“Όταν ξεκινήσουμε να διατυπώνουμε την θεωρία, μπορούμε να φανταστούμε ότι τα ακαθόριστα σύμβολα είναι εντελώς άνευ νοήματος και ότι οι προτάσεις χωρίς απόδειξη είναι απλά όροι που επιβάλλονται επί των ακαθόριστων συμβόλων. Έπειτα το σύστημα των ιδεών που έχουμε αρχικά επιλέξει είναι απλά μια ερμηνεία των ακαθόριστων συμβόλων, αλλά αυτή η ερμηνεία μπορεί να αγνοηθεί από τον αναγνώστη, οποίος είναι ελεύθερος να την αντικαταστήσει στο μυαλό του με μια άλλη ερμηνεία… η οποία πληροί τις προϋποθέσεις.
Έτσι, τα λογικά ερωτήματα γίνονται εντελώς ανεξάρτητα από τα εμπειρικά ή τα ψυχολογικά ερωτήματα… Το σύστημα των ακαθόριστων συμβόλων μπορεί τότε να θεωρηθεί ως η αφαίρεση που λαμβάνεται από τις εξειδικευμένες θεωρίες που προκύπτουν όταν το σύστημα των απροσδιόριστων συμβόλων αντικαθίσταται διαδοχικά από κάθε μία από τις ερμηνείες.”
Padoa, Essai d’une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive qulelconque
Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 325 π.κ.ε. – 265 π.κ.ε.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.κ.ε. – 283 π.κ.ε.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας της Γεωμετρίας». Ο Ευκλείδης κατέχει μια κρίσιμη θέση στην ιστορία της Λογικής και των Μαθηματικών, καθώς είναι ο πρώτος που παράγει ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις (αιτήματα). Κατ’ αυτό το τρόπο περιέλαβε στο σύστημα αυτό και προτάσεις ήδη διατυπωμένες παλαιότερων σημαντικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής και ο Εύδοξος.
Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη έκτος από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Ελλάδα, αλλά η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.
Τα «Στοιχεία» του Ευκλείδη
Το πιο γνωστό έργο του είναι τα Στοιχεία, που αποτελείται από 13 βιβλία. Εκεί, οι ιδιότητες των γεωμετρικών αντικειμένων και των ακεραίων αριθμών προκύπτουν από ένα σύνολο αξιωμάτων, εμπνέοντας την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Παρ’ ότι πολλά από τα θεωρήματα που περιέχονταν στα Στοιχεία ήταν ήδη γνωστά, ένα από τα επιτεύγματα του Ευκλείδη ήταν ότι τα παρουσίασε σε ένα ενιαίο, λογικά συμπαγές πλαίσιο.
Το έργο του Ευκλείδη ήταν τόσο σημαντικό ώστε η γεωμετρία που περιέγραψε στα Στοιχεία του (η βάση της οποίας είναι: έστω μία ευθεία ε και ένα σημείο Α όχι πάνω σε αυτήν την ευθεία, τότε υπάρχει μόνο μία ευθεία, παράλληλη της ε, που διέρχεται από το Α) ονομάστηκε Ευκλείδεια, ενώ τα Στοιχεία σήμερα θεωρούνται ένα από τα σημαντικότερα μαθηματικά έργα όλων των εποχών. Όταν ο Πτολεμαίος Α΄ του ζήτησε έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχεία του για να μάθει Γεωμετρία η απάντηση του μεγάλου μαθηματικού ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για την Γεωμετρία».
Αναφορά, επίσης, στον Ευκλείδη γίνεται και στο Ανθολόγιο του Στοβαίου όπου γράφονται τα ακόλουθα: “Παρ’ Εὐκλείδη τις ἀρξάμενος γεωμετρεῖν, ὡς τὸ πρῶτον θεώρημα ἔμαθεν, ἤρετο τὸν Εὐκλείδη: “Τί δέ μοι πλέον ἔσται ταῦτα μαθόντι;” καὶ ὁ Εὐκλείδης τὸν παῖδα καλέσας “Δός”, ἔφη, “αὐτῷ τριώβολον, ἐπειδὴ δεῖ αὐτῷ ἐξ ὧν μανθάνει κερδαίνειν”.
Σε ελεύθερη απόδοση: «Κάποιος που είχε αρχίσει να διδάσκεται γεωμετρία δίπλα στον Ευκλείδη, μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: “Τι περισσότερο θα κερδίσω αν τα μάθω όλα αυτά;” Τότε ο Ευκλείδης φώναξε τον δούλο του και του είπε: “Δώσε σε αυτόν τρεις οβολούς, διότι έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει».
Τα Στοιχεία του Ευκλείδη (Στοιχεῖα)
Είναι μια μαθηματική και γεωμετρική διατριβή που αποτελείται από 13 βιβλία γραμμένα από τον Ευκλείδη στην Αλεξάνδρεια περίπου το 300 π.κ.ε. Περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωριών που ορίζουν τη μαθηματική σκέψη από τότε. Τα περιεχόμενα καλύπτουν την ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά και την αρχαιοελληνική θεωρία των αριθμών, όπως και ένα αλγεβρικό σύστημα που έγινε γνωστό ως «γεωμετρική άλγεβρα» και το οποίο είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επιλύει πολλά αλγεβρικά προβλήματα, όπως αυτό της εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας.
Το όνομα «Στοιχεία» είναι ο πληθυντικός του «στοιχείον». Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο όρος «στοιχείον» σημαίνει ένα θεώρημα που υπεισέρχεται σε άλλα προβλήματα του κλάδου του και βοηθά να αποδειχθούν πολλά άλλα θεωρήματα. Επειδή η λέξη «στοιχείον» στην αρχαία ελληνική γλώσσα σημαίνει και «γράμμα» υποδηλώνεται ότι τα θεωρήματα των Στοιχείων θα πρέπει να τα αντιλαμβανόμαστε, ως έχοντα την ίδια σχέση με τη γεωμετρία όπως τα γράμματα με τη γλώσσα. Οι μεταγενέστεροι σχολιαστές αποδίδουν μια ελαφρώς διαφορετική σημασία στον όρο, τονίζοντας το πώς οι προτάσεις προχωρούν με μικρά βήματα και «χτίζουν» επάνω σε προηγούμενες προτάσεις με μια καλώς καθορισμένη σειρά.
Τα Στοιχεία θεωρούνται η παλαιότερη πραγματεία και είναι η παλαιότερη μαθηματική θεωρία. Αποδείχθηκε βασική για τη δημιουργία και την εξέλιξη της λογικής και της σύγχρονης επιστήμης.
Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Παλλάδας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι’ αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια. Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγράφεις τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα.
Υπάρχουν 13 συνολικά βιβλία στα Στοιχεία:
Τα βιβλία I-IV και VI ασχολούνται με γεωμετρία επιπέδου. Έχουν αποδειχτεί πολλά αποτελέσματα για το επίπεδο, όπως ότι “Για κάθε τρίγωνο αν πάρουμε δύο γωνίες μαζί με οποιονδήποτε τρόπο, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα μικρότερο από δύο ορθές γωνίες” (Βιβλίο I Πρόταση 17), ή το Πυθαγόρειο θεώρημα “Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών” (Βιβλίο I Πρόταση 47).
Τα βιβλία V και VII-X έχουν να κάνουν με θεωρία αριθμών, με αριθμούς που αντιμετωπίζονται γεωμετρικά μέσω της αναπαράστασης τους ως ευθύγραμμα τμήματα με διάφορα μήκη. Εισάγονται και έννοιες όπως πρώτοι αριθμοί, ρητοί και άρρητοι αριθμοί. Επίσης αποδεικνύεται και η απειρία των πρώτων αριθμών.
Τέλος τα βιβλία XI-XIII μιλούν για στερεομετρία. Ένα γνωστό αποτέλεσμα είναι η εύρεση του λόγου του όγκου ενός κώνου και ενός κυλίνδρου με ίδιο ύψος και βάση που είναι ίσος με 1:3.
Μία σφαίρα κατέχει τα 2/3 του όγκου και της επιφάνειας ενός κυλίνδρου που περικλείει.
Μία σφαίρα και ένας κύλινδρος τοποθετήθηκαν στον τάφο του Αρχιμήδη -μετά από αίτημά του.
Ευκλείδεια γεωμετρία
Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη χωρικών σχέσεων, δηλαδή σχέσεων μεταξύ σχημάτων που έχουν ιδιότητες όπως μήκος και όγκο και εκτείνονται στο χώρο. Εμπειρικά, αλλά και διαισθητικά, οι άνθρωποι από την αρχαιότητα χαρακτήριζαν το χώρο μέσω συγκεκριμένων θεμελιωδών εννοιών, όπως είναι η επιφάνειες οι γραμμές και τα σημεία. Λόγω των άμεσων πρακτικών της εφαρμογών, η Γεωμετρία ήταν ανάμεσα στους πρώτους ιστορικά κλάδους των μαθηματικών.
Οι Αρχαίοι Έλληνες, θεωρώντας ότι τα Μαθηματικά πρέπει να είναι διαχωρισμένα από την εμπειρική γνώση οδηγήθηκαν στη θεμελίωση του πρώτου αξιωματικού συστήματος των μαθηματικών, αυτό της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα, ο Ευκλείδης όπως είπαμε ήδη, περίπου το 300 π.κ.ε. με το βιβλίο του “Στοιχεία” που το αποτελούσαν 13 τόμοι, ήταν ο πρώτος που τοποθέτησε τη γεωμετρία σε αξιωματική βάση, δικαιολογημένος λοιπόν και ο όρος «Ευκλείδεια γεωμετρία».
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση), τις γραμμές (με μία διάσταση) και τις επιφάνειες (με δύο διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν.
Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για «γραμμές της ασφάλτου» ή «σιδηροδρομικές γραμμές», ή «ακτοπλοϊκές γραμμές» λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις».
Έργα του.
Στοιχεία: Αν και γνωστά για τα γεωμετρικά τους αποτελέσματα, τα Στοιχεία περιέχουν και την θεωρία των αριθμών. Θεωρείται η ένωση ανάμεσα στους τέλειους αριθμούς και τους αριθμούς του Μερσέν (γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ), η απειρία των πρώτων αριθμών λήμμα του Ευκλείδη στην παραγοντοποίηση (η οποία οδηγεί στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, της μοναδικότητας και του Ευκλείδειου αλγορίθμου για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών). Το γεωμετρικό σύστημα που περιγράφεται στα στοιχεία ήταν γνωστό από καιρό απλά ως γεωμετρία, και θεωρήθηκε ότι είναι η μοναδική γεωμετρία. Σήμερα, ωστόσο, το σύστημα αυτό αποκαλείται Ευκλείδεια γεωμετρία για να διακρίνεται από άλλες λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες που οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τον 19ο αιώνα.
Οπτική: Η οπτική είναι η αρχαιότερη σωζόμενη ελληνική πραγματεία σχετικά με την προοπτική. Στους ορισμούς του Ευκλείδη ακολουθεί την πλατωνική παράδοση ότι το όραμα προκαλείται από διακριτές ακτίνες που προέρχονται από το μάτι. Ένας σημαντικός ορισμός είναι ο τέταρτος: «Τα πράγματα που φαίνονται υπό μια μεγαλύτερη γωνία φαίνονται μεγαλύτερα και εκείνα κάτω από μια μικρότερη γωνία λιγότερο, ενώ εκείνα κάτω από ίσες γωνίες φαίνονται ίσα.» Στις 36 προτάσεις που ακολουθούν, ο Ευκλείδης συσχετίζει το φαινομενικό μέγεθος ενός αντικειμένου με την απόστασή του από το μάτι και διερευνά τα φαινομενικά σχήματα κυλίνδρων και κώνων όταν βλέπουν από διαφορετικές γωνίες. Η πρόταση 45 είναι ενδιαφέρουσα, αποδεικνύοντας ότι για οποιαδήποτε δύο άνισα μεγέθη υπάρχει ένα σημείο από το οποίο τα δύο φαίνονται ίσα. Ο Πάππος πίστευε ότι αυτά τα αποτελέσματα ήταν σημαντικά στην αστρονομία και συμπεριέλαβαν την οπτική του Ευκλείδη, στη Μικρή Αστρονομία, μια συλλογή μικρότερων έργων που πρέπει να μελετηθούν πριν από την Σύνταξη του Κλαύδιου Πτολεμαίου.
Κατοπτρική: Αφορά την κατοπτρική θεωρία των μαθηματικών και πιο συγκεκριμένα τις εικόνες που σχηματίζονται σε απλή και σφαιρική κοίλη με το κάτοπτρο.
Δεδομένα: Τα δεδομένα ασχολούνται με την φύση και τις συνέπειες των δοσμένων πληροφοριών στα γεωμετρικά προβλήματα, θέμα που είναι στενά συνδεδεμένο με τα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων.
Φαινόμενα: Είναι μια πραγματεία για την σφαιρική αστρονομία.
Χαμένα έργα
«Κωνικά» Τα κωνικά ήταν ένα έργο για τις κωνικές τομές που αργότερα επεκτάθηκε από τον Απολλώνιο της Πέργης στο διάσημο έργο του για το θέμα. Είναι πιθανό τα πρώτα τέσσερα βιβλία του έργου του Απολλώνιου να προέρχονται απευθείας από τον Ευκλείδη. Σύμφωνα με τον Πάππο, «ο Απολλώνιος, αφού ολοκλήρωσε τα τέσσερα βιβλία των κωνικών του Ευκλείδη και πρόσθεσε τέσσερις άλλους, έδωσε οκτώ τόμους κώνων». Τα κωνικά του Απολλώνιου αντικατέστησαν γρήγορα την προηγούμενη δουλειά από την εποχή του Πάππου, το έργο του Ευκλείδη είχε ήδη χαθεί.
«Μηχανική» Αρκετά έργα στον τομέα της μηχανικής αποδίδονται στο Ευκλείδη, από αραβικές πηγές. Σε αυτό που περιέχει το βαρύ και το ελαφρύ, σε εννέα ορισμούς και πέντε προτάσεις, Αριστοτελικές αντιλήψεις για κινούμενα σώματα και την έννοια της ειδικής βαρύτητας. Στον χειρισμό της βαρύτητας αντιμετωπίζεται η θεωρία του μοχλού με έναν παρόμοιο ευκλείδειο τρόπο, ο οποίος περιέχει έναν ορισμό, δύο αξιώματα και τέσσερις προτάσεις. Ένα τρίτο κομμάτι, στους κύκλους που περιγράφονται από τα άκρα ενός κινούμενου μοχλού, περιέχει τέσσερις προτάσεις. Αυτά τα τρία έργα συμπληρώνουν το ένα το άλλο με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουν προταθεί ότι είναι υπολείμματα μιας ενιαίας πραγματικότητας για την μηχανική που γράφει ο Ευκλείδης.
Έννοιες – προτάσεις
Πρωταρχικές έννοιες (ή αλλιώς, θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία είναι το σημείο, η ευθεία γραμμή, η γραμμή, το επίπεδο και η επιφάνεια. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθινές: τα αξιώματα. Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα αξιώματα) την θεωρούμε ώς αληθή μόνο εάν έχουμε καταλήξει σε αυτή αποδεικνύοντας την με βάση τα αξιώματα, κατά συνέπεια κάθε αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης πρότασης.
Κάθε πρόταση περιέχει την υπόθεση και το συμπέρασμα, στο οποίο καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.
Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται συνθήκες της πρότασης.
Στην Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται:
-Αντίστροφες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
-Αντίθετες: όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης.
-Αντιστροφοαντίθετες: όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται ευθεία πρόταση και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα. Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και ισοδύναμες όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται αναγκαία και ικανή συνθήκη για την άλλη. Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην Επιπεδομετρία και στην Στερεομετρία.
Βασικά στοιχεία της ευκλείδειας γεωμετρίας
Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε αξιωματικής θεωρίας, ξεκινά από πρωταρχικές έννοιες, οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του ανήκειν, αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λ.π. Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα αξιώματα, δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία.
Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα Αξιώματα Χίλμπερτ. Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα αποδεικνύοντας όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση κατασκευαστική και συνίσταται στη χρήση κανόνα και διαβήτη. Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
Ευκλείδεια γεωμετρία
Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα μαθηματικό σύστημα που αποδίδεται στον αλεξανδρινό Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη και περιγράφεται στο βιβλίο του γεωμετρίας με όνομα: τα Στοιχεία. Η μέθοδος του Ευκλείδη βασίζεται στην υπόθεση ενός μικρού συνόλου αξιωμάτων και στην εξαγωγή πολλών προτάσεων (θεωρημάτων) από αυτά. Αν και πολλά από τα αποτελέσματα της δουλείας του Ευκλείδη έχουν αναφερθεί νωρίτερα από άλλους μαθηματικούς, ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που έδειξε πως αυτές οι προτάσεις μπορούν να εισαχθούν σε ένα περιεκτικό επαγωγικό και λογικό σύστημα. Τα Στοιχεία αρχίζουν με επιπεδομετρία που διδάσκεται στο σχολείο ως το πρώτο αξιωματικό σύστημα αλλά και τα πρώτα παραδείγματα επίσημης απόδειξης και στην συνέχεια ασχολούνται με στερεομετρία τριών διαστάσεων. Το μεγαλύτερο μέρος των Στοιχείων αποτελούν κομμάτια της σημερινής άλγεβρας και θεωρίας αριθμών, γραμμένα σε γλώσσα γεωμετρίας.
Για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια το επίθετο “Ευκλείδεια” γεωμετρία δεν ήταν απαραίτητο γιατί κανένα άλλο είδος γεωμετρίας δεν είχε δημιουργηθεί. Τα αξιώματα του Ευκλείδη διαισθητικά φαίνονταν τόσο προφανή (με πιθανή εξαίρεση το αξίωμα παραλληλίας) που κάθε θεώρημα που αποδεικνυόταν με αυτά κρινόταν σωστό με απόλυτη βεβαιότητα. Σήμερα παρ’ όλα αυτά υπάρχουν πολλές ακόμα γεωμετρίες μη Ευκλείδειες που ανακαλύφθηκαν κατά τις αρχές του 19ου αιώνα. Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν μάλιστα είπε με την ανακάλυψη της θεωρίας της σχετικότητας ότι ο πραγματικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος, αλλά ο Ευκλείδειος χώρος είναι μια καλή προσέγγιση για περιοχές που το βαρυτικό πεδίο είναι αδύναμο.
Κλάδοι γεωμετρίας: Ευκλείδεια γεωμετρία, Σφαιρική γεωμετρία, Αναλυτική γεωμετρία, Υπερβολική γεωμετρία, Προβολική γεωμετρία, Ελλειπτική γεωμετρία. Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα παράδειγμα γεωμετρίας που δουλεύει χωρίς την χρήση συντεταγμένων. Αντίθετα αν θέλουμε να δουλέψουμε με συντεταγμένες καταφεύγουμε στην αναλυτική γεωμετρία.
Αντικείμενο
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στον χώρο διακρίνουμε τα σημεία (χωρίς καμία διάσταση), τις γραμμές (με μία διάσταση) και τις επιφάνειες (με δύο διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για «γραμμές της ασφάλτου» ή «σιδηροδρομικές γραμμές», ή «ακτοπλοϊκές γραμμές» λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό σημείο. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς όρους» και άλλοτε «γεωμετρικές προτάσεις».
Ο Ευκλείδης πίστευε ότι τα αξιώματά του ήταν αυτονόητες καταστάσεις σχετικά με την φυσική πραγματικότητα. Οι αποδείξεις του Ευκλείδη βασίζονταν πάνω σε παραδοχές οι οποίες ίσως να μην ήταν προφανείς στα θεμελιώδη αξιώματα του Ευκλείδη και πιο συγκεκριμένα ότι ορισμένες αριθμητικές κινήσεις δεν αλλάζουν τις γεωμετρικές τους ιδιότητες όπως τα μήκη των πλευρών και οι εσωτερικές γωνίες, οι λεγόμενες Ευκλείδειες κινήσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν μεταφορές, ανακλάσεις και περιστροφές στοιχείων. Λαμβάνοντάς τα ως φυσικές περιγραφές του χώρου, το αξίωμα 2 (επέκταση γραμμής) ισχυρίζεται ότι ο χώρος δεν έχει οπές ή όρια (με αλλά λόγια, ο χώρος είναι ομοιογενής και απεριόριστος), το αξίωμα 4 (ισότητα ορθών γωνιών) λέει ότι ο χώρος είναι ισοτροπικός και τα στοιχεία μπορούν να μετακινηθούν σε οποιαδήποτε τοποθεσία όσο διατηρούν μία μαθηματική αναλογία και το αξίωμα 5 (παράλληλο αξίωμα) ότι ο χώρος είναι επίπεδος (δεν έχει καθόλου εγγενή καμπυλότητα).
Ο διφορούμενος χαρακτήρας των αξιωμάτων όπως διατυπώθηκαν αρχικά από τον Ευκλείδη δημιούργησε αρκετές διαφωνίες και υπαινιγμούς σχετικά με την δομή του χώρου, όπως αν είναι άπειρος ή όχι και ποια είναι η τοπολογία του. Στην σύγχρονη εποχή οι πιο αυστηρές αναδιατυπώσεις του συστήματος έχουν ως στόχο έναν καλύτερο διαχωρισμό αυτών των ζητημάτων. Ερμηνεύοντας τα αξιώματα του Ευκλείδη με μία πιο μοντέρνα και σύγχρονη προσέγγιση, τα αξιώματα 1-4 έχουν μία συνέπεια ως προς τον άπειρο ή πεπερασμένο χώρο (όπως στην ελλειπτική γεωμετρία). Επίσης και τα 5 αξιώματα έχουν μία συνέπεια ως προς την ποικιλία των τοπολογιών (για παράδειγμα ένα επίπεδο, ένας κύλινδρος, ή ένα τόρος για την δισδιάστατη Ευκλείδεια γεωμετρία).
9ος αιώνας και μη Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο Καρνό και ο Μέμπιους ανέπτυξαν συστηματικά την χρήση των υπογεγραμμένων γωνιών και των ευθύγραμμων τμημάτων ως έναν τρόπο για την απλοποίηση και ενοποίηση των αποτελεσμάτων. Η σημαντικότερη εξέλιξη του αιώνα στη γεωμετρία σημειώθηκε όταν, γύρω στο 1830, ο Janos Bolyai και ο Νικολάι Λομπατσέφσκι δημοσίευσαν χωριστά έργο στην μη Ευκλείδεια γεωμετρία, στην οποία το αξίωμα των παραλλήλων δεν είναι έγκυρο. Δεδομένου ότι η μη Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποδεδειγμένα σχετικά συνδεδεμένη με την Ευκλείδεια γεωμετρία, το αξίωμα των παραλλήλων δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα.
Κατά τον 19ο αιώνα, έγινε επίσης αντιληπτό ότι τα δέκα αξιώματα και κοινές έννοιες του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να αποδείξουν όλα τα θεωρήματα που αναφέρονται στα Στοιχεία. Για παράδειγμα, ο Ευκλείδης υπέθεσε σιωπηρά ότι κάθε γραμμή περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία, αλλά η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα κι ως εκ τούτου θα πρέπει να αποτελεί από μόνης της ένα αξίωμα. Η πρώτη γεωμετρική απόδειξη στα Στοιχεία, είναι ότι κάθε τμήμα γραμμής είναι μέρος ενός τριγώνου. Ο Ευκλείδης το κατασκεύασε με τον συνήθη τρόπο, σχεδιάζοντας κύκλους γύρω από τα δύο τελικά σημεία και παίρνοντας την τομή τους ως την τρίτη κορυφή. Τα αξιώματά του, ωστόσο, δεν εγγυώνται ότι οι κύκλοι τέμνονται στην πραγματικότητα, επειδή δεν υποστηρίζουν την γεωμετρική ιδιότητα της συνέχειας, η οποία από Καρτεσιανή άποψη είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της πληρότητας των πραγματικών αριθμών. Ξεκινώντας από αυτό του Μόριτς Πας, το 1882,πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για γεωμετρία έχουν προταθεί, τα ποιο γνωστά από τα οποία είναι εκείνα των Χίλμπερτ, George Birkhoff και Τάρσκι.
Αν η υπόθεσή μας είναι για το οτιδήποτε, και όχι για ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα πράγματα, τότε τα συμπεράσματά μας αποτελούν μαθηματικά. Έτσι, τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δεν ξέρουμε ποτέ για τι πράγμα μιλάμε, ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.
