Στην ιστορία των μαθηματικών οι αρχαίοι Έλληνες κατέχουν ξεχωριστή θέση επειδή επινόησαν τον τρόπο με τον οποίο εφαρμόζονται τα σύγχρονα μαθηματικά: μέσω αξιωμάτων, αποδείξεων, θεωρημάτων, περισσότερων αποδείξεων, περισσότερων θεωρημάτων κ.ο.κ. Κατά τη δεκαετία του 1930, ωστόσο, ο Αυστροαμερικανός μαθηματικός Κουρτ Γκέντελ -φίλος του Αϊνστάιν απέδειξε ότι αυτή η προσέγγιση είναι κάπως ανεπαρκής: οι περισσότερες μαθηματικές θεωρίες, όπως κατέδειξε, πρέπει είτε να είναι ασυνεπείς είτε να εμπεριέχουν αλήθειες που δεν μπορούν να αποδειχθούν. Παρόλα αυτά, η πορεία των μαθηματικών συνεχίστηκε με αμείωτο ρυθμό σύμφωνα με το ελληνικό πρότυπο, το πρότυπο του Ευκλείδη. Οι Έλληνες, ιδιοφυείς γεωμέτρες, δημιούργησαν ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων, δηλαδή προτάσεων που θα πρέπει να γίνουν αποδεκτές χωρίς να έχουν αποδειχθεί, και βάσει αυτών προχώρησαν στην απόδειξη πολλών όμορφων θεωρημάτων που περιγράφουν λεπτομερώς τις ιδιότητες των ευθειών, των επιπέδων, των τριγώνων και άλλων γεωμετρικών σχημάτων. Με αυτές τις γνώσεις αντιλήφθηκαν, για παράδειγμα, ότι η Γη είναι σφαιρική και μάλιστα υπολόγισαν και την ακτίνα της. Είναι σίγουρα αξιοπερίεργο γιατί ένας πολιτισμός που ήταν σε θέση να διατυπώσει ένα θεώρημα όπως η πρόταση υπ’ αριθμ. 29 του βιβλίου I των Στοιχείων του Ευκλείδη -«όταν μια ευθεία τέμνει δύο παράλληλες ευθείες, οι εντός εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται είναι ίσες, οι εντός, εκτός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες, και οι εντός και επί τα αυτά γωνίες είναι ίσες με το άθροισμα δύο ορθών γωνιών»- δεν δημιούργησε και μια θεωρία που να αποδεικνύει ότι αν ρίξουμε δυο ζάρια δεν είναι και τόσο συνετό να στοιχηματίσουμε την Κορβέτ μας στο ενδεχόμενο να φέρουν και τα δύο έξι.Οι Έλληνες βέβαια όχι μόνο δεν είχαν Κορβέτ, δεν είχαν ούτε ζάρια. Ωστόσο, είχαν ροπή προς τα τυχερά παιχνίδια. Διέθεταν επίσης άφθονα κουφάρια ζώων, κι έτσι έριχναν «αστραγάλους» από διάφορα ζώα, δηλαδή μικρά οστά από τη φτέρνα του ζώου. Ο αστράγαλος έχει έξι έδρες, όμως μόνο οι τέσσερεις είναι αρκετά ευσταθείς ώστε να μπορεί να σταθεί το οστό σε μία από αυτές. Σύγχρονοι ερευνητές επισημαίνουν ότι, λόγω της κατασκευής του οστού, η πιθανότητα να σταθεί σε καθεμία από τις τέσσερεις αυτές έδρες δεν είναι η ίδια: δύο από τις έδρες έχουν πιθανότητα περίπου 10% η καθεμιά και οι άλλες δύο έχουν πιθανότητα από 40%. Σ’ ένα συνηθισμένο παιχνίδι ρίχνονταν τέσσερεις αστράγαλοι. Το αποτέλεσμα που εθεωρείτο καλύτερο ήταν μεν σπάνιο, αλλά όχι το σπανιότερο: ήταν η περίπτωση όπου οι τέσσερεις αστράγαλοι στέκονταν σε διαφορετική έδρα ο καθένας. Ο συνδυασμός αυτός ονομαζόταν “βολή της Αφροδίτης” και είχε πιθανότητα περίπου 384 στις 10.000. Οι Έλληνες, ωστόσο, που δεν διέθεταν κάποια θεωρία της τυχαιότητας, δεν το γνώριζαν αυτό.
Οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τους αστραγάλους και όταν έθεταν ερωτήσεις στα μαντεία τους. Από τα μαντεία οι ερωτώντες λάμβαναν απαντήσεις που υποτίθεται ότι ήταν τα λόγια των θεών. Πολλές σημαντικές επιλογές που έκαναν εξέχοντες Έλληνες βασίζονταν στις συμβουλές των μαντείων, όπως μαρτυρεί ο ιστορικός Ηρόδοτος, αλλά και συγγραφείς όπως ο Όμηρος, ο Αισχύλος και ο Σοφοκλής. Ωστόσο, παρά τη σημασία της ρίψης αστραγάλων τόσο στα τυχερά παιχνίδια όσο και στη θρησκεία, οι Έλληνες δεν κατέβαλαν καμία προσπάθεια να κατανοήσουν τις κανονικότητες που διέπουν αυτές τις ρίψεις.
Γιατί οι Έλληνες δεν ανέπτυξαν κάποια θεωρία πιθανοτήτων; Μια εξήγηση είναι πως πολλοί Έλληνες πίστευαν ότι το μέλλον εκτυλίσσεται σύμφωνα με τη θεϊκή βούληση. Αν το αποτέλεσμα μιας ρίψης αστραγάλων σήμαινε «παντρέψου τη γεροδεμένη Σπαρτιάτισσα που σε έβαλε κάτω σ εκείνο τον αγώνα πάλης πίσω από το σχολείο», ο νεαρός Έλληνας δεν θα θεωρούσε το αποτέλεσμα της ρίψης το ευτυχές (ή ατυχές) προϊόν μιας τυχαίας διεργασίας· θα θεωρούσε ότι είναι η βούληση των θεών. Με δεδομένη μια τέτοια θεώρηση, η κατανόηση της τυχαιότητας δεν θα είχε νόημα. Κατά συνέπεια, η μαθηματική πρόβλεψή της θα φαινόταν αδύνατη. Μια άλλη εξήγηση μπορεί να βρίσκεται στην ίδια τη φιλοσοφική αντίληψη που έκανε τους Έλληνες τόσο μεγάλους μαθηματικούς: είχαν εμμονή με την απόλυτη αλήθεια, η οποία αποδεικνύεται μέσω της λογικής και των αξιωμάτων, και αντιπαθούσαν τις αβέβαιες αποφάνσεις. Στον Φαίδωνα του Πλάτωνα, για παράδειγμα, ο Σιμμίας λέει στον Σωκράτη ότι «τα επιχειρήματα που βασίζονται σε πιθανολογίες είναι παραπλανητικά» και ότι «εάν δεν χρησιμοποιηθούν με ιδιαίτερη προσοχή, ενδέχεται να εξαπατήσουν τόσο στη γεωμετρία όσο και σε άλλα». Στον Θεαίτητο, ο Σωκράτης λέει ότι ο μαθηματικός που «επιχειρηματολογεί σε θέματα γεωμετρίας βασιζόμενος σε πιθανότητες και εικοτολογίες δεν αξίζει τίποτα». Ωστόσο, ακόμα και οι Έλληνες που πίστευαν ότι όσοι ασχολούνταν με τις πιθανότητες άξιζαν κάτι ενδεχομένως να δυσκολεύονταν να συγκροτήσουν μια συνεπή θεωρία εκείνη την εποχή, προτού δηλαδή καθιερωθεί η συστηματική τήρηση αρχείων, διότι οι άνθρωποι έχουν, ως γνωστόν, εξαιρετικά φτωχή μνήμη όταν προβαίνουν σε εκτίμηση της συχνότητας -συνεπώς και της πιθανότητας συμβάντων του παρελθόντος.
Ποιες είναι περισσότερες: οι αγγλικές λέξεις με έξι γράμματα που το πέμπτο γράμμα τους είναι το n ή οι αγγλικές λέξεις με έξι γράμματα που τελειώνουν σε -ing; Οι περισσότεροι απαντούν ότι είναι οι λέξεις που τελειώνουν σε -ing. Γιατί; Επειδή είναι πιο εύκολο να σκεφτεί κανείς λέξεις με κατάληξη -ing παρά να βρει γενικώς και αορίστως λέξεις με έξι γράμματα που έχουν για πέμπτο γράμμα το n. Ωστόσο, δεν είναι ανάγκη να ψάξει κανείς στο λεξικό αγγλικής γλώσσας της Οξφόρδης -δεν χρειάζεται καν να ξέρει να μετρά-για να αποδείξει ότι αυτή η απάντηση είναι λανθασμένη: το σύνολο των λέξεων που έχουν έξι γράμματα με πέμπτο το n περιλαμβάνει όλες τις λέξεις που έχουν έξι γράμματα και τελειώνουν σε -ing. Οι ψυχολόγοι ονομάζουν αυτόν τον τύπο λάθους «μεροληψία διαθεσιμότητας», επειδή όταν ανασυνθέτουμε το παρελθόν δίνουμε αδικαιολόγητα μεγάλη σημασία σε αναμνήσεις που είναι ζωηρότερες και συνεπώς πιο διαθέσιμες προς ανάσυρση.
Το κακό με τη μεροληψία της διαθεσιμότητας είναι ότι διαστρεβλώνει με ύπουλο τρόπο την εικόνα μας για τον κόσμο επειδή διαστρεβλώνει την αντίληψή μας για τα παρελθόντα γεγονότα και για το περιβάλλον μας. Για παράδειγμα, οι άνθρωποι έχουν την τάση να υπερεκτιμούν το ποσοστό των αστέγων που είναι ψυχικά ασθενείς, διότι όταν συναντούν έναν άστεγο που δεν συμπεριφέρεται περίεργα αυτό δεν τους κάνει εντύπωση, και δεν σπεύδουν να μιλήσουν σ’ όλους τους φίλους τους γι’ αυτόν τον μη αξιοπρόσεκτο άστεγο που συνάντησαν. Όταν όμως συναντούν έναν άστεγο που περπατάει χτυπώντας τα πόδια του και γνέφοντας με τα χέρια του σ’ έναν φανταστικό σύντροφό του ενώ τραγουδάει το «When the Saints Go Marching In», έχουν την τάση να συγκρατούν στη μνήμη τους το περιστατικό. Πόσο πιθανό είναι, από τις πέντε ουρές στα ταμεία του σούπερ-μάρκετ, να διαλέξετε αυτή που καθυστερεί περισσότερο; Αν δεν σας έχει καταραστεί κάποιος που κάνει μαύρη μαγεία, η απάντηση είναι ότι η πιθανότητα είναι περίπου 1 στις 5. Γιατί λοιπόν όταν ανατρέχετε στο παρελθόν έχετε την εντύπωση πως διαθέτετε ένα υπερφυσικό ταλέντο να διαλέγετε την ουρά που αργεί περισσότερο; Διότι όταν όλα πηγαίνουν καλά εστιάζετε την προσοχή σας σε πιο ενδιαφέροντα πράγματα, ενώ όταν η κυρία που βρίσκεται μπροστά σας και έχει ένα μόνο πράγμα στο καρότσι της αποφασίζει να κάνει φασαρία επειδή το κοτόπουλό της κοστίζει 1,50 δολάριο το κιλό παρότι είναι σίγουρη ότι στο τμήμα κρεάτων η ταμπέλα έγραφε 1.49, τότε το περιστατικό σάς κάνει εντύπωση.
Διαστρεβλώνοντας την αντίληψή μας για το παρελθόν, η μεροληψία διαθεσιμότητας περιπλέκει κάθε προσπάθειά μας να το κατανοήσουμε. Αυτό ίσχυε για τους αρχαίους Έλληνες όσο ισχύει και για μας σήμερα. Τότε όμως υπήρχε ακόμη ένα μεγάλο εμπόδιο στο να διαμορφωθεί μια πρώιμη θεωρία της τυχαιότητας, ένα εμπόδιο πρακτικής υφής: μολονότι η στοιχειώδης θεωρία πιθανοτήτων απαιτεί μόνο τη γνώση αριθμητικής, οι Έλληνες δεν γνώριζαν αριθμητική, τουλάχιστον όχι μια εύχρηστη μορφή της. Για παράδειγμα, στην Αθήνα του 5ου αιώνα πΧ, στο απόγειο του ελληνικού πολιτισμού, για να γράψει κανείς αριθμό χρησιμοποιούσε ένα είδος αλφαβητικού κώδικα. Τα πρώτα εννέα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου αντιστοιχούσαν στους αριθμούς που εμείς συμβολίζουμε με 1 ως 9. Τα επόμενα εννέα γράμματα αντιστοιχούσαν στους αριθμούς 10, 20, 30 και ούτω καθεξής.
