Είκοσι δύο αιώνες αργότερα, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ευκλείδης είχε ανέκαθεν δίκιο

Στο διάβα της ιστορίας, το πιο προβληματικό χαρακτηριστικό του Βιβλίου Ι των Στοιχείων είναι το αμφιλεγόμενο αίτημα των παραλλήλων.

Το πρόβλημα δεν ανέκυψε επειδή κάποιος αμφισβήτησε ότι το αίτημα των παραλλήλων έπρεπε να είναι αληθές. Αντιθέτως, υπήρξε παγκόσμια συναίνεση ότι το αίτημα ήταν μια λογική αναγκαιότητα. Σε τελική ανάλυση, η γεωμετρία ήταν ένας αφηρημένος τρόπος περιγραφής του σύμπαντος – ένα είδος “καθαρής φυσικής” – και ασφαλώς η φυσική πραγματικότητα υπαγόρευε την αλήθεια του αιτήματος των παραλλήλων.

ΑΙΤΗΜΑ 5
Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ζεύγος γωνιών “εντός και επί τα αυτά” με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι ευθείες, αν προεκταθούν επ’ άπειρον, τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Έτσι, δεν ήταν η αναγκαιότητα της δήλωσης του Ευκλείδη η οποία αμφισβητήθηκε. Μάλλον ήταν η ταξινόμησή της ως αιτήματος αντί πρότασης.

Ο κλασικός συγγραφέας Πρόκλος συνόψισε αυτή την άποψη με το σχόλιο: “Τούτο [το πέμπτο αίτημα] θα έπρεπε να διαγραφεί από τα αιτήματα, διότι πρόκειται για θεώρημα…”.

Αυτή η πεποίθηση δεν προκαλεί έκπληξη. Κατ’ αρχάς – και αυτό ίσως πράγματι να ενόχλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες – το αίτημα ηχούσε σαν πρόταση, διότι η διατύπωσή του καταλάμβανε το μεγαλύτερο μέρος ολόκληρης παραγράφου. Επιπλέον, ο Ευκλείδης όχι μόνο έμοιαζε να αποφεύγει όσο μπορούσε τη χρήση του αιτήματος, αλλά κατάφερε να αποδείξει ορισμένα αρκετά πολύπλοκα αποτελέσματα χωρίς αυτό.

Για όλα αυτά φαίνεται πως αποτελούσε πολύ καλό λόγο η αναζήτηση μιας απόδειξης του Αιτήματος 5.

Αναρίθμητοι μαθηματικοί δοκίμασαν τις ικανότητές τους στην επινόηση μιας απόδειξης. Δυστυχώς, τα χρόνια απογοήτευσης έγιναν δεκαετίες και κατόπιν αιώνες αποτυχίας.

Η απόδειξη συνέχισε να διαφεύγει.

Αυτό που έκαναν οι γεωμέτρες στην πορεία ήταν να βρουν μια πληθώρα νέων αποτελεσμάτων που ήταν λογικώς ισοδύναμα με το αίτημα των παραλλήλων.

Πιο κάτω παραθέτουμε τέσσερα από τα πιο διάσημα ισοδύναμα του αιτήματος των παραλλήλων. Οφείλουμε να τονίσουμε ότι, εάν οποιοδήποτε από αυτά είχε αποδειχθεί μέσω των αιτημάτων 1 έως 4, τότε θα είχε αποδειχθεί και το πέμπτο αίτημα.

• Το αξίωμα του Πρόκλου: Εάν μια ευθεία τέμνει μια από δυο παραλλήλους, τότε πρέπει να τέμνει και την άλλη.
• Το αίτημα της ισαπέχουσας: Δυο παράλληλες ευθείες πάντα ισαπέχουν.
• Το αίτημα του Πλέιφερ: Από ένα σημείο που δεν κείται επί δοθείσης ευθείας, μπορεί να αχθεί μία και μόνο μία ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα.
• Το αίτημα του τριγώνου: Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με δύο ορθές.

Σε πείσμα αυτών των λογικών ισοδύναμων, η φύση του αιτήματος των παραλλήλων παρέμεινε αξεδιάλυτη μέχρι την Αναγέννηση και καθ’ όλη τη διάρκειά της.

Όποιος αποδείκνυε το αίτημα των παραλλήλων θα εξασφάλιζε αιώνια φήμη στα χρονικά των μαθηματικών.

Κάποιες φορές η απόδειξη έμοιαζε να είναι βασανιστικά κοντά, ωστόσο διέφευγε των προσπαθειών των καλύτερων μαθηματικών μυαλών του κόσμου.

Τότε, στις αρχές του 19ου αιώνα, τρεις μαθηματικοί είχαν ταυτόχρονα εκείνη την έκλαμψη που ήταν αναγκαία ώστε να δουν το πρόβλημα στις πραγματικές διαστάσεις του.

Ο πρώτος ήταν ο ασύγκριτος Καρλ Φρήντριχ Γκάους (1777 – 1855).

Ο Γκάους αναδιατύπωσε το πρόβλημα βάσει των μοιρών των γωνιών ενός τριγώνου. Επιθυμώντας να αποδείξει ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να ισούται με 180°, υπέθεσε για χάρη του επιχειρήματος ότι αυτό δεν ισχύει. Έτσι κατέληξε σε δύο εναλλακτικές λυσεις: ότι το άθροισμα των γωνιών είναι είτε μεγαλύτερο είτε μικρότερο των 180°.

Στη συνέχεια μελέτησε αμφότερες τις περιπτώσεις.

Κάνοντας χρήση του γεγονότος ότι οι ευθείες έχουν άπειρο μήκος (υπόθεση την οποία είχε κάνει έμμεσα και ο Ευκλείδης, και κανείς έως τότε δεν είχε αμφισβητήσει), ο Γκάους διαπίστωσε ότι η περίπτωση το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου να υπερβαίνει τις 180° οδηγούσε σε λογική αντίφαση. Έτσι, η περίπτωση αυτή ουσιαστικά απορριπτόταν.

Αν κατάφερνε με παρόμοιο τρόπο να απαλλαγεί και από τη δεύτερη περίπτωση, θα είχε θεμελιώσει, έμμεσα, την αναγκαιότητα του αιτήματος των παραλλήλων.

Ξεκινώντας από την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180°, ο Γκάους άρχισε να εξάγει συμπεράσματα τα οποία ήταν αρκετά παράξενα, φαινομενικά αλλόκοτα και αντίθετα στη διαίσθηση. Ωστόσο, ο Γκάους δεν βρήκε πουθενά τη λογική αντίφαση που αναζητούσε. Το 1824, συνόψισε την κατάσταση λέγοντας:

… ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου δεν μπορεί να είναι μικρότερο από 180° … αυτός είναι… ο ύφαλος στον οποίο ναυαγούν όλα τα σκάφη.

Βαθμιαία, καθώς ο Γκάους αναδιφούσε ολοένα και βαθύτερα σε αυτή την παράξενη γεωμετρία, πείστηκε ότι δεν υπήρχε καμία λογική αντίφαση.

Αντίθετα, άρχισε να αισθάνεται ότι ανέπτυσσε όχι μια μη συνεπή, αλλά μια εναλλακτική γεωμετρία, μια “μη ευκλείδεια” γεωμετρία, όπως την αποκάλεσε ο ίδιος, ο οποίος έγραψε σε μια ιδιωτική επιστολή το 1824:

Η υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι μικρότερο από 180° οδηγεί σε μια περίεργη γεωμετρία, αρκετά διαφορετική από τη δική μας, αλλά εντελώς συνεπή, την οποία έχω αναπτύξει προς μεγάλη ικανοποίησή μου.

Στη συνέχεια ήρθε στο προσκήνιο ο Ούγγρος μαθηματικός Γιάνος Μπόλιαϊ (Janos Bolyai, 1802 – 1860). Ο πατέρας του, ο Φάρκας Μπόλιαϊ, υπήρξε συνεργάτης του Γκάους και είχε ο ίδιος αφιερώσει μεγάλο μέρος της ζωής του σε μια μάταιη προσπάθεια να αποδείξει το αίτημα του Ευκλείδη.

Σε ηλικία που συχνά οι γιοι του ακολουθούσαν το επάγγελμα των πατέρων τους – είτε αυτό ήταν κληρικός είτε παπουτσής ή αρχιμάγειρας –, ο νεαρός Μπόλιαϊ τον ακολούθησε στη μάλλον εσωτερική προσπάθεια να αποδειχθεί το αίτημα των παραλλήλων. Ωστόσο, ο Φάρκας γνώριζε πολύ καλά τις δυσκολίες μιας τέτοιας σταδιοδρομίας και έγραψε στον γιο του την εξής έντονη προειδοποίηση:

Δεν πρέπει να δοκιμάσεις αυτή την προσέγγιση στις παραλλήλους.
Γνωρίζω αυτόν τον δρόμο μέχρι το τέλος του. Έχω περάσει μέσα απ’ αυτή την αβυσσαλέα νύχτα, η οποία έσβησε κάθε φως και κάθε χαρά της ζωής μου… Σε εκλιπαρώ, άφησε ήσυχη την επιστήμη των παραλλήλων.

Ο νεαρός Γιάνος αγνόησε τη συμβουλή του. Σχεδόν όπως ο Γκάους κατέληξε να αναγνωρίσει την κρίσιμη κατάταξη που αφορούσε το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου και προσπάθησε να εξαλείψει τα πάντα εκτός από την περίπτωση που ήταν ισοδύναμη με το αίτημα των παραλλήλων· τελικά, όπως ο Γκάους, απέτυχε.

Καθώς ο Μπόλιαϊ ενέσκηπτε ολοένα και βαθύτερα στο πρόβλημα, κατέληξε και αυτός στο συμπέρασμα ότι η γεωμετρία του Ευκλείδη είχε έναν λογικά έγκυρο ανταγωνιστή, και έγραψε με έκπληξη δίπλα από τις ιδιόμορφες αλλά φαινομενικά συνεπείς προτάσεις του: “Από το τίποτα δημιούργησα ένα παράξενα σύμπαν”.

Αντίθετα με τον Γκάους, ο Γιάνος Μπόλιαϊ δεν ήταν απρόθυμος να δημοσιεύσει τα ευρήματά του, τα οποία παρουσιάστηκαν ως παράρτημα σε μια εργασία του πατέρα του το 1832. Ο Μπόλιαϊ ο πρεσβύτερος έστειλε γεμάτος ενθουσιασμό ένα αντίγραφο του βιβλίου του στον φίλο του Γκάους· πατέρας και γιος δεν μπορούσαν παρά να εκπλαγούν από την απάντηση του τελευταίου:

Αν αρχίσω με τη δήλωση ότι δεν τολμώ να εκθειάσω το έργο [του γιου σου], ασφαλώς προς στιγμήν θα ξαφνιαστείς: όμως δεν μπορώ να κάνω διαφορετικά· αν το επαινούσα, θα ισοδυναμούσε με έπαινο προς τον εαυτό μου, διότι ολόκληρο το περιεχόμενο του έργου, η διαδρομή που πήρε ο γιος σου, τα αποτελέσματα στα οποία οδηγήθηκε συμπίπτουν σχεδόν επακριβώς με τους δικούς μου στοχασμούς, που έχουν απασχολήσει τον νου μου για τριάντα με τριάντα πέντε χρόνια.

Εύκολα μπορούμε να καταλάβουμε ότι ο Γκάους υπέβαλε τον ενθουσιώδη, νεαρό θαυμαστή του σε μια ψυχρολουσία. Προς τιμήν του, ο Γκάους περιέγραψε ευγενικά τον εαυτό του ως “… πολύ χαρούμενο που τυγχάνει να είναι γιος του παλαιού μου φίλου εκείνος που με ξεπερνά με έναν τόσο αξιοσημείωτο τρόπο”.Ωστόσο, για τον ίδιο τον Γιάνος, το να μάθει ότι η μεγαλύτερη ανακάλυψή του βρισκόταν επί δεκαετίες στο συρτάρι του Γκάους ήταν ένα σκληρό πλήγμα στον εγωισμό του.