Σε μια σφαίρα, το άθροισμα των γωνιών ενός τρίγωνου δεν είναι ίσο με 180°.
Η επιφάνεια της σφαίρας δεν είναι ευκλείδειος χώρος,
αλλά σε τοπικό επίπεδο οι νομοί της ευκλείδειας γεωμετρίας αποτελούν καλές προσεγγίσεις.
Για παράδειγμα σε ένα μικρό τρίγωνο που σχηματίζεται στην επιφάνεια της γης,
το άθροισμα των γωνιών του είναι σχεδόν ίσο με 180°.
Μη ευκλείδειες γεωμετρίες
Με τον όρο μη ευκλείδειες γεωμετρίες ονομάζουμε κάθε μοντέλο γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται στα περισσότερα από τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας αλλά δεν αποδέχεται κάποιο από τα αιτήματά της. Κυρίως αναφέρεται στις γεωμετρίες οι οποίες δεν αποδέχονται το 5ο αίτημα του Ευκλείδη, ότι δηλαδή από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος. Σήμερα οι κύριοι εκπρόσωποι αυτών των γεωμετριών είναι η υπερβολική γεωμετρία του Λομπατζέφσκι και η σφαιρική γεωμετρία του Ρήμαν.
Στα μαθηματικά, μια μη-Ευκλείδεια γεωμετρία συνίσταται από δύο γεωμετρίες βασισμένες σε αξιώματα στενά συνδεδεμένα με αυτά που προσδιορίζουν την Ευκλείδεια γεωμετρία. Καθώς η Ευκλείδεια γεωμετρία βρίσκεται στην τομή της μετρικής γεωμετρίας με την αφινική γεωμετρία (ομοπαραλληλική γεωμετρία), η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία προκύπτει όταν είτε η απαίτηση του μέτρου χαλαρώνει (ότι δηλαδή η συνάρτηση μέτρο παίρνει τιμές όχι μόνο στο [0,+οο) αλλά και σε άλλα διατεταγμένα σύνολα, είτε το αξίωμα των παραλλήλων αντικαθίσταται με ένα εναλλακτικό. Στην τελευταία περίπτωση έχουμε την υπερβολική γεωμετρία και την ελλειπτική γεωμετρία, τις κλασικές μη-ευκλείδειες γεωμετρίες. Όταν η απαίτηση του μέτρου χαλαρώνει, υπάρχουν ομοπαραλληλικά επίπεδα που σχετίζονται με επίπεδες άλγεβρες το οποίο οδηγεί στις κινηματικές γεωμετρίες οι οποίες επίσης έχουν αποκαλεστεί μη-Ευκλείδειες.
Η ουσιαστική διαφορά με τις μετρικές γεωμετρίες είναι στην φύση των παράλληλων ευθειών. Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη, το αξίωμα των παραλλήλων, είναι ισοδύναμο με το αξίωμα του Πλέιφερ, που δηλώνει ότι, σε ένα επίπεδο 2 διαστάσεων, για κάθε ευθεία ε και σημείο A, εκτός της ε, υπάρχει ακριβώς μια ευθεία διερχόμενη από το A που δεν τέμνει την ε. Αντίθετα, στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν άπειρες το πλήθος ευθείες διερχόμενες από το A που δεν τέμνουν την ε, ενώ στην ελλειπτική γεωμετρία, κάθε ευθεία διερχόμενη του A τέμνει την ε.
Άλλος τρόπος να περιγράψουμε την διαφορά μεταξύ αυτών των γεωμετριών είναι να θεωρήσουμε 2 ευθείες επ’ αόριστον επεκταμένες σε ένα δισδιάστατο επίπεδο που είναι και οι 2 κάθετες σε μία 3η ευθεία:
*Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία οι ευθείες διατηρούν σταθερή απόσταση η μία από την άλλη ακόμα και αν επεκταθούν στο άπειρο, και είναι γνωστές ως παράλληλες.
*Στην υπερβολική γεωμετρία καμπυλώνουν απομακρυνόμενες η μία από την άλλη, αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση καθώς η μία απομακρύνεται από τα σημεία τομής με την κοινή κάθετη; τέτοιες ευθείες συχνά αποκαλούνται υπερπαράλληλες.
*Στην ελλειπτική γεωμετρία καμπυλώνουν η μία προς την άλλη και τέμνονται.
Ενώ η Ευκλείδεια Γεωμετρία, που ονομάστηκε από τον Έλληνα Μαθηματικό Ευκλείδη, περιέχει μερικά από τα αρχαιότερα μαθηματικά, οι μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες δεν ήταν ευρέως αποδεκτές ως έγκυρες μέχρι τον 19ο αιώνα. Η αντιπαράθεση που τελικά οδήγησε στην ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών ξεκίνησε σχεδόν όταν γράφτηκε το έργο του Ευκλείδη Στοιχεία. Στο έργο Στοιχεία, ο Ευκλείδης ξεκίνησε με έναν περιορισμένο αριθμό υποθέσεων (23 ορισμοί, πέντε κοινές γνώμες, και πέντε αξιώματα) και προσπάθησε να αποδείξει όλα τα άλλα αποτελέσματα (προτάσεις) στο έργο. Η πιο αξιοσημείωτη από τις διατυπώσεις είναι συχνά αναφερόμενη ως «Το Πέμπτο Αξίωμα του Ευκλείδη», ή απλούστερα Αξίωμα των παραλλήλων στο οποίο αρχική διατύπωση του Ευκλείδη είναι:
Αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που σχηματίζονται να έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε, όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν απεριόριστα, θα συναντηθούν από εκείνη την πλευρά όπου σχηματίζονται οι μικρότερες των δύο ορθών γωνίες.
Άλλοι μαθηματικοί έχουν επινοήσει απλούστερες μορφές αυτής της ιδιότητας παρόλο που το πέμπτο αξίωμα εμφανίζει μεγαλύτερη πολυπλοκότητα από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη (τα οποία περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, «Μεταξύ οποιονδήποτε δύο σημείων μία ευθεία γραμμή μπορεί να σχηματιστεί»).
Για τουλάχιστον χίλια χρόνια, αυτοί που ασχολούνταν με την γεωμετρία ήταν προβληματισμένοι από την ανόμοια πολυπλοκότητα του πέμπτου αξιώματος, και πίστευαν ότι μπορούσε να αποδειχθεί ως ένα θεώρημα που προέρχεται από τα άλλα τέσσερα αξιώματα. Πολλοί προσπάθησαν να βρουν μία εις άτοπον απαγωγή, συμπεριλαμβανομένων των Ιμπν αλ-Χαϊτάμ (11ος αιώνας), Ομάρ Καγιάμ (12ος αιώνας), Νασίρ αλ-Ντιν αλ-Τουσίν (13ος αιώνας), και Τζιοβάνι Σεκέρι (18ος αιώνας).
Τα θεωρήματα των Ιμπν αλ-Χαϊθάμ, Καγιά και αλ-Τουσί για τετράπλευρα, συμπεριλαμβανομένων τα τετράπλευρο Lambert και τετράπλευρο Saccheri, ήταν τα πρώτα θεωρήματα της Υπερβολικής γεωμετρίας και της Ελλειπτικής γεωμετρίας. Αυτά τα θεωρήματα μαζί με εναλλακτικά αξιώματα τους, όπως το αξίωμα του Πλέιφερ, έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην μετέπειτα ανάπτυξη της μη Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Αυτές οι πρώτες απόπειρες να αμφισβητηθεί το πέμπτο αξίωμα είχε σημαντική επίδραση στην ανάπτυξη μεταξύ άλλων των Ευρωπαίων γεωμετρών, συμπεριλαμβανομένων των Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis και Saccheri. Όλες αυτές οι πρώιμες προσπάθειες γίνονταν στην προσπάθεια να διατυπωθεί η μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ωστόσο έδιναν εσφαλμένες αποδείξεις του αξιώματος των παραλλήλων, που περιείχαν υποθέσεις που ήταν ουσιαστικά ισοδύναμες με το αξίωμα των παραλλήλων. Αυτές οι πρώτες απόπειρες παρείχαν, ωστόσο, κάποιες πρώιμες ιδιότητες της υπερβολικής και ελλειπτικής γεωμετρίας.
Ο Khayyam, για παράδειγμα, προσπάθησε να το αποδείξει από ένα ισοδύναμο αξίωμα που διατυπώθηκε “οι αρχές του φιλόσοφου” (Αριστοτέλης): “Δύο συγκλίνουσες ευθείες τέμνονται και είναι αδύνατο για δύο συγκλίνουσες ευθείες να αποκλίνουν στην κατεύθυνση στην οποία αυτές συγκλίνουν.” Ο Khayyam εξέτασε στην συνέχεια τις τρεις σωστές περιπτώσεις, αμβλεία και οξεία ότι οι γωνίες κορυφής του τετράπλευρου Saccheri και μετά απέδειξε μία σειρά από θεωρήματα σχετικά με αυτά, διέψευσε σωστά τις περιπτώσεις της αμβλείας και οξείας γωνίας με βάση το αξίωμα του και ως εκ τούτου διατύπωσε το κλασικό αξίωμα του Ευκλείδη το οποίο δεν συνειδητοποίησε ότι ήταν ισοδύναμο με την δική του διατύπωση.
Άλλο ένα παράδειγμα είναι ο γιος του al-Tusi, ο Sadr al-Din (μερικές φορές γνωστός ως “Ψευδό-Tusi”), ο οποίος έγραψε ένα βιβλίο πάνω σε αυτό το θέμα το 1298, με βάση τις μετέπειτα σκέψεις του al-Tusi’s, στο οποίο παρουσίασε μία άλλη υπόθεση που ισοδυναμεί με το αξίωμα των παραλλήλων. Αυτός ουσιαστικά αναθεώρησε και το Ευκλείδειο σύστημα αξιωμάτων και τις διατυπώσεις και τις αποδείξεις από πολλά θεωρήματα από το βιβλίο “Στοιχεία.” Το έργο του δημοσιεύτηκε στην Ρώμη το 1594 και μελετήθηκε από τους Ευρωπαίους που ασχολούνταν με την γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων του Saccheri ο οποίος χαρακτήρισε αυτό το έργο τόσο καλό όσο αυτό του Wallis.
Ο Giordano Vitale, στο βιβλίο του Euclide restituo (1680, 1686), χρησιμοποίησε το τετράπλευρο Saccheri για να αποδείξει ότι εάν τρία σημεία ισαπέχουν από τη βάση ΑΒ και την κορυφή ΓΔ, τότε τα ΑΒ και ΓΔ έχουν παντού την ίδια απόσταση.
Σε ένα έργο με τίτλο Euclides ab Omni Naevo Vindicatus, που δημοσιεύτηκε το 1733, ο Saccheri γρήγορα απέρριψε την ελλειπτική γεωμετρία ως μία πιθανότητα (κάποια άλλα αξιώματα του Ευκλείδη έπρεπε να τροποποιηθούν ώστε να μπορέσουν να χρησιμοποιηθούν στην ελλειπτική γεωμετρία) και άρχισε να εργάζεται αποδεικνύοντας ένα μεγάλο αριθμό αποτελεσμάτων στην υπερβολική γεωμετρία.
Αυτός τελικά έφτασε σε ένα σημείο όπου πίστευε ότι τα αποτελέσματα του αποδείκνυαν την αδυναμία της υπερβολικής γεωμετρίας. Ο ισχυρισμός του φαίνεται να έχει βασιστεί στις Ευκλείδειες υποθέσεις, γιατί η μη λογική αντίφαση ήταν παρούσα. Σε αυτή την προσπάθεια να αποδείξει την Ευκλείδεια γεωμετρία αντ’ αυτού ανακάλυψε τυχαία μία νέα εφικτή (viable) γεωμετρία, αλλά δεν το συνειδητοποίησε.
Το 1766 ο Johann Lambert έγραψε, αλλά δεν το δημοσίευσε, το Theorie der Parallellinien στο οποίο προσπάθησε, όπως έκανε και ο Saccheri, να αποδείξει το πέμπτο αξίωμα. Δούλεψε με μία φιγούρα που σήμερα ονομάζεται τετράπλευρο Lambert, ένα τετράπλευρο με τρεις ορθές γωνίες (μπορεί να θεωρηθεί το ήμισυ του τετράπλευρου Saccheri). Αυτός γρήγορα εξάλειψε το ενδεχόμενο ότι η τέταρτη γωνία είναι αμβλεία, όπως είχε κάνει ο Saccheri και ο Khayyam, και στη συνέχεια προχώρησε ώστε να αποδείξει πολλά θεωρήματα με την παραδοχή της οξείας γωνίας. Σε αντίθεση με τον Saccheri, ποτέ δεν αισθάνθηκε ότι είχε φτάσει σε αντίφαση με την υπόθεσή του.
Απόδειξε το μη-Ευκλείδειο αποτέλεσμα ότι το άθροισμα των γωνιών σε ένα τρίγωνο μεγαλώνει καθώς το εμβαδόν του μειώνεται, και αυτό τον οδήγησε να θεωρήσει την πιθανότητα ενός μοντέλου οξείας περίπτωσης μιας σφαίρας με φανταστική ακτίνα. Δεν ασχολήθηκε περαιτέρω με την συγκεκριμένη ιδέα. Εκείνη την στιγμή ήταν ευρέως πιστευτό ότι το σύμπαν λειτουργούσε σύμφωνα με τις αρχές της Ευκλείδειας γεωμετρίας.
Ανακάλυψη μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας
Η αρχή του 19ου αιώνα θα έβλεπε επιτέλους αποφασιστικά βήματα για την δημιουργία της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Γύρω στο 1813, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους και το 1818, ο Γερμανός καθηγητής της Νομικής Φέρντιναντ Καρλ Σβάικαρτ είχαν τις πρωτογενείς ιδέες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, αλλά κανένας από τους δύο δεν δημοσίευσε κανένα αποτέλεσμα. Στην συνέχεια, γύρω στο 1830, ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπολιάι και ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι δημοσιεύουν χωριστά πραγματείες για την υπερβολική γεωμετρία.
Ως εκ τούτου, η υπερβολική γεωμετρία θα ονομαστεί Bolyai-Lobachevskian γεωμετρία, ενώ οι δύο μαθηματικοί, ανεξάρτητα μεταξύ τους, γίνονται οι βασικοί συντάκτες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρθηκε στον πατέρα του Bolyai, όταν παρουσίαζε το έργο του νεώτερου Μπολιάι, ότι είχε αναπτύξει μια τέτοια γεωμετρία αρκετά χρόνια πριν, αν και ο ίδιος δεν την είχε δημοσιεύσει. Παράλληλα ο Λομπατσέφσκι δημιούργησε μια Ευκλείδεια γεωμετρία με άρνηση του παράλληλου αξιώματος, ενώ ο Μπολιάι επεξεργάστηκε μια γεωμετρία, όπου είναι δυνατή τόσο η Ευκλείδεια, όσο και η υπερβολική γεωμετρία ανάλογα με την παράμετρο k. Ο Μπολιάι τελειώνει το έργο του, αναφέροντας ότι δεν είναι δυνατόν να αποφασίσει, σύμφωνα με τη μαθηματική λογική και μόνο, αν η γεωμετρία του φυσικού σύμπαντος είναι Ευκλείδεια ή μη Ευκλείδεια. Δίνοντας μόνος του την απάντηση ότι αυτό είναι αρμοδιότητα των φυσικών επιστημών.
Ο Μπέρναρντ Ρίμαν, σε μια διάσημη διάλεξη του το 1854, ίδρυσε το πεδίο Γεωμετρία Riemann, συζητώντας κυρίως τις ιδέες που σήμερα ονομάζονται συλλέκτες, μετρικό Riemannian, και καμπυλότητα. Κατασκεύασε μια άπειρη οικογένεια από γεωμετρίες που δεν είναι Ευκλείδειες δίνοντας μια φόρμουλα για μια οικογένεια από Ριμάνειες μετρήσεις στην μονάδα επιλογέα στον Ευκλείδειο χώρο. Η απλούστερη από αυτές ονομάζεται ελλειπτική γεωμετρία και θεωρείται ότι είναι μία μη Ευκλείδεια γεωμετρία, λόγω της έλλειψης των παράλληλων γραμμών.
Με την διαμόρφωση της γεωμετρίας από την άποψη της τανυστής καμπυλότητας Riemann επιτρέπεται η μη Ευκλείδεια γεωμετρία να εφαρμόζεται σε υψηλότερες διαστάσεις.
Ήταν ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους που επινόησε τον όρο “μη-Ευκλείδεια γεωμετρία”. Αναφερόμενος στο δικό του έργο που σήμερα ονομάζουμε υπερβολική γεωμετρία. Αρκετοί σύγχρονοι συγγραφείς εξακολουθούν να θεωρούν συνώνυμη την “μη-Ευκλείδεια γεωμετρία” με την “υπερβολική γεωμετρία”.
Ο Άρθουρ Κέιλ σημείωσε ότι η απόσταση μεταξύ των σημείων μέσα σε κωνικό σχήμα μπορούν να οριστούν με λογαριθμικές βάσεις και με λειτουργία πολλαπλής αναλογίας. Η μέθοδος αυτή έχει ονομαστεί Cayley-Klein μέτρηση, γιατί ο Φέλιξ Κλάιν την αξιοποίησε για να περιγράψει τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες στα άρθρα του το 1871 και 1873 και αργότερα σε μορφή βιβλίου. Οι μετρήσεις Cayley-Klein παρέχουν μοντέλα εργασίας στην υπερβολική και ελλειπτική μετρική γεωμετρία, καθώς και στην Ευκλείδεια γεωμετρία.
Ο Φέλιξ Κλάιν είναι υπεύθυνος για τους όρους “υπερβολική” και “ελλειπτική” (στο σύστημά του, ονόμασε την Ευκλείδεια γεωμετρία “παραβολική”, ένας όρος που γενικά έπεσε σε αχρηστία). Η επιρροή του οδήγησε στην σημερινή χρήση του όρου «μη-Ευκλείδεια γεωμετρία» ώστε να σημαίνει είτε υπερβολική είτε ελλειπτική» γεωμετρία. Επίσης υπάρχουν κάποιοι μαθηματικοί που διευρύνουν τον κατάλογο των γεωμετριών που αποκαλούνται μη-Ευκλείδειες με διάφορους τρόπους.
Μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία με 3 διαστάσεις
Στις τρεις διαστάσεις, υπάρχουν οκτώ μοντέλα γεωμετριών. Υπάρχουν οι ευκλείδειες, οι ελλειπτικές και οι υπερβολικές γεωμετρίες (όπως και στην δισδιάστατη περίπτωση), μεικτές γεωμετρίες που είναι μερικώς ευκλείδειες και μερικώς υπερβολικές ή σφαιρικές, παραλλαγμένες εκδόσεις των μεικτών γεωμετριών και μια ασυνήθιστη γεωμετρία που είναι εντελώς ανισότροπη (δηλαδή κάθε κατεύθυνση συμπεριφέρεται διαφορετικά).
Υπερβολική Γεωμετρία
Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη-ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I.
Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσφαλμένο. Έχουν κατασκευαστεί μοντέλα εντός της ευκλείδειας που υπακούν στα αξιώματα της υπερβολικής γεωμετρίας, το οποίο δείχνει ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη.
Δεν υπάρχει ακριβές υπερβολικό αντίστοιχο των ευκλείδειων παράλληλων ευθειών, με αποτέλεσμα η χρήση του όρου παράλληλο να ποικίλει ανάμεσα στους συγγραφείς. Σ ’αυτό το άρθρο, δύο γραμμές που δεν τέμνονται όσο κι αν τις επεκτείνουμε ονομάζονται ασυμπτωτικές και δύο γραμμές που έχουν μία κοινή κάθετο ονομάζονται υπερπαράλληλες: η απλή λέξη παράλληλη μπορεί να αναφέρεται και στα δύο είδη γραμμών.
Μία χαρακτηριστική ιδιότητα της υπερβολικής γεωμετρίας είναι ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αντιστοιχεί σε λιγότερο από μία ευθεία (μισό ημικύκλιο). Στο όριο, καθώς οι κορυφές πηγαίνουν προς το άπειρο, υπάρχουν ακόμη και ιδεατά υπερβολικά τρίγωνα με άθροισμα γωνιών 0 μοίρες.
Η Σφαιρική γεωμετρία είναι ιδιαίτερος κλάδος της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας που πραγματεύεται ειδικά την κυρτή επιφάνεια της σφαίρας εξετάζοντας και μετρώντας τόσο αποστάσεις όσο ειδικότερα τα σφαιρικά τρίγωνα. Συναφής δε κλάδος είναι και η σφαιρική τριγωνομετρία.
Σε αντίθεση με την επιπεδομετρία όπου βασικές έννοιες μετρήσεων είναι σημεία, ευθείες γραμμές και επίπεδες γωνίες στη σφαιρική γεωμετρία αντίστοιχα είναι ίχνη σημείων, αποστάσεις, κατ΄ ονομασία «συντομότερες», που αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων και δίεδρες γωνίες επιπέδων μεγίστων κύκλων. Ένα πρόσθετο στοιχείο που λαμβάνει υπόψη είναι ο λεγόμενος αντίποδας ενός σημείου ή ίχνους σημείου.
Σε εφαρμογή των παραπάνω εννοιών στην επιφάνεια της Γης χαρακτηρίζονται επίσης γεωδαισιακές, σε εφαρμογή επί της ουράνιας σφαίρας λέγονται “αστρονομικές” ή “ουράνιες” όπου και ορίζονται με ανάλογα συστήματα συντεταγμένων. Κατ΄ επέκταση και η μετρική αστρονομία χαρακτηρίζεται σφαιρική αστρονομία.
Συχνότερη κλασική χρήση σφαιρικής γεωμετρίας κάνουν τόσο η Αστρονομία όσο και η Ωκεανοπλοΐα καλούμενη επί τούτου και “αστρονομική ναυτιλία”, η μεν πρώτη στις διάφορες αστρονομικές παρατηρήσεις και μελέτες, η δε δεύτερη κυρίως στην εύρεση γραμμής θέσεως ή την επίλυση του τριγώνου θέσεως για τον προσδιορισμό του γεωγραφικού στίγματος.
Η μη ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια παραδειγματική στροφή στην ιστορία της επιστήμης. Πριν παρουσιαστούν τα μοντέλα ενός μη ευκλείδειου επίπεδου από τους Beltrami, Klein, και Poincaré, η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν αδιαμφισβήτητη ως το μαθηματικό μοντέλο του χώρου. Επιπλέον, δεδομένου ότι η ουσία του θέματος στην συνθετική γεωμετρία ήταν ένα κύριο έκθεμα του ορθολογισμού, η ευκλείδεια άποψη εκπροσωπούσε την απολυτή εξουσία. Η ανακάλυψη των μη ευκλείδειων γεωμετριών είχε πολλαπλασιαστικές επιπτώσεις που πήγαν πολύ πέρα από τα όρια των μαθηματικών και της επιστήμης.
Η θεραπεία της ανθρώπινης γνώσης του φιλοσόφου Ιμμάνουελ Καντ είχε έναν ιδιαίτερο ρολό για την γεωμετρία. Ήταν το χαρακτηριστικό παράδειγμα της σύνθεσης πριν από την γνώση που δεν προέρχονταν από τις αισθήσεις μας, ούτε προκύπτουν από την λογική -η γνώση μας για τον χώρο ήταν μια αλήθεια με την όποια γεννηθήκαμε. Δυστυχώς για τον Kant, η αντίληψη του για αυτήν την αναλλοίωτη αληθινή γεωμετρία ήταν Ευκλείδεια. Ακόμα και η θεολογία επηρεάστηκε από την αλλαγή από την απολυτή αλήθεια στην σχετική αλήθεια στα μαθηματικά, που ήταν αποτέλεσμα της αλλαγής του παραδείγματος.
Η ύπαρξη μη ευκλείδειων γεωμετριών επηρέασε την πνευματική ζωή της βικτοριανής Αγγλίας με πολλούς τρόπους και συγκεκριμένα ήταν από τους κυριότερους λογούς που προκάλεσαν την επανεξέταση της διδασκαλίας της γεωμετρίας με βάση τα στοιχειά του Ευκλείδη. Το θέμα αυτό του προγράμματος σπουδών ήταν πολυσυζητημένο την εποχή εκείνη και έγινε ακόμα και το θέμα μιας παράστασης, Ο Ευκλείδης και οι σύγχρονοι ανταγωνιστές του, γραμμένο από τον Λιούις Κάρολ, συγγραφέα της Αλίκης στη Χώρα των Θαυμάτων.
Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία συχνά εμφανίζεται σε έργα επιστημονικής φαντασίας. Ο καθηγητής Τζέιμς Μοριάρτι, χαρακτήρας στις ιστορίες του Σερ Άρθουρ Κόναν Ντόιλ, είναι εγκληματική ιδιοφυΐα με διδακτορικό (PH.D) στις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες.
Το 1895 ο Χ.Τ. Γουέλς δημοσίευσε το διήγημα «Η αξιοσημείωτη υπόθεση των ματιών του Ντάβιντσον». Για να εκτιμήσει κάποιος αυτήν την ιστορία πρέπει να γνωρίζει με ποιόν τρόπο τα αντιδιαμετρικά σημεία πάνω σε μία σφαίρα προσδιορίζονται σε ένα μοντέλο ελλειπτικού επιπέδου. Στην ιστορία, στο μέσο κάποιας καταιγίδας, ο Σίντνευ Ντάβιντσον βλέπει “Κύματα και μία συγυρισμένη σκούνα” ενώ δουλεύει σε ένα ηλεκτρικό εργοστάσιο στο Τεχνικό κολέγιο στο Χάρλοου. Στο κλείσιμο της ιστορίας ο Ντάβιντσον αποδεικνύει ότι είδε το RAF Lossiemouth μακρυά από τα ~αντίποδα νησιά.
Η μη-Ευκλείδεια γεωμετρία είναι συνδεδεμένη με την επίδραση του συγγραφέα του 20ου αιώνα Χ.Φ. Λάβκραφτ. Στα έργα του, πολλά αφύσικα πράγματα ακολουθούν τους δικούς τους νόμους γεωμετρίας: Στο βιβλίο του Λόβκραφτ, “Ο μύθος του Κθούλου”, η βυθισμένη πόλη Ρ’λύε χαρακτηρίζεται από την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία της. Υπονοείται ότι αυτό έρχεται ως συνέπεια αφού δεν τηρήθηκαν οι νόμοι της φύσης και του σύμπαντος παρά απλώς χρησιμοποιείται ένα εναλλακτικό γεωμετρικό μοντέλο, καθώς η απόλυτη έμφυτη αδικία αυτού λέγεται ότι μπορεί να οδηγήσει στην τρέλα όσους κοιτάνε.
Ο κεντρικός χαρακτήρας στο βιβλίο του Ρόμπερτ Πίρσιγκ “Το Ζεν και η τέχνη συντήρησης μοτοσυκλετών” ανέφερε την Γεωμετρία Ρίμαν σε πολλαπλές περιπτώσεις.
Στο βιβλίο “Αδελφοί Καραμάζοφ”, ο Ντοστογιέφσκι μιλά για την μη-Ευκλείδεια γεωμετρία μέσω του κεντρικού του ήρωα, Ιβάν.
Το μυθιστόρημα του Κρίστοφερ Πριστ “Ανεστραμμένος Κόσμος” περιγράφει την δυσκολία του να ζεις σε έναν πλανήτη με την μορφή μίας περιστρεφόμενης ψευδοσφαίρας.
Το βιβλίο του Ρόμπερτ Άινλαιν με τίτλο “Ο Αριθμός του Θηρίου” χρησιμοποιεί μη-Ευκλείδεια Γεωμετρία με σκοπό να εξηγήσει την στιγμιαία μεταφορά στον χώρο και στον χρόνο μεταξύ παράλληλων συμπάντων.
Το “Αντιθάλαμος” του Αλεξάντερ Μπρους κάνει χρήση μη-Ευκλείδειας Γεωμετρίας για να δημιουργήσει έναν ελάχιστο Έσερ-κόσμο, όπου η γεωμετρία και το διάστημα ακολουθούν παρόμοιους κανόνες.
Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία στο «Κάλεσμα του Κθούλου»
“Δεν είναι νεκρό εκείνο που αιώνια μπορεί να περιμένει.
Μα με το διάβα των παράξενων αιώνων ως κι ο θάνατος μπορεί να πεθαίνει”.
Howard Phillips Lovecraft
Φυσικός εξηγεί την «Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία» στο «Κάλεσμα του Κθούλου».
Ο Benjamin K. Tippett έχει μια θεωρία. Ο μαθηματικός του πανεπιστημίου του New Brunswick πιστεύει ότι βρήκε τι ακριβώς είδανε αυτοί οι τρελαμένοι ναύτες την νύχτα του 1928 όταν συνάντησαν τον Cthulhu σε ένα χαμένο νησί στον Ειρηνικό. Έτσι ο Tippett έχει γράψει μια ξεκαρδιστικά ανέκφραστη μελέτη εξηγώντας την «μη Ευκλείδειο γεωμετρία» μια και καλή. Για να δούμε τι έχει να πει.
Το 1928, ο μακαρίτης Francis Wayland Thurston (ένας υποθετικός χαρακτήρας δημιουργημένος από τον H. P. Lovecraft) δημοσίευσε ένα σκανδαλώδες χειρόγραφο με σκοπό να προειδοποιήσει τον κόσμο για μια παγκόσμια συνωμοσία των αποκρυφιστών. Ανάμεσα στα ντοκουμέντα που μάζεψε για να υποστηρίξει την θέση του ήταν και η προσωπική περιπέτεια ενός ναύτη του Gustaf Johansen, που περιγράφει την συνάντηση του με ένα αλλόκοσμο τέρας σε απόκοσμο νησί. Οι περιγραφές του Johansen για τις περιπέτειες του πάνω στο νησί είναι φανταστικές και συχνά θεωρούνται οι πλέον αινιγματικές στην συλλογή ντοκουμέντων του Thurston.
Εμείς ισχυριζόμαστε ότι όλα τα αξιόπιστα φαινόμενα που περιέγραψε ο Johansen μπορούν να εξηγηθούν ως οι παρατηρήσιμες συνέπειες μιας φυσαλίδας εντοπισμένης καμπυλότητας του Χωροχρόνου. Πολλές από τις πιο ακατανόητες δηλώσεις του (αφορά την γεωμετρία της αρχιτεκτονικής, και την μεταβλητότητα της θέσης του ορίζοντα) μπορεί επομένως να ειπωθεί ότι διέπονται από μια ενοποιημένη αιτία.
Προτείνουμε ένα απλοποιημένο παράδειγμα μιας τέτοιας γεωμετρίας, και δείχνουμε χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς ότι οι περιγραφές του Johansen δεν ήταν αυτές ενός τρελού. Είναι οι μη τεχνικές παρατηρήσεις ενός έξυπνου ανθρώπου που δεν καταλάβαινε το πώς να περιγράψει αυτό που έβλεπε. Αντίθετα, φαίνεται απίθανο ότι ο Johansen να μας είχε δώσει άθελά του τέτοια ακριβή περιγραφή των συνεπειών της καμπυλότητας του χωροχρόνου, αν οι λεπτομέρειες αυτής της ιστορίας ήταν απλώς τα κατακάθια ενός μισοξεχασμένου εμπύρετου ονείρου.
Υπολογίσαμε τον τύπο της ύλης που θα απαιτούνταν για να δημιουργήσει μια τέτοια εξωτική ΧωροΧρονική καμπυλότητα. Δυστυχώς, διαπιστώνουμε ότι η ότι η απαιτούμενη ύλη είναι αρκετά αφύσικη και διαθέτει μια φύση που είναι εντελώς ξένη προς όλες τις εμπειρίες της ανθρώπινης επιστήμης. Πράγματι, κάθε πολιτισμός με μαεστρία πάνω σε ένα τέτοιο θέμα, θα είναι σε θέση να κατασκευάσει κινητήρες ΧωροΧρονικής Στρεβλώσεως, συσκευές αορατότητας, και άλλες Εξωτικές Γεωμετρίες που απαιτούνται για να ταξιδέψουν εύκολα μέσα στο σύμπαν.
Το πιο υπέροχο πράγμα στον κόσμο, κατά τη γνώμη μας, είναι η ικανότητα του ανθρώπινου μυαλού να συσχετίζει πολλές φαινομενικά άσχετες πληροφορίες σε ένα χαρούμενο σύνολο. Γεννιόμαστε αδαείς, φυλακισμένοι στα νησιά της προσωπικής μας εμπειρίας. αλλά η ευφυΐα, η λογική και η επιμελής μελέτη είναι σαν ένδοξα αξιόπλοα σκάφη που μας επιτρέπουν να ταξιδεύουμε σε απεριόριστους και λαμπρούς ωκεανούς. Η μεγάλη φιλοδοξία της επιστήμης είναι η συνένωση διασπασμένης γνώσης για την δημιουργία σκληρών θεωριών, και στην συνέχεια η γενναία αντιμετώπιση των φιλοσοφικών τους συνεπειών προκειμένου να ξεκινήσει εκ νέου η διαδικασία.
Με αυτόν τον τρόπο έχουμε σκαρφαλώσει προς την λαμπρή αλήθεια και ανυψώσαμε την ανθρώπινη κατάσταση στην δόξα μιας εποχής διαφωτισμού.
Ας ξεκινήσουμε με μια συζήτηση για το υλικό πηγής στο οποίο βασίζεται η έρευνά μας, για να μην βρούμε την δική μας εργασία μολυσμένη από το στίγμα που σχετίζεται με αυτό. Θα θέλαμε να καταστήσουμε σαφές ότι σε καμία περίπτωση δεν εγκρίνουμε ή επιδοκιμάζουμε την αποκρυφιστική τους προοπτική.
Το 1928, δημοσιεύτηκε ένα χειρόγραφο γραμμένο από τον αείμνηστο Francis Wayland Thurston, που αφορούσε τα συμπεράσματά του σχετικά με μια έρευνα που ξεκίνησε από τον αείμνηστο θείο του, Dr. George Angell. Αυτά τα ευρήματα, που λαμβάνονται σε συνδυασμό με τα αναφερόμενα ευρήματα του Δρ. William Dyer από την αποστολή του το 1930 στην ήπειρο της Ανταρκτικής, δίνουν μια απίστευτη εικόνα. Όπως το περιγράφουν, κάπου στους ωκεανούς του νότιου Ειρηνικού κατοικεί μια αδρανής φυλή πανάρχαιων κυκλώπειων τεράτων.
Τα αντίστοιχα έργα των Angell και Dyer έγιναν δεκτά με μια αρκετά γενναιόδωρη ποσότητα δυσπιστίας. Οι δημοσιευμένες αφηγήσεις για τις περιπέτειες του Dyer στην Ανταρκτική έχουν απορριφθεί ως παραισθήσεις που προκλήθηκαν από εγκεφαλικό οίδημα σε μεγάλο υψόμετρο. Το χειρόγραφο του Thurston, από την άλλη πλευρά, έχει ερμηνευτεί ως το δημιουργικό έργο ενός παρανοϊκού μυαλού, κάποιου τραγικού παραληρήματος. Το έτος που προηγείται του θανάτου του (και της δημοσίευσης του χειρογράφου του) πέρασε στα νύχια μιας μανιακής εμμονής που τον εξουθένωσε ψυχικά και σωματικά.
Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτοί οι δύο άνδρες είπαν παρόμοιες ιστορίες. Όπως είναι προφανές από τις αντίστοιχες αφηγήσεις τους, τόσο ο Dyer όσο και ο Thurston ήταν εξοικειωμένοι με (αυτό που αναφέρεται ως) την λατρεία Cthulhu. Αν θέλουμε να πιστέψουμε ότι ο Dyer είχε όντως παραισθήσεις, η γνώση της μυθολογίας αυτής της λατρείας σίγουρα χρησίμευσε ως τροφή για τις φαντασιώσεις του.
Εναλλακτικά, δεδομένου ότι αυτή η λατρεία ήταν το επίκεντρο της μανίας του Thurston, δεν πρέπει να εκπλήσσει το γεγονός ότι τα περισσότερα από τα συμπεράσματα που έβγαλε ήταν συνεπή με την μυθολογία της.
Επιπλέον, οι δύο ιστορίες που συλλέγονται μαζί επιβεβαιώνουν η μία την άλλη. Ένας σκεπτικιστής θα υποστήριζε σωστά ότι εφόσον και οι δύο αυταπάτες αναπτύχθηκαν από το ίδιο αρχικό υλικό, είναι φυσικό να είναι συνεπείς η μία με την άλλη. Επιπλέον, ο Dyer ήταν καθηγητής στο Miskatonic University, ένα καταφύγιο (τότε) για αποκρυφιστές ακαδημαϊκούς, μεταξύ των οποίων το χειρόγραφο του Thurston έγινε δεκτό με μεγάλη αναγνώριση. Επομένως, δεν είναι παράλογο να μαντέψουμε ότι ο Dyer μπορεί να ήταν άμεσα εξοικειωμένος με τα γραπτά του Thurston προτού ξεκινήσει την μοιραία αποστολή του.
Αξιοσημείωτο μεταξύ των αντικειμένων ενδιαφέροντος που είχε συγκεντρώσει ο Thurston για να υποστηρίξει την διατριβή του είναι το προσωπικό αρχείο του Gustaf Johansen, ενός Νορβηγού ναύτη. Το αρχείο του Johansen, που συνοψίζεται με ακρίβεια στο χειρόγραφο του Thurston, περιέγραψε την μοίρα της Emma, ενός Schooner από την Νέα Ζηλανδία. Ο Johansen ήταν ο δεύτερος σύντροφος της Emma και έχει περιγραφεί στο Sydney Bulletin ως νηφάλιος και άνθρωπος με κάποια ευφυΐα.
Ο Γιόχανσεν περιγράφει μια περιπέτεια -που συνέβη μεταξύ 22 Μαρτίου και 12 Απριλίου 1925- όπου αυτός και οι συνεργάτες του πολέμησαν πρώτα με μια ομάδα πειρατών και στην συνέχεια ανακάλυψαν ένα αχαρτογράφητο νησί όπου όλο το πλήρωμα αλλά κι εκείνος γνώρισαν την τραγική μοίρα τους. Η απώλεια του καραβιού Emma και ο θάνατος του πληρώματος του, είναι καλά τεκμηριωμένα και μελετητές που ερευνούν το έγγραφο του Γιόχανσεν επιβεβαίωσαν ότι γράφτηκε με το δικό του χέρι. Έτσι, είμαστε πεπεισμένοι για την γενεαλογία των εγγράφων του Thurston.
Ακόμα κι αν μπορούμε να εμπιστευτούμε το χαρτί, μπορούμε να εμπιστευτούμε τις λέξεις που είναι γραμμένες σε αυτό. Από την μια πλευρά, οι λεπτομέρειες της εμπειρίας του (από την οποία επέζησε μόνος του) είναι πραγματικά εξαιρετικές και απίστευτες. Επιπλέον, την στιγμή της διάσωσής του, ο Γιόχανσεν ήταν παραληρημένος και είχε ξεφύγει το μυαλό του. Από την άλλη πλευρά, τα φυσικά στοιχεία που βρέθηκαν για το πρόσωπο του Johansen και τα περιστασιακά στοιχεία γύρω από το γεγονός προσδίδουν στην ιστορία έναν βαθμό ευπιστίας.
Πιστεύουμε ότι η εργασία μας θα χρησιμεύσει για να προσθέσει περισσότερο καύσιμο στην φωτιά αυτής της συζήτησης, καθώς σκοπός της είναι να παράσχει μια ενιαία εξήγηση για πολλές από τις φαινομενικά παράλογες περιγραφές του Γιόχανσεν. Ο ισχυρισμός μας είναι ότι οι περισσότερες από αυτές τις λεπτομέρειες συνάδουν με την υπόθεση ότι ο Johansen συνάντησε μια περιοχή ανώμαλα καμπυλωμένου χωροχρόνου. Για να διευκολυνθεί το επιχείρημά μας, θα προτείνουμε μια απλή χωροχρονική γεωμετρία που διαθέτει όλες τις σχετικές ιδιότητες. Στην συνέχεια, σημείο προς σημείο, θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την γεωμετρία για να εξηγήσουμε την αινιγματική εμπειρία του Johansen και να δικαιολογήσουμε τα λόγια του.
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου