Θεωρία σφαλμάτων

Θεωρία σφαλμάτων ονομάζεται η θεωρία που ασχολείται με το σφάλμα στις μετρήσεις. Κάθε φορά που γίνεται μία μέτρηση με κάποιο όργανο στο εργαστήριο υπάρχει μια κάποια αναπόφευκτη και ποσοτικά εκφρασμένη έλλειψη ακρίβειας. Η θεωρία σφαλμάτων μελετά τρόπους για τον ακριβή προσδιορισμό της ακρίβειας μέτρησης η ισοδύναμα τον ακριβή προσδιορισμό του σφάλματος.

Ο όρος σφάλμα χρησιμοποιείται εδώ με την στατιστική έννοια του σφάλματος, δηλαδή με την έννοια της στατιστικής απόκλισης, και όχι με την έννοια του «μη-ορθού» ή του «λάθους». Το σφάλμα ορίζεται ως η έλλειψη ακρίβειας που υπάρχει αναγκαστικά στις μετρήσεις και στα όργανα και μεθόδους μέτρησης. Αν υπάρχουν πολλοί παράγοντες σφάλματος, τότε ως σφάλμα μέτρησης ορίζεται το μεγαλύτερο σφάλμα.

Η απόκλιση του σφάλματος από την πραγματική τιμή που θέλουμε να μετρήσουμε περιορίζει την ακρίβεια της μέτρησης. Η ακρίβεια της μέτρησης είναι μέτρο της ποιότητάς της. Γενικά, χρειάζεται προσοχή κατά τη μέτρηση και κατανόηση του πειράματος και της θεωρίας στην οποία στηρίζεται. Κατά την καταγραφή της εκτιμώμενης πραγματικής τιμής χρειάζεται να αναφέρεται και η ακρίβειά της. Αυτό γίνεται με τον προσδιορισμό της ακρίβειας σε μονάδες της τιμής και με την αναγραφή του δεξιά της τιμής συνοδευόμενο με το διπλό πρόσημο ±. Για παράδειγμα η τιμή (14±1) m σημαίνει πως εκτιμώμενη πραγματική τιμή είναι τα 14 μέτρα με ακρίβεια 1 μέτρου. Η ακρίβεια μπορεί να γίνει εμφανής και στις γραφικές παραστάσεις.

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η αρχή της απροσδιοριστίας αναφέρεται σε χαρακτηριστικές περιπτώσεις σφαλμάτων, αφού συσχετίζει τις ακρίβειες δύο μεγεθών. Η σημασία του σφάλματος είναι τέτοια που μπορεί να κρίνει το αποτέλεσμα του πειράματος. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση όπου στην έκλειψη ηλίου παρατηρήθηκε το φαινόμενο της κάμψης του φωτός, αλλά αργότερα το αποτέλεσμα αμφισβητήθηκε, γιατί το σφάλμα ήταν αρκετά μεγάλο για να εξαχθεί το συμπέρασμα.

Είδη σφαλμάτων: Τα σφάλματα χωρίζονται σε κατηγορίες, ώστε όταν εντοπιστούν να μπορούμε με βάση την εμπειρία να τα παρακάμψουμε. Επιπλέον, είναι χρήσιμο να προβλέπονται τα σφάλματα και να ερμηνεύεται η προέλευσή τους. Μερικά είδη σφαλμάτων είναι:

> Σφάλματα ανάγνωσης, όπως η λανθασμένη ανάγνωση της ένδειξης ενός βολτομέτρου, όπως είναι η ανάγνωση της τιμής 6 αντί της τιμής 0. Για να περιοριστούν αυτά τα λάθη τα όργανα είναι ψηφιακά

> Σφάλμα παράλλαξης, αν η ένδειξη γίνεται από βελόνα, χρειάζεται σωστή οπτική γωνία για τη σωστή ανάγνωση, αλλιώς η μέτρηση θα είναι λάθος. Αυτό είναι το σφάλμα παράλλαξης. Για την αποφυγή αυτού του σφάλματος διαθέτουν καθρέφτη. Η οπτική γωνία είναι σωστή όταν δε φαίνεται το κατοπτρικό της είδωλο.

> Σφάλμτα μελετητών που εκτιμούν τις μετρήσεις, όπως η ανάγνωση ενός κακογραμμένου 0 ως 6 ή η ανάγνωση του ε σαν e (το ένα μπορεί να είναι η διηλεκτρική σταθερά και το άλλο η σταθερά του Όιλερ).

> Σφάλματα των οργάνων, δηλαδή το όργανο μπορεί να είναι λάθος από κατασκευή, μπορεί να έχει χαλάσει ή για κάποιο λόγο να υπολειτουργεί. Επίσης κάθε όργανο έχει μία ελάχιστη και μία μέγιστη τιμή, ενώ δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μέτρηση μικρότερων ή μεγαλύτερων τιμών. Η ελάχιστη τιμή που μπορεί να μετρηθεί με το όργανο είναι το ελάχιστο δυνατό σφάλμα της μέτρησης. Επομένως, δεν υπάρχει μέτρηση χωρίς σφάλμα.

Προσδιορισμός τιμής: Η διαπίστωση και εκτίμηση της ακρίβειας μέτρησης μπορεί να γίνει με την επανάληψη της μέτρησης. Όσο λιγότερο αποκλίνουν οι μετρούμενες τιμές, τόσο ακριβέστερο είναι το αποτέλεσμα που θα καταγράψουμε ως τιμή της μέτρησης. Ταυτόχρονα, όσο περισσότερο επαναλαμβάνεται μια τιμή, τόσο πιο πιθανό είναι η συγκεκριμένη τιμή να είναι η πραγαμτική τιμή.

Το φαινόμενο της επαναλαμβανόμενης μέτρησης της ίδιας τιμής ονομάζεται επαναληψιμότητα της τιμής. Έτσι, η τιμή με τη μεγαλύτερη επαναληψιμότητα μάλλον είναι η πραγματική τιμή. Πριν όμως καταλήξουμε σε αυτό το συμπέρασμα πρέπει να ελέγξουμε αν κάποιο σφάλμα επαναλαμβάνεται συστηματικά (συστηματικό σφάλμα), για παράδειγμα σε μια μέτρηση μήκους δεν βλέπουμε ότι το μέτρο που χρησιμοποιούμε δεν είναι εκατοστά αλλά ίντσες.

Με βάση τα παραπάνω, αν γίνουν πολλές μετρήσεις και δείχνουν την ίδια τιμή, τότε σχεδόν σίγουρα η πραγματική τιμή του μεγέθους είναι αυτή η τιμή.

Αντίθετα, αν σε πολλές επαναλήψεις μετρηθούν πολλές τιμές και μερικές από αυτές αποκλίνουν αρκετά, τότε χρησιμοποιούμε ορισμένες μεθόδους, για την απαλοιφή των ακραίων τιμών και τον υπολογισμό της κεντρικής τιμής των μετρήσεων. Ως κεντρική τιμή των εγκεκριμένων μετρήσεων συνήθως λαμβάνουμε τη μέση τιμή τους (τον αριθμητικό μέσον όρο). Θεωρούμε ότι αυτή η κεντρική τιμή είναι η πραγματική, γιατί σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων αυτή η τιμή είναι πιο πιθανό να είναι η πραγματική τιμή.

Υπολογισμοί: Εκτός από τη μέτρηση το σφάλμα θα εξακολουθεί να υπάρχει και στους υπολογισμούς με τη συγκεκριμένη τιμή, ακόμα και αν θεωρήσουμε ότι όλες οι πράξεις γίνονται σωστά. Η εμπειρία έχει δείξει ότι η πιθανότητα να υπάρξει υπολογιστικό σφάλμα αυξάνεται σημαντικά μαζί με το πλήθος και την πολυπλοκότητα των πράξεων, για αυτό αναζητούνται συνεχώς αποδοτικές και ελέγξιμες υπολογιστικές μέθοδοι. Υπάρχουν και κανόνες που αναφέρονται στην ακρίβεια του αποτελέσματος των υπολογισμών, όπως είναι η έννοια των σημαντικών ψηφίων και της στρογγυλοποίησης.