Τι ακριβώς είναι τα μαθηματικά;

Η βασική ερώτηση για το τι είναι τα μαθηματικά.

Η απάντηση του Χερς είναι αυτό που ο ίδιος ονομάζει ανθρωπιστική φιλοσοφία. Τα μαθηματικά είναι «Μια ανθρώπινη δραστηριότητα, ένα κοινωνικό φαινόμενο, μέρος του ανθρώπινου πολιτισμού, ιστορικά εξελισσόμενη και κατανοητή μόνο σε ένα κοινωνικό πλαίσιο». Τα παραπάνω είναι μια περιγραφή, όχι ένας ορισμός, αφού δεν προσδιορίζει με λεπτομέρεια το περιεχόμενο αυτής της δραστηριότητας. Η περιγραφή ίσως ηχεί κάπως μετανεωτεριστική, αλλά αποδείχτηκε κάτι περισσότερο ευφυές από τον μεταμοντερνισμό, λόγω της επίγνωσης του Χερς ότι οι κοινωνικές συμβάσεις που ρυθμίζουν τις δραστηριότητες αυτών των ανθρώπων υπόκεινται σε αυστηρούς μη κοινωνικούς περιορισμούς, δηλαδή, ότι όλα πρέπει να ταιριάζουν λογικά μεταξύ τους. Ακόμη κι αν οι μαθηματικοί μαζευτούν και συμφωνήσουν ότι το π είναι ίσο με 3, όλοι τους γνωρίζουν ότι δεν θα είναι έτσι. Τίποτε δεν θα είχε νόημα.

Ένας μαθηματικός κύκλος, συνεπώς, είναι κάτι παραπάνω από μια συμφωνημένη αυταπάτη. Είναι μια έννοια προικισμένη με εξαιρετικά ειδικά χαρακτηριστικά. «Υπάρχει» υπό την έννοια ότι ο ανθρώπινος νους μπορεί να εξαγάγει άλλες ιδιότητες από αυτά τα χαρακτηριστικά, με την κρίσιμη προειδοποίηση πως αν δυο άνθρωποι ερευνούν το ίδιο πρόβλημα, δεν είναι δυνατόν, εάν ακολουθούν σωστό συλλογισμό, να καταλήξουν σε αντικρουόμενες απαντήσεις.

Να λοιπόν γιατί δίνεται η εντύπωση πως τα μαθηματικά είναι «εκεί έξω». Ο εντοπισμός της απάντησης σε ένα ανοιχτό πρόβλημα μοιάζει με ανακάλυψη, όχι με επινόηση. Η διερεύνησή τους είναι όπως η εξερεύνηση μια νέας περιοχής στην ύπαιθρο. Προφανώς δεν γνωρίζεις τι συμβαίνει στην επόμενη στροφή του ποταμού, αλλά δεν σου δίνεται η δυνατότητα να επιλέξεις. Το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι να περιμένεις και να ανακαλύπτεις. Ωστόσο, η μαθηματική ύπαιθρος δεν σου παρουσιάζεται παρά μόνο όταν την εξερευνήσεις.

Όταν διαφωνούν δύο καθηγητές της Σχολής Καλών Τεχνών είναι πολύ πιθανό να καταλήξουν στο συμπέρασμα ότι «είναι αδύνατον να συμφωνήσουν». Όταν διαφωνούν δύο μαθηματικοί -συμβαίνει πολύ συχνά, και μάλιστα με οργισμένο και επιθετικό τρόπο- είναι πολύ πιθανό, ξαφνικά, ο ένας από τους δυο να σταματήσει και να ομολογήσει, «συγγνώμη, έχεις απόλυτο δίκιο, τώρα κατάλαβα πού είχα κάνει λάθος». Ύστερα θα βγουν έξω και θα πάνε για φαγητό σαν καλοί φίλοι.

Συμφωνώ πάρα πολύ με τον Χερς. Αν αισθάνεσαι πως η ανθρωπιστική περιγραφή των μαθηματικών είναι κάπως ασαφής, ότι εκείνος ο τύπος «συμφωνημένου κοινωνικού κατασκευάσματος» είναι κάτι σπάνιο, ο Χερς προσφέρει μερικά παραδείγματα που ίσως σου αλλάξουν αυτή την εντύπωση. Το ένα είναι το χρήμα. Το χρήμα κινεί τα πάντα- αλλά, τι είναι το χρήμα; Δεν είναι βεβαίως κομμάτια χαρτιού ή κέρματα. Αυτά μπορούν να τυπωθούν ή να κοπούν εκ νέου ή να παραδοθούν σε μια τράπεζα και να καταστραφούν. Δεν είναι αριθμοί καταχωρισμένοι σε έναν υπολογιστή: αν ο υπολογιστής καταστραφεί, εσύ θα κατέχεις ακόμη τα χρήματά σου. Τα χρήματα είναι ένα συμφωνημένο κοινωνικό κατασκεύασμα. Έχει αξία, ακριβώς επειδή όλοι εμείς συμφωνούμε ότι έχει αξία.

Για άλλη μια φορά, υπάρχουν αυστηροί περιορισμοί. Αν πεις στο διευθυντή της τράπεζάς σου ότι ο λογαριασμός σου περιέχει περισσότερα χρήματα από όσα τον πληροφορεί ο υπολογιστής του, μην περιμένεις να σου απαντήσει, «κανένα πρόβλημα, είναι απλώς ένα κοινωνικό κατασκεύασμα, ορίστε δέκα εκατομμύρια δολάρια επιπλέον. Καλή σας ημέρα».

Μπαίνει κανείς στον πειρασμό να σκεφτεί ότι, ακόμη κι αν θεωρήσουμε τα μαθηματικά σαν ένα συμφωνημένο κοινωνικό κατασκεύασμα, είναι σχεδόν λογικά αναπόφευκτο πως κάθε πλάσμα με νοημοσύνη θα ανταποκρινόταν στα ίδια μαθηματικά. Όταν τα διαστημόπλοια Πάιονιρ και Βόγιατζερ ταξίδεψαν στο διάστημα, είχαν μαζί τους κωδικοποιημένα μηνύματα που απευθύνονταν προς κάθε εξωγήινο που θα μπορούσε να τα συναντήσει. Ο Πάιονιρ έφερε μια πινακίδα με το διάγραμμα του ατόμου του υδρογόνου, ένα χάρτη των γειτονικών πάλσαρ για να καταδείξει τη θέση του Ήλιου μας, τα σκίτσα ενός γυμνού άνδρα και μιας γυμνής γυναίκας να στέκομαι μπροστά σε ένα σκαρίφημα του διαστημόπλοιου υπό κλίμακα και τη σχηματική εικόνα του ηλιακού μας συστήματος, για να δηλώσει σε ποιον πλανήτη κατοικούμε. Τα δύο Βόγιατζερ μετέφεραν αρχεία με ήχους, μουσική κάθε είδους και επιστημονικές φωτογραφίες.

Θα ήταν σε θέση ένας εξωγήινος αποδέκτης να αποκωδικοποιήσει αυτά τα μηνύματα; Άραγε, τι θα καταλάβαινε βλέποντας δύο κύκλους ενωμένους με μια γραμμούλα; Θα ερμήνευε αυτό το σύμβολο ως το άτομο του υδρογόνου; Τι θα συνέβαινε αν η δική του εκδοχή της ατομικής θεωρίας στηριζόταν στις κβαντικές κυματοσυναρτήσεις αντί για τα πρωτόγονα «σωματιδιακά» μοντέλα, τα οποία ακόμη και οι δικοί μας φυσικοί επιστήμονες δηλώνουν πως είναι εντελώς ανακριβή; Θα μπορέσουν οι εξωγήινοι να κατανοήσουν τα σκίτσα; -δεδομένου ότι όταν κλήθηκαν να τα κατανοήσουν άνθρωποι από υπανάπτυκτες φυλές που δεν είχαν ποτέ συναντήσει τέτοια πράγματα, απέτυχαν να το κάνουν; Άραγε θα θεωρήσουν τους πάλσαρ σημαντικούς;

Στις περισσότερες συζητήσεις για τέτοια θέματα, κάποιος θα μπορούσε να υποστηρίξει πως ένας νοήμων εξωγήινος, ακόμη κι αν δεν αντιληφθεί τίποτε, θα είναι σε θέση να κατανοήσει απλά μαθηματικά μοτίβα’ και όλα τα υπόλοιπα θα εξαχθούν από αυτά. Εδώ υπάρχει μια «αλαζονική» υπόθεση: τα μαθηματικά είναι κατά κάποιον τρόπο συμπαντικά. Οι εξωγήινοι θα μετρήσουν 1, 2, 3,… όπως ακριβώς εμείς. Θα παρατηρήσουν βέβαια το υπόδειγμα που υπαινίσσονται διαγράμματα όπως αυτό: * ** *** ****.

Δεν έχω πειστεί για κάτι τέτοιο. Διάβαζα το Diamond Dog του Άλιστερ Ρέινολντς, μια νουβέλα για ένα εξωγήινο κατασκεύασμα, έναν αλλόκοτο και τρομακτικό πύργο, όπου περιδιαβαίνεις τα δωμάτια λύνοντας σπαζοκεφαλιές. Αν απαντήσεις λάθος πεθαίνεις, με τρόπο φρικιό. Η ιστορία του Ρέινολντς είναι δυνατή αλλά υπάρχει η υπόρρητη παραδοχή πως οι εξωγήινοι μπορούν να θέσουν μαθηματικούς γρίφους παρόμοιους με εκείνους που θα έθετε ένας άνθρωπος. Στη νουβέλα, τα εξωγήινα μαθηματικά είναι πολύ κοντά στα γήινα. Περιέχουν τοπολογία και μια περιοχή της μαθηματικής φυσικής γνωστή ως θεωρία Καλούτσα-Κλάιν. Είναι σαν να φτάνεις στον πέμπτο πλανήτη του Εγγύτατου του Κενταύρου και να βρίσκεις ένα γνωστό πολυκατάστημα. Αντιλαμβάνομαι πως για τις ανάγκες της αφήγησης τα μαθηματικά πρέπει να μοιάζουν με μαθηματικά στον αναγνώστη, αλλά ακόμη κι έτσι, το αποτέλεσμα δεν μου φαίνεται ικανοποιητικό.

Έχω την εντύπωση πως τα γήινα μαθηματικά είναι συνδεδεμένα με την ανθρώπινη φυσιολογία, τις εμπειρίες και τις ψυχολογικές προτιμήσεις μας, περισσότερο από ό,τι φανταζόμαστε. Είναι περιορισμένα- δεν είναι συμπαντικά. Τα σημεία και οι ευθείες της γεωμετρίας -εκτός του ότι αποτελούν τη φυσιολογική βάση για μια θεωρία σχημάτων- είναι τα χαρακτηριστικά με τα οποία το οπτικό μας σύστημα εξετάζει τον κόσμο. Ένα εξωγήινο οπτικό σύστημα ίσως θεωρεί ως πρωταρχικές έννοιες το φως και τη σκιά ή την κίνηση και την ηρεμία ή τη συχνότητα της ταλάντωσης. Ένα εξωγήινο νοήμον ον, μπορεί να θεωρούσε όχι η οσμή ή η ντροπή και όχι το σχήμα, είναι οι θεμελιώδεις έννοιες για τη δική του αντίληψη του κόσμου. Και ενώ νομίζουμε ότι οι διακριτοί αριθμοί όπως το 1, 2, 3, είναι συμπαντικοί, ουσιαστικά εξυπηρετούν την πανάρχαια τάση μας να συγκεντρώνουμε ομοειδή αντικείμενα, όπως τα πρόβατα, και να τα θεωρούμε περιουσιακό στοιχείο: μήπως μου έκλεψαν κάποιο από τα πρόβατά μου; Η αριθμητική φαίνεται να έχει προσδιοριστεί μέσω δύο πραγμάτων: τη χρονική στιγμή και το εμπόριο. Τι συμβαίνει όμως με εκείνα τα «στενόμυαλα» όντα που ζουν στον μακρινό Ποσειδώνα -εκείνον τον υποθετικό γίγαντα αέριων, που μοιάζει με τον Δία-, του οποίου ο κόσμος αποτελείται από μια αδιάκοπη ροή στροβιλοειδών ανέμων, και δεν υπάρχει η παραμικρή αίσθηση ιδιοκτησίας; Μέχρι να μετρήσουν ώς το τρία, οτιδήποτε μετρούν θα είχε διασκορπιστεί σε ένα νέφος αμμωνίας. Θα είχαν, βεβαίως, καλύτερη αντίληψη από ό,τι εμείς για τα μαθηματικά της τυρβώδους ροής ρευστών.

Εκτιμώ ότι είναι πλέον αποδεκτό πως όπου τα περίεργα μαθηματικά αυτών των όντων συναντηθούν με τα δικά μας μαθηματικά, θα είναι λογικά συνεπή μεταξύ τους. Θα υπάρχουν ίσως απομακρυσμένες περιοχές του ίδιου τοπίου. Αλλά ακόμη κι αυτό θα εξαρτάται από τον τύπο της λογικής που χρησιμοποιείς.

Η άποψη ότι υπάρχουν μοναδικά μαθηματικά -τα δικά μας- είναι μια πλατωνική άποψη. Είναι πιθανό ότι «οι» ιδανικές μορφές -ΟΙ ΙΔΕΕΣ- βρίσκονται «εκεί έξω»- ωστόσο, το «εκεί έξω» πρέπει να περιέχει παραπάνω από ένα αφηρημένο βασίλειο και επίσης είναι πιθανό πως εκεί τα ιδανικά οχήματα δεν είναι μοναδικά. Ο ανθρωπισμός του Χερς μετατράπηκε σε ποσειδώνειο συντηρητισμό: τα μαθηματικά τους θα είναι ένα κοινωνικό κατασκεύασμα συμφωνημένο από τη δική τους κοινωνία. Αν έχουν κοινωνία. Αν πάλι δεν έχουν, -αν τα επιμέρους άτομα δεν επικοινωνούν—, άραγε, έχουν οποιαδήποτε αντίληψη περί μαθηματικών; Όπως εμείς δεν μπορούμε να φανταστούμε κάποια μαθηματικά που να μη θεμελιώνονται στο αριθμητικό σύστημα μέτρησης, με το ίδιο σκεπτικό δεν μπορούμε να φανταστούμε ένα «νοήμον» είδος του οποίου τα μέλη δεν επικοινωνούν μεταξύ τους. Ωστόσο, το ότι δεν μπορούμε να φανταστούμε κάτι, δεν αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει.

Συγνώμη, νομίζω πως ξέφυγα από το θέμα. Τι είναι τα μαθηματικά; Στην απελπισία τους, ορισμένοι προτείνουν τον ορισμό «Μαθηματικά είναι αυτό που κάνουν οι μαθηματικοί». Και τι είναι οι μαθηματικοί; «Άνθρωποι που κάνουν μαθηματικά». Αυτή η συζήτηση είναι σχεδόν πλατωνική μέσα στην τέλεια κυκλικότητά της. Αλλά επίτρεψέ μου να διατυπώσω μια παρόμοια ερώτηση. Τι είναι ένας επιχειρηματίας; Κάποιος που κάνει επιχειρήσεις; Όχι ακριβώς. Είναι κάποιος που βλέπει ευκαιρίες για να κάνει επιχειρήσεις όταν κάποιοι άλλοι δεν τις βλέπουν.

Μαθηματικός είναι κάποιος που βλέπει ευκαιρίες για να κάνει μαθηματικά.