«Κατά τον πρώτο, και κατά μία έννοια μοναδικό, τον κανόνα της λογικής, ότι προκειμένου να μάθεις πρέπει να επιθυμήσεις να μάθεις, και έτσι να επιθυμείς να μην είσαι ικανοποιημένος με αυτό που ήδη τείνεις να σκέφτεσαι, ακολουθεί ένα επακόλουθο το οποίο αξίζει να χαράσσεται επάνω σε κάθε τοίχο της πόλης της φιλοσοφίας: να μην στέκεσαι στον δρόμο της έρευνας.» —Τσαρλς Σάντερς Περς, “First Rule of Logic”
Λογική η: 1α. επιστήμη που ασχολείται με την δομή, με τις μορφές και με τους νόμους της νόησης: Γενική / τυπική / μαθηματική / συμβολική / διαλεκτική ~. Ο Αριστοτέλης θεωρείται ως ο πατέρας της λογικής. β. το μάθημα, το σύγγραμμα που διδάσκει την επιστήμη της λογικής: H ~ διδάσκεται στη B’ τάξη του λυκείου. Διάβασες την «Λογική» του Παπανούτσου; 2. ακολουθία ιδεών, σκέψεων, γεγονότων με εσωτερική συνέπεια, συνάφεια: Tα επιχειρήματά του στερούνται λογικής. Aυτό που λες συγκρούεται με την / αντίκειται στην ~. H ~ της ιστορίας / των γεγονότων / της καρδιάς. (έκφρ.) κοινή ~, η κατανοητή και παραδεκτή από όλους. απλή ~. ΦΡ τετράγωνη* ~. 3. ο τρόπος με τον οποίο σκέφτεται, συλλογίζεται κάποιος: Κυριαρχείται από (μια) αυστηρή / σιδερένια / στενή / στεγνή ~. Δεν καταλαβαίνω την ~ σου, γιατί εγώ έχω μια τελείως διαφορετική ~. Aρνούμαι να μπω σ΄ αυτή την ~.
Η λογική, ή καλύτερα επιστήμη της λογικής, είναι η μελέτη των τρόπων συλλογισμού. Με απλά λόγια, είναι η μελέτη του τρόπου με τον οποίο κάνουμε συλλογισμούς, με τον οποίο σκεπτόμαστε, ώστε να συνδέεται άρρηκτα με την φιλοσοφική δραστηριότητα. Ο σκοπός της είναι να βρει τους συλλογισμούς εκείνους με τους οποίους θα σκεπτόμαστε σωστά (λογικά). Θα μπορούσε να θεωρηθεί ανεξάρτητος κλάδος, όπως η Φυσική και τα Μαθηματικά, για τους περισσότερους όμως φιλοσόφους αποτελεί κυρίως το όργανο της ορθής νόησης, που είναι απαραίτητο όχι μόνο για κάθε μορφή φιλοσοφικής δραστηριότητας, αλλά και για όλες τις επιστήμες.
Συνέπεια. Εγκυρότητα. Αξιοπιστία. Πληρότητα.
Μεταξύ των σημαντικών ιδιοτήτων που τα συστήματα λογικής μπορούν να έχουν είναι:
Συνέπεια, που σημαίνει ότι κανένα θεώρημα του συστήματος έρχεται σε αντίθεση με ένα άλλο.
Εγκυρότητα, που σημαίνει ότι οι αποδεικτικοί κανόνες του συστήματος δεν θα επιτρέψουν ποτέ ένα ψευδό συμπέρασμα από αληθινές προκείμενες. Ένα σύστημα λογικής έχει την ιδιότητα της αξιοπιστίας όταν το σύστημα αυτό έχει την ιδιότητα της εγκυρότητας και χρησιμοποιεί μόνο προκείμενες προτάσεις που αποδεικνύουν αληθινά συμπεράσματα (ή, στην περίπτωση των αξιωμάτων, είναι αλήθεια εξ ορισμού).
Πληρότητα (του συστήματος λογικής), που σημαίνει ότι αν ένας τύπος είναι ορθός, τότε θα μπορεί να αποδειχθεί (αν είναι αλήθεια, αποτελεί θεώρημα του εν λόγω συστήματος).
Αξιοπιστία, ο όρος αυτός έχει πολλές ξεχωριστές σημασίες, πράγμα το οποίο δημιουργεί κάποια σύγχυση στη βιβλιογραφία. Πιο συχνά, η αξιοπιστία αναφέρεται σε λογικά συστήματα, που σημαίνει ότι αν ένας τύπος μπορεί να αποδειχθεί σε ένα σύστημα λογικής, τότε είναι αλήθεια στο αντίστοιχο μοντέλο/δομή (αν Α είναι ένα θεώρημα, τότε το Α είναι αλήθεια). Αυτό είναι το αντίστροφο της πληρότητας. Μια ξεχωριστή, περιφερική χρήση της αξιοπιστίας αναφέρεται στα επιχειρήματα, που σημαίνει ότι οι προκείμενες προτάσεις ενός έγκυρου επιχειρήματος είναι αληθινές και στον πραγματικό κόσμο.
Κάποια λογικά συστήματα δεν έχουν και τις τέσσερις αυτές ιδιότητες. Ως παράδειγμα, τα θεωρήματα μη πληρότητας Kurt Gödel δείχνουν ότι αρκετά σύνθετα τυπικά συστήματα της αριθμητικής δεν μπορούν να είναι συνεπή και πλήρη. Ωστόσο, πρώτης-τάξης κατηγορηματικές λογικές δεν διευρύνονται από συγκεκριμένα αξιώματα με σκοπό να γίνουν αριθμητικά τυπικά συστήματα συνεπή και πλήρη.
Προκείμενες: Μια προκείμενη είναι μια δήλωση την οποία ένα επιχείρημα θα ισχυριστεί για να επάγει ή αιτιολογήσει το συμπέρασμα του. Με άλλα λόγια: η προκείμενη είναι η παραδοχή πως κάτι είναι αλήθεια. Στην λογική, ένα επιχείρημα απαιτεί μια σειρά από (τουλάχιστον) δύο δηλωτικές φράσεις (ή “προτάσεις”) γνωστές και ως προκείμενες μαζί με μια άλλη δηλωτική φράση (ή “πρόταση”) γνωστή ως συμπέρασμα. Αυτή η δομή των δύο προκείμενων και του ενός συμπεράσματος αποτελεί την βασική επιχειρηματολογική δομή. Τα πιο πολύπλοκα επιχειρήματα μπορεί να χρησιμοποιήσουν μια σειρά από κανόνες για να συνδέσουν διάφορες προκείμενες σε ένα συμπέρασμα, ή να αντλήσουν ορισμένα συμπεράσματα από τις αρχικές προκείμενες που θα λειτουργήσουν στη συνέχεια ως προκείμενες για πρόσθετα συμπεράσματα. Ένα παράδειγμα αυτού είναι η χρήση των κανόνων του συμπερασμού που βρίσκονται μέσα στην συμβολική λογική.
Αξίωμα: Τα αξιώματα συνιστούν προκείμενες στην κυριολεξία. Ένα αξίωμα, είναι μια παραδοχή ή αφετηρία του συλλογισμού. Όπως είναι κλασικά αντιληπτό, ένα αξίωμα είναι μια υπόθεση τόσο εμφανής ώστε να γίνει αποδεκτή ως αληθινή άνευ αμφισβήτησης. Όπως χρησιμοποιείται στη σύγχρονη λογική, ένα αξίωμα είναι, επίσης, απλώς μια παραδοχή ή αφετηρία για ένα συλλογισμό. Τα αξιώματα καθορίζουν και οριοθετούν το χώρο της ανάλυσης. Η σχετική αλήθεια ενός αξιώματος θεωρείται δεδομένη στο συγκεκριμένο τομέα της ανάλυσης, και χρησιμεύει ως ένα σημείο εκκίνησης για τη συναγωγή συμπερασμάτων και άλλων σχετικών αληθειών. Δεν υπάρχει ρητή άποψη όσον αφορά την απόλυτη αλήθεια των αξιωμάτων, που έχουν ληφθεί ποτέ, στο πλαίσιο των σύγχρονων μαθηματικών, καθώς κάτι τέτοιο θεωρείται ότι είναι μια επουσιώδης και αδύνατη αντίφαση.
Στα μαθηματικά, ένα σύστημα αξιωμάτων, που χρησιμοποιείται για την θεμελίωση ενός κλάδου, πρέπει να πληροί τρεις συνθήκες, τα αξιώματα του συστήματος: (1) να στερούνται αντιφάσεων (δεν είναι δυνατόν, με χρήση των αξιωμάτων, να αποδειχθούν δύο προτάσεις που αντιφάσκουν), (2) να πληρούν το σύστημα (δηλαδή, κάθε θεώρημα του κλάδου, που θέλουμε να θεμελιώσουμε αξιωματικά, να μπορεί να προκύψει ως συνέπεια των αξιωμάτων του συστήματος, και (3) πρέπει να είναι ανεξάρτητα (δηλαδή, κανένα από αυτά δεν πρέπει να είναι συνέπεια των υπολοίπων και συνεπώς να αποδεικνύεται ως θεώρημα).
Συμπέρασμα: Συμπέρασμα είναι η πρόταση η οποία συνδέεται με ένα σύνολο προτάσεων (προκείμενων) ή αιτημάτων με λογική συνέπεια. Για παράδειγμα, αν οι προκείμενες είναι “οι άνθρωποι είναι θνητοί” και “ο Σωκράτης είναι ανθρωπος”, τότε η πρόταση “ο Σωκράτης είναι θνητός” θα είναι το συμπέρασμα, διότι συνδέεται με τις προηγούμενες με λογική συνέπεια. Αυτή η σχέση της λογικής συνέπειας είναι ίσως η πλέον θεμελιώδης έννοια στην Λογική. Το συμπέρασμα προκύπτει από άλλες προτάσεις, οπότε δεν μπορεί να συνιστά αξίωμα, όμως μπορεί να είναι προκείμενη και, μαζί και με άλλες προκείμενες, να συνδέεται με λογική συνέπεια με μια άλλη πρόταση, ή αλλιώς (εξ ορισμού) συμπέρασμα.
Η Ιστορία της Λογικής
Η Λογική στην αρχαία Ελληνική Φιλοσοφία
Λογική είναι η νοητική διεργασία κατά την οποία συνδέονται στοιχεία για την παραγωγή αποτελέσματος που σχετίζεται με τα συνδεθέντα πχ αν πούμε ότι 2+2=4 αυτό είναι μια λογική διεργασία ή αν πούμε μιαν οποιαδήποτε λέξη πχ “θάλασσα” αυτό είναι μια λογική διεργασία διότι οι λέξεις είναι σύνδεση αισθητηριακών πληροφοριών (εκ των φαινομένων) με αποτέλεσμα την παραγωγή (υπό μορφή γραμμάτων και φωνημάτων) των λέξεων. Ο όρος “λέξη” εκ του “λέγω” σημαίνει “παράγωγο σύνδεσης”.
Ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο “λόγος” ήταν ο Ηράκλειτος ο οποίος διευκρίνησε ότι ο λόγος είναι ένας σύνδεσμος ο οποίος συνδέει τον κόσμο (τα φαινόμενα) με την ομιλία δηλαδή τα φαινόμενα με κάποιο τρόπο μέσον της διάνοιας (γνώσης) μεταποιούνται σε γνώση και σε λέξεις (λόγο). Γι’ αυτό είναι λάθος να ερμηνεύουμε τη λογική αρχόμενοι από τις προτάσεις που είναι παράγωγα των λέξεων. Σωστό είναι να γνωρίζουμε (κατά τον Αριστοτέλη) τις αρχές των όσων ερευνούμε και αρχή του λόγου είναι οι λέξεις οι οποίες ονομάζουν τα φαινόμενα και η έρευνα πρέπει να αρχίζει από την προέλευση των λέξεων και τη σχέση τους με τα φαινόμενα. Αν δεν κατορθώσαμε να βρούμε την σχέση ανάμεσα: στα φαινόμενα, τη γνώση και τον λόγο, σχέση που είναι το υπόβαθρο της Λογικής και που αποδεικνύει πώς νοητικά διενεργείται η Λογική, δηλαδή η σύνδεση των όσων φέρνουμε στο μυαλό για να τα κάνουμε γνώση και γλώσσα.
Πριν τον Πλάτωνα
Αν και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν εμπειρικά μερικές αλήθειες της γεωμετρίας, το μεγάλο επίτευγμα των αρχαίων Ελλήνων ήταν να αντικαταστήσουν τις εμπειρικές μεθόδους με επιστημονικές. Η συστηματική μελέτη αυτή φαίνεται να ξεκίνησε με τη σχολή του Πυθαγόρα στα τέλη του έκτου αιώνα π.κ.ε. Οι τρεις βασικές αρχές της γεωμετρίας είναι ότι ορισμένες προτάσεις πρέπει να γίνονται δεκτές ως αληθινές χωρίς απόδειξη, ότι όλες οι υπόλοιπες προτάσεις του συστήματος να προκύπτουν από τις προηγούμενες και ότι η εξαγωγή πρέπει να είναι τυπική (φόρμαλ) δηλαδή, ανεξάρτητη από το συγκεκριμένο υπό εξέταση θέμα. Τα σπέρματα των πρώιμων αποδείξεων φυλάσσονται στα έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη και η ιδέα ενός παραγωγικού τέτοιου συστήματος ήταν πιθανώς γνωστό στη Πυθαγόρεια σχολή και στην Πλατωνική Ακαδημία.
Ξεχωριστά από τη γεωμετρία, η ιδέα για ένα πρότυπο μοτίβο επιχειρήματος βρίσκεται στην reductio ad absurdum (εις άτοπον απαγωγή) χρησιμοποιήθηκε από τον Ζήνωνα της Ελέας, ένα προσωκρατικό φιλόσοφο του 5ου αιώνα π.κ.ε. Αυτή είναι η τεχνική της κατάρτισης ενός προφανώς ψευδούς, παράλογου ή αδύνατου συμπεράσματος από την υπόθεση, αποδεικνύοντας έτσι ότι η υπόθεση είναι ψευδής. Ο Παρμενίδης παρουσιάζει το Ζήνωνα να ισχυρίζεται ότι έχει γράψει ένα βιβλίο όπου υπερασπίζεται το μονισμό του Παρμενίδη καταδεικνύοντας το παράλογο συμπέρασμα να υποτεθεί ότι είναι δυϊσμός. Άλλοι φιλόσοφοι που άσκησαν τέτοια διαλεκτική αιτιολογία ήταν οι λεγόμενοι μικροί σωκρατικοί, συμπεριλαμβανομένων ο Ευκλείδης ο Μεγαρεύς, που ήταν πιθανότατα οπαδός του Παρμενίδη και του Ζήνωνα. Τα μέλη αυτής της σχολής ονομάστηκαν Διαλεκτικοί. Περαιτέρω στοιχεία ότι προαριστοτελικοί διανοητές ασχολήθηκαν με τις αρχές του συλλογισμού βρέθηκαν σε ένα θραύσμα που ονομάζεται Δίσσοι Λόγοι, το οποίο πιθανώς γράφτηκε στις αρχές του 4ου αιώνα π.κ.ε. Αυτό είναι μέρος μιας παρατεταμένης συζήτησης για την αλήθεια και την αναλήθεια.
Η Λογική του Πλάτωνα
Κανένα από τα σωζόμενα έργα του φιλόσοφου Πλάτωνα (428-347 π.κ.ε.) του 4ου αιώνα δεν περιλαμβάνει οποιαδήποτε Τυπική Λογική, αλλά περιλαμβάνουν σημαντικές συνεισφορές στον τομέα της φιλοσοφικής Λογικής. Ο Πλάτωνας θέτει τρία ερωτήματα:
Τι είναι αυτό που μπορεί ορθά να καλείται αληθές ή ψευδές;
Ποια είναι η φύση της σύνδεσης μεταξύ των παραδοχών ενός έγκυρου επιχειρήματος και της σύναψής του;
Ποια είναι η φύση του ορισμού;
Το πρώτο ερώτημα τίθεται στο διάλογο Θεαίτητος ο Πλάτωνας προσδιορίζει τη σκέψη ή την άποψη με τη συζήτηση ή το διάλογο (λόγος). Το δεύτερο ερώτημα είναι αποτέλεσμα της θεωρίας των ιδεών (ή μορφών). Οι “Ιδέες” (μορφές) δεν είναι πράγματα με τη συνήθη έννοια, ούτε αυστηρές έννοιες στο μυαλό, αλλά αντιστοιχούν σε αυτό που οι φιλόσοφοι αργότερα ονόμασαν universals (καθολικά), δηλαδή μια αφηρημένη οντότητα κοινή με το ίδιο όνομα σε κάθε σύνολο πραγμάτων. Και στους δύο πλατωνικούς διαλόγους Πολιτεία και Σοφιστής, ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η αναγκαία σχέση μεταξύ των προκείμενων και του συμπεράσματος ενός επιχειρήματος αντιστοιχεί σε μια αναγκαία σύνδεση μεταξύ των “Ιδεών” (φορμών).
Το τρίτο ερώτημα είναι σχετικό με τον ορισμό. Πολλοί από τους διαλόγους του Πλάτωνα αφορούν την αναζήτηση για τον ορισμό κάποιας σημαντικής έννοιας (δικαιοσύνη, αλήθεια, το καλό), και ενδέχεται ο Πλάτωνας να εντυπωσιάστηκε από την σημαντικότητα του ορισμού στα μαθηματικά. Οτιδήποτε κρύβεται πίσω από έναν ορισμό είναι μια Πλατωνική “Ιδέα” (φόρμα), ο κοινός χαρακτήρας παρουσιάζεται σε διάφορα συγκεκριμένα πράγματα. Έτσι, ο ορισμός αντικατοπτρίζει το απόλυτο αντικείμενο της κατανόησής μας και είναι θεμέλιο κάθε έγκυρου συμπερασμού. Αυτό είχε μεγάλη επιρροή στον Αριστοτέλη, και ιδίως στην αντίληψη του Αριστοτέλη για την ουσία ενός πράγματος.
Η Λογική του Αριστοτέλη
Κύριο λήμμα: Όργανον
Η Λογική του Αριστοτέλη και ιδιαίτερα η θεωρία του για το συλλογισμό, είχε τεράστια επιρροή στη δυτική σκέψη. Τα έργα λογικής, που ονομάζονται ως σύνολο Το Όργανον, είναι η πρώτη τυπική μελέτη της Λογικής που έχει βρεθεί. Αν και είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις ημερομηνίες, η πιθανή σειρά της γραφής των λογικών έργων του Αριστοτέλη είναι:
Κατηγορίες, μια μελέτη για τις δέκα κατηγορίες που χαρακτηρίζουν τα όντα του αισθητού κόσμου
Τοπικά (με ένα παράρτημα του που ονομάζεται Περί των Σοφιστικών ελέγχων), μια συζήτηση της διαλεκτικής
Περί ερμηνείας, μια ανάλυση απλών κατηγορηματικών προτάσεων, σε απλούς όρους, άρνηση, και ενδείξεις ποσότητας, καθώς και μια ολοκληρωμένη αντιμετώπιση των εννοιών της αντίθεσης και μετατροπής. Το 7ο κεφάλαιο είναι η προέλευση του “τετραγώνου αντίθεσης” (ή λογικού τετραγώνου). Το 9ο κεφάλαιο περιέχει τις απαρχές της τροπικής λογικής.
Αναλυτικά Πρότερα, μια τυπική ανάλυση του έγκυρου επιχειρήματος ή “συλλογισμού”
Αναλυτικά Ύστερα, μια μελέτη της επιστημονικής απόδειξης, που περιέχει τις ώριμες απόψεις του Αριστοτέλη στη λογική.
Τα έργα αυτά είναι εξαιρετικής σημασίας για την ιστορία της λογικής. Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος επιστήμονας της λογικής που επιχείρησε μια συστηματική ανάλυση της λογικής σύνταξης, σε ουσιαστικό και ρήμα. Στις Κατηγορίες αποπειράθηκε σε όλα τα πράγματα που ένα ουσιαστικό μπορεί να αναφέρεται. Αυτή η ιδέα αποτελεί τη βάση του φιλοσοφικού του έργου, τα Μεταφυσικά, τα οποία είχαν επίσης βαθιά επίδραση στη Δυτική σκέψη. Ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τις αρχές της αντίφασης και αποκλεισμένης μέσης με συστηματικό τρόπο. Υπήρξε ο πρώτος επιστήμονας της τυπικής λογικής (δηλαδή έδωσε τις αρχές της συλλογιστικής που χρησιμοποιεί μεταβλητές για να δείξει την υποκείμενη λογική μορφή των επιχειρημάτων).
Ερευνούσε για τις σχέσεις εξάρτησης που χαρακτηρίζουν αναγκαστικά το συμπέρασμα, και διέκρινε την εγκυρότητα αυτών των σχέσεων, από την αλήθεια των προκείμενων (η αξιοπιστία του επιχειρήματος). Τα Αναλυτικά Πρότερα αποτελούν το εγχειρίδιο της συλλογιστικής, όπου τρεις σημαντικές αρχές εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία: η χρήση των μεταβλητών, μια καθαρά τυπική αντιμετώπιση και τη χρήση ενός αξιωματικού συστήματος. Στα Τοπικά και Περί των Σοφιστικών ελέγχων ανέπτυξε επίσης μια θεωρία μη-τυπικής λογικής (π.χ. θεωρία των πλανών).
Στωική Λογική
Το άλλο μεγάλο σχολείο της ελληνικής λογικής είναι αυτό των Στωικών. Η Στωική λογική έχει τις ρίζες της πίσω στα τέλη του 5ου αιώνα π.κ.ε. στον φιλόσοφο Ευκλείδη από τα Μέγαρα, μαθητή του Σωκράτη και λίγο μεγαλύτερη ηλικίας σύγχρονος του Πλάτωνα. Οι μαθητές και οι διάδοχοί του ονομάστηκαν “Μεγαρείς”, ή “Εριστικοί”, ενώ αργότερα “οι Διαλεκτικοί”. Οι δύο πιο σημαντικοί διαλεκτικοί της σχολής των Μεγάρων ήταν ο Διόδωρος Κρόνος και ο Φίλων που έδρασαν στα τέλη του 4ου αιώνα π.κ.ε. Οι Στωικοί υιοθέτησαν την Μεγαρική λογική και τη συστηματοποίησαν.
Το πιο σημαντικό μέλος της σχολής ήταν ο Χρύσιππος, ο οποίος ήταν ο τρίτος κατά σειρά επικεφαλής της σχολής, και ο οποίος τυποποίησε μεγάλο μέρος της στωικής θεωρίας. Υπάρχει η υπόθεση ότι έχει γράψει πάνω από 700 έργα, συμπεριλαμβανομένων τουλάχιστον 300 στη Λογική, ενώ σχεδόν κανένα δε σώζεται. Σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη, δεν έχουμε ολοκληρωμένα έργα από του Μεγαρείς ή τους πρώιμους Στωικούς και πρέπει να βασιζόμαστε σε αναφορές (μερικές φορές εχθρικές) από μεταγενέστερες πηγές, όπως είναι εμφανώς ο Διογένης ο Λαέρτιος, ο Σέξτος ο Εμπειρικός, ο Γαληνός, ο Αύλος Γέλλιος, ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς και ο Κικέρων.
Τρεις σημαντικές συνεισφορές της στωικής σχολής ήταν (1) η αναφορά στην τροπικότητα, (2) η θεωρία της συνεπαγωγής, και (3) η αναφορά στο νόημα και την αλήθεια.
Τροπικότητα. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, οι Μεγαρείς της εποχής του ισχυρίστηκαν ότι δεν υπήρχε διάκριση μεταξύ δυνατότητας και πραγματικότητας. Ο Διόδωρος Κρόνος ορίζει το δυνατόν ως αυτό που είτε είναι είτε θα είναι, το αδύνατο ως αυτό που δεν είναι αλήθεια και το απρόοπτο ως αυτό που είτε είναι ήδη, είτε θα είναι ψευδές. Ο Διόδωρος είναι επίσης γνωστός για το λεγόμενο master argument, όπου οι τρεις προτάσεις “ότι είναι παρελθόν, είναι αλήθεια και αναγκαίο”, “το αδύνατο δεν απορρέει από το δυνατό” και “Ότι ούτε είναι, ούτε θα γίνει, είναι πιθανό” είναι ασυνεπείς. Ο Διόδωρος χρησιμοποίησε την αληθοφάνεια των πρώτων δύο προτάσεων για να αποδείξει ότι τίποτα δεν είναι δυνατό αν δεν είναι ή δεν θα γίνει αληθινό. Ο Χρύσιππος, αντιθέτως, αρνήθηκε την δεύτερη υπόθεση και είπε ότι το αδύνατο μπορεί να προκύψει από το δυνατό.
Συνεπαγωγή. Οι πρώτοι επιστήμονες της λογικής που ασχολήθηκαν την συνεπαγωγή ήταν ο Διόδωρος ο Μεγαρεύς και ο μαθητής του, Φίλωνας των Μεγάρων. Ο Φίλωνας υποστήριξε ότι μια πραγματική υπόθεση (conditional) είναι αυτή που δεν ξεκινά με την αλήθεια και τελειώνει με ένα ψέμα, όπως “αν αυτή είναι μέρα, τότε μιλάω”. Αλλά ο Διόδωρος υποστήριξε ότι μια πραγματική υπόθεση είναι αυτό που δεν θα μπορούσε ενδεχομένως να ξεκινήσει με μια αλήθεια και να τελειώσει με ένα ψέμα – έτσι η υπόθεση που αναφέρεται παραπάνω θα μπορούσε να είναι ψευδή αν ήταν μέρα και γινόμουν σιωπηλός. Το κριτήριο του Φίλωνα για την αλήθεια είναι αυτό που αποκαλείται truth-functional (αληθο-συνάρτηση, ορίζεται σε αληθινές προτάσεις) ορισμός του “αν … τότε” (if…then). Σε μια δεύτερη αναφορά, ο Σέξτος λέει “Σύμφωνα με τον ίδιο, υπάρχουν τρεις τρόποι με τους οποίους μια υπόθεση μπορεί να είναι αλήθεια, και ένας με τον οποίο μια υπόθεση μπορεί να είναι ψευδής”.
Νόημα και αλήθεια. Η πιο σημαντική και χαρακτηριστική διαφορά της Μεγαρικής-Στωικής λογικής με την αριστοτελική λογική είναι ότι αφορά προτάσεις, όχι ουσιαστικά, και είναι πιο κοντά στην σύγχρονη προτασιακή λογική. Οι Στωικοί διέκριναν την φωνή, τη λέξη (το οποίο είναι ευκρινές αλλά μπορεί να υπάρχει χωρίς νόημα) και τον διάλογο (η μεστή νοήματος εκστόμιση). Το πιο πρωτότυπο μέρος της θεωρίας τους είναι η ιδέα ότι κάθε τι που εκφράζεται από μια φράση, το λεκτόν, είναι κάτι πραγματικό. Αυτό αντιστοιχεί σε αυτό που καλείται τώρα πρόταση. Ο Σέξτος λέει ότι σύμφωνα με τους Στωικούς, τρία πράγματα συνδέονται μεταξύ τους, αυτό που σημαίνεται (signified), αυτό που σημαίνει (signifies) και το αντικείμενο. Για παράδειγμα, αυτό που σημαίνει είναι η λέξη Δίον, αυτό που σημαίνεται (αυτό που υποδηλώνει) είναι αυτό που κατανοούν οι Έλληνες αλλά όχι οι βάρβαροι, και το αντικείμενο είναι το Δίον το ίδιο.
Μεσαιωνική λογική
Η λογική στη Μέση Ανατολή
Κύριο λήμμα: Αβικεννισμός
Τα έργα των Αλ-Κίντι, Αλ-Φαράμπι, Αλ-Γκαζαλί, Αβερρόη και άλλων μουσουλμάνων επιστημόνων της λογικής βασίστηκαν στην αριστοτελική λογική και ήταν σημαντικά για τη διάδοση των ιδεών του αρχαίου κόσμου στη μεσαιωνική Δύση. Ο Αλ-Φαράμπι (873-950) ήταν ένας επιστήμονας της αριστοτελικής λογικής ο οποίος συζήτησε τα θέματα των μελλοντικών ενδεχόμενων (future contingents), τον αριθμό και τη σχέση των κατηγοριών, τη σχέση μεταξύ λογικής και γραμματικής και μη αριστοτελικές τύποι (forms) συμπερασμού. Ο Αλ-Φαραμπί ακομα θεώρησε επίσης τις θεωρίες των υποθετικών συλλογισμών και του αναλογικού συμπερασμού, το οποίο ήταν μέρος της στωικής παράδοσης της λογικής και όχι της αριστοτελικής.
Ο Ιμπν Σίνα (Αβικέννας) (980-1037) ήταν ιδρυτής της αβικεννικής λογικής, η οποία αντικατέστησε την αριστοτελική λογική ως το κυρίαρχο σύστημα λογικής στον ισλαμικό κόσμο, και είχε επίσης μια σημαντική επιρροή στην δυτικούς μεσαιωνικούς συγγραφείς, όπως ο Αλμπέρτους Μάγκνους. Ο Αβικέννας έγραψε στον υποθετικό συλλογισμό και στο προτασιακό λογισμό, που ήταν και οι δύο τμήματα της στωικής παράδοσης στη λογική. Ανέπτυξε μια πρωτότυπη θεωρία, της “χρονικώς τροπικής” συλλογιστικής και έκανε χρήση της επαγωγικής λογικής, όπως οι μέθοδοι του Μιλλ οι οποίοι ήταν καίριας σημασίας για την επιστημονική μέθοδο.
Μια από τις ιδέες του Αβικέννα είχε ιδιαίτερα σημαντική επίδραση στους δυτικούς επιστήμονες της λογικής όπως είναι ο Ουίλιαμ του Όκαμ. Η λέξη του Αβικέννα για την σημασία ή έννοια (ma’na), μεταφράστηκε από τους σχολαστικούς λογικιστές στα λατινικά ως intentio. Στην μεσαιωνική λογική και επιστημολογία, αυτό είναι ένα σημάδι στο μυαλό που αποτελεί με φυσικό τρόπο ένα πράγμα. Ήταν ζωτικής σημασίας για την ανάπτυξη του κονσεπτουαλισμού του Όκαμ. Ένας καθολικός όρος (π.χ. “άνθρωπος”) δεν σημαίνει ένα πράγμα που υπάρχει στην πραγματικότητα, αλλά μάλλον ένα σημάδι στο μυαλό (intentio in intellectu) που αντιπροσωπεύει πολλά πράγματα στην πραγματικότητα. Ο Όκαμ επικαλείται τον σχολιασμό του Αβικέννα στο έργο του Metaphysics V υπέρ της δικής του άποψης.
Ο Φαχρουντίν Ραζί επέκρινε την “πρώτη εικόνα” του Αριστοτέλη και διατύπωσε ένα από τα πρώτα συστήματα επαγωγικής λογικής, προαναγγέλλοντας το σύστημα που αναπτύχθηκε από τον Τζον Στιούαρτ Μιλλ (1806-1873). Το έργο του Αλ-Ράζι θεωρήθηκε από τους μεταγενέστερους μελετητές του Ισλάμ ως μια νέα κατεύθυνση για την ισλαμική λογική, προς μια μετα-αβικεννική λογική. Αυτό το σύστημα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον μαθητή του Afdaladdîn al-Khûnajî (πέθ. 1249), ο οποίος ανέπτυξε μια μορφή της λογικής που περιτρέφεται γύρω από το αντικείμενο της αιτίας των conceptions (στη μεταφυσική φιλοσοφία) και assents. Σε απάντηση σε αυτή την παράδοση, ο Αλ-Τούσι (1201-1274) ξεκίνησε μια παράδοση της νεο-αβικεννικής λογικής που παρέμεινε πιστή στο έργο του Αβικέννα και υπήρξε ως εναλλακτική λύση για την πιο κυρίαρχη μετα-αβικεννική σχολή κατά τη διάρκεια των επόμενων αιώνων.
Η πεφωτισμένη σχολή (illuminationist), που ιδρύθηκε από τον Shahab al-Din Suhrawardi (1151-1191), ο οποίος ανέπτυξε την ιδέα της “καθοριστικής αναγκαιότητας”, η οποία αναφαίρεται στην μείωση των λειτουργιών (αναγκαιότητα, δυνατότητα, συγκυρία και ανέφικτο) σε μία ενιαία λειτουργία της αναγκαιότητας. Ο Αλ-Ναφίς έγραψε ένα βιβλίο στη αβικεννική λογική, το οποίο ήταν σχολιασμός του έργου Al-Isharat (Τα σημάδια) και έργου Al-Hidayah (Η καθοδήγηση) του Αβικέννα. Ο Ibn Taymiyyah (1263-1328) έγραψε το Ar-Radd ‘ala al-Mantiqiyyin, όπου αντιτάχθηκε της χρησιμότητας, αλλά όχι του κύρους, του συλλογισμού και τάχθηκε υπέρ του επαγωγικού συλλογισμού.
Ο Ibn Taymiyyah επίσης αντιτάχθηκε της βεβαιότητας των συλλογιστικών επιχειρημάτων και τάχθηκε υπέρ της αναλογίας. Το επιχείρημα του είναι ότι οι έννοιες που στηρίχθηκαν στην επαγωγή είναι οι ίδιες όχι βέβαιες αλλά μόνο πιθανές, και, συνεπώς, ένας συλλογισμός που βασίζεται σε τέτοιες έννοιες δεν είναι πιο βέβαιος από ένα επιχείρημα που βασίζεται στην αναλογία. Ισχυρίστηκε επίσης ότι η επαγωγή εδράζεται η ίδια στη διαδικασία της αναλογίας. Το πρότυπο του αναλογικού συλλογισμού βασίστηκε σε αυτό των νομικών επιχειρημάτων. Αυτό το μοντέλο έχει χρησιμοποιηθεί στο πρόσφατο έργο του Τζον Σόβα.
Το Sharh al-takmil fi’l-mantiq, που γράφτηκε από τον Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani τον 15ο αιώνα, είναι το τελευταίο μεγάλο Αραβικό έργο στη λογική που μελετήθηκε. Ωστόσο, “χιλιάδες πάνω σε χιλιάδες σελίδες” στη λογική γράφτηκαν μεταξύ του 14ου και 19ου αιώνα, αν και μόνο ένα μικρό ποσοστό των κειμένων που γράφτηκαν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου έχουν μελετηθεί από τους ιστορικούς και, ως εκ τούτου, πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με το πρωτότυπο έργο για την ισλαμική λογική που παράχθηκε αυτή την ύστερη περίοδο.
Η Λογική στην Μεσαιωνική Ευρώπη
Κύριο λήμμα: Αριστοτελική λογική
Η “μεσαιωνική λογική” (επίσης γνωστή ως “σχολαστική λογική”) σημαίνει γενικά τη μορφή της αριστοτελικής λογικής που αναπτύχθηκε στη μεσαιωνική Ευρώπη καθ’ όλη τη διάρκεια της περιόδου 1200-1600. Για αιώνες μετά την διατύπωση της στωικής λογικής, αυτό ήταν το κυρίαρχο σύστημα λογικής στον κλασσικό κόσμο. Όταν η μελέτη της λογικής συνεχίστηκε μετά το Μεσαίωνα, η κύρια πηγή ήταν το έργο του χριστιανικού φιλόσοφου Βοήθιος, ο οποίος ήταν εξοικειωμένος με μερικά στοιχεία της αριστοτελικής λογικής, αλλά με κανένα έργο των Στωικών.
Μέχρι το δωδέκατο αιώνα, τα μόνα έργα του Αριστοτέλη που ήταν διαθέσιμα στη Δύση ήταν τα Κατηγορίαι, Περί ερμηνείας και η μετάφραση του Βοήθιου της Εισαγωγή του Πορφυρίου (ένα σχολιασμός στο έργο Κατηγορίαι). Τα έργα αυτά ήταν γνωστά ως η “Παλαιά Λογική” (Logica Vetus ή Ars Vetus). Ένα σημαντικό έργο σε αυτήν την παράδοση ήταν το Logica Ingredientibus του Πέτρου Αβελάρδου (1079-1142). Η άμεση επιρροή που άσκησε ήταν μικρή, αλλά η επιρροή μέσα από τους μαθητές όπως ήταν ο Τζον του Σαλίσμπουρι (John of Salusbury) ήταν μεγάλη, και η μέθοδος εφαρμογής αυστηρής λογικής ανάλυσης στη θεολογία άνοιξε τον δρόμο να αναπτυχθεί η θεολογική κριτική κατά την περίοδο που ακολούθησε.
Μέχρι τις αρχές του 13ου αιώνα τα υπόλοιπα έργα του Όργανον του Αριστοτέλη (συμπεριλαμβανομένων των Αναλυτικά Πρότερα, Αναλυτικά Ύστερα και Περί των Σοφιστικών ελέγχων) είχαν ανακτηθεί στη Δύση και αναβιώσει από τον Θωμά Ακινάτη. Η εργασία στη Λογική μέχρι τότε ήταν ως επί το πλείστον παράφραση ή σχολιασμός σχετικά με το έργο του Αριστοτέλη. Τη περίοδο από τα μέσα του 13ου αιώνα έως τα μέσα του 14ου αιώνα υπήρξε σημαντική ανάπτυξη της λογικής, ιδίως σε τρεις τομείς που ήταν πρωτότυποι, με μικρή περαιτέρω ανάπτυξη της αριστοτελικής παράδοσης που ήρθε πριν. Αυτοί οι τομείς ήταν:
Η θεωρία της υπόθεσης. Η θεωρία της υπόθεσης ασχολείται με τον τρόπο που τα κατηγορήματα (π.χ. “άνθρωπος”) εκτείνονται σε ένα πεδίο από μεμονωμένα άτομα (individuals) (π.χ. όλοι οι άνθρωποι). Στη πρόταση «κάθε άνθρωπος είναι ένα ζώο», ο όρος “άνθρωπος” εκτείνεται ή τα άτομα – φιλοσοφικά ως ουσία ή αντικείμενα (supposit) – άνθρωποι υφίστανται στο παρόν; Ή μήπως το φάσμα περιλαμβάνει τους ανθρώπους του παρελθόντος και του μέλλοντος; Μπορεί ένας όρος να είναι supposit για μη υπαρκτά άτομα (individuals); Μερικοί μεσαιωνιστές έχουν υποστηρίξει ότι η ιδέα αυτή ήταν ο πρόδρομος της λογικής πρώτης τάξης. “Η θεωρία της υπόθεσης με τις σχετικές θεωρίες του copulatio ( συμβολισμός-χωρητικότητα των επιθετικών προσδιορισμών), του ampliation (διεύρυνση του αναφορικού τομέα), και distributio constitute ένα από τα πιο πρωτότυπα επιτεύγματα της Δυτικής μεσαιωνικής λογικής”.
Η θεωρία των συγκατηγορημάτων. Τα συγκατηγορήματα είναι όροι απαραίτητοι για τη λογική, τα οποία όμως, σε αντίθεση με του κατηγορηματικούς όρους, δεν σημαίνουν ονόματί τους, αλλά “συν-σημαίνουν” με άλλες λέξεις. Παραδείγματα συγκατηγορημάτων είναι τα “και”, “δεν”, “κάθε”, “εάν” και ούτω καθεξής.
Η θεωρία των λογικών συνεπειών ή των συνεπαγωγών. Μια συνεπαγωγή είναι μια υποθετική, δυνητική πρόταση: δύο προτάσεις συνδέονται από τη διάταξη “αν…τότε”. Για παράδειγμα, «αν ένας άνθρωπος τρέχει, τότε ο θεός υπάρχει» (Si homo currit, Deus est). Μια πλήρως ανεπτυγμένη θεωρία των λογικών συνεπειών δίνεται στο τρίτο βιβλίο του έργου Summa Logicae του Ουίλιαμ του Όκαμ. Εκεί ο Όκαμ διακρίνει μεταξύ των “αιτιατών” και “τυπικών” λογικών συνεπειών, που είναι περίπου ισοδύναμες με την αιτιατή συνεπαγωγή και τη λογική συνεπαγωγή αντίστοιχα. Παρόμοιες αναφορές δίνονται από τους Ζαν Μπουριντάν και Αλβέρτο της Σαξωνίας.
Τα τελευταία μεγάλα έργα αυτής της παράδοσης είναι τα Logic του Τζον Πόινσοτ (1589-1644, γνωστός ως Τζον του Αγίου Θωμά), Metaphysical Disputations του Φρανσίσκο Σουάρες (1548-1617), και Logica Demonstrativa του Τζοβάνι Τζιρόλαμο Σακέρι (1667-1733).
Η άνοδος της σύγχρονης λογικής
Το χρονικό διάστημα μεταξύ 14ου αιώνα μ.κ.ε. – αρχές 19ου αιώνα μ.κ.ε. ήταν σε μεγάλο βαθμό παρακμής και παραμέλησης της λογικής, και θεωρείται γενικά ως άγονο από τους ιστορικούς της λογικής. Η αναβίωση της λογικής συνέβη στα μέσα του 19ου αιώνα, κατά την αρχή μιας επαναστατικής περιόδου όπου το θέμα εξελίχθηκε σε έναν αυστηρό και τυπολατρικό επιστημονικό τομέα του οποίου υπόδειγμα ήταν η ακριβής μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά. Η ανάπτυξη της σύγχρονης “συμβολικής” ή “μαθηματικής” λογικής κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η πιο σημαντική στα 2000 έτη της λογικής, και είναι αναμφισβήτητα ένα από τα πιο σημαντικά και αξιοσημείωτα γεγονότα στην ανθρώπινη ιστορία της διανόησης.
Περίοδοι της Σύγχρονης Λογικής
Η ανάπτυξη της Σύγχρονης Λογικής εμπίπτει σε (περίπου) πέντε περιόδους:
Η εμβρυϊκή περίοδος από τον Λάιμπνιτς το 1847, όταν η έννοια του λογικού λογισμού συζητήθηκε και αναπτύχθηκε, κυρίως από τον ίδιο, χωρίς να σχηματίσει σχολές, και περιοδικά μεμονομένες προσπάθειες εγκαταλείφθηκαν ή πέρασαν απαρατήρητες.
Η αλγεβρική περίοδος από την ανάλυση του Μπουλ στις διαλέξεις (Vorlesungen) του Ερνστ Σρέντερ. Αυτή την περίοδο υπήρχαν περισσότεροι ασκούμενοι, καθώ και μια μεγαλύτερη συνέχεια της ανάπτυξης της λογικής.
Η λογικιστική περίοδος από το έργο Begriffsschrift του Φρέγκε στο Principia Mathematica των Ράσελ και Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ. Αυτή τη περίοδο κυριαρχούσε η “λογικιστική σχολή”, στόχος της οποίας ήταν να ενσωματώσει τη λογική όλου του μαθηματικού και επιστημονικού λόγου σε ένα ενιαίο σύστημα, και το οποίο, έχοντας ως βασική αρχή ότι όλες οι μαθηματικές αλήθειες είναι λογικές, δεν θα δεχόταν οποιαδήποτε μη-λογική ορολογία. Οι μεγάλοι λογικιστικοί ήταν ο Φρέγκε, ο Ράσελ και, στις αρχές του, ο Βίτγκενσταϊν. Το αποκορύφωμα αυτής της εποχής ήταν το Principia, ένα σημαντικό έργο που περιλαμβάνει μια διεξοδική εξέταση και λύση των αντινομιών που είχαν αποτελέσει εμπόδιο στην προηγούμενη περίοδο.
Η μεταμαθηματική περίοδος (ή αλλιώς φορμαλιστική περίοδος) από το 1910 έως τη δεκαετία του 1930, η οποία είδε την ανάπτυξη της μεταλογική, στο πεπερασμένο σύστημα του Χίλμπερτ, και του μη-πεπερασμένου συστήματος του Löwenheim και Skolem, και το συνδυασμό της λογικής με την μεταλογική στο έργο του Γκέντελ και του Τάρσκι. Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ του 1931 ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στην ιστορία της λογική. Αργότερα, στη δεκαετία του 1930, ο Γκέντελ ανέπτυξε την έννοια της συνολο-θεωρητικής κατασκευασιμότητας.
Η περίοδος μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, όταν η μαθηματική λογική χωρίστηκε σε τέσσερις αλληλένδετες αλλά ξεχωριστές περιοχές της έρευνας: θεωρία μοντέλων, θεωρία αποδείξεων, θεωρία υπολογισμού και θεωρία συνόλων, και οι ιδέες και μέθοδοι της άρχισαν να επηρεάζουν τη φιλοσοφία.
Θέματα στη λογική
Συλλογιστική λογική
Κύριο λήμμα: Αριστοτελική λογική
Το Όργανον ήταν ο κορμός του έργου του Αριστοτέλη σχετικά με τη λογική, μαζί με τα Αναλυτικά πρότερα που αποτελεί το πρώτη εργασία στην τυπική λογική, εισάγοντας τη συλλογιστική λογική. Τα μέρη της συλλογιστικής λογικής, γνωστή και από το όνομα όρος λογική, είναι η ανάλυση των κρίσεων σε προτάσεις που αποτελούνται από δύο όρους που συνδέονται με μία από έναν σταθερό αριθμό σχέσεων, καθώς και την έκφραση των συμπερασμάτων μέσω των συλλογισμών που αποτελούνται από δύο προτάσεις που μοιράζονται έναν κοινό όρο ως αρχή, και ένα συμπέρασμα το οποίο είναι μια πρόταση με τη συμμετοχή των δύο μη συνδεδεμένων όρων από τις προκείμενες.
Το έργο του Αριστοτέλη θεωρήθηκε κατά την κλασσική αρχαιότητα και από τον μεσαίωνα στην Ευρώπη και τη Μέση Ανατολή ως την ίδια την εικόνα ενός πλήρως εκπονημένου συστήματος. Ωστόσο, δεν ήταν μόνο του: οι Στωικοί πρότειναν ένα σύστημα προτασιακής λογικής το οποίο μελετήθηκε από μεσαιωνικούς επιστήμονες της λογικής. Επίσης, το πρόβλημα των πολλαπλών μεταβλητών αναγνωρίστηκε στη μεσαιωνική εποχή. Παρ’ όλα αυτά, τα προβλήματα της συλλογιστικής λογικής δεν θεωρείται ότι χρήζουν επαναστατικών λύσεων.
Σήμερα, ορισμένοι ακαδημαϊκοί υποστηρίζουν ότι το σύστημα του Αριστοτέλη γενικά θεωρείται ότι έχει λίγο περισσότερο από ιστορική αξία (αν υπάρχει κάποιο σημερινό ενδιαφέρον για την επέκταση των όρων της λογικής), και ότι θα καταστεί παρωχημένη από την έλευση της προτασιακής λογικής και του κατηγορηματικού λογισμού. Άλλοι χρησιμοποιούν τον Αριστοτέλη στη θεωρία επιχειρηματολογίας για να βοηθήσουν στην ανάπτυξη και κριτική αμφισβήτηση επιχειρηματολογικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην τεχνητή νοημοσύνη και στα νομικά επιχειρήματα.
Προτασιακή λογική
Ένας προτασιακός λογισμός ή λογική είναι ένα τυπικό σύστημα στο οποίο οι τύποι που αναπαριστάνουν προτάσεις μπορούν να σχηματίζονται με το συνδυασμό ατομικών προτάσεων χρησιμοποιώντας λογικούς συνδέσμους, και στον οποίο ένα σύστημα τυπικών κανόνων αποδείξεως επιτρέπει σε ορισμένους τύπους να καθιερόνονται ως «θεωρήματα».
Κατηγορηματική λογική
Κατηγορηματική λογική είναι ο γενικός όρος για τα συμβολικά τυπικά συστήματα, όπως η πρώτης τάξης λογική, η δεύτερης τάξης λογική, η πολυτυπική λογική και η λογική infinitary (ή άπειρη λογική, έσχατη λογική). Η κατηγορηματική λογική παρέχει έναν απολογισμό από ποσοδείκτες αρκετά γενικούς ώστε να εκφράσουν ένα ευρύ σύνολο από επιχειρήματα που εμφανίζονται στη φυσική γλώσσα. Η αριστοτελική συλλογιστική λογική καθορίζει ένα μικρό αριθμό από τους τύπους των οποίων το αντίστοιχο τμήμα των εμπλεκόμενων κρίσεων μπορεί να λάβει. Η κατηγορηματική λογική επιτρέπει φράσεις να αναλυθούν στο θέμα και στο επιχείρημα με διάφορους εναλλακτικούς τρόπους, και έτσι επιτρέπει να λύσει το πρόβλημα των πολλαπλών γενικοτήτων που είχε φέρει σε αμηχανία του μεσαιωνικούς επιστήμονες της λογικής.
Η ανάπτυξη της κατηγορηματικής λογικής συνήθως αποδίδεται στον Φρέγκε, ο οποίος επίσης καταλογίζεται ως ένας από τους θεμελιωτές της αναλυτικής φιλοσοφίας, αλλά η κατηγορηματική λογική που χρησιμοποιείται πιο συχνά σήμερα είναι η πρώτης τάξεως λογική που παρουσιάστηκε στο Αρχές της μαθηματικής λογικής (Principles of mathematical logic) από τους Ντέιβιντ Χίλμπερτ και Βίλχεμ Άκερμαν το 1928. Η αναλυτική γενικότητα της κατηγορηματικής λογικής επέτρεψε την τυποποίηση των μαθηματικών, οδηγώντας στην έρευνα της θεωρία των συνόλων, και την ανάπτυξη της θεωρίας μοντέλων του Άλφρεντ Τάρσκι. Παρέχει τα θεμέλια της σύγχρονης μαθηματικής λογικής. Το αρχικό σύστημα της κατηγορηματικής λογικής του Φρέγκε ήταν δεύτερης τάξης κι όχι πρώτης τάξης. Τη δεύτερης τάξης λογική εμφανώς υπερασπίστηκαν, έναντι της κριτικής του Ουίλαρντ Φαν Όρμαν Κουίν και άλλων, οι Τζορτζ Μπόολος και Στιούαρτ Σαπίρο.
Τροπική λογική
Στις γλώσσες, η τροπικότητα ασχολείται με το φαινόμενο όπου τα επιμέρους τμήματα μιας πρότασης μπορούν να έχουν δική τους σημασιολογία διαμορφωμένες από ειδικά ρήματα ή τροπικά υποτμήματα. Για παράδειγμα, η πρόταση «Πάμε στους αγώνες» μπορεί να τροποποιηθεί «Πρέπει να πάμε στους αγώνες», «Μπορούμε να πάμε στους αγώνες» και ίσως «Θα πάμε στους αγώνες». Πιο αφηρημένα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η τροπικότητα επηρεάζει τις συνθήκες υπό τις οποίες παίρνουμε έναν ισχυρισμό που πρέπει πληρείται.
Η λογική του Αριστοτέλη, κατά ένα μεγάλο μέρος, ασχολείται με τη θεωρία της μη τροποποιημένης λογική. Παρ’ όλα αυτά, υπάρχουν αποσπάσματα στο έργο του, όπως το περίφημο επιχείρημα στο Περί ερμηνείας § 9, που σήμερα θεωρούνται προφητικά της τροπικής λογικής και η σύνδεσή της με την δυναμικότητα και το χρόνο, το παλαιότερο τυπικό σύστημα της τροπικής λογικής αναπτύχθηκε από τον Αβικέννα, τον οποίο ανέπτυξε τελικώς μια θεωρία «χρονικώς τροποποιημένης» συλλογιστικής.
Αν και η μελέτη της της ανάγκης και πιθανότητας παρέμεινα σημαντική για τους φιλόσοφους, μικρή ανάπτυξη γνώρισε οι καινοτομίες στη λογική μέχρι τις έρευνες-ορόσημο του Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις το έτος 1918, ο οποίος διατύπωσε μια οικογένεια από αντίπαλους αξιωματισμούς των alethic τρόπων. Το έργο εξαπέλυσε έναν χείμαρρο από εργασίες σχετικά με το θέμα, επεκτείνοντας τα είδη των τροπικοτήτων έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνουν τη δεοντική λογική και την επιστημολογική λογική. Η δημιουργική εργασία του Άρθουρ Πριόρ εφήρμοσε την ίδια τυπική γλώσσα για την αντιμετώπιση της χρονικής λογικής και άνοιξε το δρόμο για το “γάμο” των δύο θεμάτων. Ο Σάουλ Κρίπκε ανακάλυψε (ταυτόχρονα με τους αντιπάλους) τη θεωρία της πλαίσιο-σημασιολογίας, η οποία διέθεσε την τυπική τεχνολογία στους επιστήμονες της τροπικής λογικής και έδωσε έναν νέο γραφο-θεωρητικό τρόπο θεώρησης στην τροπικότητα που έχει οδηγήσει σε πολλές εφαρμογές στην υπολογιστική γλωσσολογία και την επιστήμη των υπολογιστών, όπως η δυναμική λογική (ή αλλιώς χρονομετρημένη λογική).
Άτυπη λογική
Το κίνητρο για τη μελέτη της λογικής στην αρχαιότητα ήταν σαφές: ότι είναι έτσι ώστε να μπορείς κανείς να μάθει να διακρίνει τα καλά από τα κακά επιχειρήματα, και έτσι να γίνει πιο αποτελεσματικός στην επιχειρηματολογία και στη ρητορική, ίσως και να γίνει καλύτερος άνθρωπος. Τα μισά από τα έργα του Όργανον του Αριστοτέλη αντιμετωπίζει το συμπερασμό όπως εμφανίζεται σε ένα άτυπο πλαίσιο, πλάι-πλάι με την ανάπτυξη της συλλογιστικής, και στο αριστοτελικό σχολείο, οι εργασίες πάνω στην άτυπη λογική θεωρούνταν ως συμπληρωματικές στη ρητορική διδασκαλία του Αριστοτέλη.
Αυτό το αρχαίο κίνητρο παραμένει ζωντανό, αν και πλέον δεν είναι στο επίκεντρο της λογικής. Τυπικώς η διαλεκτική λογική θα σχηματίσει τον πυρήνα ενός μαθήματος στην κριτική σκέψη, ένα υποχρεωτικό μάθημα σε πολλά πανεπιστήμια. Η θεωρία της επιχειρηματολογίας είναι η μελέτη και η έρευνα της άτυπης λογικής, των λογικών πλανών και των κρίσιμων ερωτημάτων που σχετίζονται με την καθημερινότητα και πρακτικές καταστάσεις. Συγκεκριμένοι τύποι του διαλόγου μπορούν αναλυθούν και να αμφισβητηθούν για να αποκαλύψουν προκείμενες, συμπεράσματα και πλάνες. Η θεωρία της επιχειρηματολογίας εφαρμόζεται στην τεχνητή νοημοσύνη και το δίκαιο.
Επιχείρημα
Στη λογική και τη φιλοσοφία, το επιχείρημα είναι μια προσπάθεια να πείσει κάποιον για κάτι, δίνοντας τους λόγους για να αποδεχθεί ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα όπως προκύπτει. Η γενική δομή ενός επιχειρήματος σε μια φυσική γλώσσα είναι εκείνη των προκείμενων (συνήθως σε μορφή θεωρημάτων, δηλώσεων ή προτάσεων) υπέρ του ισχυρισμού: του συμπεράσματος. Η δομή ορισμένων επιχειρημάτων μπορεί επίσης να καθοριστεί σε μια τυπική γλώσσα, και τα τυπικώς ορισμένα “επιχειρήματα” μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα από τα επιχειρήματα των φυσικών γλωσσών, όπως στη λογική, τα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών.
Σε ένα τυπικό παραγωγικό (ή απαγωγικό) επιχείρημα, οι προκείμενες χρησιμοποιούνται για να δώσουν εγγύηση από την αλήθεια του συμπεράσματος, ενώ σε ένα επαγωγικό επιχείρημα, θεωρούνται ότι δίνουν τους λόγους που αιτιολογούν (συνηγορούν) τη πιθανή αλήθεια του συμπεράσματος. Τα πρότυπα για την αξιολόγηση των μη παραγωγικών επιχειρημάτων μπορούν να σε διαφορετικά ή πρόσθετα κριτήρια από την αλήθεια, για παράδειγμα, η πειστικότητα των λεγόμενων “αναγκαίων ισχυρισμών” σε υπερβατικά επιχειρήματα, η ποιότητα των υποθέσεων στον υποθετικό-παραγωγικό συλλογισμό (retroduction), ή ακόμη και η γνωστοποίηση νέων δυνατοτήτων στη σκέψη και δράση.
Τα πρότυπα και τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται στην αξιολόγηση των επιχειρημάτων και των μορφών του συλλογισμού τους μελετήθηκαν στη λογική. Ακόμη, έχουν μελετηθεί αποτελεσματικοί τρόποι διατύπωσης επιχειρημάτων (θεωρία επιχειρημάτων). Ένα επιχείρημα σε μια τυπική γλώσσα δείχνει τη λογική μορφή του συμβολικά αναπαριστανόμενου ή φυσικής γλώσσας επιχειρήματος που λαμβάνεται βάση τις ερμηνείες του.
Μαθηματική λογική
Η μαθηματική λογική αναφέρεται στην πραγματικότητα σε δύο διαφορετικούς τομείς της έρευνας, ο πρώτος είναι η εφαρμογή των τεχνικών της τυπικής λογικής στα μαθηματικά και τη μαθηματική συλλογιστική, και ο δεύτερος, προς την άλλη κατεύθυνση, η εφαρμογή των μαθηματικών τεχνικών για την αναπαράσταση και ανάλυση της τυπικής λογικής. Η παλαιότερη χρήση των μαθηματικών και της γεωμετρίας σε σχέση με τη λογική και τη φιλοσοφία χρονολογείται από τους αρχαίους Έλληνες, όπως ο Ευκλείδης, ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης. Πολλοί άλλοι αρχαίοι και μεσαιωνικοί φιλόσοφοι εφήρμοσαν μαθηματικές ιδέες και μεθόδους για τους δικούς τους φιλοσοφικούς ισχυρισμούς.
Μπέρτραντ Ράσελ
Μια από τις πιο τολμηρές προσπάθειες για την εφαρμογή της λογικής στα μαθηματικά ήταν αναμφισβήτητα ο λογικισμός των φιλόσοφων-επιστημών της λογικής όπως Γκότλομπ Φρέγκε και Μπέρτραντ Ράσελ: η ιδέα ήταν ότι οι μαθηματικές θεωρίες ήταν λογικές ταυτολογίες και το πρόγραμμα ήταν να δείξει αυτό με τη μείωση των μαθηματικών στη λογική. Οι διάφορες προσπάθειες να το υλοποιήσουν συνάντησαν μια σειρά από αποτυχίες , από την αποδυνάμωση του προγράμματος του Φρέγκε στο έργο του Grundgesetze από το παράδοξο του Ράσελ, μέχρι την ήττα του προγράμματος του Χίλμπερτ από τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ.
Η έκθεση του προγράμματος του Χίλμπερτ όσο και η διάψευσή του από τον Γκέντελ εξαρτήθηκαν από την εργασία τους για τη θέσπιση του δεύτερου τομέα της μαθηματικής λογικής, την εφαρμογή των μαθηματικών στη λογική με τη μορφή της θεωρίας απόδειξης. Παρά την αρνητική φύση των θεωρημάτων μη πληρότητας, το θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ, ένα αποτέλεσμα στη θεωρία μοντέλων και μια άλλη εφαρμογή των μαθηματικών στη λογική, μπορούν να θεωρηθεί ότι δείχνουν πόσο κοντά ο λογικισμός πλησίασε την αλήθεια: κάθε αυστηρά καθορισμένη μαθηματική θεωρία μπορεί να είναι επακριβώς καταγεγραμμένη από μια πρώτης τάξεως λογική θεωρία. Ο αποδεικτικός λογισμός του Φρέγκε είναι αρκετός για να περιγράψει το σύνολο των μαθηματικών, αν και δεν ισοδυναμεί με αυτό. Έτσι, βλέπουμε πώς οι δύο αυτές συμπληρωματικές περιοχές της μαθηματικής λογικής υπήρξαν και συνδέθηκαν.
Η θεωρία απόδειξης και η θεωρία μοντέλων ήταν τα θεμέλια της μαθηματικής λογικής, αλλά δύο από τους τέσσερις πυλώνες του θέματος. Η θεωρία συνόλων προέρχεται από τη μελέτη του άπειρου από τον Γκέοργκ Κάντορ και αποτέλεσε πηγή πολλών από τα πιο δύσκολα και σημαντικά ζητήματα στη μαθηματική λογική, από το θεώρημα του Κάντορ, στο καθεστώς του αξιώματος της επιλογής και το ζήτημα της ανεξαρτησίας της υποθέσεως του συνεχούς, μέχρι τη σύγχρονη συζήτηση γύρω από τα μεγάλα βασικά αξιώματα.
Η θεωρία αναδρομής συλλαμβάνει την ιδέα του υπολογισμού σε λογικούς και αριθμητικούς όρους. Τα πιο κλασικά επιτεύγματά της είναι η αναποφασιστικότητα του Entscheidungsproblem (decision problem ή πρόβλημα αποφάσεων) από τον Άλαν Τούρινγκ και η παρουσίαση της θέσης Church-Turing. Σήμερα η θεωρία αναδρομής ως επί το πλείστον ασχολείται με το πιο εκλεπτυσμένο πρόβλημα των κλάσεων πολυπλοκότητας – πότε ένα πρόβλημα είναι αποτελεσματικά επιλύσιμο; – και την ταξινόμηση των βαθμών αναποκρισιμότητας.
Φιλοσοφική λογική
Η φιλοσοφική λογική ασχολείται με τυπικές περιγραφές της φυσικής γλώσσας. Οι περισσότεροι φιλόσοφοι υποθέτουν ότι το κύριο μέρος της “κανονικής” ορθής συλλογιστικής μπορεί να αποτυπωθεί από τη λογική, αν μπορεί κάποιος να βρει τη σωστή μέθοδο για τη μετάφραση από καθημερινή γλώσσα (ordinary language) σε αυτή τη λογική. Η φιλοσοφική λογική είναι ουσιαστικά μια συνέχεια της παραδοσιακού τομέα που αποκαλούταν “Λογική” πριν από την εφεύρεση της μαθηματικής λογικής. Το ενδιαφέρον της είναι στραμμένο στη σύνδεση μεταξύ φυσικής γλώσσας και λογικής. Ως αποτέλεσμα, οι επιστήμονες της φιλοσοφικής λογικής έχουν συμβάλει σε μεγάλο βαθμό στην ανάπτυξη των non-stardard λογικών (π.χ. ελεύθερες λογικές, χρονικές λογικές), καθώς και διάφορες επεκτάσεις της κλασικής λογικής (π.χ. τροπικές λογικές) και non-standard σημασιολογίες για τις εν λόγω λογικές (π.χ. τεχνική του Kripke των supervaluations στη σημασιολογία της λογικής).
Η λογική και η φιλοσοφία της γλώσσας είναι στενά συνδεδεμένες. Η φιλοσοφία της γλώσσας έχει να κάνει με τη μελέτη του πώς η γλώσσα μας δεσμεύει και αλληλεπιδρά με τη σκέψη μας. Η λογική έχει άμεσο αντίκτυπο σε άλλους τομείς της μελέτης. Η μελέτη της λογικής και της σχέσης μεταξύ λογικής και των καθημερινών ομιλιών μπορεί να βοηθήσει ένα άτομο να δομεί καλύτερα τα επιχειρήματά του και κρίνει τα επιχειρημάτων των άλλων. Πολλά δημοφιλή επιχειρήματα είναι γεμάτα με λάθη εξαιτίας του μεγάλου αριθμού ανθρώπων που είναι ανεκπαίδευτοι στη λογική και αγνοούν για το πώς να διαμορφώσουν ένα επιχείρημα με το σωστό τρόπο.
Υπολογιστική λογική
Κύριο λήμμα: Λογική στην επιστήμη των υπολογιστών
Η λογική έκοψε στην καρδιά της επιστήμης των υπολογιστών καθώς αναδείχθηκε ως τομέας της: το εργασία του Άλαν Τούρινγκ στο Entscheidungsproblem (πρόβλημα αποφάσεων) ακολουθούμενο από την εργασία του Κουρτ Γκέντελ πάνω στα θεωρήματα μη πληρότητας, και η ιδέα των υπολογιστών γενικής χρήσης που προήλθε από την τελευταία ήταν θεμελιώδους σημασίας για τους σχεδιαστές του μηχανισμού των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη δεκαετία του 1940.
Στις δεκαετίες του 1950 και του 1960, οι ερευνητές πρόβλεψαν ότι όταν η ανθρώπινη γνώση θα μπορούσε να εκφράζεται χρησιμοποιώντας τη λογική με μαθηματική σημειογραφία, θα ήταν πιθανό να δημιουργήσουμε ένα μηχάνημα το οποίο θα συλλογίζεται, ή αλλιώς, τεχνητή νοημοσύνη. Αποδείχθηκε ότι είναι πιο δύσκολο από ό,τι αναμενόταν, λόγω της πολυπλοκότητας της ανθρώπινης σκέψης. Στο λογικό προγραμματισμό, ένα πρόγραμμα αποτελείται από ένα σύνολο αξιωμάτων και κανόνων. Τα συστήματα του λογικού προγραμματισμού, όπως η Prolog, υπολογίζουν τις συνέπειες των αξιωμάτων και των κανόνων, προκειμένου να απαντήσουν σε ένα ερώτημα.
Σήμερα η λογική έχει εφαρμοστεί ευρέως στους τομείς της τεχνητής νοημοσύνης και της επιστήμης των υπολογιστών, ενώ αυτοί οι τομείς αποτελούν πλούσια πηγή προβλημάτων στην τυπική και άτυπη λογική. Η θεωρία επιχειρηματολογίας είναι ένα καλό παράδειγμα του πώς η λογική εφαρμόζεται στην τεχνητή νοημοσύνη. Η ACM Computing Classification System διακρίνει:
Section F.3 στις λογικές με τις έννοιες των προγραμμάτων και F.4 στη μαθηματική λογική με τις τυπικές γλώσσες ως τμήμα της θεωρίας της επιστήμης των υπολογιστών: αυτά καλύπτουν την τυπική σημασιολογία των γλωσσών προγραμματισμού, καθώς και το έργο τυπικών μεθόδων όπως είναι η λογική του Χόαρ
Τη λογική του Μπουλ ως θεμελιώδη για το υλικό του υπολογιστή: section B.2 του συστήματος στις αριθμητικές και λογικές δομές, που αφορούν τις λειτουργίες AND(ΚΑΙ), ΝΟΤ(ΌΧΙ) και OR(Ή) Πολλοί θεμελιώδης λογικοί φορμαλισμοί είναι απαραίτητοι στο section I.2 στην τεχνητή νοημοσύνη, όπως για παράδειγμα η τροπική λογική και η προεπιλεγμένη λογική στην αναπαράσταση γνώσης φορμαλισμών και μεθόδων, οι διατάξεις του Χορν στο λογικό προγραμματισμό, και η περιγραφική λογική (description logic).
Ακόμη περισσότερο, οι υπολογιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως εργαλεία για τους επιστήμονες της λογικής. Για παράδειγμα, στη συμβολική και μαθηματική λογική, οι αποδείξεις από ανθρώπους μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια υπολογιστή. Χρησιμοποιώντας αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων οι υπολογιστές μπορούν να βρουν και να ελέγξουν αποδείξεις, καθώς και να εργαστούν με αποδείξεις οι οποίες είναι υπερβολικά χρονοβόρες για να γραφτούν με το χέρι.
Κβαντική Λογική
Ένα έγγραφο, το 1936, από τον Γκάρετ Μπίρκοφ και τον Τζον φον Νόιμαν ήταν αρκετό για να θεμελιώσει την κβαντική λογική. H προσπάθειά τους εντείνονταν στον συμβιβασμό της ανακολουθίας της κλασικής λογικής στις αξιώσεις της κβαντικής μηχανικής με τα πραγματικά περιστατικά σχετικά με τη μέτρηση των συμπληρωματικών μεταβλητών στην κβαντική μηχανική, όπως η θέση και η ορμή. Η κβαντική λογική μπορεί να διαμορφωθεί είτε ως μια τροποποιημένη έκδοση της προτασιακής λογικής είτε ως μια μη-μεταθετική και μη-συνειρμική λογική πολλών τιμών (multi-valued logic). Ωστόσο, έχει κάποιες ιδιότητες που την διακρίνουν σαφώς από την κλασική λογική, με κυριότερη την αδυναμία του επιμεριστικού νόμου της προτασιακής λογικής.
Δισθενές και ο νόμος της αποκλεισμένης μέσης
Οι λογικές που διατυπώθηκαν παραπάνω είναι όλες «δισθενείς» ή «δύο-τιμών». Για αυτό γίνονται περισσότερα φυσικά αντιληπτές ως διαίρεση προτάσεων σε αληθινές και ψευδείς. Οι μη κλασσικές λογικές είναι αυτά τα συστήματα που απορρίπτουν το δισθενές. Ο Χέγκελ ανέπτυξε τη δική του διαλεκτική λογική η οποία επέκτεινε την υπερβατική λογική του Καντ αλλά η οποία την “προσγείωσε” διαβεβαιώνοντάς μας ότι «ούτε στον ουρό ούτε στη γη, ούτε στον κόσμο του μυαλού ούτε της φύσης, δεν υπάρχει “είτε Α, είτε Β” όσο η κατανόηση συντηρείται. Ότι υπάρχει είναι απτό, διαφορετικό και σε αντίθεση από μόνο του».
Το 1910, ο Νικολάι Βασίλιεφ επέκτεινε τον νόμο της αποκλεισμένης μέσης και το νόμο των αντιθέτων και πρότεινε το νόμο του αποκλεισμένου τέταρτου και λογική ανθεκτική στην αντίφαση. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο Γιαν Λουκάσιεβιτς διερεύνησε την επέκταση των παραδοσιακών τιμών αληθές/ψευδές για να συμπεριλάβει μια τρίτη τιμή, “πιθανό”, εφευρίσκοντας την τριαδική λογική, την πρώτη λογική πολλαπλών τιμών. Λογικές όπως η λογική fuzzy (ασαφής λογική), δεδομένου ότι έχουν επινοηθεί με έναν άπειρο αριθμό από “βαθμίδες αλήθειας”, αναπαραστάθηκαν από ένα πραγματικό αριθμό μεταξύ 0 και 1.
Η ενορατική λογική προτάθηκε από τον L. E. J. Brouwer ως η σωστή λογική για τη συλλογιστική στα μαθηματικά, με βάση την απόρριψη του νόμου της αποκλεισμένης μέσης, ως τμήμα του ενορατισμού. Ο Brouwer απέρριψε την τυποποίηση των μαθηματικών, ο μαθητής του Arend Heyting όμως μελέτησε την ενορατική λογική ως τυπική, όπως έκανε και ο Gerhard Gentzen. Η ενορατική λογική προσελκύει μεγάλο ενδιαφέρον στους επιστήμονες πληροφορικής, καθώς είναι μια εποικοδομητική λογική και μπορεί να εφαρμοστεί για την εξαγωγή προγραμμάτων που επαληθεύονται από αποδείξεις.
Η τροπική λογική δεν είναι αληθινή υποθετική (conditional), και για αυτό έχει συχνά προταθεί ως μη κλασική λογική. Ωστόσο η τροπική λογική είναι συνήθως τυποποιημένη με την αρχή της αποκλεισμένης μέσης και η σχεσιακή της σημασιολογία είναι δισθενής, οπότε η ένταξη της είναι αμφισβητήσιμη.
Είναι η λογική εμπειρική;
Κύριο λήμμα: “Is logic empirical?”
Ποιο είναι το επιστημονολογικό καθεστώς των νόμων της λογικής; Τι είδους επιχείρημα είναι κατάλληλο για την κριτική δήθεν αρχών της λογικής; Σε μια σημαντική εργασία με τίτλο Is logic empirical? (Είναι η λογική εμπειρική;) του Χίλαρι Πούτναμ, βασισμένος σε μια πρόταση του Κουίν, υποστήριξε ότι σε γενικές γραμμές τα στοιχεία της προτασιακής λογικής έχουν ένα παρόμοιο επιστημολογικό καθεστώς ως στοιχεία σχετικά με το φυσικό σύμπαν, όπως για παράδειγμα τους νόμους της μηχανικής και της γενικής σχετικότητας, και ιδίως ότι αυτό που οι φυσικοί έχουν μάθει για την κβαντική μηχανική δείχνει την επιτακτική ανάγκη για εγκατάλειψη ορισμένων εκ των γνωστών αρχών της κλασικής λογικής: αν θέλουμε να είμαστε ρεαλιστές σχετικά με τα φυσικά φαινόμενα που περιγράφονται από την κβαντική θεωρία, τότε θα πρέπει να εγκαταλείψουμε την αρχή της επιμεριστικότητας, αντικαθιστώντας την κλασική λογική με την κβαντική λογική που προτάθηκε από τους Γκάρετ Μπίρκοφ και Τζον φον Νόιμαν.
Μία άλλη ομώνυμη εργασία από τον Sir Michael Dummett υποστηρίζει ότι η επιθυμία του Πούτναμ για το ρεαλισμό επιτάσσει το νόμο της επιμεριστικότητας. Η επιμεριστικότητα της λογικής είναι απαραίτητη για την κατανόηση των ρεαλιστών για το πώς οι προτάσεις είναι αλήθεια του κόσμου κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως ο Dummett έχει ισχυριστεί ότι η αρχή του δισθενούς είναι. Με τον τρόπο αυτό, η ερώτηση “Είναι η λογική εμπειρική;” μπορεί να θεωρηθεί ότι οδηγεί φυσικά στη θεμελιώδη αντιπαράθεση στην μεταφυσική στο ρεαλισμό έναντι του αντι-ρεαλισμού.
Συνεπαγωγή: Αυστηρή ή αιτιατή;
Κύριο λήμμα: Παράδοξο της συνεπαγωγής
Είναι προφανές ότι η έννοια της συνεπαγωγής που τυποποιήθηκε στην κλασική λογική δεν μεταφράζεται άνετα σε φυσική γλώσσα με τη βοήθεια της δομής “αν…τότε”, και αυτό οφείλεται σε μια σειρά από προβλήματα που ονομάζονται τα παράδοξα της αιτιατής συνεπαγωγής.
Η πρώτη κλάση των παραδόξων περιλαμβάνει αντιπαραδείγματα, όπως «Αν το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί, τότε 2+2=5», που είναι αινιγματικό γιατί η φυσική γλώσσα δεν υποστηρίζει την αρχή της έκρηξης. Η εξάλειψη αυτής της κλάσης παραδόξων ήταν ο λόγος για τη διατύπωση από τον Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις της αυστηρής (τροπικής) συνεπαγωγής, η οποία τελικά οδήγησε σε πιο ριζικές ρεβιζιονιστικές (αναθεωρητικές) λογικές όπως είναι η σχετική λογική (relevant ή relevance logic).
Η δεύτερη κλάση των παραδόξων περιλαμβάνει περιττές προκείμενες, ψευδώς υποδηλώνοντας ότι γνωρίζοντας το μεταγενέστερο λόγω του προγενέστερου: έτσι, η πρόταση «εάν αυτός ο άνθρωπος εκλεγεί, η γιαγιά θα πεθάνει» είναι στην ουσία αληθής, δεδομένου ότι η γιαγιά είναι θνητή, ανεξάρτητα από τις εκλογικές προοπτικές του ανθρώπου. Τέτοιες φράσεις παραβιάζουν την απόφθεγμα του Πολ Γκράις της σχέσης, και μπορούν να μοντελοποιηθούν από λογικές που απορρίπτουν την αρχή της μονοτονίας, όπως η σχετική λογική.
Ανέχοντας το αδύνατο
Κύριο λήμμα: Παρασυνεπής λογική
Ο Χέγκελ είχε εξαιρετικά επικριτική στάση σε οποιαδήποτε απλουστευμένη έννοια του νόμου της μη αντίφασης. Ήταν βασισμένος στην ιδέα του Λάιμπνιτς ότι αυτός ο νόμος της λογικής απαιτεί επίσης επαρκή αιτιολογία για να διευκρινίζει από ποια οπτική γωνία (ή χρόνο) κάποιος λέει ότι κάτι δεν μπορεί να αντιφάσκει. Ένα κτήριο, για παράδειγμα, κινείται αλλά και δεν κινείται μαζί, το έδαφος κατά μία έννοια είναι το ηλιακό μας σύστημα ενώ κατ’ άλλη είναι η γη. Στην εγελιανή διαλεκτική, ο νόμος της μη αντίφασης, της ταυτότητας, ο ίδιος στηρίζεται στη διαφορά και έτσι δεν είναι ανεξάρτητα διεκδικήσιμος.
Στενά συνδεδεμένη με ζητήματα που προκύπτουν από τα παράδοξα της implication έρχεται η πρόταση ότι η λογική θα έπρεπε να ανεχτεί την ασυνέπεια. Η σχετική λογική (relative logic) και η παρασυνεπής λογική (paraconsistent logic) είναι οι σημαντικότερες προσεγγίσεις εδώ, αν και οι ανησυχίες διαφέρουν: μια βασική συνέπεια της κλασικής λογικής και ορισμένων από τις αντίπαλές της, όπως είναι η ενορατική λογική, είναι ότι τηρούν την αρχή της έκρηξης (principle of explosion, ή αλλιώς principle of Pseudo-Scotus), το οποίο σημαίνει ότι η λογική καταρρέει αν από αυτή δύναται να προκύψει μια αντίφαση. Ο Γκράχαμ Πριστ, ο κύριος υποστηρικτής του διαληθισμού, έχει ταχθεί υπέρ της παρασυνέπειας με την αιτιολογία ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα αληθινές αντιφάσεις.
Απόρριψη της λογικής αλήθειας
Η φιλοσοφική φλέβα των διαφόρων ειδών του σκεπτικισμού περιέχει πολλά είδη της αμφισβήτησης και απόρριψης των διαφόρων βάσεων στις οποίες στηρίζεται η λογική, όπως η ιδέα της λογικής μορφής, ο σωστός συμπερασμός, ή έννοια, συνήθως οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν λογικές αλήθειες. Παρατηρήστε ότι αυτό είναι το αντίθετο στις συνήθεις απόψεις στο φιλοσοφικό σκεπτικισμό, όπου η λογική κατευθύνει την σκεπτικιστική έρευνα να αμφιβάλλει για τις θεόσταλτες σοφίες και ξεπερασμένες απόψεις, όπως στο έργο του Σέξτου του Εμπειρικού.
Φρίντριχ Νίτσε
Ο Φρίντριχ Νίτσε προβάλλει ένα ισχυρό παράδειγμα της απόρριψης της συνήθης βάσης της λογικής: η ριζική απόρριψη της εξιδανίκευσης τον οδήγησε να απορρίψει την αλήθεια ως «…ένα κινητός στρατός από μεταφορές, μετώνυμα και ανθρωπομορφισμούς – με λίγα λόγια, μεταφορές οι οποίες έχουν φθαρεί και χωρίς αισθητηριακή δύναμη. Κέρματα που έχουν χάσει το νόημά τους και πλέον έχουν σημασία ως μέταλλο κι όχι ως κέρματα». Η απόρριψη της αλήθειας δεν τον οδήγησε να απορρίψει την ιδέα του συμπερασμού ή λογικής εντελώς, αλλά πρότεινε ότι «η λογική άρχισε να λειτουργεί στο ανθρώπινο κεφάλι έξω από το παράλογο, του οποίου το πεδίο κανονικά θα έπρεπε να ήταν απέραντο. Αναρίθμητα όντα που συμπέραναν κατά τρόπο διαφορετικό από το δικό μας έχασαν τη ζωή τους». Έτσι, υπάρχει η ιδέα ότι η λογική συναγωγή έχει την χρησιμότητα της στην ανθρώπινη επιβίωση, αλλά και ότι η ύπαρξή του δεν υποστηρίζει την ύπαρξη της αλήθειας, ούτε έχει μια πραγματικότητα πέρα από την καθορισμένη: «Επίσης, η λογική βασίζεται σε υποθέσεις που δεν αντιστοιχούν σε τίποτα στον πραγματικό κόσμο».
Λογική είναι η νοητική διεργασία κατά την οποία συνδέονται στοιχεία για την παραγωγή αποτελέσματος που σχετίζεται με τα συνδεθέντα πχ αν πούμε ότι 2+2=4 αυτό είναι μια λογική διεργασία ή αν πούμε μιαν οποιαδήποτε λέξη πχ “θάλασσα” αυτό είναι μια λογική διεργασία διότι οι λέξεις είναι σύνδεση αισθητηριακών πληροφοριών (εκ των φαινομένων) με αποτέλεσμα την παραγωγή (υπό μορφή γραμμάτων και φωνημάτων) των λέξεων. Ο όρος “λέξη” εκ του “λέγω” σημαίνει “παράγωγο σύνδεσης”.
Ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο “λόγος” ήταν ο Ηράκλειτος ο οποίος διευκρίνησε ότι ο λόγος είναι ένας σύνδεσμος ο οποίος συνδέει τον κόσμο (τα φαινόμενα) με την ομιλία δηλαδή τα φαινόμενα με κάποιο τρόπο μέσον της διάνοιας (γνώσης) μεταποιούνται σε γνώση και σε λέξεις (λόγο). Γι’ αυτό είναι λάθος να ερμηνεύουμε τη λογική αρχόμενοι από τις προτάσεις που είναι παράγωγα των λέξεων. Σωστό είναι να γνωρίζουμε (κατά τον Αριστοτέλη) τις αρχές των όσων ερευνούμε και αρχή του λόγου είναι οι λέξεις οι οποίες ονομάζουν τα φαινόμενα και η έρευνα πρέπει να αρχίζει από την προέλευση των λέξεων και τη σχέση τους με τα φαινόμενα. Αν δεν κατορθώσαμε να βρούμε την σχέση ανάμεσα: στα φαινόμενα, τη γνώση και τον λόγο, σχέση που είναι το υπόβαθρο της Λογικής και που αποδεικνύει πώς νοητικά διενεργείται η Λογική, δηλαδή η σύνδεση των όσων φέρνουμε στο μυαλό για να τα κάνουμε γνώση και γλώσσα.
Πριν τον Πλάτωνα
Αν και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ανακάλυψαν εμπειρικά μερικές αλήθειες της γεωμετρίας, το μεγάλο επίτευγμα των αρχαίων Ελλήνων ήταν να αντικαταστήσουν τις εμπειρικές μεθόδους με επιστημονικές. Η συστηματική μελέτη αυτή φαίνεται να ξεκίνησε με τη σχολή του Πυθαγόρα στα τέλη του έκτου αιώνα π.κ.ε. Οι τρεις βασικές αρχές της γεωμετρίας είναι ότι ορισμένες προτάσεις πρέπει να γίνονται δεκτές ως αληθινές χωρίς απόδειξη, ότι όλες οι υπόλοιπες προτάσεις του συστήματος να προκύπτουν από τις προηγούμενες και ότι η εξαγωγή πρέπει να είναι τυπική (φόρμαλ) δηλαδή, ανεξάρτητη από το συγκεκριμένο υπό εξέταση θέμα. Τα σπέρματα των πρώιμων αποδείξεων φυλάσσονται στα έργα του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη και η ιδέα ενός παραγωγικού τέτοιου συστήματος ήταν πιθανώς γνωστό στη Πυθαγόρεια σχολή και στην Πλατωνική Ακαδημία.
Ξεχωριστά από τη γεωμετρία, η ιδέα για ένα πρότυπο μοτίβο επιχειρήματος βρίσκεται στην reductio ad absurdum (εις άτοπον απαγωγή) χρησιμοποιήθηκε από τον Ζήνωνα της Ελέας, ένα προσωκρατικό φιλόσοφο του 5ου αιώνα π.κ.ε. Αυτή είναι η τεχνική της κατάρτισης ενός προφανώς ψευδούς, παράλογου ή αδύνατου συμπεράσματος από την υπόθεση, αποδεικνύοντας έτσι ότι η υπόθεση είναι ψευδής. Ο Παρμενίδης παρουσιάζει το Ζήνωνα να ισχυρίζεται ότι έχει γράψει ένα βιβλίο όπου υπερασπίζεται το μονισμό του Παρμενίδη καταδεικνύοντας το παράλογο συμπέρασμα να υποτεθεί ότι είναι δυϊσμός. Άλλοι φιλόσοφοι που άσκησαν τέτοια διαλεκτική αιτιολογία ήταν οι λεγόμενοι μικροί σωκρατικοί, συμπεριλαμβανομένων ο Ευκλείδης ο Μεγαρεύς, που ήταν πιθανότατα οπαδός του Παρμενίδη και του Ζήνωνα. Τα μέλη αυτής της σχολής ονομάστηκαν Διαλεκτικοί. Περαιτέρω στοιχεία ότι προαριστοτελικοί διανοητές ασχολήθηκαν με τις αρχές του συλλογισμού βρέθηκαν σε ένα θραύσμα που ονομάζεται Δίσσοι Λόγοι, το οποίο πιθανώς γράφτηκε στις αρχές του 4ου αιώνα π.κ.ε. Αυτό είναι μέρος μιας παρατεταμένης συζήτησης για την αλήθεια και την αναλήθεια.
Η Λογική του Πλάτωνα
Κανένα από τα σωζόμενα έργα του φιλόσοφου Πλάτωνα (428-347 π.κ.ε.) του 4ου αιώνα δεν περιλαμβάνει οποιαδήποτε Τυπική Λογική, αλλά περιλαμβάνουν σημαντικές συνεισφορές στον τομέα της φιλοσοφικής Λογικής. Ο Πλάτωνας θέτει τρία ερωτήματα:
Τι είναι αυτό που μπορεί ορθά να καλείται αληθές ή ψευδές;
Ποια είναι η φύση της σύνδεσης μεταξύ των παραδοχών ενός έγκυρου επιχειρήματος και της σύναψής του;
Ποια είναι η φύση του ορισμού;
Το πρώτο ερώτημα τίθεται στο διάλογο Θεαίτητος ο Πλάτωνας προσδιορίζει τη σκέψη ή την άποψη με τη συζήτηση ή το διάλογο (λόγος). Το δεύτερο ερώτημα είναι αποτέλεσμα της θεωρίας των ιδεών (ή μορφών). Οι “Ιδέες” (μορφές) δεν είναι πράγματα με τη συνήθη έννοια, ούτε αυστηρές έννοιες στο μυαλό, αλλά αντιστοιχούν σε αυτό που οι φιλόσοφοι αργότερα ονόμασαν universals (καθολικά), δηλαδή μια αφηρημένη οντότητα κοινή με το ίδιο όνομα σε κάθε σύνολο πραγμάτων. Και στους δύο πλατωνικούς διαλόγους Πολιτεία και Σοφιστής, ο Πλάτωνας υποστηρίζει ότι η αναγκαία σχέση μεταξύ των προκείμενων και του συμπεράσματος ενός επιχειρήματος αντιστοιχεί σε μια αναγκαία σύνδεση μεταξύ των “Ιδεών” (φορμών).
Το τρίτο ερώτημα είναι σχετικό με τον ορισμό. Πολλοί από τους διαλόγους του Πλάτωνα αφορούν την αναζήτηση για τον ορισμό κάποιας σημαντικής έννοιας (δικαιοσύνη, αλήθεια, το καλό), και ενδέχεται ο Πλάτωνας να εντυπωσιάστηκε από την σημαντικότητα του ορισμού στα μαθηματικά. Οτιδήποτε κρύβεται πίσω από έναν ορισμό είναι μια Πλατωνική “Ιδέα” (φόρμα), ο κοινός χαρακτήρας παρουσιάζεται σε διάφορα συγκεκριμένα πράγματα. Έτσι, ο ορισμός αντικατοπτρίζει το απόλυτο αντικείμενο της κατανόησής μας και είναι θεμέλιο κάθε έγκυρου συμπερασμού. Αυτό είχε μεγάλη επιρροή στον Αριστοτέλη, και ιδίως στην αντίληψη του Αριστοτέλη για την ουσία ενός πράγματος.
Η Λογική του Αριστοτέλη
Κύριο λήμμα: Όργανον
Η Λογική του Αριστοτέλη και ιδιαίτερα η θεωρία του για το συλλογισμό, είχε τεράστια επιρροή στη δυτική σκέψη. Τα έργα λογικής, που ονομάζονται ως σύνολο Το Όργανον, είναι η πρώτη τυπική μελέτη της Λογικής που έχει βρεθεί. Αν και είναι δύσκολο να προσδιορίσουμε τις ημερομηνίες, η πιθανή σειρά της γραφής των λογικών έργων του Αριστοτέλη είναι:
Κατηγορίες, μια μελέτη για τις δέκα κατηγορίες που χαρακτηρίζουν τα όντα του αισθητού κόσμου
Τοπικά (με ένα παράρτημα του που ονομάζεται Περί των Σοφιστικών ελέγχων), μια συζήτηση της διαλεκτικής
Περί ερμηνείας, μια ανάλυση απλών κατηγορηματικών προτάσεων, σε απλούς όρους, άρνηση, και ενδείξεις ποσότητας, καθώς και μια ολοκληρωμένη αντιμετώπιση των εννοιών της αντίθεσης και μετατροπής. Το 7ο κεφάλαιο είναι η προέλευση του “τετραγώνου αντίθεσης” (ή λογικού τετραγώνου). Το 9ο κεφάλαιο περιέχει τις απαρχές της τροπικής λογικής.
Αναλυτικά Πρότερα, μια τυπική ανάλυση του έγκυρου επιχειρήματος ή “συλλογισμού”
Αναλυτικά Ύστερα, μια μελέτη της επιστημονικής απόδειξης, που περιέχει τις ώριμες απόψεις του Αριστοτέλη στη λογική.
Τα έργα αυτά είναι εξαιρετικής σημασίας για την ιστορία της λογικής. Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος επιστήμονας της λογικής που επιχείρησε μια συστηματική ανάλυση της λογικής σύνταξης, σε ουσιαστικό και ρήμα. Στις Κατηγορίες αποπειράθηκε σε όλα τα πράγματα που ένα ουσιαστικό μπορεί να αναφέρεται. Αυτή η ιδέα αποτελεί τη βάση του φιλοσοφικού του έργου, τα Μεταφυσικά, τα οποία είχαν επίσης βαθιά επίδραση στη Δυτική σκέψη. Ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τις αρχές της αντίφασης και αποκλεισμένης μέσης με συστηματικό τρόπο. Υπήρξε ο πρώτος επιστήμονας της τυπικής λογικής (δηλαδή έδωσε τις αρχές της συλλογιστικής που χρησιμοποιεί μεταβλητές για να δείξει την υποκείμενη λογική μορφή των επιχειρημάτων).
Ερευνούσε για τις σχέσεις εξάρτησης που χαρακτηρίζουν αναγκαστικά το συμπέρασμα, και διέκρινε την εγκυρότητα αυτών των σχέσεων, από την αλήθεια των προκείμενων (η αξιοπιστία του επιχειρήματος). Τα Αναλυτικά Πρότερα αποτελούν το εγχειρίδιο της συλλογιστικής, όπου τρεις σημαντικές αρχές εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά στην ιστορία: η χρήση των μεταβλητών, μια καθαρά τυπική αντιμετώπιση και τη χρήση ενός αξιωματικού συστήματος. Στα Τοπικά και Περί των Σοφιστικών ελέγχων ανέπτυξε επίσης μια θεωρία μη-τυπικής λογικής (π.χ. θεωρία των πλανών).
Στωική Λογική
Το άλλο μεγάλο σχολείο της ελληνικής λογικής είναι αυτό των Στωικών. Η Στωική λογική έχει τις ρίζες της πίσω στα τέλη του 5ου αιώνα π.κ.ε. στον φιλόσοφο Ευκλείδη από τα Μέγαρα, μαθητή του Σωκράτη και λίγο μεγαλύτερη ηλικίας σύγχρονος του Πλάτωνα. Οι μαθητές και οι διάδοχοί του ονομάστηκαν “Μεγαρείς”, ή “Εριστικοί”, ενώ αργότερα “οι Διαλεκτικοί”. Οι δύο πιο σημαντικοί διαλεκτικοί της σχολής των Μεγάρων ήταν ο Διόδωρος Κρόνος και ο Φίλων που έδρασαν στα τέλη του 4ου αιώνα π.κ.ε. Οι Στωικοί υιοθέτησαν την Μεγαρική λογική και τη συστηματοποίησαν.
Το πιο σημαντικό μέλος της σχολής ήταν ο Χρύσιππος, ο οποίος ήταν ο τρίτος κατά σειρά επικεφαλής της σχολής, και ο οποίος τυποποίησε μεγάλο μέρος της στωικής θεωρίας. Υπάρχει η υπόθεση ότι έχει γράψει πάνω από 700 έργα, συμπεριλαμβανομένων τουλάχιστον 300 στη Λογική, ενώ σχεδόν κανένα δε σώζεται. Σε αντίθεση με τον Αριστοτέλη, δεν έχουμε ολοκληρωμένα έργα από του Μεγαρείς ή τους πρώιμους Στωικούς και πρέπει να βασιζόμαστε σε αναφορές (μερικές φορές εχθρικές) από μεταγενέστερες πηγές, όπως είναι εμφανώς ο Διογένης ο Λαέρτιος, ο Σέξτος ο Εμπειρικός, ο Γαληνός, ο Αύλος Γέλλιος, ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς και ο Κικέρων.
Τρεις σημαντικές συνεισφορές της στωικής σχολής ήταν (1) η αναφορά στην τροπικότητα, (2) η θεωρία της συνεπαγωγής, και (3) η αναφορά στο νόημα και την αλήθεια.
Τροπικότητα. Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, οι Μεγαρείς της εποχής του ισχυρίστηκαν ότι δεν υπήρχε διάκριση μεταξύ δυνατότητας και πραγματικότητας. Ο Διόδωρος Κρόνος ορίζει το δυνατόν ως αυτό που είτε είναι είτε θα είναι, το αδύνατο ως αυτό που δεν είναι αλήθεια και το απρόοπτο ως αυτό που είτε είναι ήδη, είτε θα είναι ψευδές. Ο Διόδωρος είναι επίσης γνωστός για το λεγόμενο master argument, όπου οι τρεις προτάσεις “ότι είναι παρελθόν, είναι αλήθεια και αναγκαίο”, “το αδύνατο δεν απορρέει από το δυνατό” και “Ότι ούτε είναι, ούτε θα γίνει, είναι πιθανό” είναι ασυνεπείς. Ο Διόδωρος χρησιμοποίησε την αληθοφάνεια των πρώτων δύο προτάσεων για να αποδείξει ότι τίποτα δεν είναι δυνατό αν δεν είναι ή δεν θα γίνει αληθινό. Ο Χρύσιππος, αντιθέτως, αρνήθηκε την δεύτερη υπόθεση και είπε ότι το αδύνατο μπορεί να προκύψει από το δυνατό.
Συνεπαγωγή. Οι πρώτοι επιστήμονες της λογικής που ασχολήθηκαν την συνεπαγωγή ήταν ο Διόδωρος ο Μεγαρεύς και ο μαθητής του, Φίλωνας των Μεγάρων. Ο Φίλωνας υποστήριξε ότι μια πραγματική υπόθεση (conditional) είναι αυτή που δεν ξεκινά με την αλήθεια και τελειώνει με ένα ψέμα, όπως “αν αυτή είναι μέρα, τότε μιλάω”. Αλλά ο Διόδωρος υποστήριξε ότι μια πραγματική υπόθεση είναι αυτό που δεν θα μπορούσε ενδεχομένως να ξεκινήσει με μια αλήθεια και να τελειώσει με ένα ψέμα – έτσι η υπόθεση που αναφέρεται παραπάνω θα μπορούσε να είναι ψευδή αν ήταν μέρα και γινόμουν σιωπηλός. Το κριτήριο του Φίλωνα για την αλήθεια είναι αυτό που αποκαλείται truth-functional (αληθο-συνάρτηση, ορίζεται σε αληθινές προτάσεις) ορισμός του “αν … τότε” (if…then). Σε μια δεύτερη αναφορά, ο Σέξτος λέει “Σύμφωνα με τον ίδιο, υπάρχουν τρεις τρόποι με τους οποίους μια υπόθεση μπορεί να είναι αλήθεια, και ένας με τον οποίο μια υπόθεση μπορεί να είναι ψευδής”.
Νόημα και αλήθεια. Η πιο σημαντική και χαρακτηριστική διαφορά της Μεγαρικής-Στωικής λογικής με την αριστοτελική λογική είναι ότι αφορά προτάσεις, όχι ουσιαστικά, και είναι πιο κοντά στην σύγχρονη προτασιακή λογική. Οι Στωικοί διέκριναν την φωνή, τη λέξη (το οποίο είναι ευκρινές αλλά μπορεί να υπάρχει χωρίς νόημα) και τον διάλογο (η μεστή νοήματος εκστόμιση). Το πιο πρωτότυπο μέρος της θεωρίας τους είναι η ιδέα ότι κάθε τι που εκφράζεται από μια φράση, το λεκτόν, είναι κάτι πραγματικό. Αυτό αντιστοιχεί σε αυτό που καλείται τώρα πρόταση. Ο Σέξτος λέει ότι σύμφωνα με τους Στωικούς, τρία πράγματα συνδέονται μεταξύ τους, αυτό που σημαίνεται (signified), αυτό που σημαίνει (signifies) και το αντικείμενο. Για παράδειγμα, αυτό που σημαίνει είναι η λέξη Δίον, αυτό που σημαίνεται (αυτό που υποδηλώνει) είναι αυτό που κατανοούν οι Έλληνες αλλά όχι οι βάρβαροι, και το αντικείμενο είναι το Δίον το ίδιο.
Μεσαιωνική λογική
Η λογική στη Μέση Ανατολή
Κύριο λήμμα: Αβικεννισμός
Τα έργα των Αλ-Κίντι, Αλ-Φαράμπι, Αλ-Γκαζαλί, Αβερρόη και άλλων μουσουλμάνων επιστημόνων της λογικής βασίστηκαν στην αριστοτελική λογική και ήταν σημαντικά για τη διάδοση των ιδεών του αρχαίου κόσμου στη μεσαιωνική Δύση. Ο Αλ-Φαράμπι (873-950) ήταν ένας επιστήμονας της αριστοτελικής λογικής ο οποίος συζήτησε τα θέματα των μελλοντικών ενδεχόμενων (future contingents), τον αριθμό και τη σχέση των κατηγοριών, τη σχέση μεταξύ λογικής και γραμματικής και μη αριστοτελικές τύποι (forms) συμπερασμού. Ο Αλ-Φαραμπί ακομα θεώρησε επίσης τις θεωρίες των υποθετικών συλλογισμών και του αναλογικού συμπερασμού, το οποίο ήταν μέρος της στωικής παράδοσης της λογικής και όχι της αριστοτελικής.
Ο Ιμπν Σίνα (Αβικέννας) (980-1037) ήταν ιδρυτής της αβικεννικής λογικής, η οποία αντικατέστησε την αριστοτελική λογική ως το κυρίαρχο σύστημα λογικής στον ισλαμικό κόσμο, και είχε επίσης μια σημαντική επιρροή στην δυτικούς μεσαιωνικούς συγγραφείς, όπως ο Αλμπέρτους Μάγκνους. Ο Αβικέννας έγραψε στον υποθετικό συλλογισμό και στο προτασιακό λογισμό, που ήταν και οι δύο τμήματα της στωικής παράδοσης στη λογική. Ανέπτυξε μια πρωτότυπη θεωρία, της “χρονικώς τροπικής” συλλογιστικής και έκανε χρήση της επαγωγικής λογικής, όπως οι μέθοδοι του Μιλλ οι οποίοι ήταν καίριας σημασίας για την επιστημονική μέθοδο.
Μια από τις ιδέες του Αβικέννα είχε ιδιαίτερα σημαντική επίδραση στους δυτικούς επιστήμονες της λογικής όπως είναι ο Ουίλιαμ του Όκαμ. Η λέξη του Αβικέννα για την σημασία ή έννοια (ma’na), μεταφράστηκε από τους σχολαστικούς λογικιστές στα λατινικά ως intentio. Στην μεσαιωνική λογική και επιστημολογία, αυτό είναι ένα σημάδι στο μυαλό που αποτελεί με φυσικό τρόπο ένα πράγμα. Ήταν ζωτικής σημασίας για την ανάπτυξη του κονσεπτουαλισμού του Όκαμ. Ένας καθολικός όρος (π.χ. “άνθρωπος”) δεν σημαίνει ένα πράγμα που υπάρχει στην πραγματικότητα, αλλά μάλλον ένα σημάδι στο μυαλό (intentio in intellectu) που αντιπροσωπεύει πολλά πράγματα στην πραγματικότητα. Ο Όκαμ επικαλείται τον σχολιασμό του Αβικέννα στο έργο του Metaphysics V υπέρ της δικής του άποψης.
Ο Φαχρουντίν Ραζί επέκρινε την “πρώτη εικόνα” του Αριστοτέλη και διατύπωσε ένα από τα πρώτα συστήματα επαγωγικής λογικής, προαναγγέλλοντας το σύστημα που αναπτύχθηκε από τον Τζον Στιούαρτ Μιλλ (1806-1873). Το έργο του Αλ-Ράζι θεωρήθηκε από τους μεταγενέστερους μελετητές του Ισλάμ ως μια νέα κατεύθυνση για την ισλαμική λογική, προς μια μετα-αβικεννική λογική. Αυτό το σύστημα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον μαθητή του Afdaladdîn al-Khûnajî (πέθ. 1249), ο οποίος ανέπτυξε μια μορφή της λογικής που περιτρέφεται γύρω από το αντικείμενο της αιτίας των conceptions (στη μεταφυσική φιλοσοφία) και assents. Σε απάντηση σε αυτή την παράδοση, ο Αλ-Τούσι (1201-1274) ξεκίνησε μια παράδοση της νεο-αβικεννικής λογικής που παρέμεινε πιστή στο έργο του Αβικέννα και υπήρξε ως εναλλακτική λύση για την πιο κυρίαρχη μετα-αβικεννική σχολή κατά τη διάρκεια των επόμενων αιώνων.
Η πεφωτισμένη σχολή (illuminationist), που ιδρύθηκε από τον Shahab al-Din Suhrawardi (1151-1191), ο οποίος ανέπτυξε την ιδέα της “καθοριστικής αναγκαιότητας”, η οποία αναφαίρεται στην μείωση των λειτουργιών (αναγκαιότητα, δυνατότητα, συγκυρία και ανέφικτο) σε μία ενιαία λειτουργία της αναγκαιότητας. Ο Αλ-Ναφίς έγραψε ένα βιβλίο στη αβικεννική λογική, το οποίο ήταν σχολιασμός του έργου Al-Isharat (Τα σημάδια) και έργου Al-Hidayah (Η καθοδήγηση) του Αβικέννα. Ο Ibn Taymiyyah (1263-1328) έγραψε το Ar-Radd ‘ala al-Mantiqiyyin, όπου αντιτάχθηκε της χρησιμότητας, αλλά όχι του κύρους, του συλλογισμού και τάχθηκε υπέρ του επαγωγικού συλλογισμού.
Ο Ibn Taymiyyah επίσης αντιτάχθηκε της βεβαιότητας των συλλογιστικών επιχειρημάτων και τάχθηκε υπέρ της αναλογίας. Το επιχείρημα του είναι ότι οι έννοιες που στηρίχθηκαν στην επαγωγή είναι οι ίδιες όχι βέβαιες αλλά μόνο πιθανές, και, συνεπώς, ένας συλλογισμός που βασίζεται σε τέτοιες έννοιες δεν είναι πιο βέβαιος από ένα επιχείρημα που βασίζεται στην αναλογία. Ισχυρίστηκε επίσης ότι η επαγωγή εδράζεται η ίδια στη διαδικασία της αναλογίας. Το πρότυπο του αναλογικού συλλογισμού βασίστηκε σε αυτό των νομικών επιχειρημάτων. Αυτό το μοντέλο έχει χρησιμοποιηθεί στο πρόσφατο έργο του Τζον Σόβα.
Το Sharh al-takmil fi’l-mantiq, που γράφτηκε από τον Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani τον 15ο αιώνα, είναι το τελευταίο μεγάλο Αραβικό έργο στη λογική που μελετήθηκε. Ωστόσο, “χιλιάδες πάνω σε χιλιάδες σελίδες” στη λογική γράφτηκαν μεταξύ του 14ου και 19ου αιώνα, αν και μόνο ένα μικρό ποσοστό των κειμένων που γράφτηκαν κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου έχουν μελετηθεί από τους ιστορικούς και, ως εκ τούτου, πολύ λίγα είναι γνωστά σχετικά με το πρωτότυπο έργο για την ισλαμική λογική που παράχθηκε αυτή την ύστερη περίοδο.
Η Λογική στην Μεσαιωνική Ευρώπη
Κύριο λήμμα: Αριστοτελική λογική
Η “μεσαιωνική λογική” (επίσης γνωστή ως “σχολαστική λογική”) σημαίνει γενικά τη μορφή της αριστοτελικής λογικής που αναπτύχθηκε στη μεσαιωνική Ευρώπη καθ’ όλη τη διάρκεια της περιόδου 1200-1600. Για αιώνες μετά την διατύπωση της στωικής λογικής, αυτό ήταν το κυρίαρχο σύστημα λογικής στον κλασσικό κόσμο. Όταν η μελέτη της λογικής συνεχίστηκε μετά το Μεσαίωνα, η κύρια πηγή ήταν το έργο του χριστιανικού φιλόσοφου Βοήθιος, ο οποίος ήταν εξοικειωμένος με μερικά στοιχεία της αριστοτελικής λογικής, αλλά με κανένα έργο των Στωικών.
Μέχρι το δωδέκατο αιώνα, τα μόνα έργα του Αριστοτέλη που ήταν διαθέσιμα στη Δύση ήταν τα Κατηγορίαι, Περί ερμηνείας και η μετάφραση του Βοήθιου της Εισαγωγή του Πορφυρίου (ένα σχολιασμός στο έργο Κατηγορίαι). Τα έργα αυτά ήταν γνωστά ως η “Παλαιά Λογική” (Logica Vetus ή Ars Vetus). Ένα σημαντικό έργο σε αυτήν την παράδοση ήταν το Logica Ingredientibus του Πέτρου Αβελάρδου (1079-1142). Η άμεση επιρροή που άσκησε ήταν μικρή, αλλά η επιρροή μέσα από τους μαθητές όπως ήταν ο Τζον του Σαλίσμπουρι (John of Salusbury) ήταν μεγάλη, και η μέθοδος εφαρμογής αυστηρής λογικής ανάλυσης στη θεολογία άνοιξε τον δρόμο να αναπτυχθεί η θεολογική κριτική κατά την περίοδο που ακολούθησε.
Μέχρι τις αρχές του 13ου αιώνα τα υπόλοιπα έργα του Όργανον του Αριστοτέλη (συμπεριλαμβανομένων των Αναλυτικά Πρότερα, Αναλυτικά Ύστερα και Περί των Σοφιστικών ελέγχων) είχαν ανακτηθεί στη Δύση και αναβιώσει από τον Θωμά Ακινάτη. Η εργασία στη Λογική μέχρι τότε ήταν ως επί το πλείστον παράφραση ή σχολιασμός σχετικά με το έργο του Αριστοτέλη. Τη περίοδο από τα μέσα του 13ου αιώνα έως τα μέσα του 14ου αιώνα υπήρξε σημαντική ανάπτυξη της λογικής, ιδίως σε τρεις τομείς που ήταν πρωτότυποι, με μικρή περαιτέρω ανάπτυξη της αριστοτελικής παράδοσης που ήρθε πριν. Αυτοί οι τομείς ήταν:
Η θεωρία της υπόθεσης. Η θεωρία της υπόθεσης ασχολείται με τον τρόπο που τα κατηγορήματα (π.χ. “άνθρωπος”) εκτείνονται σε ένα πεδίο από μεμονωμένα άτομα (individuals) (π.χ. όλοι οι άνθρωποι). Στη πρόταση «κάθε άνθρωπος είναι ένα ζώο», ο όρος “άνθρωπος” εκτείνεται ή τα άτομα – φιλοσοφικά ως ουσία ή αντικείμενα (supposit) – άνθρωποι υφίστανται στο παρόν; Ή μήπως το φάσμα περιλαμβάνει τους ανθρώπους του παρελθόντος και του μέλλοντος; Μπορεί ένας όρος να είναι supposit για μη υπαρκτά άτομα (individuals); Μερικοί μεσαιωνιστές έχουν υποστηρίξει ότι η ιδέα αυτή ήταν ο πρόδρομος της λογικής πρώτης τάξης. “Η θεωρία της υπόθεσης με τις σχετικές θεωρίες του copulatio ( συμβολισμός-χωρητικότητα των επιθετικών προσδιορισμών), του ampliation (διεύρυνση του αναφορικού τομέα), και distributio constitute ένα από τα πιο πρωτότυπα επιτεύγματα της Δυτικής μεσαιωνικής λογικής”.
Η θεωρία των συγκατηγορημάτων. Τα συγκατηγορήματα είναι όροι απαραίτητοι για τη λογική, τα οποία όμως, σε αντίθεση με του κατηγορηματικούς όρους, δεν σημαίνουν ονόματί τους, αλλά “συν-σημαίνουν” με άλλες λέξεις. Παραδείγματα συγκατηγορημάτων είναι τα “και”, “δεν”, “κάθε”, “εάν” και ούτω καθεξής.
Η θεωρία των λογικών συνεπειών ή των συνεπαγωγών. Μια συνεπαγωγή είναι μια υποθετική, δυνητική πρόταση: δύο προτάσεις συνδέονται από τη διάταξη “αν…τότε”. Για παράδειγμα, «αν ένας άνθρωπος τρέχει, τότε ο θεός υπάρχει» (Si homo currit, Deus est). Μια πλήρως ανεπτυγμένη θεωρία των λογικών συνεπειών δίνεται στο τρίτο βιβλίο του έργου Summa Logicae του Ουίλιαμ του Όκαμ. Εκεί ο Όκαμ διακρίνει μεταξύ των “αιτιατών” και “τυπικών” λογικών συνεπειών, που είναι περίπου ισοδύναμες με την αιτιατή συνεπαγωγή και τη λογική συνεπαγωγή αντίστοιχα. Παρόμοιες αναφορές δίνονται από τους Ζαν Μπουριντάν και Αλβέρτο της Σαξωνίας.
Τα τελευταία μεγάλα έργα αυτής της παράδοσης είναι τα Logic του Τζον Πόινσοτ (1589-1644, γνωστός ως Τζον του Αγίου Θωμά), Metaphysical Disputations του Φρανσίσκο Σουάρες (1548-1617), και Logica Demonstrativa του Τζοβάνι Τζιρόλαμο Σακέρι (1667-1733).
Η άνοδος της σύγχρονης λογικής
Το χρονικό διάστημα μεταξύ 14ου αιώνα μ.κ.ε. – αρχές 19ου αιώνα μ.κ.ε. ήταν σε μεγάλο βαθμό παρακμής και παραμέλησης της λογικής, και θεωρείται γενικά ως άγονο από τους ιστορικούς της λογικής. Η αναβίωση της λογικής συνέβη στα μέσα του 19ου αιώνα, κατά την αρχή μιας επαναστατικής περιόδου όπου το θέμα εξελίχθηκε σε έναν αυστηρό και τυπολατρικό επιστημονικό τομέα του οποίου υπόδειγμα ήταν η ακριβής μέθοδος που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά. Η ανάπτυξη της σύγχρονης “συμβολικής” ή “μαθηματικής” λογικής κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είναι η πιο σημαντική στα 2000 έτη της λογικής, και είναι αναμφισβήτητα ένα από τα πιο σημαντικά και αξιοσημείωτα γεγονότα στην ανθρώπινη ιστορία της διανόησης.
Περίοδοι της Σύγχρονης Λογικής
Η ανάπτυξη της Σύγχρονης Λογικής εμπίπτει σε (περίπου) πέντε περιόδους:
Η εμβρυϊκή περίοδος από τον Λάιμπνιτς το 1847, όταν η έννοια του λογικού λογισμού συζητήθηκε και αναπτύχθηκε, κυρίως από τον ίδιο, χωρίς να σχηματίσει σχολές, και περιοδικά μεμονομένες προσπάθειες εγκαταλείφθηκαν ή πέρασαν απαρατήρητες.
Η αλγεβρική περίοδος από την ανάλυση του Μπουλ στις διαλέξεις (Vorlesungen) του Ερνστ Σρέντερ. Αυτή την περίοδο υπήρχαν περισσότεροι ασκούμενοι, καθώ και μια μεγαλύτερη συνέχεια της ανάπτυξης της λογικής.
Η λογικιστική περίοδος από το έργο Begriffsschrift του Φρέγκε στο Principia Mathematica των Ράσελ και Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ. Αυτή τη περίοδο κυριαρχούσε η “λογικιστική σχολή”, στόχος της οποίας ήταν να ενσωματώσει τη λογική όλου του μαθηματικού και επιστημονικού λόγου σε ένα ενιαίο σύστημα, και το οποίο, έχοντας ως βασική αρχή ότι όλες οι μαθηματικές αλήθειες είναι λογικές, δεν θα δεχόταν οποιαδήποτε μη-λογική ορολογία. Οι μεγάλοι λογικιστικοί ήταν ο Φρέγκε, ο Ράσελ και, στις αρχές του, ο Βίτγκενσταϊν. Το αποκορύφωμα αυτής της εποχής ήταν το Principia, ένα σημαντικό έργο που περιλαμβάνει μια διεξοδική εξέταση και λύση των αντινομιών που είχαν αποτελέσει εμπόδιο στην προηγούμενη περίοδο.
Η μεταμαθηματική περίοδος (ή αλλιώς φορμαλιστική περίοδος) από το 1910 έως τη δεκαετία του 1930, η οποία είδε την ανάπτυξη της μεταλογική, στο πεπερασμένο σύστημα του Χίλμπερτ, και του μη-πεπερασμένου συστήματος του Löwenheim και Skolem, και το συνδυασμό της λογικής με την μεταλογική στο έργο του Γκέντελ και του Τάρσκι. Το θεώρημα μη πληρότητας του Γκέντελ του 1931 ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στην ιστορία της λογική. Αργότερα, στη δεκαετία του 1930, ο Γκέντελ ανέπτυξε την έννοια της συνολο-θεωρητικής κατασκευασιμότητας.
Η περίοδος μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο, όταν η μαθηματική λογική χωρίστηκε σε τέσσερις αλληλένδετες αλλά ξεχωριστές περιοχές της έρευνας: θεωρία μοντέλων, θεωρία αποδείξεων, θεωρία υπολογισμού και θεωρία συνόλων, και οι ιδέες και μέθοδοι της άρχισαν να επηρεάζουν τη φιλοσοφία.
Θέματα στη λογική
Συλλογιστική λογική
Κύριο λήμμα: Αριστοτελική λογική
Το Όργανον ήταν ο κορμός του έργου του Αριστοτέλη σχετικά με τη λογική, μαζί με τα Αναλυτικά πρότερα που αποτελεί το πρώτη εργασία στην τυπική λογική, εισάγοντας τη συλλογιστική λογική. Τα μέρη της συλλογιστικής λογικής, γνωστή και από το όνομα όρος λογική, είναι η ανάλυση των κρίσεων σε προτάσεις που αποτελούνται από δύο όρους που συνδέονται με μία από έναν σταθερό αριθμό σχέσεων, καθώς και την έκφραση των συμπερασμάτων μέσω των συλλογισμών που αποτελούνται από δύο προτάσεις που μοιράζονται έναν κοινό όρο ως αρχή, και ένα συμπέρασμα το οποίο είναι μια πρόταση με τη συμμετοχή των δύο μη συνδεδεμένων όρων από τις προκείμενες.
Το έργο του Αριστοτέλη θεωρήθηκε κατά την κλασσική αρχαιότητα και από τον μεσαίωνα στην Ευρώπη και τη Μέση Ανατολή ως την ίδια την εικόνα ενός πλήρως εκπονημένου συστήματος. Ωστόσο, δεν ήταν μόνο του: οι Στωικοί πρότειναν ένα σύστημα προτασιακής λογικής το οποίο μελετήθηκε από μεσαιωνικούς επιστήμονες της λογικής. Επίσης, το πρόβλημα των πολλαπλών μεταβλητών αναγνωρίστηκε στη μεσαιωνική εποχή. Παρ’ όλα αυτά, τα προβλήματα της συλλογιστικής λογικής δεν θεωρείται ότι χρήζουν επαναστατικών λύσεων.
Σήμερα, ορισμένοι ακαδημαϊκοί υποστηρίζουν ότι το σύστημα του Αριστοτέλη γενικά θεωρείται ότι έχει λίγο περισσότερο από ιστορική αξία (αν υπάρχει κάποιο σημερινό ενδιαφέρον για την επέκταση των όρων της λογικής), και ότι θα καταστεί παρωχημένη από την έλευση της προτασιακής λογικής και του κατηγορηματικού λογισμού. Άλλοι χρησιμοποιούν τον Αριστοτέλη στη θεωρία επιχειρηματολογίας για να βοηθήσουν στην ανάπτυξη και κριτική αμφισβήτηση επιχειρηματολογικών συστημάτων που χρησιμοποιούνται στην τεχνητή νοημοσύνη και στα νομικά επιχειρήματα.
Προτασιακή λογική
Ένας προτασιακός λογισμός ή λογική είναι ένα τυπικό σύστημα στο οποίο οι τύποι που αναπαριστάνουν προτάσεις μπορούν να σχηματίζονται με το συνδυασμό ατομικών προτάσεων χρησιμοποιώντας λογικούς συνδέσμους, και στον οποίο ένα σύστημα τυπικών κανόνων αποδείξεως επιτρέπει σε ορισμένους τύπους να καθιερόνονται ως «θεωρήματα».
Κατηγορηματική λογική
Κατηγορηματική λογική είναι ο γενικός όρος για τα συμβολικά τυπικά συστήματα, όπως η πρώτης τάξης λογική, η δεύτερης τάξης λογική, η πολυτυπική λογική και η λογική infinitary (ή άπειρη λογική, έσχατη λογική). Η κατηγορηματική λογική παρέχει έναν απολογισμό από ποσοδείκτες αρκετά γενικούς ώστε να εκφράσουν ένα ευρύ σύνολο από επιχειρήματα που εμφανίζονται στη φυσική γλώσσα. Η αριστοτελική συλλογιστική λογική καθορίζει ένα μικρό αριθμό από τους τύπους των οποίων το αντίστοιχο τμήμα των εμπλεκόμενων κρίσεων μπορεί να λάβει. Η κατηγορηματική λογική επιτρέπει φράσεις να αναλυθούν στο θέμα και στο επιχείρημα με διάφορους εναλλακτικούς τρόπους, και έτσι επιτρέπει να λύσει το πρόβλημα των πολλαπλών γενικοτήτων που είχε φέρει σε αμηχανία του μεσαιωνικούς επιστήμονες της λογικής.
Η ανάπτυξη της κατηγορηματικής λογικής συνήθως αποδίδεται στον Φρέγκε, ο οποίος επίσης καταλογίζεται ως ένας από τους θεμελιωτές της αναλυτικής φιλοσοφίας, αλλά η κατηγορηματική λογική που χρησιμοποιείται πιο συχνά σήμερα είναι η πρώτης τάξεως λογική που παρουσιάστηκε στο Αρχές της μαθηματικής λογικής (Principles of mathematical logic) από τους Ντέιβιντ Χίλμπερτ και Βίλχεμ Άκερμαν το 1928. Η αναλυτική γενικότητα της κατηγορηματικής λογικής επέτρεψε την τυποποίηση των μαθηματικών, οδηγώντας στην έρευνα της θεωρία των συνόλων, και την ανάπτυξη της θεωρίας μοντέλων του Άλφρεντ Τάρσκι. Παρέχει τα θεμέλια της σύγχρονης μαθηματικής λογικής. Το αρχικό σύστημα της κατηγορηματικής λογικής του Φρέγκε ήταν δεύτερης τάξης κι όχι πρώτης τάξης. Τη δεύτερης τάξης λογική εμφανώς υπερασπίστηκαν, έναντι της κριτικής του Ουίλαρντ Φαν Όρμαν Κουίν και άλλων, οι Τζορτζ Μπόολος και Στιούαρτ Σαπίρο.
Τροπική λογική
Στις γλώσσες, η τροπικότητα ασχολείται με το φαινόμενο όπου τα επιμέρους τμήματα μιας πρότασης μπορούν να έχουν δική τους σημασιολογία διαμορφωμένες από ειδικά ρήματα ή τροπικά υποτμήματα. Για παράδειγμα, η πρόταση «Πάμε στους αγώνες» μπορεί να τροποποιηθεί «Πρέπει να πάμε στους αγώνες», «Μπορούμε να πάμε στους αγώνες» και ίσως «Θα πάμε στους αγώνες». Πιο αφηρημένα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι η τροπικότητα επηρεάζει τις συνθήκες υπό τις οποίες παίρνουμε έναν ισχυρισμό που πρέπει πληρείται.
Η λογική του Αριστοτέλη, κατά ένα μεγάλο μέρος, ασχολείται με τη θεωρία της μη τροποποιημένης λογική. Παρ’ όλα αυτά, υπάρχουν αποσπάσματα στο έργο του, όπως το περίφημο επιχείρημα στο Περί ερμηνείας § 9, που σήμερα θεωρούνται προφητικά της τροπικής λογικής και η σύνδεσή της με την δυναμικότητα και το χρόνο, το παλαιότερο τυπικό σύστημα της τροπικής λογικής αναπτύχθηκε από τον Αβικέννα, τον οποίο ανέπτυξε τελικώς μια θεωρία «χρονικώς τροποποιημένης» συλλογιστικής.
Αν και η μελέτη της της ανάγκης και πιθανότητας παρέμεινα σημαντική για τους φιλόσοφους, μικρή ανάπτυξη γνώρισε οι καινοτομίες στη λογική μέχρι τις έρευνες-ορόσημο του Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις το έτος 1918, ο οποίος διατύπωσε μια οικογένεια από αντίπαλους αξιωματισμούς των alethic τρόπων. Το έργο εξαπέλυσε έναν χείμαρρο από εργασίες σχετικά με το θέμα, επεκτείνοντας τα είδη των τροπικοτήτων έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνουν τη δεοντική λογική και την επιστημολογική λογική. Η δημιουργική εργασία του Άρθουρ Πριόρ εφήρμοσε την ίδια τυπική γλώσσα για την αντιμετώπιση της χρονικής λογικής και άνοιξε το δρόμο για το “γάμο” των δύο θεμάτων. Ο Σάουλ Κρίπκε ανακάλυψε (ταυτόχρονα με τους αντιπάλους) τη θεωρία της πλαίσιο-σημασιολογίας, η οποία διέθεσε την τυπική τεχνολογία στους επιστήμονες της τροπικής λογικής και έδωσε έναν νέο γραφο-θεωρητικό τρόπο θεώρησης στην τροπικότητα που έχει οδηγήσει σε πολλές εφαρμογές στην υπολογιστική γλωσσολογία και την επιστήμη των υπολογιστών, όπως η δυναμική λογική (ή αλλιώς χρονομετρημένη λογική).
Άτυπη λογική
Το κίνητρο για τη μελέτη της λογικής στην αρχαιότητα ήταν σαφές: ότι είναι έτσι ώστε να μπορείς κανείς να μάθει να διακρίνει τα καλά από τα κακά επιχειρήματα, και έτσι να γίνει πιο αποτελεσματικός στην επιχειρηματολογία και στη ρητορική, ίσως και να γίνει καλύτερος άνθρωπος. Τα μισά από τα έργα του Όργανον του Αριστοτέλη αντιμετωπίζει το συμπερασμό όπως εμφανίζεται σε ένα άτυπο πλαίσιο, πλάι-πλάι με την ανάπτυξη της συλλογιστικής, και στο αριστοτελικό σχολείο, οι εργασίες πάνω στην άτυπη λογική θεωρούνταν ως συμπληρωματικές στη ρητορική διδασκαλία του Αριστοτέλη.
Αυτό το αρχαίο κίνητρο παραμένει ζωντανό, αν και πλέον δεν είναι στο επίκεντρο της λογικής. Τυπικώς η διαλεκτική λογική θα σχηματίσει τον πυρήνα ενός μαθήματος στην κριτική σκέψη, ένα υποχρεωτικό μάθημα σε πολλά πανεπιστήμια. Η θεωρία της επιχειρηματολογίας είναι η μελέτη και η έρευνα της άτυπης λογικής, των λογικών πλανών και των κρίσιμων ερωτημάτων που σχετίζονται με την καθημερινότητα και πρακτικές καταστάσεις. Συγκεκριμένοι τύποι του διαλόγου μπορούν αναλυθούν και να αμφισβητηθούν για να αποκαλύψουν προκείμενες, συμπεράσματα και πλάνες. Η θεωρία της επιχειρηματολογίας εφαρμόζεται στην τεχνητή νοημοσύνη και το δίκαιο.
Επιχείρημα
Στη λογική και τη φιλοσοφία, το επιχείρημα είναι μια προσπάθεια να πείσει κάποιον για κάτι, δίνοντας τους λόγους για να αποδεχθεί ένα συγκεκριμένο συμπέρασμα όπως προκύπτει. Η γενική δομή ενός επιχειρήματος σε μια φυσική γλώσσα είναι εκείνη των προκείμενων (συνήθως σε μορφή θεωρημάτων, δηλώσεων ή προτάσεων) υπέρ του ισχυρισμού: του συμπεράσματος. Η δομή ορισμένων επιχειρημάτων μπορεί επίσης να καθοριστεί σε μια τυπική γλώσσα, και τα τυπικώς ορισμένα “επιχειρήματα” μπορούν να γίνουν ανεξάρτητα από τα επιχειρήματα των φυσικών γλωσσών, όπως στη λογική, τα μαθηματικά και την επιστήμη των υπολογιστών.
Σε ένα τυπικό παραγωγικό (ή απαγωγικό) επιχείρημα, οι προκείμενες χρησιμοποιούνται για να δώσουν εγγύηση από την αλήθεια του συμπεράσματος, ενώ σε ένα επαγωγικό επιχείρημα, θεωρούνται ότι δίνουν τους λόγους που αιτιολογούν (συνηγορούν) τη πιθανή αλήθεια του συμπεράσματος. Τα πρότυπα για την αξιολόγηση των μη παραγωγικών επιχειρημάτων μπορούν να σε διαφορετικά ή πρόσθετα κριτήρια από την αλήθεια, για παράδειγμα, η πειστικότητα των λεγόμενων “αναγκαίων ισχυρισμών” σε υπερβατικά επιχειρήματα, η ποιότητα των υποθέσεων στον υποθετικό-παραγωγικό συλλογισμό (retroduction), ή ακόμη και η γνωστοποίηση νέων δυνατοτήτων στη σκέψη και δράση.
Τα πρότυπα και τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται στην αξιολόγηση των επιχειρημάτων και των μορφών του συλλογισμού τους μελετήθηκαν στη λογική. Ακόμη, έχουν μελετηθεί αποτελεσματικοί τρόποι διατύπωσης επιχειρημάτων (θεωρία επιχειρημάτων). Ένα επιχείρημα σε μια τυπική γλώσσα δείχνει τη λογική μορφή του συμβολικά αναπαριστανόμενου ή φυσικής γλώσσας επιχειρήματος που λαμβάνεται βάση τις ερμηνείες του.
Μαθηματική λογική
Η μαθηματική λογική αναφέρεται στην πραγματικότητα σε δύο διαφορετικούς τομείς της έρευνας, ο πρώτος είναι η εφαρμογή των τεχνικών της τυπικής λογικής στα μαθηματικά και τη μαθηματική συλλογιστική, και ο δεύτερος, προς την άλλη κατεύθυνση, η εφαρμογή των μαθηματικών τεχνικών για την αναπαράσταση και ανάλυση της τυπικής λογικής. Η παλαιότερη χρήση των μαθηματικών και της γεωμετρίας σε σχέση με τη λογική και τη φιλοσοφία χρονολογείται από τους αρχαίους Έλληνες, όπως ο Ευκλείδης, ο Πλάτωνας και ο Αριστοτέλης. Πολλοί άλλοι αρχαίοι και μεσαιωνικοί φιλόσοφοι εφήρμοσαν μαθηματικές ιδέες και μεθόδους για τους δικούς τους φιλοσοφικούς ισχυρισμούς.
Μπέρτραντ Ράσελ
Μια από τις πιο τολμηρές προσπάθειες για την εφαρμογή της λογικής στα μαθηματικά ήταν αναμφισβήτητα ο λογικισμός των φιλόσοφων-επιστημών της λογικής όπως Γκότλομπ Φρέγκε και Μπέρτραντ Ράσελ: η ιδέα ήταν ότι οι μαθηματικές θεωρίες ήταν λογικές ταυτολογίες και το πρόγραμμα ήταν να δείξει αυτό με τη μείωση των μαθηματικών στη λογική. Οι διάφορες προσπάθειες να το υλοποιήσουν συνάντησαν μια σειρά από αποτυχίες , από την αποδυνάμωση του προγράμματος του Φρέγκε στο έργο του Grundgesetze από το παράδοξο του Ράσελ, μέχρι την ήττα του προγράμματος του Χίλμπερτ από τα θεωρήματα μη πληρότητας του Γκέντελ.
Η έκθεση του προγράμματος του Χίλμπερτ όσο και η διάψευσή του από τον Γκέντελ εξαρτήθηκαν από την εργασία τους για τη θέσπιση του δεύτερου τομέα της μαθηματικής λογικής, την εφαρμογή των μαθηματικών στη λογική με τη μορφή της θεωρίας απόδειξης. Παρά την αρνητική φύση των θεωρημάτων μη πληρότητας, το θεώρημα πληρότητας του Γκέντελ, ένα αποτέλεσμα στη θεωρία μοντέλων και μια άλλη εφαρμογή των μαθηματικών στη λογική, μπορούν να θεωρηθεί ότι δείχνουν πόσο κοντά ο λογικισμός πλησίασε την αλήθεια: κάθε αυστηρά καθορισμένη μαθηματική θεωρία μπορεί να είναι επακριβώς καταγεγραμμένη από μια πρώτης τάξεως λογική θεωρία. Ο αποδεικτικός λογισμός του Φρέγκε είναι αρκετός για να περιγράψει το σύνολο των μαθηματικών, αν και δεν ισοδυναμεί με αυτό. Έτσι, βλέπουμε πώς οι δύο αυτές συμπληρωματικές περιοχές της μαθηματικής λογικής υπήρξαν και συνδέθηκαν.
Η θεωρία απόδειξης και η θεωρία μοντέλων ήταν τα θεμέλια της μαθηματικής λογικής, αλλά δύο από τους τέσσερις πυλώνες του θέματος. Η θεωρία συνόλων προέρχεται από τη μελέτη του άπειρου από τον Γκέοργκ Κάντορ και αποτέλεσε πηγή πολλών από τα πιο δύσκολα και σημαντικά ζητήματα στη μαθηματική λογική, από το θεώρημα του Κάντορ, στο καθεστώς του αξιώματος της επιλογής και το ζήτημα της ανεξαρτησίας της υποθέσεως του συνεχούς, μέχρι τη σύγχρονη συζήτηση γύρω από τα μεγάλα βασικά αξιώματα.
Η θεωρία αναδρομής συλλαμβάνει την ιδέα του υπολογισμού σε λογικούς και αριθμητικούς όρους. Τα πιο κλασικά επιτεύγματά της είναι η αναποφασιστικότητα του Entscheidungsproblem (decision problem ή πρόβλημα αποφάσεων) από τον Άλαν Τούρινγκ και η παρουσίαση της θέσης Church-Turing. Σήμερα η θεωρία αναδρομής ως επί το πλείστον ασχολείται με το πιο εκλεπτυσμένο πρόβλημα των κλάσεων πολυπλοκότητας – πότε ένα πρόβλημα είναι αποτελεσματικά επιλύσιμο; – και την ταξινόμηση των βαθμών αναποκρισιμότητας.
Φιλοσοφική λογική
Η φιλοσοφική λογική ασχολείται με τυπικές περιγραφές της φυσικής γλώσσας. Οι περισσότεροι φιλόσοφοι υποθέτουν ότι το κύριο μέρος της “κανονικής” ορθής συλλογιστικής μπορεί να αποτυπωθεί από τη λογική, αν μπορεί κάποιος να βρει τη σωστή μέθοδο για τη μετάφραση από καθημερινή γλώσσα (ordinary language) σε αυτή τη λογική. Η φιλοσοφική λογική είναι ουσιαστικά μια συνέχεια της παραδοσιακού τομέα που αποκαλούταν “Λογική” πριν από την εφεύρεση της μαθηματικής λογικής. Το ενδιαφέρον της είναι στραμμένο στη σύνδεση μεταξύ φυσικής γλώσσας και λογικής. Ως αποτέλεσμα, οι επιστήμονες της φιλοσοφικής λογικής έχουν συμβάλει σε μεγάλο βαθμό στην ανάπτυξη των non-stardard λογικών (π.χ. ελεύθερες λογικές, χρονικές λογικές), καθώς και διάφορες επεκτάσεις της κλασικής λογικής (π.χ. τροπικές λογικές) και non-standard σημασιολογίες για τις εν λόγω λογικές (π.χ. τεχνική του Kripke των supervaluations στη σημασιολογία της λογικής).
Η λογική και η φιλοσοφία της γλώσσας είναι στενά συνδεδεμένες. Η φιλοσοφία της γλώσσας έχει να κάνει με τη μελέτη του πώς η γλώσσα μας δεσμεύει και αλληλεπιδρά με τη σκέψη μας. Η λογική έχει άμεσο αντίκτυπο σε άλλους τομείς της μελέτης. Η μελέτη της λογικής και της σχέσης μεταξύ λογικής και των καθημερινών ομιλιών μπορεί να βοηθήσει ένα άτομο να δομεί καλύτερα τα επιχειρήματά του και κρίνει τα επιχειρημάτων των άλλων. Πολλά δημοφιλή επιχειρήματα είναι γεμάτα με λάθη εξαιτίας του μεγάλου αριθμού ανθρώπων που είναι ανεκπαίδευτοι στη λογική και αγνοούν για το πώς να διαμορφώσουν ένα επιχείρημα με το σωστό τρόπο.
Υπολογιστική λογική
Κύριο λήμμα: Λογική στην επιστήμη των υπολογιστών
Η λογική έκοψε στην καρδιά της επιστήμης των υπολογιστών καθώς αναδείχθηκε ως τομέας της: το εργασία του Άλαν Τούρινγκ στο Entscheidungsproblem (πρόβλημα αποφάσεων) ακολουθούμενο από την εργασία του Κουρτ Γκέντελ πάνω στα θεωρήματα μη πληρότητας, και η ιδέα των υπολογιστών γενικής χρήσης που προήλθε από την τελευταία ήταν θεμελιώδους σημασίας για τους σχεδιαστές του μηχανισμού των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη δεκαετία του 1940.
Στις δεκαετίες του 1950 και του 1960, οι ερευνητές πρόβλεψαν ότι όταν η ανθρώπινη γνώση θα μπορούσε να εκφράζεται χρησιμοποιώντας τη λογική με μαθηματική σημειογραφία, θα ήταν πιθανό να δημιουργήσουμε ένα μηχάνημα το οποίο θα συλλογίζεται, ή αλλιώς, τεχνητή νοημοσύνη. Αποδείχθηκε ότι είναι πιο δύσκολο από ό,τι αναμενόταν, λόγω της πολυπλοκότητας της ανθρώπινης σκέψης. Στο λογικό προγραμματισμό, ένα πρόγραμμα αποτελείται από ένα σύνολο αξιωμάτων και κανόνων. Τα συστήματα του λογικού προγραμματισμού, όπως η Prolog, υπολογίζουν τις συνέπειες των αξιωμάτων και των κανόνων, προκειμένου να απαντήσουν σε ένα ερώτημα.
Σήμερα η λογική έχει εφαρμοστεί ευρέως στους τομείς της τεχνητής νοημοσύνης και της επιστήμης των υπολογιστών, ενώ αυτοί οι τομείς αποτελούν πλούσια πηγή προβλημάτων στην τυπική και άτυπη λογική. Η θεωρία επιχειρηματολογίας είναι ένα καλό παράδειγμα του πώς η λογική εφαρμόζεται στην τεχνητή νοημοσύνη. Η ACM Computing Classification System διακρίνει:
Section F.3 στις λογικές με τις έννοιες των προγραμμάτων και F.4 στη μαθηματική λογική με τις τυπικές γλώσσες ως τμήμα της θεωρίας της επιστήμης των υπολογιστών: αυτά καλύπτουν την τυπική σημασιολογία των γλωσσών προγραμματισμού, καθώς και το έργο τυπικών μεθόδων όπως είναι η λογική του Χόαρ
Τη λογική του Μπουλ ως θεμελιώδη για το υλικό του υπολογιστή: section B.2 του συστήματος στις αριθμητικές και λογικές δομές, που αφορούν τις λειτουργίες AND(ΚΑΙ), ΝΟΤ(ΌΧΙ) και OR(Ή) Πολλοί θεμελιώδης λογικοί φορμαλισμοί είναι απαραίτητοι στο section I.2 στην τεχνητή νοημοσύνη, όπως για παράδειγμα η τροπική λογική και η προεπιλεγμένη λογική στην αναπαράσταση γνώσης φορμαλισμών και μεθόδων, οι διατάξεις του Χορν στο λογικό προγραμματισμό, και η περιγραφική λογική (description logic).
Ακόμη περισσότερο, οι υπολογιστές μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως εργαλεία για τους επιστήμονες της λογικής. Για παράδειγμα, στη συμβολική και μαθηματική λογική, οι αποδείξεις από ανθρώπους μπορούν να γίνουν με τη βοήθεια υπολογιστή. Χρησιμοποιώντας αυτοματοποιημένη απόδειξη θεωρημάτων οι υπολογιστές μπορούν να βρουν και να ελέγξουν αποδείξεις, καθώς και να εργαστούν με αποδείξεις οι οποίες είναι υπερβολικά χρονοβόρες για να γραφτούν με το χέρι.
Κβαντική Λογική
Ένα έγγραφο, το 1936, από τον Γκάρετ Μπίρκοφ και τον Τζον φον Νόιμαν ήταν αρκετό για να θεμελιώσει την κβαντική λογική. H προσπάθειά τους εντείνονταν στον συμβιβασμό της ανακολουθίας της κλασικής λογικής στις αξιώσεις της κβαντικής μηχανικής με τα πραγματικά περιστατικά σχετικά με τη μέτρηση των συμπληρωματικών μεταβλητών στην κβαντική μηχανική, όπως η θέση και η ορμή. Η κβαντική λογική μπορεί να διαμορφωθεί είτε ως μια τροποποιημένη έκδοση της προτασιακής λογικής είτε ως μια μη-μεταθετική και μη-συνειρμική λογική πολλών τιμών (multi-valued logic). Ωστόσο, έχει κάποιες ιδιότητες που την διακρίνουν σαφώς από την κλασική λογική, με κυριότερη την αδυναμία του επιμεριστικού νόμου της προτασιακής λογικής.
Δισθενές και ο νόμος της αποκλεισμένης μέσης
Οι λογικές που διατυπώθηκαν παραπάνω είναι όλες «δισθενείς» ή «δύο-τιμών». Για αυτό γίνονται περισσότερα φυσικά αντιληπτές ως διαίρεση προτάσεων σε αληθινές και ψευδείς. Οι μη κλασσικές λογικές είναι αυτά τα συστήματα που απορρίπτουν το δισθενές. Ο Χέγκελ ανέπτυξε τη δική του διαλεκτική λογική η οποία επέκτεινε την υπερβατική λογική του Καντ αλλά η οποία την “προσγείωσε” διαβεβαιώνοντάς μας ότι «ούτε στον ουρό ούτε στη γη, ούτε στον κόσμο του μυαλού ούτε της φύσης, δεν υπάρχει “είτε Α, είτε Β” όσο η κατανόηση συντηρείται. Ότι υπάρχει είναι απτό, διαφορετικό και σε αντίθεση από μόνο του».
Το 1910, ο Νικολάι Βασίλιεφ επέκτεινε τον νόμο της αποκλεισμένης μέσης και το νόμο των αντιθέτων και πρότεινε το νόμο του αποκλεισμένου τέταρτου και λογική ανθεκτική στην αντίφαση. Στις αρχές του 20ου αιώνα ο Γιαν Λουκάσιεβιτς διερεύνησε την επέκταση των παραδοσιακών τιμών αληθές/ψευδές για να συμπεριλάβει μια τρίτη τιμή, “πιθανό”, εφευρίσκοντας την τριαδική λογική, την πρώτη λογική πολλαπλών τιμών. Λογικές όπως η λογική fuzzy (ασαφής λογική), δεδομένου ότι έχουν επινοηθεί με έναν άπειρο αριθμό από “βαθμίδες αλήθειας”, αναπαραστάθηκαν από ένα πραγματικό αριθμό μεταξύ 0 και 1.
Η ενορατική λογική προτάθηκε από τον L. E. J. Brouwer ως η σωστή λογική για τη συλλογιστική στα μαθηματικά, με βάση την απόρριψη του νόμου της αποκλεισμένης μέσης, ως τμήμα του ενορατισμού. Ο Brouwer απέρριψε την τυποποίηση των μαθηματικών, ο μαθητής του Arend Heyting όμως μελέτησε την ενορατική λογική ως τυπική, όπως έκανε και ο Gerhard Gentzen. Η ενορατική λογική προσελκύει μεγάλο ενδιαφέρον στους επιστήμονες πληροφορικής, καθώς είναι μια εποικοδομητική λογική και μπορεί να εφαρμοστεί για την εξαγωγή προγραμμάτων που επαληθεύονται από αποδείξεις.
Η τροπική λογική δεν είναι αληθινή υποθετική (conditional), και για αυτό έχει συχνά προταθεί ως μη κλασική λογική. Ωστόσο η τροπική λογική είναι συνήθως τυποποιημένη με την αρχή της αποκλεισμένης μέσης και η σχεσιακή της σημασιολογία είναι δισθενής, οπότε η ένταξη της είναι αμφισβητήσιμη.
Είναι η λογική εμπειρική;
Κύριο λήμμα: “Is logic empirical?”
Ποιο είναι το επιστημονολογικό καθεστώς των νόμων της λογικής; Τι είδους επιχείρημα είναι κατάλληλο για την κριτική δήθεν αρχών της λογικής; Σε μια σημαντική εργασία με τίτλο Is logic empirical? (Είναι η λογική εμπειρική;) του Χίλαρι Πούτναμ, βασισμένος σε μια πρόταση του Κουίν, υποστήριξε ότι σε γενικές γραμμές τα στοιχεία της προτασιακής λογικής έχουν ένα παρόμοιο επιστημολογικό καθεστώς ως στοιχεία σχετικά με το φυσικό σύμπαν, όπως για παράδειγμα τους νόμους της μηχανικής και της γενικής σχετικότητας, και ιδίως ότι αυτό που οι φυσικοί έχουν μάθει για την κβαντική μηχανική δείχνει την επιτακτική ανάγκη για εγκατάλειψη ορισμένων εκ των γνωστών αρχών της κλασικής λογικής: αν θέλουμε να είμαστε ρεαλιστές σχετικά με τα φυσικά φαινόμενα που περιγράφονται από την κβαντική θεωρία, τότε θα πρέπει να εγκαταλείψουμε την αρχή της επιμεριστικότητας, αντικαθιστώντας την κλασική λογική με την κβαντική λογική που προτάθηκε από τους Γκάρετ Μπίρκοφ και Τζον φον Νόιμαν.
Μία άλλη ομώνυμη εργασία από τον Sir Michael Dummett υποστηρίζει ότι η επιθυμία του Πούτναμ για το ρεαλισμό επιτάσσει το νόμο της επιμεριστικότητας. Η επιμεριστικότητα της λογικής είναι απαραίτητη για την κατανόηση των ρεαλιστών για το πώς οι προτάσεις είναι αλήθεια του κόσμου κατά τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως ο Dummett έχει ισχυριστεί ότι η αρχή του δισθενούς είναι. Με τον τρόπο αυτό, η ερώτηση “Είναι η λογική εμπειρική;” μπορεί να θεωρηθεί ότι οδηγεί φυσικά στη θεμελιώδη αντιπαράθεση στην μεταφυσική στο ρεαλισμό έναντι του αντι-ρεαλισμού.
Συνεπαγωγή: Αυστηρή ή αιτιατή;
Κύριο λήμμα: Παράδοξο της συνεπαγωγής
Είναι προφανές ότι η έννοια της συνεπαγωγής που τυποποιήθηκε στην κλασική λογική δεν μεταφράζεται άνετα σε φυσική γλώσσα με τη βοήθεια της δομής “αν…τότε”, και αυτό οφείλεται σε μια σειρά από προβλήματα που ονομάζονται τα παράδοξα της αιτιατής συνεπαγωγής.
Η πρώτη κλάση των παραδόξων περιλαμβάνει αντιπαραδείγματα, όπως «Αν το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από πράσινο τυρί, τότε 2+2=5», που είναι αινιγματικό γιατί η φυσική γλώσσα δεν υποστηρίζει την αρχή της έκρηξης. Η εξάλειψη αυτής της κλάσης παραδόξων ήταν ο λόγος για τη διατύπωση από τον Κλάρενς Ίρβινγκ Λιούις της αυστηρής (τροπικής) συνεπαγωγής, η οποία τελικά οδήγησε σε πιο ριζικές ρεβιζιονιστικές (αναθεωρητικές) λογικές όπως είναι η σχετική λογική (relevant ή relevance logic).
Η δεύτερη κλάση των παραδόξων περιλαμβάνει περιττές προκείμενες, ψευδώς υποδηλώνοντας ότι γνωρίζοντας το μεταγενέστερο λόγω του προγενέστερου: έτσι, η πρόταση «εάν αυτός ο άνθρωπος εκλεγεί, η γιαγιά θα πεθάνει» είναι στην ουσία αληθής, δεδομένου ότι η γιαγιά είναι θνητή, ανεξάρτητα από τις εκλογικές προοπτικές του ανθρώπου. Τέτοιες φράσεις παραβιάζουν την απόφθεγμα του Πολ Γκράις της σχέσης, και μπορούν να μοντελοποιηθούν από λογικές που απορρίπτουν την αρχή της μονοτονίας, όπως η σχετική λογική.
Ανέχοντας το αδύνατο
Κύριο λήμμα: Παρασυνεπής λογική
Ο Χέγκελ είχε εξαιρετικά επικριτική στάση σε οποιαδήποτε απλουστευμένη έννοια του νόμου της μη αντίφασης. Ήταν βασισμένος στην ιδέα του Λάιμπνιτς ότι αυτός ο νόμος της λογικής απαιτεί επίσης επαρκή αιτιολογία για να διευκρινίζει από ποια οπτική γωνία (ή χρόνο) κάποιος λέει ότι κάτι δεν μπορεί να αντιφάσκει. Ένα κτήριο, για παράδειγμα, κινείται αλλά και δεν κινείται μαζί, το έδαφος κατά μία έννοια είναι το ηλιακό μας σύστημα ενώ κατ’ άλλη είναι η γη. Στην εγελιανή διαλεκτική, ο νόμος της μη αντίφασης, της ταυτότητας, ο ίδιος στηρίζεται στη διαφορά και έτσι δεν είναι ανεξάρτητα διεκδικήσιμος.
Στενά συνδεδεμένη με ζητήματα που προκύπτουν από τα παράδοξα της implication έρχεται η πρόταση ότι η λογική θα έπρεπε να ανεχτεί την ασυνέπεια. Η σχετική λογική (relative logic) και η παρασυνεπής λογική (paraconsistent logic) είναι οι σημαντικότερες προσεγγίσεις εδώ, αν και οι ανησυχίες διαφέρουν: μια βασική συνέπεια της κλασικής λογικής και ορισμένων από τις αντίπαλές της, όπως είναι η ενορατική λογική, είναι ότι τηρούν την αρχή της έκρηξης (principle of explosion, ή αλλιώς principle of Pseudo-Scotus), το οποίο σημαίνει ότι η λογική καταρρέει αν από αυτή δύναται να προκύψει μια αντίφαση. Ο Γκράχαμ Πριστ, ο κύριος υποστηρικτής του διαληθισμού, έχει ταχθεί υπέρ της παρασυνέπειας με την αιτιολογία ότι υπάρχουν στην πραγματικότητα αληθινές αντιφάσεις.
Απόρριψη της λογικής αλήθειας
Η φιλοσοφική φλέβα των διαφόρων ειδών του σκεπτικισμού περιέχει πολλά είδη της αμφισβήτησης και απόρριψης των διαφόρων βάσεων στις οποίες στηρίζεται η λογική, όπως η ιδέα της λογικής μορφής, ο σωστός συμπερασμός, ή έννοια, συνήθως οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχουν λογικές αλήθειες. Παρατηρήστε ότι αυτό είναι το αντίθετο στις συνήθεις απόψεις στο φιλοσοφικό σκεπτικισμό, όπου η λογική κατευθύνει την σκεπτικιστική έρευνα να αμφιβάλλει για τις θεόσταλτες σοφίες και ξεπερασμένες απόψεις, όπως στο έργο του Σέξτου του Εμπειρικού.
Φρίντριχ Νίτσε
Ο Φρίντριχ Νίτσε προβάλλει ένα ισχυρό παράδειγμα της απόρριψης της συνήθης βάσης της λογικής: η ριζική απόρριψη της εξιδανίκευσης τον οδήγησε να απορρίψει την αλήθεια ως «…ένα κινητός στρατός από μεταφορές, μετώνυμα και ανθρωπομορφισμούς – με λίγα λόγια, μεταφορές οι οποίες έχουν φθαρεί και χωρίς αισθητηριακή δύναμη. Κέρματα που έχουν χάσει το νόημά τους και πλέον έχουν σημασία ως μέταλλο κι όχι ως κέρματα». Η απόρριψη της αλήθειας δεν τον οδήγησε να απορρίψει την ιδέα του συμπερασμού ή λογικής εντελώς, αλλά πρότεινε ότι «η λογική άρχισε να λειτουργεί στο ανθρώπινο κεφάλι έξω από το παράλογο, του οποίου το πεδίο κανονικά θα έπρεπε να ήταν απέραντο. Αναρίθμητα όντα που συμπέραναν κατά τρόπο διαφορετικό από το δικό μας έχασαν τη ζωή τους». Έτσι, υπάρχει η ιδέα ότι η λογική συναγωγή έχει την χρησιμότητα της στην ανθρώπινη επιβίωση, αλλά και ότι η ύπαρξή του δεν υποστηρίζει την ύπαρξη της αλήθειας, ούτε έχει μια πραγματικότητα πέρα από την καθορισμένη: «Επίσης, η λογική βασίζεται σε υποθέσεις που δεν αντιστοιχούν σε τίποτα στον πραγματικό κόσμο».
Στην Ευρώπη, ο Αριστοτέλης πρώτος ανέπτυξε την επιστήμη της λογικής. Η αριστοτελική λογική έγινε ευρέως αποδεκτή στην επιστήμη και τα μαθηματικά, ενώ παρέμεινε σε ευρεία χρήση στην Δύση μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα. Το αριστοτελικό σύστημα της λογικής ήταν αυτό που εισήγαγε τον υποθετικό συλλογισμό, την χρονική τυπική λογική και την επαγωγική λογική, καθώς και σημαντικούς όρους όπως κατηγορία, συλλογισμός και πρόταση.
Στην Ευρώπη, κατά την ύστερη μεσαιωνική περίοδο, έγιναν σημαντικές προσπάθειες να δείξουν ότι οι ιδέες του Αριστοτέλη ήταν συμβατές με την χριστιανική πίστη. Κατά τον πρώιμο Μεσαίωνα, η λογική έγινε το επίκεντρο των φιλοσόφων, οι οποίοι θα συμμετάσχουν σε κρίσιμες λογικές αναλύσεις των φιλοσοφικών επιχειρημάτων, συχνά χρησιμοποιώντας παραλλαγές της μεθοδολογίας του σχολαστικισμού. Το 1323 κυκλοφόρησε το Summa Logicae του Ουίλιαμ του Όκαμ. Μέχρι το 18ο αιώνα, η δομημένη προσέγγιση στην επιχειρηματολογία είχε εκφυλιστεί και έπεσε έπεσε σε δυσμένεια, όπως απεικονίστηκε στο σατυρικό έργο του Λούντβιχ Χόλμπεργκ Erasmus Montanus.
Ο Κινέζος φιλόσοφος της λογικής Γκονγκσούν Λονγκ (περ. 325-250 π.κ.ε.) πρότεινε το παράδοξο “ένα και ένα δεν μπορούν να γίνουν δύο, αφού κανένα δεν γίνεται δύο”. Στην Κίνα, η παράδοση της επιστημονικής έρευνας σχετικά με την λογική, όμως, παρουσιάστηκε στην δυναστεία Κιν μετά από την νομικιστική φιλοσοφία του Χαν Φέιτζι.
Στην Ινδία, οι καινοτομίες στο σχολαστικό σχολείο, που ονομαζόταν Nyaya, συνεχίστηκε από την αρχαιότητα ως τις αρχές του 18ου αιώνα με το Navya-Navya σχολείο. Μέχρι το 16ο αιώνα, ανέπτυξε θεωρίες που μοιάζουν με τη σύγχρονη λογική, όπως του Γκότλομπ Φρέγκε “διάκριση μεταξύ της έννοιας και της αναφοράς των κύριων ονομάτων” και “ορισμός του αριθμού”, καθώς και την θεωρία των «περιορισμένων όρων καθολικά» προβλέποντας μερικές από τις εξελίξεις στην σύγχρονη θεωρία συνόλων. Από το 1824, η ινδική λογική προσέλκυσε την προσοχή πολλών Δυτικών μελετητών και επηρέασε σημαντικούς επιστήμονες της λογικής του 19ου αιώνα, όπως Τσαρλς Μπάμπατζ, Αουγκούστους ντε Μόργκαν και Τζορτζ Μπουλ. Τον 20ο αιώνα, δυτικοί φιλόσοφοι όπως οι Στάνισλαβ Σάγιερ και Κλάους Γκλάσοφ διερεύνησαν εκτενέστερα την ινδική λογική.
Το 1854, ο Τζορτζ Μπουλ δημοσίευσε μια έρευνα των νόμων της σκέψης επί των οποίων θεμελιώθηκαν οι μαθηματικές θεωρίες της λογικής και των πιθανοτήτων (An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities), εισάγοντας την συμβολική λογική και τις αρχές της λογικής του Μπουλ. Το 1879, ο Γκόντλομπ Φρέγκε δημοσίευσε το βιβλίο ‘Begriffsschrift’, το οποίο εγκαινίασε την σύγχρονη λογική με την εφεύρεση της σημειογραφίας των ποσοδεικτών. Από το 1910 εώς το 1913, ο Άλφρεντ Νορθ Ουάιτχεντ δημοσίευσε το Principia Mathematica σχετικά με τα θεμέλια των μαθηματικών, προσπαθώντας να αντλήσει μαθηματικές αλήθειες από αξιώματα και κανόνες συμπερασμού στην συμβολική λογική. Το 1931, ο Γκέντελ έθεσε σοβαρά προβλήματα με το πρόγραμμα της αναζήτησης των θεμελίων και η λογική έπαψε να επικεντρώνεται σε τέτοια ζητήματα.
Η ανάπτυξη της λογικής από τους Φρέγκε και Βιτγκεστάιν είχε βαθιά επίδραση στην πρακτική της φιλοσοφίας και στην αντίληψη της φύσης των φιλοσοφικών προβλημάτων, και φιλοσοφία των μαθηματικών. Η λογική, ειδικά η προτασιακή λογική, υλοποιείται σε κυκλώματα λογικής του υπολογιστή και είναι θεμελιώδους σημασίας για την επιστήμη των υπολογιστών. Η λογική διδάσκεται από πανεπιστημιακά τμήματα φιλοσοφίας, ως υποχρεωτικό μάθημα.
Η Λογική Πλάνη.
Ο Αριστοτέλης ήταν ο πρώτος που θα συστηματοποιήσει τα λογικά σφάλματα σε μια λίστα. Στο έργο του ‘Περί των Σοφιστικών ελέγχων’ (το οποίο συμπεριλαμβάνεται στο Όργανον) ο Αριστοτέλης προσδιορίζει δεκατρείς πλάνες, τις χωρίζει σε δύο μεγάλες κατηγορίες, αυτές που εξαρτώνται από την γλώσσα και αυτές που δεν εξαρτώνται από την γλώσσα. Θα τις αποκαλούμε λεκτικές πλάνες και αιτιατές πλάνες, αντιστοίχως. Μια αιτιατή πλάνη είναι ένα σφάλμα πάνω σε αυτό που ο επιχειρηματολόγος συζητά (περί τίνος μιλάει), ενώ μια λεκτική πλάνη είναι ένα σφάλμα πάνω στον τρόπο με τον οποίο ο επιχειρηματολόγος συζητά (πώς μιλάει). Οι λεκτικές πλάνες είναι αυτές στις οποίες το συμπέρασμα προκύπτει από άτοπη (ακατάλληλη, αταίριαστη) και διφορούμενη χρήση των λέξεων.
Ο όρος “Λογική Πλάνη” αναφέρεται στην λανθασμένη χρήση της λογικής ενός επιχειρήματος, το οποίο καθιστά το επιχείρημα άκυρο.
Η Λογική Πλάνη συχνά απαντά στον ανεπίσημο διάλογο για να υποδηλώσει ένα επιχείρημα το οποίο μπορεί να είναι προβληματικό για οποιονδήποτε λόγο. Σε αυτή την χρήση του όρου συμπεριλαμβάνονται τόσο οι μη σχηματικές πλάνες (δηλαδή έγκυρες αλλά σαθρές προτάσεις ή μη ποιοτική/μη παραγωγική επιχειρηματολογία) όσο και οι σχηματικές πλάνες. Ο όρος είναι γνωστός και ως Διαλληλία.
Είναι δύσκολο να αναγνωριστούν οι πλάνες στην καθημερινή επιχειρηματολογία, διότι τα επιχειρήματα συνήθως απαντούν ενσωματωμένα σε ρητορικές που συσκοτίζουν τις λογικές συνδέσεις μεταξύ των προτάσεών τους. Επιπλέον, οι μη σχηματικές πλάνες εκμεταλλεύονται τα συναισθήματα καθώς και τις διανοητικές και ψυχολογικές αδυναμίες του κοινού στο οποίο απευθύνονται. Η ικανότητα προσδιορισμού κάθε “λογικής πλάνης” είναι κάτι το οποίο πρέπει να αναπτύξει ο άνθρωπος, προκειμένου να τις αποφεύγει.
Το ότι σε ένα παραγωγικό επιχείρημα εντοπίζεται σχηματική πλάνη δεν επηρεάζει τις προτάσεις ή το συμπέρασμα του επιχειρήματος, αφού είναι δυνατόν, είτε και τα δύο να είναι αληθή, είτε απλώς να είναι πολύ πιθανά εξαιτίας της φύσης του επιχειρήματος (π.χ. προσφυγή στην αυθεντία). Παρόλα αυτά, το παραγωγικό επιχείρημα παραμένει άκυρο, διότι το συμπέρασμά του δεν προκύπτει από τις προτάσεις του κατά τον αναμενόμενο τρόπο. Κατ’ επέκταση, υπάρχουν μη παραγωγικά επιχειρήματα τα οποία επίσης πάσχουν από σχηματικές πλάνες. Για παράδειγμα, ένα επαγωγικό επιχείρημα το οποίο αποπειράται να εφαρμόσει αρχές των πιθανοτήτων ή της αιτιότητας με εσφαλμένο τρόπο πέφτει επίσης σε σχηματική πλάνη.
Η Θεωρία της επιχειρηματολογίας προσφέρει μία εναλλακτική προσέγγιση στην κατανόηση και την ταξινόμηση των πλανών. Σύμφωνα με αυτή την προσέγγιση, κάθε επιχείρημα αποτελεί διαδραστικό πρωτόκολλο μεταξύ ατόμων τα οποία πασχίζουν να επιλύσουν μία διαφωνία. Το πρωτόκολλο αυτό ρυθμίζεται από κάποιους κανόνες διάδρασης. Κάθε παραβίαση αυτών των κανόνων αποτελεί πλάνη. Πολλές από τις πλάνες της παρακάτω λίστας ανταποκρίνονται περισσότερο σε αυτόν τον ορισμό.
Τύποι Λογικής Πλάνης.
*Επιχείρημα ad baculum: Το επιχείρημα ad baculum (Λατινικά: επιχείρημα προς ρόπαλο ή επιχείρημα προς βέργα), επίσης γνωστό και ως προσφυγή στην ισχύ είναι το επιχείρημα που στηρίζεται στην χρήση ή στην απειλή της χρήσης ισχύος καθώς και του εξαναγκασμού προκειμένου να νομιμοποιήσει το συμπέρασμα. Όταν κάποιος εξαίρει τις αρνητικές συνέπειες που μπορεί να υποστεί ο συζητητής του, εάν συνεχίσει να έχει αντίθετη άποψη, τότε υποπίπτει σε τέτοιου είδους επιχείρημα. Με άλλα λόγια, «θα συμφωνήσεις ότι έχω δίκιο, διαφορετικά θα φας ξύλο». Αυτό το επιχείρημα αποτελεί λογική πλάνη, διότι η επίθεση/απειλή Q δεν αποτελεί μέσο για την επαλήθευση της πρότασης Ρ. Ο προσδιορισμός της από τους φιλοσόφους ως πλάνης ανάγεται στον Μεσαίωνα. Αποτελεί ειδική περίπτωση επιχειρήματος προς επίπτωση, ή «προσφυγής στις επιπτώσεις».
Ένα πολύ γνωστό παράδειγμα αποτελεί ο διάλογος μεταξύ των χαρακτήρων της ταινίας Ο Πόλεμος των Άστρων – Επεισόδιο IV: Μια Νέα Ελπίδα, όπου το ρομπότ R2-D2 κερδίζει τον Τσουμπάκα σε μία παρτίδα ολογραφικού σκακιού, ενώ ο τελευταίος διαμαρτύρεται.
C-3P0: Η κίνηση μετρούσε όσο και να ουρλιάζεις.
Χαν Σόλο: (διακόπτει) Κάνε του την χάρη – δεν κάνει να νευριάζεις τα Γούκι.
C-3P0: Ναι αλλά κανείς δεν διαμαρτύρεται όταν νευριάζουν τα ανδροειδή.
Χαν Σόλο: Ναι, γιατί τα ανδροειδή δεν σου βγάζουν τα χέρια από την ρίζα όταν χάνουν, ενώ τα Γούκι το κάνουν.
C-3P0: Καταλαβαίνω, κύριε. Σου προτείνω νέα στρατηγική, R2. Άφησε το Γούκι να κερδίσει.
Υπονοείται ότι αυτή η «νέα στρατηγική» σημαίνει ότι πρέπει να αγνοηθούν οι κανόνες του παιχνιδιού και να μην ληφθούν υπόψη οι κινήσεις που ίσως να οδηγούσαν στην νίκη.
*Επιχείρημα Ad hoc
*Ad hominem: Το ad hominem επιχείρημα, γνωστό και ως argumentum ad hominem (λατ.), ουσιαστικά αποτελεί επιχείρημα «ενάντια στο άτομο» και αποτελεί λογική πλάνη, η οποία συνίσταται στην ανταπάντηση σε κάποιο επιχείρημα μέσω άμεσης προσβολής προς το πρόσωπο που το διετύπωσε, σαν αυτό να αποτελούσε έγκυρη βάση για την απόρριψη του επιχειρήματος ως εσφαλμένου και δίχως ουσιαστική κατάδειξη των ελαττωμάτων του επιχειρήματος.
Το επιχείρημα ad hominem αποτελεί μία από τις πιο διαδεδομένες λογικές πλάνες και βρίσκει την θέση του στα συγγράμματα Εισαγωγής στην λογική και στην κριτική σκέψη. Τόσο η ίδια η πλάνη, όσο και οι κατηγορίες περί εφαρμογής της καταδικάζονται στην διαλεκτική. Είναι αποτελεσματική ρητορική τεχνική και χρησιμοποιείται συχνά, παρά το ότι είναι εγγενώς εσφαλμένη και επιπλέον στερείται λεπτότητας.
Η απλή πλάνη ad hominem συνίσταται στον ισχυρισμό ότι το επιχείρημα κάποιου είναι εσφαλμένο εξαιτίας κάποιων μειωτικών χαρακτηριστικών του ή εξαιτίας έλλειψης κύρους από μέρους του, αντί να γίνεται απευθείας αναφορά στην βασιμότητα του επιχειρήματος. Ουσιαστικά υπονοείται ότι το επιχείρημα ή η ικανότητα κάποιου να φέρνει επιχειρήματα στερείται αυθεντίας. Το να προσβάλλει κάποιος κάποιον άλλο κατά την διάρκεια μίας κατά τα άλλα λογικής συζήτησης, δεν αποτελεί κατ’ ανάγκην πλάνη ad hominem. Αυτό θα ίσχυε μόνον εάν ο σκοπός της προσβολής είναι να μειώσει το άτομο που επιχειρηματολόγησε, με αποτέλεσμα οι υπόλοιποι να μην λάβουν υπόψη το επιχείρημά του. Εσφαλμένη χρήση του όρου ad hominem είναι η κατά γράμμα, δηλαδή η απ’ ευθείας προσβολή εναντίον κάποιου ή ο σχηματισμός επιχειρήματος με βάση κάποιον.
Το αντεστραμμένο ad hominem, ή αλλιώς προσφυγή στην αυθεντία συνίσταται στον ισχυρισμό ότι το επιχείρημα κάποιου είναι ορθό και ότι κάθε επιχειρηματολογία του θα είναι ορθή, αποκλειστικά και μόνον επειδή το άτομο διαθέτει χαρακτηριστικά που το καθιστούν αξιόπιστο ή αυθεντία και όχι γιατί τα επιχειρήματά του είναι ισχυρά. Κατά συνέπεια, αυτό το άτομο δεν χρειάζεται καν να φέρει αντίλογο σε κάποια επίθεση εναντίον της ποιότητας του επιχειρήματός του, ακριβώς επειδή ο ίδιος είναι αξιόπιστος ή αυθεντία.
Εξ ου προκύπτει ότι οποιοσδήποτε επίδοξος αντιρρησίας στερείται των χαρακτηριστικών αυθεντίας/αξιοπιστίας (απλό ad hominem). Αυτή η «προσφυγή στην αυθεντία» και/ή η «προσφυγή στην έλλειψη αυθεντίας» τοποθετεί τον πλανώντα σε στενωπό καθώς σε αυτήν υποφώσκει μία κρυμμένη πρόταση, η οποία αναιρεί το υπό-επιχείρημα-αντιπερισπασμό του και αναφέρεται στην δική του ιδιότητα ως αυθεντίας. Εν συνεχεία, κάθε θύμα της πλάνης μπορεί να χρησιμοποιήσει αυτή την πρόταση —τουλάχιστο όσον αφορά το εσφαλμένο υπο-επιχείρημα— χωρίς να χρειάζεται τίποτε επιπρόσθετο επιχειρηματολογικά.
Παράδειγμα στενωπού: Ένας αναγνωρισμένος και διαπιστευμένος καθηγητής Λογικής (πλανών) εναντίον ενός μη ειδήμονα (θύμα). Σημείωση: σε αυτό το παράδειγμα τόσο η προσφυγή στην αυθεντία όσο και στην έλλειψη αυθεντίας αναφέρονται ευθέως χάριν σαφήνειας. Στην πραγματικότητα, η αξία της χρήσης του όρου Αντεστραμμένο Ad Hominem έγκειται στο να εξαρθεί ο προσβλητικός και ταυτόχρονα λεπτός υπαινιγμός μίας Προσφυγής στην Αυθεντία.
Πλανών: «Κακώς διαφωνείς μαζί μου σε ζητήματα λογικής, διότι σε αυτόν τον τομέα εγώ είμαι ο ειδικός. Επειδή εσύ δεν έχεις πείρα, αρνούμαι να συνεχίσω την συζήτηση μαζί σου επί του ζητήματος».
Σημείωση: Η σκοπιμότητα αποτελεί καλό λόγο για να χρησιμοποιήσει κανείς μία μη εσφαλμένη «Προσφυγή στην Αυθεντία», εφόσον αυτή είναι βασισμένη στην Λογική.
Θύμα: «Θα σου υποβάλω την εξής πρόταση: Θα ήμουν ανόητος, εάν διαφωνούσα μαζί σου αναφορικά με αυτό, απλώς και μόνον επειδή οι περισσότεροι αν όχι όλοι οι καθηγητές Λογικής συμφωνούν ότι η ‘προσφυγή στην αυθεντία’ αποτελεί λογική πλάνη».
Υποβάλλοντας αυτήν την πρόταση, το θύμα αναγνωρίζει και υποχρεώνει τον πλανώντα επίσης να αναγνωρίσει ότι: (1) ήδη διαφωνούν και (2) είναι απαραίτητο να διαφωνήσουν βάσει των θεμελιωδών αρχών, εάν χρειαστεί, προκειμένου να αποδείξει ο καθένας την θέση του. Το θύμα εννοείται ότι οφείλει να παρουσιάσει ένα λογικό επιχείρημα, αλλά το ίδιο οφείλει να κάνει και ο πλανών. Αξιοσημείωτο είναι ότι εάν ο πλανών αρνηθεί να δεχτεί την πρόταση του θύματος, αυτομάτως αναγνωρίζει (1) το δικαίωμα του θύματος να επικαλεστεί άλλες πηγές για να αποδείξει το σφάλμα του επιχειρήματος του πλανώντος ή (2) το δικαίωμα του θύματος αντιστοίχως να αγνοήσει τους νόμους της Λογικής και να αποπειραθεί να ισχυριστεί ότι αποτελεί αυθεντία ο ίδιος (το οποίο ασφαλώς οδηγεί σε άτοπο). Εάν όμως ο πλανών αποδεχτεί την υποβεβλημένη πρόταση, τότε έχει ηττηθεί -όσον αφορά τον αντιπερισπασμό του, τουλάχιστον- διότι αναγνωρίζει ότι θα πρέπει να είναι ανόητος εάν προτιμήσει να χρησιμοποιήσει την ειδικότητά του με τέτοιον τρόπο.
Σε κάθε περίπτωση, το θύμα έχει κατοχυρώσει δικαιώματα αμφισβήτησης επί της αυθεντίας του πλανώντα και αναγκάζει τον πλανώντα να υπερασπίσει την αυθεντία του με την Λογική. Πρέπει να ληφθεί υπ’ όψιν, επίσης το ότι στο παραπάνω παράδειγμα, ο πλανών προβαίνει σε πλάνη Φαύλου κύκλου, επιβεβαιώνοντας την αυθεντία του μέσω της ίδιας της αυθεντίας του και σε εξαπάτηση μέσω αντιπερισπασμού, μεταθέτοντας το επιχείρημα από το πεδίο της λογικής στο πεδίο της προσωπικής διαφωνίας σχετικά με την ιδιότητά του ως αυθεντία και την αντίστοιχη έλλειψη του θύματος. Το επιχείρημα μετατρέπεται σε επιχείρημα περί επιχειρήματος, πράγμα κατανοητό, μεν, δεδομένου ότι και το πρώτο επιχείρημα αφορούσε ‘λογικά ζητήματα’.
Η θέση του πλανώντα, όμως, αποδεικνύεται εσφαλμένη από την στιγμή που έφερε την διαφωνία στο επίπεδο των επιχειρηματολογούντων και όχι των επιχειρημάτων, μολονότι κατά τα φαινόμενα αυτό συνέβη γιατί τέθηκε υπό αμφισβήτηση το status quo και των δύο σε σχέση με το αν είναι λογικοί συζητητές. Ωστόσο, το status quo κάποιου ως λογικού συζητητή είναι σχετικό και είναι ισότιμο με την ποιότητα του τελευταίου επιχειρήματός του.
Αν και το παραπάνω παράδειγμα είναι μάλλον απλοϊκό, η αρχή που μεταδίδει είναι μία σοβαρή αλλά και συνήθης κατάσταση. Αρκεί να αναλογιστεί κάποιος τον φαύλο κύκλο που δημιουργεί κάποιος όταν υπερασπίζεται την θρησκεία του επικαλούμενος ως αυθεντική πηγή τον θεό της ίδιας της θρησκείας του, προκειμένου να υπερασπιστεί π.χ. την εγκυρότητα της εκκλησίας, των ιερών βιβλίων και λοιπών στοιχείων της ίδιας θρησκείας. Ταυτόχρονα, όμως, το κύρος της αυθεντίας αυτής της θρησκείας χρησιμοποιείται για την υπεράσπιση του ίδιου θεού και των ίδιων θρησκευτικών στοιχείων, για να μην πούμε «και της ίδιας της της εγκυρότητας».
Αυτό ουσιαστικά αποτελεί την αντιστροφή όλων των κοινότυπων απλών (φαύλων) επιχειρημάτων ad hominem, από μέρους όσων ακυρώνουν τις απόψεις των μη θρησκευόμενων εξαιτίας της απουσίας πίστης από μέρους τους. Από την άλλη μπορούν να υφίστανται «ενδοκειμενικές αποδείξεις» αυθεντικότητας ενός κειμένου, π.χ. όσον αφορά την ιστορική, αρχαιολογική, επιστημονική του αξία, οι οποίες δεν δημιουργούν φαύλο κύκλο. Παραδείγματα τέτοιων αποτελούν τα γραπτά του Θουκυδίδη και του Ξενοφώντα.
Αντιστρόφως, δεν είναι όλα τα απλά ad hominem επιχειρήματα προσβλητικά. «Η Ελένη λέει ότι της είναι αδύνατο να σκοτώσει κάποιον, αλλά αυτό δεν μπορεί να ισχύει διότι η Ελένη ποτέ δεν έχει χάσει την ψυχραιμία της». Παρομοίως, δεν είναι όλα τα αντεστραμμένα ad hominem επιχειρήματα αλαζονικά: «Λέω ότι μου είναι αδύνατον να σκοτώσω κάποιον, και αυτό ισχύει ακριβώς διότι χάνω την ψυχραιμία μου συχνά».
Επιβεβαίωση του επομένου: Η επιβεβαίωση του επομένου αποτελεί λογική πλάνη τύπου υποθετικής πρότασης. Επιβεβαίωση του επομένου έχουμε όταν μία υποθετική πρόταση με ένα ηγούμενο και ένα επόμενο τείνει να αποδείξει ότι η αληθινότητα του επομένου προεξοφλεί την αληθινότητα του ηγουμένου, πράγμα που δεν ισχύει αμφίδρομα. Στην στερεότυπη συμβολική γραφή, ο ακόλουθος υποθετικός συλλογισμός καταδεικνύει την πλάνη της επιβεβαίωσης του επομένου:
Εάν Α, τότε Β.
Β
Άρα, Α.
Αυτό το λογικό σφάλμα ονομάζεται «πλάνη επιβεβαίωσης του επομένου» διότι συνάγεται εσφαλμένα από την δεύτερη πρόταση ότι η κατάφαση του επομένου προϋποθέτει την αληθινότητα του ηγουμένου. Για να παρασταθεί το σφάλμα, παρατίθεται ένα παράδειγμα. Το εξής επιχείρημα είναι εμφανώς εσφαλμένο:
Εάν ο Στίβεν Κινγκ έγραψε την Βίβλο (Α) τότε ο Στίβεν Κινγκ είναι καλός συγγραφέας (Β).
Ο Στίβεν Κινγκ είναι καλός συγγραφέας (Β).
Άρα ο Στίβεν Κινγκ έγραψε την Βίβλο (Α).
Το επιχείρημα αυτό είναι εμφανώς εσφαλμένο, αλλά το ακόλουθο ίσως είναι πιο απατηλό:
Εάν κάποιος είναι άνθρωπος (Α), τότε είναι θνητός (Β).
Η Άννα είναι θνητή (Β).
Άρα, η Άννα είναι άνθρωπος (Α).
Ωστόσο, η Άννα μπορεί στην πραγματικότητα να είναι γάτα. Παραμένει θνητή αλλά δεν είναι άνθρωπος. Η μόνη περίπτωση στην οποία ένα επιχείρημα τέτοιου τύπου θα μπορούσε να είναι έγκυρο είναι όταν η πρώτη πρόταση εμπεριέχει το «εάν και μόνο εάν» αντί για απλώς «εάν».
Προσφυγή στην αυθεντία: Η προσφυγή στην αυθεντία είναι ένα είδος λογικού επιχειρήματος επίσης γνωστού και ως argumentum ad verecundiam (Λατ. επιχείρημα προς σεβασμό) ή ipse dixit (Λατ. το είπε ο αυτός, ο ίδιος), το οποίο χρησιμοποιείται όταν η τιμή αλήθειας μίας θέσης είναι ευθέως ανάλογη με την αξιοπιστία, τις γνώσεις ή το αξίωμα του προτείνοντος την θέση. Αποτελεί μέθοδο απόκτησης σχολιαστικής γνώσης και συχνά είναι λογική πλάνη. Υπάρχουν δύο βασικοί τύποι προσφυγής στην αυθεντία.
Ο πρώτος ορίζεται στην περίπτωση που κάποιος ο οποίος παρουσιάζει την θέση του σε ένα ζήτημα παραθέτει από μία αυθεντία, η οποία συμμερίζεται την ίδια θέση, ενώ δεν είναι στην πραγματικότητα αυθεντία στον εν λόγω τομέα. Για παράδειγμα, η εξής δήλωση: «Ο Άρθουρ Κλαρκ πρόσφατα εξέδωσε μία έρευνα ή οποία καταδεικνύει ότι είναι απαραίτητο να καθαρίζουμε τα δόντια μας με οδοντόνημα τρεις φορές την ημέρα», δεν θα πρέπει να πείθει κανέναν σχετικά με την χρησιμότητα του οδοντονήματος, εφόσον ο Άρθουρ Κλαρκ δεν είναι αυθεντία στην στοματική υγιεινή. Μεγάλο μέρος των διαφημίσεων βασίζεται σε αυτήν την λογική πλάνη, μέσω της οπισθογράφησης και των χορηγιών.
Ο δεύτερος τύπος ορίζεται ως η παράθεση κάποιου ο οποίος πράγματι αποτελεί αυθεντία στον σχετικό τομέα γνώσης. Σε αυτήν την περίπτωση, η προσφυγή έχει μεγαλύτερο βάρος, διότι η αυθεντία έχει περισσότερες πιθανότητες να είναι ορθή. Ωστόσο, η πιθανότητα λάθους παραμένει και το επιχείρημα σε καμία περίπτωση δεν είναι απόλυτα αληθές. Το είδαμε να συμβαίνει στην κρίση με την “π(λ)ανδημία” όπου όλες οι λεγόμενες “αυθεντίες” απλώς ακολουθούσαν μια κοινή γραμμή, απολύτως λανθασμένη κι απαιτούσαν από όλους να την αποδεχτούν, συχνά με την χρήση βίας.
Η προσφυγή στην αυθεντία ως λογική πλάνη
Το επιχείρημα που αντιστοιχεί στην (εσφαλμένη) προσφυγή στην αυθεντία έχει την εξής βασική μορφή:
Ο A ισχυρίζεται το B·
Ο A διαθέτει κάποιο θετικό χαρακτηριστικό, άρα ο ισχυρισμός B είναι αληθής.
Η πρώτη δήλωση ονομάζεται ‘αντικειμενικός ισχυρισμός’ και αποτελεί τον πόλο αντιπαράθεσης. Η τελευταία δήλωση περιγράφεται ως ‘συμπερασματικός ισχυρισμός’ και αντιπροσωπεύει την λογική διαδικασία. Υπάρχουν δύο ήδη συμπερασματικού ισχυρισμού, ο ρητός και ο υπαινικτικός. Τα επιχειρήματα τα οποία (εσφαλμένα) στηρίζονται στα αμφισβητήσιμα χαρακτηριστικά του ατόμου για να αποδείξουν την αληθινότητα του συμπεράσματος αναλύονται στο άρθρο ad hominem.
Η προσφυγή στην αυθεντία αποτελεί λογική πλάνη: ακόμη και οι αυθεντίες είναι δυνατόν να σφάλλουν, τόσο στον ιδιαίτερο γνωστικό τους τομέα, όσο και σε άλλους. Το να παραθέτεις από αυθεντίες δεν καθιστά κάποιο επιχείρημα αυτόματα αληθές. Ωστόσο, η παράθεση από αυθεντίες μπορεί να προσδίδει στην εκάστοτε θέση μία υψηλή πιθανότητα (μόνο ως πιθανότητα) αλήθειας, ώστε να είναι δυνατόν να λαβαίνονται αποφάσεις με βάση αυτήν.
Παραδείγματα προσφυγής στην αυθεντία.
Αναφορά στις φιλοσοφικές πεποιθήσεις του Αριστοτέλη: «Αφού το είπε ο Αριστοτέλης, έτσι θα είναι».
Παραθέσεις από θρησκευτικά βιβλία, όπως η Βίβλος: «Η Βίβλος κάνει την Χ δήλωση, άρα η δήλωση Χ είναι σωστή».
Ο ισχυρισμός ότι ένα έγκλημα είναι ηθικά εσφαλμένο επειδή είναι παράνομο: «Είναι παράνομο τα μαγαζιά να ανοίγουν την Κυριακή, άρα δεν είναι ηθικά αρμόζον να ανοίγουν». Σε αυτήν την περίπτωση, τον ρόλο της αυθεντίας έχουν οι νομοθέτες, η κρίση των οποίων εκλαμβάνεται ως ορθή ασυζητητί.
Οι παραθέσεις επιστημονικών ερευνών που έχουν δημοσιευτεί σε έγκριτα περιοδικά: «Η επιστήμη (υπό την μορφή άρθρου σε έγκριτο περιοδικό) λέει το Χ, άρα το Χ είναι ορθό».
Η πίστη σε ό,τι λέει κάποιος εκπαιδευτικός. «Το είπε ο δάσκαλος, άρα πρέπει να είναι αλήθεια».
Όταν θεωρείται πως κάτι είναι αληθές επειδή αναφέρθηκε στα νέα.
Όταν θεωρείται πως κάτι είναι αληθές επειδή αναφέρεται σε ένα εγχειρίδιο.
Όταν θεωρείται πως κάτι είναι αληθές επειδή αναφέρεται σε μία εγκυκλοπαίδεια.
Όταν θεωρείται πως κάτι είναι αληθές επειδή αναφέρεται στο Terra Papers.
Κατά τον Μεσαίωνα, από τον 12ο αιώνα μέχρι και τον 15ο, η φιλοσοφία του Αριστοτέλη είχε γίνει το επικρατέστερο δόγμα και οι αριστοτελικές πεποιθήσεις αποτελούσαν σημαντικό μέρος κάθε αντιπαράθεσης. Η σκέψη του Αριστοτέλη είχε γίνει τόσο καίρια για την φιλοσοφία του ύστερου Μεσαίωνα, ώστε είχε καταλήξει να αποκαλείται στα λατινικα: Ille Philosophus, δηλαδή «ο Φιλόσοφος», ενώ οι παραθέσεις από κείμενα του Αριστοτέλη ονομάζονταν ipse dixit (το είπε ο ίδιος). Σε αυτό το παράδειγμα, ο Αριστοτέλης αποτελεί παράδειγμα κάποιου ο οποίος είναι αυθεντία στην φιλοσοφία, αλλά, επειδή στην φιλοσοφία δεν υπάρχουν πολλά άμεσα αποδεικτικά στοιχεία, οι ιδέες του αποκτούν μεν βάρος αλλά δεν καθορίζουν και το συμπέρασμα.
Από την άλλη μεριά, εάν κάποιος πει ότι επειδή όλοι οι αστρονόμοι πιστεύουν ότι ο πλανήτης Ποσειδώνας υπάρχει αυτό είναι και απόδειξη ότι υπάρχει, τότε η δήλωσή του γίνεται περισσότερο καθοριστική, διότι οι αστρονόμοι γνωρίζουν περισσότερα για το ζήτημα και βρίσκονται σε καλύτερη θέση επιχειρηματολογίας σε ό,τι αφορά τις άμεσες αποδείξεις και όχι γιατί απλώς το πιστεύουν. Το ίδιο κι αυτοί που υποστηρίζουν ότι η Γη είναι στρογγυλή με αποτέλεσμα αυτοί που λένε ότι η Γη είναι ευθεία να είναι γραφικοί.
Η Ηθική της Αυθεντίας αποτελεί μετα-ηθικιστική θεωρία, σύμφωνα με την οποία κάποιος μπορεί να αποκτήσει γνώσεις μέσω μίας αυθεντίας όπως ο θεός ή ο νόμος ή ο παπάς της γειτονιάς. Η προσφυγή στην πλειοψηφία είναι μία ειδική περίπτωση προσφυγής στην αυθεντία, όπου αυθεντία είναι το “πλήθος”. Το λένε οι πολλοί κι άρα είναι σωστό!!!
Απόρροια του ως άνω είναι και η περίφημη έκφραση «επειδή το λέω εγώ»/«γιατί έτσι», που χρησιμοποιούν συχνά οι γονείς και απεχθάνονται τα παιδιά. Αποτελεί λογική πλάνη με την έννοια ότι ο γονέας είναι η αυθεντία και επομένως διαθέτει την αντίστοιχη γνώση ώστε οι δηλώσεις του να είναι αληθείς. Ωστόσο, όπως και άλλες τέτοιου είδους πλάνες, η εγκυρότητα των δηλώσεών του πηγάζει αποκλειστικά από τις προσωπικές του πεποιθήσεις κι όταν υφίσταται πίεση για να αποκαλύψει την λογική συνέχεια πίσω από την δήλωσή του, αδυνατεί να το κάνει ικανοποιητικά. Ούτως εχόντων των πραγμάτων, η πλάνη συνίσταται στο ότι επειδή αποτελούν αυθεντιάζουσες/εξουσιαστικές μορφές στα μάτια των παιδιών, τα παιδιά αναγκάζονται να δεχθούν την δήλωση των γονέων τους ως καθ’ αυτή επεξήγηση του εαυτού της.
Προϋποθέσεις ώστε ένα επιχείρημα από αυθεντίας να είναι έγκυρο.
Ένα ιδανικό επιχείρημα βασίζεται αποκλειστικά και μόνο σε άμεσα αποδεικτικά στοιχεία καθώς και στην ίδια του την δομή και όχι στην αυθεντία κάποιου ο οποίος έχει στα χέρια του τα στοιχεία. Ωστόσο, σε μία μέση διαλογική συζήτηση είναι μάλλον απίθανο να παρασχεθούν όλα τα άμεσα αποδεικτικά στοιχεία. Έτσι η προσφυγή στην αυθεντία χρησιμοποιείται ως συντομότερος δρόμος.
Σε αυτές τις περιπτώσεις: Η αυθεντία πρέπει να διαθέτει διαπιστευμένες ικανότητες στον τομέα της, και όχι απλώς φήμη, κύρος, θέση ή δημοσιότητα. Παράδειγμα αθέμιτης προσφυγής στην αυθεντία αποτελεί η παράθεση από ανθρώπους που ανήκουν στον χώρο του αθλητισμού ή της ψυχαγωγίας για την θέση τους σε ό,τι αφορά, π.χ., την εξωτερική πολιτική. Το συμπέρασμα/επιχείρημα θα πρέπει να βρίσκεται στα πλαίσια του τομέα ειδικότητας της επικαλούμενης αυθεντίας. Η πηγή θα πρέπει να υπόκειται σε θεμιτή ερμηνεία. Αυτό αποτελεί πρόβλημα κυρίως στην θεολογία, όπου το Κοράνι, η Βίβλος, η Τορά, κ.τ.λ. ερμηνεύονται ποικιλότροπα και συνήθως με αντιφατική συμπερασματική.
Τα αποδεικτικά στοιχεία θα πρέπει να είναι διαθέσιμα, αν όχι άμεσα, τουλάχιστον έμμεσα.
Ο ειδικός θα πρέπει να είναι απροκατάληπτος (ανεπηρέαστος απο παράγοντες όπως τα χρήματα, οι πολιτικές πεποιθήσεις ή τα θρησκευτικά πιστεύω). Εξαιτίας αυτής της προϋπόθεσης, η προσφυγή κάποιου στην ίδια του την αυθεντία είναι αθέμιτη. Για παράδειγμα, ο Γαλιλαίος δικάστηκε από την Καθολική εκκλησία εξαιτίας του ηλιοκεντρικού μοντέλου του για το ηλιακό σύστημα. Το δικαστήριο δεν τον καταδίκασε ακολουθώντας την επιστημονική μέθοδο. Απεναντίας καταδικάστηκε επειδή το μοντέλο του διαφωνούσε με την άποψη της εκκλησιαστικής εξουσίας, η οποία τύγχανε να είναι και η επικρατούσα επιστημονική θεώρηση της εποχής.
Το συμπέρασμα/επιχείρημα θα πρέπει να εκπροσωπεί ένα σύνολο απόψεων ειδικών επί του ζητήματος. Οι δικηγόροι ορισμένες φορές βρίσκουν έναν ειδικό, η γνώμη του οποίου δεν είναι αντιπροσωπευτική των ειδικών του πεδίου του προκειμένου να εκφράσει μία θεωρία η οποία δεν είναι γενικώς αποδεκτή προκειμένου να κερδίσουν την δίκη. Θα πρέπει να υφίσταται κάποια μέθοδος με την οποία να επιδικάζονται διαφωνίες μεταξύ δύο αυθεντιών που διαθέτουν ισότιμα διαπιστευτήρια. Αν η επιστημονική εξακρίβωση του ισχυρισμού μέσω δοκιμής δεν είναι δυνατή, τότε ορισμένες φορές ως ομοφωνία γίνεται δεκτή η πλειοψηφία των ειδικών.
Προσφυγή στον φόβο.
Προσφυγή στον οίκτο.
Προσφυγή στην πιθανότητα: Η προσφυγή στην πιθανότητα αποτελεί λογική πλάνη, που συχνά χρησιμοποιείται μαζί με άλλες πλάνες. Προεξοφλεί ότι επειδή κάτι θα μπορούσε να συμβαίνει, το ότι πρόκειται να συμβεί είναι αναπόφευκτο. Αυτό αποτελεί ατελή λογική, άσχετα με το πόσο μεγάλη είναι η εν λόγω πιθανότητα. Η πλάνη αυτή συχνά χρησιμοποιείται προς εκμετάλευση της παράνοιας.
Πιθανώς P.
Άρα, P αληθές.
Παραδείγματα: «Στο Διαδίκτυο κυκλοφορούν πολλοί χάκερ. Άρα, εάν χρησιμοποιείς το Διαδίκτυο χωρίς τείχος προστασίας, είναι αναπόφευκτο ότι αργά ή γρήγορα κάποιος θα εισβάλει στον υπολογιστή σου.»
«Η AMD προφταίνει την Intel τα τελευταία χρόνια. Σε μερικά χρόνια, σίγουρα θα πάρει την θέση της Intel και στο τέλος θα την οδηγήσει σε πτώχευση.»
«Όταν το ποδόσφαιρο γίνεται δημοφιλές σε μία πόλη, ο χουλιγκανισμός γίνεται πρόβλημα. Έτσι, εάν επιτρέψουμε να σχηματιστεί ομάδα ποδοσφαίρου στην πόλη μας, θα μας κατακλύσουν οι χούλιγκαν.» (αυτό είναι παράδειγμα της πλάνης ψευδούς αιτίας). Αν και κάποιοι δεν την θεωρούν καθ’ αυτή πλάνη (γιατί σπανίως συναντάται μεμονωμένη), η προσφυγή στην πιθανότητα είναι τόσο κοινό μοτίβο σε πολλές επιχειρηματολογίες, ώστε κάποιοι να την θεωρούν καθ’ αυτή πλάνη.
Η λογική πίσω από αυτήν την πλάνη είναι ότι, εφόσον οι πιθανότητες ενός ενδεχομένου είναι υψηλές, τότε ΠΡΕΠΕΙ να το θεωρούμε σίγουρο, όπως στο παράδειγμα υπ’ αρ. 1. Η πλάνη αυτή απαντά στο ανέκδοτο με την ομπρέλα: εάν ποτέ ξεχάσεις την ομπρέλα σου, τότε θα βρέξει… και μερικές φορές, πράγματι βρέχει!
Προσφυγή στην πλειοψηφία: Το σύνδρομο της αγέλης είναι μια λογική πλάνη όπου επιχειρείται να αποδειχθεί το αληθινό ενός ισχυρισμού στο γεγονός ότι πολλοί άνθρωποι το αποδέχονται ήδη ως αληθινό. Αυτού του είδους η πλάνη είναι επίσης γνωστή ως «προσφυγή στις μάζες», «προσφυγή στην πλειοψηφία», «προσφυγή στην ομοφωνία» και στα λατινικά «argumentum ad populum» (επιχείρημα του λαού) και ο μηχανισμός πίσω της είναι παρόμοιος με τον μηχανισμό της «προσφυγής στην αυθεντία».
Είναι επίσης η βάση μιας σειράς κοινωνικών φαινομένων όπως η διασπορά διαφόρων θρησκευτικών πεποιθήσεων, πολιτικών ή οικονομικών θέσεων. Στην Αμερική βρίσκεται πίσω από το φαινόμενο «επίδραση του βαγονιού» (αγγλικά: bandwagon effect) και στην Κίνα είναι η βάση της παροιμίας «τρεις άνθρωποι φτιάχνουν μια τίγρη» (αγγλικά: three men make a tiger).
Πολιτική: Στην προσπάθεια να πεισθεί κάποιος για την ορθότητα ενός υποψήφιου νομοσχεδίου: Εννιά στους δέκα στην εκλογική μου περιφέρεια βρίσκουν το νομοσχέδιο σωστό. / Εννιά στους δέκα βουλευτές βρίσκουν το νομοσχέδιο δίκαιο.
Μάρκετινγκ & διαφήμιση: Η τάδε μάρκα ψυγείου παράγεται από την πρωτοπόρο βιομηχανία ηλεκτρικών ειδών, άρα αγόρασε το γιατί είναι καλό./ Δείτε την τάδε εκπομπή γιατί βρίσκεται στο νούμερο ένα της τηλεθέασης.
Όλοι οι φίλοι μου το κάνουν, άρα είναι σωστό.
Όλοι λένε ότι ο ήλιος γυρνάει γύρω από την Γη.
Όλοι ξέρουν ότι η Γη είναι επίπεδη ή στρογγυλή.
Τόσοι άνθρωποι πιστεύουν στον θεό, άρα ο θεός υπάρχει.
Τόσοι άνθρωποι εμβολιάζονται, άρα δεν υπάρχει πρόβλημα με τα εμβόλια.
Οι λαϊκές ρήσεις που συχνά αναφέρονται ως «η σοφία του λαού», εμπίπτουν σε αυτή την κατηγορία λογικής πλάνης γιατί από τους περισσότερους λαμβάνονται «αξιωματικά» ως αληθινές, ακριβώς επειδή έχουν μπει σαν «σοφία» στο υποσυνείδητο του καθενός. Ένα παράδειγμα διαδεδομένης λαϊκής ρήσης είναι «η ελπίδα πεθαίνει τελευταία», η οποία ενώ μπορεί να δώσει επιμονή σε κάποιον που ασχολείται με την επίτευξη ενός στόχου μπορεί σε άλλη περίπτωση να αποτελεί την μόνη κινητήρια δύναμη πίσω από αναζήτηση ακατόρθωτων στόχων.
Επιγραμματικά η παραπάνω κινέζικη παροιμία «τρεις άνθρωποι φτιάχνουν μια τίγρη» βγαίνει από το ότι εάν ένας άνθρωπος ακούσει από κάποιον άλλον ότι στο κέντρο μιας μεγάλης πόλης κυκλοφορεί ελεύθερη μια τίγρη τότε δεν θα το πιστέψει. Εάν το ακούσει από δύο θα το λάβει υπόψιν του και εάν το ακούσει από τρεις τότε θα το πιστέψει. Φυσικά το ότι πολλοί άνθρωποι πιστεύουν σε κάτι δεν σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι λάθος. Η λογική πλάνη είναι η αποδοχή του ισχυρισμού σαν αλήθεια χωρίς περαιτέρω ανάλυση.
Επιχείρημα εξ αγνοίας.
Εν αρχή αιτείσθαι: Στην Λογική, Εν Αρχή Αιτείσθαι, γνωστή και ως Petitio principii (Αρχή της αναφοράς) είναι η λογική πλάνη στην οποία η προς απόδειξη πρόταση περιλαμβάνεται ήδη έμμεσα ή άμεσα στις συλλογιστικές προτάσεις/υποθέσεις. Το εν αρχή αιτείσθαι συσχετίζεται με την πλάνη που είναι γνωστή ως κυκλικός συλλογισμός, circulus in probando ή κυκλικό επιχείρημα. Ως έννοια στην Λογική, ο ορισμός της απαντά για πρώτη φορά στον Αριστοτέλη κάπου στα 350 π.κ.ε. και στο έργο του «Αναλυτικά πρότερα».
Ο όρος αυτός χρησιμοποιείται για να περιγράψει την γενικότερη πλάνη που δημιουργείται όταν οι αποδείξεις που παρέχονται για να τεκμηριώσουν μία πρόταση χρειάζονται αποδείξεις καθ’ αυτές, όπως ακριβώς και η ίδια η πρόταση. Η πιο αποδεκτή κατάταξη επιχειρημάτων τέτοιου είδους είναι η πλάνη των πολλών ερωτημάτων.
Ο αρχικός φιλοσοφικός όρος είναι το «εν αρχή αιτείσθαι» του Αριστοτέλη που αργότερα μεταφράστηκε petitio principii στα λατινικά και επικράτησε ως φιλοσοφικός όρος. Ουσιαστικά σημαίνει «αιτώ εξ αρχής την πρότασή μου», δηλαδή ότι η αλήθεια της πρότασής μου εξαρτάται από την αληθινότητα του ίδιου του υπό εξέταση ζητήματος. Γράφει ο Αριστοτέλης στο Όργανον (Τα Λογικά):
«Το να αιτείς ή να προϋποθέτεις το ζήτημα σημαίνει ότι αποτυγχάνεις να αποδείξεις το αιτούμενο. Αλλά υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορεί να συμβεί αυτό. Για παράδειγμα, αν η μορφή του επιχειρήματος δεν είναι συλλογιστική, τότε ο επιχειρηματολογών μπορεί να επιχειρηματολογήσει μέσω προτάσεων οι οποίες δεν είναι τόσο γνωστές ή είναι παντελώς άγνωστες, ή μπορεί να προσπαθήσει να αποδείξει το επακόλουθο μέσω των ίδιων του των συνεπειών. Διότι η απόδειξη προηγείται αυτού το οποίο είναι βέβαιο και έρχεται πρωτύτερα. Όμως το εν αρχή αιτείσθαι δεν είναι τίποτε από αυτά. Εάν, ωστόσο, η σχέση μεταξύ Β και Γ είναι τέτοια, ώστε αυτά να είναι ταυτόσημα, ή ευθέως εναλλάξιμα, ή επαλλήλως εφαρμόσιμα, τότε ο επιχειρηματολογών αιτεί εν αρχή. Εν αρχή αιτείσθαι σημαίνει το να αποδεικνύεις αυτό που δεν είναι πασιφανές μέσω του εαυτού του».
Εναλλακτικός λατινικός όρος είναι ο Petitio Quæsiti, που προτάθηκε από τον Fowler στην Παραγωγική Λογική του (1887).
«Αυτό αποτελεί κυκλικό συλλογισμό/φαύλο κύκλο» είναι η πλέον κατάλληλη απάντηση όταν ένα τέτοιο επιχείρημα χρησιμοποιείται εντός ενός και μόνο συλλογισμού. Δηλαδή, όταν η συνεπαγωγή περιέχει μία πρόταση η οποία προϋποθέτει ακριβώς αυτό που το επιχείρημα τείνει να αποδείξει. Στην πραγματικότητα, η πρόταση χρησιμοποιείται για να αποδείξει τον ίδιο τον εαυτό της, τακτική η οποία δεν είναι και τόσο αποτελεσματική στις απλούστερες μορφές της. Παράδειγμα στο οποίο αποπειράται να αποδειχθεί ότι ο Γιάννης λέει την αλήθεια:
Έστω ότι ο Γιάννης δεν λέει ψέμματα όταν μιλά.
Ο Γιάννης μιλά.
Άρα ο Γιάννης λέει την αλήθεια.
Όλες οι επιμέρους προτάσεις είναι λογικές, αλλά δεν μπορούν να αποδείξουν με κανέναν τρόπο τον ισχυρισμό του ομιλητή ως αληθινού. Το πρόβλημα έγκειται στο ότι, στην προσπάθειά του να αποδείξει την ειλικρίνεια του Γιάννη, ο ομιλητής ζητά από το ακροατήριό του να προϋποθέσει ότι ο Γιάννης λέει την αλήθεια. Τελικά αυτό που αποδεικνύει είναι ότι ‘εάν ο Γιάννης δεν λέει ψέμματα, τότε ο Γιάννης λέει την αλήθεια’.
Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η σειρά επιχειρημάτων είναι έγκυρη από την άποψη της λογικής. Δηλαδή, το συμπέρασμα προκύπτει κανονικά από τις προτάσεις, αφού, ούτως ή άλλως, είναι ταυτόσημο με αυτές. Όλοι οι κυκλικοί συλλογισμοί φέρουν αυτό το χαρακτηριστικό: η προς απόδειξη πρόταση εμφανίζεται ως προϋπόθεση κάπου στο επιχείρημα. Γι’ αυτό και ο Αριστοτέλης ταξινόμησε το εν αρχή αιτείσθαι ως Υλιστική και όχι Λογική πλάνη.
Τυπικά, η πλάνη του Φαύλου Κύκλου έχει την ακόλουθη δομή:
Για μία πρόταση p / το p υπονοεί το p/ υποθέτουμε ότι p /άρα, p.
Η λεκτική αναπαράσταση της πλάνης σπανίως είναι τόσο ξεκάθαρη, όπως στο παραπάνω παράδειγμα με την αληθινότητα των λόγων του Γιάννη.
Άλλα παρόμοια παραδείγματα:
«Ο κόσμος δημιουργήθηκε σε έξι ημέρες. Το λέει η Γραφή.»
«Πώς γνωρίζουμε ότι η Γραφή είναι ο αλάθητος λόγος του θεού;»
«Πώς γνωρίζουμε ότι η εξέλιξη είναι η γενεσιουργός αιτία;»
Ο Φαύλος Κύκλος χρησιμοποιείται με παρόμοιο τρόπο προς «αποφυγήν του αιτείσθαι». Όσοι χρησιμοποιούν αυτή την παραλλαγή εξηγούν ότι από το επιχείρημα λείπει μία πρόταση και έτσι δεν γίνεται αντιληπτή η κυκλική συλλογιστική του.
Στο Modern English Usage (Σύγχρονη Χρήση της Αγγλικής), ο Fowler ταξινομεί τον φαύλο κύκλο κάπως διαφορετικά. Γράφει: «Η πλάνη του να θεμελιώνει κάποιος το συμπέρασμά του στο ότι εκκρεμούν τόσες αποδεικτικές διαδικασίες όσες απαιτούνται και για το ίδιο το συμπέρασμα». Αυτό είναι περισσότερο γνωστό ως Πλάνη των πολλών ερωτημάτων.
Υπάρχει μία λεπτή διαφορά μεταξύ Φαύλου Κύκλου και εν αρχή αιτείσθαι. Στον Φαύλο Κύκλο, δύο συμπεράσματα βασίζονται το ένα στο άλλο (με πιθανά ενδιάμεσα στάδια). Δηλαδή, εάν κάποιος ακολουθήσει μία σειρά επιχειρημάτων και συμπερασμάτων (μία απόδειξη ή σειρά αποδείξεων), ένα από τα συμπεράσματα, αποτελεί προϋπόθεση κάποιου προηγούμενου. Το εν αρχή αιτείσθαι μπορεί να εμφανιστεί σε ένα και μόνο επιχείρημα και στο επακόλουθο συμπέρασμά του. Τυπικά, το εν αρχή αιτείσθαι εφαρμόζεται μόνον στην περίπτωση όπου το συμπέρασμα αποτελεί άμεσα ή έμμεσα στοιχείο μίας εκ των προτάσεών του. Γενικότερα, οι όροι Φαύλος Κύκλος και Εν αρχή αιτείσθαι μπορούν να χρησιμοποιηθούν εναλλάξ για αναφορές σε κυκλικούς συλλογισμούς.
Ο φαύλος κύκλος συνδέεται επίσης με την πλάνη των πολλών ερωτημάτων. Πρόκειται για ρητορική πλάνη κατά την οποία παρουσιάζονται για το συμπέρασμα αποδείξεις που γίνονται λιγότερο αποδεκτές από το ίδιο το συμπέρασμα.
Μία μορφή αυτού του επιχειρήματος είναι η μείωση μίας πρότασης στην αναφορά μιας γενικότερης πρότασης, η οποία δεν έχει καθοριστεί ως αληθινή περισσότερο από την εν λόγω πρόταση:
Κάθε εκούσια θανάτωση ανθρωπίνου όντος είναι ηθικά εσφαλμένη.
Η θανατική ποινή είναι εκούσια θανάτωση ανθρωπίνου όντος.
Άρα η θανατική ποινή είναι ηθικά εσφαλμένη.
Εάν η πρώτη πρόταση γίνει αποδεκτή ως αξίωμα εντός κάποιου ηθικού συστήματος ή κώδικα, τότε ο συλλογισμός εναντίον της θανατικής ποινής είναι αδιάσειστος. Εάν όμως όχι, τότε στην πραγματικότητα δεν αποτελεί καν πρόταση αλλά γίνεται ασθενέστερο επιχείρημα, αφού η πρώτη πρόταση είναι ισχυρότερη από το συμπέρασμα.
Βεβιασμένο δείγμα.
Cum hoc ergo propter hoc: Η συσχέτιση συνεπάγεται αιτιότητα, ή αλλιώς cum hoc ergo propter hoc, που στα λατινικά σημαίνει «μαζί με αυτό, άρα εξαιτίας του» αποτελεί λογική πλάνη, η οποία αποβλέπει στο να πείσει ότι δύο συμβάντα που λαβαίνουν χώρα ταυτόχρονα αποτελούν επίσης αιτία και αποτέλεσμα (το ένα του άλλου). Αυτή η πλάνη ονομάζεται επίσης και «πλάνη της ψευδούς αιτίας».
Τα κορίτσια στην εφηβεία τους τρώνε πολλή σοκολάτα.
Τα κορίτσια στην εφηβεία τους πάσχουν από ακμή.
Άρα, η σοκολάτα προκαλεί ακμή.
Οποιοδήποτε επιχείρημα κινείται σε αυτές τις γραμμές, αποτελεί παράδειγμα ψευδούς κατηγορικού συλλογισμού. Αφενός παρατηρείται ότι η πλάνη αγνοεί την πιθανότητα ο συσχετισμός να μην είναι παρά απλή σύμπτωση. Αφετέρου, εξίσου ψευδή θα είναι παραδείγματα με ισχυρότερους συσχετισμούς. Εάν η βρώση της σοκολάτας και η ακμή παρουσίαζαν ισχυρούς διαπολιτισμικούς συσχετισμούς και μάλιστα αυτοί οι συσχετισμοί παρέμεναν έγκυροι για δεκαετίες ή αιώνες, τότε πολύ πιθανόν να μην πρόκειται για σύμπτωση. Σε αυτήν την περίπτωση, η πλάνη αγνοεί την πιθανότητα να υπάρχει μία κοινή αιτία τόσο για την κατανάλωση σοκολάτας, όσο και για την παρουσία της ακμής.
Ένας επιπρόσθετος παράγοντας που θα πρέπει να ληφθεί υπόψη είναι η απουσία κάποιου γνωστού μηχανισμού ο οποίος να εξηγεί πώς το πρώτο συμβάν προκαλεί το δεύτερο. Στο παραπάνω παράδειγμα, εάν η σοκολάτα περιέχει μεγάλη ποσότητα κορεσμένων λιπών ή λιπαρών οξέων και εάν έχει αποδειχτεί ότι αυτά έχουν την ικανότητα να αποφράσσουν τους πόρους προκαλώντας ακμή, τότε ο συσχετισμός μεταξύ της σοκολάτας και της ακμής γίνεται πιο πιστευτός. Αντίθετο παράδειγμα αποτελεί η αστρολογία, όπου δεν υφίσταται κανένας γνωστός πειστικός μηχανισμός που να εξηγεί γιατί η προσωπικότητα του καθενός να επηρεάζεται από την θέση των άστρων. Ασφαλώς, η απουσία ενός γνωστού μηχανισμού δεν προεξοφλεί την πιθανότητα ενός «άγνωστου μηχανισμού».
Στον φυσικό κόσμο, προκειμένου ένα συμβάν να αποτελεί την αιτία κάποιου άλλου, θα πρέπει να λαμβάνει χώρα πρώτο. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το προηγούμενο συμβάν μπορεί να λαμβάνει χώρα στιγμιαία πριν το αποτέλεσμά του, ή και να συνεχίζει να υφίσταται ακόμη και μετά το αποτέλεσμα, ώστε να λέγεται ότι τα δύο συμβάντα λαμβάνουν χώρα ταυτοχρόνως. Ωστόσο, το προηγούμενο συμβάν είναι φύσει και θέσει αδύνατον να λαμβάνει χώρα μετά το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, δεν μπορεί να λεχθεί ότι μία τρέχουσα αύξηση του πληθυσμού προκάλεσε μία έκρηξη γεννητικότητας πριν από κάποια χρόνια.
*Οι αυξομειώσεις στις πωλήσεις παγωτού συσχετίζονται με απόλυτη συνέπεια με τις αυξομειώσεις της εγκληματικότητας.
*Άρα, η κατανάλωση παγωτού αυξάνει την εγκληματικότητα.
Το άνω παράδειγμα εμπίπτει στην πλάνη cum hoc ergo propter hoc, διότι στην πραγματικότητα η αύξηση της θερμοκρασίας είναι αυτή που αυξάνει τόσο τα επίπεδα της εγκληματικότητας (προφανώς με το να καθιστά τους ανθρώπους ευερέθιστους), όσο και τις πωλήσεις παγωτού.
Μία επιπλέον παρατήρηση δείχνει ότι η φορά της αιτίασης είναι εσφαλμένη.
*Η οπλοκατοχή έχει άμεση σχέση με την εγκληματικότητα.
*Άρα, η οπλοκατοχή οδηγεί στην εγκληματικότητα.
Αυτές οι προτάσεις θα μπορούσαν κάλλιστα να είναι αντεστραμμένες: η αύξηση της εγκληματικότητας μπορεί να οδηγήσει σε αυξημένη οπλοκατοχή από μέρους των πολιτών οι οποίοι δεν νιώθουν αρκετά ασφαλείς.
Ένα χιουμοριστικό παράδειγμα αυτής της πλάνης εμφανίστηκε στο επεισόδιο των Σίμπσονς, “Much Apu About Nothing”. Η πόλη είχε ξοδέψει πολλά χρήματα για να δημιουργήσει μία περίπλοκη “περιπολία αρκούδων” ως αντίδραση στην θέαση μίας μόνο αρκούδας μία εβδομάδα πριν και την υπερβολική αντίδραση των πολιτών.
Χόμερ: Ούτε μία αρκούδα. Η περιπολία δουλεύει ρολόι!
Λίζα: Αυτό που λες δεν στέκει, μπαμπά.
Homer: [μη κατανοώντας] Ευχαριστώ, γλυκιά μου.
Λίζα: [σηκώνει μία πέτρα] Με την λογική σου, θα μπορούσα να ισχυριστώ ότι αυτή η πέτρα απομακρύνει τις τίγρεις.
Χόμερ: [σκεπτικός] Χμμ. Πώς δουλεύει;
Λίζα: Δεν δουλεύει.
Χόμερ:[μη κατανοώντας] Εεε…
Λίζα: Είναι απλά μία χαζή πέτρα!
Χόμερ: [προτρεπτικά] Ναι…
Λίζα: Μα δεν βλέπω καμία τίγρη εδώ… ε;
Χόμερ: [παύση] Λίζα, θέλω να αγοράσω την πέτρα σου.
Άρνηση του ηγουμένου: Η άρνηση του ηγουμένου είναι ένα είδος λογικής πλάνης. Έστω ότι κάποιος στο επιχείρημά του πρώτα αρνιόταν να αποδεχθεί το «αν» της υπόθεσης (το ηγούμενο) και κατόπιν δεν αποδεχόταν επίσης το «τότε» (το επόμενο):
Εάν Α, τότε Β.
Το Α είναι ψευδές.
Άρα, το Β είναι ψευδές.
Το επιχείρημα αυτό ονομάζεται άρνηση του ηγουμένου, διότι κατά τον σχηματισμό του υπάρχει άρνηση του ηγουμένου της δεύτερης πρότασης. Έτσι έχουμε ανακολουθία. Εάν επιχειρηματολογούμε τοιουτοτρόπως, σφάλουμε. Για παράδειγμα:
Όταν πάω κινηματογράφο, πάντα τρώω ποπκόρν.
Δεν είμαι στον κινηματογράφο τώρα.
Άρα, δεν τρώω ποπκόρν.
Είναι φανερό πως το ότι τρώω ποπκόρν όταν είμαι στον κινηματογράφο δεν μηδενίζει την πιθανότητα να τρώω ποπκόρν και κάπου αλλού. Όταν αποτελεί μέρος πιο περίπλοκης επιχειρηματολογίας, ο συλλογισμός αυτός ίσως να μοιάζει πειστικός εξαιτίας της πιθανής σύγχυσης ανάμεσα στο «εάν» και στο «εάν και μόνο εάν». Η άρνηση του ηγουμένου είναι έγκυρη, εάν η πρώτη πρόταση περιέχει το «εάν και μόνο εάν» αντί για το απλό «εάν». Έτσι τρώω ποπ-κορν στον κινηματογράφο, όχι μόνο «πάντα» αλλά και αποκλειστικά εκεί.
Αμφισημία: Η πλάνη της αμφισημίας ή αμφισημίας σοφίσματος επιτυγχάνεται με τη χρήση μίας λέξης η οποία μπορεί να πάρει περισσότερες από μία έννοιες μέσα στα συμφραζόμενα του ίδιου επιχειρήματος, ενώ υποτίθεται ότι η λέξη φέρει την ίδια έννοια κάθε φορά που χρησιμοποιείται.
Ο Γιώργος είναι ευχάριστο άτομο.
Το άτομο διασπάται.
Ο Γιώργος διασπάται.
Το παραπάνω επιχείρημα πέφτει στην εξής πλάνη: Η λέξη άτομο χρησιμοποιείται στην πρώτη περίπτωση για να καταδείξει τον άνθρωπο ως πρόσωπο και ύπαρξη και για να καταδείξει το στοιχειώδες σωματίδιο της ύλης στην δεύτερη περίπτωση. Εφόσον ο δεύτερος όρος αυτού του συλλογισμού είναι στην πραγματικότητα δύο διαφορετικοί όροι, η αμφισημία εδώ αποτελεί πλάνη τεσσάρων όρων.
Η πλάνη της αμφισημίας συχνά χρησιμοποιείται με λέξεις οι οποίες φέρουν βαρύ συναισθηματικό φορτίο και πολλές σημασίες. Αυτές οι σημασίες συχνά συμπίπτουν, αν χρησιμοποιηθούν μέσα σε κατάλληλα επιλεγμένα συμφραζόμενα, αλλά ο επιχειρηματολόγος που αποσκοπεί στην πλάνη μπορεί να προκαλέσει μία «σημειολογική μετατόπιση», αλλάζοντας ανεπαίσθητα και σταδιακά τα συμφραζόμενα, ούτως ώστε να επιτύχουν την αμφισημία εξισώνοντας δύο διαφορετικές έννοιες της λέξης.
Η μεταφορά αποτελεί αμφισημία διαφορετικού είδους:
Το αρσενικό του είδους Equus asinis ονομάζεται γάιδαρος.
Ο γάιδαρος αντιπροσωπεύει το είδος Equus asinis.
Όλοι οι γάιδαροι έχουν μεγάλα αυτιά.
Ο Πέτρος είναι μεγάλο γαϊδούρι.
Άρα, ο Πέτρος έχει μεγάλα αυτιά.
Εδώ, η αμφισημία συνίσταται στην μεταφορική χρήση του γαϊδάρου ως αναφορά σε κάποιον ανόητο, άξεστο ή/και αχάριστο άνθρωπο, αντί για το αρσενικό του είδους Equus asinis.
Η αμφισημία σχετίζεται με την πλάνη της αμφιβολίας, αν και η τελευταία βασίζεται κυρίως σε «συντακτική μετατόπιση». Η αμφισημία μπορεί να χρησιμοποιηθεί και εκτός της ορολογίας της λογικής ως ιδιότητα της γλώσσας να επιδέχεται διττή ερμηνεία. Με άλλα λόγια η γλώσσα γίνεται διφορούμενη.
Πολιτική
Στην προσπάθεια να πεισθεί κάποιος για την ορθότητα ενός υποψήφιου νομοσχεδίου
Εννιά στους δέκα στην εκλογική μου περιφέρεια βρίσκουν το νομοσχέδιο σωστό.
Εννιά στους δέκα βουλευτές βρίσκουν το νομοσχέδιο δίκαιο.
Μάρκετινγκ & διαφήμιση
Η τάδε μάρκα ψυγείου παράγεται από την πρωτοπόρο βιομηχανία ηλεκτρικών ειδών, άρα αγόρασε το είναι καλό.
Δείτε την τάδε εκπομπή γιατί βρίσκεται στο νούμερο ένα της τηλεθέασης.
Άλλα παραδείγματα
Όλοι οι φίλοι μου το κάνουν, άρα είναι σωστό.
Όλοι λένε ότι ο ήλιος γυρνάει γύρω από την Γη (πλάνη χιλιάδων χρόνων).
Όλοι ξέρουν ότι η Γη είναι επίπεδη (πλάνη χιλιάδων χρόνων).
Τόσοι άνθρωποι πιστεύουν στον θεό, άρα ο θεός υπάρχει. (ο Δίας, Θωρ και άλλες θεότητες που λατρεύονται διαχρονικά από τους ανθρώπους)
Τόσοι άνθρωποι καπνίζουν, άρα δεν υπάρχει πρόβλημα με το κάπνισμα
Οι λαϊκές ρήσεις που συχνά αναφέρονται ως «η σοφία του λαού», εμπίπτουν σε αυτή την κατηγορία λογικής πλάνης γιατί από τους περισσότερους λαμβάνονται «αξιωματικά» ως αληθινές, ακριβώς επειδή έχουν μπει σαν «σοφία» στο υποσυνείδητο του καθενός. Ένα παράδειγμα διαδεδομένης λαϊκής ρήσης είναι «η ελπίδα πεθαίνει τελευταία», η οποία ενώ μπορεί να δώσει επιμονή σε κάποιον που ασχολείται με την επίτευξη ενός στόχου μπορεί σε άλλη περίπτωση να αποτελεί την μόνη κινητήρια δύναμη πίσω από αναζήτηση ακατόρθωτων στόχων. Επιγραμματικά η παραπάνω κινέζικη παροιμία «τρεις άνθρωποι φτιάχνουν μια τίγρη» βγαίνει από το ότι εάν ένας άνθρωπος ακούσει από κάποιον άλλον ότι στο κέντρο μιας μεγάλης πόλης κυκλοφορεί ελεύθερη μια τίγρη τότε δεν θα το πιστέψει. Εάν το ακούσει από δύο θα το λάβει υπόψιν του και εάν το ακούσει από τρεις τότε θα το πιστέψει. Το ότι πολλοί άνθρωποι πιστεύουν σε κάτι δεν σημαίνει ότι ο ισχυρισμός είναι σωστός. Η λογική πλάνη είναι η αποδοχή του ισχυρισμού σαν αλήθεια χωρίς περαιτέρω ανάλυση.
Βεβιασμένη γενικοποίηση: Βεβιασμένη γενίκευση ονομάζεται η λογική πλάνη που υφίσταται όταν εξάγεται ένα γενικό συμπέρασμα το οποίο, ωστόσο, βασίζεται σε ανεπαρκή αποδεικτικά στοιχεία. Συνήθως αφορά στατιστικά αποτελέσματα τα οποία εξάγονται από μια μικρή ομάδα ατόμων που δεν αντιπροσωπεύει επαρκώς το σύνολο του πληθυσμού. Η αντίθετη πλάνη καλείται ράθυμη επαγωγή όπου το λογικό συμπέρασμα ενός επαγωγικού επιχειρήματος γίνεται μη αποδεκτό, συνήθως σαν μια σύμπτωση.
Ένα άτομο περνώντας με το αυτοκίνητο του από μια μικρή πόλη Χ βλέπει 10 άτομα τα οποία είναι όλα παιδιά. Γυρνώντας στην πόλη του αναφέρει ότι στην πόλη Χ δεν μένουν ενήλικες.
Τουρίστας στην Ελλάδα υπερχρεώνεται από έναν εστιάτορα σε τουριστικό μέρος και συμπεραίνει ότι όλοι οι έλληνες είναι κλέφτες.
Στην θεωρία αριθμών, η υπόθεση του Pólya (από τον Ούγγρο μαθηματικό George Pólya), που τέθηκε το 1919, ισχύει για τους πρώτους 906.150.257 αριθμούς αλλά αποδεικνύεται λανθασμένη για αυτόν τον αριθμό και αρκετούς άλλους μεγαλύτερους αυτού. Το να υποθέσει κάποιος ότι ένας ισχυρισμός είναι σωστός εφόσον ισχύει για τα πρώτα 906 εκατομμύρια αριθμούς που ερεύνησε, δεν είναι στην ουσία βεβιασμένη γενίκευση αλλά στα μαθηματικά ένας ισχυρισμός παραμένει υπόθεση μέχρι να αποδειχτεί καθολικά σωστός.
Η βεβιασμένη γενίκευση στην καθημερινότητα λειτουργεί αόρατα και εξάγονται βιαστικά συμπεράσματα από γεγονότα πλήρως άσχετα μεταξύ τους. Παράδειγμα: ένας κουστουμαρισμένος άντρας έχει για τους περισσότερους καλλίτερη μόρφωση από έναν άντρα που φοράει πέτσινο μπουφάν, σκουλαρίκια και μερικά δακτυλίδια. Αντίστοιχα εάν κτυπήσει το κουδούνι του σπιτιού οι πιθανότητες να ανοίξει η πόρτα στον άγνωστο άνδρα της πρώτης περίπτωσης είναι σαφώς μεγαλύτερες.
Το αντίθετο της βεβιασμένης γενίκευσης είναι όταν 8 στις 10 φορές τρακάρεις το αυτοκίνητο σου στο παρκάρισμα και είναι όλα μια σύμπτωση και όχι αδεξιότητα.
Η πλάνη του τζογαδόρου: Η πλάνη του τζογαδόρου είναι επίσης γνωστή και ως η πλάνη του Μόντε Κάρλο επειδή το διασημότερο παράδειγμα συνέβη στο καζίνο του Μόντε Κάρλο το καλοκαίρι του 1913, όταν το μαύρο είχε έρθει 26 συνεχόμενες φορές και οι παίκτες έχασαν εκατομμύρια γαλλικά φράγκα ποντάροντας κόκκινο.
Υπάρχει και η αντίθετη περίπτωση, δηλαδή να φαίνεται ότι η πλάνη του τζογαδόρου ισχύει αλλά στην πραγματικότητα να μην ισχύει. Κλασσική περίπτωση είναι το Μπλακ Τζακ όπου οι πιθανότητες να βγει βαλές στα εναπομείναντα χαρτιά είναι μικρότερες από το να βγει οποιοδήποτε άλλο φύλλο εάν έχει ήδη βγει βαλές σε προηγούμενο «χέρι». Σε αυτή την λογική είναι χτισμένο το «μέτρημα των χαρτιών» στο Μπλακ Τζακ, το οποίο με την κατάλληλη τακτική μπορεί να αποδώσει κέρδη στον παίκτη, καθώς οι πιθανότητες να κερδίζει στην διάρκεια είναι μεγαλύτερες από αυτές του καζίνο (έως και 2.5%), όταν στα εναπομείναντα χαρτιά υπάρχουν πιο πολλά μεγάλα φύλα (δέκα βαλές ντάμα ρήγας και άσος) από μικρά (δύο τρία τέσσερα πέντε και έξι). Τα φύλα εφτά οχτώ και εννέα δεν τα μετράνε. Τα περισσότερα καζίνο για να αντιμετωπίσουν το μέτρημα των χαρτιών επανατοποθετούν τα ήδη μοιρασμένα χαρτιά στα εναπομείναντα μετά από κάθε «χέρι».
Άλλο ένα παράδειγμα που καταδεικνύει ότι τα μαθηματικά και η ανθρώπινη διαίσθηση είναι αντικρουόμενες έννοιες, είναι το πρόβλημα των γενεθλίων. Από την 1η Ιανουαρίου μέχρι και την 31η Δεκεμβρίου είναι 366 μέρες, συμπεριλαμβανομένης και της 29ης Φεβρουαρίου. Άρα για να είμαστε 100% σίγουροι ότι θα βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με κοινή μέρα γενεθλίων, χρειαζόμαστε το λιγότερο 367 άτομα, δηλαδή αυτούς του 366 και ακόμα έναν. Ενώ το παραπάνω παράδειγμα είναι πλήρως κατανοητό και μέσα στην «κοινή λογική» δεν ισχύει το ίδιο για τον μικρότερο αριθμό ατόμων που απαιτούνται ώστε η πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με την ίδια μέρα γενέθλιων να είναι 99%.
Προκατάληψη είναι η πεποίθηση εκείνη που δεν στηρίζεται σε λογική επιχειρηματολογία προς την οποία μάλιστα και αντιπαρατίθεται ανυποχώρητα. Υπολαμβάνεται ως μια γνώμη ή ένα σύνολο γνωμών ή ακόμα και ως ολόκληρη θεωρία η οποία έχει σχηματισθεί κατά έναν μη επιστημονικό τρόπο κοινώς αποδεκτό, αλλά και μια τοποθέτηση που περιλαμβάνει συναισθήματα όπως η περιφρόνηση και η απέχθεια. Δεν πρόκειται για άποψη γιατί κάθε άποψη δεν μπορεί να θεωρηθεί εσφαλμένη αλλά για στέρεα πεποίθηση.
Οι παιδικές ιδιαίτερα εμπειρίες που ποικίλλουν από τόπο σε τόπο και από εποχή σε εποχή, ανάλογα με το οικογενειακό περιβάλλον και το κοινωνικό περίγυρο διαμορφώνουν και προσδιορίζουν την ένταση του φαινομένου της προκατάληψης. Η συνεχής επανάληψη προκαλεί στερεότυπα που δεν αποβάλλονται εύκολα από τον αποδέκτη της. Οι δοξασίες, οι θρησκοληψίες, οι δεισιδαιμονίες, οι προλήψεις, οι μεταφυσικές πεποιθήσεις, ο ψυχισμός, ο μυστικισμός, οι φυλετικές διακρίσεις, ο εθνικισμός συμπεριλαμβάνονται μεταξύ των πολλών γενεσιουργών αιτιών που ευνοούν την προκατάληψη.
Κατά τον Μαξ Νορντάου, που διαφοροποιεί και επεκτείνει με το δικό του τρόπον την πλατωνική θεωρία όπως αναφέρεται στον Φαίδωνα για την «Ανάμνηση» (ἀπιστεῖς γὰρ δὴ πῶς ἡ καλουμένη μάθησις ἀνάμνησίς ἐστιν;) όταν ίχνη δεισιδαιμονίας ανακαλύπτουμε συχνά με θλιβερή κατάπληξη, ακόμη και σε πνεύματα φωτεινά, ανάγεται στο γεγονός ότι σε κάθε ον εξακολουθούν να ζούν οι ιδέες (κάποια δηλ. χαρακτηριστικά των προγόνων) με την μορφή αναμνήσεων, συχνά ασυνείδητων και σκοτεινών, αλλά πάντοτε υπαρκτών και δεν χρειάζεται παρά η εξωτερική παρόρμηση για να προβάλουν σε απόλυτη διαύγεια και να τυφλώσουν με τις ακτίνες τους ολόκληρη τη ύπαρξη της ψυχής. Σύμφωνα όμως με τον Νορμπέρτο Μπόμπιο:
«Η δύναμη της προκατάληψης οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι η πίστη σε μια ψεύτικη γνώμη συχνά ανταποκρίνεται στις επιθυμίες μας, διεγείρει τα πάθη μας και ικανοποιεί τα συμφέροντά μας». -Νορμπέρτο Μπόμπιο, Ηθική και Πολιτική (Etica e Politica), ed. Modatori, Μιλάνο 2009
Διακρίσεις.
Στην αγγλική γλώσσα υπάρχουν τρεις διαφορετικές λέξεις, όπως: Self-absorpion (προκατάληψη γύρω από τον εαυτό μας), Self Partiality (προκατάληψη απόψεων), Ageism (προκατάληψη έναντι των γερόντων) και άλλες δώδεκα διαφορετικές λέξεις που συνδέονται με την προκατάληψη και προσδιορίζουν το υπόβαθρό της και κυρίως τις διαβαθμίσεις της, όπως engrossment, prenotion, prepossesion, prediletion, preconcived idea, preoccupancy λατ. (preoccupio= προκαταλαμβάνω) που αναφέρονται στις προδιαθέσεις εύνοιας, στις προτιμήσεις, στις ιδεοληψίες, στο προαίσθημα, στην προδίκαση και στην αποδοχή ενός γεγονότος και στην απορρόφηση γύρω από τον εαυτό μας.
Υπάρχουν πολλών ειδών διακρίσεις, όπως γενικά η ηθική και συναισθηματική προκατάληψη· σπουδαιότερη όμως διάκριση και η πιο χρήσιμη είναι αυτή μεταξύ ατομικών και συλλογικών προκαταλήψεων.
Προλήψεις και προκαταλήψεις.
Οι προλήψεις σε σχέση με την προκατάληψη είναι ήπιας μορφής, συνοδεύονται από απευχές (ξόρκια) για εκτροπή του κακού και δεν θίγουν τρίτα πρόσωπα, όπως η συνάντηση ενός μαύρου γάτου, το κτύπημα του ξύλου ή το έξω από εδώ στο άκουσμα της λέξης ‘διάβολος’. Ακόμα και στις μέρες μας ένα πανάρχαιο εθιμοτυπικό της λιτανείας, που παρατηρείται σε περιπτώσεις ανομβρίας, αναβιώνει με τις ευλογίες της εκκλησίας.
Ο Αλέξανδρος Παπαδιαμάντης, στην «Γυφτοπούλα» αναπαριστά με εύγλωττο τρόπο την περίπτωση της φυλετικής διάκρισης (ρατσισμός), όπου στην τοπική κοινωνία, μεταξύ των άλλων, οι αγυιόπαιδες πετροβολούν την Αϊμά, έτσι χωρίς λόγο, γιατί είχαν μάθει από το περίγυρό τους ότι οι γύφτισσες είναι αβάφτιστες και κλέφτρες.
Ανάλυση.
Η ανάλυση είναι η διαδικασία διάσπασης ενός σύνθετου θέματος ή μίας ουσίας σε μικρότερα μέρη προκειμένου να αποκτηθεί καλύτερη και ευκολότερη κατανόησή του. Η τεχνική έχει εφαρμοστεί στη μελέτη των μαθηματικών και της λογικής από την εποχή πριν τον Αριστοτέλη (384–322 π.κ.ε.), αν και η ανάλυση ως επίσημη έννοια είναι μια σχετικά πρόσφατη εξέλιξη. Η λέξη προέρχεται από την αρχαία ελληνική “ἀνάλυσις” (ανάλυση, «διάσπαση» ή «λύσιμο», από το ανα- «πάνω, σε όλη» και την λύση «χαλάρωση»). Από αυτό προέρχεται και ο πληθυντικός της λέξης, “αναλύσεις”.
Ως επίσημη έννοια, η μέθοδος έχει αποδοθεί ποικιλοτρόπως στους Αλχαζέν, Ρενέ Ντεκάρτ (Λόγος για την Μέθοδο) και Γαλιλέι Γαλιλαίος. Έχει επίσης αποδοθεί στον Ισαάκ Νεύτωνα, με την μορφή μιας πρακτικής μεθόδου φυσικής ανακάλυψης (την οποία δεν κατονόμασε). Το αντίστροφο της ανάλυσης είναι η σύνθεση: συναρμολόγηση των κομματιών ξανά μαζί σε νέο ή διαφορετικό σύνολο.
Ανάλυση και ξανά Ανάλυση. Διάκριση κι Αμφιβολία.
Τώρα γνωρίζουμε τους βασικούς τρόπους με τους οποίους μας παραπλανούν και με ποιούς τρόπους, εμείς παραπλανούμε τον εαυτό μας όταν εγκαθιστούμε μέσα στο κεφάλι μας αναληθείς ιδέες ως την μοναδική Αλήθεια κι αδυνατούμε να δούμε κι άλλη οπτική του ιδίου θέματος. Στην Τριλογία “Η Τέχνη της Εξαπάτησης” υπάρχουν πολλές ασκήσεις ώστε να εξασκηθείς στο να αντιλαμβάνεσαι τον κόσμο και κάθε θέμα σφαιρικά κι όχι παγ(ι)ωμένα. Αν μη τι άλλο είναι ένα εξαιρετικά ενδιαφέρον και διασκεδαστικό παιχνίδι το να μπορείς να βλέπεις τον κόσμο που μας περιβάλει με “άλλα μάτια” ενεργοποιώντας το “Βλέπειν” που ενυπάρχει σε κάθε άνθρωπο αλλά είναι κρυμμένο πίσω από βουνά σκουπιδιών λογικής πλάνης.
