Να δίνεις μια λελογισμένη εξήγηση αυτού που γνωρίζεις – δηλαδή μια απόδειξη.

Στην Πολιτεία. ο Πλάτων αναπτύσσει την πιο φιλόδοξη ίσως θεωρία της γνώσης που παρουσίασε ποτέ ένας φιλόσοφος. Τώρα, όποιος φιλοδοξεί να είναι γνώστης θα πρέπει να ολοκληρώσει μία πολυετή μαθητεία στα μαθηματικά. Τα μαθηματικά (και ως «μαθηματικά» έχει κατά νου το είδος της συστηματικής γεωμετρίας, της οποίας έχουμε ένα μεταγενέστερο παράδειγμα, τον Ευκλείδη) είναι εντυπωσιακά για την ακρίβεια, το σύστημα και την σαφήνειά τους. Εντυπωσίασαν τον Πλάτωνα ως το τέλειο παράδειγμα ενός δομημένου σώματος γνώσης, την οποία ανέκαθεν έθετε ως προϋπόθεση το «πρότυπο ειδημοσύνης». Επιπλέον, όλα τα γνωρίσματα του προτύπου ειδημοσύνης φαίνεται να ταιριάζουν με τα μαθηματικά, με τρόπο ξεκάθαρο και εντυπωσιακό.

Τα μαθηματικά δεν είναι ένας σωρός από επιμέρους αποτελέσματα’ συγκεκριμένα θεωρήματα ολοφάνερα εξαρτώνται από άλλα αποτελέσματα, που αποδεικνύονται με τη σειρά τους. Το όλο σύστημα ξεκινά από ένα σαφές και περιορισμένο σύνολο εννοιών και αξιωμάτων. Εξίσου διαυγής και αυστηρός είναι τρόπος με τον οποίο, από αυτές τις πρώτες αρχές, οδηγούμαστε σε επιμέρους αποτελέσματα. Εύκολα καταλαβαίνουμε γιατί ο Πλάτων ανακάλυψε, σε μια πρώιμη εκδοχή του Ευκλείδη, ένα εξαίσιο μοντέλο γνώσης – ένα δομημένο και ενοποιημένο σύστημα, όπου είναι απόλυτα σαφές τι γνωρίζει ο γνώστης και πώς το γνωρίζει, πώς το σύστημα διατηρεί τη συνοχή του και τι σημαίνει να δίνεις μια λελογισμένη εξήγηση αυτού που γνωρίζεις – δηλαδή μια απόδειξη.

Τα μαθηματικά ως μοντέλο γνώσης επίσης εισάγουν δύο νέα στοιχεία. Το πρώτο είναι πως τα μαθηματικά αποτελέσματα είναι αδιαμφισβήτητα. Δεν σπαταλούμε χρόνο επιχειρηματολογώντας ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι λάθος. Έχουμε δει ότι η βεβαιότητα και η δικαιολόγηση αυτού που γνωρίζουμε δεν προέχουν στην δέσμη των ζητημάτων στα οποία επικεντρώνεται το πρότυπο ειδημοσύνης, όπου σημασία έχει η κατανόηση που μπορεί να εφαρμοστεί στην πράξη. Ωστόσο τον Πλάτωνα, είναι φανερό, τον μαγνητίζει η ιδέα ενός σώματος γνώσης που δεν θα εκτίθεται σε σοβαρές αμφισβητήσεις.

Το δεύτερο στοιχείο προκύπτει από το γεγονός ότι τα μαθηματικά μάς προσφέρουν ένα σώμα στέρεης γνώσης, που δεν φαίνεται με κανέναν ευλογοφανή τρόπο να έχει ως αντικείμενό της τον κόσμο που βιώνουμε καθημερινά μέσω των αισθήσεων. Το Πυθαγόρειο θεώρημα δεν ανακαλύφθηκε με μετρήσεις αληθινών, χαραγμένων στο χώμα, τριγώνων και των γωνιών τους, και οι τυχόν ακανόνιστες πλευρές και γωνίες είναι προφανώς άσχετες με αυτό. Ο Πλάτων γοητεύεται από την ιδέα ότι μπορεί να υπάρξει ένα σώμα γνώσης στο οποίο θα έχουμε πρόσβαση χρησιμοποιώντας μόνο το νου και τη λογική μας. Δεν είναι ο τελευταίος φιλόσοφος που δελεάστηκε από την άποψη ότι οι δυνάμεις του φιλοσοφικού στοχασμού είναι -πιο εξελιγμένες- εκδοχές της ικανότητάς μας να σκεφτόμαστε μαθηματικά.