Το παράδοξο του Russell

 > Ο κόσμος είναι γεμάτος από μαγικά πράγματα
που περιμένουν υπομονετικά το πνεύμα μας να γίνει πιο οξυδερκές.

> Επιστήμη είναι ό,τι ξέρουμε. Φιλοσοφία είναι ό,τι δεν ξέρουμε.

> Δεν θα πέθαινα ποτέ για τα πιστεύω μου, γιατί μπορεί να είναι λάθος.
Bertrand Russell

Όπως συμβαίνει παντού στη φύση έτσι και στα μαθηματικά δεν υπάρχει παρθενογένεση, ενα συγκεκριμένο αντικείμενο δεν μπορει να δημιουργηθεί απο το τίποτα-πρέπει κάτι να προηγηθεί που θα προκαλέσει τη δημιουργία του.

Στα μαθηματικά αυτο που προηγείται πάντα είναι τα αξιώματα, δηλαδή κάποιες προφανείς προτάσεις της διαίσθησης μας που τις δεχόμαστε a priori χωρίς απόδειξη στη συνέχεια με τους κανόνες της λογικής συνάγομε τα αποτελέσματα και με βάση αυτά τα αποτελέσματα παράγουμε άλλα αποτελέσματα κ.ο.κ. επομένως κάθε πρόταση-θεώρημα των μαθηματικών ανάγεται τελικά στα αξιώματα, χωρίς αξιώματα δηλαδή δεν μπορούν να υπάρξουν μαθηματικά, αλλά και χωρίς λογική το ίδιο.

Σίγουρα το τελειότερο σύστημα αξιωμάτων που παράγει μια πολύ πλούσια θεωρία με άπειρες εφαρμογές είναι η γεωμετρία του Ευκλείδη που μαθαίνουμε στο λύκειο, εδω και 2000 χρόνια οι μαθηματικοί όλου του κόσμου προσπάθησαν να μιμηθούν τον Ευκλείδη στη δημιουργία μιας καινούριας θεωρίας. Όμως πολύ  λιγοι τα κατάφεραν. Στη θεωρία συνόλων που μας απασχολεί εδω, αυτο το εργο αποδείχτηκε πολυ δύσκολο και αυτο διότι ο διαισθητικός ορισμος του Cantor για την έννοια του συνόλου οδηγούσε σε λογικά παράδοξα.

Στη προσπάθεια του να θεμελιώσει τη συνολοθεωρια ο Gottlob Frege (και κατ επέκταση ολα τα μαθηματικά) δέχτηκε ενα ισχυρό πλήγμα απο την επιστολή που του απεστειλε ο Bertran Russel στην οποια ισχυριζόταν οτι η βασικότερη αρχή της θεωρίας ηταν λανθασμένη διοτι οδηγουσε σε μια αντιφαση που κανείς δε μπορούσε να αποφύγει οσο κι αν προσπαθούσε. Ο Frege απογοητεύτηκε και χαρακτηριστικά ανέφερε τα εξης,

«Δεν υπάρχει μεγαλύτερη ατυχία που μπορεί να συμβεί σε εναν συγγραφέα επιστημονικού συγγράμματος απ αυτήν του να δει κάποιο απο τα θεμέλια του οικοδομήματος του να τρέμει μετά το τέλος της οικοδόμηση. Αυτή ηταν η θέση στην οποια περιήλθα μετα απο ενα γράμμα του κυριου Russel ακριβώς τη στιγμή που το τύπωμα αυτού του τόμου ηταν κοντα στο τέλος του.»

Σκέψη και λογική. Η Principia Mathematica αποτελεί έναν σταθμό σε αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε κλασσική λογική ή απλά λογική, και γράφτηκε από τους Whitehead και Russell στις αρχές του προηγούμενου αιώνα.Ο σκοπός της ήταν φιλόδοξος: Να παράξει όλες τις μαθηματικές αλήθειες μέσα από ένα συνεπές και πλήρες λογικό σύστημα. Με άλλα λόγια, να βρει ένα σύνολο θεμελιωδών παραδοχών, αρκετό να αναπαράγει όλο τον κόσμο της ανθρώπινης λογικής.

Η βασική αρχή που ακολουθείται στην Principia Mathematica έγκειται στο γεγονός ότι, αντίθετα με ότι θεωρείτο ως τότε, σε μια συνεπή θεωρία συνόλων (Set Theory), ένα σύνολο είναι διαφορετικό από τα στοιχεία που το αποτελούν και αντιστρόφως ένα στοιχείο ενός συνόλου δεν είναι το ίδιο με το σύνολο.

