ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Στα μαθηματικά, συνάρτηση, ή απεικόνιση είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται σύνολο ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών. Αν είναι μια συνάρτηση από ένα σύνολο σε ένα σύνολο, γράφουμε.

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 1694.

Οι όροι συνάρτηση και απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Ο πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο στην στοιχειώδη άλγεβρα και τον απειροστικό λογισμό, ενώ ο δεύτερος στα διακριτά μαθηματικά.

Γενικά

Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμή αντιστοιχεί. (Δηλαδή κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου τιμών).

Εισαγωγή και παραδείγματα

Μια συνάρτηση που τον συνδέει με οποιοδήποτε από τα τέσσερα χρωματιστά διαμορφώνει το χρώμα του

Για ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω Χ το σύνολο που αποτελείται από τέσσερα σχήματα: ένα κόκκινο τρίγωνο, ένα κίτρινο ορθογώνιο, ένα πράσινο εξάγωνο και ένα κόκκινο τετράγωνο και έστω Υ το σύνολο που αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μπλε, πράσινο, ροζ και κίτρινο.

Συνδέοντας κάθε σχήμα στο χρώμα του είναι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ: κάθε σχήμα συνδέεται με ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο στο Υ), και κάθε σχήμα είναι “συνδεδεμένο”, ή “χαρτογραφείται”, σε ακριβώς ένα χρώμα. Δεν υπάρχει σχήμα που στερείται ενός χρώματος και ούτε κάποιο σχήμα που έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Αυτή η λειτουργία θα αναφέρεται ως “χρώμα της συνάρτησης σχήματος”.

Η εισαγωγή σε μια συνάρτηση ονομάζεται όρισμα και η έξοδος ονομάζεται τιμή. Το σύνολο όλων των επιτρεπόμενων ορισμάτων σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται σύνολο ορισμού, ενώ το σύνολο των επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται σύνολο τιμών. Έτσι, το σύνολο ορισμού του “χρώμα της συνάρτησης σχήματος” είναι το σύνολο των τεσσάρων σχημάτων, και το συνόλου τιμών αποτελείται από τα πέντε χρώματα. Η έννοια της συνάρτησης δεν απαιτεί ότι κάθε πιθανή έξοδος είναι η τιμή κάποιου ορισμού, π.χ. το μπλε χρώμα δεν είναι το χρώμα οποιουδήποτε από τα τέσσερα σχήματα στο Χ.

Ένα δεύτερο παράδειγμα μιας συνάρτησης είναι η εξής: το σύνολο ορισμού επιλέγεται να είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4, …), και το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των ακεραίων (…, -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, …). Η συνάρτηση σχετίζεται με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n, τον αριθμό 4-n. Για παράδειγμα, το 1 σχετίζεται με το 3 και το 10 με το -6.

Ένα τρίτο παράδειγμα μιας συνάρτησης έχει το σύνολο των πολυγώνων ως σύνολο ορισμού και το σύνολο των φυσικών αριθμών ως σύνολο τιμών. Η συνάρτηση συσχετίζει ένα πολύγωνο με τον αριθμό των κορυφών του. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο συνδέεται με τον αριθμό 3, ένα τετράγωνο με τον αριθμό 4, και ούτω καθεξής.

Ο όρος εύρος μερικές φορές χρησιμοποιείται είτε για το σύνολο τιμών είτε για το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών που έχει μια συνάρτηση. Για να αποφευχθεί η ασάφεια αυτό το άρθρο αποφεύγει τη χρήση του όρου.

Συμβολισμός

Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτό το θέμα, δείτε το συμβολισμό συναρτήσεων.

Μια συνάρτηση f με σύνολο ορισμού το Χ και σύνολο τιμών το Y συνήθως συμβολίζεται με
f:X –> Y
ή
X^f  –> Y.

Στο πλαίσιο αυτό, τα στοιχεία του Χ ονομάζονται όρισμα μιας συνάρτησης της f. Για κάθε όρισμα Χ, το αντίστοιχο μοναδικό y του συνόλου τιμών ονομάζεται η συνάρτηση τιμή στο Χ ή η εικόνα του x με την f.Γράφεται ως f(x). Λέει ότι η f αντιστοιχεί το y με το x ή στέλνει το x στο y. Αυτό είναι συντομογραφία από το
y= f(x)

Μια γενική συνάρτηση συχνά συμβολίζεται με το f. Ειδικές συναρτήσεις έχουν ονομασίες, για παράδειγμα, η συνάρτηση signum συμβολίζεται με sgn. Λαμβάνοντας υπόψη ένα πραγματικό αριθμό x, η εικόνα του στο πλαίσιο της συνάρτησης signum γράφεται ως sgn(x). Εδώ, το όρισμα συμβολίζεται με το σύμβολο x, αλλά διαφορετικά σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε άλλα πλαίσια. Για παράδειγμα, στη φυσική, η ταχύτητα κάποιου σώματος, αναλόγως του χρόνου, συμβολίζεται με v(t). Οι παρενθέσεις γύρω από το όρισμα μπορούν να παραλειφθούν όταν υπάρχει μικρή πιθανότητα σύγχυσης, έτσι: sin x; Αυτό είναι γνωστό ως συμβολισμός προθέματος.