Όμως ο εγωισμός του Γιάνος έμελλε να υποστεί ακόμη μια δοκιμασία, καθώς σύντομα έγινε γνωστό ότι ο Ρώσος μαθηματικός Νικολάι Λομπατσέφσκυ (1793 – 1856) όχι μόνο είχε διατρέξει την ίδια διαδρομή με τους Γκάους και Μπόλιαϊ, αλλά είχε δημοσιεύσει τη δική του θεώρηση της μη ευκλείδειας γεωμετρίας το 1829 – τρία ολόκληρα χρόνια νωρίτερα. Ωστόσο, ο Λομπατσέφσκυ είχε γράψει την πραγματεία του στα ρωσικά, με αποτέλεσμα αυτή να περάσει απαρατήρητη στη δυτική Ευρώπη.

Εδώ έχουμε ένα φαινόμενο αρκετά συνηθισμένο στην επιστήμη, δηλαδή μια ανακάλυψη που γίνεται ταυτόχρονα και ανεξάρτητα από περισσότερα άτομα. Όπως παρατήρησε χαριτωμένα ο Φάρκας Μπόλιαϊ:

… μοιάζει να αληθεύει ότι πολλά πράγματα έχουν, ούτως ειπείν, μια εποχή κατά την οποία ανακαλύπτονται ταυτόχρονα σε διαφορετικά μέρη, ακριβώς όπως οι βιολέτες εμφανίζονται παντού την άνοιξη.

Ο αντίκτυπος αυτών των ανακαλύψεων είχε μόλις βρει τον στόχο του όταν ακόμη ένας νεωτεριστής, ο Μπέρνχαρτ Ρήμαν (1826 – 1866), υιοθέτησε μια διαφορετική θεώρηση σχετικά με το άπειρο μήκος γεωμετρικών γραμμών. Αυτή η απειρία είχε επιτρέψει στους Γκάους, Μπόλιαϊ και Λομπατσέφσκυ να εξαλείψουν την περίπτωση το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου να υπερβαίνει τις 180°. Όμως, υπήρχε κάποια αναγκαιότητα να υποθέτει κάποιος εν γένει αυτή την απειρία; Σύμφωνα με το δεύτερο αίτημα του Ευκλείδη, ένα ευθύγραμμο τμήμα μπορούσε να επεκταθεί ευθύγραμμα και με συνεχή τρόπο, όμως μήπως αυτό δεν σήμαινε ότι δεν μπορούμε ποτέ να φθάσουμε στο πέρας μιας ευθείας;

Ο Ρήμαν μπορούσε εύκολα να φανταστεί την περίπτωση όπου γραμμές – κάπως σαν κύκλοι – έχουν πεπερασμένο μήκος και ωστόσο δεν διαθέτουν “πέρας”, και το έθεσε ως εξής:

… πρέπει να διακρίνουμε μεταξύ μη φραγμένης και άπειρης έκτασης… Η ιδιότητα του μη φραγμένου χώρου διαθέτει… μια μεγαλύτερη εμπειρική βεβαιότητα από οποιαδήποτε εξωτερική εμπειρία.

Όμως η άπειρη έκτασή του επουδενί δεν έπεται αυτού.

Όταν ο Ρήμαν επανεξέταζε τη γεωμετρία υποθέτοντας μη φραγμένες αλλά πεπερασμένες γραμμές, η αντίφαση που προέκυπτε από το γεγονός ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ξεπερνούσε τις 180° εξαφανίστηκε. Συνακόλουθα, ο Ρήμαν ανέπτυξε ένα άλλο είδος μη ευκλείδειας γεωμετρία, στο πλαίσιο της οποίας το άθροισμα των γωνιών υπερβαίνει τις δύο ορθές. Μολονότι είναι διαφορετική τόσο από τη γεωμετρία του Ευκλείδη όσο και από τη γεωμετρία του Μπόλιαϊ, η γεωμετρία του Ρήμαν ήταν κατά τα φαινόμενα εξίσου συνεπής.

Σήμερα, αναγνωρίζουμε και τους τέσσερις μαθηματικούς ως δημιουργούς της μη ευκλείδειας γεωμετρίας. Μοιάζει δίκαιο ότι και οι τέσσερις, ως πρωτοπόροι, πρέπει να μοιραστούν τη δόξα. Όμως ακόμη και οι ανακαλύψεις τους δεν έλυσαν πλήρως το θεμελιώδες πρόβλημα του αιτήματος των παραλλήλων. Διότι, αν και είχαν αναπτύξει τις γεωμετρίες τους σε μεγάλο βαθμό επιτήδευσης, αυτό που στήριζε την πεποίθησή τους πως οι νέες γεωμετρίες αποτελούσαν έγκυρες εναλλακτικές λύσεις στην ευκλείδεια γεωμετρία δεν ήταν παρά μόνο μια βαθιά αίσθηση και όχι ένα λογικό επιχείρημα γραμμένο στο χαρτί. Παρά τις έντονες πεποιθήσεις των Γκάους, Μπόλιαϊ, Λομπατσέφσκυ και Ρήμαν, παρέμενε η δυνατότητα σε κάποια μελλοντική στιγμή ένας λαμπρός μαθηματικός να αποδείκνυε την ύπαρξη μιας αντίφασης προερχόμενης από την υπόθεση ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου μπορούσε να είναι μικρότερο ή μεγαλύτερο των 180°.

Έτσι, το τελικό κεφάλαιο αυτής της ιστορίας που διήρκεσε αιώνες γράφτηκε το 1868 από τον Ιταλό Εουτζένιο Μπελτράμι (1835 – 1900), ο οποίος απέδειξε μονοσήμαντα ότι η μη ευκλείδεια γεωμετρία ήταν εξίσου λογικά συνεπής με την ευκλείδεια γεωμετρία. Δηλαδή, θεωρώντας ότι κάπου στη γεωμετρία του Γκάους, του Μπόλιαϊ και του Λομπατσέφσκυ ή σε εκείνη του Ρήμαν μπορούσε να ελλοχεύει μια αντίφαση, ο Μπελτράμι έδειξε ότι τότε θα έπρεπε να υπάρχει μια αντίφαση και στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Καθώς δυνητικά οι πάντες πίστευαν ότι η ευκλείδεια γεωμετρία ήταν όσο συνεπής μπορούσε, το συμπέρασμα ήταν πως οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες ήταν ομοίως πολυτιμότατες.

Για να το θέσουμε διαφορετικά, η μη ευκλείδεια γεωμετρία δεν είναι από λογική άποψη κατώτερη από την παλαιότερη, ευκλείδεια ομόλογό της.

Και που βρίσκεται ο Ευκλείδης μετά από αυτές τις ανακαλύψεις του 19ου αιώνα; Από τη μία, η γεωμετρία του έπαψε πια να είναι η μόνη λογικά συνεπής περιγραφή του χώρου. Προς μεγάλη έκπληξη σχεδόν όλων, αποδείχτηκε ότι το αίτημα των παραλλήλων δεν προέκυπτε υποχρεωτικά από τη λογική. Ήταν μια υπόθεση του Ευκλείδη, αλλά δεν υπήρχε καμία μαθηματική αναγκαιότητα για αυτό. Υπήρχαν ανταγωνιστικές, εξίσου έγκυρες γεωμετρίες.

Ωστόσο, ίσως το αποτέλεσμα να είναι η ενίσχυση και όχι ο καταποντισμός της φήμης του Ευκλείδη. Διότι, αντίθετα με πολλούς που ακολούθησαν, ο Ευκλείδης δεν έπεσε στην παγίδα να προσπαθήσει να αποδείξει το αίτημα των παραλλήλων από τις υπόλοιπες αυταπόδεικτες αλήθειες, ένα εγχείρημα το οποίο, όπως γνωρίζουμε σήμερα, είναι εντελώς καταδικασμένο να αποτύχει. Αντίθετα, τοποθέτησε απλώς την υπόθεσή του εκεί όπου ανήκε, στα αιτήματα. Ασφαλώς δεν μπορούσε να γνωρίζει για τις εναλλακτικές γεωμετρίες που θα ανακαλύπτονταν δύο χιλιετίες αργότερα. Ωστόσο, κάτι στη διαίσθησή του ως μαθηματικού πρέπει να του είπε ότι η ιδιότητα αυτή ήταν μια ξεχωριστή, ανεξάρτητη ιδέα, που χρειαζόταν το δικό της αίτημα, όσο σχοινοτενές ή περίπλοκο κι αν ακουγόταν.

Είκοσι δύο αιώνες αργότερα, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι ο Ευκλείδης είχε ανέκαθεν δίκιο.