Στοιχειώδης άλγεβρα, σε χρήση για αιώνες και διδάσκεται σε δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, είναι η αριθμητική αόριστων ποσοτήτων ή μεταβλητές \(x, y,\ldots\). Ενώ το οριστικό ποσό \(3+4\) αξιολογεί Στην οριστική ποσότητα 7, το αόριστο άθροισμα \(x+y\) δεν έχει οριστικό τιμή, αλλά μπορούμε ακόμα να πούμε ότι είναι πάντα ίση με \(y+x\), ή με \(x^2 -y^2\) εάν και μόνο εάν \(x\) είναι είτε \(-y\) είτε \(y+1\).
Η στοιχειώδης άλγεβρα παρέχει πεπερασμένους τρόπους διαχείρισης του απείρου. Ένας τύπος όπως \(\pi r^2\) για το εμβαδόν ενός κύκλου ακτίνας \(r\) περιγράφει απείρως πολλούς πιθανούς υπολογισμούς, έναν για κάθε δυνατό αποτίμηση των μεταβλητών του. Ένας καθολικά αληθινός νόμος εκφράζει Απείρως πολλές περιπτώσεις, για παράδειγμα η απλή εξίσωση \(x+y = y+x\) συνοψίζει τα απείρως πολλά γεγονότα \(1+2 = 2+1, 3+7 = 7+3\), κλπ. Η εξίσωση \(2x = 4\) επιλέγει έναν αριθμό από ένα άπειρο σύνολο Δυνατότητες. Και \(y = 2x+3\) εκφράζει τα απείρως πολλά σημεία της γραμμής με κλίση 2 που διέρχεται \((0, 3)\) με πεπερασμένο εξίσωση των οποίων οι λύσεις είναι ακριβώς αυτά τα σημεία.
Η στοιχειώδης άλγεβρα συνήθως λειτουργεί με πραγματικές ή σύνθετες τιμές. Ωστόσο, οι γενικές μέθοδοί του, αν όχι πάντα οι ειδικές λειτουργίες του και νόμους, ισχύουν εξίσου και για άλλους αριθμητικούς τομείς, όπως το φυσικοί αριθμοί, οι ακέραιοι, οι ακέραιοι modulo κάποιος ακέραιος \(n\), οι λογικοί, τα τεταρτημόρια, οι ακέραιοι Gauss, οι \(p\)-adic αριθμούς, και ούτω καθεξής. Ισχύουν επίσης για πολλές μη αριθμητικές τομείς όπως τα υποσύνολα ενός δεδομένου συνόλου υπό τις λειτουργίες του ένωση και τομή, οι λέξεις πάνω από ένα δεδομένο αλφάβητο κάτω από το πράξεις αλληλουχίας και αντιστροφής, οι μεταθέσεις ενός δεδομένου που κάτω από τις λειτουργίες της σύνθεσης και αντίστροφη, κλπ. Κάθε τέτοια Η στοιχειώδης άλγεβρα συνήθως λειτουργεί με πραγματικές ή σύνθετες τιμές. Ωστόσο, οι γενικές μέθοδοί του, αν όχι πάντα οι ειδικές λειτουργίες του και νόμους, ισχύουν εξίσου και για άλλους αριθμητικούς τομείς, όπως το φυσικοί αριθμοί, οι ακέραιοι, οι ακέραιοι modulo κάποιος ακέραιος , ή απλά άλγεβρα, αποτελείται από το σύνολο των στοιχείων και των λειτουργιών του σε εκείνα τα στοιχεία που υπακούουν στο νόμοι που ισχύουν σε αυτόν τον τομέα, όπως το σύνολο \(Z = \{0, \pm 1, \pm 2, \ldots \}\) ακεραίων κάτω από τις ακέραιες πράξεις \(x+y\) του πρόσθεση, \(xy\) πολλαπλασιασμού και \(-x\), άρνηση ή το σύνολο \(2^X\) υποσυνόλων ενός συνόλου \(X\) κάτω από τις λειτουργίες συνόλου \(X\cup Y\) ένωσης, \(X\cap Y\) τομής και \(X'\), συγγενής συμπληρώματος σε \(X\).
Οι νόμοι είναι συχνά παρόμοιοι αλλά όχι ταυτόσημοι. Για παράδειγμα, ακέραιος Ο πολλαπλασιασμός κατανέμει την πρόσθεση, \(x(y+z) = xy+xz\), αλλά όχι Αντίθετα, για παράδειγμα \(2+(3\φορές 5) = 17\) αλλά \((2+3)\φορές(2+5) = 35\). Στην αναλογία που κάνει τομή το σύνολο θεωρητικό αντίστοιχο του πολλαπλασιασμού και ένωση εκείνη της πρόσθεσης, τομή διανέμει μέσω της ένωσης,X∩(Y∪Z)=(X∩Y)∪(X∩Z),
Όσο για τους ακέραιους, αλλά σε αντίθεση με τους ακέραιους η ένωση διανέμει επίσης πάνω από τη διασταύρωση:X∪(Y∩Z)=(X∪Y)∩(X∪Z).
Ενώ η στοιχειώδης άλγεβρα διεξάγεται σε μια σταθερή άλγεβρα, η αφηρημένη ή σύγχρονη άλγεβρα αντιμετωπίζει άλγεβρες που έχουν ορισμένες κοινές ιδιότητες, συνήθως αυτές εκφράζεται ως εξισώσεις. Το θέμα, το οποίο προέκυψε κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα, εισάγεται παραδοσιακά μέσω των κατηγοριών ομάδων, δακτυλίων, και πεδία. Για παράδειγμα, οποιοδήποτε σύστημα αριθμών υπό τις λειτουργίες του Η πρόσθεση και η αφαίρεση σχηματίζουν μια αβελιανή (αντιμεταθετική) ομάδα. Ένα Στη συνέχεια περνά στους δακτυλίους φέρνοντας πολλαπλασιασμό και περαιτέρω πεδία με διαίρεση. Η κοινή αριθμομηχανή τεσσάρων λειτουργιών παρέχει το Τέσσερις λειτουργίες του πεδίου των πραγματικών.
Η αφηρημένη έννοια της ομάδας σε πλήρη γενικότητα δεν ορίζεται στο όρους ενός συνόλου αριθμών, αλλά μάλλον ως ένα αυθαίρετο σύνολο εξοπλισμένο με μια δυαδική πράξη \(xy\), ένα μοναδιαίο αντίστροφο \(x^{-1}\) αυτού λειτουργία και μια μονάδα \(e\) που ικανοποιεί ορισμένες εξισώσεις χαρακτηριστικό των ομάδων. Μια εντυπωσιακή καινοτομία με ομάδες όχι Συναντάται στην καθημερινή στοιχειώδη άλγεβρα είναι ότι τους Ο πολλαπλασιασμός δεν χρειάζεται να είναι Abelian: \(xy\) και \(yx\) μπορεί να είναι διαφορετικός! Για παράδειγμα, η ομάδα \(S_3\) από τις έξι πιθανές Οι μεταθέσεις τριών πραγμάτων δεν είναι αβελιανές, όπως μπορεί να φανεί από ανταλλαγή γειτονικών ζευγών γραμμάτων στη λέξη Η αφηρημένη έννοια της ομάδας σε πλήρη γενικότητα δεν ορίζεται στο όρους ενός συνόλου αριθμών, αλλά μάλλον ως ένα αυθαίρετο σύνολο εξοπλισμένο με Μια δυαδική πράξη . Εάν εσείς Ανταλλάξτε τα δύο γράμματα στα αριστερά πριν από τα δύο στα δεξιά σας πάρτε και στη συνέχεια , αλλά αν εκτελέσετε αυτά Ανταλλαγές με την άλλη σειρά παίρνετε , ένα μοναδιαίο αντίστροφο και στη συνέχεια NDA αντί για ADN. Ομοίως, η ομάδα των 43.252.003.274.489.856.000 επεμβάσεις στον κύβο του Ρούμπικ και στο άπειρη ομάδα \(SO(3)\) των περιστροφών της σφαίρας δεν είναι αβελιανές, αν και η άπειρη ομάδα \(SO(2)\) των περιστροφών του κύκλου είναι Αμπελιανός. Ο πολλαπλασιασμός Quaternion και ο πολλαπλασιασμός μήτρας είναι επίσης μη αντιμεταθετική. Οι ομάδες Abelian ονομάζονται συχνά ομάδες προσθέτων και Η λειτουργία της ομάδας τους αναφέρεται ως πρόσθεση \(x+y\) αντί για πολλαπλασιασμός \(xy\).
Ομάδες, δακτύλιοι και πεδία γρατζουνίζουν μόνο την επιφάνεια της αφηρημένης άλγεβρας. Οι διανυσματικοί χώροι και γενικότερα οι ενότητες είναι περιορισμένες μορφές δακτυλίων στην οποία οι τελεστέοι του πολλαπλασιασμού πρέπει να είναι βαθμωτοί και ένα διάνυσμα. Τα μονοειδή γενικεύουν τις ομάδες ρίχνοντας το αντίστροφο. για Παράδειγμα, οι φυσικοί αριθμοί σχηματίζουν ένα μονοειδές, αλλά όχι μια ομάδα λόγω έλλειψης άρνηση. Οι άλγεβρες Boole αφαιρούν την άλγεβρα των συνόλων. Σχάρες γενικεύστε τις άλγεβρες Boole ρίχνοντας το συμπλήρωμα και το Νόμοι περί διανεμητικότητας.
Ένας αριθμός κλάδων των μαθηματικών έχουν βρει άλγεβρα μια τέτοια αποτελεσματικό εργαλείο που έχουν δημιουργήσει αλγεβρικούς υποκλάδους. Αλγεβρικός Η λογική, η αλγεβρική θεωρία αριθμών και η αλγεβρική τοπολογία είναι όλες σε μεγάλο βαθμό μελετήθηκαν, ενώ η αλγεβρική γεωμετρία και η αλγεβρική συνδυαστική έχουν ολόκληρα περιοδικά αφιερωμένα σε αυτά.
Η άλγεβρα έχει φιλοσοφικό ενδιαφέρον για τουλάχιστον δύο λόγους. Από Η προοπτική των θεμελίων των μαθηματικών, άλγεβρα είναι εντυπωσιακά διαφορετικό από άλλους κλάδους των μαθηματικών και στους δύο τομείς του ανεξαρτησία και στενή συγγένειά της με την τυπική λογική. Επιπλέον, η Η διχοτόμηση μεταξύ στοιχειώδους και αφηρημένης άλγεβρας αντικατοπτρίζει ένα ορισμένο δυαδικότητα στη συλλογιστική αυτή Descartes, ο εφευρέτης του καρτεσιανού Ο δυϊσμός, θα εκτιμούσε, όπου ο πρώτος ασχολείται με το διαδικασία συλλογισμού και η τελευταία αυτή για την οποία αιτιολογείται, όπως αντίστοιχα το μυαλό και το σώμα των μαθηματικών.
Η άλγεβρα έχει επίσης διαδραματίσει σημαντικό ρόλο στην αποσαφήνιση και ανάδειξη των εννοιών της λογικής, στον πυρήνα της ακριβούς φιλοσοφίας για Χιλιετίες. Το πρώτο βήμα μακριά από την αριστοτελική λογική του συλλογισμοί προς μια πιο αλγεβρική μορφή λογικής υιοθετήθηκαν από τον Boole σε ένα φυλλάδιο του 1847 και στη συνέχεια σε μια πιο λεπτομερή πραγματεία, Οι νόμοι της σκέψης, το 1854. Η διχοτόμηση μεταξύ Η στοιχειώδης άλγεβρα και η σύγχρονη άλγεβρα άρχισαν τότε να εμφανίζονται στο Μεταγενέστερη ανάπτυξη της λογικής, με τους λογικούς έντονα διχασμένους μεταξύ της φορμαλιστικής προσέγγισης όπως υιοθετήθηκε από τους Frege, Peano και Russell, και η αλγεβρική προσέγγιση που ακολούθησε ο C. S. Peirce, Schroeder, και Tarski.
1. Στοιχειώδης Άλγεβρα
1.1 Τύποι
1.2 Νόμοι
1.3 Προβλήματα λέξεων
1.4 Καρτεσιανή γεωμετρία
2. Αφηρημένη Άλγεβρα
1.2 Νόμοι
1.3 Προβλήματα λέξεων
1.4 Καρτεσιανή γεωμετρία
2. Αφηρημένη Άλγεβρα
2.1 Ημιομάδες
2.2 Ομάδες
2.3 Δαχτυλίδια
2.4 Πεδία
2.5 Εφαρμογές
3. Καθολική άλγεβρα
2.2 Ομάδες
2.3 Δαχτυλίδια
2.4 Πεδία
2.5 Εφαρμογές
3. Καθολική άλγεβρα
3.1 Έννοιες
3.2 Εξισωτική λογική
3.3 Θεώρημα του Birkhoff
4. Γραμμική Άλγεβρα
3.2 Εξισωτική λογική
3.3 Θεώρημα του Birkhoff
4. Γραμμική Άλγεβρα
4.1 Διανυσματικοί χώροι
4.2 Συνειρμικές Άλγεβρες
5. Αλγεβροποίηση των μαθηματικών
4.2 Συνειρμικές Άλγεβρες
5. Αλγεβροποίηση των μαθηματικών
5.1 Αλγεβρική γεωμετρία
5.2 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
5.3 Αλγεβρική τοπολογία
5.4 Αλγεβρική λογική
6. Ελεύθερες άλγεβρες
5.2 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
5.3 Αλγεβρική τοπολογία
5.4 Αλγεβρική λογική
6. Ελεύθερες άλγεβρες
6.1 Ελεύθερα μονοειδή και ομάδες
6.2 Ελεύθεροι δακτύλιοι
6.3 Ελεύθερες συνδυαστικές δομές
6.4 Ελεύθερες λογικές δομές
6.5 Ελεύθερες άλγεβρες κατηγορηματικά
1. Στοιχειώδης άλγεβρα
Η στοιχειώδης άλγεβρα ασχολείται με αριθμητικούς όρους, δηλαδή σταθερές 0, 1, 1.5, , μεταβλητές , και συνδυασμούς αυτών που έχουν κατασκευαστεί με πράξεις όπως , , , , , κ.λπ. για να σχηματίσουν όρους όπως (τυπικά συντομευμένο ), , και .πx,y,…+−×÷√x+1,x×yxyx+3y√x
Οι όροι μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνοι τους σε τύπους όπως , ή σε εξισώσεις που χρησιμεύουν ως νόμοι όπως , ή ως περιορισμοί όπως ή .πr2x+y=y+x2x2−x+3=5x+1x2+y2=1
Οι νόμοι είναι πάντα αληθινοί. ενώ έχουν την ίδια μορφή με τους περιορισμούς περιορίζουν μόνο κενά, δεδομένου ότι κάθε αποτίμηση των Οι μεταβλητές είναι μια λύση. Ο περιορισμός έχει ένα συνεχές των διαλυμάτων που σχηματίζουν ένα σχήμα, στην περίπτωση αυτή έναν κύκλο ακτίνας 1. Ο περιορισμός έχει δύο λύσεις, ή 2, και μπορεί να συναντηθεί στη λύση της λέξης προβλήματα ή στον προσδιορισμό των σημείων τομής δύο καμπυλών όπως η παραβολή και η γραμμή .x2+y2=12x2−x+3=5x−1x=1y=2x2−x+3y=5x−1
1.1 Τύποι
Ένας τύπος είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται στον υπολογισμό τιμών με το χέρι ή μηχανή. Αν και ορισμένα χαρακτηριστικά των φυσικών αντικειμένων προσφέρονται σε άμεσες μετρήσεις όπως το μήκος και η μάζα, άλλες όπως το εμβαδόν, ο όγκος και η πυκνότητα δεν υπολογίζονται και πρέπει να υπολογίζονται από πιο εύκολα παρατηρούμενες τιμές με τη βοήθεια του κατάλληλου τύπου. Για παράδειγμα Η περιοχή ενός ορθογωνίου μήκους εκατοστών και πλάτους εκατοστών είναι δίνεται από τον τύπο σε μονάδες τετραγωνικών ιντσών, ο όγκος ενός σφαίρα ακτίνας είναι , και η πυκνότητα ενός στερεού Η μάζα και ο όγκος δίνονται από το .LWLWr4πr3/3MVM/V
Οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν για να δώσουν ακόμα περισσότερους τύπους. Για παράδειγμα, το Η πυκνότητα μιας σφαίρας μάζας και ακτίνας μπορεί να επιτευχθεί με αντικαθιστώντας τον παραπάνω τύπο για τον όγκο μιας μπάλας για το in Ο παραπάνω τύπος για την πυκνότητα ενός στερεού. Ο τύπος που προκύπτει είναι τότε ο επιθυμητός τύπος πυκνότητας.MrVM/(4πr3/3)
6.2 Ελεύθεροι δακτύλιοι
6.3 Ελεύθερες συνδυαστικές δομές
6.4 Ελεύθερες λογικές δομές
6.5 Ελεύθερες άλγεβρες κατηγορηματικά
1. Στοιχειώδης άλγεβρα
Η στοιχειώδης άλγεβρα ασχολείται με αριθμητικούς όρους, δηλαδή σταθερές 0, 1, 1.5, , μεταβλητές , και συνδυασμούς αυτών που έχουν κατασκευαστεί με πράξεις όπως , , , , , κ.λπ. για να σχηματίσουν όρους όπως (τυπικά συντομευμένο ), , και .πx,y,…+−×÷√x+1,x×yxyx+3y√x
Οι όροι μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνοι τους σε τύπους όπως , ή σε εξισώσεις που χρησιμεύουν ως νόμοι όπως , ή ως περιορισμοί όπως ή .πr2x+y=y+x2x2−x+3=5x+1x2+y2=1
Οι νόμοι είναι πάντα αληθινοί. ενώ έχουν την ίδια μορφή με τους περιορισμούς περιορίζουν μόνο κενά, δεδομένου ότι κάθε αποτίμηση των Οι μεταβλητές είναι μια λύση. Ο περιορισμός έχει ένα συνεχές των διαλυμάτων που σχηματίζουν ένα σχήμα, στην περίπτωση αυτή έναν κύκλο ακτίνας 1. Ο περιορισμός έχει δύο λύσεις, ή 2, και μπορεί να συναντηθεί στη λύση της λέξης προβλήματα ή στον προσδιορισμό των σημείων τομής δύο καμπυλών όπως η παραβολή και η γραμμή .x2+y2=12x2−x+3=5x−1x=1y=2x2−x+3y=5x−1
1.1 Τύποι
Ένας τύπος είναι ένας όρος που χρησιμοποιείται στον υπολογισμό τιμών με το χέρι ή μηχανή. Αν και ορισμένα χαρακτηριστικά των φυσικών αντικειμένων προσφέρονται σε άμεσες μετρήσεις όπως το μήκος και η μάζα, άλλες όπως το εμβαδόν, ο όγκος και η πυκνότητα δεν υπολογίζονται και πρέπει να υπολογίζονται από πιο εύκολα παρατηρούμενες τιμές με τη βοήθεια του κατάλληλου τύπου. Για παράδειγμα Η περιοχή ενός ορθογωνίου μήκους εκατοστών και πλάτους εκατοστών είναι δίνεται από τον τύπο σε μονάδες τετραγωνικών ιντσών, ο όγκος ενός σφαίρα ακτίνας είναι , και η πυκνότητα ενός στερεού Η μάζα και ο όγκος δίνονται από το .LWLWr4πr3/3MVM/V
Οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν για να δώσουν ακόμα περισσότερους τύπους. Για παράδειγμα, το Η πυκνότητα μιας σφαίρας μάζας και ακτίνας μπορεί να επιτευχθεί με αντικαθιστώντας τον παραπάνω τύπο για τον όγκο μιας μπάλας για το in Ο παραπάνω τύπος για την πυκνότητα ενός στερεού. Ο τύπος που προκύπτει είναι τότε ο επιθυμητός τύπος πυκνότητας.MrVM/(4πr3/3)
1.2 Νόμοι
Οι νόμοι ή οι ταυτότητες είναι εξισώσεις που ισχύουν για όλες τις ισχύουσες τιμές των μεταβλητών τους. Για παράδειγμα, ο νόμος περί αντιμεταθετικότηταςx+y=y+x
ισχύει για όλες τις πραγματικές τιμές του και . Ομοίως, το Δίκαιο Συνεταιρισμούxyx+(y+z)=(x+y)+z
ισχύει για όλες τις πραγματικές τιμές του και . Από την άλλη ενώ ο νόμος ισχύει για όλες τις αριθμητικές τιμές του , ισχύει μόνο για μη μηδενικές τιμές του και προκειμένου να Αποφύγετε την παράνομη λειτουργία της διαίρεσης από το μηδέν.x,yzx/(y/z)=zx/yxyz
Όταν ένας νόμος ισχύει για όλες τις αριθμητικές τιμές των μεταβλητών του, ισχύει επίσης ισχύει για όλες τις τιμές έκφρασης αυτών των μεταβλητών. Ρύθμιση , και στον τελευταίο νόμο της προηγούμενης παραγράφου Αποδόσεις. Η αριστερή πλευρά είναι Ο τύπος πυκνότητας μας από την προηγούμενη ενότητα, προκύπτει από αυτό περίπτωση του παραπάνω νόμου ότι η δεξιά πλευρά του είναι ισοδύναμη τύπος για την πυκνότητα με την έννοια ότι δίνει τις ίδιες απαντήσεις με το αριστερή πλευρά. Αυτός ο νέος τύπος πυκνότητας αντικαθιστά έναν από τους δύο διαιρέσεις με πολλαπλασιασμό.x=M,y=4πr3z=3M/(4πr3/3)=3M/(4πr3)
1.3 Προβλήματα λέξεων
Αν ο Xavier θα είναι τρεις φορές η σημερινή του ηλικία σε τέσσερα χρόνια, πώς Γέρος είναι; Μπορούμε να λύσουμε αυτό το πρόβλημα λέξεων χρησιμοποιώντας άλγεβρα με επισημοποιώντας το ως την εξίσωση όπου είναι Η σημερινή εποχή του Xavier. Η αριστερή πλευρά εκφράζεται τρεις φορές Η σημερινή ηλικία του Xavier, ενώ η δεξιά πλευρά εκφράζει τη δική του ηλικία σε τέσσερα χρόνια.3x=x+4x
Ένας γενικός κανόνας για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι ότι οποιαδήποτε λύση σε αυτό είναι επίσης μια λύση στην εξίσωση που λαμβάνεται με την εφαρμογή κάποιας λειτουργίας και στις δύο πλευρές. Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση με αφαιρώντας και από τις δύο πλευρές για να δώσει , και στη συνέχεια διαιρώντας και τις δύο πλευρές με 2 για να δώσει . Έτσι, ο Xavier είναι τώρα δύο χρόνια παλιός.x2x=4x=2
Εάν ο Xavier είναι δύο φορές μεγαλύτερος από την Yvonne και το μισό τετράγωνο της ηλικίας της, Πόσο χρονών είναι το καθένα; Αυτό είναι πιο περίπλοκο από το προηγούμενο παράδειγμα στο Τρεις απόψεις: έχει περισσότερα άγνωστα, περισσότερες εξισώσεις και όρους υψηλότερο βαθμό. Μπορούμε να πάρουμε για την ηλικία του Xavier και για Η ηλικία της Υβόννης. Οι δύο περιορισμοί μπορούν να επισημοποιηθούν ως εξισώσεις και , η τελευταία είναι βαθμού 2 ή τετραγωνική.xyx=2yx=y2/2
Δεδομένου ότι και οι δύο δεξιές πλευρές είναι ίσες με μπορούμε να συμπεράνουμε . Είναι δελεαστικό να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με , αλλά τι γίνεται αν; Στην πραγματικότητα είναι μια λύση, για την οποία ως καλά, που αντιστοιχεί στον Xavier και την Yvonne και οι δύο είναι νεογέννητα. Ρύθμιση ότι η λύση προς τη μία πλευρά μπορούμε τώρα να αναζητήσουμε λύσεις στις οποίες δεν είναι μηδέν διαιρώντας και τις δύο πλευρές με . Αυτό αποδίδει , σε ποια περίπτωση . Τώρα λοιπόν έχουμε μια δεύτερη λύση στην οποία Ο Xavier είναι οκτώ ετών και η Yvonne τέσσερα.x2y=y2/2yy=0y=0x=2y=0yyy=4x=2y=8
Ελλείψει άλλων πληροφοριών, και οι δύο λύσεις είναι νόμιμος. Είχε το πρόβλημα διευκρινίσει περαιτέρω ότι η Yvonne ήταν νήπιο, ή ότι ο Xavier ήταν μεγαλύτερος από την Yvonne, θα μπορούσαμε να αποκλείσουμε Η πρώτη λύση.
1.4 Καρτεσιανή γεωμετρία
Οι γραμμές, οι κύκλοι και άλλες καμπύλες στο επίπεδο μπορούν να εκφραστούν αλγεβρικά χρησιμοποιώντας καρτεσιανές συντεταγμένες, που ονομάζονται από το εφευρέτης Rene Descartes. Αυτά ορίζονται σε σχέση με διακεκριμένο σημείο στο επίπεδο που ονομάζεται προέλευση, δηλώνεται . Κάθε σημείο καθορίζεται από το πόσο μακριά είναι στα δεξιά του και παραπάνω , γραμμένο ως ζεύγος αριθμών. Για παράδειγμα, το ζεύγος (2.1, 3.56) προσδιορίζει το σημείο 2.1 μονάδες στα δεξιά του , μετρούμενο οριζόντια και 3,56 μονάδες πάνω από αυτό, μετρημένες κάθετα. Καλούμε 2.1 τη συντεταγμένη και 3.56 τη συντεταγμένη του σημείου αυτού. Οποιαδήποτε συντεταγμένη μπορεί να είναι αρνητική: το ζεύγος αντιστοιχεί στο σημείο 5 μονάδες αριστερά και 1 μονάδα κάτω από αυτό. Ο Το ίδιο το σημείο συντονίζεται ως (0, 0).OOOxy(−5,−1)OO
Γραμμές. Δεδομένης μιας εξίσωσης σε μεταβλητές και , a Σημείο όπως το (2, 7) λέγεται ότι είναι μια λύση σε αυτό Η εξίσωση κατά τη ρύθμιση σε 2 και 7 κάνει την εξίσωση πιστός. Για παράδειγμα, η εξίσωση έχει ως λύσεις το σημεία (0, 5), (1, 8), (2, 11) και ούτω καθεξής. Άλλες λύσεις περιλαμβάνουν: (.5, 6.5), (1.5, 9.5) και ούτω καθεξής. Το σύνολο όλων των λύσεων αποτελεί Η μοναδική ευθεία γραμμή που διέρχεται (0, 5) και (1, 8). Εμείς τότε καλέστε την εξίσωση αυτής της γραμμής.xyxyy=3x+5y=3x+5
Κύκλους. Σύμφωνα με το θεώρημα του Πυθαγόρα το τετράγωνο του απόσταση μεταξύ δύο σημείων και δίνεται από το . Ως ειδική περίπτωση αυτού, η πλατεία του Η απόσταση του σημείου από την αρχή είναι . Αυτό έπεται ότι το σημείο που βρίσκεται σε απόσταση από την αρχή είναι το λύσεις μέσα και στην εξίσωση . Αλλά Αυτά τα σημεία είναι ακριβώς αυτά που σχηματίζουν τον κύκλο ακτίνας με κέντρο . Ταυτίζουμε αυτή την εξίσωση με αυτόν τον κύκλο.(x,y)(x′,y′)(x′−x)2+(y′−y)2(x,y)x2+y2rxyx2+y2=r2rO
Ποικιλίες Οι ρίζες οποιουδήποτε πολυωνύμου σε και μορφή μια καμπύλη στο επίπεδο που ονομάζεται μονοδιάστατη ποικιλία βαθμού αυτού του πολυωνύμου. Έτσι οι γραμμές είναι βαθμού 1, που εκφράζονται ως πολυώνυμα , ενώ οι κύκλοι που επικεντρώνονται είναι βαθμού 2, εκφράζονται ως πολυώνυμα . Ορισμένες ποικιλίες μπορεί να μην περιέχουν σημεία, για παράδειγμα , ενώ άλλα μπορεί να περιέχουν ένα σημείο, για παράδειγμα που έχει την προέλευση ως μία ρίζα του. Γενικά Ωστόσο, μια δισδιάστατη ποικιλία θα είναι μια καμπύλη. Μια τέτοια καμπύλη μπορεί σταυρό τον εαυτό του, ή έχουν μια ακμή, ή ακόμα και χωρίζονται σε δύο ή περισσότερα εξαρτήματα που δεν συνδέονται μεταξύ τους.xyέναςx+by+c(x′,y′)(x−x′)2+(y−y′)2−r2x2+y2+1x2+y2
Χώρος Το δισδιάστατο επίπεδο γενικεύεται σε τρισδιάστατο χώρο προσθέτοντας στις μεταβλητές και ένα τρίτη μεταβλητή που αντιστοιχεί στην τρίτη διάσταση. Ο Ο συμβατικός προσανατολισμός παίρνει την πρώτη διάσταση για να τρέξει από τη Δύση προς ανατολικά, το δεύτερο από νότο προς βορρά και το τρίτο από κάτω προς τα κάτω πάνω. Τα σημεία είναι τότε τριπλάσια, για παράδειγμα το σημείο είναι 2 μονάδες ανατολικά της προέλευσης, 5 μονάδες βόρεια της, και 3 μονάδες κάτω από αυτό.xyz(2,5,−3)
Επίπεδα και σφαίρες. Αυτοί είναι οι αντίστοιχοι στο διάστημα γραμμές και κύκλους στο επίπεδο. Μια εξίσωση όπως ορίζει όχι μια ευθεία γραμμή αλλά μάλλον ένα επίπεδο επίπεδο, στην περίπτωση αυτή το μοναδικό επίπεδο που διέρχεται από τα σημεία (0, 1, 2), (1, 0, 3) και (1), 1, 5). Και δίνεται η σφαίρα ακτίνας που επικεντρώνεται στην προέλευση διά. Οι ρίζες ενός πολυωνύμου και σχηματίζουν μια επιφάνεια στο χώρο που ονομάζεται δισδιάστατη ποικιλία, του βαθμός αυτός του πολυωνύμου, όπως και για τις μονοδιάστατες ποικιλίες. Έτσι τα επίπεδα είναι βαθμού 1 και οι σφαίρες βαθμού 2.z=3x+2yrx2+y2+z2=r2x,yz
Αυτές οι μέθοδοι γενικεύονται σε ακόμη υψηλότερες διαστάσεις προσθέτοντας ακόμη περισσότερες Μεταβλητές. Αν και ο γεωμετρικός χώρος που βιώνουμε φυσικά είναι περιορίζεται σε τρεις διαστάσεις, εννοιολογικά δεν υπάρχει όριο στο αριθμός διαστάσεων αφηρημένου μαθηματικού χώρου. Ακριβώς όπως είναι μια γραμμή έναν μονοδιάστατο υποχώρο του δισδιάστατου επιπέδου και ένα επίπεδο είναι ένας δισδιάστατος υποχώρος τρισδιάστατου χώρου, ο καθένας προσδιορίσιμο με μια εξίσωση, έτσι είναι ένα υπερεπίπεδο α τρισδιάστατος υποχώρος τετραδιάστατου χώρου, επίσης προσδιορίσιμος με μια εξίσωση όπως .w=2x−7y+z
2. Αφηρημένη Άλγεβρα
Η στοιχειώδης άλγεβρα διορθώνει κάποιο τομέα, συνήθως το πραγματικό ή το σύνθετο αριθμούς και λειτουργεί με τις εξισώσεις που ισχύουν σε αυτόν τον τομέα. Η αφηρημένη ή σύγχρονη άλγεβρα αντιστρέφει αυτή την εικόνα με τον καθορισμό κάποιου συνόλου εξισώσεων και τη μελέτη αυτών των τομέων για ποιες είναι αυτές οι εξισώσεις ταυτότητες. Για παράδειγμα, αν πάρουμε το σετ όλων των ταυτοτήτων που μπορούν να εκφραστούν με τις πράξεις της προσθήκης, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός και σταθερές 0 και 1 που ισχύουν για τους ακέραιους αριθμούς, στη συνέχεια τις άλγεβρες στις οποίες ισχύουν αυτές οι εξισώσεις Πανομοιότυπα είναι ακριβώς οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι με ταυτότητα.Ένας
Ιστορικά ο όρος σύγχρονη άλγεβρα προήλθε από τον τίτλο της πρώτης τρεις εκδόσεις του ομώνυμου κλασικού κειμένου του van der Waerden, μετονομάστηκε απλά σε "Άλγεβρα" για την τέταρτη έκδοσή του το 1955. Τόμος 1 επεξεργασμένες ομάδες, δακτύλιοι, γενικά πεδία, διανυσματικοί χώροι, καλά παραγγελίες, και πραγματικά πεδία, ενώ ο τόμος 2 θεωρείται κυρίως γραμμικός άλγεβρα, άλγεβρες (ως διανυσματικοί χώροι με συμβατό πολλαπλασιασμό), θεωρία αναπαράστασης, ιδανική θεωρία, ολοκληρωτικά αλγεβρικά στοιχεία, αλγεβρικές συναρτήσεις και τοπολογική άλγεβρα. Από τη μία πλευρά σύγχρονη Η άλγεβρα έχει έκτοτε προχωρήσει πολύ πέρα από αυτό το πρόγραμμα σπουδών, από την άλλη αυτό σημαντικό σώμα υλικού είναι ήδη περισσότερο από αυτό που μπορεί να υποτεθεί ως κοινή γνώση μεταξύ των αποφοίτων διδακτορικών φοιτητών στα μαθηματικά, για τους οποίους το τυπικό πρόγραμμα είναι πολύ μικρό για να επιτρέψει τον έλεγχο όλων αυτών υλικό παράλληλα με την εστίαση στην περιοχή τους εξειδίκευση.
Ένα βασικό χαρακτηριστικό της αφηρημένης άλγεβρας είναι η ύπαρξη περιοχών όπου Οι γνωστοί νόμοι αποτυγχάνουν να ισχύσουν. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα είναι η αντιμεταθετικότητα του πολλαπλασιασμό, ο οποίος, όπως σημειώσαμε στην εισαγωγή, δεν χρειάζεται να ισχύει για τον πολλαπλασιασμό μιας αυθαίρετης ομάδας, ακόμη και τόσο απλής ομάδας όπως οι έξι παραλλαγές τριών γραμμάτων.
2.1 Ημιομάδες
Ξεκινάμε με την έννοια μιας δυαδικής πράξης σε ένα σύνολο , δηλαδή μια συνάρτηση τέτοια που είναι μια στοιχείο του για όλα τα στοιχεία του . Μια τέτοια πράξη λέγεται ότι είναι συνειρμική όταν ικανοποιεί όλους στο .Xf:X2→Xf(x,y)Xx,yXf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))x,y,zX
Μια ημιομάδα είναι ένα σύνολο μαζί με μια συσχετιστική πράξη, ονομάζεται ο πολλαπλασιασμός της ημιομάδας και σημειώνεται αντί για .xyf(x,y)
Το προϊόν ενός στοιχείου με τον εαυτό του δηλώνεται . Ομοίως υποδηλώνεται και ούτω καθεξής.xxx2xxxx3
ΠαραδείγματαΤο σύνολο όλων των μη κενών λέξεων σε ένα δεδομένο αλφάβητο κάτω από το λειτουργία της αλληλουχίας.
Το σύνολο όλων των λειτουργιών σε ένα σύνολο υπό τη λειτουργία της σύνθεσης συνάρτησης.f:X→XX
Το σύνολο των ακεραίων πινάκων κάτω από τον πίνακα πολλαπλασιασμός, για σταθερό θετικό ακέραιο .n×nn
Η συνένωση των λέξεων είναι συνειρμική, διότι όταν ένα Η λέξη κόβεται στα δύο, η συνένωση των δύο μερών είναι η πρωτότυπη λέξη ανεξάρτητα από το πού γίνεται η κοπή. Η αλληλουχία του al και gebra είναι το ίδιο με αυτό της άλγεβρας και της ρευματοειδης αρθριτιδας (RA), που απεικονίζουν Συσχέτιση της αλληλουχίας για την υπόθεση Al, Geb, Ra.uvu,vx=y=z=
Σύνθεση δύο λειτουργιών και είναι συνειρμική μέσω του συλλογισμούf⋅gfg(f⋅(g⋅h))(x)=f((g⋅h)(x))=f(g(h(x)))=(f⋅g)(h(x))=((f⋅g)⋅h)(x)
για όλους στο , από όπου .xXf⋅(g⋅h)=(f⋅g)⋅h
Μια ημιομάδα είναι μια υποημιομάδα μιας ημιομάδας όταν είναι ένα υποσύνολο και ο πολλαπλασιασμός των περιορισμένων να συμπίπτει με εκείνη του . Ισοδύναμα, μια υποημιομάδα του είναι ένα υποσύνολο τέτοιο ώστε για όλα τα in είναι στο .HGHGGHHGHGx,yH,xyH
ΠαραδείγματαΗ ημιομάδα όλων των μη κενών λέξεων πάνω από ένα δεδομένο αλφάβητο έχει ως subsemigroup τις λέξεις άρτιου μήκους. Ωστόσο, οι λέξεις περιττού μήκους Μην σχηματίζετε υποημιομάδα επειδή η συνένωση δύο περιττών μηκών Οι λέξεις δεν έχουν περίεργο μήκος.
Η ημιομάδα όλων των συναρτήσεων σε ένα σύνολο υπό σύνθεση συνάρτησης έχει ως υποημιομάδες το ενέσιμο ή Οι συναρτήσεις ένα-προς-ένα, οι συναρτήσεις surjective ή onto και η αμφιταλαντεύσεις ή μεταθέσεις.f:X→XX
Μια δυαδική πράξη ονομάζεται αντιμεταθετική όταν ικανοποιεί για όλους στο . Ένα αντιμεταθετικό Η ημιομάδα είναι μια ημιομάδα της οποίας η λειτουργία είναι αντιμεταθετική. Όλα τα Παραδείγματα μέχρι στιγμής ήταν μη αντιμεταθετικές ημιομάδες. Τα ακόλουθα Απεικονίστε την αντιμεταθετική περίπτωση.f(x,y)=f(y,x)x,yX
ΠαραδείγματαΤο σύνολο των θετικών ακεραίων υπό πρόσθεση.
Το σύνολο όλων των ακεραίων υπό πρόσθεση.
Το σύνολο των λέξεων σε ένα αλφάβητο ενός γράμματος κάτω από Αλληλουχία.
Το σύνολο των bit (δυαδικά ψηφία) κάτω από οποιοδήποτε από τα λειτουργίες ΚΑΙ, OR, XOR.{0,1}
Το σύνολο των υποσυνόλων ενός σταθερού συνόλου κάτω από οποιοδήποτε από τα τομή συνόλων θεωρητικών πράξεων, ένωση, συμμετρική διαφορά.2XX
Το σύνολο των διανυσμάτων στο άνω δεξιό τεταρτημόριο του επιπέδου κάτω από διανυσματική προσθήκη.
Το ίδιο αλλά παραλείποντας την προέλευση.
Το σύνολο όλων των τρισδιάστατων διανυσμάτων υπό διάνυσμα πρόσθεση.
Το σύνολο των πολυωνύμων σε μία μεταβλητή με ακέραιο συντελεστές υπό πολυωνυμική πρόσθεση.x
Το σύνολο των ακεραίων πινάκων κάτω από την πρόσθεση μήτρας, για σταθερούς θετικούς ακέραιους .m×nm,n
Ένα στοιχείο του είναι μια αριστερή ταυτότητα για το πότε για όλους στο , και μια σωστή ταυτότητα όταν για όλους στο . Μια ταυτότητα για είναι ένα στοιχείο που είναι τόσο μια αριστερή ταυτότητα όσο και μια σωστή ταυτότητα για. Μια πράξη μπορεί να έχει μόνο μία ταυτότητα, επειδή όταν και είναι ταυτότητες είναι και οι δύο ίσες με .xXff(x,y)=yyXf(y,x)=yyXfffxyf(x,y)
Ένα μονοειδές είναι μια ημιομάδα που περιέχει μια ταυτότητα για το πολλαπλασιασμός της ημιομάδας, σημειωμένο 1.
ΠαραδείγματαΗ ταυτότητα για τη συνένωση είναι η κενή λέξη. Εξ ου και τα λόγια Κάτω από τη συνένωση σχηματίζουν ένα μονοειδές όταν επιτρέπεται η κενή λέξη.
Η ταυτότητα για την προσθήκη είναι μηδέν ή η προέλευση στην περίπτωση διανυσματική προσθήκη. Εξ ου και οποιοδήποτε από τα παραπάνω παραδείγματα ημιομάδων για η οποία η λειτουργία είναι πρόσθεση σχηματίζει ένα μονοειδές εάν και μόνο εάν περιέχει μηδέν.
Η ταυτότητα για τη σύνθεση είναι η συνάρτηση ταυτότητας που ορίζεται όπως για όλα τα in , από όπου η ημιομάδα όλων των συναρτήσεων σε ένα σύνολο σχηματίζει ένα μονοειδές.1X:X→X1X(x)=xxXX
Ένα μονοειδές είναι ένα υπομονοειδές ενός μονοειδούς όταν είναι ένα υποημιομάδα αυτού περιλαμβάνει την ταυτότητα του .HGGG
2.2 Ομάδες
Όταν δύο στοιχεία ενός μονοειδούς ικανοποιούν λέμε ότι είναι το αριστερό αντίστροφο του και είναι το δεξιό αντίστροφο του . Ένα στοιχείο που είναι τόσο αριστερό όσο και δεξιό αντίστροφο του ονομάζεται απλά αντίστροφο του .x,yxy=1xyyxyxx
Μια ομάδα είναι ένα μονοειδές, κάθε στοιχείο του οποίου έχει ένα αντίστροφος.Η πληθικότητα μιας ομάδας αναφέρεται παραδοσιακά ως παραγγελία του. Ένα στοιχείο ομάδας λέγεται ότι είναι τάξης όταν είναι ο λιγότερο θετικός ακέραιος για τον οποίο . \mathbf{C}(F(X), A) \cong \mathbf{Set}(X, U(A)) gnngn=1
ΠαραδείγματαΤο μονοειδές των ακεραίων υπό πρόσθεση, επειδή κάθε ακέραιος έχει αντίστροφο .x−x
Το σύνολο των bits (δυαδικά ψηφία) κάτω από τη λειτουργία , επειδή κάθε bit είναι το δικό του αντίστροφο: . Αυτή είναι μόνο η περίπτωση του μονοειδούς των ακεραίων mod(ulo) υπό προσθήκη mod (π.χ. (mod 5)). Εδώ το 0 είναι το αντίστροφό του και το αντίστροφο του όταν το μη μηδέν είναι .{0,1}XOR0XOR0=1XOR1=0n=2{0,1,2,…,n−1}nn3+4=2mn−m
Το μονοειδές των bijections ή των μεταθέσεων υπό σύνθεση, επειδή κάθε μετάθεση έχει ένα αντίστροφος. Όταν έχει στοιχεία είναι της τάξης . είναι abelian αν και μόνο αν .SXf:X→Xf−1XnSnn!Snn≤2
Το μονοειδές των περιστροφών του επιπέδου περίπου ένα σημείο κάτω σύνθεση, επειδή κάθε περιστροφή μπορεί να αντιστραφεί. Αυτή η ομάδα είναι ονομάζεται ομάδα κύκλων, συμβολίζεται με SO(2).
Το μονοειδές των περιστροφών του τρισδιάστατου χώρου γύρω από ένα σημείο κάτω από τη σύνθεση, και πάλι επειδή κάθε περιστροφή μπορεί να αντιστραφεί. Αυτό η ομάδα συμβολίζεται με SO(3).
Το μονοειδές των συμμετριών (περιστροφές και αντανακλάσεις) του κανονικό -gon γύρω από το κέντρο του που φέρει το -gon σε τον εαυτό της, και πάλι με αναστρεψιμότητα. Αυτή η ομάδα ονομάζεται δίεδρο ομάδα , και είναι της τάξης . Όπως είναι Αβελιανός εάν και μόνο εάν ; ιδιαίτερα.nnDn2nSn,Dnn≤2D3=S3
Μια υποομάδα μιας ομάδας είναι ένα υπομονοειδές κλειστού κάτω από αντίστροφα. Τα μονοειδή των φυσικών αριθμών και των άρτιων ακεραίων είναι και τα δύο υπομονοειδή του μονοειδούς των ακεραίων υπό πρόσθεση, αλλά μόνο το τελευταίο υπομονοειδές είναι μια υποομάδα, που κλείνει υπό άρνηση, σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς.GG
Μια αβελιανή ομάδα είναι μια ομάδα της οποίας η λειτουργία είναι αντιμεταθετική. Η ομαδική λειτουργία μιας αβελιανής ομάδας αναφέρεται συμβατικά ως πρόσθεση και όχι πολλαπλασιασμός, και οι αβελιανές ομάδες είναι μερικές φορές ονομάζονται ομάδες πρόσθετων.
Μια κυκλική ομάδα είναι μια ομάδα με ένα στοιχείο όπως ότι κάθε στοιχείο του είναι της μορφής για κάποιο θετικό ακέραιος. Οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές επειδή . Η ομάδα ακεραίων υπό πρόσθεση και οι ομάδες των ακεραίων mod για κάθε θετικό ακέραιο , όλα σχηματίζουν κυκλικά ομάδες, με 1 ως γεννήτρια σε κάθε περίπτωση. Όλες οι κυκλικές ομάδες είναι ισομορφικό σε ένα από αυτά. Υπάρχουν πάντα άλλες γεννήτριες όταν το ομάδα είναι της τάξης 3 ή περισσότερο, για παράδειγμα , και για ομάδες των Πρώτη τάξη Κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι μια γεννήτρια.GgGgεγώεγώgεγώgj=gεγώ+j=gjgεγώnn−1
2.3 Δαχτυλίδια
Ένας δακτύλιος είναι μια αβελιανή ομάδα που είναι επίσης ένα μονοειδές δυνάμει του έχοντας μια δεύτερη πράξη, που ονομάζεται πολλαπλασιασμός του δαχτυλίδι. Το μηδέν εκμηδενίζει, που σημαίνει ότι . Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός κατανέμεται πάνω από την πρόσθεση (η ομάδα λειτουργία) και στα δύο ορίσματα. Δηλαδή, και .0x=x0=0x(y+z)=xy+xz(x+y)z=xz+yz
ΠαραδείγματαΗ προσθετική ομάδα ακεραίων επεκτάθηκε με τη λειτουργία του Ακέραιος πολλαπλασιασμός.
Η προσθετική ομάδα πολυωνύμων σε μία μεταβλητή με Ακέραιοι συντελεστές διευρυμένοι με πολυώνυμο πολλαπλασιασμός.x
Η προσθετική ομάδα ακεραίων πινάκων, για σταθερό θετικός ακέραιος n, διευρυμένος με μήτρα πολλαπλασιασμός.n×n
Η ομάδα αριθμών της μορφής όπου και είναι ακέραιοι, επειδή .ένας+b√2έναςb(ένας+b√2)(c+d√2)=έναςc+2bd+(bc+έναςd)√2
Η ομάδα ακεραίων mod για , επειδή .nn≥2(x+έναςn)(y+bn)=xy+(xb+yένας+έναςbn)n
Σε όλα εκτός από το τελευταίο παράδειγμα, οι ακέραιοι (εκτός από τον ακέραιο που δίνει το μέγεθος των πινάκων) μπορούν να αντικατασταθούν από οποιοδήποτε από τα Οι λογικοί, οι πραγματικοί ή οι μιγαδικοί αριθμοί. Κατά την αντικατάσταση του ακέραιους με τα πραγματικά Το τέταρτο παράδειγμα γίνεται απλά ο δακτύλιος του reals γιατί ακόμα κι αν είναι μηδέν μπορεί να είναι οποιοδήποτε πραγματικό. Όμως Κατά την αντικατάσταση με τους ρητούς αριθμούς, ο δακτύλιος περιλαμβάνει το λογικές, αλλά είναι κάτι περισσότερο από αυτό επειδή είναι παράλογο, Ωστόσο, δεν περιέχει για παράδειγμα .nbένας√2√3
2.4 Πεδία
Ένα πεδίο είναι ένας δακτύλιος για τον οποίο το πολλαπλασιαστικό μονοειδές του Τα μη μηδενικά στοιχεία δακτυλίου είναι μια ομάδα Abelian. Δηλαδή, πολλαπλασιασμός πρέπει να είναι αντιμεταθετικό και κάθε μη μηδενικό στοιχείο πρέπει να έχει αμοιβαίος.x1/x
ΠαραδείγματαΟ δακτύλιος των ορθολογικών, επειδή ο ορθολογικός πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετική και κάθε μη μηδενική ορθολογική έχει αμοιβαία .m/nn/m
Το δαχτυλίδι των πραγματικών, και το δαχτυλίδι των μιγαδικών αριθμών, για το ανάλογους λόγους.
Ο δακτύλιος των αριθμών της μορφής όπου και είναι λογικοί, επειδή είναι μηδέν μόνο όταν , και διαφορετικά έχει αμοιβαία ? που ονομάζεται πεδίο τετραγωνικών παράλογων.ένας+b√2έναςbένας+b√2ένας=b=0(ένας−b√2)/(ένας2−2b2)
Ο δακτύλιος των ακεραίων modulo a prime , επειδή το Το πολλαπλασιαστικό μονοειδές μη μηδενικών αριθμών περιλαμβάνει έναν αριθμό όπως ότι και κάθε μη μηδενικός αριθμός έχει τη μορφή για κάποιος ακέραιος , και ως εκ τούτου έχει ένα αντίστροφο, δηλαδή .Zppggp−1=1gεγώεγώgp−1−εγώ
Το τελευταίο παράδειγμα δεν γενικεύει άμεσα σε άλλους συντελεστές. Όμως Για κάθε μέτρο που είναι δύναμη ενός πρώτου, μπορεί να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένας μοναδικός πολλαπλασιασμός που καθιστά την ομάδα δακτύλιο με τρόπο που καθιστά τα μη μηδενικά στοιχεία του δακτυλίου κυκλικά (και επομένως abelian) ομάδα κάτω από τον πολλαπλασιασμό, και ως εκ τούτου κάνοντας το δαχτυλίδι ένα πεδίο. Τα χωράφια που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο είναι τα μόνο πεπερασμένα πεδία.pnZpn
2.5 Εφαρμογές
Γιατί να μελετήσετε ολόκληρες τάξεις; Λοιπόν, εξετάστε για παράδειγμα το σύνολο των ακέραιους μαζί με τη δυαδική λειτουργία της πρόσθεσης , το ενιαία λειτουργία της άρνησης , και η σταθερά 0. Αυτοί οι λειτουργίες και η σταθερά ικανοποιούν διάφορους νόμους όπως , και . Τώρα εξετάστε οποιοδήποτε Άλλη άλγεβρα με πράξεις που όχι μόνο έχουν τα ίδια ονόματα αλλά Επίσης, ικανοποιούν τους ίδιους νόμους (και ενδεχομένως περισσότερους), που ονομάζεται μοντέλο αυτών των νόμων. Μια τέτοια άλγεβρα θα μπορούσε να εξυπηρετήσει οποιοδήποτε από τα ακόλουθους σκοπούς.Zx+y−xx+(y+z)=(x+y)+z,x+y=y+x,x+0=xx+(−x)=0
(i) Θα μπορούσε να μας πει σε ποιο βαθμό οι εξισωτικοί νόμοι που ισχύουν για το Οι ακέραιοι χαρακτηρίζουν τους ακέραιους αριθμούς. Δεδομένου ότι το σύνολο των Ακέραιοι Mod 2 υπό πρόσθεση και άρνηση ικανοποιεί όλους τους νόμους που Οι ακέραιοι κάνουν, βλέπουμε αμέσως ότι δεν υπάρχει ενιαία εξισωτική ιδιότητα των ακεραίων μας λέει ότι υπάρχουν απείρως πολλοί ακέραιοι. Επί Από την άλλη πλευρά, οποιοδήποτε πεπερασμένο μοντέλο της εξισωτικής θεωρίας του Οι ακέραιοι αριθμοί ικανοποιούν αναγκαστικά κάποιον νόμο που οι ακέραιοι δεν ικανοποιούν πληροί, ιδίως, το δίκαιο όταν ο αριθμός της αριστερής πλευράς είναι το μέγεθος του υπόδειγμα. Δεδομένου ότι η εξισωτική θεωρία των ακεραίων δεν περιέχει τέτοια νόμος μπορούμε να πούμε από τη θεωρία του στο σύνολό της ότι οι ακέραιοι πρέπει να είναι ένα άπειρο σύνολο. Από την άλλη τους ρητούς αριθμούς υπό πρόσθεση και η άρνηση ικανοποιούν ακριβώς τις ίδιες εξισωτικές ιδιότητες με το ακέραιους αριθμούς, οπότε αυτή η θεωρία δεν χαρακτηρίζει την άλγεβρα των ακεραίων πρόσθεση και αφαίρεση με επαρκή ακρίβεια ώστε Διακρίνετέ το από τους λογικούς.{0,1}x+x+…+x=0xs
(ii) Θα μπορούσε να μας προσφέρει ένα χρήσιμο νέο domain που μπορεί να είναι υποκαθιστά τους ακέραιους αριθμούς σε οποιαδήποτε εφαρμογή, ανάλογα μόνο με εξισωτικές ιδιότητες των ακεραίων, αλλά που διαφέρει από το ακέραιους σε άλλες (αναγκαστικά μη εξισωτικές) χρήσιμες απόψεις. Για παράδειγμα οι λογικές, οι οποίες ικανοποιούν τους ίδιους νόμους που μόλις σημειώσαμε, διαφέρουν στο να έχουν την ιδιότητα πυκνότητας, αυτή μεταξύ οποιωνδήποτε δύο Λογική εκεί βρίσκεται μια άλλη λογική. Μια άλλη διαφορά είναι ότι υποστηρίζει διαίρεση: ενώ ο λόγος δύο ακεραίων συνήθως δεν είναι ακέραιος, ο λόγος δύο λογικών είναι πάντα ορθολογικός. Τα πραγματικά επίσης ικανοποιούν τις ίδιες εξισώσεις, και όπως οι ορθολογικές είναι πυκνές και Τμήμα υποστήριξης. Σε αντίθεση με τους λογικούς εντούτοις οι πραγματικοί έχουν την ιδιότητα πληρότητας, ότι το σύνολο όλων των ανώτερων ορίων του κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών είναι είτε κενό είτε έχει ένα ελάχιστο μέλος, που απαιτούνται για να έχουν οι συγκλίνουσες ακολουθίες ένα όριο σύγκλισης.
Αυτή η ιδέα επεκτείνεται και σε άλλες πράξεις όπως ο πολλαπλασιασμός και διαίρεση, όπως και με τα πεδία. Μια ιδιαίτερα χρήσιμη περίπτωση ενός τέτοιου Η γενίκευση δίνεται με τη χρήση μιγαδικών αριθμών στην καρτεσιανή γεωμετρία. Πότε και εύρος πάνω από το πεδίο των πραγματικών, περιγράφει τον συνηθισμένο Ευκλείδειο κύκλο σε δύο διαστάσεις, Αλλά όταν οι μεταβλητές κυμαίνονται πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς, αυτή η εξίσωση περιγράφει το σύνθετο αντίστοιχο του κύκλου, που μπορεί να απεικονιστεί ως δισδιάστατη επιφάνεια ενσωματωμένη σε τέσσερις πραγματικές διαστάσεις (όσον αφορά το σύνθετο επίπεδο ως έχον δύο πραγματικές διαστάσεις). Ή αν οι μεταβλητές εύρος πάνω από τους ακέραιους mod 7, οι οποίοι σχηματίζουν ένα πεδίο κάτω από το συνηθισμένο αριθμητικές πράξεις mod 7, ο κύκλος αποτελείται από οκτώ σημεία, δηλαδή , και . Βέβαιος θεωρήματα για τον Ευκλείδειο κύκλο αποδείξιμα καθαρά αλγεβρικά παραμένουν αποδείξιμα σχετικά με αυτά τα άλλα είδη κύκλων, επειδή όλα τα Οι εξισώσεις από τις οποίες εξαρτάται η απόδειξη εξακολουθούν να ισχύουν σε αυτές τις άλλες πεδία, για παράδειγμα το θεώρημα ότι μια γραμμή τέμνει έναν κύκλο στο τα περισσότερα δύο σημεία.xyx2+y2=1(±1,0),(0,±1)(±2,±2)
(iii) Θα μπορούσε να μας βοηθήσει να αποφασίσουμε αν κάποιος κατάλογος εξισωτικών νόμων προορίζεται για την αξιωματοποίηση των ακεραίων είναι πλήρης με την έννοια ότι οποιαδήποτε διατήρηση εξίσωσης των ακεραίων προκύπτει από τους νόμους στο αυτόν τον κατάλογο. Εάν κάποια δομή ικανοποιεί όλα τα αξιώματα στη λίστα, αλλά όχι κάποια άλλη εξίσωση που ισχύει για τους ακέραιους αριθμούς, τότε έχουμε ένα μάρτυρας της ατέλειας της αξιωματοποίησης. Εάν από την άλλη χέρι μπορούμε να δείξουμε πώς να κατασκευάσουμε οποιαδήποτε άλγεβρα ικανοποιώντας τα αξιώματα από την άλγεβρα των ακεραίων, περιορίζοντας τον εαυτό μας μόνο σε ορισμένα αλγεβρικές κατασκευές, τότε από ένα θεώρημα του Birkhoff εφαρμόσιμο σε Αυτές οι κατασκευές μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η αξιωματοποίηση είναι πλήρης.
(iv) Θα μπορούσε να δώσει έναν άλλο τρόπο ορισμού μιας τάξης, εκτός από το Τυπικός τρόπος απαρίθμησης αξιωμάτων. Στην προκειμένη περίπτωση, η τάξη όλων άλγεβρες με σταθερά, μοναδιαία πράξη και δυαδική πράξη, Η ικανοποίηση όλων των νόμων που ικανοποιούνται από τους ακέραιους αριθμούς, είναι ακριβώς η τάξη αβελιανών ομάδων.
3. Καθολική άλγεβρα
Η καθολική άλγεβρα είναι το επόμενο επίπεδο αφαίρεσης μετά την αφηρημένη άλγεβρα. Ενώ η στοιχειώδης άλγεβρα αντιμετωπίζει τον εξισωτικό συλλογισμό σε ένα Ιδιαίτερη άλγεβρα όπως το πεδίο των πραγματικών ή το πεδίο του μιγαδικού Οι αριθμοί και η αφηρημένη άλγεβρα μελετούν συγκεκριμένες κατηγορίες αλγεβρών Όπως ομάδες, δακτύλιοι ή πεδία, η καθολική άλγεβρα μελετά τάξεις Κατηγορίες αλγεβρών. Όπως οι αφηρημένοι αριθμοί άλγεβρας, ομάδες, δακτύλιοι, και πεδία μεταξύ των βασικών κλάσεών της, το ίδιο μετράει και η καθολική άλγεβρα ποικιλίες, οιονεί ποικιλίες και στοιχειώδεις τάξεις μεταξύ των βασικών του τάξεις τάξεων.
Ένα μοντέλο μιας θεωρίας είναι μια δομή για την οποία όλα τα Οι εξισώσεις αυτής της θεωρίας είναι ταυτότητες. Οι όροι δημιουργούνται από μεταβλητές και σταθερές χρησιμοποιώντας τις λειτουργίες της θεωρίας. Ένας η εξίσωση είναι ένα ζεύγος όρων. Ικανοποιείται από μια άλγεβρα όταν το Δύο όροι είναι ίσοι σε όλες τις αποτιμήσεις (εκχωρήσεις αξιών σε) τις μεταβλητές που εμφανίζονται στους όρους, ισοδύναμα όταν δηλώνουν την ίδια λειτουργία -ary. Μια οιονεί εξίσωση είναι ένα ζεύγος που αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εξισώσεων, που ονομάζονται προκείμενες ή προηγούμενα, και μια άλλη εξίσωση, το συμπέρασμα. Είναι ικανοποιημένη από μια άλγεβρα όταν οι δύο όροι του συμπεράσματος είναι ίσοι κάτω από όλους αποτιμήσεις των μεταβλητών που εμφανίζονται στους όρους που ικανοποιούν τις εγκαταστάσεις. Ένας τύπος πρώτης τάξης είναι ένας ποσοτικοποιημένος Boolean συνδυασμός σχεσιακών όρων.nnn
Μια ποικιλία είναι η κατηγορία όλων των μοντέλων ενός συνόλου εξισώσεων. Μια οιονεί ποικιλία είναι η κατηγορία όλων των μοντέλων ενός συνόλου οιονεί εξισώσεις. Μια στοιχειώδης τάξη είναι η τάξη όλων μοντέλα ενός συνόλου τύπων πρώτης τάξης.
Οι οιονεί ποικιλίες έχουν λάβει πολύ λιγότερη προσοχή από τις δύο ποικιλίες ή στοιχειώδεις τάξεις, και κατά συνέπεια λέμε λίγα γι 'αυτούς εδώ. Οι στοιχειώδεις τάξεις αντιμετωπίζονται σε επαρκές βάθος αλλού σε αυτό το σημείο εγκυκλοπαίδεια που δεν χρειάζεται να τα εξετάσουμε εδώ. Ως εκ τούτου, εστιάζουμε σε αυτό το τμήμα για τις ποικιλίες.
Αβελιανές ομάδες, ομάδες, δακτύλιοι και διανυσματικοί χώροι σε ένα δεδομένο πεδίο όλες οι ποικιλίες μορφής.
Ένα κεντρικό αποτέλεσμα σε αυτόν τον τομέα είναι το θεώρημα ότι ένα πλέγμα προκύπτει ως Το πλέγμα των υποαλγεβρών κάποιας άλγεβρας αν και μόνο αν προκύψει ως Το πλέγμα των αντιστοιχιών σε κάποια άλγεβρα. Πλέγματα αυτού του είδους είναι: που ονομάζονται αλγεβρικά πλέγματα. Όταν οι αντιστοιχίες μιας άλγεβρας permute, το πλέγμα συμφωνίας του είναι αρθρωτό, μια ισχυρή κατάσταση διευκολύνοντας ιδιαίτερα την ανάλυση πεπερασμένων αλγεβρών.
3.1 Έννοιες
Γνωστά θεωρήματα της θεωρίας αριθμών αναδύονται σε αλγεβρική μορφή για άλγεβρες. Μια άλγεβρα ονομάζεται άμεσα μη αναγώγιμη ή απλή όταν το πλέγμα των αντιστοιχιών της είναι το δύο στοιχείο πλέγμα που αποτελείται από και την άλγεβρα ενός στοιχείου, παράλληλη Η έννοια του πρώτου αριθμού ως αριθμού του οποίου το πλέγμα διαιρετών έχει δύο στοιχεία και 1. Ωστόσο, το αντίστοιχο του Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, ότι κάθε θετικός ακέραιος παράγοντας μοναδικά ως προϊόν πρώτων αριθμών, απαιτεί ένα πιο ευαίσθητο είδος προϊόν παρά άμεσο προϊόν. Η έννοια του Birkhoff για την υποάμεση το προϊόν του επέτρεψε να αποδείξει το θεώρημα υποάμεσης αναπαράστασης, ότι κάθε άλγεβρα προκύπτει ως το υποάμεσο γινόμενο της υποεμφυλίως της μη αναγώγιμα πηλίκα. Ενώ υπάρχουν πολλά έμμεσα μη αναγώγιμα. ομάδες, η μόνη έμμεσα μη αναγώγιμη άλγεβρα Boole είναι η αρχικό ή δύο στοιχεία ένα, ενώ οι έμμεσα μη αναγώγιμοι δακτύλιοι Ικανοποιητικό για μερικούς είναι ακριβώς το πεπερασμένο Πεδία.ΈναςΈναςppxn=xn>1
Ένα άλλο κεντρικό θέμα είναι η δυαδικότητα: Οι άλγεβρες Boole είναι διπλές με τον Stone κενά, πλήρεις ατομικές άλγεβρες Boole είναι διπλές σε σύνολα, Τα διανεμητικά πλέγματα με πάνω και κάτω είναι διπλά έως μερικώς Τα διατεταγμένα σύνολα, τα αλγεβρικά πλέγματα είναι διπλά σε ημιπλέγματα και ούτω καθεξής. Η δυαδικότητα παρέχει δύο τρόπους εξέτασης μιας άλγεβρας, ένας από τους οποίους μπορεί Αποδειχθείτε πιο διορατικοί ή ευκολότεροι στην εργασία από τους άλλους ανάλογα με την εφαρμογή.
Η δομή των ποικιλιών ως κατηγορίες όλων των μοντέλων κάποιας εξίσωσης Η θεωρία έχει επίσης μεγάλο ενδιαφέρον. Το νωρίτερο αποτέλεσμα σε αυτόν τον τομέα είναι Το θεώρημα του Birkhoff ότι μια κατηγορία αλγεβρών είναι μια ποικιλία αν και μόνο εάν είναι κλειστό υπό σχηματισμό πηλίκων (ομομορφικό εικόνες), υποάλγεβρες και αυθαίρετες (συμπεριλαμβανομένων κενών και άπειρων) άμεσα προϊόντα. Αυτό το αποτέλεσμα της «σύγχρονης άλγεβρας» αποτελεί ένα θεώρημα πληρότητας για την εξισωτική λογική όσον αφορά τα μοντέλα της. Το στοιχειώδες αντίστοιχό του είναι το θεώρημα ότι οι εξισωτικές θεωρίες σε μια ελεύθερη άλγεβρα , που ορίζεται ως τα παραγωγικά κλειστά σύνολα του Οι εξισώσεις που χρησιμοποιούν μεταβλητές από το , είναι ακριβώς το υποκατάστατό του αντιστοιχίες.F(V)V
Μια τοπικά πεπερασμένη ποικιλία είναι αυτή της οποίας οι πεπερασμένες ελεύθερες άλγεβρες είναι πεπερασμένα, όπως αιχμηρά σύνολα, γραφήματα (είτε του κατευθυνόμενου είτε του μη κατευθυνόμενη ποικιλία) και διανεμητικά πλέγματα. Μια αντιστοιχία Μεταβλητή ποικιλία είναι μια ποικιλία της οποίας όλες οι άλγεβρες είναι σύμφωνες μεταβλητό. Ο Μάλτσεφ τα χαρακτήρισε από την άποψη μιας αναγκαίας και επαρκή προϋπόθεση για τις θεωρίες τους, δηλαδή ότι (3) περιέχουν μια πράξη για την οποία είναι στη θεωρία. Ανάλογες έννοιες είναι η αντιστοιχία, η διανεμητικότητα, και Αρθρωτότητα αντιστοιχίας, για την οποία υπάρχει ανάλογη συντακτική χαρακτηρισμοί ποικιλιών άλγεβρας με αυτές τις ιδιότητες. Ένας πιο πρόσφατα αναπτυγμένο ηλεκτρικό εργαλείο για αυτόν τον τομέα είναι το McKenzie's έννοια των ήμερων αντιστοιχιών, διευκολύνοντας τη μελέτη της δομής του πεπερασμένες άλγεβρες.Ft(x,y,z)t(x,x,y)=t(y,x,x)=y
Εντός της αλγεβρικής σχολής, οι ποικιλίες έχουν οριστεί με το Κατανόηση ότι οι λειτουργίες μιας υπογραφής σχηματίζουν ένα σύνολο. Ιδέες από τη θεωρία κατηγοριών, ιδίως την έκφραση μιας ποικιλίας ως μονάδα, που ορίζεται ως μονοειδές αντικείμενο στην κατηγορία των endofunctors μιας κατηγορίας (Καθορίζεται στην περίπτωση των συνηθισμένων καθολική άλγεβρα) δείχνουν ότι μια καθαρότερη και γενικότερη έννοια της Ποικιλία επιτυγχάνεται όταν οι λειτουργίες μπορούν να σχηματίσουν μια σωστή τάξη. Για παράδειγμα οι σημαντικές πλήρων ημιπλεγμάτων, CSLat, και πλήρεις ατομικές άλγεβρες Boolean, CABA, σχηματίζουν ποικιλίες μόνο με αυτή την ευρύτερη έννοια της υπογραφής. Μέσα Η στενή αλγεβρική αίσθηση της ποικιλίας, η διπλή μιας ποικιλίας δεν μπορεί ποτέ να είναι ποικιλία, ενώ στην ευρύτερη μοναδική έννοια της ποικιλίας, η ποικιλία Το σετ σετ είναι διπλό σε CABA ενώ το CSLat είναι αυτοδιπλό.CCC
3.2 Εξισωτική λογική
Συστήματα αξιωμάτων. Οι ταυτότητες μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για μετασχηματισμό εξισώσεις σε ισοδύναμες εξισώσεις. Όταν αυτές οι εξισώσεις είναι οι ίδιες ταυτότητες για κάποιο τομέα, οι εξισώσεις στις οποίες μετατρέπονται παραμένουν ταυτότητες για αυτόν τον τομέα. Επομένως, μπορεί κανείς να ξεκινήσει από μερικούς πεπερασμένο σύνολο ταυτοτήτων και κατασκευή απεριόριστου αριθμού νέων ταυτότητες από αυτούς.
Για παράδειγμα, αν ξεκινήσουμε μόνο από τις δύο ταυτότητες και , μπορούμε να αποκτήσουμε την ταυτότητα μέσω της ακόλουθης σειράς μετασχηματισμών.(x+y)+z=x+(y+z)x+y=y+x(w+x)+(y+z)=(w+y)+(x+z)(w+x)+(y+z)=((w+x)+y)+z=(w+(x+y))+z=(w+(y+x))+z=((w+y)+x)+z=(w+y)+(x+z)
Αυτή η διαδικασία κατασκευής νέων ταυτοτήτων από παλιές ονομάζεται αφαίρεση. Οποιαδήποτε ταυτότητα που μπορεί να δημιουργηθεί με αφαίρεση Ξεκινώντας από ένα δεδομένο σύνολο ταυτοτήτων ονομάζεται συνέπεια του . Το σύνολο όλων των συνεπειών του είναι ονομάζεται το παραγωγικό κλείσιμο του . Αναφερόμαστε ως μια αξιωματοποίηση του παραγωγικού κλεισίματός του. Ένα σύνολο που είναι του Το δικό του παραγωγικό κλείσιμο λέγεται ότι είναι επαγωγικά κλειστό. Είναι απλό να δείξει ότι ένα σύνολο είναι επαγωγικά κλειστό εάν και μόνο αν είναι το παραγωγικό κλείσιμο κάποιου συνόλου.ΈναςΈναςΈναςΈναςΈνας
Μια εξισωτική θεωρία είναι ένα παραγωγικά κλειστό σύνολο εξισώσεις, ισοδύναμα το σύνολο όλων των συνεπειών κάποιου συνόλου εξισώσεων. Κάθε θεωρία έχει πάντα τον εαυτό της ως δική της αξιωματοποίηση, αλλά συνήθως θα έχει και μικρότερες αξιωματοποιήσεις. Μια θεωρία που έχει πεπερασμένη αξιωματοποίηση λέγεται ότι είναι πεπερασμένα με βάση ή πεπερασμένα αξιωματοποιήσιμα.Ένας
Αποτελεσματικότητα. Οι θεωρίες πεπερασμένης βάσης μπορούν να απαριθμούνται αποτελεσματικά. Δηλαδή, δεδομένου ενός πεπερασμένου συνόλου εξισώσεις, μπορεί κανείς να γράψει ένα πρόγραμμα υπολογιστή που εκτυπώνει συνέπειες για πάντα με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε συνέπεια της θέλησης εμφανίζονται σε κάποια πεπερασμένη θέση στην άπειρη λίστα όλων Συνέπειες. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει όταν αποδυναμώνουμε το απαίτηση που είναι πεπερασμένη έως απλώς ότι μπορεί να είναι αποτελεσματική Απαριθμούνται. Δηλαδή, εάν η αξιωματοποίηση είναι αποτελεσματικά απαριθμήσιμη Το ίδιο και το επαγωγικό κλείσιμό του.ΈναςΈναςΈναςΈνας
(Συμφιλιώνοντας το πεπερασμένο με το άπειρο, να έχετε κατά νου ότι αν Απαριθμήστε όλους τους φυσικούς αριθμούς 0, 1, 2, ... Για να αποκτήσουμε ένα άπειρη λίστα, κάθε μέλος της οποίας απέχει μόνο πεπερασμένα από το αρχή, και έχει επίσης έναν καλά καθορισμένο προκάτοχο (εκτός από το 0) και διάδοχος. Μόνο αν επιχειρήσουμε να συμπληρώσουμε αυτήν τη λίστα στο "τέλος" με άπειρους αριθμούς σπάει αυτή η αρχή. κάτω.
Ένας τρόπος για να οραματιστείτε ότι υπάρχει ένα «τέλος» που θα μπορούσε να έχει Περισσότερα στοιχεία πέρα από αυτό είναι να εξετάσουμε τις λογικές της φόρμας για όλους τους μη μηδενικούς ακεραίους , με αυξανόμενη σειρά. Αυτή η λίστα ξεκινά και μετά την απαρίθμηση απεριόριστα Πολλές αρνητικές λογικές αυτής της μορφής, χωρίς σπουδαιότερες τέτοιες, διακόπτες Περάσαμε σε θετικές λογικές, χωρίς πρώτες τέτοιες, τελειώνοντας τελικά με 1/3, 1/2, 1/1. Ολόκληρος ο κατάλογος είναι διακριτός με την έννοια ότι κάθε ορθολογική εκτός από τα τελικά σημεία και το 1/1 έχει σαφώς καθορισμένο προκάτοχος και διάδοχος σε αυτό το υποσύνολο των ορθολογικών, σε αντίθεση με το κατάσταση για το σύνολο όλων των λογικών μεταξύ και . Αυτό δεν θα συνέβαινε πλέον αν εισάγαμε το λογικό 0 "στη μέση", η οποία δεν θα είχε ούτε προκάτοχο ούτε διάδοχος.)1/nn−1/1,−1/2,−1/3,…−1/1−1/11/1
Εξισωτική λογική. Ο άτυπος απολογισμός μας για Η έκπτωση μπορεί να επισημοποιηθεί με βάση πέντε κανόνες για την παραγωγή νέων ταυτότητες από παλιά. Στη συνέχεια, και δηλώστε αυθαίρετοι όροι.st(Ρ1)Από το τίποτα δεν συμπεραίνουμε .t=t(Ρ2)Από το συμπέρασμα .s=tt=s(Ρ3)Από και συμπεραίνουμε .s=tt=us=u(Ρ4)Από το συμπέρασμα , όπου είναι μια -ary πράξη.s1=t1,s2=t2,…,sn=tnf(s1,s2,…,sn)=f(t1,t2,…,tn)fn(Ρ5)Από το συμπέρασμα πού και είναι το όροι που προκύπτουν από τη συνεπή αντικατάσταση των μεταβλητών από και αντίστοιχα.s=ts′=t′s′t′st
"Με συνέπεια" σε αυτό το πλαίσιο σημαίνει ότι εάν ένας όρος είναι Αντικαθιστώντας με μία εμφάνιση μιας δεδομένης μεταβλητής, ο ίδιος όρος πρέπει να αντικατασταθούν από όλες τις εμφανίσεις αυτής της μεταβλητής και στις δύο και . Δεν θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, να απευθυνθούμε μόνο στην R5 για να δικαιολογούν την αντικατάσταση του όρου στην αριστερή πλευρά και του όρου στη δεξιά πλευρά, αν και ορισμένοι Άλλος κανόνας μπορεί να το επιτρέπει.stu+vxx+y=y+xv+ux
Μια εξισωτική θεωρία ως σύνολο ζευγών όρων ισοδυναμεί με δυαδικό σχέση στο σύνολο όλων των όρων. Κανόνες R1–R3 αντιστοιχούν αντίστοιχα στην αντανακλαστικότητα, τη συμμετρία και τη μεταβατικότητα του αυτή η δυαδική σχέση, . Οι τρεις αυτοί κανόνες βεβαιώνουν ότι μια Η εξισωτική θεωρία είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Ο κανόνας R4 εκφράζει την περαιτέρω ιδιότητα ότι αυτή η δυαδική σχέση είναι μια αντιστοιχία. Ο κανόνας R5 ορίζει περαιτέρω ότι η Η σχέση είναι μια υποκατάστατη αντιστοιχία. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα δυαδικό Η σχέση στο σύνολο των όρων είναι μια εξισωτική θεωρία εάν και μόνο εάν είναι μια υποκατάστατη αντιστοιχία. Επομένως, αυτοί οι πέντε κανόνες είναι εντελώς αξιωματοποιούν την εξισωτική λογική με την έννοια ότι κάθε συνέπεια ενός Το σύνολο των εξισώσεων μπορεί να παραχθεί μέσω πεπερασμένων πολλών εφαρμογές αυτών των πέντε κανόνων.εγώ.eΈναςΈνας
3.3 Θεώρημα του Birkhoff
Μια ποικιλία είναι εξ ορισμού η κατηγορία μοντέλων κάποιας εξίσωσης θεωρία. Το 1935 ο Birkhoff παρείχε έναν ισοδύναμο χαρακτηρισμό ποικιλίες: κάθε κλάση κλειστή κάτω από πηλίκα (ομομορφικές εικόνες), άμεσα προϊόντα και υποάλγεβρες. Οι έννοιες αυτές ορίζονται ως εξής: Εξής.
Λαμβάνοντας υπόψη δύο άλγεβρες και , ένας ομομορφισμός είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί για κάθε μία από το 1 έως όπου είναι η arity και των δύο και .(X,f1,…fk)(Y,g1,…gk)h:(X,f1,…fk)→(Y,g1,…gk)h:X→Yh(fεγώ(x0,…,xnεγώ−1))=gεγώ(h(x0),…,h(xnεγώ−1)))εγώknεγώfεγώgεγώ
Μια υποάλγεβρα μιας άλγεβρας είναι ένα σύνολο στοιχείων του Η άλγεβρα έκλεισε κάτω από τις λειτουργίες της άλγεβρας.
Ας είναι ένα αυθαίρετο σύνολο, το οποίο μπορεί να είναι κενό, πεπερασμένο ή άπειρος. Μια οικογένεια Οι άλγεβρες που δεικτοδοτούνται από αποτελούνται από μία άλγεβρα για κάθε στοιχείο του . Ορίζουμε το άμεσο προϊόν (ή πλήρως) μιας τέτοιας οικογένειας ως εξής.Εγώ⟨Έναςεγώ⟩εγώ∈Εγώ(Xεγώ,fεγώ1,…,fεγώk)ΕγώΈναςεγώεγώΕγώΠΈναςεγώΠεγώ∈ΕγώΈναςεγώ
Το υποκείμενο σύνολο του είναι το καρτεσιανό γινόμενο των υποκείμενων συνόλων , και αποτελείται από αυτές τις -πλειάδες του οποίου το -ου στοιχείο είναι κάποιο στοιχείο του . ( μπορεί ακόμη και να είναι αμέτρητη, αλλά στην περίπτωση αυτή η μη κενότητα του ως συνέπεια της μη κενότητας του ατόμου είναι ισοδύναμο με το αξίωμα της επιλογής. Αυτό πρέπει να ληφθεί υπόψη για κάθε εποικοδομητικές εφαρμογές του θεωρήματος του Birkhoff.)ΠΈναςεγώΠXεγώXεγώΕγώεγώXεγώΕγώΠXεγώXεγώ
Η -η λειτουργία του , της arity , παίρνει μια -πλειάδα στοιχείων του και παράγει την -πλειάδα όπου είναι η -η συνιστώσα του Η -οστή συνιστώσα του για από 1 έως .jΠΈναςεγώnjnjtΠXεγώΕγώ⟨fεγώj(tεγώ1,…tεγώnj)⟩εγώ∈Εγώtεγώkεγώktknj
Λαμβάνοντας υπόψη δύο άλγεβρες , και έναν ομομορφισμό , η ομομορφική εικόνα είναι η υποάλγεβρα του που αποτελείται από στοιχεία της μορφής για in .ΈναςBh:Ένας→Bh(Ένας)Bh(ένας)έναςΈνας
Δεδομένης μιας κλάσης αλγεβρών, γράφουμε για την τάξη του Όλες οι άλγεβρες σχηματίζονται ως άμεσα προϊόντα οικογενειών αλγεβρών του για την κατηγορία όλων των υποαλγεβρών των αλγεβρών του , και για την κατηγορία όλων των ομομορφικών εικόνων των αλγεβρών του .CP(C)C,S(C)CH(C)C
Είναι σχετικά απλό να δείξουμε ότι οποιαδήποτε εξίσωση ικανοποιείται από όλα τα μέλη του είναι επίσης ικανοποιημένος από όλα τα μέλη του , και . Ως εκ τούτου, για μια ποικιλία .CP(C),S(C)H(C)V,P(V)=S(V)=H(V)
Το θεώρημα του Birkhoff είναι το αντίστροφο: για οποιαδήποτε κλάση τέτοια Αυτή είναι μια ποικιλία. Στην πραγματικότητα, το θεώρημα είναι ελαφρώς ισχυρότερη: για οποιαδήποτε κατηγορία, η HSP είναι α ποικιλία. Δηλαδή, για να κατασκευάσουμε όλα τα μοντέλα της θεωρίας της αρκεί να κλείσουμε πρώτα κάτω από τα άμεσα προϊόντα, στη συνέχεια κάτω από υποάλγεβρες, και τέλος κάτω από ομομορφικές εικόνες. Δηλαδή, αργότερα Τα κλεισίματα δεν θέτουν σε κίνδυνο τα προηγούμενα που παρέχονται , και εκτελούνται με αυτή τη σειρά.CP(C)=S(C)=H(C),CC(C)CCP,SH
Μια βασική εφαρμογή του θεωρήματος του Birkhoff είναι στην απόδειξη του πληρότητα μιας προτεινόμενης αξιωματοποίησης μιας κλάσης . Δεδομένου ενός αυθαίρετο μοντέλο των αξιωμάτων, αρκεί να δείξουμε ότι το μοντέλο μπορεί να κατασκευάζεται ως η ομομορφική εικόνα μιας υποάλγεβρας ενός άμεσου Γινόμενο αλγεβρών του .CC
Αυτή η τεχνική πληρότητας συμπληρώνει την πληρότητα που παρατηρείται στο Η προηγούμενη ενότητα για τους κανόνες της εξισωτικής λογικής.
4. Γραμμική Άλγεβρα
4.1 Διανυσματικοί χώροι
Η αδελφοποίηση σε ομάδες, δακτυλίους και πεδία είναι η κατηγορία του διανύσματος χώρους πάνω από οποιοδήποτε δεδομένο πεδίο, που αποτελούν τα σύμπαντα της γραμμικής άλγεβρα. Οι διανυσματικοί χώροι προσφέρονται για δύο αντίθετες προσεγγίσεις: αξιωματική ή αφηρημένη, και συνθετική ή συγκεκριμένη. Το αξιωματικό Η προσέγγιση λαμβάνει ως προϋπόθεση πεδία (από όπου δακτύλιοι, από όπου ομάδες). Αρχικά ορίζει την έννοια του -module ως μια αβελιανή ομάδα με ένα βαθμωτός πολλαπλασιασμός σε ένα δεδομένο δακτύλιο και, στη συνέχεια, ορίζει ένα διανυσματικός χώρος να είναι ένα -module για το οποίο είναι ένα πεδίο. Ο Η συνθετική προσέγγιση προχωρά μέσω της γνωστής αναπαράστασης του διανύσματος διαστήματα πάνω από τα reals ως -tuples των reals, και των γραμμικών μετασχηματισμοί από -διαστάσεων σε -διαστάσεων διάνυσμα χώρους ως μήτρες πραγματικών. Για την πλήρη γενικότητα του Οι διανυσματικοί χώροι, συμπεριλαμβανομένων εκείνων των άπειρων διαστάσεων, δεν χρειάζεται να είναι περιορίζεται σε πεπερασμένους αριθμούς, αλλά μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πληθικός.RRRRnmnm×nn
Η αφηρημένη προσέγγιση, όπως υιοθετήθηκε από κλασικά κείμενα όπως ο Mac Lane και ο Birkhoff, έχει μια ορισμένη καθαρή έκκληση και είναι ιδανικός για μεγάλες μαθηματικές σπουδές. Η συγκεκριμένη προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα ότι είναι ικανός να αντικαταστήσει τον λογισμό ή λιγότερο για ομάδες-δακτυλίους-πεδία ως προαπαιτούμενο, κατάλληλο για την εξυπηρέτηση μαθημάτων για επιστήμονες και Οι μηχανικοί χρειάζονται μόνο πεπερασμένων διαστάσεων άλγεβρα πινάκων, η οποία απολαμβάνει τεράστια πρακτική εφαρμογή. Γραμμική άλγεβρα σε άλλα πεδία, σε συγκεκριμένα πεπερασμένα πεδία, χρησιμοποιείται στη θεωρία κωδικοποίησης, κβαντική υπολογιστική, κ.λπ., για τα οποία η αφηρημένη προσέγγιση τείνει να είναι καταλληλότερη.
Για κάθε πεδίο , μέχρι τον ισομορφισμό υπάρχει ακριβώς ένα διάνυσμα χώρο πάνω από οποιαδήποτε δεδομένη πεπερασμένη διάσταση. Αυτό είναι ένα θεώρημα στο την αφηρημένη προσέγγιση, αλλά αποτελεί άμεση συνέπεια της Αναπαράσταση στη συγκεκριμένη προσέγγιση (το θεώρημα χρησιμοποιείται σε συσχετίζοντας τις δύο προσεγγίσεις).FF
Μια άλλη άμεση συνέπεια της συγκεκριμένης προσέγγισης είναι η δυαδικότητα για πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικοί χώροι πάνω από . Σε κάθε διανυσματικό χώρο, οποιασδήποτε διάστασης, αντιστοιχεί ο διπλός χώρος που αποτελείται των συναρτήσεων στο , που ορίζεται ως γραμμική μετασχηματισμοί , προβολή του πεδίου ως μονοδιάστατος διανυσματικός χώρος. Οι συναρτήσεις σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο υπό συντονισμένη προσθήκη και πολλαπλασιασμός με οποιοδήποτε βαθμωτό x σε F, και παίρνουμε V^* για να είναι αυτός ο χώρος. Αυτή η λειτουργία σε διανυσματικούς χώρους εκτείνεται στους γραμμικούς μετασχηματισμούς f: U\rightarrow V ως f^* : V^*\rightarrow U^* ορίζεται έτσι ώστε το f να χαρτογραφεί κάθε συνάρτηση g: V\rightarrow F σε g\cdot f: U\rightarrow F. Επαναλαμβάνοντας αυτό Η λειτουργία παράγει ένα διανυσματικό χώρο που, στην πεπερασμένη διάσταση περίπτωση, είναι ισομορφική με V, δηλαδή, V \cong V^{**}, κάνοντας το λειτουργία μιας υποστροφής. Η ουσία της δυαδικότητας για πεπερασμένων διαστάσεων Οι διανυσματικοί χώροι βρίσκονται στην ακούσια φύση τους μαζί με την αντιστροφή των γραμμικών μετασχηματισμών.FVV∗Vf:V→FF(f+g)(u)=f(u)+g(u)(xf)(u)=x(f(u))xFV∗f:U→Vf∗:V∗→U∗fg:V→Fg⋅f:U→FVV≅V∗∗
Αυτή η δυαδικότητα απεικονίζεται εύκολα στη συγκεκριμένη προσέγγιση με την προβολή γραμμικοί μετασχηματισμοί από U σε V ως m\times n πίνακες. Η δυαδικότητα απλώς μεταφέρει τις μήτρες ενώ αφήνει τη μηχανή του ίδιου του πολλαπλασιασμού μήτρας αμετάβλητο. Στη συνέχεια, είναι άμεσο ότι Αυτή η λειτουργία είναι μια υποστροφή που αντιστρέφει τους χάρτες—το M:\Times n μήτρα γραμμικά μετατρέποντας έναν n-διάστατο χώρο U σε ένα m-διαστάσεων ένα V μεταφέρεται σε έναν πίνακα n\times m γραμμικά μετατρέποντας τον m-διάστατο χώρο V^* στον n-διάστατο χώρο U^*.UVm×nm×nnUmVn×mmV∗nU∗
4.2 Συνειρμικές Άλγεβρες
Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί f: V\rightarrow V σε ένα διανυσματικό χώρο V μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να πολλαπλασιαστούν με βαθμίδες, κατά σημείο σε κάθε περίπτωση, και ως εκ τούτου σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο. Όταν ο χώρος έχει πεπερασμένο διάσταση n, οι γραμμικοί μετασχηματισμοί μπορούν να αναπαρασταθούν ως n\times n πίνακες.f:V→VVnn×n
Επιπλέον, μπορούν να συντεθούν, από όπου σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο εξοπλισμένο με διγραμμική συνειρμική λειτουργία, δηλαδή σύνθεση. Μέσα Η πεπερασμένη διαστασιακή περίπτωση, η σύνθεση είναι απλώς η συνηθισμένη μήτρα προϊόν. Οι διανυσματικοί χώροι που είναι επιπλωμένοι με ένα τέτοιο γινόμενο αποτελούν συνειρμικές άλγεβρες. Μέχρι τον ισομορφισμό, όλα συνειρμικά οι άλγεβρες προκύπτουν με αυτόν τον τρόπο είτε πεπερασμένης είτε άπειρης διάστασης, παρέχοντας έναν ικανοποιητικό και διορατικό χαρακτηρισμό της έννοιας αντί ενός αξιωματικού χαρακτηρισμού, που δεν δίνεται εδώ.
Γνωστά παραδείγματα συνειρμικών αλγεβρών είναι τα πραγματικά, το σύνθετο αριθμούς, και τα τεταρτημόρια. Σε αντίθεση με τους διανυσματικούς χώρους, πολλοί μη ισομορφικοί Οι συνειρμικές άλγεβρες οποιασδήποτε δεδομένης διάστασης μεγαλύτερες από μία είναι δυνατός.
Μια κατηγορία συνειρμικών αλγεβρών που ενδιαφέρουν τους φυσικούς είναι αυτή της οι άλγεβρες Clifford. Άλγεβρες Clifford πάνω από τα πραγματικά (τα οποία ως οι διανυσματικοί χώροι είναι Ευκλείδειοι χώροι) γενικεύουν μιγαδικούς αριθμούς και quaternions επιτρέποντας σε οποιονδήποτε αριθμό τυπικών ποσοτήτων e ανάλογων με i = \sqrt{-1} να γειτνιάζουν με το πεδίο των πραγματικών. Το κοινό χαρακτηριστικό αυτών των ποσοτήτων είναι ότι το καθένα ικανοποιεί είτε e^2 = -1 είτε e^2 = 1. Ενώ υπάρχουν πάρα πολλά συνειρμικές άλγεβρες χαμηλών διαστάσεων, μόνο μερικές από αυτές προκύπτουν ως Άλγεβρες Clifford. Τα πραγματικά σχηματίζουν τον μοναδικό μονοδιάστατο Κλίφορντ άλγεβρα, ενώ το υπερβολικό επίπεδο, που ορίζεται από e^2 = 1, και το Το μιγαδικό επίπεδο, που ορίζεται από e^2 = -1, είναι τα δύο δισδιάστατα Άλγεβρες Clifford. Το υπερβολικό επίπεδο είναι απλώς το άμεσο τετράγωνο του το πραγματικό πεδίο, που σημαίνει ότι το γινόμενο του είναι συντεταγμένο, (α, b)(c, d) = (ac, bd), σε αντίθεση με εκείνο του μιγαδικού επιπέδου όπου ορίζεται από (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad+bc). Οι δύο τετραδιάστατες άλγεβρες Clifford είναι οι 2\φορές 2 μήτρες και τα τεταρτημόρια. Ενώ οι πίνακες 2\times 2 περιέχουν μηδέν διαιρέτες (μη μηδενικοί πίνακες των οποίων το γινόμενο είναι μηδέν), και έτσι σχηματίζουν μόνο ένα δακτύλιο, τα τεταρτημόρια δεν περιέχουν μηδενικούς διαιρέτες και έτσι σχηματίζουν μια διαίρεση δαχτυλίδι. Σε αντίθεση με τους μιγαδικούς αριθμούς, ωστόσο, τα τεταρτημόρια δεν σχηματίζονται ένα πεδίο επειδή ο πολλαπλασιασμός τους δεν είναι αντιμεταθετικός. Πολύπλοκος Ωστόσο, ο πολλαπλασιασμός καθιστά το μιγαδικό επίπεδο αντιμεταθετική διαίρεση δαχτυλίδι, δηλαδή, ένα πεδίο.eεγώ=√−1e2=−1e2=1e2=1e2=−1(ένας,b)(c,d)=(έναςc,bd)(ένας,b)(c,d)=(έναςc−bd,έναςd+bc)2×22×2
5. Αλγεβροποίηση των μαθηματικών
Ορισμένοι κλάδοι των μαθηματικών έχουν επωφεληθεί από το προοπτική της άλγεβρας. Κάθε αλγεβρική γεωμετρία και αλγεβρική Η συνδυαστική έχει ένα ολόκληρο περιοδικό αφιερωμένο σε αυτό, ενώ η αλγεβρική Η τοπολογία, η αλγεβρική λογική και η αλγεβρική θεωρία αριθμών έχουν όλα ισχυρά Εξής. Πολλοί άλλοι πιο εξειδικευμένοι τομείς των μαθηματικών έχουν ομοίως επωφελήθηκε.
