Αεί (ο) Θεός (ο μέγας) γεωμετρεί (Πλάτων) – ο πανάρχαιος π

Ο Πλούταρχος αναφέρει στο έργο του Ερωτήσεις “Πῶς Πλάτων ἔλεγε τόν θεόν ἀεί γεωμετρεῖν.”Από αυτή τη φράση προκύπτει ο μνημονικός κανόνας “Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί” όπου ο αριθμός των γραμμάτων δείχνει το αντίστοιχο ψηφίο του αριθμού π, με προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων (3,14159).

Αεί = 3
ο = 1
Θεός = 4
ο =1
μέγας = 5
γεωμετρεί = 9

Σε νεότερους χρόνους, αποδίδεται ότι την συμπλήρωσε ο καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών Ν. Χατζιδάκης (1872-1942),έχει χρησιμοποιηθεί μεγαλύτερη πρόταση για περισσότερα ψηφία “Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι” το οποίο αντιστοιχεί στην παρακάτω δεκαδική προσέγγιση του π = 3,1415926535897932384626.

Παρατηρούμε ότι στο παραπάνω τετράστιχο ο Νικόλαος Χατζηδάκης επέκτεινε περίτεχνα την γνωστή φράση του Πλάτωνος «Αεί ο Θεός γεωµετρεί» και δηµιούργησε αυτό το αριστοτέχνηµα στο οποίο προσπαθεί να περιγράψει τον αριθµό π. Αξίζει να αναφερθεί ότι ο Πλάτων έτρεφε µεγάλη εκτίµηση προς τα Μαθηµατικά και αναγνωρίζοντας την µεγάλη εκπαιδευτική αξία των Μαθηµατικών και ιδιαίτερα της Γεωµετρίας είχε γράψει στην είσοδο της Ακαδηµίας την επιγραφή: «Μηδείς αγεωµέτρητος εισίτω…».

Ο αριθμός π ( ή η σταθερά του Αρχιµήδη) είναι μια μαθηματική σταθερά οριζόμενη ως ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου, ενώ με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων είναι ίση με 3,14159265. Ο λόγος αυτός είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει διπλάσια διάμετρο, αυτός θα έχει και διπλάσια περιφέρεια, διατηρώντας το λόγο σταθερό.

Ο π είναι ένας άρρητος αριθμός, κάτι που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος δύο ακεραίων (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του π)· κατά συνέπεια, η δεκαδική απεικόνιση δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν εγκαθίσταται σε μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παράσταση. (Το 1767 ο Γιόχαν Χάινριχ Λάµπερτ απέδειξε ότι ο π είναι άρρητος αριθµός)

Τα ψηφία φαίνεται να εμφανίζονται με τυχαία σειρά, αν και δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη κάποια απόδειξη για αυτό. Ο π είναι ένας υπερβατικός αριθμός, δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη-μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές ( όπως αποδείχτηκε το 1882 από τον Ferdinand von Lindemann). Αυτό έχει ως συνέπεια ότι ο π δεν είναι κατασκευάσιμος αριθμός, δηλ. δεν μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη. Κατά συνέπεια είναι αδύνατο να τετραγωνίσουμε τον κύκλο, που σημαίνει ότι δεν μπορούμε με κανόνα και διαβήτη να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο που να έχει εμβαδό ίσο προς το εμβαδό του δεδομένου κύκλου (το αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη).

Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του π βρίσκονται στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, απέχουν ένα τοις εκατό από την πραγματική αξία. Στη Βαβυλώνα, ένας δίσκος της χρονολογείται το 1900–1600 π.Χ. έχει μια γεωμετρική δήλωση που, κατ’επέκταση, αντιμετωπίζει τον π ως 25/8 = 3.1250. Στην Αίγυπτο, ο Πάπυρος Rhind , χρονολογείται γύρω στο 1650 π.Χ., αλλά έχει αντιγραφεί από ένα έγγραφο που χρονολογείται το 1850 π.Χ. έχει ένα τύπο που την αντιμετωπίζει την σταθερά π ως (16/9)2 ≈ 3.1605.

Στην Ινδία γύρω στο 600 π.Χ., το Shulba Sutras (σανσκριτικά κείμενα που είναι πλούσια σε μαθηματικό περιεχόμενο) εξομοιώνει τον π με (9785/5568)2 ≈ 3.088.

Το 150 π.Χ., ή ίσως νωρίτερα, ινδικές πηγές θεωρούν τον π ≈ 3.1622.

Ο πρώτος καταγεγραμμένος αλγόριθμος για τον αυστηρό υπολογισμό της αξίας του π ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας πολύγωνα, επεξεργάσθηκε γύρω στο 250 π.Χ. ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης. Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριαρχείται για πάνω από 1,000 χρόνια, και ως εκ τούτου το π μερικές φορές αναφέρεται ως “Σταθερά του Αρχιμήδη”.

 Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα ανώτερα και κατώτερα όρια του π με σχέδιο σε κανονικό εξάγωνο μέσα και έξω από ένα κύκλο και διαδοχικά διπλασιασμού του αριθμού των πλευρών, ώσπου έφτασε στην 96-όψη κανονικού πολυγώνου. Με τον υπολογισμό των μέτρων αυτών των πολυγώνων, απέδειξε ότι 223/71 < π < 22/7 (3.1408 < π < 3.1429). Το άνω όριο του Αρχιμήδη, το 22/7 μπορεί να οδήγησε σε μια ευρέως διαδεδομένη δημοφιλή πεποίθηση ότι το π είναι ίσο με 22/7 .

Ο Αρχιµήδης θεώρησε ότι αυτή η προσέγγιση είναι πολύ καλή και γι’ αυτό σταµάτησε. Γι’ αυτό λοιπόν δίκαια ο παραπάνω λόγος είναι γνωστός διεθνώς ως σταθερά του Αρχιµήδη.

Ο Αρχιµήδης άνοιξε τον δρόµο για µια θεωρητική προσέγγιση του π. Έτσι, όσοι ασχολήθηκαν µετά τον Αρχιµήδη µε το θέµα αυτό, και είναι πάρα πολλοί, ακολούθησαν το πνεύµα του Αρχιµήδη. ( Ο Αρχιµήδης αξιοποίησε την µέθοδο της προσέγγισης του κύκλου µε πολύγωνα που είχαν διατυπώσει και εφαρµόσει νωρίτερα (5ος αιώνας π.Χ.) ο Αντιφών και ο Βρύσων, οι οποίοι ασχολήθηκαν µε το πρόβληµα του τετραγωνισµού του κύκλου, αλλά έστρεψε την προσοχή του στις περιμέτρους των πολυγώνων και όχι στα εμβαδά τους).

Περίπου το 150 μ.Χ., ο Έλληνας- Ρωμαίος επιστήμονας Πτολεμαίος, στην Αλμαγέστη, έδωσε μια τιμή για το π το 3.1416, που αυτή μπορεί να αποκτηθεί από τον Απολλώνιο του Περγαίου. Οι μαθηματικές χρήσεις των πολυγωνικών αλγορίθμων φτάνουν τα 39 ψηφία του π το 1630, ένα ρεκορ που έσπασε μόνο το 1699 όταν άπειρες σειρές χρησιμοποιήθηκαν για την επίτευξη 71 ψηφίων. Στην Αρχαία Κίνα, οι τιμές για το π περιλαμβάνονται 3.1547 (γύρω στο 1 μ.Χ.), (100 μ.Χ, περίπου 3.1623), και (3ο αιώνα, περίπου 3.1556).

Περίπου το 265 μ.Χ., στο Δυτικό Βασίλειο ο μαθηματικός Liu Hui δημιούργησε ένα πολύγωνο με βάση τον επαναληπτικό αλγόριθμο και το χρησιμοποίησε με ένα πολύγωνο 3,072-διπλής όψης, για να πάρει μια τιμή του π την 3.1416.Αργότερα ο Liu ανακάλυψε μια ταχύτερη μέθοδο υπολογισμού του π και λαμβάνεται η τιμή 3.14 με ένα πολύγωνο 96-διπλής όψης, αξιοποιώντας το γεγονός ότι οι διάφορες τιμές στην περιοχή των διαδοχικών πολυγώνων αποτελούν μια γεωμετρική σειρά με συντελεστή 4. Ο Κινέζος μαθηματικός Zu Chongzhi, γύρω στο 480 μ.Χ., υπολόγισε ότι π ≈ 355/113 (ένα κλάσμα που πηγαίνει από το όνομα Milü στα Κινέζικα), χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Liu Hui εφαρμόζεται σε ένα πολύγωνο 12,288-πλευρών. Με μια σωστή τιμή για τα επτά πρώτα δεκαδικά ψηφία,αυτή η τιμή 3.141592920… παραμένει η πιο ακριβής προσέγγιση του π διαθέσιμη για τα επόμενα 800 χρόνια.

