Jacob Bernoulli: Η εφαρμογή της θεωρίας του Jacob Bernoulli στα τυχερά παιχνίδια

Ο Γιακόμπ Μπερνούλι (Jacob Bernoulli, 6 Ιανουαρίου 1655 – 16 Αυγούστου 1705) ήταν Ελβετός μαθηματικός, ένας από τους πολλούς διακεκριμένους μαθηματικούς της οικογένειας Μπερνούλι. Ο Γιακόμπ γεννήθηκε στη Βασιλεία. Ακολουθώντας την επιθυμία του πατέρα του, σπούδασε θεολογία και έγινε κληρικός. Αντιθέτως όμως με τις επιθυμίες των γονέων του σπούδασε επίσης μαθηματικά και αστρονομία. Ταξίδεψε στην Ευρώπη από το 1676 μέχρι το 1682, ενημερωνόμενος για τις τελευταίες ανακαλύψεις στα μαθηματικά και τις επιστήμες, όπως τα έργα του Ρόμπερτ Μπόιλ και του Ρόμπερτ Χουκ.

Εξοικειώθηκε με τον λογισμό μέσω της αλληλογραφίας του με τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς, και μετά συνεργάστηκε με τον αδερφό του, Γιόχαν, σε διάφορες εφαρμογές, με πιο σημαντικές την δημοσίευση διατριβών στις υπερβατικές καμπύλες (1696) και την ισοπεριμετρική ανισότητα (1700, 1701). Το 1690, ο Γιακόμπ έγινε ο πρώτος ο οποίος ανέπτυξε την τεχνική για την επίλυση διαχωρίσιμων διαφορικών εξισώσεων.

Όταν γύρισε στη Βασιλεία το 1682 ίδρυσε σχολή για μαθηματικά και επιστήμες. Διορίστηκε καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Βασιλείας το 1687, παραμένοντας σε αυτή την θέση για την υπόλοιπη ζωή του.

Το πιο γνωστό έργο του Γιακόμπ είναι το Ars Conjectandi (Η τέχνη του εικάζειν), το οποίο δημοσιεύθηκε οκτώ χρόνια μετά τον θάνατό του, το 1713 από τον ανεψιό του, Νίκολας. Στο έργο αυτό περιέγραψε τα γνωστά αποτελέσματα της θεωρίας των πιθανοτήτων και της απαρίθμησης, συχνά παρέχοντας εναλλακτικές αποδείξεις. Το έργο περιλαμβάνει επίσης την εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων σε τυχερά παιχνίδια και την εισήγηση ενός θεωρήματος γνωστού ως ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Οι όροι δοκιμές Μπερνούλι και αριθμοί Μπερνούλι προέρχονται από το έργο αυτό. Ο σεληνιακός κρατήρας Μπερνούλι έχει ονομαστεί προς τιμήν του ιδίου και του αδερφού του, Γιόχαν.

Στην Ευρώπη, το θέμα των πιθανοτήτων αναπτύχθηκε επίσημα πρώτη φορά τον δέκατο έκτο αιώνα με το έργο του Καρντάνο, του οποίου το ενδιαφέρον για τις πιθανότητες πήγαζε από την αγάπη του για τον τζόγο.

Έθεσε επίσημα αυτό που σήμερα ονομάζεται κλασικός ορισμός της πιθανότητας: αν ένα γεγονός έχει a πιθανά αποτελέσματα και επιλεγούν οποιαδήποτε b από αυτά έτσι ώστε b ≤ a, η πιθανότητα να συμβεί οποιοδήποτε από τα b είναι ba. Ωστόσο η πραγματική του επιρροή δεν ήταν μεγάλη. Έγραψε μόνο ένα βιβλίο πάνω στο θέμα το 1525 με τίτλο Liber de ludo aleae (Βιβλίο πάνω στα παιχνίδια τύχης), το οποίο όμως δημοσιεύθηκε μετά τον θάνατό του το 1663.