5.1 Αλγεβρική γεωμετρία
Η αλγεβρική γεωμετρία αρχίζει με αυτό που αναφέραμε στην εισαγωγή ως σχήματα, για παράδειγμα γραμμές y = ax +b, κύκλοι x^2 +y^2 = r^2, σφαίρες x^2 +y^2 +z^2 = r^2, κωνικές τομές f(x, y) = 0 όπου f είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο στα x και y, τετραγωνικό επιφάνειες f(x, y, z) = 0 με f και πάλι τετραγωνική, και ούτω καθεξής.y=έναςx+bx2+y2=r2x2+y2+z2=r2f(x,y)=0fxyf(x,y,z)=0f
Είναι βολικό να συλλέγονται οι δύο πλευρές αυτών των εξισώσεων στο αριστερά έτσι ώστε η δεξιά πλευρά να είναι πάντα μηδέν. Μπορούμε τότε να ορίσουμε ένα σχήμα ή ποικιλία που αποτελείται από τις ρίζες ή τα μηδενικά ενός πολυώνυμο, ή γενικότερα τα κοινά μηδενικά ενός συνόλου Πολυώνυμα.
Η συνηθισμένη αναλυτική ή καρτεσιανή γεωμετρία διεξάγεται πάνω από τα πραγματικά. Η αλγεβρική γεωμετρία διεξάγεται συχνότερα πάνω από το συγκρότημα αριθμούς, ή γενικότερα πάνω από οποιοδήποτε αλγεβρικά κλειστό πεδίο. Ο Οι ποικιλίες που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο ονομάζονται affine ποικιλίες.
Μερικές φορές όμως το αλγεβρικό κλείσιμο δεν είναι επιθυμητό, για παράδειγμα όταν εργασία στο όριο της αλγεβρικής γεωμετρίας και της θεωρίας αριθμών όπου Το πεδίο μπορεί να είναι πεπερασμένο, ή οι λογικοί.
Πολλά είδη αντικειμένων χαρακτηρίζονται από τη δομή των χαρτών τους κρατήστε αμετάβλητο. Τα Posets μεταμορφώνονται μέσω μονότονων συναρτήσεων, αφήνοντας τη σειρά Αμετάβλητη. Οι άλγεβρες μετασχηματίζονται μέσω ομομορφισμών, αφήνοντας την αλγεβρική δομή αμετάβλητη. Στην αλγεβρική γεωμετρία οι ποικιλίες μετασχηματίζονται μέσω κανονικών n-ary συναρτήσεων f: A^n \rightarrow A, που ορίζονται ως συναρτήσεις που είναι τοπικά ορθολογικά πολυώνυμα σε n μεταβλητές. Τοπικά ορθολογικό σημαίνει ότι σε κάθε σημείο του τομέα του f υπάρχει μια γειτονιά στην οποία f είναι το λόγος δύο πολυωνύμων, ο παρονομαστής των οποίων είναι μη μηδενικός στο ότι γειτονιά.nf:Έναςn→Έναςnff
Αυτή η έννοια γενικεύεται σε κανονικές συναρτήσεις f: A^n \rightarrow A^m ορίζεται ως m-πλειάδες κανονικών n-ary συναρτήσεων.f:Έναςn→Έναςmmn
Λαμβάνοντας υπόψη δύο ποικιλίες V, V' σε A^n και A^m αντίστοιχα, a κανονική συνάρτηση από A^n έως A^m της οποίας ο περιορισμός σε V είναι μια συνάρτηση από V έως V' ονομάζεται κανονική συνάρτηση του ποικιλίες. Στη συνέχεια, η κατηγορία των ποικιλιών affine ορίζεται σε έχουν ως αντικείμενά του όλες τις ποικιλίες affine και ως μορφισμούς του όλα τακτικές λειτουργίες τους.V,V′ΈναςnΈναςmΈναςnΈναςmVVV′
Τα πολυώνυμα είναι συνεχή, θα περίμενε κανείς κανονικές συναρτήσεις μεταξύ των ποικιλιών να είναι επίσης συνεχής. Μια δυσκολία προκύπτει με το σχήματα ποικιλιών, όπου μπορεί να υπάρχουν ακμές, διασταυρώσεις και άλλα συμπτώματα μοναδικότητας. Αυτό που χρειάζεται εδώ είναι μια κατάλληλη τοπολογία από που να κρίνει τη συνέχεια.
Το κόλπο είναι να εργαστείτε όχι σε affine χώρο, αλλά προβολικό του χώρο. Για να απεικονίσει με τον Ευκλείδειο τριχώρο, το σχετικό προβολικός χώρος είναι η μοναδιαία σφαίρα με αναγνωρισμένα σημεία αντίποδων, σχηματίζοντας μια δισδιάστατη πολλαπλή. Ισοδύναμα αυτός είναι ο χώρος του όλες οι (μη προσανατολισμένες) γραμμές μέσω της προέλευσης. Δεδομένης μιας αυθαίρετης affine ο χώρος, ο σχετικός προβολικός χώρος του είναι ο χώρος όλων αυτών των γραμμών, νοείται ως πολλαπλή.
Η τοπολογία στον προβολικό χώρο κατάλληλη για αλγεβρική γεωμετρία είναι η τοπολογία Zariski, που ορίζεται όχι από τα ανοικτά σύνολά της, αλλά μάλλον από τα κλειστά σύνολά του, τα οποία θεωρούνται τα αλγεβρικά σύνολα, δηλαδή τα σύνολα που αποτελούν τα κοινά μηδενικά ενός συνόλου ομοιογενών Πολυώνυμα. Το κρίσιμο θεώρημα είναι τότε ότι οι κανονικοί χάρτες μεταξύ Οι ποικιλίες affine είναι συνεχείς σε σχέση με το Zariski τοπολογία.
5.2 Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Η αλγεβρική θεωρία αριθμών έχει υιοθετήσει αυτές τις γενικεύσεις της αλγεβρικής γεωμετρία. Μια κατηγορία ποικιλιών ιδιαίτερα που ήταν μεγάλη Σημασία στη θεωρία αριθμών είναι αυτή των ελλειπτικών καμπυλών.
Μια διάσημη επιτυχία της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών ήταν ο Andrew Η απόδειξη του Wiles για το λεγόμενο «τελευταίο» του Fermat θεώρημα». Αυτό είχε παραμείνει ένα ανοιχτό πρόβλημα για πάνω από τρεις και μισούς αιώνες.
5.3 Αλγεβρική τοπολογία
Η αλγεβρική τοπολογία αναλύει τις οπές και τα εμπόδια σε συνδεδεμένες τοπολογικοί χώροι. Τοπολόγος είναι κάποιος που φαντάζεται όλα τα αντικείμενα να είναι φτιαγμένο από άθραυστη αλλά πολύ εύκαμπτη ζύμη παιχνιδιού, και ως εκ τούτου δεν βλέπει την ανάγκη διάκρισης μεταξύ ενός φλιτζανιού καφέ και ενός ντόνατ επειδή το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο. Η τοπολογία ανησυχεί Με τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ φλιτζανιών καφέ με λαβές N, επιφανειών με n τρύπες και πιο περίπλοκων σχημάτων. Η αλγεβρική τοπολογία εκφράζει τις αναλλοίωτες τέτοιων σχημάτων όσον αφορά: τις ομοτοπικές τους ομάδες και τις ομάδες ομολογίας.nn
5.4 Αλγεβρική λογική
Η αλγεβρική λογική ξεκίνησε νωρίς με τον Boole εισαγωγή της άλγεβρας Boole σε ένα φυλλάδιο του 1847. Οι μέθοδοι Η σύγχρονη άλγεβρα άρχισε να εφαρμόζεται στην άλγεβρα Boole τον 20ο αιώνας. Η αλγεβρική λογική στη συνέχεια διεύρυνε τα ενδιαφέροντά της στην πρώτη τάξη λογική και τροπική λογική. Κεντρικές αλγεβρικές έννοιες στη λογική πρώτου βαθμού είναι υπερπροϊόντα, στοιχειώδης ισοδυναμία και στοιχειώδης και ψευδοστοιχειώδεις ποικιλίες. Οι κυλινδρικές άλγεβρες του Τάρσκι αποτελούν μια ιδιαίτερη αφηρημένη διατύπωση της λογικής πρώτου βαθμού σε Όροι διαγώνιων σχέσεων που κωδικοποιούν σχέσεις ισότητας και υποκατάστασης κωδικοποίηση μεταβλητών. Η τροπική λογική ως τμήμα της λογικής πρώτου βαθμού είναι έγινε αλγεβρική μέσω μονάδων Boolean.
6. Ελεύθερες Άλγεβρες
Δεδομένου οποιουδήποτε συστήματος όπως η ακέραια αριθμητική ή η πραγματική αριθμητική, μπορούμε γράψτε T για το σύνολο όλων των οριστικών όρων, όπως 1 + (2/3) που έχουν δημιουργηθεί από σταθερές και αποτελούν την οριστική γλώσσα, και T[V] για τη μεγαλύτερη αόριστη γλώσσα που επιτρέπει τις μεταβλητές που σχεδιάζονται από ένα σύνολο V στη θέση μερικών από τα σταθερά σύμβολα, με όρους όπως x + (2/y). Όταν το V περιέχει μόνο μία μεταβλητή "x", το T[\{"x"\}] συνήθως συντομεύεται σε T["x"] ή απλά T[x] που είναι συνήθως αναμφίβολος. Αυτή η σύμβαση επεκτείνεται στην άλγεβρα \Phi των όρων του T μαζί με τον κατάλογο των συμβόλων λειτουργίας του που θεωρούνται ως πράξεις συνδυασμού όρων· γράφουμε \Phi[V] και το ονομάζουμε άλγεβρα στο V. T1+(2/3)T[V]Vx+(2/y)V“x”T[{“x”}]T[“x”]T[xΦTΦ[VV
Αυτή η έννοια του όρου άλγεβρα είναι καθαρά συντακτική και περιλαμβάνει μόνο Τα σύμβολα λειτουργίας, οι σταθερές και οι μεταβλητές κάποιας γλώσσας. Ο Οι όροι 2 + 3 και 3 + 2 είναι διακριτοί. Ομοίως x + y και y + x είναι ξεχωριστοί όροι. Ως εκ τούτου, μπορούν να θεωρηθούν συγκεκριμένα Όροι.2+33+2x+yy+x
Τώρα, σε ένα σύμπαν όπως οι ακέραιοι, ορισμένοι συγκεκριμένοι όροι είναι: ισοδύναμο με την έννοια ότι αξιολογούν πάντα το ίδιο στοιχείο του σύμπαντος ανεξάρτητα από τις τιμές της μεταβλητής τους, για Παράδειγμα x + y και y + x. Είναι βολικό να συλλέγετε ισοδύναμους συγκεκριμένους όρους σε ισοδυναμίας, καθεμία από τις οποίες είναι: να θεωρηθεί ως αφηρημένος όρος.x+yy+x
Ως απλό παράδειγμα αφηρημένων όρων θεωρήστε γραμμικά πολυώνυμα η μορφή ax + από όπου a και b είναι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, Για παράδειγμα, 7x + 3y. Το σύνολο όλων αυτών των πολυωνύμων περιλαμβάνει 0 και κλείνει κάτω από πολυωνυμική πρόσθεση, μια συνειρμική και αντιμεταθετική λειτουργία. Αυτό το σετ μαζί με τη λειτουργία του πρόσθεση και το μηδενικό πολυώνυμο επομένως αποτελεί αντιμεταθετικό μονοειδές.έναςx+byέναςb7x+3y
Αυτό το μονοειδές είναι ένα παράδειγμα ελεύθερης άλγεβρας, δηλαδή της ελεύθερης αντιμεταθετικό μονοειδές σε δύο γεννήτριες x και y. Τι το κάνει ελεύθερο είναι ότι δεν ικανοποιεί άλλους νόμους εκτός από εκείνους ενός αντιμεταθετικού μονοειδές. Δεν είναι όμως ένα ελεύθερο μονοειδές επειδή ικανοποιεί το αντιμεταθετικό δίκαιο. Το ελεύθερο μονοειδές σε δύο γεννήτριες x και y είναι Αντίθετα, το σύνολο όλων των πεπερασμένων συμβολοσειρών πάνω από το αλφάβητο δύο γραμμάτων \{x,y\}.xyxy{x,y}
Όταν η αντιμεταθετικότητα εισάγεται ως νόμος, προσδιορίζει το προηγουμένως διακριτές συμβολοσειρές xy και yx ως ενιαίο πολυώνυμο. Γενικότερα, προσδιορίζονται δύο συμβολοσειρές με τον ίδιο αριθμό xs και ys.xyyxxy
Τα ελεύθερα μονοειδή και τα ελεύθερα αντιμεταθετικά μονοειδή είναι παραδείγματα ελεύθερων C-αλγεβρών όπου η C είναι μια κατηγορία αλγεβρών. Σε αυτά τα δύο παραδείγματα η κατηγορία C είναι αντίστοιχα αυτή των μονοειδών και αντιμεταθετικά μονοειδή.CCC
Μια ελεύθερη C-άλγεβρα είναι μια άλγεβρα που ζει στα σύνορα του σύνταξη και σημασιολογία. Από τη σημασιολογική πλευρά είναι μέλος του C. Επί Η συντακτική πλευρά τα στοιχεία της συμπεριφέρονται σαν όροι που υπόκεινται στους νόμους του C, αλλά κανένας άλλος νόμος δεν μπορεί να εκφραστεί με τις γεννήτριες του. Η αντιμεταθετικότητα xy = yx εκφράζεται με δύο γεννήτριες και έτσι a Ωστόσο, το ελεύθερο μονοειδές σε δύο ή περισσότερες γεννήτριες δεν μπορεί να είναι αντιμεταθετικό το ελεύθερο μονοειδές σε μία γεννήτρια, δηλαδή το σύνολο όλων των πεπερασμένων χορδών Πάνω από ένα αλφάβητο ενός γράμματος σχηματίζει ένα αντιμεταθετικό μονοειδές σε ένα γεννήτρια.CCCxy=yx
Από τη συντακτική πλευρά, η ελεύθερη C-άλγεβρα Β σε ένα σύνολο Χ προκύπτει ως πηλίκο του όρου άλγεβρα που σχηματίζεται από το Χ (θεωρείται ως ένα σύνολο μεταβλητών) χρησιμοποιώντας τα σύμβολα λειτουργίας και τις σταθερές κοινές στις άλγεβρες του C. Το πηλίκο προσδιορίζει εκείνους τους όρους που έχουν την ίδια τιμή για όλες τις άλγεβρες Α του C και όλες τις αποτιμήσεις εκχωρώντας τιμές στο A στις μεταβλητές του X. Αυτό εκτελεί ακριβώς αρκετές ταυτίσεις για να ικανοποιήσουν κάθε νόμο του C (έτσι κάνοντας αυτό το πηλίκο C-άλγεβρα) διατηρώντας παράλληλα το Η συντακτική ουσία του αρχικού όρου άλγεβρα κατά μία έννοια έγινε περισσότερο ακριβές από την επόμενη παράγραφο.CBXXCΈναςCΈναςXCC
(Δεδομένου ότι η έννοια ενός όρου άλγεβρα μπορεί να φαίνεται λίγο κυκλική στο μέρη, μια πιο λεπτομερής περιγραφή μπορεί να αποσαφηνίσει την έννοια. Δεδομένης της γλώσσα της C, δηλαδή τα σύμβολα λειτουργίας και τα σταθερά σύμβολα κοινό στις άλγεβρες του C, μαζί με ένα σύνολο X μεταβλητών, Πρώτα σχηματίζουμε το υποκείμενο σύνολο της άλγεβρας και στη συνέχεια ερμηνεύουμε τα σύμβολα της γλώσσας ως λειτουργίες και αξίες σε αυτό το σύνολο. Το ίδιο το σετ αποτελείται από τους όρους που χτίστηκαν με τον συνήθη τρόπο από αυτούς μεταβλητές και σταθερά σύμβολα που χρησιμοποιούν τα σύμβολα λειτουργίας. σε αυτό Αίσθηση ότι αυτά τα στοιχεία είναι συντακτικά. Αλλά τώρα αλλάζουμε το σημείο μας αντιμετωπίζοντας αυτά τα στοιχεία ως σημασιολογικά, και κοιτάζουμε προς το σταθερά σύμβολα και σύμβολα λειτουργίας της γλώσσας ως συντακτικής οντότητες που πρέπει να ερμηνευθούν σε αυτό το σημασιολογικό πεδίο (αν και όρους) προκειμένου να μετατραπεί αυτό το σύνολο όρων σε άλγεβρα όρων. Εμείς Ερμηνεύστε κάθε σύμβολο σταθεράς ως τον εαυτό του. Και ερμηνεύουμε κάθε σύμβολο n-ary λειτουργίας f ως την n-ary λειτουργία που παίρνει οποιουσδήποτε όρους n t_1 , \ldots ,t_n ως n ορίσματα και Επιστρέφει τον μεμονωμένο όρο f(t_1 , \ldots ;t_n). Σημειώστε ότι αυτό το Η ερμηνεία του f επιστρέφει μόνο έναν όρο, δεν το κάνει πραγματικά να το χτίσει. Το κτίριο όλων των όρων ολοκληρώθηκε όταν παρήγαγε το υποκείμενο σύνολο της άλγεβρας.)CCXnfnnt1,…,tnnf(t1,…,tn)f
Από τη σημασιολογική πλευρά, μια C-άλγεβρα Β μαζί με ένα υποσύνολο Χ του Β που θεωρείται ως μεταβλητές λέγεται ότι είναι μια ελεύθερη C-άλγεβρα στο Χ, ή παράγεται ελεύθερα από το Χ, όταν, δίνεται οποιαδήποτε C-άλγεβρα A, οποιαδήποτε αποτίμηση στο A των μεταβλητών στο X (δηλαδή, οποιαδήποτε συνάρτηση f: X\rightarrow A) επεκτείνεται μοναδικά σε ομομορφισμό h: B\rightarrow A. (Λέμε ότι h: Το B\rightarrow A επεκτείνει το f: X\rightarrow A όταν ο περιορισμός του h στο X είναι f.)CBXBCXXCΈναςΈναςXf:X→Έναςh:B→Έναςh:B→Έναςf:X→ΈναςhXf
Ως βολική στενογραφία, μια ελεύθερη C-άλγεβρα σε καμία γεννήτρια δεν μπορεί ονομάζεται επίσης αρχική C-άλγεβρα. Μια αρχική C-άλγεβρα έχει ακριβώς ένας ομομορφισμός σε κάθε C-άλγεβρα.CCCC
Πριν προχωρήσουμε στα παραδείγματα, αξίζει να επισημάνουμε ένα Σημαντική βασική ιδιότητα των ελεύθερων αλγεβρών όπως ορίζεται από τη σημασιολογία πλευρά.
Δύο ελεύθερες άλγεβρες Β, Β' στα αντίστοιχα σύνολα γεννητριών Χ, Υ που έχουν την ίδια πληθικότητα είναι ισομορφικές.B,B′X,Y
Ως απόδειξη, επιλέξτε οποιαδήποτε αμφιβολία f: X\rightarrow Y. Αυτό, του αντίστροφο f': Y\rightarrow X και οι δύο συναρτήσεις ταυτότητας στο αντίστοιχα X και Y, σχηματίζουν ένα σύστημα τεσσάρων λειτουργιών κλειστό υπό σύνθεση. Κάθε μία από αυτές τις λειτουργίες είναι από ένα σύνολο γεννήτριας σε άλγεβρα και ως εκ τούτου έχει μια μοναδική επέκταση σε έναν ομομορφισμό. Αυτοί οι τέσσερις ομομορφισμοί είναι επίσης κλειστοί κάτω από τη σύνθεση. Το ένα από το B στον εαυτό του επεκτείνει τη συνάρτηση ταυτότητας στο X και επομένως πρέπει να είναι ο ομομορφισμός ταυτότητας στο Β (δεδομένου ότι το τελευταίο υπάρχει και ο περιορισμός του στο X είναι η συνάρτηση ταυτότητας στο X). Ομοίως, ο ομομορφισμός από το G στο G είναι μια ταυτότητα λειτουργία. Ως εκ τούτου, οι ομομορφισμοί μεταξύ B και G συνθέτουν σε είτε σειρά σε ταυτότητες, γεγονός που τις καθιστά ισομορφισμούς. Αλλά αυτό είναι τι σημαίνει για το Β και το Β' να είναι ισομορφικά.f:X→Yf′:Y→XXYBXBXX)GGBGBB′
Αυτό το γεγονός μας επιτρέπει να πούμε την ελεύθερη άλγεβρα σε ένα δεδομένο σύνολο, Θεωρώντας τις ισομορφικές άλγεβρες ως «ηθικά» το ίδιος. Αν δεν συνέβαινε αυτό, η κατασκευή του πηλίκου μας θα ήταν ατελής καθώς παράγει μια μοναδική ελεύθερη άλγεβρα, ενώ τα παραπάνω Ο ορισμός της ελεύθερης άλγεβρας επιτρέπει οποιαδήποτε άλγεβρα ισομορφική με αυτή παράγεται από την κατασκευή πηλίκου για να θεωρηθεί ελεύθερη. Δεδομένου ότι όλα οι ελεύθερες άλγεβρες στο X είναι ισομορφικές, η κατασκευή πηλίκου είναι ως καλό όπως οποιοδήποτε, και επιπλέον είναι ένας τρόπος απόδειξης της ύπαρξής τους. Αυτό αποδεικνύει επίσης ότι η επιλογή του συνόλου των μεταβλητών δεν έχει σημασία εκτός από την πληθικότητα του, όπως θα πρότεινε η διαίσθηση.X
6.1 Ελεύθερα μονοειδή και ομάδες
Πάρτε το C για να είναι η κατηγορία των μονοειδών. Ο όρος άλγεβρα καθορίζεται από Το σύμβολο δυαδικής λειτουργίας και το σύμβολο σταθεράς για την ταυτότητα μπορούν να να θεωρούνται δυαδικά δέντρα με μεταβλητές και αντίγραφα της σταθεράς σύμβολο στα φύλλα. Ο προσδιορισμός των δέντρων σύμφωνα με τη συσχέτιση έχει Το αποτέλεσμα της ισοπέδωσης των δέντρων σε λέξεις που αγνοούν τη σειρά στο που εφαρμόστηκε η λειτουργία (χωρίς ωστόσο να αντιστραφεί η σειρά τυχόν επιχειρημάτων). Αυτό παράγει λέξεις πάνω από το αλφάβητο X μαζί με την ταυτότητα. Στη συνέχεια, οι νόμοι περί ταυτότητας διαγράφουν το ταυτότητες, εκτός από την περίπτωση λέξης που αποτελείται μόνο από το σύμβολο ταυτότητας, το οποίο θεωρούμε ότι είναι η κενή λέξη.CX
Έτσι, το μονοειδές των πεπερασμένων λέξεων πάνω από ένα αλφάβητο Χ είναι το ελεύθερο μονοειδές στο X.XX
Μια άλλη αναπαράσταση του ελεύθερου μονοειδούς σε n γεννήτριες είναι ως άπειρο δέντρο, κάθε κορυφή του οποίου έχει n απογόνους, ένα για κάθε γράμμα του αλφαβήτου, με κάθε άκρη επισημασμένη με το αντίστοιχη επιστολή. Κάθε κορυφή v αντιπροσωπεύει τη λέξη που αποτελείται των γραμμάτων που συναντώνται κατά μήκος της διαδρομής από τη ρίζα έως το v. Ο Η αλληλουχία των U και V είναι η κορυφή που επιτυγχάνεται με τη λήψη το υποδέντρο του οποίου η ρίζα είναι η κορυφή u, παρατηρώντας ότι αυτό το δέντρο είναι ισομορφικό με το πλήρες δέντρο, και εντοπίζοντας το V σε αυτό το υποδέντρο ως αν και ήταν το πλήρες δέντρο.nnvvuvuv
Αν αγνοήσουμε την κατεύθυνση και τις ετικέτες των άκρων σε αυτό το δέντρο, μπορούμε Προσδιορίστε ακόμα τη ρίζα: είναι η μόνη κορυφή με n ακμές περιστατικό σε αυτό, όλες οι άλλες κορυφές έχουν n + 1, δηλαδή αυτό εισερχόμενη άκρη και τα ν εξερχόμενα.nn+1n
Το ελεύθερο αντιμεταθετικό μονοειδές σε ένα σύνολο είναι εκείνο το μονοειδές του οποίου το μονοειδές Οι γεννήτριες συμπεριφέρονται σαν γράμματα όπως και για τα ελεύθερα μονοειδή (συγκεκριμένα εξακολουθούν να είναι άτομα), αλλά τα οποία ικανοποιούν τον πρόσθετο νόμο uv = vu. Κάνουμε περαιτέρω ταυτοποιήσεις, π.χ. "σκύλος" και "dgo". Η σειρά των γραμμάτων σε μια λέξη είναι Τώρα άυλο, το μόνο που έχει σημασία είναι πόσα αντίγραφα υπάρχουν από το καθένα γράμμα. Αυτές οι πληροφορίες μπορούν να αναπαρασταθούν ως n-πλειάδα φυσικοί αριθμοί όπου n είναι το μέγεθος του αλφαβήτου. Έτσι, η ελεύθερη Το αντιμεταθετικό μονοειδές στις n γεννήτριες είναι N^n, η άλγεβρα των n-πλειάδας των φυσικών αριθμών υπό πρόσθεση.uv=vunnnNnn
Μπορεί επίσης να ληφθεί από την αναπαράσταση δέντρου του ελεύθερου μονοειδές με αναγνώριση κορυφών. Εξετάστε την περίπτωση n = 2 από δύο γράμματα. Δεδομένου ότι οι ταυτοποιήσεις δεν αλλάζουν το μήκος της λέξης, όλες Οι ταυτοποιήσεις είναι κορυφές στο ίδιο βάθος από τη ρίζα. Εμείς Εκτελέστε όλες τις ταυτοποιήσεις ταυτόχρονα ως εξής. Σε κάθε κορυφή v, προσδιορίστε v_{01} και v_{10} και τα υποδέντρα τους. Ενώ Πριν υπήρχαν 2^n κορυφές σε βάθος n, τώρα υπάρχουν n+1. Επιπλέον, αντί για δέντρο έχουμε το πάνω δεξιά τεταρτημόριο του αεροπλάνου, δηλαδή N^2, περιστρεφόμενο κατά 135 μοίρες δεξιόστροφα, με κάθε κορυφή v στην κορυφή ενός διαμαντιού του οποίου το άλλο Οι κορυφές είναι v_0 και v_1 στο επόμενο επίπεδο προς τα κάτω και το αναγνωρισμένο ζεύγος v_{01} = v_{10} κάτω και από τα δύο.n=2vv01v102nnn+1N2vv0v1v01=v10
Για να σχηματίσετε την ελεύθερη ομάδα σε n γεννήτριες, σχηματίστε πρώτα το ελεύθερο μονοειδές σε γεννήτριες 2n, με γεννήτριες οργανωμένες σε συμπληρωματικές Δημιουργεί ζεύγη μεταξύ τους το αντίστροφο του άλλου και, στη συνέχεια, διαγράφει όλα τα γειτονικά συμπληρωματικά ζεύγη από όλες τις λέξεις.n2n
Αυτή η άποψη δεν είναι ιδιαίτερα διορατική. Ο ομόλογος όμιλος του Η αναπαράσταση δέντρων κάνει καλύτερη δουλειά παρουσιάζοντας μια ελεύθερη ομάδα. Εξετάστε την ελεύθερη ομάδα στις n = 2 γεννήτριες Α και Β. Εμείς ξεκινήστε με το ελεύθερο μονοειδές σε 4 γεννήτριες A, B, a, b όπου a είναι το αντίστροφο του A και b αυτό του B. Κάθε κορυφή αυτού Το δέντρο έχει 4 απογόνους. Έτσι η ρίζα έχει βαθμό 4 και το υπόλοιπο Οι κορυφές έχουν βαθμό 5: κάθε κορυφή εκτός από τη ρίζα έχει μία ακμή Πηγαίνοντας μέσα, πείτε τη γεννήτρια Α, και τέσσερις έξω. Εξετάστε οποιοδήποτε nonroot Κορυφή v. Το αποτέλεσμα της διαγραφής γειτονικών συμπληρωματικών ζευγών είναι για να προσδιορίσετε τον άμεσο πρόγονο του V με έναν από τους τέσσερις Απόγονοι του V, δηλαδή αυτός που κάνει το μονοπάτι από το πρόγονος στον απόγονο ένα συμπληρωματικό ζεύγος. Για κάθε nonroot Vertex V Αυτές οι ταυτοποιήσεις μειώνουν το βαθμό V από 5 σε 4. Η ρίζα παραμένει στο βαθμό 4.n=2ΈναςBΈνας,B,ένας,bέναςΈναςbBέναςvvvvv
Έτσι τώρα έχουμε ένα άπειρο γράφημα, κάθε κορυφή του οποίου έχει βαθμό 4. Σε αντίθεση με το δέντρο για το ελεύθερο μονοειδές σε 2 γεννήτριες, όπου η ρίζα είναι τοπολογικά διαφορετικό από τις άλλες κορυφές, το δέντρο για την ελεύθερη Η ομάδα σε 2 γεννήτριες είναι εντελώς ομοιογενής. Έτσι, αν πετάξουμε τις ετικέτες κορυφής και βασίζονται μόνο στις ετικέτες άκρων για πλοήγηση, οποιαδήποτε Η κορυφή μπορεί να ληφθεί ως ταυτότητα της ομάδας.
Αυτή η ομοιογένεια εξακολουθεί να ισχύει για την ελεύθερη ομάδα abelian στις 2 γεννήτριες, των οποίων οι κορυφές εξακολουθούν να είναι βαθμού 4. Ωστόσο, η Πρόσθετες ταυτοποιήσεις το μετατρέπουν από δέντρο (ένα γράφημα χωρίς κύκλους) σε ένα πλέγμα του οποίου οι κορυφές είναι τα σημεία πλέγματος του επιπέδου. Δηλαδή, η ελεύθερη αβελιανή ομάδα σε 2 γεννήτριες είναι Z^2, και σε n γεννήτριες Z^n. Οι άκρες είναι τα τμήματα γραμμής που ενώνουν γειτονικά σημεία πλέγματος.Z2nZn
6.2 Ελεύθεροι δακτύλιοι
Χωρίς γεννήτριες το ελεύθερο μονοειδές, η ελεύθερη ομάδα και ο ελεύθερος δακτύλιος είναι όλα Η άλγεβρα ενός στοιχείου που αποτελείται μόνο από την προσθετική ταυτότητα 0. Ένας Δαχτυλίδι με ταυτότητα σημαίνει να έχεις μια πολλαπλασιαστική ταυτότητα, δηλαδή, ένα λέξη \varepsilon. Αλλά αυτό κάνει \varepsilon μια γεννήτρια για Η ομάδα προσθέτων του δακτυλίου και η ελεύθερη ομάδα Abelian σε ένα γεννήτρια είναι οι ακέραιοι. Έτσι, το ελεύθερο δαχτυλίδι με ταυτότητα στο όχι γεννήτριες είναι οι ακέραιοι κάτω από την πρόσθεση και τώρα πολλαπλασιασμός.εε
Ο ελεύθερος δακτύλιος σε μια γεννήτρια x πρέπει να περιλαμβάνει x^2, x^3 κ.λπ. με πολλαπλασιασμό, αλλά αυτά μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν με αποτέλεσμα πολυώνυμα όπως 7x^3 -3x^2 +2x αλλά χωρίς σταθερό όρο, με εξαίρεση το ίδιο το 0. Ο νόμος περί διανομής για τους δακτυλίους σημαίνει: ότι ένας όρος όπως (7x+x^2) (2x^3 +x) μπορεί να επεκταθεί ως 7x^2 +x^3 +14x^4 +2x^5. Θα πρέπει τώρα να καταστεί σαφές ότι αυτά είναι δίκαια συνηθισμένα πολυώνυμα χωρίς σταθερό όρο. Ειδικότερα, είμαστε λείπει το πολυώνυμο μηδενικού βαθμού 1 και έτσι αυτός ο δακτύλιος δεν έχει πολλαπλασιαστική ταυτότητα. Ωστόσο, είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος, παρόλο που Δεν το διευκρινίσαμε αυτό. Ο ελεύθερος δακτύλιος με ταυτότητα σε μία γεννήτρια εισάγει το 1 ως πολλαπλασιαστική ταυτότητα και γίνεται το συνηθισμένο Πολυώνυμα μιας μεταβλητής από τώρα μπορούμε να σχηματίσουμε όλους τους ακέραιους. Ακριβώς Όπως και με τα μονοειδή, ο ελεύθερος δακτύλιος με ταυτότητα σε δύο γεννήτριες δεν είναι αντιμεταθετική, με τα πολυώνυμα xy και yx να είναι διακριτά. Ο Ωστόσο, ελεύθερος αντιμεταθετικός δακτύλιος με ταυτότητα σε δύο γεννήτριες αποτελείται από τα συνηθισμένα πολυώνυμα δύο μεταβλητών πάνω από το Ακέραιοι.xx2,x37x3−3x2+2x(7x+x2)(2x3+x)7x2+x3+14x4+2x5xyyx
6.3 Ελεύθερες συνδυαστικές δομές
Από τα παραδείγματα μέχρι τώρα θα μπορούσε κανείς να συμπεράνει ότι όλες οι ελεύθερες άλγεβρες στο Μία ή περισσότερες γεννήτριες είναι άπειρες. Αυτό σε καμία περίπτωση δεν είναι πάντα το υπόθεση; Ως αντιπαραδείγματα μπορούμε να επισημάνουμε έναν αριθμό κατηγοριών: σύνολα, αιχμηρά σύνολα, δικέφαλα σύνολα, γραφήματα, μη κατευθυνόμενα γραφήματα, Boolean άλγεβρες, διανεμητικά πλέγματα κ.λπ. Κάθε ένα από αυτά σχηματίζει ένα τοπικό πεπερασμένη ποικιλία, όπως ορίστηκε νωρίτερα.
Ένα μυτερό σύνολο είναι μια άλγεβρα με μία σταθερά, ας πούμε c. Το δωρεάν Το μυτερό σύνολο στα X και Y έχει τρία στοιχεία, X, Y και C. Ένα αμφίδρομο σύνολο είναι μια άλγεβρα με δύο σταθερές c και d, και το ελεύθερο διττό σύνολο στα x και y έχει τότε τέσσερα στοιχεία, x, y, c και d.cxyx,yccdxyx,y,cd
Γραφήματα, του προσανατολισμένου είδους που προκύπτουν ας πούμε θεωρία αυτομάτων όπου πολλαπλές ακμές μπορούν να συνδέσουν τις ίδιες δύο κορυφές, μπορούν να οργανωθούν ως άλγεβρες που έχουν δύο μοναδιαίες πράξεις s και t που ικανοποιούν s(s(x)) = t(s(x)) = s(x) και t(t(x)) = s(t(x)) = t(x). Ο Το ελεύθερο γράφημα σε μία γεννήτρια x έχει τρία στοιχεία, x, s(x) και t(x), που αποτελούν αντίστοιχα μια ακμή και τα δύο τελικά σημεία ή κορυφές της. Σε αυτό το πλαίσιο, οι κορυφές είναι τα στοιχεία ικανοποιώντας s(x) = x (και επομένως t(x) = x αφού x = s(x) = t(s(x)) = t(x))· Όλα τα άλλα στοιχεία αποτελούν ακμές. Το ελεύθερο γράφημα Στις γεννήτριες n αποτελείται από n τέτοιες άκρες, όλες ανεξάρτητες. Άλλα γραφήματα προκύπτουν από τον προσδιορισμό στοιχείων. Δεν έχει νόημα προσδιορίζοντας μια άκρη είτε με μια άλλη άκρη είτε με μια κορυφή από τότε απλά απορροφά το πρώτο άκρο στη δεύτερη οντότητα. Αυτό αφήνει μόνο Κορυφές; Ο προσδιορισμός δύο κορυφών δίνει μια ενιαία κορυφή κοινή για δύο ακμές, ή στην ίδια άκρη στην αναγνώριση s(x) = t(x) δημιουργώντας έναν αυτοβρόχο.sts(s(x))=t(s(x))=s(x)t(t(x))=s(t(x))=t(x)xx,s(x)t(x)s(x)=xt(x)=xx=s(x)=t(s(x))=t(x)nns(x)=t(x)
Ο όρος "προσανατολισμένος" πρέπει να προτιμάται από "κατευθυνόμενη" επειδή ένα κατευθυνόμενο γράφημα όπως γίνεται κατανοητό στο Η συνδυαστική είναι ένα προσανατολισμένο γράφημα με την πρόσθετη ιδιότητα που αν s(x) = s(y) και t(x) = t(y) τότε x = y· Δηλαδή, μόνο Επιτρέπεται μία ακμή μεταξύ δύο κορυφών σε μια δεδομένη κατεύθυνση.s(x)=s(y)t(x)=t(y)x=y
Τα μη προσανατολισμένα γραφήματα ορίζονται όπως για γραφήματα με πρόσθετη μοναδιαία Λειτουργία G που ικανοποιεί G(G(X)) = X και S(G(X)) = T(X) (από όπου S(X) = S(G(G(G(X))) = T(G(X)))). Το ελεύθερο μη κατευθυνόμενο γράφημα στο x αποτελείται από x, s(x), t(x) και g(x), με το ζεύγος x, ζ(x) που αποτελούν τις δύο λωρίδες μονής κατεύθυνσης ενός αυτοκινητόδρομου δύο λωρίδων· μεταξύ s(x) = t(g(x)) και t(x) = s(g(x)). Ταυτοποίηση Τα στοιχεία των μη κατευθυνόμενων γραφημάτων λειτουργούν ως προς τον προσανατολισμό τους αντίστοιχοι: αξίζει μόνο να εντοπιστούν κορυφές. Ωστόσο, υπάρχει Μια ενδιαφέρουσα συστροφή εδώ: οι κορυφές μπορούν να είναι δύο ειδών, αυτές ικανοποιώντας x = g(x) και εκείνες που δεν είναι. Το τελευταίο είδος κορυφής είναι Τώρα ασύμμετρη: προσδιορίζεται μία κατεύθυνση της αμφίδρομης ακμής με τις κορυφές του, ενώ το άλλο σχηματίζει έναν προσανατολισμένο βρόχο στο αίσθηση ότι η άλλη του κατεύθυνση είναι μια κορυφή. Αυτό το φαινόμενο δεν το κάνει προκύπτουν για μη κατευθυνόμενα γραφήματα που ορίζονται ως εκείνα που ικανοποιούν "αν s(x) = s(y) και t(x) = t(y) τότε x = y".gg(g(x))=xs(g(x))=t(x)s(x)=s(g(g(x)))=t(g(x)))xx,s(x),t(x)g(x)x,g(x)s(x)=t(g(x))t(x)=s(g(x)x=g(x)s(x)=s(y)t(x)=t(y)x=y
6.4 Ελεύθερες λογικές δομές
Οι άλγεβρες Boole ορίζονται παραδοσιακά αξιωματικά ως συμπληρωμένα διανεμητικά πλέγματα, τα οποία έχουν το πλεονέκτημα να δείχνουν ότι αποτελούν μια ποικιλία, και επιπλέον μια πεπερασμένα αξιωματοποιήσιμη Ένα. Ωστόσο, οι άλγεβρες Boole είναι τόσο θεμελιώδεις από μόνες τους ότι, αντί να μπει στον κόπο να ορίσει πλέγμα, διανεμητική, και συμπληρώνεται μόνο για το σκοπό αυτό, είναι ευκολότερο καθώς και περισσότερο διορατικό για να τα αποκτήσετε από την αρχική άλγεβρα Boolean. Αυτό αρκεί να το ορίσουμε ως το σύνολο δύο στοιχείων \{0, 1\}, το σταθερές (μηδενικές πράξεις) 0 και 1, και οι δυαδικές πράξεις 2^{2^2} = 16. Μια άλγεβρα Boole είναι τότε οποιαδήποτε άλγεβρα με εκείνους 16 πράξεις και δύο σταθερές που ικανοποιούν τις εξισώσεις που ικανοποιούνται από την αρχική άλγεβρα Boolean.{0,1}222=16
Μια σχεδόν οριστική ιδιότητα της κλάσης των άλγεβρες Boole είναι ότι τα πολυώνυμά τους στην αρχική άλγεβρα Boole είναι όλα τα πράξεις σε αυτή την άλγεβρα. Η παγίδα είναι ότι η ασυνεπής τάξη που αποτελείται μόνο από το ένα στοιχείο ή την ασυνεπή άλγεβρα έχει επίσης αυτό το ακίνητο. Ωστόσο, αυτή η κατηγορία αποκλείεται εύκολα προσθέτοντας ότι Η άλγεβρα Boole είναι συνεπής. Αλλά μόλις και μετά βίας - προσθέτοντας οποιοδήποτε νέο εξίσωση στην άλγεβρα Boole (χωρίς εισαγωγή νέων πράξεων) αξιωματοποιεί την ασυνεπή άλγεβρα.
Ο Sheffer έχει δείξει ότι οι σταθερές και οι 16 πράξεις μπορούν να είναι παράγονται ως πολυώνυμα σε μία μόνο σταθερά, η οποία μπορεί να είναι 0 ή 1, και μία δυαδική πράξη, η οποία μπορεί να είναι NAND, \neg(x\wedge y), ή ΟΎΤΕ, \neg(x\vee y). Κάθε τέτοιο επαρκές σύνολο ονομάζεται βάση. Στο ίδιο μήκος κύματος ο Στόουν έχει δείξει ότι ο συνδυασμός, αποκλειστικό-ή, και η σταθερά 1 αποτελούν μια βάση. Η σημασία της Η βάση του Στόουν πάνω από του Σέφερ είναι αυτή Άλγεβρες Boole οργανωμένη με αυτές τις λειτουργίες ικανοποιούν όλα τα αξιώματα για μια αντιμεταθετικός δακτύλιος με ταυτότητα με συνδυασμό ως πολλαπλασιασμό και αποκλειστικό-ή ως πρόσθεση, καθώς και ο νόμος x^2 = 1. Οποιοδήποτε δαχτυλίδι Η ικανοποίηση αυτής της τελευταίας προϋπόθεσης ονομάζεται δακτύλιος Boolean. Οι δακτύλιοι Boolean είναι ισοδύναμοι με τις άλγεβρες Boole με την έννοια ότι Έχουν τα ίδια πολυώνυμα.¬(x∧y)¬(x∨y)x2=1
Ένα άτομο άλγεβρας Boole είναι ένα στοιχείο x τέτοιο ώστε για όλα τα y, x\σφήνα y είναι είτε x είτε 0. Μια άλγεβρα Boole χωρίς άτομα είναι ένα χωρίς άτομα.xy,x∧yx
Υπάρχει ακριβώς μία άλγεβρα Boole πληθικότητας, κάθε πεπερασμένη δύναμη του 2, και είναι ισομορφικό με την άλγεβρα Boole ενός συνόλου ισχύος 2^X αυτής της πληθικότητας κάτω από τις καθορισμένες πράξεις της ένωσης, τομή και συμπλήρωμα σε σχέση με το Χ. Ως εκ τούτου, όλα πεπερασμένα Οι άλγεβρες Boole έχουν πληθικότητα δύναμη 2. Αυτή η κατάσταση αλλάζει με άπειρες άλγεβρες Boolean. ειδικότερα μετρήσιμη Boolean Άλγεβρες υπάρχουν. Μια τέτοια είναι η ελεύθερη άλγεβρα Boole σε μετρήσιμα πολλά γεννήτριες, η οποία είναι η μόνη μετρήσιμη άλγεβρα Boolean χωρίς άτομα. Ο πεπερασμένα και πεπερασμένα (συμπλήρωμα ενός πεπερασμένου συνόλου) υποσύνολα του συνόλου Ν των φυσικών αριθμών σχηματίζουν μια υποάλγεβρα του συνόλου ισχύος Boolean άλγεβρα 2^N δεν είναι ισομορφική με την ελεύθερη άλγεβρα Boolean, αλλά έχει άτομα, δηλαδή τα σύνολα singleton.2XXN2N
Η ελεύθερη άλγεβρα Boole F(n) σε n γεννήτριες αποτελείται από όλες τις 2^2 n n-ary πράξεις στην άλγεβρα Boolean δύο στοιχείων. Επομένως, οι άλγεβρες Boole σχηματίζουν μια τοπικά πεπερασμένη ποικιλία.F(n)n22nn
Η εξισωτική θεωρία των διανεμητικών πλεγμάτων λαμβάνεται από αυτό των άλγεβρες Boole επιλέγοντας ως πράξεις του μόνο το μονότονο δυαδικές πράξεις στην άλγεβρα δύο στοιχείων, παραλείποντας τις σταθερές. Αυτές είναι οι λειτουργίες με την ιδιότητα που εάν κάποιο από τα ορίσματα είναι Άλλαξε από 0 σε 1, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει από 1 σε 0. Ένας το διανεμητικό πλέγμα είναι οποιοδήποτε μοντέλο αυτών Εξισώσεις Boolean μεταξύ Όροι που έχουν δημιουργηθεί αποκλειστικά με μονότονες δυαδικές πράξεις. Ως εκ τούτου, κάθε Η άλγεβρα Boole είναι ένα διανεμητικό πλέγμα.
Τα διανεμητικά πλέγματα μπορούν να είναι αυθαίρετα "λεπτά". Στο ακραία, οποιαδήποτε αλυσίδα (γραμμική ή ολική τάξη, π.χ. τα πραγματικά κανονικά διατεταγμένα) σύμφωνα με τις συνήθεις λειτουργίες των μέγιστων και ελάχιστων μορφών α διανεμητικό πλέγμα. Δεδομένου ότι έχουμε παραλείψει τις σταθερές, αυτό περιλαμβάνει το κενό πλέγμα, το οποίο δεν έχουμε αποκλείσει εδώ ως άλγεβρα. (Μερικοί συγγραφείς απαγορεύουν το κενό σύνολο ως άλγεβρα, αλλά αυτό Η προγραφή χαλάει πολλά καλά θεωρήματα χωρίς να κερδίζει κανένα χρήσιμο αυτά.) Ως εκ τούτου, υπάρχουν διανεμητικά πλέγματα κάθε δυνατού Πληθικότητας.e.g
Κάθε πεπερασμένων διαστάσεων διανυσματικός χώρος είναι ελεύθερος, που παράγεται από οποιονδήποτε επιλογή βάσης. Αυτό επεκτείνεται σε απειροδιάστατους διανυσματικούς χώρους υπό την προϋπόθεση ότι αποδεχόμαστε το Αξίωμα της Επιλογής. Διανυσματικοί χώροι πάνω από ένα πεπερασμένο Επομένως, το πεδίο σχηματίζει μια τοπικά πεπερασμένη ποικιλία όταν είναι βαθμωτό Ο πολλαπλασιασμός οργανώνεται ως μία μοναδιαία πράξη για κάθε πεδίο στοιχείο.
6.5 Ελεύθερες άλγεβρες κατηγορηματικά
Τώρα εξετάζουμε πώς οργανώνονται οι ελεύθερες άλγεβρες από την οπτική γωνία της θεωρίας κατηγοριών. Ορίσαμε την ελεύθερη άλγεβρα Β που παράγεται από το a υποσύνολο X του B καθώς έχει την ιδιότητα ότι για κάθε άλγεβρα A και κάθε αποτίμηση f: X\rightarrow A, υπάρχει ένα μοναδικό ομομορφισμός h: B\rightarrow A. Τώρα κάθε ομομορφισμός h: Το B\rightarrow A προκύπτει αναγκαστικά με αυτόν τον τρόπο, δεδομένου ότι ο περιορισμός του στο Χ, ως συνάρτηση από το Χ στο Α, είναι μια αποτίμηση. Επιπλέον, κάθε συνάρτηση f: X\rightarrow A προκύπτει ως το περιορισμός στο Χ της επέκτασής του σε ομομορφισμό. Ως εκ τούτου, έχουμε μια αμφισημία μεταξύ των συναρτήσεων από X έως A και του ομομορφισμοί από το Β έως το Α.BXBΈναςf:X→Έναςh:B→Έναςh:B→ΈναςXXΈναςf:X→ΈναςXXΈναςBΈνας
Τώρα η πληκτρολόγηση εδώ είναι λίγο απλή, οπότε ας την καθαρίσουμε. Δεδομένου ότι το X είναι ένα σύνολο ενώ το A είναι άλγεβρα, το f πληκτρολογείται καλύτερα ως f: X\rightarrow U(A) όπου U(A) δηλώνει το υποκείμενο σύνολο του A. Και η σχέση του Χ με το Β είναι καλύτερα κατανοητή με τον συμβολισμό B = F(X) που δηλώνει την ελεύθερη άλγεβρα που παράγεται από το σύνολο X. Έτσι, το U αντιστοιχίζει τις άλγεβρες σε σύνολα, ενώ οι χάρτες F ορίζουν σε άλγεβρες. Τα F και U δεν είναι γενικά αντίστροφα μεταξύ τους, Ωστόσο, συνδέονται με έναν τρόπο που τώρα καθιστούμε ακριβή.XΈναςff:X→U(Ένας)U(Ένας)ΈναςXBB=F(X)XUFFU
Για οποιαδήποτε κατηγορία \mathbf{C}, ο συμβολισμός \mathbf{C}(A, B) είναι γενικά χρησιμοποιείται για να δηλώσει το σύνολο όλων των μορφισμών από το αντικείμενο Α έως αντικείμενο B στην κατηγορία \mathbf{C}. Και το σύνολο όλων των λειτουργιών από το σύνολο X στο σύνολο Y μπορεί να γίνει κατανοητό ως το ειδική περίπτωση \mathbf{Set}(X, Y) αυτής της σύμβασης όπου \mathbf{C} θεωρείται ότι είναι η κλάση \mathbf{Set} όλων των συνόλων, που μπορούμε να σκεφτούμε ως διακριτές άλγεβρες, δηλαδή άλγεβρες χωρίς δομή. Μια κατηγορία αλγεβρών μαζί με ένα καθορισμένο σύνολο Οι ομομορφισμοί μεταξύ οποιωνδήποτε δύο μελών του είναι ένα παράδειγμα μιας κατηγορίας. Τα μέλη της τάξης ονομάζονται αντικείμενα της κατηγορίας ενώ οι ομομορφισμοί ονομάζονται τους μορφισμούς.CC(Ένας,B)ΈναςBCXYSet(X,Y)CSet
Η αμφισημία που μόλις παρατηρήσαμε μπορεί τώρα να δηλωθεί ως εξής:C(F(X),Ένας)≅Set(X,U(Ένας))
Μια τέτοια αμφισημία ονομάζεται σύνδεση μεταξύ \mathbf{Set} και \mathbf{C}. Εδώ F: \mathbf{Set}\rightarrow \mathbf{C} και U: \mathbf{C}\rightarrow \mathbf{Set} είναι αντίστοιχα η αριστερή και η δεξιά άρθρωση αυτής της σύνδεσης. λέμε ότι το F είναι αριστερά συνδεδεμένο με το U και το U δεξιά συνδεδεμένο με το F.SetCF:Set→CU:C→SetFUUF
Έχουμε περιγράψει μόνο πώς οι χάρτες F ορίζονται σε άλγεβρες και οι χάρτες U άλγεβρες σε σύνολα. Ωστόσο, το F χαρτογραφεί επίσης συναρτήσεις σε ομομορφισμούς, χαρτογράφηση κάθε συνάρτησης f στη μοναδική της επέκταση ως ομομορφισμός, ενώ το U χαρτογραφεί τους ομομορφισμούς σε συναρτήσεις, δηλαδή τον ομομορφισμό τον εαυτό του ως λειτουργία. Τέτοιοι χάρτες μεταξύ κατηγοριών είναι περιπτώσεις functors.FUFfU
Γενικά, μια κατηγορία Γ αποτελείται από τα αντικείμενα α, β, γ και μορφισμοί f: a\rightarrow b, μαζί με έναν συνειρμικό Νόμος σύνθεσης για "σύνθετους" μορφισμούς F: b\rightarrow c, g: a\rightarrow b που δίνει τον μορφισμό fg: a\rightarrow γ. Επιπλέον, κάθε αντικείμενο a έχει ένα στοιχείο ταυτότητας 1_a : a\rightarrow a το οποίο, όποτε μπορεί να συντεθεί με ένα μορφισμό f (στη μία ή την άλλη πλευρά) συνθέτει μαζί του για να δώσει f. Ένας functor F: C\rightarrow D αντιστοιχίζει αντικείμενα του C σε αντικείμενα του D και μορφισμούς του C σε μορφισμούς του D, έτσι ώστε F(fg) = F(f)F(g) και F(1_a) = 1_{F(a)}. Δηλαδή, functors είναι «ομομορφισμοί κατηγοριών», διατηρώντας τη σύνθεση και Ταυτότητες.Cένας,b,cf:ένας→bf:b→cg:ένας→bfg:ένας→c1ένας:ένας→έναςffF:C→DCDCDF(fg)=F(f)F(g)F(1ένας)=1F(ένας)
Χωρίς περαιτέρω προσόντα, μια τέτοια κατηγορία θεωρείται αφηρημένη κατηγορία. Οι κατηγορίες με τις οποίες συνεργαζόμαστε είναι συγκεκριμένα με την έννοια ότι έρχονται με ένα δεδομένο υποκείμενο σύνολο ή ξεχασμένο functor U: C\rightarrowSet. Δηλαδή, οι άλγεβρες βασίζονται σε σύνολα, οι ομομορφισμοί είναι βέβαιοι λειτουργίες μεταξύ αυτών των συνόλων, και το U απλά "ξεχνά" την αλγεβρική δομή. Τέτοιοι ξεχασιάρηδες functors είναι πιστοί με την έννοια ότι για οποιουσδήποτε δύο μορφισμούς f, g: a\rightarrow b του C, αν U(f) = U(g) τότε f = g, δηλαδή το U δεν προσδιορίζει διακριτούς ομομορφισμούς. Γενικά, μια συγκεκριμένη κατηγορία ορίζεται ως κατηγορία C μαζί με έναν πιστό ξεχασμένο functor U: C:\rightarrow \textrm{Set}.U:C→Uf,g:ένας→bCU(f)=U(g)f=g,UCU:C→Βάζω
Οι ίδιες οι κατηγορίες παραδέχονται μια περαιτέρω γενίκευση σε 2 κατηγορίες ως άλγεβρες πάνω από δισδιάστατα γραφήματα, με συνειρμική σύνθεση 1-κυττάρων γενικευμένα στη 2-συσχετιστική επικόλληση 2-κυττάρων. Ένας Στη συνέχεια, επιτυγχάνεται περαιτέρω απλούστευση των μηχανών ελεύθερης άλγεβρας, δηλαδή μέσω αφηρημένων συνδέσμων ως το φυσικό 2-διάστατο αντίστοιχο των ισομορφισμών σε μια κατηγορία, η οποία με τη σειρά της είναι η φυσικό 1-διάστατο αντίστοιχο της ισότητας των στοιχείων σε ένα σύνολο, Η 0-διάστατη ιδέα ότι δύο σημεία μπορούν να αποδειχθούν ένα. Αυτό οδηγεί στην έννοια της αφηρημένης μονάδας ως απλή σύνθεση ενός Συνδεδεμένο ζεύγος 1-κυττάρων, ένα από τα οποία είναι το 1-κύτταρο που αφαιρεί το functor F που κατασκευάζει την ελεύθερη άλγεβρα F(V) από V. Οι συνηθισμένες ή συγκεκριμένες μονάδες προκύπτουν ως σύνθεση των functors ως σκυρόδεμα 1-κυττάρων μιας κατηγορίας 2 κατηγοριών.FF(V).
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου