Ο Γκόλντμπαχ γεννήθηκε στο Κένιξμπεργκ, την πρωτεύουσα του Δουκάτου της Πρωσίας, και ήταν γιος προτεστάντη ιερέα. Σπούδασε στο τοπικό πανεπιστήμιο νομικά και ιατρική (όχι μαθηματικά) και μετά το τέλος των σπουδών του, από το 1710 έως το 1724, ταξίδεψε σε πολλά μέρη της Ευρώπης, όπου γνώρισε διάσημους μαθηματικούς (τους Λάιμπνιτς, Όιλερ και Μπερνούλι, μεταξύ άλλων), με τους οποίους διατήρησε επαφή μέσω αλληλογραφίας. Επιστρέφοντας στη γενέθλια πόλη του, γνώρισε τους μαθηματικούς Γκέοργκ Μπίλφινγκερ και Γιάκομπ Χέρμαν, μια γνωριμία που άλλαξε τη ζωή του. Οι τρεις τους πήγαν στην Αγία Πετρούπολη, όπου δούλεψαν στη μόλις ιδρυθείσα Ακαδημία Επιστημών. Ο Γκόλντμπαχ δίδαξε εκεί μαθηματικά και ιστορία, γεγονός μάλλον περίεργο γιατί δεν είχε τα τυπικά προσόντα ούτε για το ένα ούτε για το άλλο γνωστικό πεδίο. Φαίνεται όμως πως ήξερε λίγο απ’ όλα, πανεπιστήμονας. Ήταν και πολύγλωσσος: μιλούσε και έγραφε γερμανικά, γαλλικά, ιταλικά, ρωσικά και λατινικά. Το 1728 πήγε στη Μόσχα, στην αυλή τού μόλις 13 ετών Τσάρου Πέτρου Β΄, ως αποκλειστικός δάσκαλός του. Το 1730 ο νεαρός μαθητής του αρρώστησε και πέθανε, και ο Γκόλντμπαχ επέστρεψε στην Ακαδημία, όπου ανέλαβε διοικητικά καθήκοντα, ενώ παράλληλα ασχολήθηκε ενεργά με την πολιτική. Το 1740 ανέλαβε σημαντική θέση στο Ρωσικό Υπουργείο Εξωτερικών. Το 1760 ανέλαβε τη γενική εποπτεία της εκπαίδευσης των παιδιών του Τσάρου. Το πρόγραμμα σπουδών που κατάρτισε ακολουθήθηκε για τα επόμενα 100 χρόνια.
Όλα αυτά μας λένε ότι ο Γκόλντμπαχ ήταν προφανώς καλός στους διαδρόμους της εξουσίας, αλλά τίποτα για τα μαθηματικά του. Η αλήθεια είναι ότι δεν ήταν μεγάλος μαθηματικός. Όχι ασήμαντος (άφησε πίσω του κάποια θεωρήματα στις τέλειες δυνάμεις και τις άπειρες σειρές), αλλά ούτε και σπουδαίος. Τα μαθηματικά ήταν για κείνον πάρεργο, το χόμπι του θα λέγαμε σήμερα. Αν το θυμόμαστε ακόμα είναι κυρίως για την εικασία του, ένα από τα παλιότερα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών (και των μαθηματικών γενικότερα).
Όπως προαναφέρθηκε, ο Γκόλντμπαχ διατηρούσε αλληλογραφία με τον Ελβετό Λέοναρντ Όιλερ (Leonhard Euler, 1707-1783), έναν από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Αλληλογραφούσαν τακτικά επί 35 χρόνια, από το 1729 μέχρι τον θάνατο του Γκόλντμπαχ, προσφέροντας πολλά στη θεωρία αριθμών μέσω της ανταλλαγής απόψεων. Σε μια επιστολή του, που φέρει ημερομηνία 7 Ιουνίου 1742, ο Γκόλντμπαχ αναφέρει (και μάλιστα στο περιθώριο της επιστολής, σαν τον Φερμά – μάλλον κάτι παίζει με τους μαθηματικούς και τα περιθώρια, δεν εξηγείται αλλιώς) στον Όιλερ για πρώτη φορά μία εικασία: «κάθε ζυγός ακέραιος αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών». [Πρώτοι ονομάζονται οι φυσικοί αριθμοί που διαιρούνται μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό τους (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 κ.λπ.) και είναι άπειροι, όπως απέδειξε, με τρόπο συγκλονιστικά απλό και ευφυή, πρώτος ο Ευκλείδης (αλλά αυτή είναι άλλη ιστορία). Η μονάδα δεν συγκαταλέγεται στους πρώτους, για τεχνικούς λόγους (αν και την εποχή που συζητάμε τη θεωρούσαν πρώτο αριθμό – όχι όλοι πάντως: ο Όιλερ, π.χ., δεν τη θεωρούσε πρώτο αριθμό, σε αντίθεση με τον Γκόλντμπαχ που τη θεωρούσε).] Ο Όιλερ σκέφτηκε ότι, για να ισχύει κάτι τέτοιο, πρέπει ένας από τους τρεις πρώτους να είναι πάντα το 2, γιατί η πρόσθεση τριών μονών πρώτων θα έδινε υποχρεωτικά πάντα μονό άθροισμα, και το 2 είναι ο μόνος πρώτος που είναι ζυγός. Συνεπώς, επαναδιατύπωσε την εικασία ως εξής: «Κάθε ζυγός θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών». Αυτή είναι η Εικασία του Γκόλντμπαχ (έστω κι αν η διατύπωση οφείλεται στον Όιλερ).
Λέοναρντ Όιλερ
Αν καθίσει κανείς να το ψάξει (και έχουν καθίσει πολλοί), φαίνεται πως ισχύει:
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
κ.ο.κ.
Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια υπολογιστών, η εικασία έχει επαληθευθεί για όλους τους ζυγούς μέχρι τον 4 x 1018 (ασύλληπτος αριθμός!) Φαίνεται πως αληθεύει. Αλλά, χωρίς απόδειξη, τι να το κάνεις;
Ο Όιλερ έγραψε στον Γκόλντμπαχ στις 30 Ιουνίου 1742 ότι δέχεται την (επαναδιατυπωμένη από τον ίδιο) εικασία ως πλήρως ορισμένο θεώρημα (δηλαδή, διαισθητικά την δέχεται ως αληθή – και για να το λέει ο Όιλερ μάλλον έτσι θα ’ναι), αν και, όπως ομολογούσε, δεν είχε καταφέρει να το αποδείξει (βέβαια, είχε προσπαθήσει λιγότερο από μήνα, αλλά για ένα μυαλό σαν του Όιλερ αυτός είναι πολύς καιρός). Σήμερα, 273 χρόνια μετά, η εικασία παραμένει αναπόδεικτη, παρά τις ασταμάτητες προσπάθειες της μαθηματικής κοινότητας. Όπως συμβαίνει συνήθως με τις ανοιχτές μαθηματικές εικασίες, πολλοί έχουν ισχυριστεί ότι την έχουν αποδείξει, αλλά κοινά αποδεκτή απόδειξη δεν υπάρχει. Μάλιστα, ο εκδοτικός οίκος Faber and Faber πρόσφερε ένα εκατομμύριο δολάρια σε όποιον την αποδείκνυε από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε ούτε και τότε. Βέβαια, το κίνητρο δεν είναι μόνο τα λεφτά· όποιος την αποδείξει θεωρείται βέβαιο ότι θα πάρει και το Μετάλλιο Φιλντς (Fields Medal – βραβείο που απονέμεται κάθε 4 χρόνια· η σπουδαιότερη διάκριση, το Νόμπελ των μαθηματικών). Συνεπώς, δεν είναι το κίνητρο που λείπει από τους μαθηματικούς. Τότε, αναρωτιέται κανείς, γιατί δεν έχει αποδειχτεί σχεδόν τρεις αιώνες τώρα; Πόσο δύσκολη είναι πια η απόδειξη μιας εικασίας της θεωρίας αριθμών που αναφέρεται στην πρόσθεση; Στην πρόσθεση! Και η διατύπωση της είναι απλούστατη και απολύτως κατανοητή. Ξανά:
Κάθε ζυγός θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.
Φαίνεται απλό. Αλλά δεν είναι. Γενεές επί γενεών έχουν φάει τα μούτρα τους προσπαθώντας. Μαθηματικοί σπουδαίοι και μη. Ακόμα και άνθρωποι που απλώς ξέρουν κάποια μαθηματικά: ακριβώς επειδή ακούγεται απλό, σου ’ρχεται να κάτσεις να την αποδείξεις. Φιλική συμβουλή: μη σας μπαίνουν ιδέες. Η απόδειξη (αν υπάρχει – δεν ξέρουμε καν αν η εικασία αληθεύει) είναι τραγικά δύσκολη.
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
κ.ο.κ.
Μέχρι σήμερα, με τη βοήθεια υπολογιστών, η εικασία έχει επαληθευθεί για όλους τους ζυγούς μέχρι τον 4 x 1018 (ασύλληπτος αριθμός!) Φαίνεται πως αληθεύει. Αλλά, χωρίς απόδειξη, τι να το κάνεις;
Ο Όιλερ έγραψε στον Γκόλντμπαχ στις 30 Ιουνίου 1742 ότι δέχεται την (επαναδιατυπωμένη από τον ίδιο) εικασία ως πλήρως ορισμένο θεώρημα (δηλαδή, διαισθητικά την δέχεται ως αληθή – και για να το λέει ο Όιλερ μάλλον έτσι θα ’ναι), αν και, όπως ομολογούσε, δεν είχε καταφέρει να το αποδείξει (βέβαια, είχε προσπαθήσει λιγότερο από μήνα, αλλά για ένα μυαλό σαν του Όιλερ αυτός είναι πολύς καιρός). Σήμερα, 273 χρόνια μετά, η εικασία παραμένει αναπόδεικτη, παρά τις ασταμάτητες προσπάθειες της μαθηματικής κοινότητας. Όπως συμβαίνει συνήθως με τις ανοιχτές μαθηματικές εικασίες, πολλοί έχουν ισχυριστεί ότι την έχουν αποδείξει, αλλά κοινά αποδεκτή απόδειξη δεν υπάρχει. Μάλιστα, ο εκδοτικός οίκος Faber and Faber πρόσφερε ένα εκατομμύριο δολάρια σε όποιον την αποδείκνυε από τις 10 Μαρτίου 2000 μέχρι τις 20 Μαρτίου 2002, αλλά κανείς δεν τα κατάφερε ούτε και τότε. Βέβαια, το κίνητρο δεν είναι μόνο τα λεφτά· όποιος την αποδείξει θεωρείται βέβαιο ότι θα πάρει και το Μετάλλιο Φιλντς (Fields Medal – βραβείο που απονέμεται κάθε 4 χρόνια· η σπουδαιότερη διάκριση, το Νόμπελ των μαθηματικών). Συνεπώς, δεν είναι το κίνητρο που λείπει από τους μαθηματικούς. Τότε, αναρωτιέται κανείς, γιατί δεν έχει αποδειχτεί σχεδόν τρεις αιώνες τώρα; Πόσο δύσκολη είναι πια η απόδειξη μιας εικασίας της θεωρίας αριθμών που αναφέρεται στην πρόσθεση; Στην πρόσθεση! Και η διατύπωση της είναι απλούστατη και απολύτως κατανοητή. Ξανά:
Κάθε ζυγός θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών.
Φαίνεται απλό. Αλλά δεν είναι. Γενεές επί γενεών έχουν φάει τα μούτρα τους προσπαθώντας. Μαθηματικοί σπουδαίοι και μη. Ακόμα και άνθρωποι που απλώς ξέρουν κάποια μαθηματικά: ακριβώς επειδή ακούγεται απλό, σου ’ρχεται να κάτσεις να την αποδείξεις. Φιλική συμβουλή: μη σας μπαίνουν ιδέες. Η απόδειξη (αν υπάρχει – δεν ξέρουμε καν αν η εικασία αληθεύει) είναι τραγικά δύσκολη.
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου