Τα παράδοξα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας

Εννοιολογικά θεμέλια

 

Η γεωμετρία όπως είναι γνωστό ασχολείται με το χώρο, αφού καταστήσει σαφές τι είναι χώρος. Χώρος για τη γεωμετρία είναι ένα σύνολο σημείων και ευθειών. Έτσι αν ο  χώρος αναφέρεται στην επιφάνεια μιας σφαίρας, τα σημεία του χώρου μας είναι τα σημεία της επιφάνειας της σφαίρας και οι ευθείες του χώρου μας είναι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας.

 

Ο επίπεδος χώρος των δύο διαστάσεων, δηλαδή το γνωστό μας επίπεδο, περιγράφεται πλήρως από τη γεωμετρία του Ευκλείδη, με σημεία και ευθεία τα γνωστά μας Ευκλείδεια σχήματα. Τα σχήματα αυτά συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, όπως τα περιέγραψε ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του, τα οποία περιέχουν 23 Ορισμούς, 9 κοινές αρχές και 5 αξιώματα-αιτήματα, τα οποία αξιώματα δεν είναι τίποτα άλλο παρά υποθέσεις για τη συμπεριφορά των σημείων και των ευθειών του επιπέδου. Το να ρωτούμε λοιπόν αν τα αξιώματα του Ευκλείδη ισχύουν στο χώρο, ισοδυναμεί με το να ρωτούμε αν ο χώρος είναι Ευκλείδειος.

 

Ένα παράδειγμα ορισμού είναι οι παράλληλες ευθείες (ορισμός 23), παράλληλες είναι οι ευθείες του ίδιου επιπέδου, που προεκτεινόμενες επ’ άπειρο και από τα δύο μέρη, δεν συναντώνται σε κανένα από αυτά.

 

Παράδειγμα κοινής αρχής: αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν ίσα.

Τα αξιώματα του Ευκλείδη είναι τα εξής [1]:

 

1. Υπάρχει ακριβώς μία ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία.

 

2.Κάθε ευθεία γραμμή μπορεί να επεκταθεί επ’ άπειρο, είναι ανοιχτή. Αργότερα συμπληρώθηκε από το ότι  για δύο τυχόντα σημεία της Α, Β υπάρχει πάντα ένα άλλο Γ,  ώστε το Β  να βρίσκεται μεταξύ των Α και Γ

 

3.Είναι δυνατόν να χαράξουμε ένα κύκλο, με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα. Το αξίωμα αυτό φαίνεται να μην έχει σχέση με τα σημεία και τις ευθείες. Όμως αν προσέξουμε τον Ευκλείδειο ορισμό του κύκλου, που είναι η γραμμή της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από ένα άλλο, θα δούμε ότι το αξίωμα αυτό εξασφαλίζει τη λειτουργία του διαβήτη παντού στο χώρο. Με άλλα λόγια ορίζει ότι η απόσταση στο επίπεδο (χώρο) όπως κι αν οριστεί, πρέπει να εξασφαλίζει το αμετάβλητο του μήκους για ένα ευθύγραμμο τμήμα, το οποίο μετακινείται από το ένα μέρος στο άλλο.

 

4.Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Πάλι πρέπει να γνωρίζουμε τον Ευκλείδειο ορισμό της ορθής γωνίας για να ερμηνεύσουμε το αξίωμα: «όταν δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν τις διαδοχικές γωνίες ίσες, τότε κάθε μια από αυτές είναι ορθή γωνία. Άρα το 4^ο αξίωμα ισοδυναμεί με την υπόθεση ότι οι ευθείες γραμμές δεν έχουν γωνιακά σημεία, «σπάσιμο». Ας θυμηθούμε το μέγιστο κύκλο της σφαίρας και την ευθεία του επιπέδου.

 

5. το διασημότερο: [2] εάν ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε αν οι δύο ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, θα τέμνονται προς τα μέρη όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες)

  

Όλα  αυτά είναι τα θεμέλια   της γεωμετρίας του Ευκλείδη.

Οι συνδυασμοί των πρώτων αυτών αρχών,  θα παράγουν μέσω του παραγωγικού συλλογισμού την αποδεικτική επιστήμη, για τη γεωμετρία θα παράγουν τα θεωρήματα.

 

Το τμήμα της γεωμετρίας που οι προτάσεις του θεμελιώνονται στο 5^ο  αξίωμα (αίτημα)  αποτελεί την καθαυτό Ευκλείδεια γεωμετρία, ενώ το σύνολο των προτάσεων που δεν στηρίζονται στο 5^ο αξίωμα, αποτελούν τη Απόλυτη γεωμετρία.

 

Παραδείγματα προτάσεων της Ευκλείδειας γεωμετρίας είναι:

 

Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι δύο ορθές.

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών πολυγώνου είναι 4 ορθές.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι επεκτάσεις του.

Το μήκος περιφερείας είναι 2πρ  κλπ

Προτάσεις της απόλυτης γεωμετρίας είναι οι 28 πρώτες των «Στοιχείων» (κατασκευαστικές) π.χ  είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο με δοθείσα πλευρά.

 

Αλλά γεννιέται συγχρόνως ένα ερώτημα που δεν απαντήσαμε. Πως γνωρίζουμε ότι τα αξιώματα που πήραμε είναι τα σωστά αξιώματα; Τι θα πει σωστά αξιώματα; Για παράδειγμα, είναι απαλλαγμένα από αντιφάσεις; Κάθε θεώρημα της γεωμετρίας αποδεικνύεται με τη χρήση των αξιωμάτων ή μήπως θα χρειάζονταν περισσότερα,  που ο Ευκλείδης παρέβλεψε; Τι σχέση πρέπει να έχουν τα αξιώματα μεταξύ τους;

 

Αυτά θα μπουν στην έρευνα μετά δύο χιλιάδες χρόνια! Είναι τα μυστικά των αξιωματικών βάσεων, που η ανακάλυψή τους στη μαθηματική πρακτική, θα  ξ ε κ ι ν ή σ ε ι  τ υ χ α ί α   με τη φοβερή ιδέα του Λομπατσέφσκυ.

 

Τα παράδοξα της Ευκλείδειας γεωμετρίας

Κάθε κλάδος των Μαθηματικών, στην αρχή παρουσιάζει «παράδοξα», μέχρις ότου  οι έννοιες που εισάγει να «καθήσουν» καλά στα μυαλά των μαθηματικών. Το ίδιο συνέβη και με τη γεωμετρία. Τα παράδοξα της γεωμετρίας κράτησαν αιώνες, όσους περίπου και τα παράδοξα του Ζήνωνα, και τερματίστηκαν με τη λεγόμενη «απελευθέρωση» της γεωμετρίας, μετά το Λομπατσέφσκυ.

 

Μια κριτική μελέτη των «Στοιχείων» σε μεταγενέστερες εποχές, απεκάλυψε ότι ορισμένες προτάσεις βασίζονται σε γεωμετρικές ιδιότητες τις οποίες ο Ευκλείδης θεώρησε αυτονόητες, χωρίς όμως αυτές να μπορούν να δικαιολογηθούν ούτε από τους ορισμούς και τα αξιώματα , ούτε και να προκύπτουν από άλλες γνωστές προτάσεις. Κατά το 19^ο αιώνα είχε γίνει αντιληπτό ότι τα αξιώματα και οι ορισμοί του Ευκλείδη δεν επαρκούσαν για τη λογική απόδειξη όλων των θεωρημάτων των «Στοιχείων». Θα δούμε το πρώτο παράδοξο, που είναι η «απόδειξη» ότι όλα τα τρίγωνα είναι ισοσκελή.

 

Σε ένα τρίγωνο ABC έστω η διχοτόμος της Α και η μεσοκάθετος  του τμήματος BC όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν αυτές συμπίπτουν τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Έστω ότι τέμνονται στο Ρ και φέρουμε τις κάθετες ΡΕ και ΡF  στις πλευρές ΑΒ και ΑC. Tότε τα τρίγωνα που συμβολίζονται με α είναι ίσα (μια πλευρά και δύο γωνίες., άρα ΡΕ=ΡF  Ομοίως τα τρίγωνα που συμβολίζονται με γ  είναι ίσα άρα ΡΒ=ΡC. Από αυτό προκύπτει ότι και τα τρίγωνα β είναι ίσα άρα ΒΕ+ΕΑ=CF+FA  δηλαδή το ΑBC είναι ισοσκελές.

 

Φυσικά αν προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε με ακρίβεια τα σημεία και τις γραμμές στο σχήμα θα ανακαλύψουμε ότι το πραγματικό σχήμα δεν είναι αυτό που σχεδιάσαμε. Το σημείο Ρ  πέφτει έξω από το τρίγωνο ΑΒ. .Όμως αν κάνουμε την απόδειξη σε αυτή τη βάση υποθέτοντας ότι τα σημεία Ε και F βρίσκονται έξω από το τρίγωνο πάλι συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο είναι  ισοσκελές. Αυτό είναι επίσης ένα λάθος σχήμα.

 

Το σωστό σχήμα δίνεται με το Ρ έξω από το τρίγωνο αλλά ακριβώς ένα από τα σημεία Ε και F να βρίσκεται ανάμεσα στις κορυφές του τριγώνου, όπως φαίνεται στο επόμενο σχήμα. Ακόμα έχουμε AE=AF  και PE=PF  και PB=PC ακόμα προκύπτει ότι BE=FC αλλά τώρα βλέπουμε  δεν προκύπτει ότι AB=AC , διότι ενώ το F είναι ανάμεσα στα A και C, το Ε δεν είναι ανάμεσα στα Α και Β. Αυτό δείχνει τη σπουδαιότητα του «μεταξύ» σαν έννοια στη γεωμετρία, που δεν υπάρχει στον Ευκλείδη. Ο Pasch ήταν ανάμεσα στους πρώτους  που θεώρησε τα «αξιώματα διάταξης» και ο Χίλμπερτ τα ενσωμάτωσε στα δικά του «θεμέλια της Γεωμετρίας».

 

Ένα άλλο σημείο της κριτικής στον Ευκλείδη ήταν στο θέμα των ορισμών. Ο Ευκλείδης ακολουθώντας το Ελληνικό σχέδιο της υλικής αξιωματικής μεθόδου, έκανε προσπάθειες να ορίσει ή τουλάχιστον να εξηγήσει όλους τους όρους της μεθόδου του. Τι είναι σημείο; Κάτι που δεν έχει μέρη ή μέγεθος. Δηλαδή; Αυτό μοιάζει με ορισμό του «τίποτα». Στην πραγματικότητα  θέλουμε το σημείο σαν κάτι πολύ μικρό, πολύ συγκεκριμένο στίγμα, και αν μας πιέσουν τι εννοούμε με το πολύ μικρό, πολύ συγκεκριμένο στίγμα θα πούμε:  λοιπόν εννοούμε σημείο.

 

Δεν μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε ρητά όλους τους όρους, το έναν μέσω των άλλων, αυτό δεν μπορεί να συμβεί χωρίς να αποφύγουμε την κυκλικότητα, και πάντα θα υπάρχουν κάποιοι πρωταρχικοί όροι που θα ορίζονται σιωπηρά, με την έννοια ότι είναι αυτά τα πράγματα που πληρούν τα αξιώματα, τα αξιώματα σε τελευταία ανάλυση είναι υποθέσεις για τους πρωταρχικούς όρους. Αυτή είναι η συνταγή για τη σύγχρονη αξιωματική μέθοδο. Και πώς  ορίστηκε το σημείο; Αυτό χρειάστηκαν χιλιετίες για να απαντηθεί: απλά αδιαφορούμε  τι σημαίνει. Ο Χίλμπερτ όρισε ότι «για κάθε ζεύγος σημείων υπάρχει μια ευθεία γραμμή που τα περιέχει» Η πρόταση δεν απαιτεί από εμάς να ξέρουμε τι είναι το σημείο, αλλά όταν έχουμε δύο από αυτά, υπάρχει ένα άλλο πράγμα που λέγεται ευθεία, που τα περιέχει. Το σημείο δηλώνεται με αμοιβαίες σχέσεις οι οποίες εκφράζονται με  λέξεις όπως «κείνται» «μεταξύ» κλπ. Αλλά όμως η αντίληψη αυτή επεκτείνεται στα μαθηματικά, όπως είδαμε σε προηγούμενο άρθρο (φορμαλισμός).

 

Ένα  άλλο σημείο κριτικής από τους λογικιστές είναι η πρόταση 1.4  κατασκευής ισοπλεύρου τριγώνου δοθείσας πλευράς. Εκεί θεώρησε ότι δύο κύκλοι με κέντρα τα άκρα ενός τμήματος και ακτίνα το τμήμα, τέμνονται. Αυτό πράγματι δεν προκύπτει από τη θεμελίωση,  για τον Ευκλείδη όμως είναι διαισθητικά προφανές και δεν παράγει λανθασμένο αποτέλεσμα. Χρειάζονται εν τούτοις αξιώματα που να μας διαβεβαιώνουν για τη γεωμετρική έννοια της συνέχειας, η οποία σε Καρτεσιανούς όρους είναι ισοδύναμη με την πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Θα μπορούσε, λέει η σύγχρονη κριτική, οι δύο κύκλοι να είχαν κενά στην περίμετρό τους, να έμπαινε ό ένας μέσα στον άλλο σαν κρίκοι, και να μην τέμνονται! Μα πότε θα μπορούσε να συμβεί αυτό; Αν π.χ  το επίπεδο είχε σημεία μόνο με ρητές συντεταγμένες δηλαδή το επίπεδο να είχε κενά, αόρατες τρύπες!

Την αυστηρότερη κριτική στο έργο του Ευκλείδη  άσκησε ο Ράσελ στο άρθρο του «η διδασκαλία του Ευκλείδη». Αν και το άρθρο είναι πολύ σημαντικό για την ιστορική συνέχεια της αξιωματικής μεθόδου, και η κριτική είναι πράγματι ένα δείγμα του λογικισμού, είναι εν τούτοις προκλητική και μίζερη. Όπως είπε κάποιος, το κυριότερο σφάλμα του Ευκλείδη στα μάτια του Ράσελ είναι ότι δεν είχε διαβάσει το έργο του Ράσελ. Κάνει κριτική με όρους… της ελλειπτικής γεωμετρίας, (πρόταση 1.4) «στην οποία δεν είναι πάντοτε δυνατό να κατασκευάσουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με δοθείσα βάση» άρα ο Ευκλείδης θεώρησε την ευθεία όχι κλειστή (στην ελλειπτική γεωμετρία η ευθεία είναι κλειστή), αλλά χωρίς να το ορίσει αυστηρά.

 

Πράγματι μια  σιωπηρή υπόθεση του Ευκλείδη είναι ότι η ευθεία έχει άπειρη έκταση. Αν και στο αξίωμα 2 ορίζεται ότι η ευθεία μπορεί να παραχθεί απεριόριστα, αυτό, αυστηρά λογικά,  δεν συνεπάγεται ότι η ευθεία είναι άπειρη σε έκταση, αλλά ότι είναι απεριόριστη. Το τόξο ενός μέγιστου κύκλου που ενώνει δύο σημεία στη σφαίρα, μπορεί να παράγεται επ’ αόριστον αλλά δεν συνεπάγεται ότι έχει άπειρη έκταση, απλά είναι απεριόριστο. Χρειάζεται, λέει ο Ράσελ  ένα αξίωμα «σε κάθε ευθεία γραμμή υπάρχει τουλάχιστο ένα σημείο του οποίου η απόσταση από ένα σημείο της ευθείας ή εκτός αυτής υπερβαίνει μια δοθείσα απόσταση».

 

Το σημείο αυτό για μας είναι χαρακτηριστικό: πράγματι υπάρχει έλλειμμα, όμως ο Ευκλείδης δουλεύει με την άπειρη σε έκταση ευθεία, το γνωρίζουμε, άρα τα λάθη της κατασκευής του θα αναφέρονται σε αυτήν την ευθεία, και όχι σε παρανόηση του ποια ευθεία εννοούμε. Όμως τέτοια λάθη δεν εντοπίστηκαν για αιώνες. Ο Ευκλείδης είναι συνεπής στη λογική επεξεργασία  για αυτά που ορίζει, έστω και υπονοεί διαισθητικά.

 

Άλλο σημείο της κριτικής του Ράσελ είναι η τέταρτη πρόταση για την μετακίνηση (επιθέτηση) των σχημάτων στον ορισμό της ισότητας: ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε την μετακίνηση των τριγώνων για να αποδείξει ότι αν δύο πλευρές και οι γωνίες τους είναι ίσες, τότε τα τρίγωνα συμπίπτουν, αλλά δεν αξιωματικοποίησε, ούτε όρισε την μετατόπιση. Ο Ράσελ σχολιάζει: «η τέταρτη πρόταση είναι ο ιστός της ανοησίας. Η επιθέτηση είναι λογικά μια άχρηστη επινόηση. Γιατί αν τα τρίγωνά μας είναι χωρικά, όχι υλικά, υπάρχει μια λογική αντίφαση στο να τα μετακινήσουμε, ενώ αν είναι υλικά, δεν μπορούν να είναι τελείως άκαμπτα, και όταν τα επιθέσουμε σίγουρα θα παραμορφωθούν από το αρχικό τους σχήμα. Αυτό που προϋποτίθεται, αν πρέπει  να διατηρηθεί κάτι ανάλογο με την απόδειξη του Ευκλείδη είναι το παρακάτω περίπλοκο αξίωμα»

 

Επίσης για την πρόταση 7 «είναι τόσο εσφαλμένη ώστε ο Ευκλείδης θα έκανε καλύτερα να μην προσπαθήσει καν μια απόδειξη  Πρώτα  χρησιμοποιεί έναν απροσδιόριστο όρο στην έκφραση στην ίδια πλευρά της ευθείας. Ο ορισμός απαιτεί ένα αξίωμα που μπορεί να τεθεί ως εξής»

 

 Πολλή λογική λοιπόν από το Ράσσελ, και όμως τα λογικά κενά στην παρουσίαση του Ευκλείδη δεν έφεραν ασάφειες ή αμφισβητήσεις όσον αφορά τους αποδεκτούς κανόνες του λογισμού. Οι μαθηματικοί όλων των αιώνων επικοινωνούσαν και συζητούσαν τις Ευκλείδειες αποδείξεις χωρίς ποτέ να θέσουν θέματα ορθότητας. Είναι η μεγάλη απόδειξη ότι χωρίς τη διαίσθηση δεν υπάρχει μαθηματική έμπνευση. Μπορούσε άραγε να ξεκινήσει η γεωμετρία με τους όρους του Ράσελ; Πως συνέβη ώστε ένας εξέχων λογικιστής όπως ο Ράσελ να μην έχει παράξει ποτέ ένα απλό θεώρημα; Ακόμα και το 5^ο αίτημα ανήκει σε αυτή τη γραμμή της διαισθητικής  ερμηνείας.

 

Μέσα από αυτήν τη γενικευμένη κριτική έχουν προταθεί πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για τη γεωμετρία του Ευκλείδη, πρώτα από τον Moritz Pasch το 1882, και στη συνέχεια τους  Hilbert, Birkhoff,  και Tarski.

 

Το παράδοξο των παραλλήλων

Όμως το μεγαλύτερο παράδοξο της Ευκλείδειας γεωμετρίας, αυτό που σημάδεψε την ιστορία της γεωμετρίας μέχρι τον 19^ο αιώνα είναι το 5ο αξίωμα, το περίφημο αξίωμα των παραλλήλων.

Τι ακριβώς συνέβαινε;

 

Σίγουρα το 5^ο αξίωμα δεν είναι τόσο σαφές, σύντομο και κατανοητό όσο τα άλλα τέσσερα, αφού έμπαινε στην περιγραφή το άπειρο για τη συμπεριφορά  της ευθείας. Δεν ήταν σαφές και αποδεκτό να μιλούμε για τομή δύο ευθειών… στο άπειρο. Η πρόταση αυτή δε φάνηκε εξ’ αρχής άμεσα προφανής στους γεωμέτρες, (Παπαφλωράτος), όμως ο Αριστοτέλης είχε   προειδοποιήσει: «το αξίωμα είναι μια υπόθεση όχι αναγκαστικά φανερή ούτε αναγκαστικά αποδεκτή από το μαθητή».

 

Η πραγματική απαρχή της αμφισβήτησης φαίνεται να είναι γεωμετρική, που απορρέει από το ίδιο το σύστημα. Το χορό των είκοσι αιώνων τον άνοιξε ο Πρόκλος, που έθεσε το πρόβλημα εξ’ αρχής:

παρατηρεί ότι δύο προτάσεις του 1^ου Βιβλίου των Στοιχείων είναι αντίστροφες:

 

1. το 5^ο αίτημα: εάν ευθεία τέμνουσα δύο ευθείες σχηματίζει τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες μικρότερες των δύο ορθών, τότε αν οι δύο ευθείες επεκταθούν επ’ άπειρον, θα συμπίπτουν προς τα μέρη όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες)

 

2. η 17^η πρόταση: Σε κάθε τρίγωνο οι δύο γωνίες είναι μικρότερες των δύο ορθών, με οποιονδήποτε τρόπο και αν ληφθούν, − στην απόδειξη της οποίας δεν χρησιμοποιείται το 5^ο αίτημα.

 

Θεωρεί λοιπόν ότι δεν είναι δυνατόν από δύο αντίστροφες προτάσεις η μία να έχει απόδειξη ενώ η άλλη να μην είναι δυνατόν να αποδειχθεί ούτε αν είναι αληθής, ούτε αν είναι ψευδής. Αν όμως μία πρόταση μπορεί να αποδειχθεί, τότε δεν είναι «νόμιμο» να τεθεί ως αίτημα, κι εδώ είχε δίκιο.

 

Και συνεχίζει: όταν οι δύο ορθές ελαττώνονται (ω+φ<180^ο, σχ. 1) είναι αληθές και αναγκαίο ότι οι ευθείες ε και ε΄ συγκλίνουν. Αλλά η πρόταση ότι θα συναντηθούν κάποτε, αφού συγκλίνουν όλο και περισσότερο καθώς αναπτύσσονται, είναι εύλογη αλλά όχι αναγκαία χωρίς την  ύπαρξη κάποιου επιχειρήματος ότι πράγματι συμβαίνει αυτό. Η ύπαρξη των ασύμπτωτων καμπύλων, οι οποίες συνεχώς πλησιάζουν αλλά δεν τέμνονται, αφήνει ανοικτό το ενδεχόμενο να υπάρχουν και ασύμπτωτες ευθείες, δεν μπορεί λοιπόν αυτό να συμβαίνει  στην περίπτωση των παράλληλων ευθειών; και επομένως η απόδειξη του 5^ου αιτήματος είναι αναγκαία. Το συμπέρασμα στο οποίο καταλήγει ο Πρόκλος μπορεί να συμπυκνωθεί στην φράση του: «Τοῦτο καὶ παντελῶς διαγράφειν χρὴ τῶν αἰτημάτων·».

 

Οι αποτυχημένες προσπάθειες για απόδειξη, διατυπώθηκαν από τους Πρόκλο, Πτολεμαίο, Ποσειδώνιο, Γέμινο, Wallis Saccheri, Carnot, Laplace, Lambert, Clairaut, Legendre,  W.Bolyai, Gauss, και  όλες αυτές αργά ή γρήγορα απεδείχτηκαν ότι στηρίζονται σε μια υπόθεση  ισοδύναμη με το αρχικό αξίωμα του Ευκλείδη.  Αναφέρω μερικές  χαρακτηριστικές διατυπώσεις:

 

Playfair: από σημείο εκτός ευθείας μία μόνο παράλληλη άγεται προς αυτή.

Γκάους: «δεν υπάρχει ανώτερο όριο στο εμβαδόν ενός τριγώνου».

Legendre και W.Bolyai: από τρία μη συνευθειακά σημεία διέρχεται ένας κύκλος.

Lambert  και Clairaut: αν σε ένα τετράπλευρο, τρεις γωνίες είναι ορθές, τότε και η τέταρτη είναι ορθή.

Το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι δύο ορθές.

Όλες οι παραπάνω προτάσεις, και άλλες ακόμα, είναι ισοδύναμες εκφράσεις του 5^ου αξιώματος.

 

Έχει ενδιαφέρον να δείξουμε την ισοδυναμία όλων των εναλλακτικών αξιωμάτων με αυτό του Ευκλείδη. Για να γίνει αυτό πρέπει να δείξουμε ότι το εναλλακτικό είναι ένα θεώρημα για το Ευκλείδειο σύστημα και αντίστροφα ότι το Ευκλείδειο 5ο αξίωμα προκύπτει ως θεώρημα από το Ευκλείδειο σύστημα στο οποίο έχουμε αντικαταστήσει το 5ο αξίωμα με το εν λόγω εναλλακτικό.

Όμως τα αίτια της ατέλειωτης έρευνας αιώνων για την απόδειξη του 5^ου αξιώματος είναι βαθύτερα.

 Ήταν που οι μαθηματικοί για πολλούς αιώνες, ξέχασαν την εμπειρική-διαισθητική βάση των αξιωμάτων του Ευκλείδη, ή ποτέ δεν την αξιολόγησαν ως τέτοια. Τα μυστικά των αξιωματικών βάσεων,  ανακαλύφτηκαν τυχαία, όταν  έγινε κατανοητό ότι το 5^ο αξίωμα είναι αδύνατο να αποδειχτεί, α φ ο ύ   η   ά ρ ν η σ ή   τ ο υ   α π ό   τ ο   Λ ο μ π α τ σ έ φ σ κ υ ,   δ ε ν   ο δ η γ ο ύ σ ε   σ ε   κ ά π ο ι α   λ ο γ ι κ ή   α ν τ ί φ α σ η. Αυτή ήταν η μεγάλη ιδέα της νέας εποχής. Η μαθηματική ελευθερία που ήρθε μετά την αντικατάσταση του 5^ου αξιώματος, άλλαξε τη γνώση αιώνων για το αξιωματικό σύστημα.  Τι ήταν τελικά τα αξιώματα; Πως ήταν δυνατόν το αξίωμα που καθορίζει τη φύση ολόκληρης της γεωμετρίας και αποτελεί τη βάση για τα περισσότερα θεωρήματα,  να …μην αποδεικνύεται, ούτε να είναι προφανές και αυταπόδεικτο, όπως τα άλλα; Κι όμως αυτό συνέβαινε! Το φαινόμενο αυτό ά φ η ν ε   α ν ο ι χ τ ό   τ ο   ε ν δ ε χ ό μ ε ν ο  η ευθεία να ορίζονταν και αλλιώς, πέρα από την εμπειρική περιγραφή του Ευκλείδη, που ήταν μια από τις πολλές. Αλλά αυτό άργησε να γίνει αντιληπτό, και όταν έγινε, η αξιωματική από εμπειρική μετεξελίχτηκε σε τυπική.

 

Η  αξιωματική μέθοδος ήταν μια μαθηματική μέθοδος, και σαν τέτοια  δεν θα έπρεπε να έχει σχέση με πεποιθήσεις για απόλυτες αλήθειες και a priori αντιλήψεις. Τα μαθηματικά κατασκευάζονται από τον άνθρωπο και δεν υπάρχουν έξω από αυτόν, σε κάποια παγκόσμια φιξαρισμένα σχέδια. Μια υπόθεση του δημιουργού παράγει μαθηματικά , μια άλλη υπόθεση, άλλα μαθηματικά. Αυτό ήταν που έφερε ο Λομπατσέφσκυ. Η διαπλοκή της διαίσθησης με το ά π  ε ι ρ ο  κατά την τομή των παραλλήλων, είναι κατά τη γνώμη μας  κομβικό σημείο, ωθούσε τη σκέψη  για άλλες υποθέσεις, πέραν της Ευκλείδειας, η οποία ήταν η ισχυρότερη. Σήμερα δεν μας κάνει καμιά εντύπωση που το πρώτο αξίωμα του Νεύτωνα για την αδρανειακή κίνηση δεν είναι ούτε προφανές ούτε αποδεικνύεται από τα άλλα, (κι εκεί υπάρχει η επ’  ά π ε ι ρ ο αδρανειακή κίνηση!) Η αποδέσμευση του αξιώματος από τα πράγματα και η ανάδειξή του σε πεποίθηση- υπόθεση του δημιουργού που κατασκευάζει την αξιωματική βάση, άργησε να αφομοιωθεί και ήταν μια επανάσταση στα μαθηματικά. Η αλήθεια των αξιωμάτων δε ήταν εξασφαλισμένη από τ ί π ο τ α.

 

Οι έννοιες της τυπικής αξιωματικής αναπτύχθηκαν περίπου έναν αιώνα μετά τις ανακαλύψεις του Λομπατσέφσκυ, τόσο κάνουν πάντα οι μαθηματικές ανακαλύψεις να αφομοιωθούν.

 

H μετεξέλιξη αυτή της αξιωματικής μεθόδου περιγράφεται στο  άρθρο: Αξιωματική μέθοδος. Ευκλείδης και Χίλμπερτ)

 

Πρέπει να αναφέρουμε εδώ, ότι πρωτοπόρος στην προσπάθεια ανάδειξης της ανεξαρτησίας του 5^ου αξιώματος είναι ο Saccheri. Στην προσπάθειά του να αποδείξει το 5^ο αξίωμα διατυπώνει τρεις υποθέσεις: της οξείας γωνίας (υπερβολική γεωμετρία), της αμβλείας (ελλειπτική γεωμετρία) και της ορθής (Ευκλείδεια). Τα θεωρήματα που παρήγαγε με την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο των 180^ο συγκροτούν ένα είδος γεωμετρίας τόσο λογικής όσο και η Ευκλείδεια. Ωστόσο ο Saccheri δεν το αντιλήφθηκε.

 

Και ο Ευκλείδης; Γνώριζε ο Ευκλείδης μεταμαθηματικά; όχι βέβαια, αλλά  μάλλον  η  δ ι α ι σ θ η τ ι κ ή   σ ύ λ λ η ψ η   τ ο υ   φ α ι ν ο μ έ ν ο υ  ήταν τόσο ισχυρή, ώστε τον οδήγησε σε αυτή τη στάση σιωπής, αφήνοντας ανοιχτό το θέμα της ανεξαρτησίας για τους επόμενους.

 

Η ιστορία αυτή του 5^ου αξιώματος θα τελειώσει τον 19^ο αιώνα με τις ανεξάρτητες εργασίες των Bolyai (υιού) και του Λομπατσέφσκυ που θα παρακολουθήσουμε σε επόμενο άρθρο. Μέχρι τότε, τα αξιωματικά θεμέλια της γεωμετρίας (εννοιολογικά) ήταν τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη.

-----------------------

[1] Παλιότερα, στην εποχή του Ευκλείδη η λέξη αίτημα  σήμαινε το αναπόδεικτο,  ή αυτό που αναγνωρίζεται ως αλήθεια , που γίνεται αποδεκτό, χωρίς απόδειξη. Σήμερα το αίτημα και το αξίωμα είναι ταυτόσημα.

[2] Ίσως η πιο διάσημη απλή έκφραση στην ιστορία της επιστήμης!  C.J.Keyser.