Τέλος, τα τελευταία έξι γράμματα και τρία επιπλέον σύμβολα αντιστοιχούσαν στις εννέα εκατοντάδες (100, 200 κ.ο.κ. μέχρι το 900). Αν δυσκολεύεστε σήμερα με τις αριθμητικές πράξεις, φανταστείτε να έπρεπε να αφαιρέσετε το ΔΓΘ από το ΩΨΠ! Ακόμη χειρότερα, η σειρά με την οποία γράφονταν οι μονάδες, οι δεκάδες και οι εκατοντάδες δεν είχε ιδιαίτερη σημασία: μερικές φορές οι εκατοντάδες γράφονταν πρώτες, άλλοτε τελευταίες, ενώ σε άλλες περιπτώσεις δεν δινόταν καμία απολύτως σημασία στη σειρά. Τέλος, οι Έλληνες δεν διέθεταν μηδέν.
Η έννοια του μηδενός έφτασε στην Ελλάδα όταν ο Αλέξανδρος εισέβαλε στη Βαβυλωνιακή Αυτοκρατορία το 331 π.Χ. Ακόμα και τότε, παρόλο που οι Αλεξανδρινοί άρχισαν να το χρησιμοποιούν για να συμβολίσουν την απουσία αριθμού, το μηδέν δεν χρησιμοποιούνταν σαν καθαυτό αριθμός. Στα σύγχρονα μαθηματικά ο αριθμός 0 έχει δύο βασικές ιδιότητες: στην πρόσθεση είναι ο αριθμός που όταν προστίθεται σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό τον αφήνει αμετάβλητο, ενώ στον πολλαπλασιασμό είναι ο αριθμός που όταν πολλαπλασιάζεται με οποιονδήποτε άλλο παραμένει ο ίδιος αμετάβλητος. Αυτή η έννοια εισήχθη μόλις τον 9ο μ.Χ. αιώνα από τον Ινδό μαθηματικό Μαχαβίρα.
Ακόμα και μετά την ανάπτυξη ενός εύχρηστου αριθμητικού συστήματος, χρειάστηκε να περάσουν πολλοί αιώνες μέχρι να φτάσουν οι άνθρωποι να αναγνωρίσουν ότι η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση αποτελούν θεμελιώδεις αριθμητικές πράξεις – και να αντιληφθούν σταδιακά ότι η υιοθέτηση κατάλληλων συμβόλων θα έκανε τον χειρισμό τους πολύ ευκολότερο. Έτσι, χρειάστηκε να φτάσουμε μέχρι τον 16ο αιώνα για να είναι ο δυτικός κόσμος πραγματικά έτοιμος να αναπτύξει μια θεωρία πιθανοτήτων. Ωστόσο, παρά το μειονέκτημα ενός δύσχρηστου συστήματος υπολογισμών, ο λαός που έκανε τα πρώτα βήματα προόδου για την κατανόηση της τυχαιότητας ήταν αυτός που κατέκτησε τους Έλληνες – οι Ρωμαίοι.
Οι Ρωμαίοι γενικά περιφρονούσαν τα μαθηματικά, ή τουλάχιστον τα μαθηματικά των Ελλήνων. Όπως αναφέρει ο Ρωμαίος πολίτικος Κικέρωνας, που έζησε από το 100 έως το 43 π.Χ., οι Έλληνες απέδιδαν τις υψηλότερες τιμές στον γεωμέτρη-κατά συνέπεια, σε τίποτα άλλο δεν σημείωσαν τόσο λαμπρή πρόοδο όσο στα μαθηματικά. Εμείς όμως ως όριο αυτής της τέχνης έχουμε θέσει τη χρησιμότητα της στη μέτρηση και την αρίθμηση”. Πράγματι, ενώ θα μπορούσε κανείς να φανταστεί ότι ένα ελληνικό εγχειρίδιο θα εστίαζε στην απόδειξη της ομοιότητας αφηρημένων τριγώνων, ένα τυπικό ρωμαϊκό κείμενο επικεντρωνόταν σε προβλήματα όπως ο υπολογισμός του πλάτους ενός ποταμού όταν ο εχθρός κατέχει την απέναντι όχθη. Με τέτοιου είδους μαθηματικές προτεραιότητες, δεν προκαλεί έκπληξη ότι ενώ οι Έλληνες γέννησαν μαθηματικές αυθεντίες όπως ο Αρχιμήδης, ο Διόφαντος, ο Ευκλείδης, ο Εύδοξος, ο Πυθαγόρας και ο Θαλής, οι Ρωμαίοι δεν ανέδειξαν ούτε έναν μαθηματικό. Πρωτεύουσα θέση στη ρωμαϊκή κουλτούρα κατείχαν οι ανέσεις και ο πόλεμος, όχι η αλήθεια και η ομορφιά. Κι όμως, ακριβώς επειδή επικεντρώθηκαν σε πρακτικά ζητήματα, οι Ρωμαίοι θεώρησαν σημαντική την κατανόηση των πιθανοτήτων. Έτσι, ενώ απέδιδε μικρή αξία στη θεωρητική γεωμετρία, ο Κικέρωνας έγραψε ότι “οι πιθανότητες είναι ο κύριος οδηγός της ζωής”.
Ο Κικέρωνας υπήρξε ίσως ο κορυφαίος υπέρμαχος των πιθανοτήτων κατά την αρχαιότητα. Τις χρησιμοποίησε για να αμφισβητήσει την κοινή πεποίθηση ότι η επιτυχία στα τυχερά παιχνίδια οφειλόταν σε θεϊκή παρέμβαση, γράφοντας ότι “αυτός που παίζει συχνά θα πετύχει αργά ή γρήγορα τη βολή της Αφροδίτης: ενίοτε, μάλιστα, θα την πετύχει δύο, ακόμη και τρεις, φορές στη σειρά. Είμαστε λοιπόν τόσο ελαφρόμυαλοι ώστε να λέμε με βεβαιότητα ότι κάτι τέτοιο συνέβη λόγω προσωπικής παρέμβασης της Αφροδίτης και όχι από καθαρή τύχη;”. Ο Κικέρωνας πίστευε ότι θα μπορούσε κανείς να προβλέψει και να προσδοκά ένα ενδεχόμενο ακόμη κι αν η πραγμάτωσή του θα οφειλόταν αποκλειστικά στην τύχη. Χρησιμοποίησε μάλιστα ακόμη και ένα στατιστικό επιχείρημα για να γελοιοποιήσει την πίστη στην αστρολογία. Ενοχλημένος από το γεγονός ότι, αν και απαγορευμένη δια νόμου στη Ρώμη, η αστρολογία ζούσε και βασίλευε, ο Κικέρωνας επισήμανε ότι το 216 π.Χ. στις Κάννες, ο Αννίβας, επικεφαλής ενός στρατεύματος 50.000 Καρχηδονίων και συμμαχικών δυνάμεων, κατατρόπωσε τον πολύ μεγαλύτερο ρωμαϊκό στρατό, κατασφάζοντας πάνω από 60.000 από τους 80.000 στρατιώτες του. “Είχαν όλοι οι Ρωμαίοι που σκοτώθηκαν στις Κάννες το ίδιο ωροσκόπιο;” αναρωτήθηκε. “Κι όμως, είχαν όλοι το ίδιο τέλος”. Αν ο Κικέρωνας γνώριζε ότι δύο χιλιάδες περίπου χρόνια αργότερα μια επιστημονική μελέτη για την εγκυρότητα των αστρολογικών προβλέψεων στο περιοδικό Nature θα συμφωνούσε με τα συμπεράσματα του, μάλλον θα ένιωθε περήφανος. Από την άλλη πλευρά, η εφημερίδα New York Post με συμβουλεύει σήμερα, ως Τοξότης που είμαι να αντιμετωπίσω με αντικειμενικότητα τις αρνητικές κριτικές και να κάνω όποιες αλλαγές φαίνονται απαραίτητες.
Τελικά, η σημαντικότερη κληρονομιά που μας άφησε ο Κικέρωνας όσον αφορά την τυχαιότητα είναι ο όρος probabilis που χρησιμοποίησε, από τον οποίο προέρχεται ο όρος probability (πιθανότητα) που χρησιμοποιούμε σήμερα. Το πρώτο κείμενο, όμως, στο οποίο η “πιθανότητα” χρησιμοποιείται ως καθιερωμένος τεχνικός όρος είναι ο κώδικας του ρωμαϊκού δικαίου, ο Πανδέκτης, τον οποίο συνέταξε ο αυτοκράτορας Ιουστινιανός τον 6ο αιώνα. Για να εκτιμήσουμε τον τρόπο με τον οποίο εφάρμοσαν οι Ρωμαίοι τη μαθηματική σκέψη στη νομική θεωρία, θα πρέπει να κατανοήσουμε την ιστορική συγκυρία: Το ρωμαϊκό δίκαιο των αρχών του Μεσαίωνα βασιζόταν στις πρακτικές των γερμανικών φυλών. Κι αυτές δεν ήταν ιδιαίτερα ωραίες. Ας πάρουμε για παράδειγμα τους κανόνες για την ένορκη κατάθεση. Η ειλικρίνεια, ας πούμε, ενός συζύγου που αρνιόταν ότι είχε σχέσεις με τη γυναίκα που έραβε τους χιτώνες της συζύγου του θα αποδεικνυόταν όχι από την ικανότητά του να αντέξει την πιεστική εξέταση του ευέξαπτου συνηγόρου της αντιδίκου, αλλά από το αν θα παρέμενε πιστός στην εκδοχή του ακόμη και μετά από βασανιστήρια – με πυρωμένο σίδερο. (Ας επανέλθει αυτός ο θεσμός και θα δείτε πολύ περισσότερα διαζύγια να διευθετούνται εξωδικαστικά.)
Αντικαθιστώντας, ή τουλάχιστον συμπληρώνοντας, την πρακτική της εκδίκασης μιας υπόθεσης μέσω μάχης, οι Ρωμαίοι προσπάθησαν να θεραπεύσουν μέσω της μαθηματικής ακρίβειας τις ανεπάρκειες του παλαιού, αυθαίρετου συστήματος τους. Ιδωμένη υπό αυτό το πρίσμα, η ρωμαϊκή αντίληψη περί δικαίου χρησιμοποίησε διανοητικά προχωρημένες έννοιες. Αναγνωρίζοντας ότι τα αποδεικτικά στοιχεία και οι καταθέσεις των μαρτύρων παρουσιάζουν συχνά αντιφάσεις, και ότι ο καλύτερος τρόπος για να λυθούν τέτοιες αντιφάσεις είναι να ποσοτικοποιηθεί η αναπόφευκτη αβεβαιότητα, οι Ρωμαίοι επινόησαν την έννοια της ημιαπόδειξης, η οποία εφαρμοζόταν σε περιπτώσεις όπου δεν υπήρχαν αδιάσειστοι λόγοι για την αποδοχή ή απόρριψη των αποδεικτικών στοιχείων ή των μαρτυρούν. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το ρωμαϊκό δόγμα περί αποδεικτικών στοιχείων περιελάμβανε ακόμη πιο λεπτές διαβαθμίσεις απόδειξης, όπως στο εκκλησιαστικό διάταγμα που όριζε ότι “ένας επίσκοπος δεν μπορεί να καταδικαστεί παρά μόνο αν υπάρχουν εβδομήντα δύο μάρτυρες… ένας καρδινάλιος δεν μπορεί να καταδικαστεί παρά μόνο αν υπάρχουν σαράντα τέσσερεις μάρτυρες, ένας καρδινάλιος διάκονος της Ρώμης εάν δεν υπάρχουν τριάντα έξι μάρτυρες, ένας υποδιάκονος, ένας ακόλουθος ιερέα, ένας εξορκιστής, ένας αναγνώστης ή ένας θυρωρός της εκκλησίας εάν δεν υπάρχουν επτά μάρτυρες”. Για να καταδικαστεί κανείς με βάση αυτούς τους κανόνες, θα έπρεπε όχι μόνο να έχει διαπράξει το έγκλημα αλλά να έχει πουλήσει και εισιτήρια για το θέαμα. Παρόλα αυτά, η αναγνώριση του ότι οι πιθανότητες να αληθεύει μια μαρτυρία ενδέχεται να ποικίλλουν κατά περίπτωση και ότι είναι αναγκαίο να υπάρχουν κάποιοι κανόνες για τον συνδυασμό τέτοιων πιθανοτήτων ήταν μια αρχή. Έτσι, η αρχαία Ρώμη υπήρξε -αναπάντεχα- το μέρος όπου δημιουργήθηκε για πρώτη φορά ένα συστηματικό σύνολο κανόνων που βασίζονταν στην έννοια των πιθανοτήτων.
Δυστυχώς, είναι δύσκολο να χειριστεί κανείς επιδέξια αριθμητικές ποσότητες όταν έχει να κάνει με VΙΙΙ και XIV. Τελικά, παρόλο που το ρωμαϊκό δίκαιο ήταν ως έναν βαθμό νομικά ορθολογικό και συνεπές, υστερούσε σε μαθηματική εγκυρότητα. Για παράδειγμα, στο ρωμαϊκό δίκαιο δύο ημιαποδείξεις ισοδυναμούσαν με μια πλήρη απόδειξη· Αυτό ίσως να ακούγεται λογικό σε κάποιον που δεν έχει συνηθίσει να σκέφτεται σε ποσοτικό πλαίσιο, σήμερα όμως που είμαστε εξοικειωμένοι με τα κλάσματα η παραπάνω παραδοχή οδηγεί στο εξής ερώτημα: αν δύο ημιαποδείξεις συνιστούν μια πλήρη βεβαιότητα, τότε με τι ισοδυναμούν τρεις ημιαποδείξεις; Σύμφωνα με τον ορθό τρόπο σύνθεσης των πιθανοτήτων, όχι μόνο δύο ημιαποδείξεις δίνουν κάτι λιγότερο από πλήρη βεβαιότητα, αλλά επιπλέον, αν αθροίσουμε έναν πεπερασμένο αριθμό μερικών αποδείξεων, το αποτέλεσμα δεν θα ισούται ποτέ με πλήρη βεβαιότητα, διότι για να συνθέσουμε πιθανότητες δεν τις προσθέτουμε, αλλά τις πολλαπλασιάζουμε.
Αυτό μας οδηγεί στον επόμενο νόμο, που διέπει τη σύνθεση των πιθανοτήτων: Αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε η πιθανότητα, να. πραγματοποιηθούν και τα δύο ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων να. πραγματοποιηθεί το καθένα από αυτά. Ας υποθέσουμε ότι ένα έγγαμο άτομο έχει, κατά μέσο όρο, 1 περίπου πιθανότητα στις 50 να πάρει διαζύγιο κάθε χρόνο. Από την άλλη, ένας αστυνομικός έχει περίπου 1 πιθανότητα στις 5000 να σκοτωθεί κατά την εκτέλεση του καθήκοντος κάθε χρόνο. Ποια είναι η πιθανότητα ένας έγγαμος αστυνομικός να πάρει διαζύγιο και να σκοτωθεί μέσα στον ίδιο χρόνο: Σύμφωνα με την παραπάνω αρχή, αν αυτά τα δύο ενδεχόμενα ήταν ανεξάρτητα, η πιθανότητα αυτή θα ήταν 1/50 Χ 1/5000, δηλαδή 1/250.000 · Φυσικά τα ενδεχόμενα δεν είναι ανεξάρτητα, αλλά συνδέονται μεταξύ τους: αν κάποιος πεθάνει, δεν μπορεί -διάολε- να πάρει μετά διαζύγιο. Συνεπώς, η πιθανότητα μιας τόσο μεγάλης κακοτυχίας είναι στην πραγματικότητα κάτι λιγότερο από 1 στις 250.000.
Γιατί όμως πολλαπλασιάζουμε αντί να προσθέτουμε; Ας υποθέσουμε ότι φτιάχνετε ένα πακέτο από κάρτες με τις φωτογραφίες των 100 ανδρών που έχετε γνωρίσει μέχρι σήμερα μέσω της ιστοσελίδας γνωριμιών στην οποία συμμετέχετε, δηλαδή τους άνδρες εκείνους που στη φωτογραφία που έχουν αναρτήσει στο διαδίκτυο συχνά μοιάζουν με τον Τομ Κρουζ. αλλά εκ του σύνεγγυς φέρνουν συχνότερα προς τον Ντάννυ ΝτεΒίτο. Ας υποθέσουμε ακόμη ότι στο πίσω μέρος της κάθε κάρτας έχετε καταγράψει ορισμένα στοιχεία γι’ αυτούς, δηλαδή χαρακτηριστικά όπως «έντιμος» (ναι ή όχι) και «ελκυστικός» (ναι ή όχι). Τέλος, ας υποθέσουμε ότι 1 στους 10 άνδρες, αυτές τις εν δυνάμει αδελφές ψυχές, έχει αξιολογηθεί με «ναι» σε ένα από τα δύο χαρακτηριστικά. Πόσα άτομα από τα 100 της συλλογής σας θα περάσουν επιτυχώς τη δοκιμασία και για τα δύο χαρακτηριστικά; Ας ξεκινήσουμε από το χαρακτηριστικό «έντιμος» (θα μπορούσαμε κάλλιστα να ξεκινήσουμε από το «ελκυστικός»).
