε και προσαρμόστηκε από τους Στωικούς, τους Επικούρειους (Λουκρήτιος Α' 968–983), τον Λοκ και τον Νεύτωνα, μεταξύ άλλων, ενώ προκάλεσε απαντήσεις από τον Αλέξανδρο και τον Σιμπλίκιο (Sorabji 1988, 125–141). Για μια συζήτηση σχετικά με τη σχέση μεταξύ του νοητικού πειράματος του Αρχύτα και άλλων νοητικών πειραμάτων στην αρχαιότητα, βλέπε Ierodiakonou 2011. Δεν έχουν εντυπωσιαστεί όλοι οι μελετητές από το επιχείρημα (βλ. Barnes 1982, 362), και οι σύγχρονες αντιλήψεις για τον χώρο επιτρέπουν να είναι πεπερασμένος χωρίς να έχει ακμή, και χωρίς ακμή το επιχείρημα του Αρχύτα δεν μπορεί να ξεκινήσει (αλλά βλέπε Sorabji 1988, 160–163). Πέρα από αυτό το επιχείρημα, υπάρχουν μόνο ελάχιστα στοιχεία για το σύστημα του φυσικού κόσμου του Αρχύτα. Ο Εύδημος επαινεί τον Αρχύτα επειδή αναγνώρισε ότι το άνισο και το ανομοιόμορφο δεν είναι ταυτόσημα με την κίνηση, όπως υποστήριζε ο Πλάτωνας (βλ. Τι. 52ε και 57ε), αλλά μάλλον οι αιτίες της κίνησης (Α23). Μια άλλη μαρτυρία υποδηλώνει ότι ο Αρχύτας πίστευε ότι όλα τα πράγματα κινούνται σύμφωνα με την αναλογία (Αριστ., Πιθαν. 915a25–32 = A23a). Η ίδια μαρτυρία υποδεικνύει ότι διαφορετικά είδη αναλογίας όριζαν διαφορετικά είδη κίνησης. Ο Αρχύτας υποστήριξε ότι «η αναλογία της ισότητας» (αριθμητική αναλογία;) όριζε τη φυσική κίνηση, την οποία θεωρούσε ως καμπύλη κίνηση (για μια διαφορετική ερμηνεία της αναλογίας της ισότητας βλ. De Groot 2014: 195–207). Αυτή η εξήγηση της φυσικής κίνησης υποτίθεται ότι εξηγεί γιατί ορισμένα μέρη των φυτών και των ζώων (π.χ. ο μίσχος, οι μηροί, τα χέρια και ο κορμός) είναι στρογγυλεμένα αντί για τριγωνικά ή πολυγωνικά. Μερικοί μελετητές υποστηρίζουν ότι ήταν η επιρροή του Αρχύτα που οδήγησε τον Πλάτωνα και τον Εύδημο να δώσουν έμφαση στην ομοιόμορφη κυκλική κίνηση στην εξήγηση των ουρανών (Zhmud 2006: 97). Μια εξήγηση της κίνησης με όρους αναλογίας ταιριάζει καλά με τα υπόλοιπα στοιχεία για τον Αρχύτα, αλλά οι λεπτομέρειες παραμένουν ασαφείς.

6. Ηθική και Πολιτική Φιλοσοφία

Η αναζήτηση των αριθμών στα πράγματα από τον Αρχύτα δεν περιοριζόταν στον φυσικό κόσμο. Οι πολιτικές σχέσεις και η ηθική δράση των ατόμων εξηγούνταν επίσης με όρους αριθμού και αναλογίας. Στο Παρ. 3, ο ορθολογικός υπολογισμός αναγνωρίζεται ως η βάση της σταθερής κατάστασης:
Μόλις ανακαλύφθηκε ο λογισμός, σταμάτησε τη διχόνοια και αύξησε τη συμφωνία. Διότι οι άνθρωποι δεν θέλουν περισσότερα από το μερίδιό τους, και η ισότητα υπάρχει, όταν αυτή έχει δημιουργηθεί. Διότι μέσω του υπολογισμού θα επιδιώξουμε τη συμφιλίωση στις σχέσεις μας με τους άλλους. Μέσω αυτού, λοιπόν, οι φτωχοί λαμβάνουν από τους ισχυρούς και οι πλούσιοι δίνουν στους άπορους, και οι δύο με την πεποίθηση ότι θα λάβουν αυτό που είναι δίκαιο εξαιτίας αυτού.

Αυτή η εξύμνηση του υπολογισμού θυμίζει τον έπαινο του Πλάτωνα για τη «γεωμετρική ισότητα» στον Γοργία (507e6–508a8) και ο Πλάτωνας μπορεί να σκέφτεται τον Αρχύτα Fr. 3 (Palmer 2014: 205–6· Huffman 2013: 259–61· για αμφιβολίες βλ. Horky 2019). Η έμφαση στην ισότητα (isotas) και τη δικαιοσύνη (to ison) υποδηλώνει ότι ο Αρχύτας θεωρεί τον ορθολογικό υπολογισμό (logismos) ως έντονα μαθηματικό. Από την άλλη πλευρά, ο λογισμός δεν είναι ταυτόσημος με την τεχνική επιστήμη των αριθμών (logistic – βλ. 3.2 παραπάνω) αλλά είναι μάλλον μια πρακτική ικανότητα κατανόησης αριθμητικών υπολογισμών, συμπεριλαμβανομένων των βασικών αναλογιών, μια ικανότητα που μοιράζονται οι περισσότεροι άνθρωποι. Η σαφήνεια του υπολογισμού και της αναλογίας είναι αυτή που εξαλείφει τη συνεχή προσπάθεια για περισσότερα (pleonexia), η οποία παράγει διχόνοια στην πολιτεία. Δεδομένου ότι το κράτος βασίζεται σε μια ευρέως διαδεδομένη ανθρώπινη ικανότητα να υπολογίζει, μια ικανότητα που μοιράζονται οι πλούσιοι και οι φτωχοί, ο Αρχύτας οδηγήθηκε στην υποστήριξη ενός πιο δημοκρατικού πολιτεύματος (βλ. 1.3 παραπάνω) από τον Πλάτωνα, ο οποίος δίνει έμφαση στην εξειδικευμένη μαθηματική γνώση λίγων (R. 546a κ.ε.). Ο Zhmud (2006: 60–76) επισημαίνει συνδέσεις μεταξύ του Β3 και του Ισοκράτη και υποστηρίζει ότι ο Ισοκράτης αναφέρεται στον Αρχύτα, όταν λέει ότι κάποιοι επαινούν τις επιστήμες για τη χρησιμότητά τους και άλλοι προσπαθούν να αποδείξουν ότι συμβάλλουν σημαντικά στην αρετή (Βούσιρις 23). Ωστόσο, ο Αρχύτας φαίνεται να δέχεται και τις δύο αυτές απόψεις για τις επιστήμες, ενώ ο Ισοκράτης αναφέρεται σε δύο διαφορετικές ομάδες ανθρώπων. Η αναφορά του Ισοκράτη είναι επίσης πολύ γενική και δεν κάνει καμία νύξη στους κεντρικούς όρους του Β3, επομένως είναι αμφίβολο ότι έχει κατά νου τον Αρχύτα. Για περαιτέρω συζήτηση του επιχειρήματος του Β3 βλ. Huffman 2005: 182–224, Schofield 2008 και Scrofani 2021: 187–200.

Δυστυχώς, τα περισσότερα από τα στοιχεία που έχουμε για τις ηθικές απόψεις του Αρχύτα δεν βασίζονται σε αποσπάσματα των γραπτών του, αλλά μάλλον σε ανέκδοτα, τα οποία πιθανότατα τελικά προέρχονται από τον Βίο του Αρχύτα του Αριστόξενου . Η καλή ζωή του ατόμου, όπως και η σταθερότητα του κράτους, φαίνεται να βασίστηκε σε ορθολογικό υπολογισμό. Ο Αριστόξενος παρουσίασε μια αντιπαράθεση μεταξύ του Συρακούσιου ηδονιστή Πολύαρχου και του Αρχύτα. Ο μακροσκελής λόγος του Πολύαρχου διασώζεται από τον Αθήναιο και την απάντηση του Κικέρωνα στον Αρχύτα (A9 = Δείπ. 545a και Sen. XII 39–41 αντίστοιχα). Ο Schofield (2014: 70, σημ. 2) εγείρει αμφιβολίες για το αν ο Κικέρωνας πράγματι διασώζει την απάντηση του Αρχύτα (Βλέπε Huffman 2005: 323–37). Ο Horky (2011: 120) υποθέτει χωρίς αμφιβολία ότι ο Αριστόξενος παρουσίασε τον Αρχύτα να εκφωνεί την ομιλία του παρουσία του Πλάτωνα και του Σαμνίτη Κ. Πόντιου, αλλά αυτό αποτελεί μέρος της ιστορίας-πλαίσιο του Κικέρωνα και δεν υπάρχουν στοιχεία ότι προέρχεται από τον Αριστόξενο. Η υπεράσπιση του Πολύαρχου για την διαρκή προσπάθεια για περισσότερα (πλεονεξία) και την επιδίωξη της ηδονής θυμίζει τις παρουσιάσεις του Καλλικλή και του Θρασύμαχου από τον Πλάτωνα, αλλά δεν προέρχεται από αυτές τις παρουσιάσεις και θεωρείται καλύτερα ως μια σημαντική παράλληλη εξέλιξη (Huffman 2002b). Ο Αρχύτας βασίζει την απάντησή του στην υπόθεση ότι η λογική (= ορθολογικός υπολογισμός) είναι το καλύτερο μέρος μας και το μέρος που θα έπρεπε να διέπει τις πράξεις μας. Ο Πολύαρχος θα μπορούσε να αποδεχτεί μια τέτοια υπόθεση, αφού η δική του είναι ένας ορθολογικός ηδονισμός. Ο Αρχύτας απαντά για άλλη μια φορά με ένα νοητικό πείραμα. Πρέπει να φανταστούμε κάποιον που βρίσκεται στη δίνη της μεγαλύτερης δυνατής σωματικής ηδονής (σεξουαλικός οργασμός;). Σίγουρα πρέπει να συμφωνήσουμε ότι ένα άτομο σε μια τέτοια κατάσταση δεν είναι σε θέση να προβεί σε ορθολογικούς υπολογισμούς. Φαίνεται λοιπόν ότι η σωματική ηδονή είναι από μόνη της αντίθετη προς τη λογική και ότι, όσο περισσότερο καταφέρνουμε να την αποκτήσουμε, τόσο λιγότερο είμαστε σε θέση να συλλογιστούμε. Ο Αριστοτέλης φαίνεται να αναφέρεται σε αυτό το επιχείρημα στα Ηθικά Νικομάχεια (1152b16–18). Το επιχείρημα του Αρχύτα στρέφεται ειδικά κατά της σωματικής ηδονής και δεν πίστευε ότι κάθε ηδονή ήταν διασπαστική. Απολάμβανε να παίζει με παιδιά (A8) και αναγνώριζε ότι οι ηδονές της φιλίας ήταν μέρος μιας καλής ζωής (Κικέρων, Amic. XXIII 88). Άλλες ανέκδοτες ιστορίες τονίζουν ότι οι πράξεις μας πρέπει να διέπονται από τη λογική και όχι από τα συναισθήματα: Ο Αρχύτας αρνήθηκε να τιμωρήσει τις σοβαρές αδικίες των σκλάβων του, επειδή είχε θυμώσει και δεν ήθελε να ενεργήσει από θυμό (A7). Συγκρατήθηκε από το να ορκιστεί φωναχτά γράφοντας τις κατάρες του σε έναν τοίχο (A11). Ο Πάλμερ υποστηρίζει ότι ο Αρχύτας εργαζόταν με μια Πυθαγόρεια αντίληψη της ψυχής ως διαιρεμένης σε δύο μέρη: τη νόηση και ένα μέρος υπεύθυνο για τις συναισθηματικές καταστάσεις όπως τα συναισθήματα και οι ορέξεις (2014: 209).

7. Σημασία και Επιρροή

Ο Αρχύτας ταιριάζει στο κοινό στερεότυπο του Πυθαγορείου καλύτερα από οποιονδήποτε άλλον. Είναι μακράν ο πιο καταξιωμένος Πυθαγόρειος μαθηματικός, με σημαντικές συνεισφορές στη γεωμετρία, τη λογιστική/αριθμητική και τις αρμονικές. Ήταν πιο επιτυχημένος ως πολιτικός ηγέτης από οποιονδήποτε άλλο αρχαίο φιλόσοφο, και υπάρχει μια πλούσια ανέκδοτη παράδοση για τον προσωπικό του αυτοέλεγχο. Είναι εντυπωσιακό, ωστόσο, ότι ουσιαστικά δεν υπάρχουν μαρτυρίες που να συνδέουν τον Αρχύτα με τη μετεμψύχωση ή τη θρησκευτική πτυχή του Πυθαγορείου. Ο Αρχύτας είναι μια εξέχουσα προσωπικότητα στην αναγέννηση του ενδιαφέροντος για τον Πυθαγορείο στη Ρώμη τον 1ο αιώνα π.Χ.: Ο Οράτιος, ο Προπέρτιος και ο Κικέρων τον αναδεικνύουν. Ως το τελευταίο εξέχον μέλος της πρώιμης πυθαγορικής παράδοσης και ως Πυθαγόρειος με άμεση σύνδεση με τον Πλάτωνα, περισσότερα ψευδοπυθαγόρεια έργα γράφτηκαν στο όνομά του από οποιονδήποτε άλλο Πυθαγόρειο, συμπεριλαμβανομένου του ίδιου του Πυθαγορείου. Το όνομά του, με την ορθογραφία Αρχίτας, συνέχισε να ασκεί δύναμη σε μεσαιωνικά και αναγεννησιακά κείμενα, αν και τα επιτεύγματα που του αποδίδονται σε αυτά τα κείμενα είναι φανταστικά.

Οι μελετητές έχουν συνήθως τονίσει τις συνέχειες μεταξύ Πλάτωνα και Αρχύτα (π.χ., Kahn 2001, 56), αλλά τα στοιχεία υποδηλώνουν ότι ο Αρχύτας και ο Πλάτωνας διαφωνούσαν σοβαρά σε μια σειρά από ζητήματα. Η μόνη βέβαιη αναφορά του Πλάτωνα στον Αρχύτα αποτελεί μέρος μιας κριτικής στην προσέγγισή του στις αρμονικές στο Βιβλίο VII της Πολιτείας, όπου πιθανότατα υπάρχει και μια κριτική στο έργο του στη στερεά γεωμετρία. Η προσπάθεια του Πλάτωνα να υποστηρίξει τη διάσπαση μεταξύ του νοητού και του αισθητού κόσμου στα Βιβλία VI και VII της Πολιτείας μπορεί κάλλιστα να είναι μια προτρεπτική που απευθύνεται στον Αρχύτα, ο οποίος αρνήθηκε να διαχωρίσει τους αριθμούς από τα πράγματα. Μερικές φορές πιστεύεται ότι ο επώνυμος κύριος ομιλητής στον Τίμαιο του Πλάτωνα, ο οποίος περιγράφεται ως κορυφαία πολιτική προσωπικότητα και φιλόσοφος από τη νότια Ιταλία (20α), πρέπει να είναι ο εκπρόσωπος του Αρχύτα. Ο Τίμαιος, ωστόσο, είναι ένα εντελώς μη Αρχυτανικό έγγραφο (Huffman 2013: 263–8). Βασίζεται στη διάσπαση μεταξύ του αισθητού και του νοητού κόσμου, την οποία ο Αρχύτας δεν αποδέχτηκε. Ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι το σύμπαν είναι περιορισμένο, ενώ ο Αρχύτας είναι διάσημος για αυτό το επιχείρημα για να δείξει ότι είναι απεριόριστο. Ο Πλάτωνας κατασκευάζει την κοσμοψυχή σύμφωνα με αναλογίες που είναι σημαντικές στην αρμονική θεωρία, αλλά χρησιμοποιεί τις αναλογίες του Φιλόλαου αντί του Αρχύτα. Ο Πλάτωνας υιοθετεί τη θεωρία του Αρχύτα για το ύψος των συχνοτήτων με κάποιες τροποποιήσεις, αλλά ο Αρχύτας και ο Πλάτωνας διαφωνούν ως προς την εξήγηση της όρασης. Για μια διαφορετική άποψη της σχέσης μεταξύ Πλάτωνα και Αρχύτα βλέπε Kingsley 2014: 156–7. Η άρνηση του Αρχύτα να διαχωρίσει το νοητό από το αισθητό μπορεί να τον έκανε μια πιο ελκυστική φιγούρα για τον Αριστοτέλη, ο οποίος του αφιέρωσε τέσσερα βιβλία (Huffman 2005: 583–594) και επαίνεσε τους ορισμούς του για την αντιμετώπιση του σύνθετου της ύλης και της μορφής, όχι της μορφής ξεχωριστά από την ύλη (Metaph. 1043a14–26). Το όραμα του Αρχύτα για τον ρόλο των μαθηματικών στην πολιτεία είναι πιο κοντά στην μαθηματική ερμηνεία του Αριστοτέλη για την διανεμητική και αναδιανεμητική δικαιοσύνη (EN 1130b30 κ.ε.) παρά στην έμφαση του Πλάτωνα στην εξειδικευμένη μαθηματική γνώση των φυλάκων. Σαφώς ο Αρχύτας άσκησε σημαντική επιρροή τόσο στον Πλάτωνα όσο και στον Αριστοτέλη, αλλά η ακριβής φύση αυτών των φιλοσοφικών σχέσεων είναι περίπλοκη.