Η ημερομηνία την οποία η ιστορικοί θεωρούν ως την αρχή των πιθανοτήτων με την σύγχρονη έννοια είναι το 1654, χρονιά κατά την οποία ο Πασκάλ και ο Φερμά άρχισαν να αλληλογραφούν σχετικά με τις πιθανότητες. Αιτία για αυτό ήταν γράμμα που είχε στείλει την ίδια χρονιά ένας τζογαδόρος από το Παρίσι ονόματι Αντουάν Γκομπό (Antoine Gombaud) στον Πασκάλ και άλλους μαθηματικούς ρωτώντας διάφορα σχετικά με πιθανότητες. Πιο συγκεκριμένα έθεσε το πρόβλημα της διαίρεσης του στοιχήματος, σχετικά με ένα θεωρητικό παιχνίδι δύο παικτών στο οποίο κερδίζει ένας από τους δύο μετά από συγκεκριμένο αριθμό γύρων. Το ερώτημα αφορούσε τον δίκαιο διαμοιρασμό της αξίας που είχε συγκεντρωθεί αν το παιχνίδι σταματούσε πρόωρα λόγω κάποιας εξωτερικής αιτίας.

Η αλληλογραφία Πασκάλ και Φερμά προκάλεσε το ενδιαφέρον άλλων μαθηματικών, όπως ο Κρίστιαν Χόυχενς, ο οποίος το 1657 δημοσίευσε το De ratiociniis in aleae ludo (Υπολογισμοί στα παιχνίδια της τύχης).Κατά την διάρκεια αυτής της περιόδου ο Πασκάλ δημοσίευσε επίσης τα αποτελέσματά του σχετικά με το τρίγωνο του Πασκάλ. Αναφέρονταν στο τρίγωνο, στο έργο του Traité du triangle arithmétique (Χαρακτηριστικά του αριθμητικού τριγώνου), ως το «αριθμητικό τρίγωνο».

Αργότερα ο Γιαν ντε Βιτ δημοσίευσε παρόμοιο υλικό στο έργο του Waerdye van Lyf-Renten, στο οποίο χρησιμοποίησε στατιστικές έννοιες ώστε να προσδιορίσει το προσδόκιμο ζωής.

Ο Μπερνούλι είχε μεγάλη παραγωγή μαθηματικού έργου μεταξύ 1684 και 1689 στην οποία περιλαμβάνεται και το Ars Conjectandi.

Όταν ξεκίνησε το έργο του το 1684 σε ηλικία 30 ετών, δεν είχε ακόμα διαβάσει το
έργο του Πασκάλ για το αριθμητικό τρίγωνο ούτε του ντε Βιτ για την στατιστική πιθανότητα. Είχε ζητήσει ένα αντίγραφο του τελευταίου από τον γνωστό του, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, αλλά ο Λάιμπνιτς δεν κατάφερε να του το στείλει. Του έστειλε ωστόσο τα έργα του Πασκάλ και του Χόυχενς, στα οποία βασίζεται το Ars Conjectandi.

Ο Μπερνούλι ονόμασε το έργο Ars Conjectandi επειδή επιθυμούσε να το συνδέσει με την έννοια ars inveniendi του σχολαστικισμού, το οποίο με την σειρά του υποδεικνύει ότι τα αποτελέσματά του θα μπορούσαν να εφαρμοστούν σε όλες τις πτυχές της ζωής και της κοινωνίας.

Το έργο του Μπερνούλι, αρχικά δημοσιευμένο στα λατινικά, διαιρείται σε τέσσερα μέρη.

Τo πρώτο μέρος πραγματεύεται αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως κατανομή Μπερνούλι.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία – αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή Χ που παίρνει τιμές 0 ή 1. Για Χ=1 έχουμε επιτυχία και για Χ=0 αποτυχία. Η κατανομή Μπερνούλλι παίρνει τις εξής τιμές:

P(X=1)=p
P(X=0)=q=1-p

συνάρτηση πιθανότητας,  παράμετροι,  μέση τιμή,  διακύμανση
             p(1-p)                    pE[0,1]            p              p(1-p)

Στο πρώτο μέρος επίσης ο Μπερνούλι ανέπτυξε την έννοια του Χόυχενς για την αναμενόμενη τιμή, ή ο ζυγισμένος μέσος όλων των πιθανών ενδεχομένων ενός γεγονότος. Ο Χόυχενς είχε αναπτύξει την ακόλουθη εξίσωση: E = p0a0+p1a1+p2a2+···+pnan p0+p1+···+pn . Σε αυτή την εξίσωση, το E είναι η αναμενόμενη τιμή, το pi είναι οι πιθανότητες να πραγματωθεί κάθε τιμή, και το ai είναι οι τιμές. Ο Μπερνούλι κανονικοποίησε την αναμενόμενη τιμή υποθέτοντας ότι pi είναι οι πιθανότητες όλων των ξένων ενδεχομένων, οδηγούμενος έτσι στο συμπέρασμα ότι p0 + p1 + … + pn = 1.

Μία ακόμα θεωρία που αναπτύχθηκε σε αυτό το τμήμα είναι η πιθανότητα να επιτευχθεί τουλάχιστον ένας αριθμός επιτυχιών σε ένα αριθμό πειραμάτων, που σήμερα ονομάζονται δοκιμές Μπερνούλι, με διάφορα αποτελέσματα δεδομένου όμως ότι η πιθανότητα της επιτυχίας σε κάθε πείραμα είναι η ίδια.

Στο τρίτο μέρος, ο Μπερνούλι εφάρμοσε τις τεχνικές πιθανότητας, που μελέτησε στα προηγούμενα μέρη, σε κοινά τυχερά παιχνίδια της εποχής με τράπουλα ή ζάρια. Παρουσίασε προβλήματα πιθανοτήτων σχετικά με αυτά αλλά και γενικεύσεις αυτών χωρίς συγκεκριμένες σταθερές. Για παράδειγμα, ένα πρόβλημα το οποίο είχε να κάνει με την αναμενόμενη τιμή φιγούρων που θα τραβούσε κάποιος από μια τράπουλα 20 φύλλων με 10 φιγούρες μπορούσε να γενικευθεί σε πρόβλημα με a φύλλα που είχαν b φιγούρες έτσι ώστε b<a.

Το τέταρτο μέρος πραγματεύεται την εφαρμογή των πιθανοτήτων σε προσωπικές, δικαστικές και οικονομικές αποφάσεις. Σε αυτή την ενότητα ο Μπερνούλι διαφέρει στον τρόπο σκέψης που σχετίζεται με την συχνότητα πιθανότητας, κατά τον οποίο η πιθανότητα ορίζεται με εμπειρικό τρόπο. Διαφέρει με ένα αποτέλεσμα που σχετίζεται με τον νόμο των μεγάλων αριθμών, στο οποίο ο Μπερνούλι περιέγραψε ότι προβλέποντας τα αποτελέσματα της παρατήρησης θα προσεγγίζουν την θεωρητική πιθανότητα καθώς γίνονται περισσότερες δοκιμές, ενώ κατά την σχολή της συχνότητας πιθανότητας, η πιθανότητα ορίζεται αντίστροφα. Ο Μπερνούλι ήταν πολύ περήφανος για αυτό το αποτέλεσμα, αναφερόμενος σε αυτό ως το «χρυσό θεώρημά» του, και σχολίασε ότι ήταν «ένα πρόβλημα με το οποίο είχε ασχοληθεί για είκοσι χρόνια».

Το τέλος

Ο Μπερνούλι επέλεξε το σχήμα μίας λογαριθμικής σπείρας και τη φράση Eadem mutata resurgo (Αλλαγμένος και όμως ο ίδιος, ανασταίνομαι) για την ταφόπλακά του. Η σπείρα που κατασκευάστηκε ωστόσο τελικά από τους τεχνίτες ήταν σπείρα του Αρχιμήδη.