Καθώς οι μαθηματικοί ανακάλυψαν νέους αλγόριθμους, και οι υπολογιστές έγιναν διαθέσιμοι, ο αριθμός των γνωστών δεκαδικών ψηφίων του π αυξήθηκαν δραματικά.

Για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που αφορούν τον π, μια χούφτα των ψηφίων του παρέχουν επαρκή ακρίβεια. Σύμφωνα με τους Jörg Arndt και Christoph Haenel, τριάντα εννέα ψηφία είναι επαρκή να εκτελέσουν τους περισσότερους κοσμολογικούς υπολογισμούς, γιατί αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό του όγκου του γνωστού σύμπαντος με ακρίβεια ενός ατόμου. Παρά το γεγονός αυτό, οι άνθρωποι έχουν εργαστεί έντονα για τον υπολογισμό του π σε χιλιάδες και χιλιάδες ψηφία.

Το π βρίσκεται σε πολλούς τύπους της τριγωνομετρίας και της γεωμετρίας, ειδικά όσον αφορά κύκλους, ελλείψεις ή σφαίρες. Βρίσκεται επίσης και σε διάφορους τύπους από άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως η Κοσμολογία, η Θεωρία των αριθμών, η Στατιστική, τα fractal, η θερμοδυναμική, η μηχανική, και ο ηλεκτρομαγνητισμός. Ο καθολικός χαρακτήρας του π τον καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές, τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας και έχει αποτελέσει θέμα λογοτεχνικών βιβλίων.

Μετά την εισαγωγή του ελληνικού γράμματος από τον Jones το 1706, δεν υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς μέχρι ο Leonhard Euler άρχισει να το χρησιμοποιεί, αρχίζοντας με το έργο του “Μηχανική” το 1736.

Πριν από τότε, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν μερικές φορές γράμματα όπως το c ή το p.

Ο Euler συνεβρισκόταν σε μεγάλο βαθμό με άλλους μαθηματικούς στην Ευρώπη και έτσι η χρήση του π εξαπλώθηκε γρήγορα. Το 1748, ο Euler χρησιμοποίησε το π στο ευρέως διαβασμένο έργο του Introductio in analysin infinitorum (έγραψε: «για λόγους συντομίας θα γράφουμε τον αριθμό π· έτσι ο π είναι ίσος με το μισό της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας 1») και η πρακτική του εγκρίθηκε παγκοσμίως στη συνέχεια στον Δυτικό Κόσμο.

Η σπουδαιότητά του π είναι τόσο μεγάλη

( «Όλοι οι αριθµοί είναι ενδιαφέροντες, µερικοί όµως είναι πιο ενδιαφέροντες από τους άλλους και ο π είναι ο πιο ενδιαφέρων από όλους». Ίαν Στιούαρτ, Καθηγητής των Μαθηµατικών στο Πανεπιστήµιο του Γουόρικ.) που οι μαθηματικοί τη γιορτάζουν κάθε 14 Μαρτίου, διότι τότε είναι 14/3 και σύμφωνα με τους Αμερικάνους που διαβάζουν πρώτα το μήνα και μετά τη μέρα 3/14 (π=3,14). Η ημέρα αυτή είναι και ημέρα των γενεθλίων του Άλμπερτ Αϊνστάιν (Albert Einstein, 14 Μαρτίου 1879). Επίσης στην Ευρώπη τη γιορτάζουν και κάθε 22/7 αφού 22 δια 7 είναι 3,14. H ημέρα αυτή ονομάζεται Pi day προς τιμήν της σταθεράς!