Αφού 1 στις 10 κάρτες έχουν “ναι” όσον αφορά το χαρακτηριστικό «έντιμος», οι 10 από τις 100 κάρτες μάς κάνουν. Από αυτούς τους 10 άνδρες πόσοι είναι ελκυστικοί; Και πάλι 1 στους 10, άρα παραμένει μόνο 1 κάρτα. Το πρώτο 1 στα 10 μειώνει την πιθανότητα σε 1/10 – το ίδιο κάνει και το δεύτερο 1 στα 10, οπότε το τελικό αποτέλεσμα είναι 1 κάρτα στις 100. Αυτός είναι ο λόγος που πολλαπλασιάζουμε. Αν τώρα έχετε κι άλλες απαιτήσεις πέρα από την εντιμότητα και την ελκυστικότητα, θα πρέπει να συνεχίσετε να πολλαπλασιάζετε, οπότε… καλή τύχη.
Προτού συνεχίσουμε, θα πρέπει να τονίσουμε μια σημαντική λεπτομέρεια: τη φράση αν δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι ανεξάρτητα.
Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι η σύνθετη πιθανότητα ισούται με το γινόμενο των απλών μόνο στην περίπτωση που δεν υπάρχει κανενός είδους συνάφεια μεταξύ των δύο ενδεχομένων.
Υπάρχουν καταστάσεις στις οποίες οι πιθανότητες πρέπει να προστίθενται, και αυτό είναι το αντικείμενο του επόμενου νόμου μας. Ο νόμος αυτός αφορά την περίπτωση που θέλουμε να μάθουμε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα ενδεχόμενο ή ένα άλλο ενδεχόμενο, σε αντίθεση με την προηγούμενη περίπτωση, όπου θέλαμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν δύο ενδεχόμενα ταυτόχρονα. Ο νόμος είναι ο εξής: Αν μια κατάσταση μπορεί να έχει πάνω από μία διαφορετικές και διακριτές μεταξύ τους πιθανές εκβάσεις Α, Β. Γ. κ.ο.κ.. τότε η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί η έκβαση Α ή η έκβαση Β ισούται με το άθροισμα των μεμονωμένων πιθανοτήτων των εκβάσεων Α και Β, ενώ το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών εκβάσεων (δηλαδή των A. Β, Γ, κ.ο.κ.) ισούται με 1 (δηλαδή με 100%). Όταν θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να συμβούν αμφότερα δύο ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α και Β, πολλαπλασιάζετε· όταν θέλετε να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα Α και Β, προσθέτετε.
Αυτοί είναι οι τρεις νόμοι, (μαζί με τον πρώτο νόμο των πιθανοτήτων που είναι βασικός: Ή πιθανότητα να συμβούν δύο ενδεχόμενα δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι μεγαλύτερη από την πιθανότητα να συμβεί το καθένα από αυτά ξεχωριστά. Πώς εξηγείται αυτό; Είναι απλή αριθμητική: η πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο Α = η πιθανότητα να συμβούν τα ενδεχόμενα Α και Β + η πιθανότητα να συμβεί το Α και να μη συμβεί το Β), παρότι εξαιρετικά απλοί αποτελούν ουσιαστικά τη βάση της θεωρίας των πιθανοτήτων. Αν εφαρμοστούν σωστά, μπορούν να διαφωτίσουν σε μεγάλο βαθμό τον τρόπο λειτουργίας της φύσης και της καθημερινής ζωής. Τους εφαρμόζουμε συνεχώς στις καθημερινές μας διαδικασίες λήψης αποφάσεων. Όμως, όπως και οι Ρωμαίοι νομοθέτες, δεν τους εφαρμόζουμε πάντα σωστά.
LEONARD MLODINOW, ΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΜΕΘΥΣΜΕΝΟΥ
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου