Είναι πολύ γνωστό ότι ο μεσαιωνικός ισλαμικός πολιτισμός έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ιστορική εξέλιξη των τεχνικών πτυχών των μαθηματικών. Στεκόμενοι στους ώμους των προϊσλαμικών Ελλήνων, Ινδών και Περσών προγόνων τους, οι Μουσουλμάνοι μαθηματικοί έχουν κάνει πολυάριθμες καινοτομίες σε διάφορους κλάδους των μαθηματικών και έχουν γράψει μεγάλο αριθμό βιβλίων και δοκιμίων που εισάγουν μαθηματικές έννοιες και αποδεικνύουν μαθηματικά θεωρήματα (Al-Daffa 1977; R. Rashed 1984b [1994]; 1996 [2012]; 2015; Berggren 2016). Ωστόσο, είναι πολύ δύσκολο (αν όχι αδύνατο) να βρεθεί ένα βιβλίο από τη μεσαιωνική ισλαμική εποχή που να είναι αποκλειστικά αφιερωμένο σε μια ολοκληρωμένη και συστηματική μελέτη της φιλοσοφίας των μαθηματικών. Παρ 'όλα αυτά, πολλά από τα προαναφερθέντα φιλοσοφικά ζητήματα σχετικά με τα μαθηματικά έχουν αντιμετωπιστεί από μεγάλους μουσουλμάνους μεσαιωνικούς στοχαστές σε διάφορα έργα των οποίων το κεντρικό θέμα ήταν τα μαθηματικά, η φυσική, η μεταφυσική ή ακόμα και η θεολογία (kalām). Συνδυάζοντας αυτές τις διάσπαρτες συζητήσεις, γίνεται σαφές ότι, παρόλο που η φιλοσοφία των μαθηματικών δεν έχει αντιμετωπιστεί ποτέ ως ανεξάρτητος κλάδος στον μεσαιωνικό ισλαμικό κόσμο, οι Μουσουλμάνοι στοχαστές διατύπωσαν πολύ ενδιαφέρουσες και βαθυστόχαστες ιδέες, γνώσεις και επιχειρήματα σχετικά με τουλάχιστον ορισμένα φιλοσοφικά ζητήματα που σχετίζονται με τα μαθηματικά. Αυτή η καταχώρηση εξετάζει συνοπτικά τα πιο αξιοσημείωτα παραδείγματα τέτοιων γνώσεων και επιχειρημάτων, μερικά από τα οποία έχουν αποτελέσει αντικείμενο μακροχρόνιων συζητήσεων και συζητήσεων μεταξύ Μουσουλμάνων στοχαστών. Συνεπώς, τα τεχνικά μαθηματικά έργα Αράβων και Μουσουλμάνων μελετητών θα συζητηθούν μόνο στο βαθμό που περιέχουν υλικό που σχετίζεται με τη φιλοσοφία των μαθηματικών.
1. Οντολογία των Μαθηματικών
1.1 Τι δεν είναι τα μαθηματικά αντικείμενα
1.2 Τι είναι τα μαθηματικά αντικείμενα
1.3 Άπειρο
1.4 Συνέχεια
2. Επιστημολογία των Μαθηματικών
1.2 Τι είναι τα μαθηματικά αντικείμενα
1.3 Άπειρο
1.4 Συνέχεια
2. Επιστημολογία των Μαθηματικών
2.1 Κατανόηση Μαθηματικών Εννοιών
2.2 Επιστημολογικές Καταστάσεις των Αρχών των Μαθηματικών
2.3 Ars Analytica και Ars Inveniendi
2.4 Εφαρμοσιμότητα και Αξιοπιστία των Μαθηματικών
3. Συμπέρασμα
1. Οντολογία των Μαθηματικών
2.2 Επιστημολογικές Καταστάσεις των Αρχών των Μαθηματικών
2.3 Ars Analytica και Ars Inveniendi
2.4 Εφαρμοσιμότητα και Αξιοπιστία των Μαθηματικών
3. Συμπέρασμα
1. Οντολογία των Μαθηματικών
1.1 Τι δεν είναι τα μαθηματικά αντικείμενα
Ίχνη των φιλοσοφικών απόψεων του Πυθαγόρα και του Πλάτωνα σχετικά με τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων μπορούν να βρεθούν στα έργα των πρώιμων μουσουλμάνων στοχαστών. Αυτό θα μπορούσε να οφείλεται εν μέρει στις πρώιμες αραβικές μεταφράσεις έργων Πυθαγορείων και Πλατωνιστών μαθηματικών. Οι περισσότεροι μαθηματικοί στην παράδοση του Νικομάχου, του Πρόκλου και του Ιάμβλιχου ήταν Πυθαγόρειοι και Πλατωνιστές (Endress 2003). Μερικά από τα σημαντικότερα έργα τους έχουν μεταφραστεί στα αραβικά και έχουν επηρεάσει μουσουλμάνους μαθηματικούς και φιλοσόφους. Για παράδειγμα, το έργο του Νικομάχου «Εισαγωγή στην Αριθμητική» μεταφράστηκε στα αραβικά από τον Χαμπίμπ Ιμπν Μπαχρίζ (πέθανε στις αρχές του ένατου αιώνα) από τα συριακά και από τον Θαμπίτ Ιμπν Κούρα (πέθανε το 901) από τα ελληνικά (Brentjes 2022: ενότητα 1). Η έμπνευση των Πυθαγορείων και Πλατωνικών προσεγγίσεων στη φιλοσοφία των μαθηματικών είναι εύκολα ανιχνεύσιμη, για παράδειγμα, στα έργα των Αδελφών της Αγνότητας (Ikhwān al-ṣafāʾ) και των πρώιμων Μουταζιλιτών (Οι Αδελφοί της Αγνότητας [Επιστολές]· Endress 2003: 132–33· Marquet 2006· Fazlıoğlu 2014: 2· El-Bizri 2018· Baffioni 2022). Τα κύρια χαρακτηριστικά του Πυθαγορείου και του Πλατωνισμού σχετικά με την οντολογία των μαθηματικών μπορούν να αποτυπωθούν στις ακόλουθες θέσεις (Zarepour 2019: 198):
Διαχωρισμός Μαθηματικών Αντικειμένων (ΔΜ): Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ανεξάρτητες άυλες ουσίες, πλήρως ξεχωριστές (mufāriq) από την ύλη και τα υλικά αντικείμενα.
Αρχή των Μαθηματικών Αντικειμένων (ΑΠ): Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι οι αρχές (mabādiʾ) των φυσικών πραγμάτων. Τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν κάποιο είδος υπεροχής έναντι των φυσικών μορφών, γεγονός που καθιστά τις δεύτερες εξαρτώμενες από (ή βασισμένες σε ή προκαλούμενες από) τις πρώτες.
Ο Πλάτωνας ήταν αφοσιωμένος και στις δύο αυτές θέσεις. Αντίθετα, οι Πυθαγόρειοι υποστήριζαν μόνο την τελευταία θέση. Αυτό ισχύει τουλάχιστον αν εμπιστευτούμε την έκθεση του Αριστοτέλη (Μεταφυσικά 987b23–987b25). Αν και ο Πυθαγορισμός θεωρεί τους αριθμούς ως αιτίες και αρχές όλων των άλλων υπαρχόντων πραγμάτων, δεν αντιμετωπίζει τους αριθμούς ως οντότητες που είναι απαραίτητα ξεχωριστές από την ύλη (Zhmud 1989; De Smet 2022). Από τη σημερινή μας οπτική γωνία, αυτό είναι σε κάποιο βαθμό εκπληκτικό, επειδή, σε σύγκριση με το (AΜ), το (AΜ) φαίνεται να απολαμβάνει μεγαλύτερης prima facie πιθανολογίας. Αλλά ακριβώς λόγω της παρουσίας ισχυρών τάσεων προς τον Πυθαγορισμό στην πρώιμη ισλαμική σκέψη (Brentjes 2022), το (AΜ) υπερασπίστηκε πιο ρητά από το (AΜ). Σε κάθε περίπτωση, η σκληρή κριτική του Αβικέννα σε αυτές τις δύο θέσεις (μαζί με την πιο γενική κριτική του για την πλατωνική θεωρία των ξεχωριστών καθολικών μορφών) κατέστησε τον Πυθαγορισμό και τον Πλατωνισμό εξαιρετικά αντιδημοφιλή στη μετα-Αβικεννιακή φιλοσοφία. Στη Μεταφυσική της «Θεραπείας», ο Αβικέννας (πέθανε το 937) επιχειρηματολογεί κατά των (ΔM) και (AM) όχι μόνο απορρίπτοντας επιχειρήματα που αποδίδονται στους υποστηρικτές αυτών των δύο θέσεων (Αβικέννας [Mph]: κεφ. VII.2) αλλά και αναπτύσσοντας τα δικά του θετικά επιχειρήματα εναντίον τους (Αβικέννας [MPh]: κεφ. VII.3).
Σύμφωνα με ένα επιχείρημα που ο Αβικέννας αποδίδει στους υποστηρικτές του (ΔM), αφενός, τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ξεχωριστά στον ορισμό (ή στο νου). Μπορούν να οριστούν (ή να συλληφθούν) χωρίς αναφορά στην ύλη ή τα υλικά όντα. Από την άλλη πλευρά, οτιδήποτε είναι ξεχωριστό στον ορισμό (ή στο νου) είναι ξεχωριστό στην ύπαρξη. Επομένως, καταλήγει το επιχείρημα, τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ξεχωριστά στην ύπαρξη. Υπάρχουν ως πλήρως ξεχωριστά όντα που δεν έχουν καμία σχέση με την ύλη ή τα υλικά όντα (Αβικέννας [MPh]: κεφ. VII.2, ενότητα 5). Ωστόσο, ο Αβικέννας βρίσκει αυτό το επιχείρημα ελλιπές. Υποστηρίζει ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ (α) του ορισμού (ή της σύλληψης) κάτι χωρίς την προϋπόθεση της υλικότητας και (β) του ορισμού (ή της σύλληψης) κάτι με την προϋπόθεση της άυλης φύσης. Λέει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ξεχωριστά στον ορισμό μόνο με την έννοια του (α). Αλλά η δεύτερη προϋπόθεση του υπό συζήτηση επιχειρήματος ισχύει μόνο εάν ο διαχωρισμός στον ορισμό εξεταστεί με την έννοια του (β). Το απλό γεγονός ότι κάτι μπορεί να οριστεί χωρίς την προϋπόθεση της υλικότητας δεν συνεπάγεται ότι αυτό το πράγμα μπορεί να υπάρχει στον εξωνοητικό τομέα πλήρως ξεχωριστά από την ύλη. Αλλά τα μαθηματικά αντικείμενα δεν μπορούν να οριστούν με την προϋπόθεση της άυλης φύσης. Δεν είναι εύλογο να υποθέσουμε την άυλη φύση ως ουσιώδες συστατικό των ορισμών των μαθηματικών αντικειμένων, ή τουλάχιστον έτσι ισχυρίζεται ο Αβικέννας. Έτσι, αυτό το επιχείρημα είναι εσφαλμένο και δεν μπορεί να αποδείξει (ΔM) (Αβικέννας [MPh], κεφ. VII.2, ενότητες 16–17· Marmura 2006: 360–63· Porro 2011: 292–93· Zarepour 2019: ενότητα 4.1).
Ένα απλό επιχείρημα που ο Αβικέννας αποδίδει στους υποστηρικτές του (ΑΜ) έχει ως εξής: Τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ξεχωριστά. Με άλλα λόγια, το (ΑΜ) είναι αληθές. Επιπλέον, οι αρχές (ή οι αιτίες) των υλικών πραγμάτων δεν μπορούν να είναι οι ίδιες υλικές. Πρέπει να είναι ξεχωριστές. Επομένως, τα μαθηματικά αντικείμενα είναι οι αρχές των υλικών (ή, φυσικών) πραγμάτων (Αβικέννας [MPh]: κεφ. VII.2, ενότητα 7). Ο Αβικέννας πιστεύει ότι αυτό το επιχείρημα δεν είναι μόνο αβάσιμο λόγω της ψευδούς του (ΑΜ) αλλά και άκυρο. Ακόμα κι αν δεχτούμε τόσο ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ξεχωριστά όσο και ότι οι αρχές των φυσικών πραγμάτων πρέπει να είναι ξεχωριστές, δεν μπορούμε να συμπεράνουμε έγκυρα ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι οι αρχές των φυσικών πραγμάτων. Μπορεί να υπάρχουν άλλα ξεχωριστά μη μαθηματικά πράγματα που αποτελούν τις αρχές των φυσικών όντων. Το εν λόγω επιχείρημα είναι έγκυρο μόνο αν προϋποθέσουμε ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι τα μόνα ξεχωριστά υπάρχοντα. Αλλά αυτό είναι κάτι για το οποίο δεν έχουμε απόδειξη. Επομένως, αυτό το επιχείρημα δεν αποδεικνύει το (ΑM) (Αβικέννας [MPh]: κεφ. VII.2, ενότητα 21· Marmura 2006: 365–66· Porro 2011: 294· Zarepour 2019: ενότητα 4.2).
Το επιχείρημα του ίδιου του Αβικέννα κατά της χωριστικότητας ή της άυλης φύσης των μαθηματικών αντικειμένων μπορεί να συνοψιστεί ως εξής: Υπάρχουν ορισμένα μαθηματικά αντικείμενα στον αισθητό κόσμο. Διαφορετικά, δεν θα μπορούσαμε να κατανοήσουμε τις έννοιές τους (π.χ., τις έννοιες τρίγωνο, κύκλος, δύο, κ.λπ.) (Αβικέννας [MPh]: ενότητα VII.3, ενότητα 1). Τώρα, αν υπάρχουν επίσης ορισμένα πλήρως ξεχωριστά μαθηματικά αντικείμενα (εντελώς αποκομμένα από τον αισθητό κόσμο), τότε αυτές οι δύο ομάδες (αισθητών/μη ξεχωριστών και μη αισθητών/ξεχωριστών) μαθηματικών αντικειμένων πρέπει να μοιράζονται παρόμοιες ουσίες και ορισμούς (Αβικέννας [MPh]: κεφάλαιο VII.3, ενότητα 2). Διαφορετικά, δεν υπάρχει τρόπος να γνωρίζουμε ξεχωριστά υλικά αντικείμενα. Αυτό συμβαίνει επειδή δεν φαίνεται να έχουμε άμεση πρόσβαση σε ένα βασίλειο πλήρως άυλων μαθηματικών αντικειμένων (Αυτό μας θυμίζει την επιστημολογική αμφισβήτηση του Μπενασεράφ (1973) στον μαθηματικό Πλατωνισμό). Ακόμα κι αν υπάρχουν τέτοια πράγματα, τα γνωρίζουμε μόνο μέσω της μεσολάβησης της γνώσης των αισθητών αντίστοιχών τους. Δεν έχουμε καμία δικαιολογία για την ύπαρξη ξεχωριστών μαθηματικών αντικειμένων που δεν έχουν κανένα λογικό αντίστοιχο στον υλικό κόσμο. Αλλά αυτό καθιστά αδικαιολόγητο τον ισχυρισμό ότι τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν ουσιαστικά να είναι άυλα και ξεχωριστά. Ο Αβικέννας εκλαμβάνει αυτό το επιχείρημα ως απόδειξη ότι η (ΔM) είναι απίθανη (Αβικέννας [MPh], κεφ. VII.3, ενότητα 3· Zarepour 2019: ενότητα 5). Αργότερα θα δούμε ότι αυτό το επιχείρημα αποκαλύπτει ενδιαφέρουσες πτυχές των αφηγήσεων του Αβικέννα για την επιστημολογία και την οντολογία των μαθηματικών.
Τέλος, ο Αβικέννας υποστηρίζει ότι ακόμη και αν υπάρχουν ξεχωριστά μαθηματικά αντικείμενα, δεν μπορούν να είναι οι αρχές (ή οι αιτίες) των φυσικών πραγμάτων. Φαίνεται διαισθητικά εύλογο ότι εάν ένα ξεχωριστό μαθηματικό αντικείμενο είναι η αρχή οποιουδήποτε υλικού που υπάρχει, πρέπει καταρχάς να είναι η αρχή του δικού του αισθητού αντιστοίχου. Σημειώστε ότι, σύμφωνα με τον Αβικέννα, ο ισχυρισμός ότι υπάρχει ένα ξεχωριστό μαθηματικό αντικείμενο, ας πούμε ένα τρίγωνο, δεν μπορεί να δικαιολογηθεί εκτός αν το έχουμε γνωρίσει γνωρίζοντας ένα αισθητό αντίστοιχο του που υπάρχει στον υλικό κόσμο. Τώρα, εάν αυτό το ξεχωριστό τρίγωνο είναι η αιτία οποιουδήποτε υλικού πράγματος, πρέπει καταρχάς να είναι η αρχή του δικού του αισθητού αντιστοίχου, ή έτσι πιστεύει ο Αβικέννας. Αλλά εάν το αισθητό τρίγωνο προκαλείται από το ξεχωριστό τρίγωνο, τότε μπορούμε εύλογα να ρωτήσουμε γιατί το πρώτο χρειάζεται το δεύτερο. Είναι είτε η ουσία είτε (μερικά από) τα συμβάντα του αισθητού τριγώνου που το καθιστούν εξαρτημένο από το ξεχωριστό του αντίστοιχο. Ωστόσο, εάν οφείλεται στην ουσία του αισθητού τριγώνου, τότε το ίδιο το ξεχωριστό τρίγωνο χρειάζεται μια αρχή. Αυτό συμβαίνει επειδή τα ξεχωριστά και τα αισθητά τρίγωνα μοιράζονται την ίδια ουσία. Έτσι, αν η ουσία του αισθητού τριγώνου είναι αυτή που το κάνει να χρειάζεται το ξεχωριστό τρίγωνο, τότε το ξεχωριστό τρίγωνο (που έχει την ίδια ουσία με το αισθητό του αντίστοιχο) πρέπει το ίδιο να προκαλείται από ένα άλλο ξεχωριστό τρίγωνο. Επαναλαμβάνοντας την ίδια επιχειρηματολογία, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πρέπει να υπάρχει μια άπειρη αλυσίδα αιτιωδώς συνδεδεμένων τριγώνων. Δεδομένου ότι τέτοιες άπειρες παλινδρομήσεις είναι απαράδεκτες, αυτό που κάνει ένα αισθητό μαθηματικό αντικείμενο να χρειάζεται το ξεχωριστό του αντίστοιχο δεν είναι η κοινή τους ουσία. Αλλά είναι επίσης αδύνατο (μερικά από) τα συμβάντα ενός αισθητού μαθηματικού αντικειμένου να το κάνουν να εξαρτάται από το ξεχωριστό του αντίστοιχο. Τα συμβάντα του αισθητού αντικειμένου δεν υπάρχουν εκτός αν υπάρχει το ίδιο το αντικείμενο. Αλλά υποτίθεται επίσης ότι το ίδιο το αισθητό αντικείμενο δεν υπάρχει εκτός αν υπάρχει το ξεχωριστό αντικείμενο. Αυτό σημαίνει ότι το ξεχωριστό αντικείμενο έχει κάποιο είδος επεξηγηματικής προτεραιότητας έναντι των συμβάντων του αισθητού αντικειμένου. Επομένως, τα συμβάντα ενός αισθητού μαθηματικού αντικειμένου δεν μπορούν να εξηγήσουν, με μη κυκλικό τρόπο, γιατί αυτό το αντικείμενο χρειάζεται το ξεχωριστό του αντίστοιχο (Αβικέννας [MPh]: κεφ. VII.3, ενότητα 4). Έτσι, φαίνεται ότι δεν υπάρχει πειστική αιτιολόγηση για το γιατί ένα ξεχωριστό μαθηματικό αντικείμενο πρέπει να είναι η αιτία του λογικού του αντιστοίχου, πόσο μάλλον η αιτία (ή η αρχή) οποιουδήποτε άλλου φυσικού πράγματος. Ο Αβικέννας εκλαμβάνει αυτό το επιχείρημα ως αντίκρουση (ΑM).
Αυτά τα επιχειρήματα δείχνουν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι ούτε ξεχωριστές οντότητες πλήρως αποκομμένες από τον αισθητό κόσμο ούτε οι αιτίες των φυσικών πραγμάτων. Η αντίκρουση του Πλατωνισμού και του Πυθαγορείου από τον Αβικέννα σχετικά με τα μαθηματικά αντικείμενα ήταν τόσο πειστική και επιδραστική που αυτές οι προσεγγίσεις σχεδόν εξαφανίστηκαν εντελώς στη μετα-Αβικεννική φιλοσοφία. Αυτό συνέβη παρά την έντονη παρουσία Πυθαγορείων ή/και Πλατωνικών στοιχείων σε άλλες (δηλαδή, μη μαθηματικές) πτυχές της φιλοσοφίας ορισμένων μετα-Αβικεννικών στοχαστών, όπως ο Σουχραβαρδί (θ. 1191) (Walbridge 2000· De Smet 2022). Οι λεπτομέρειες ορισμένων Αβικεννικών κριτικών για τα (ΔM) και (ΑM) —οι οποίες συνήθως λαμβάνονταν ως βοηθητικά μέρη της γενικής κριτικής του Αβικέννα για την πλατωνική άποψη για τις καθολικές μορφές— φυσικά επικρίθηκαν από μεταγενέστερους φιλοσόφους (Arnzen 2011· Benevich 2019). Αυτές οι κριτικές δεν αναβίωσαν τον μαθηματικό Πλατωνισμό ή/και τον Πυθαγορείο στην μετα-Αβικεννική ισλαμική φιλοσοφία. Παρόλα αυτά, οι συζητήσεις σχετικά με την αδυναμία και τη δύναμη των επιχειρημάτων υπέρ και κατά του μαθηματικού Πλατωνισμού συνέχισαν να παρουσιάζουν ενδιαφέρον για τους μετα-Αβικεννικούς φιλοσόφους. Ίσως το πιο σημαντικό έργο στο οποίο συγκεντρώνονται τέτοια επιχειρήματα είναι ένα βιβλίο με τίτλο oι Πλατωνικές Νοητές Μορφές, γραμμένο μεταξύ 1329 και 1339, από άγνωστο συγγραφέα (βλ. το αραβικό κείμενο του βιβλίου στο Badawī 1947: 1–145, και τη γερμανική του μετάφραση στο Arnzen 2011: Παράρτημα 1).
1.2 Τι είναι τα μαθηματικά αντικείμενα
Τώρα που γνωρίζουμε ποια μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι για τους Μουσουλμάνους φιλοσόφους, πρέπει λοιπόν να αναρωτηθούμε τι είναι. Στα Μεταφυσικά του (VI.1, 1026a13–19) ο Αριστοτέλης ταξινομεί διαφορετικές θεωρητικές επιστήμες με βάση την οντολογική κατάσταση των αντικειμένων που μελετούν (Cleary 1994). Τα κύρια κριτήρια του Αριστοτέλη για τη διάκριση διαφορετικών επιστημών μεταξύ τους είναι η έκταση και η ποιότητα της σύνδεσης του αντικειμένου των επιστημών με την κίνηση και την υλικότητα. Υιοθετώντας μια παρόμοια προσέγγιση, στο έργο του Οι Στόχοι της Μεταφυσικής του Αριστοτέλη (Maqāla fī aghrāḍ kitāb mā baʿd al-ṭabīʿa), ο al-Fārābī (πέθανε το 950) υποστηρίζει ότι τα αντικείμενα των μαθηματικών -δηλαδή, τα μαθηματικά αντικείμενα- αφαιρούνται (mujarrad) από την ύλη στην εκτίμηση (wahm) αλλά όχι στον εξωνοητικό κόσμο. Αφενός, τα μαθηματικά αντικείμενα διαφέρουν από τα αντικείμενα που μελετά η μεταφυσική, επειδή τα τελευταία αντικείμενα είναι πλήρως αποκομμένα από την ύλη τόσο στην εκτίμηση όσο και στον εξωνοητικό κόσμο. Από την άλλη πλευρά, τα μαθηματικά αντικείμενα διαφέρουν από τα αισθητά φυσικά αντικείμενα επειδή δεν μπορούν να διαχωριστούν από την ύλη, ούτε στην εκτίμηση ούτε στον εξωνοητικό κόσμο. Έτσι, τα μαθηματικά κατέχουν μια ενδιάμεση θέση μεταξύ μεταφυσικής και φυσικής. Η σύνδεση των μαθηματικών αντικειμένων με την ύλη είναι ισχυρότερη από αυτή των αντικειμένων της μεταφυσικής, αλλά ασθενέστερη από αυτή των αντικειμένων της φυσικής. (Το πρωτότυπο αραβικό του βιβλίου του al-Fārābī μπορεί να βρεθεί στο al-Fārābi 1890: 34–38 και στο Kiankhah 2015: 147–57. Για δύο αγγλικές μεταφράσεις, βλ. Bertolacci 2006: 66–72 και McGinnis & Reisman 2007: 78–81.)
Στην απαρίθμηση των Επιστημών (ʾIḥṣāʾ al-ʿulūm), ο al-Fārābī παρουσιάζει μια πιο λεπτομερή συζήτηση για την οντολογία των μαθηματικών. Διακρίνει τα εφαρμοσμένα/πρακτικά (ʿamalī) μαθηματικά από τα καθαρά/θεωρητικά (naẓarī) μαθηματικά. Τα αντικείμενα της εφαρμοσμένης αριθμητικής είναι οι αριθμοί, καθώς συνδέονται με αισθητά πράγματα. Η εφαρμοσμένη αριθμητική εξετάζει τον αριθμό των αισθητών πραγμάτων που υπάρχουν στον υλικό κόσμο. Αντίθετα, η καθαρή αριθμητική εξετάζει μια απόλυτη αντίληψη του αριθμού και της πολλαπλότητας. Μελετά αριθμούς που αφαιρούνται από όλα τα αριθμημένα πράγματα στον αισθητό κόσμο. Ομοίως, η εφαρμοσμένη γεωμετρία εξετάζει τις γεωμετρικές ιδιότητες συγκεκριμένων φυσικών αντικειμένων, ενώ η καθαρή γεωμετρία ασχολείται με γεωμετρικά σχήματα ανεξάρτητα από το αν συνδέονται ή όχι με συγκεκριμένα φυσικά αντικείμενα (al-Fārābi [Enum]: κεφ. 3; Endress 2003: 139–40).
Ακολουθώντας την κύρια γραμμή της προσέγγισης του al-Fārābī, ο Αβικέννας αναπτύσσει μια πιο λεπτομερή συζήτηση για τη διαίρεση των επιστημών (Marmura 1980· Gutas 2003) σύμφωνα με την οποία τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν στον εξωνοητικό κόσμο σε συνδυασμό με συγκεκριμένα είδη ύλης (π.χ., ξύλο, χρυσός, κ.λπ.). Μέσω της λειτουργίας της ικανότητας εκτίμησης, τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να αφαιρεθούν στο μυαλό από το συγκεκριμένο είδος ύλης με το οποίο συνδέονται στον εξωνοητικό κόσμο. Παρ' όλα αυτά, πρέπει να θεωρηθούν ως υλικά πράγματα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά αντικείμενα στο μυαλό είναι ξεχωριστά από συγκεκριμένα είδη ύλης, αν και όχι από την ίδια την υλικότητα (Αβικέννας [MPh]: κεφ. I.2· Di Vincenzo 2021: 20–27). Ο Αβικέννας υποστηρίζει ότι οι αριθμοί (aʿdād) και τα μεγέθη (maqādīr) -ως οι πιο γενικοί εκπρόσωποι των αντικειμένων της αριθμητικής και της γεωμετρίας, αντίστοιχα- είναι συμβάντα (aʿrāḍ) και ιδιότητες των φυσικών αντικειμένων που υπάρχουν στον αισθητό κόσμο (Αβικέννας [MPh]: κεφ. III.3–4). Ούτε οι αριθμοί ούτε τα μεγέθη έχουν ανεξάρτητη άυλη υπόσταση στον εξωνοητικό κόσμο. Τα μεγέθη (ή τα γεωμετρικά σχήματα, για να είμαστε πιο συγκεκριμένοι) δεν μπορούν να αποσπαστούν από την υλικότητα ούτε καν στο μυαλό (Αβικέννας [MPh]: κεφ. III.4 παρ.2 και VII.2, παρ. 21). Αντίθετα, οι αριθμοί μπορούν να θεωρηθούν πλήρως ξεχωριστοί από την ύλη και την υλικότητα. Παρ' όλα αυτά, μια τέτοια θεώρηση των αριθμών είναι μεταφυσική, παρά μαθηματική (Endress 2003: 142· Zarepour 2016: παρ. 4). Οι αριθμοί, στο βαθμό που υπόκεινται σε μαθηματικές μελέτες, πρέπει να είναι δεκτικοί στη μείωση και την αύξηση. Επομένως, ακόμη και στο μυαλό, πρέπει να γίνονται αντιληπτοί ως ιδιότητες των υλικών πραγμάτων (Αβικέννας [MPh]: κεφ. I.3, παρ. 17–19). Συνοψίζοντας, τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν στον εξωνοητικό κόσμο ως οι ιδιότητες των φυσικών πραγμάτων που αποτελούνται από καθορισμένα είδη ύλης. Τα μαθηματικά αντικείμενα μπορούν να αφαιρεθούν από αυτά τα καθορισμένα είδη ύλης στο μυαλό. Αλλά πρέπει να θεωρηθούν ως ιδιότητες των υλικών πραγμάτων. Διαφορετικά, δεν μπορούν να αποτελέσουν αντικείμενο μαθηματικών μελετών. Η συζήτηση του Αβικέννα για τους ρόλους της ικανότητας εκτίμησης και της διαδικασίας της αφαίρεσης στις μαθηματικές μελέτες έχει ερμηνευτεί με δύο διαφορετικούς τρόπους. Μερικοί μελετητές (McGinnis 2006; 2017; Ardeshir 2008; Fazlıoğlu 2014; Tahiri 2016; 2018) πιστεύουν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι καταρχάς νοητικά αντικείμενα και η αφαίρεση είναι ένας μηχανισμός για την κατασκευή μαθηματικών αντικειμένων. Αποδίδοντας μια κυριολεκτική άποψη στον Αβικέννα, κάποιοι άλλοι (Marmura 1980; 2005; Zarepour 2016; 2021; McGinnis 2019) υποστηρίζουν ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν κυριολεκτικά στον φυσικό κόσμο και η αφαίρεση είναι μια γνωστική διαδικασία για την κατανόηση μαθηματικών εννοιών, αντί για την παραγωγή μαθηματικών αντικειμένων. Αυτές οι διαφορετικές ερμηνείες μας υπενθυμίζουν την αντίθεση μεταξύ των κυριολεκτικών (Mueller 1970; 1990) και των αφηρητικών (Lear 1982; Hussey 1991) ερμηνειών της οντολογίας των μαθηματικών του Αριστοτέλη. Η πιο προφανής αντίρρηση στην κυριολεκτική άποψη είναι ότι, σε αντίθεση με τα φυσικά αντικείμενα, τα οποία είναι ανακριβή και ατελή, τα μαθηματικά αντικείμενα φαίνονται να είναι τέλεια και ακριβή (ή εξιδανικευμένα). Για παράδειγμα, φαίνεται ότι δεν υπάρχει κανένα τέλεια κυκλικό φυσικό αντικείμενο του οποίου η περιφέρεια δεν είναι (τουλάχιστον σε μέτριο βαθμό) οδοντωτή. Για να αντικρουστεί αυτή η αντίρρηση κατά της κυριολεκτικής ερμηνείας της οντολογίας των μαθηματικών του Αβικέννα, έχει υποστηριχθεί ότι υποστηρίζει την ύπαρξη τέλειων μαθηματικών αντικειμένων στον φυσικό κόσμο (Zarepour 2016: ενότητα 5· 2021: ενότητα 4).
Αυτό πιθανώς οφείλεται στην έμφαση που έδωσαν ο Αβικέννας και ο αλ-Φαραμπι στον ρόλο της εκτίμησης (wahm) στη σύλληψη μαθηματικών αντικειμένων, τα οποία, στη μετα-Αβικεννική φιλοσοφία, τα μαθηματικά αναφέρονται συχνά ως εκτιμητική (wahmī ή mawhūm) επιστήμη (Pines 1974). Πριν ή σύγχρονοι με τον Αβικέννα, πολλοί Μουσουλμάνοι στοχαστές είχαν τονίσει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν, με τον έναν ή τον άλλον τρόπο, στον φυσικό κόσμο. Για παράδειγμα, στο βιβλίο «Το Βιβλίο της Διδασκαλίας» (Kitāb al-tafhīm [Instr]), ο al-Bīrūnī (θ. ~1048) υπερασπίζεται μια ερμηνεία της φύσης των μαθηματικών αντικειμένων, η οποία φαίνεται να έχει ισχυρές συγγένειες με την κυριολεκτική ερμηνεία του Αβικέννα (Samian 2011; 2014). Στο ίδιο πνεύμα, ο Ibn al-Haytham (θ. 1040), στις πρώτες σελίδες του έργου του «Η Απόφαση των Αμφιβολιών» (Ḥall shukūk, [Αμφιβολίες]), υποστηρίζει ότι τα γεωμετρικά αντικείμενα υπάρχουν στον αισθητό κόσμο. Μπορούν να αφαιρεθούν από την ύλη μέσω της δραστηριότητας της ικανότητας της φαντασίας (takhayyul), της οποίας η λειτουργία στη θεωρία του νου του Ibn al-Haytham είναι πολύ παρόμοια με τη λειτουργία της εκτίμησης στην ψυχολογία του Αβικέννα. Ωστόσο, σε αντίθεση με τον Αβικέννα και τον Αριστοτέλη (De anima 428a5–18), ο Ibn al-Haytham πιστεύει ότι οι φανταστικές μορφές, που αφαιρούνται από τα φυσικά αντικείμενα, έχουν μια πιο πραγματική ύπαρξη. Για αυτόν, η πραγματική (χαακίκι) ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων υλοποιείται στη φαντασία και τη διάκριση (ταμυΐζ) - μια άλλη γνωστική ικανότητα στη φιλοσοφία του νου του Ιμπν αλ-Χάιτχαμ, η οποία παίζει κρίσιμο ρόλο στην κατανόηση των καθολικών εννοιών μέσω της μεσολάβησης φανταστικών μορφών. (Βλέπε Ighbariah & Wagner 2018: ενότητες 79–81. Ο R. Rashed [1993: 2:8–19] πιστεύει ότι υπήρχαν δύο διαφορετικοί μουσουλμάνοι στοχαστές με το όνομα «Ιμπν αλ-Χάιτχαμ». Ο Sabra [1998; 2003] απορρίπτει την άποψη του Rashed και εδώ ακολουθώ τη θέση του Sabra.)
Στη μετα-Αβικεννιακή φιλοσοφία, ο ισχυρισμός ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι νοητικά (ή εκτιμητικά ή φανταστικά) έγινε η πιο δημοφιλής άποψη και τονιζόταν ολοένα και περισσότερο από διάφορους στοχαστές. Η τάση προς αυτήν την προσέγγιση οφειλόταν εν μέρει σε έντονες κριτικές για την ερμηνεία του Αβικέννα για την οντολογία των μαθηματικών. Για παράδειγμα, ο Σουχραβαρδί διατύπωσε έντονες αντιρρήσεις για την ύπαρξη των αριθμών στον φυσικό κόσμο ως συμπτώσεις αισθητών πραγμάτων. Σκεφτείτε μια ομάδα τεσσάρων ατόμων. Ο Αβικέννας πιστεύει ότι η τετρα-ότητα (ʾarbaʿīya) είναι ένα συμβάν αυτών των τεσσάρων προσώπων. Αλλά ο Σουχραβαρδί το θεωρεί αβάσιμο. Υποστηρίζει ότι:
είτε η «τετρα-ικότητα» πρέπει να είναι πλήρης σε κάθε ένα από τα άτομα, κάτι που δεν ισχύει, είτε πρέπει να υπάρχει κάτι τετρα-ικότητας σε κάθε ένα, το οποίο μπορεί να είναι μόνο η ενότητα. Επομένως, είτε η ολότητα της τετρα-ικότητας δεν πρέπει να έχει άλλο τόπο εκτός από τη νόηση, είτε ούτε η τετρα-ικότητα ούτε οτιδήποτε τετρα-ικότητας μπορεί να υπάρχει σε κάθε ένα. Και με βάση αυτή την τελευταία υπόθεση, η τετρα-ικότητα υπάρχει μόνο στη νόηση. (Suhrawardī Η Φιλοσοφία του Φωτισμού [1999: 48])
Πιστεύει ότι μόνο το μυαλό μας μπορεί να επιβάλει μια ενότητα σε μια πολλαπλότητα τεσσάρων διακριτών αισθητών οντοτήτων. Δεν υπάρχει τίποτα στον εξωνοητικό κόσμο που να μπορεί φυσικά να συνδέσει τέσσερα αποσπασμένα πράγματα με τέτοιο τρόπο ώστε να αποδεχτούν συλλογικά το τυχαίο της τετραπλής φύσης. Έτσι, για τον Σουχραουάρντι, οι αριθμοί (και τα μαθηματικά αντικείμενα γενικά) είναι μόνο πράγματα που εξαρτώνται από το μυαλό (iʿtibārī) (Ziai 1990: 108· Walbridge 2000: 63 και 78–79). Μια παρόμοια επιχειρηματολογία αναπτύσσεται από τον Mullā Ṣadrā (θ. 1640). Δέχεται ότι υπάρχουν πολλαπλότητες στον εξωνοητικό κόσμο. Αλλά επιμένει ότι μόνο μέσω της δραστηριότητας του νου μας μια ομάδα διακριτών αντικειμένων μπορεί να θεωρηθεί ενότητα. Δεν υπάρχει τίποτα στον εξωνοητικό κόσμο που να προσδίδει ενότητα σε μια αυθαίρετη ομάδα διακριτών αντικειμένων (Mullā Ṣadrā, Al-Shawāhid al-rubūbīya, [1982: 65]). Αυτή η επιχειρηματολογία κατά της θεώρησης των αριθμών ως ιδιοτήτων των φυσικών αντικειμένων μας θυμίζει την κριτική που άσκησε ο Frege σε αυτήν την ιδέα (Frege 1884: §§ 21–25).
Ένα σημείο καμπής στην απόδοση των μαθηματικών αντικειμένων ως νοητικών αντικειμένων είναι η επίκληση της έννοιας του nafs al-ʾamr για να περιγραφεί η οντολογική κατάσταση των μαθηματικών αντικειμένων και να διευκρινιστεί η φύση των δημιουργών αλήθειας των μαθηματικών προτάσεων. Η φράση « nafs al-ʾamr » σημαίνει κυριολεκτικά το ίδιο το πράγμα . Αλλά το τεχνικό της περιεχόμενο είναι δύσκολο να αποτυπωθεί στη μετάφραση. Αν και αυτή η φράση εμφανίζεται επίσης στα γραπτά του Αβικέννα, πιθανότατα ο Naṣīr al-Dīn al-Tusī (θ. 1274) είναι αυτός που χρησιμοποίησε τη φράση για πρώτη φορά με τεχνική και θεωρητική έννοια. Διαφορετικοί φιλόσοφοι έχουν κατανοήσει αυτή τη φράση ως αναφορά σε διαφορετικά πράγματα, όπως η θεία γνώση, η Ενεργός Νόηση, το βασίλειο των ιδεών, κ.λπ. (Kaş 2021; Spiker 2021). Η σημασία της θεωρίας του nafs al-ʾamr για τη φιλοσοφία των μαθηματικών είναι ότι μπορεί να μας επιτρέψει να διατηρήσουμε τον ρεαλισμό της κρίσης ακόμη και χωρίς τον ρεαλισμό των αντικειμένων. Μερικοί φιλόσοφοι (π.χ., Sayyid al-Sharīf al-Jurjānī, πέθανε το 1413) έχουν χρησιμοποιήσει αυτή τη θεωρία για να δείξουν ότι, παρόλο που τα μαθηματικά αντικείμενα είναι απλώς εκτιμητικά (wahmī) και δεν έχουν ανεξάρτητη από το μυαλό ύπαρξη, οι μαθηματικές κρίσεις είναι βέβαιες (yaqīnī) και οι τιμές αλήθειας τους είναι ανεξάρτητες από το μυαλό. Με άλλα λόγια, όσον αφορά τα μαθηματικά, ο ρεαλισμός των κρίσεων μπορεί να υπερασπιστεί κανείς ακόμη και όταν ο ρεαλισμός των αντικειμένων απορρίπτεται (Fazlıoğlu 2014· Hasan 2017).
Ένα άλλο σημαντικό ζήτημα που σχετίζεται με την οντολογία των μαθηματικών είναι η φύση των αλγεβρικών αντικειμένων. Ένας αλγεβρικός άγνωστος (ή, μια αλγεβρική μεταβλητή, όπως την ονομάζουμε σήμερα) μπορεί αδιάφορα να αναφέρεται είτε σε έναν αριθμό είτε σε ένα γεωμετρικό μέγεθος. Έτσι, η φύση ενός αλγεβρικού αντικειμένου δεν είναι η ίδια ούτε με τους αριθμούς ούτε με τα γεωμετρικά σχήματα. Δυστυχώς, η υβριδική οντολογία αυτού του ειδικού τύπου μαθηματικών αντικειμένων σπάνια (αν έχει συζητηθεί καθόλου) ως διαφορετική οντολογία από εκείνη των αριθμών και των μεγεθών. Έχει όμως υποστηριχθεί ότι η εξοικείωση φιλοσόφων όπως ο αλ-Φαραμπά και ο Αβικέννας με την αλγεβρική θεωρία που πρότεινε ο αλ-Χουαρίζμι (πέθανε το 850) στο έργο του Kitāb al-jabr wa al-muqābala τους ενέπνευσε να αναπτύξουν μια γενική οντολογία των πραγμάτων (ashyāʾ) που δεν είναι ούτε Πλατωνική ούτε Αριστοτελική (R. Rashed 1984a; 2008; 2015: 716–18; 2018).
1.3 Άπειρο
Το πρόβλημα του απείρου είναι ένα από τα φιλοσοφικά θέματα που σχετίζονται με τα μαθηματικά και συζητήθηκε εκτενέστερα στη μεσαιωνική ισλαμική φιλοσοφία. Υπάρχουν πολλές πραγματείες που υποστηρίζουν ότι κανένας αριθμός δεν μπορεί να είναι άπειρος. Για παράδειγμα, σε απάντηση σε μια σειρά ερωτημάτων που έθεσε ο Abū Mūsā ʿĪsā Ibn Usayyid, ο Thābit Ibn Qurra συζητά τη φύση των αριθμών και υποστηρίζει ότι δεν υπάρχει άπειρος αριθμός. Επιπλέον, δείχνει ότι τα άπειρα σύνολα αριθμών μπορούν να έχουν διαφορετικά μεγέθη (Pines 1968; Sabra 1997; Mancosu 2009: σελ. 2; M. Rashed 2009; Zarepour 2020b: σελ. 4.2). Ο Yaḥyā Ibn ʿAdī (θ. 974), στην Πραγματεία του για το Άπειρο ( Maqala fī ghayr al-mutanāhī ), παρέχει ένα διαφορετικό σύνολο επιχειρημάτων για να αποδείξει ότι το άπειρο δεν μπορεί να προβλεφθεί με βάση τους αριθμούς (McGinnis 2010: σελ. 3). Αλλά τα ακόλουθα τρία επιχειρήματα υπέρ του φινιτισμού είναι πιθανώς τα πιο συζητημένα στην ισλαμική παράδοση:
(1) Το Επιχείρημα της Σύγκλισης (burhān al-musāmita): Θεωρήστε τη γραμμή μεγάλη όπου ξεκινάει από το κέντρο O ενός κύκλου C, τέμνει την περιφέρεια του C, και εκτείνεται άπειρα. Ας υποθέσουμε, επιπλέον, ότι υπάρχει μια διακριτή γραμμή L' μεγάλη που είναι παράλληλο L με μεγάλο και εκτείνεται άπειρα και προς τις δύο κατευθύνσεις. Τώρα ας υποθέσουμε ότι L μεγάλη αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από O και πλησιάζει πιο κοντά L' μεγάλη, ενώ μεγάλη L' είναι ακίνητο και σταθερό. Ως αποτέλεσμα, L μεγάλη και μεγάλη L' τέμνονται. Έτσι, υπάρχει μια χρονική στιγμή κατά την οποία οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και υπάρχει μια χρονική T στιγμή κατά την οποία τέμνονται. Επομένως, πρέπει να υπάρχει μια χρονική στιγμή Τ και ένα σημείο Π επί L' μεγάλο «στην οποία οι δύο γραμμές τέμνονται για πρώτη φορά, ή έτσι λέει το επιχείρημα. Αλλά προφανώς δεν υπάρχουν τέτοιες Τ και Π για κάθε Τ στο οποίο μεγάλο και μεγάλο» τέμνονται, μπορούμε να βρούμε μια προγενέστερη χρονική στιγμή Τ' (δηλαδή, Τ'<Τ) στην οποία οι δύο ευθείες είχαν ήδη τέμνει. Φαίνεται λοιπόν ότι έχουμε μια αντίφαση. Αφενός, πρέπει να υπάρχει μια πρώτη στιγμή τομής (ή αυτή είναι η προσδοκία των υπερασπιστών του επιχειρήματος). Αφετέρου, δεν μπορεί να υπάρχει τέτοια στιγμή. Επομένως, η αρχική υπόθεση του επιχειρήματος - δηλαδή η ύπαρξη άπειρων ευθειών - πρέπει να απορριφθεί. Δεν υπάρχει άπειρο μονοδιάστατο μέγεθος και, κατά συνέπεια, δεν υπάρχουν άπειρα μεγέθη γενικά.
Σχήμα 1
Μια παραλλαγή του παραπάνω σεναρίου—που πιθανότατα προέρχεται από το έργο του Αριστοτέλη Περί Καΐλου (I.5, 272a8–20)—προτάθηκε από τον Αμπού Σαχλ αλ-Κουχί (θ. 1000) για να απορρίψει το αριστοτελικό δόγμα ότι μια άπειρη απόσταση δεν μπορεί να διανυθεί σε πεπερασμένο χρόνο. Αυτό συμβαίνει επειδή το παραπάνω επιχείρημα δείχνει ότι L μεγάλο μπορεί να διασχίσει L'μεγάλο σε μια πεπερασμένη χρονική περίοδο ίση με το μισό του χρόνου περιστροφής του L μεγάλο γύρω από το Ο για έναν γύρο (R. Rashed 1999· McGinnis 2010: ενότητα 3). Αντίθετα, ο Αβικέννας χρησιμοποιεί το Επιχείρημα της Σύγκλισης σε ορισμένα σημεία (Avicenna Al-Najāt [1985: 233–44]· [Ph1]: κεφ. II.8, [8]) για να απορρίψει την πιθανότητα κυκλικής κίνησης σε ένα άπειρο κενό και σε άλλα σημεία (Avicenna ʿUyūn al-ḥikma , κεφ. 3, 20) για να απορρίψει το πραγματικό άπειρο των μεγεθών (Zarepour 2020b: ενότητα 3.1· R. Rashed 2016: 302–6· 2018: ενότητα 11.2). Το Επιχείρημα της Συμφιλίωσης επικρίνεται, μεταξύ άλλων, από τον Αμπού αλ-Μπαράκατ αλ-Μπαγκντάντι (θ. 1165) στο έργο του Αλ-Μουταμπάρ (τόμος 2, 83–84 και 86), τον αλ-Τουσί στο έργο του Ταλχισί αλ-Μουχάσαλ ([1985: 217]) και τον αλ-Χιλλί (θ. 1325) στο έργο του Νιχάγια αλ-μαράμ φι ιλμ αλ-καλάμ (τόμος 1, 256–258). Το επιχείρημα υπερασπίζονται επίσης, μεταξύ άλλων, ο Φακρ αλ-Ντιν αλ-Ραζί (θ. 1209) στο έργο του Αλ-Μαμπαθίθ αλ-μασρικίγια (τόμος 1, 196) και ο Μουλά Σαντρά στο έργο του Ασφάρ (τόμος 4, 21–23).
(2) Το Επιχείρημα της Κλίμακας (burhān al-sullam): If infinite lines can exist, then there can be an acute angle whose sides are infinite. Suppose that AB and AC are two infinite lines which intersect at A and make such an acute angle. AB and AC extend infinitely in the directions of B and C, respectively. Now consider parallel lines BiCi (for integers i≥1) which intersects AB and AC so that the distance between every two consecutive lines is equal to the distance of B1C1 from A. Thus, each line is longer than the previous line by a fixed length, say d (i.e., for every integer i≥1, Bi+1Ci+1−BiCi=d). Now consider BC. It is farther than any BiCi from A. Thus, BC is longer than any BiCi. This indicates that BC must be actually infinite. However, BC is confined between two lines (i.e., AB and AC). It terminates at B and C. Therefore, it must be finite as well. Accordingly, BC must be both finite and infinite. This is impossible. So, the initial assumption we build the argument upon is false. No infinite line (and, a fortiori, no infinite magnitude) can exist (R. Rashed 2016; 2018: sec. 11.2; Zarepour 2020b: sec. 3.2)
Το Επιχείρημα της Σκάλας είναι μια αποκατάσταση ενός αριστοτελικού επιχειρήματος που παρουσιάζεται στο De Caelo (I.5, 271b26–272a7). Ο Avicenna συζητά αυτό το επιχείρημα στη Φυσική της «Θεραπείας» (Avicenna [Ph2]: κεφ. III.8, [7]). Το επιχείρημα έχει αποτελέσει αντικείμενο μακροχρόνιας συζήτησης στη μετα-αβικεννική φιλοσοφία (McGinnis 2018). Το επιχείρημα επικρίθηκε, μεταξύ άλλων, από τον Abū al-Barakat στο Al-Mu'tabar (τόμος 2, 84–86) και τον Najm al-Dīn al-Kātibī al-Qazwīnī (π. 1277) στο Ḥikma al-ʿayn ([38–39]). Από την άλλη πλευρά, οι υπερασπίσεις του Επιχειρήματος της Κλίμακας μπορούν να βρεθούν, μεταξύ άλλων, στο σχόλιο του αλ-Τουσί στις Υποδείξεις και Υπενθυμίσεις του Αβικέννα (στο Αβικέννα [Υποδείξεις]: namaṭ I, 183–191) και στο σχόλιο του Μουλά Σάντρα στο Χιντάγια του αλ-Αμπχαρί ( Sharḥ Al-Hidāya al-Athīrīya , 65–69).
(3) Το Επιχείρημα της Αντιστοίχισης (burhān al-taṭābuq ή al-taṭbīq): Consider an actually infinite line AC which starts from A and extends infinitely in the direction of C. Remove a finite segment AB from the beginning of AC. Suppose that B∗C∗ is a copy of (and, accordingly, of the same length as) BC. Compare the size of B∗C∗ with AC by mapping the former upon the latter so that the two lines are parallel and B∗ is right in front of A. B∗C∗ must extend infinitely in the direction of C∗. Otherwise, B∗C∗ would be finite. This means that BC would be finite too. As a result, AC—which is the sum of BC with the finite segment AB—would be finite. Since this contradicts the initial assumption that AC is actually infinite, B∗C∗ must extend infinitely in the direction of C∗. But if so, then B∗C∗ and AC correspond to each other, in the sense that no part of one of them remains uncovered by the other. So, based on the fourth common notion of the first book of Euclid’s Elements—according to which things which correspond to one another are equal to one another ([1908: vol. 1, 155])—we can conclude that AC is equal to B∗C∗. This indicates that AC would also be equal to BC, which is a proper part of AB. However, the fifth Euclidean common notion states that such a whole-part equality is absurd ([1908: vol. 1, 155]). Therefore, AC cannot be equal to BC. Consequently, the initial assumption that AC can be an actually infinite line must be rejected. There can be no such actually infinite magnitude.
Σχήμα 3
Παλαιότερες εκδοχές του Επιχειρήματος της Χαρτογράφησης μπορούν να βρεθούν σε διαφορετικά σημεία του έργου του al-Kindī (Rescher & Khatchadourian 1965; Shamsi 1975; Adamson 2007: κεφ. 4; Zarepour 2020b: σημ. 52). Πιο ακριβείς εκδοχές αυτού του επιχειρήματος παρουσιάζονται από τον Αβικέννα (Marmura 1960; McGinnis 2010: σελ. 4; Zarepour 2020b). Η ισχύς και η ακρίβεια των εκδοχών του επιχειρήματος που παρέχουν αυτοί οι στοχαστές εξαρτώνται, τουλάχιστον εν μέρει, από την ακρίβεια της ερμηνείας της έννοιας της ισότητας των γεωμετρικών μεγεθών. Έχει αποδειχθεί ότι ορισμένοι από τους Μουσουλμάνους στοχαστές έχουν αρκετά λεπτομερείς περιγραφές αυτής της έννοιας (R. Rashed 2019).
Όπως και τα άλλα δύο επιχειρήματα, ο πρωταρχικός στόχος του Επιχειρήματος Χαρτογράφησης είναι να δείξει ότι στην πραγματικότητα δεν υπάρχει άπειρο συνεχές μέγεθος. Έχοντας διαβάσει τα Στοιχεία του Ευκλείδη (βλ. 7-9), οι Μουσουλμάνοι στοχαστές γνώριζαν ότι οι αριθμοί μπορούσαν εύκολα να αναπαρασταθούν από μεγέθη. Επομένως, οποιοδήποτε επιχείρημα για την αδυναμία των άπειρων μεγεθών μπορεί να ληφθεί ως επιχείρημα κατά του απείρου των αριθμών. Αλλά τι γίνεται με τις άπειρες συλλογές; Κανένα από τα τρία επιχειρήματα δεν εφαρμόζεται άμεσα σε άπειρες συλλογές διακριτών οντοτήτων. Παρ' όλα αυτά, έχει υποστηριχθεί ότι ο Αβικέννας πιθανότατα γνώριζε ότι το Επιχείρημα Χαρτογράφησης θα μπορούσε να τροποποιηθεί έτσι ώστε να εφαρμόζεται σε άπειρες συλλογές διακριτών αριθμημένων πραγμάτων (Zarepour 2020b: σελ. 4). Τα μεγέθη δύο συλλογών διακριτών οντοτήτων μπορούν να συγκριθούν χρησιμοποιώντας την ίδια την έννοια της «χαρτογράφησης» που χρησιμοποιήσαμε προηγουμένως στην περίπτωση των συνεχών μεγεθών. Ωστόσο, στην περίπτωση των συλλογών διακριτών οντοτήτων, αυτή η έννοια πρέπει να εξαργυρωθεί με όρους αντιστοιχίας ένα προς ένα μεταξύ των στοιχείων των δύο εν λόγω συλλογών. Δύο συλλογές διακριτών οντοτήτων αντιστοιχούν μεταξύ τους εάν κάθε μέλος μιας συλλογής μπορεί να συνδυαστεί με ένα (και μόνο ένα) μέλος της άλλης, έτσι ώστε κανένα μέλος οποιασδήποτε από αυτές τις συλλογές να μην παραμένει ασύζευκτο. Ο Αβικέννας φαίνεται να γνώριζε ότι μια άπειρη συλλογή διακριτών οντοτήτων μπορεί να τεθεί σε αντιστοιχία ένα προς ένα με ορισμένες από τις σωστές υποσυλλογές της. Και το βρίσκει αυτό τόσο παράλογο όσο η αντιστοιχία ενός άπειρου μεγέθους με το σωστό υπομέγεθος του. Αναφέρει ρητά ότι το Επιχείρημα της Χαρτογράφησης μπορεί να αποκλείσει τις πιθανότητες τόσο των άπειρων μεγεθών όσο και των άπειρων συλλογών διακριτών οντοτήτων (π.χ. αριθμοί και αριθμημένα πράγματα). Ωστόσο, ο ίδιος δεν διευκρινίζει πώς λειτουργεί αυτό το επιχείρημα στην περίπτωση των διακριτών πραγμάτων. Δεν παρέχει κανένα συγκεκριμένο παράδειγμα εφαρμογής του Επιχειρήματος της Χαρτογράφησης στην περίπτωση των άπειρων συλλογών αντικειμένων. Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορεί να βρεθεί στα έργα μετα-Αβικεννών φιλοσόφων όπως ο Φαχρ αλ-Ντιν αλ-Ραζί (Sharḥ ʿUyun al-ḥikma, al-Ṭabīʿīyāt [1994: 53]). Ο Αλ-Γκαζάλι (πέθανε το 1111) έχει αναφέρει το Επιχείρημα της Χαρτογράφησης στο έργο του Maqāṣid ([2000: 97–98]) και η παλαιότερη μετάδοση αυτού του επιχειρήματος στη λατινική παράδοση είναι πιθανώς μέσω της λατινικής μετάφρασης του Maqāṣid στο τρίτο τέταρτο του δωδέκατου αιώνα.
Αυτά τα επιχειρήματα συνήθως συζητούνται στο πλαίσιο της φυσικής. Αυτό συμβαίνει επειδή επινοούνται εξαρχής για να δείξουν ότι κανένα άπειρο δεν μπορεί στην πραγματικότητα να υπάρξει στον φυσικό κόσμο. Αλλά αν, υποστηρίζοντας την κυριολεξία, θεωρήσουμε τα μαθηματικά αντικείμενα ως ιδιότητες των φυσικών αντικειμένων, τότε η αδυναμία ύπαρξης πραγματικών απείρων στον φυσικό κόσμο υπονοεί την αδυναμία άπειρα εκτεταμένων γεωμετρικών γραμμών και άπειρων συνόλων αριθμών. Αλλά όσοι απορρίπτουν την κυριολεξία σχετικά με την οντολογία των μαθηματικών έχουν διαφορετικές απόψεις σχετικά με την εφαρμογή τέτοιων επιχειρημάτων σε μαθηματικά αντικείμενα. Για παράδειγμα, ο Fakhr al-Dīn al-Rāzī πιστεύει ότι το Επιχείρημα της Χαρτογράφησης δεν μπορεί να απορρίψει το άπειρο της συλλογής φυσικών αριθμών επειδή αποδίδει τα μαθηματικά αντικείμενα ως εξαρτώμενες από το μυαλό και πλήρως άυλες οντότητες (Sharḥ ʿUyun al-ḥikma, al-Ṭabīʿīyāt [1994: 53–57]). Παρόλο που μπορούμε να επικαλεστούμε το Επιχείρημα της Χαρτογράφησης για να απορρίψουμε την ύπαρξη μιας άπειρης συλλογής διακριτών φυσικών αντικειμένων στον εξωψυχικό κόσμο, αυτό το επιχείρημα δεν μπορεί να απορρίψει την ύπαρξη ενός άπειρου αριθμού αντικειμένων που εξαρτώνται από το μυαλό, όπως οι αριθμοί, ή τουλάχιστον έτσι φαίνεται να πιστεύει ο al-Rāzī (Zarepour 2020b: 4.1).
Είναι ενδιαφέρον ότι ορισμένοι Μουσουλμάνοι φιλόσοφοι έχουν υποστηρίξει ότι ακόμη και το μυαλό έχει τους δικούς του περιορισμούς όσον αφορά την αντίληψη άπειρων πραγμάτων. Για παράδειγμα, ο Ιμπν αλ-Χάιτχαμ πιστεύει ότι αν και μπορούμε να φανταστούμε πεπερασμένες γραμμές οποιουδήποτε αυθαίρετου μήκους (δηλαδή, ανεξάρτητα από το πόσο μεγάλες είναι), δεν μπορούμε να φανταστούμε μια πραγματικά άπειρη γραμμή. Συνεπώς, αν και μπορούμε να φανταστούμε μια πεπερασμένη γραμμή μεγαλύτερη από το μέγεθος του σύμπαντος, δεν μπορούμε να συλλάβουμε μια πραγματικά άπειρη γραμμή. Ο Ιμπν αλ-Χάιτχαμ υποστηρίζει ότι τα πραγματικά άπειρα δεν υπάρχουν ούτε στον εξωψυχικό κόσμο ούτε καν στο μυαλό (Masoumi Hamedani 2013; Ighbariah & Wagner 2018: 80).
1.4 Συνέχεια
Οι απόψεις των Μουσουλμάνων στοχαστών σχετικά με το μαθηματικό συνεχές είναι συνυφασμένες με τη θέση που υποστηρίζουν στη διαμάχη μεταξύ ατομισμού και υλομορφισμού σχετικά με τη φύση του φυσικού κόσμου. Για τον Αβικέννα δεν υπάρχει χάσμα μεταξύ του φυσικού κόσμου και του βασιλείου των μαθηματικών αντικειμένων. Αυτό ισχύει τουλάχιστον αν δεχτούμε τις ερμηνείες του Αβικέννα ως κυριολεκτικού σχετικά με την οντολογία των μαθηματικών. Πιστεύει ότι τα γεωμετρικά μεγέθη είναι συνεχή με την έννοια ότι δεν έχουν κανένα πραγματικό μέρος. Αντίστοιχα, οι φυσικές διαστάσεις είναι συνεχείς και δεν έχουν πραγματικά μέρη. Μπορούμε φυσικά να διαιρέσουμε οποιοδήποτε συνεχές μέγεθος σε μικρότερα μέρη. Στον φυσικό κόσμο, υπάρχει ένα πρακτικό κατώτερο όριο για το μήκος των φυσικών διαστάσεων, το οποίο στην πράξη μπορεί να αναλυθεί σε μικρότερα μεγέθη. Αντίθετα, στην ικανότητά μας για εκτίμηση, αυτό το όριο εξαφανίζεται και όλα τα μεγέθη είναι δυνητικά απείρως διαιρετά. Παρά αυτή την πρακτική διαφορά, θεωρητικά μιλώντας, δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ της δομής των γεωμετρικών γραμμών και των φυσικών διαστάσεων. Ως αποτέλεσμα, η γεωμετρική συνέχεια υπονοεί ότι ο φυσικός ατομισμός είναι ψευδής. Πράγματι, ο Αβικέννας επικαλείται τη μαθηματική συνέχεια για να απορρίψει τον φυσικό ατομισμό (Αβικέννας [Ph2]: κεφ. III.3–5· Lettinck 1999· Dhanani 2015· McGinnis 2019: σελ. 3).
Σε αντίθεση με τον Αβικέννα, υπάρχουν φιλόσοφοι που υποστηρίζουν ταυτόχρονα τη μαθηματική συνέχεια και τον φυσικό ατομισμό. Για παράδειγμα, ο Σαχραστάνι (πέθανε το 1153) επιμένει ότι η κρίση της ικανότητας εκτίμησης δεν είναι αρκετά αξιόπιστη για να μας πείσει ότι τα φυσικά μεγέθη μπορούν να φέρουν δυνητικά άπειρες διαιρέσεις. Πιστεύει ότι τα φυσικά μεγέθη δεν είναι άπειρα διαιρετά. Ο αριθμός των μερών τους, είτε πραγματικά είτε ακόμη και πιθανά, είναι πεπερασμένος. Ο Σαχραστάνι μας υπενθυμίζει ότι αν και το μέγεθος του σύμπαντος μπορεί να φανταστεί κανείς ότι είναι άπειρο, οι φιλόσοφοι συνήθως απορρίπτουν ότι το σύμπαν είναι άπειρο. Βασιζόμενος σε μια παρόμοια προσέγγιση, ο Σαχραστάνι υποστηρίζει ότι αν και κάθε μέγεθος μπορεί να φανταστεί κανείς ως άπειρα διαιρετό, υπάρχουν ισχυρά επιχειρήματα που δείχνουν ότι η ικανότητα εκτίμησης είναι λανθασμένη σε αυτή την περίπτωση και κανένα φυσικό μέγεθος δεν είναι άπειρα διαιρετό. Η άπειρη επεκτασιμότητα του μεγέθους του σύμπαντος στην εκτίμηση είναι συμβατή με το πεπερασμένο σύμπαν. Ομοίως, η άπειρη διαιρετότητα των μεγεθών στην εκτίμηση θα μπορούσε να είναι συμβατή με το γεγονός ότι έχουν μόνο έναν πεπερασμένο αριθμό (πιθανών) μερών στον εξωνοητικό κόσμο, ή έτσι φαίνεται να πιστεύει ο Shahrastānī (al-Shahrastānī Summa philosophiae, 513; McGinnis 2019). Αυτό σημαίνει ότι αν λάβουμε τα μαθηματικά αντικείμενα ως απλές εκτιμητικές κατασκευές, τότε μπορούμε να συμβιβάσουμε την καθαρά μαθηματική συνέχεια με τον φυσικό ατομισμό.
Προτείνοντας μια λεπτή τροποποίηση, ο Fakhr al-Dīn al-Rāzī (Al-Manṭiq, τόμος 6, κεφάλαιο 6, 63) υποστηρίζει κατά του Δημόκριτου ότι οτιδήποτε διαιρείται στη φαντασία διαιρείται και στον εξωνοητικό κόσμο. Πιστεύει ότι υπάρχει ένα κατώτερο όριο στο μήκος των διαιρετών μεγεθών που μπορούμε να φανταστούμε. Δεν είναι αλήθεια ότι κάθε μέγεθος, όσο μικρό κι αν είναι, διαιρείται στην εκτίμηση. Δεν απορρίπτει ότι στην Ευκλείδεια γεωμετρία τα μεγέθη είναι απείρως διαιρετά. Αλλά φαίνεται να μην δέχεται ότι είναι δυνατό να δημιουργήσουμε μια οπτική εικόνα (μέσω της ικανότητας της εκτίμησης) κάθε μεγέθους για το οποίο μπορούμε να μιλήσουμε στο πλαίσιο της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Υιοθετώντας τον φυσικό ατομισμό (στα μεταγενέστερα έργα του), ο al-Rāzī αρνείται ότι η συνεχής Ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να αναπαραστήσει την πραγματική δομή του εξωνοητικού κόσμου (Setia 2006; Eftekhari 2018; 2019). Ο ισχυρισμός ότι η συνέχεια δεν έχει άλλη πραγματικότητα παρά μόνο στην ικανότητα της εκτίμησης επαναλαμβάνεται συχνά στα έργα των μεταγενέστερων ατομικιστών όπως ο ʿAḍūd al-Dīn al-ʾĪjī (θ. 1355) (Hasan 2017: 233–35).
2. Επιστημολογία των Μαθηματικών
2.1 Κατανόηση Μαθηματικών Εννοιών
Οι περισσότεροι Μουσουλμάνοι στοχαστές που έχουν μιλήσει για την επιστημολογία των μαθηματικών εννοιών πιστεύουν ότι αυτές οι έννοιες σχηματίζονται μέσω ορισμένων γνωστικών μηχανισμών, των οποίων η πρώτη είσοδος είναι τα δεδομένα που λαμβάνουμε μέσω των εξωτερικών μας αισθήσεων. Οι λεπτομέρειες τέτοιων μηχανισμών εξηγούνται με διαφορετικούς τρόπους από διαφορετικούς φιλοσόφους, ανάλογα με τη γενική εικόνα που έχουν για την ανθρώπινη γνωστική ψυχολογία. Για παράδειγμα, ο Αβικέννας προτείνει ένα νοητικό πείραμα που δείχνει ότι καμία μαθηματική έννοια δεν μπορεί να γίνει κατανοητή απουσία της αισθητηριακής αντίληψης (Αβικέννας [MPh], κεφ. VII.3, ενότητα 1· Zarepour 2019: ενότητα 5· 2021, ενότητα 3). Αυτό δείχνει ότι ο Αβικέννας υποστηρίζει κάποιο είδος εννοιολογικού εμπειρισμού για τα μαθηματικά. Σύμφωνα με την κυριολεκτική ερμηνεία της οντολογίας των μαθηματικών του Αβικέννα, τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν στον αισθητό κόσμο ως μη αισθητά συνδηλωτικά χαρακτηριστικά ( maʿānī ) φυσικών αντικειμένων. Όπως όλα τα άλλα συνδηλωτικά χαρακτηριστικά, οι μαθηματικές οντότητες γίνονται αντιληπτές από την ικανότητα εκτίμησης. Για παράδειγμα, η ικανότητα εκτίμησης είναι αυτή που αντιλαμβάνεται τη διττότητα όταν βλέπουμε δύο βιβλία. Σε μια τέτοια εμπειρία, τα αισθητά δεδομένα που συλλέγονται από τις εξωτερικές αισθήσεις θα μεταφέρονταν στην ικανότητα εκτίμησης μέσω της μεσολάβησης της ικανότητας της κοινής λογικής ( ḥiss mushtarak ). Η εκτίμηση μας επιτρέπει να παραβλέπουμε όλα τα άλλα χαρακτηριστικά της εμπειρίας που έχουμε βιώσει και να αντιλαμβανόμαστε διττότητα που δεν είναι άμεσα προσβάσιμη στις εξωτερικές μας αισθήσεις.
Ακόμα και στην κυριολεκτική ερμηνεία της οντολογίας των μαθηματικών, εξακολουθούν να υπάρχουν πολλές μαθηματικές οντότητες με τις οποίες οι μαθηματικοί μπορεί να ασχοληθούν, αλλά οι οποίες δεν υπάρχουν στον εξωνοητικό κόσμο (π.χ., ένα πολύπλοκο και εξαιρετικό γεωμετρικό σχήμα χωρίς αντίστοιχο στον αισθητό κόσμο). Ο Αβικέννας πιστεύει ότι η ικανότητα της φαντασίας ( mutakhayyila ) μπορεί να κατασκευάσει νοητικές εικόνες τέτοιων αντικειμένων αναλύοντας, συνθέτοντας, διαχωρίζοντας και συνδυάζοντας τις εικόνες απλούστερων αντικειμένων που έχουν προηγουμένως γίνει αντιληπτές και αποθηκευμένες στις γνωστικές μας ικανότητες (Zarepour 2021: ενότητα 3). Αλλά αν υποστηρίξουμε την αφηρημένη ερμηνεία της οντολογίας των μαθηματικών του Αβικέννα, τότε όλα τα μαθηματικά αντικείμενα είναι νοητικές κατασκευές. Δεν υπάρχει κανένα μαθηματικό αντικείμενο στον εξωνοητικό κόσμο που θα μπορούσε να γίνει άμεσα αντιληπτό από την εκτίμηση. Σύμφωνα με αυτήν την ερμηνεία, η ικανότητα της εκτίμησης συνεργάζεται με την ικανότητα της φαντασίας για να παράγει εξιδανικευμένα αντικείμενα, κανένα από τα οποία δεν έχει αντίστοιχο εκτός του νου μας. Οι νοητικές πράξεις που διεξάγονται από αυτές τις ικανότητες είναι αυτές που μας επιτρέπουν να κατασκευάζουμε γεωμετρικά σχήματα και αριθμούς (Ardeshir 2008; Tahiri 2016; 2018).
Σε κάθε περίπτωση, δεδομένου ότι η εκτίμηση είναι μια σωματική ικανότητα, δεν μπορεί να ασχοληθεί με εντελώς άυλα πράγματα. Έτσι, αντιλαμβάνεται τις μαθηματικές οντότητες ως πράγματα που σχετίζονται με την ύλη (αν και όχι με συγκεκριμένα είδη της). Τα αντικείμενα της εκτίμησης δεν είναι νοητές καθολικές έννοιες. Έτσι, η γνωστική διαδικασία της κατανόησης των μαθηματικών εννοιών πρέπει να ολοκληρωθεί με την προσθήκη της Ενεργητικής Νοημοσύνης στην ιστορία μας (Zarepour 2021). Σε μια ανάγνωση της επιστημολογίας του Αβικέννα (Nuseibeh 1989; Davidson 1992: κεφ. 4; Goodman 1992 [2006]; Black 2014), η πράξη της ικανότητας της εκτίμησης προετοιμάζει την ψυχή μας να δεχτεί τις καθολικές έννοιες που θα προέλθουν από την Ενεργητική Νοημοσύνη. Σε μια άλλη εκδοχή της επιστημολογίας του Αβικέννα (Hasse 2001; Gutas 2012), η Ενεργητική Νοημοσύνη είναι απλώς μια δεξαμενή νοητών εννοιών στις οποίες βρίσκουμε πρόσβαση λόγω της προπαρασκευαστικής και αναπόφευκτης λειτουργίας των εσωτερικών ικανοτήτων. Συνοψίζοντας, η απόκτηση μαθηματικών εννοιών είναι μια διαδικασία που ξεκινά με την αισθητηριακή αντίληψη και τελειώνει με τη λειτουργία της Ενεργητικής Νοητικότητας. Και μεταξύ αυτών των δύο σταδίων, η λειτουργία των εσωτερικών ικανοτήτων γενικά και των ικανοτήτων της εκτίμησης και της φαντασίας ειδικότερα είναι απαραίτητη και αναπόφευκτη.
Πολύ παρόμοιες, αν και πολύ λιγότερο εξελιγμένες, εικόνες της διαδικασίας σύλληψης μαθηματικών εννοιών παρουσιάζονται στα έργα των σύγχρονων επιστημόνων του Αβικέννα. Για παράδειγμα, ο Ιμπν αλ-Χάιτχαμ μιλάει μόνο για δύο ικανότητες: τη φαντασία (takhayyula) και τη διάκριση (tamyīz). Η φαντασία είναι η ικανότητα που κατασκευάζει εξιδανικευμένα μαθηματικά αντικείμενα σύμφωνα με τις εντυπώσεις που μας αφήνονται μέσω των αισθητηριακών μας αντιλήψεων. Για παράδειγμα, η φαντασία μας επιτρέπει να αφαιρέσουμε γεωμετρικά μεγέθη από τα αισθητά σώματα που βλέπουμε στον εξωτερικό κόσμο. Ωστόσο, η μετάβαση από τις εικόνες των μαθηματικών αντικειμένων στις μαθηματικές έννοιες είναι κάτι που πρέπει να πραγματοποιηθεί από την ικανότητα διάκρισης. Αυτή η ικανότητα παίζει διττό ρόλο. Αφενός, συμβάλλει στην ανάλυση, τη σύνθεση, τον διαχωρισμό και τον συνδυασμό προηγουμένως αντιληπτών (ή παραγόμενων εικόνων). Αυτός ο ρόλος αποδίδεται στο mutakhayyila στην ψυχολογία του Αβικέννα. Από την άλλη πλευρά, η ικανότητα διάκρισης αντικαθιστά την Ενεργό Νόηση. Στη φιλοσοφία του Ιμπν αλ-Χάιτχαμ, το τελικό βήμα της εννοιολόγησης πραγματοποιείται από την ικανότητα διάκρισης. Έχει υποστηριχθεί ότι η Ενεργός Νοημοσύνη και το θείο φως δεν παίζουν κανένα σημαντικό ρόλο στη θεωρία της γνώσης του Ibn al-Haytham (Ighbariah & Wagner 2018).
Αναπτύσσοντας μια ερμηνεία λίγο πολύ παρόμοια με αυτή του Αβικέννα, ο αλ-Μπιρουνί δέχεται ότι ορισμένες μαθηματικές οντότητες όπως οι γραμμές και τα σημεία υπάρχουν στον φυσικό κόσμο, αλλά δεν μπορούν να γίνουν γνωστές από τις εξωτερικές μας αισθήσεις. Παρ' όλα αυτά, τα δεδομένα που λαμβάνουμε μέσω των αισθητηριακών μας εμπειριών μας επιτρέπουν να αντιλαμβανόμαστε αυτά τα αντικείμενα ή/και να παράγουμε εξιδανικευμένες κατασκευές που δεν υπάρχουν στον εξωψυχικό κόσμο (Samian 2011). Ωστόσο, δεν φαίνεται να έχει μια σαφή εικόνα της γνωστικής ψυχολογίας στην οποία οι ρόλοι των διαφορετικών ικανοτήτων διακρίνονται ρητά. Γι' αυτό και ταλαντεύεται μεταξύ δύο εικόνων, στη μία εκ των οποίων η εκτίμηση (wahm) είναι η πρώτη ικανότητα που συλλαμβάνει τα μαθηματικά αντικείμενα, ενώ στην άλλη, αυτόν τον ρόλο πρέπει να παίζει η διάνοια (ʿaql). Σύμφωνα με τη δεύτερη άποψη, τίποτα κάτω από το επίπεδο της διάνοιας δεν μπορεί να αντιληφθεί μαθηματικά αντικείμενα. Ο δισταγμός του αλ-Μπιρουνί μεταξύ των δύο αντίπαλων απόψεων γίνεται πιο εμφανής, ειδικά όταν δεχόμαστε ότι τόσο η περσική όσο και η αραβική εκδοχή του Kitāb al-tafhīm είναι γραμμένες από τον ίδιο. Για παράδειγμα, στην αραβική εκδοχή, ισχυρίζεται ότι τα σημεία δεν μπορούν να συλληφθούν από καμία άλλη ικανότητα εκτός από τη διάνοια (al-Bīrūnī [Astro]: 3). Αντίθετα, στην περσική εκδοχή, αποδίδει αυτόν τον ρόλο στην εκτίμηση (al-Bīrūnī [Instr]: 7). Δεν φαίνεται να θεωρεί κανένα σαφές όριο μεταξύ του νοητού (maʿqūl) και του εκτιμητικού (mawhūm).
Στο πλαίσιο των θεωριών του nafs al-ʾamr που προτάθηκαν από μεταγενέστερους Μουσουλμάνους στοχαστές, οι εξωτερικές αισθήσεις, η εκτίμηση και η νόηση συνεργάζονται μεταξύ τους για να μας δώσουν μια αντίληψη των μαθηματικών οντοτήτων όπως αυτές υπάρχουν στο nafs al-ʾamr . Ωστόσο, η διαδικασία μέσω της οποίας μπορούμε να έχουμε πρόσβαση και να γνωρίζουμε για το βασίλειο του nafs al-ʾamr δεν είναι σε καμία περίπτωση λιγότερο μυστηριώδης από τον ρόλο της Ενεργητικής Νόησης στη φιλοσοφία του Αβικέννα.
2.2 Επιστημολογικές Καταστάσεις των Αρχών των Μαθηματικών
Κάθε πρόταση είναι μια διατεταγμένη δομή που αποτελείται από έννοιες. Αλλά για να γνωρίζουμε μια πρόταση, δεν αρκεί απλώς να γνωρίζουμε τα εννοιολογικά της στοιχεία. Πρέπει επίσης να κάνουμε μερικά περαιτέρω βήματα. Ακολουθώντας τον Αριστοτέλη και τον Ευκλείδη, οι περισσότεροι (αν όχι όλοι) οι Μουσουλμάνοι φιλόσοφοι πιστεύουν σε θεμελιωτικές/αξιωματικές ερμηνείες της επιστημολογίας, σύμφωνα με τις οποίες όλες οι περιπτώσεις γνώσης τελικά χτίζονται πάνω στα θεμέλια (mabādi') βασικών εννοιών και προτάσεων που μπορούν να γίνουν γνωστές άμεσα και άμεσα. Οι μη βασικές έννοιες και προτάσεις μπορούν να προκύψουν από βασικές μέσω ορισμών (taʿārīf ή ḥudūd) και συλλογισμών (qiyāsāt), αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι μετά την απόκτηση των εννοιολογικών στοιχείων μιας πρότασης P, πρέπει να ακολουθήσουμε τα ακόλουθα τρία βήματα:
- η ταξινόμηση και ο συνδυασμός των αποκτημένων εννοιών για να σχηματίσουν το P ως δομημένη ενότητα,
- συμφωνώντας με την αλήθεια (taṣdīq) των θεμελιωδών προτάσεων, και
- εδραιώνοντας την αλήθεια του P με ορισμένους συλλογισμούς από τις θεμελιώδεις προτάσεις.
Τα πράγματα περιπλέκονται περισσότερο όταν στραφούμε στο (2). Ακολουθώντας την αρχαία ελληνική παράδοση, οι Μουσουλμάνοι φιλόσοφοι κατηγοριοποιούν τις θεμελιώδεις αρχές των αποδεικτικών επιστημών σε τρεις ομάδες: κοινές έννοιες/αξιώματα (al-uṣūl al-mutaʿārafa), υποθέσεις (al-uṣūl al-mawḍūʿa) και αξιώματα (musādarāt). Σε γενικές γραμμές, οι κοινές έννοιες είναι οι πιο προφανείς προτάσεις που μπορούμε να γνωρίζουμε - οι πρώτες αρχές που κατανοούμε. Οι υποθέσεις και τα αξιώματα δεν είναι τόσο προφανή όσο τα αξιώματα. Κατ' αρχήν πρέπει να αποδειχθούν. Αυτές οι δύο ομάδες αρχών συνήθως διακρίνονται με βάση την επιστημολογική στάση του μαθητή που τις μαθαίνει. Οι υποθέσεις είναι οι θεμελιώδεις αρχές που φαίνονται εύλογες στον μαθητή, παρόλο που δεν έχει αποδείξεις γι' αυτές. Αντίθετα, τα αξιώματα φαίνονται αμφίβολα στον μαθητή, με την έννοια ότι μπορεί να έχει κάποια συναισθήματα και ιδέες ενάντια στην αληθοφάνεια αυτών των αρχών. Το πιο συχνά επαναλαμβανόμενο παράδειγμα αξιωμάτων στα έργα των μεσαιωνικών μουσουλμάνων στοχαστών είναι πιθανώς το παράλληλο αξίωμα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτή η ταξινόμηση υπερασπίζονται, μεταξύ άλλων, οι al-Nayrīzī (πέθανε το 922· στο Besthorn & Heiberg 1893: 14–26), al-Fārābi (Al-Manṭiq, κεφ. 87–90), Avicenna (al-Burhān, κεφ. I.12) και al-Ṭūsī (Asās al-ʾiqtibās, κεφ. V.1.15).
Δεδομένου ότι οι μαθηματικές υποθέσεις και τα αξιώματα πρέπει τελικά να αποδειχθούν με βάση προηγουμένως γνωστές προτάσεις, φαίνεται ότι η επιστημολογική υπόσταση των μαθηματικών προτάσεων εξαρτάται, τελικά, από το πώς κατανοούμε την πιο προφανή από αυτές τις αρχές. Με άλλα λόγια, φαίνεται ότι όλες οι μαθηματικές προτάσεις μπορούν να εξαχθούν από αξιώματα μέσω του πλήρως a priori (= ανεξάρτητου από αίσθηση-εμπειρία) μηχανισμού του αποδεικτικού συλλογισμού.
Οι Μουσουλμάνοι στοχαστές δεν έχουν συναίνεση σχετικά με την επιστημολογική υπόσταση των αρχών των μαθηματικών και τους γνωστικούς μηχανισμούς μέσω των οποίων συναινούμε στην αλήθεια αυτών των αρχών. Για παράδειγμα, μπορεί να αποδειχθεί ότι, σύμφωνα με τον Αβικέννα, κάθε βασική πρόταση των μαθηματικών περιλαμβάνεται είτε στα awwalīyāt (πρωτογενή δεδομένα) είτε στα fiṭrīyāt (ή, πληρέστερα, στο muqaddamāt fiṭrīyāt al-qiyas , το οποίο μεταφράζεται ως «δεδομένα με ενσωματωμένους συλλογισμούς» από τον Gutas (2012)). Τα «Το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος» και «το τέσσερα είναι άρτιο» είναι δύο από τα πιο διάσημα παραδείγματα, αντίστοιχα, των awwalīyāt και fiṭrīyāt . Σύμφωνα με τον Αβικέννα, τα awwalīyāt δεν έχουν μεσαίους όρους και, ως εκ τούτου, δεν μπορεί να γίνει συλλογισμός για να τα αποδείξει. Είναι πολύ βασικά και προφανή για να χρειάζονται απόδειξη (ή για να είναι καθόλου αποδείξιμα). Μόλις κατανοήσουμε όλες τις έννοιες από τις οποίες αποτελείται μια πρόταση awwalī, συμφωνούμε αμέσως με την αλήθεια αυτής της πρότασης. Αυτές οι προτάσεις είναι αυταπόδεικτες και απαραίτητες. Κανείς δεν μπορεί να έχει λογική αμφιβολία γι' αυτές. Σε αντίθεση με τα awwalīyāt, τα fiṭrīyāt έχουν μεσαίους όρους και πρέπει να αποδειχθούν. Ωστόσο, ο συλλογισμός μέσω του οποίου πρέπει να τεκμηριωθεί μια πρόταση fiṭrī είναι τόσο απλός που μόλις κατανοήσουμε τον ελάσσονα όρο (δηλαδή, το υποκείμενο) και τον κύριο όρο (δηλαδή, το κατηγόρημα), ο μεσαίου όρου εμφανίζεται στο μυαλό και η αλήθεια αυτής της πρότασης συμφωνείται. Για παράδειγμα, αμέσως μετά την κατανόηση των εννοιών τέσσερα και άρτιο , η έννοια διαιρούμενο με το δύο εμφανίζεται στο μυαλό μας και μπορούμε να επιβεβαιώσουμε το γεγονός ότι «(κάθε) τέσσερα είναι άρτιος» μέσω του ακόλουθου συλλογισμού (Mousavian & Ardeshir 2018):
(Κάθε) τέσσερα διαιρείται με το δύο.
(Κάθε) αριθμός που διαιρείται με το δύο είναι άρτιος.
Επομένως:
(Κάθε) τέσσερα είναι ζυγό.
Οι αλήθειες τόσο του awwalīyāt όσο και του fiṭrīyāt επιβεβαιώνονται μέσω της φυσικής λειτουργίας (fiṭtra) της διάνοιας. Έτσι, αφού κατανοήσουμε τα εννοιολογικά τους στοιχεία, μπορούμε να κατανοήσουμε αυτές τις προτάσεις χωρίς να επικαλεστούμε τα δεδομένα που λαμβάνουμε από τις αισθητηριακές μας εμπειρίες. Αυτές οι προτάσεις αποτελούνται από μη a priori έννοιες. Αλλά αφού κατανοήσουμε τα εννοιολογικά τους στοιχεία, αυτές οι προτάσεις μπορούν να δικαιολογηθούν μέσω a priori μηχανισμών. Θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί, ωστόσο, ότι η προτεραιότητα δεν συνεπάγεται έμφυτη φύση με την έννοια ότι δίνεται κατά τη γέννηση. Ο Αβικέννας απορρίπτει ότι κατέχουμε οποιαδήποτε περίπτωση προτασιακής γνώσης κατά τη γέννηση. (Για διαφορετικές απόψεις σχετικά με την επιστημολογική κατάσταση του awwalīyāt και του fiṭrīyāt του Αβικέννα, βλέπε Zarepour 2020a; 2020c; Gutas 2020.)
Λίγο πολύ παρόμοιες περιγραφές των βασικών προτάσεων των μαθηματικών μπορούν να βρεθούν σε φιλοσόφους όπως ο αλ-Φαραμπι και ο αλ-Τουσί. Ωστόσο, τόσο ορισμένοι από τους συγχρόνους του Αβικέννα όσο και ορισμένοι μετα-Αβικεννικοί στοχαστές υιοθέτησαν μια πιο εμπειρική ή/και πιο σκεπτικιστική προσέγγιση στην αλήθεια των μαθηματικών προτάσεων. Για παράδειγμα, στο πρώτο του σχόλιο για τα Στοιχεία του Ευκλείδη, Sharḥ musạ̄darāt, ο Ιμπν αλ-Χάιθαμ ακολουθεί την κυρίαρχη άποψη ότι οι βασικές προτάσεις των μαθηματικών είναι αυταπόδεικτες, απαραίτητες και ορθολογικά αναμφισβήτητες. Αλλά, στο δεύτερο σχόλιό του, Ḥall shukūk ([Αμφιβολίες]), υποστηρίζει μια πιο εμπειρική θέση και υποστηρίζει ότι αποκτούμε αυτές τις περιπτώσεις γνώσης αντιμετωπίζοντας τη συχνή χρήση τους στην καθημερινή ζωή. Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την κοινή έννοια «τα πράγματα που αντιστοιχούν μεταξύ τους είναι ίσα μεταξύ τους». Ο Ιμπν αλ-Χάιτχαμ λέει ότι αποδεχόμαστε αυτήν την πρόταση επειδή έχουμε επανειλημμένα δει ότι όταν ένα σώμα χαρτογραφείται ή υπερτίθεται πάνω σε ένα άλλο σώμα και τα μήκη τους δεν υπερβαίνουν το ένα το άλλο, η διάνοιά μας (ʿaql) κρίνει ότι αυτά τα σώματα (ή, ακριβέστερα, τα μήκη τους) είναι ίσα. Χωρίς να έχουμε τέτοιες εμπειρίες, δεν θα μπορούσαμε να συμφωνήσουμε με την αλήθεια αυτού του αξιώματος. Επομένως, η γνώση μας για τέτοια αξιώματα εξαρτάται κάπως από τις αισθήσεις και την εμπειρία (Ibn al-Haytham [Αμφιβολίες]: 31; R. Rashed 2019).
Στην Οπτική του (Sabra 1989), ο Ibn al-Haytham προτείνει μια ενδιαφέρουσα ερμηνεία της αρχής «το σύνολο είναι μεγαλύτερο από το μέρος», η οποία έχει εντυπωσιακές ομοιότητες με την ερμηνεία του Avicenna για το fiṭrīyāt. Υποστηρίζει ότι αυτή η αρχή μπορεί να αποδειχθεί μέσω του ακόλουθου επιχειρήματος:
Το όλον υπερβαίνει το μέρος.
Κάθε τι που υπερβαίνει κάτι άλλο είναι μεγαλύτερο από αυτό.
Επομένως:
Το όλον είναι μεγαλύτερο από το μέρος.
Οι ίδιες οι προϋποθέσεις αυτού του επιχειρήματος πρέπει να δικαιολογηθούν μέσω της λειτουργίας της διάνοιας ή της ικανότητας διάκρισης (για να χρησιμοποιήσουμε την ορολογία του ίδιου του Ibn al-Haytham) βάσει των δεδομένων που λαμβάνουμε μέσω των αισθήσεών μας (Sabra 1989: τόμος I, 133–34· Ighbariah & Wagner 2018). Τα ίχνη αυτών των στάσεων απέναντι στα αξιώματα και τις κοινές έννοιες μπορούν να βρεθούν στα έργα του Fakhr al-Dīn al-Rāzī και σε ορισμένα μεταγενέστερα mutikallimūn (Morrison 2014: 220–22· Hasan 2017: ενότητα 2.4.2· Ighbariah και Wagner 2018: 66–68).
2.3 Ars Analytica και Ars Inveniendi
Αξίζει να σημειωθεί ότι οι Μουσουλμάνοι στοχαστές έχουν επίσης αναπτύξει ενδιαφέρουσες θεωρίες για το πώς μπορούμε να καταλήξουμε στις άγνωστες προτάσεις των μαθηματικών από τις γνωστές. Με άλλα λόγια, έχουν προσφέρει λεπτομερείς εξηγήσεις για το πώς το βήμα (3) —που εισήχθη στην προηγούμενη ενότητα— μπορεί να γίνει στο πλαίσιο των μαθηματικών γενικά και της γεωμετρίας ειδικότερα. Ένα κεντρικό ερώτημα σε αυτό το πλαίσιο ήταν αν και πώς (και σε ποιο βαθμό) αυτό που συμβαίνει στο μυαλό ενός μαθηματικού όταν ανακαλύπτει (ή εφευρίσκει) μια μαθηματική αλήθεια αντιστοιχεί σε αυτό που παρουσιάζει ως απόδειξη αυτής της ανακάλυψης (ή εφεύρεσης) σε χαρτί. Συγκεκριμένα, ήταν σημαντικό για τους Μουσουλμάνους στοχαστές να γνωρίζουν αν η σειρά των βημάτων που κάνει ένας μαθηματικός για να ανακαλύψει μια μαθηματική αλήθεια είναι πανομοιότυπη με τη σειρά των διαφορετικών σταδίων των δικαιολογιών που παρέχει για αυτήν την αλήθεια.
Μία από τις πρώτες προσπάθειες σε αυτό το πλαίσιο είναι η θεωρία του Thābit Ibn Qurra για την ψυχολογία της μαθηματικής εφεύρεσης. Ωστόσο, πιθανότατα ο εγγονός του, Ibrāhīm Ibn Sinān (θ. 946), ήταν αυτός που δημιούργησε έναν ανεξάρτητο τομέα σπουδών σχετικό με τα προαναφερθέντα ερωτήματα στο έργο του " Σχετικά με τη Μέθοδο Ανάλυσης και Σύνθεσης στα Προβλήματα της Γεωμετρίας" (R. Rashed & Bellosta 2000: κεφ. I). Κατηγοριοποιεί τα γεωμετρικά προβλήματα σε διαφορετικές ομάδες με βάση διαφορετικά κριτήρια και, παρέχοντας συγκεκριμένα παραδείγματα, εξηγεί πώς πρέπει να αναλυθεί κάθε ομάδα προβλημάτων (taḥlīl) και πώς μπορεί να συντεθεί μια λύση για αυτά (tarkīb). Επισημαίνει τα πιθανά σφάλματα και τα λάθη που θα μπορούσε κανείς να κάνει στη διαδικασία της ανάλυσης και της σύνθεσης και εξηγεί πώς μπορούν να αποφευχθούν. Η επόμενη σημαντική προσωπικότητα σε αυτόν τον τομέα είναι ο al-Sijzī (θ. ~1020), ο οποίος έγραψε ένα βιβλίο (Γεωμετρική Πραγματεία για την Επίλυση Προβλημάτων) σχετικά με διαφορετικές μεθόδους που μπορούν να διευκολύνουν τη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων στη γεωμετρία. Αλλά το πιο ώριμο έργο μεταξύ αυτού του είδους των μελετών είναι ίσως το Fī al-taḥlīl wa al-tarkīb (Περί Ανάλυσης και Σύνθεσης· R. Rashed 2006 [2017: 219–304]) του Ibn al-Haytham. Ένα ενδιαφέρον ζήτημα που συζητήθηκε σε αυτόν τον τομέα της φιλοσοφίας των μαθηματικών ήταν η φύση των μη αποφάσιμων προβλημάτων· ισχυρισμοί για την αλήθεια ή το ψεύδος των οποίων δεν έχουμε αποδείξεις. Αυτό το ζήτημα συζητήθηκε ιδιαίτερα από τον al-Samawʾal (θ. 1180) στο πλαίσιο της ταξινόμησης γεωμετρικών προβλημάτων στο έργο του al-Bāhir fī al-jabr. Το έργο ταξινόμησής του μπορεί να γίνει κατανοητό ως συνέχεια αυτού του Ibn Sinān (R. Rashed 1984b [1994: 41–43]· 2008: σελ. 3· 2015: 726–32).
2.4 Εφαρμοσιμότητα και Αξιοπιστία των Μαθηματικών
Αν θεωρήσουμε τα μαθηματικά αντικείμενα ως καθαρά νοητικά ή εκτιμητικά (mawhūm) αντικείμενα που κατασκευάζονται από τον μηχανισμό της αφαίρεσης και δεν έχουν εξωνοητική πραγματικότητα, τότε δύσκολα δικαιολογείται το γεγονός ότι τα μαθηματικά ή/και τα μαθηματικά μοντέλα από μόνα τους μπορούν να μας δώσουν αξιόπιστη γνώση του εξωνοητικού κόσμου. Δεν θα πρέπει να αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι όσοι υποστηρίζουν μια μη πλατωνική, μη κυριολεκτική θεώρηση της οντολογίας των μαθηματικών θα βρουν αυτήν την επιστήμη λιγότερο βέβαιη και ίσως λιγότερο πολύτιμη από επιστήμες όπως η φυσική και η μεταφυσική. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ορισμένοι σύγχρονοι μελετητές, οι οποίοι έχουν διαβάσει τον Αβικέννα ως υπερασπιστή μιας καθαρά αφηρημένης θεώρησης της οντολογίας των μαθηματικών, υποστηρίζουν ότι για αυτόν, τα μαθηματικά είναι λιγότερο χρήσιμα και κατώτερα από τις άλλες δύο επιστήμες (Hasan 2017: 225–26· Fazlıoğlu 2014: 11–13). Αυτή η απόδοση της άποψης του Αβικέννα είναι φυσικά προβληματική αν τον θεωρήσουμε ως κυριολεκτικό όσον αφορά τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων. Υποκινούμενος από παρόμοιες ανησυχίες, ο Αβερρόης πιστεύει ότι το γεγονός ότι το βασίλειο των μαθηματικών αντικειμένων είναι αποκομμένο από την εξωψυχική πραγματικότητα καθιστά τα μαθηματικά λιγότερο σημαντικό ρόλο στην ανθρώπινη τελειότητα από ό,τι η φυσική και η μεταφυσική (Endress 2003: 150).
Οι αμφιβολίες σχετικά με την ικανότητα των μαθηματικών να αναπαραστήσουν με ακρίβεια τον εξω-νοητικό κόσμο είναι ακόμη πιο διαδεδομένες μεταξύ των ατομιστών (Dhanani 1994: 101–40· Pines 1936 [1997: 110]). Για παράδειγμα, υποστηρίζοντας τον φυσικό ατομισμό στα μεταγενέστερα έργα του, ο Fakhr al-Dīn al-Rāzī πιστεύει ότι, εφόσον τα μεγέθη υποτίθεται ότι είναι συνεχή στην Ευκλείδεια γεωμετρία, αυτή η επιστήμη δεν μπορεί να παρουσιάσει μια ακριβή εικόνα του ασυνεχούς ατομιστικού κόσμου (Setia 2006: 126–28).
Στο έργο του Al-Mawāqif, ο al-ʾĪjī αμφισβητεί την αξιοπιστία των μαθηματικών επιστημών λόγω της ενασχόλησής τους με εκτιμητικές οντότητες που είναι πιο εύθραυστες (awhan) από τον ιστό της αράχνης. Αυτή η αναλογία αναφέρεται στο Κοράνι 29:41 (Fazlıoğlu 2014: 6–7). Μια παρόμοια σκεπτικιστική άποψη για τα μαθηματικά υπερασπίζεται ο Shams al-Dīn Muḥammad al-Bukharī (θ. 1429) στο σχόλιό του για το Ḥikma al-ʿayn του al-Kātibī al-Qazwīnī . Όπως πολλοί από τους προκατόχους του, ο al-Bukharī υποστηρίζει ότι, σε σύγκριση με τη φυσική και τη μεταφυσική, τα μαθηματικά είναι μια λιγότερο αξιόπιστη πηγή γνώσης σχετικά με τα συγκεκριμένα υπάρχοντα πράγματα. Απαντώντας σε τέτοιες απόψεις, ο al-Jurjānī επικαλείται τον μηχανισμό του nafs al-ʾamr για να υπερασπιστεί την αξιοπιστία των μαθηματικών. Δέχεται ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι εκτιμητικά και φανταστικά. Πιστεύει όμως ότι τα φαντάζεται σωστά και σύμφωνα με την εξωψυχική πραγματικότητα. Από αυτή την άποψη, είναι εντελώς διαφορετικά από τις φανταστικές οντότητες, όπως τα ρουμπινί βουνά ή τους δικέφαλους ανθρώπους , οι οποίες δεν αντανακλούν τίποτα στην εξωψυχική πραγματικότητα (Hasan 2017: 7). Αν και τα μαθηματικά προέρχονται από την εκτίμηση, μπορούν να εκφράσουν σημαντικές αλήθειες για τα πράγματα όπως είναι στο nafs al-ʾamr . Πιστεύει επομένως ότι η κρίση της εκτίμησης μπορεί κατ' αρχήν να συμμορφώνεται με αυτήν της διάνοιας, ιδιαίτερα στο πλαίσιο των μαθηματικών όπου τα προϊόντα της εκτίμησης κατασκευάζονται σύμφωνα με αυτό που αντιλαμβανόμαστε από τον εξωψυχικό κόσμο μέσω των αισθήσεών μας. Αν και τα μαθηματικά αντικείμενα είναι εκτιμητικές οντότητες, δεν είναι το αποτέλεσμα μιας φανταστικής φαντασίας που δεν έχει καμία σχέση με την πραγματικότητα, ή τουλάχιστον έτσι φαίνεται να πιστεύει ο al-Jurjānī (Fazlıoğlu 2014· Hasan 2017). Η θεωρία του nafs al-ʾamr ήταν, μεταξύ άλλων, η πιο ελπιδοφόρα προσπάθεια μουσουλμάνων στοχαστών να συμβιβάσουν μια αντιρεαλιστική θεώρηση της οντολογίας των μαθηματικών με μια ρεαλιστική θεώρηση των μαθηματικών αληθειών. Αυτή η θεωρία έχει ως στόχο να παράσχει μια εξήγηση για το πώς τα μαθηματικά, ως η μελέτη καθαρά εκτιμητικών οντοτήτων, μπορούν να είναι χρήσιμα στη μελέτη του φυσικού κόσμου. Δυστυχώς, το εύρος της επιτυχίας αυτού του έργου δεν έχει ακόμη μελετηθεί διεξοδικά.
3. Συμπέρασμα
Αυτό που παρουσιάζεται εδώ είναι απλώς μια σύντομη αναφορά στις ενδιαφέρουσες φιλοσοφικές απόψεις που ανέπτυξαν οι μουσουλμάνοι στοχαστές του Μεσαίωνα σχετικά με τα μαθηματικά. Δεν είναι σε καμία περίπτωση εξαντλητική. Πολλές πτυχές των απόψεων που συζήτησα εδώ δεν έχουν ακόμη μελετηθεί στη δευτερογενή βιβλιογραφία. Δεν είναι υπερβολή να πούμε ότι η φιλοσοφία των μαθηματικών πολλών μουσουλμάνων φιλοσόφων δεν έχει εξεταστεί επαρκώς από τους σύγχρονους ιστορικούς της φιλοσοφίας. Ελπίζω όμως ότι τα στοιχεία που συγκεντρώνονται σε αυτό το λήμμα έχουν δείξει ότι η ισλαμική παράδοση αποτελεί μια πλούσια πηγή καινοτόμων ιδεών και θεωριών που σχετίζονται με τη φιλοσοφία των μαθηματικών (και όχι -όπως συνήθως πιστεύεται- μόνο με τις τεχνικές πτυχές των μαθηματικών).