Στη θεμελίωση των μαθηματικών, το παράδοξο του Ράσελ (επίσης γνωστή ως αντινομία Russell), που ανακαλύφθηκε από τον Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, έδειξε ότι η αφελής θεωρία συνόλων που δημιουργήθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ οδηγεί σε μια αντίφαση. Το ίδιο παράδοξο είχε ανακαλυφθεί ένα χρόνο πριν από τον Έρνστ Τσεμέλο, αλλά δεν είχε δημοσιεύσει την ιδέα, που έμεινε γνωστή μόνο στους Χίλμπερτ, Έντμουντ Χούσσερλ και άλλα μέλη του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν.

Σύμφωνα με την αφελή θεωρία συνόλων, κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Έστω R το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Αν R μπορεί να θεωρηθεί ως ένα μέλος του εαυτού του, θα ήταν αντίθετος με τον δικό της ορισμό της ως σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Από την άλλη πλευρά, εάν ένα τέτοιο σύνολο δεν είναι μέλος του εαυτού του, θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί ως ένα μέλος της ίδιας από τον ίδιο ορισμό. Αυτή η αντίφαση είναι παράδοξο του Ράσελ.

Το παράδοξο του Ράσελ αποτέλεσε τη βάση την αιτιολόγησης, η οποία τον οδήγησε να διαγράψει οποιαδήποτε ελπίδα έτρεφε, για τη θεμελίωση των μαθηματικών σε όρους λογικής. Ο σκοπός της έρευνας ήταν η θεωρία των συνόλων. Και η σκέψη του Ράσελ ήταν ότι, κάθε είδος συνόλου θα πρέπει να ανήκει σε ένα ευρύτερο σύνολο, αλλά η αιτιολόγησή του οδήγησε σε ένα παράδοξο. Ανακάλυψε ότι υπήρχαν σύνολα που δεν ανήκουν σε κανένα άλλο σύνολο, αποδεικνύοντας ότι αυτή η λογική δεν ευσταθεί: το σύνολο όλων των συνόλων (τα οποία δεν περιέχουν τον εαυτό τους), θα πρέπει να περιέχει και να μην περιέχει τον εαυτό του, ταυτόχρονα.

Το παράδοξο του Russell είναι ο συνολοθεωριτικός αντίπαλος ενός παλιότερου παράδοξου, γνωστού στους αρχαίους Έλληνες ως παράδοξο του Επιμενίδη ή παράδοξο του ψεύτικη ουσία του προβλήματος είναι ότι ο Επιμενίδης λέγεται πως είπε: «Αυτή η πρόταση είναι ψευδής» Είναι ψευδής;

Αν είναι ψευδής τότε αυτό σημαίνει ότι είναι αληθής
Αν όμως είναι ψευδής αυτό σημαίνει ότι είναι αληθείς
Συνεπώς ότι και να δεχτούμε σχετικά με την αλήθεια της έχουμε πρόβλημα.     

Μια από τις αντιδράσεις στην κρίση της λογικής ήταν η απόπειρα του Hilbert να διαφύγει μέσα στον φορμαλισμό.

Ας θεωρήσουμε το εξής παράδειγμα: Θα ονομάσουμε ‘συνεπές’ ένα σύνολο που δεν περιέχει τον εαυτό του και ‘ασυνεπές’ ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του. Έστω για παράδειγμα το σύνολο όλων των τετραγώνων. Αυτό το σύνολο δεν είναι τετράγωνο και επομένως δεν αποτελεί μέλος του συνόλου των τετραγώνων, δηλαδή δεν περιέχει τον εαυτό του. Επομένως είναι «συνεπές» Από την άλλη μεριά, ας πάρουμε το σύνολο όλων των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα.

Αυτό το σύνολο δεν είναι και πάλι τετράγωνο, αλλά μπορεί να είναι μέλος του συνόλου των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα, δηλαδή μπορεί να περιέχει τον εαυτό του και επομένως είναι ‘ασυνεπές.’ Τώρα αν θεωρήσουμε το σύνολο R ‘όλων των συνόλων. Αν το R είναι ‘συνεπές,’ τότε δεν θα περιέχεται στο σύνολο όλων των συνόλων και επομένως θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει και θα είναι ‘ασυνεπές.’ Από την άλλη μεριά, αν το R είναι ‘ασυνεπές,’ τότε θα περιέχει τον εαυτό του στο σύνολο όλων των συνόλων και θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει, πράγμα συνεπές. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ότι το R είναι ταυτόχρονα ‘ασυνεπές’ και ασυνεπές,’ πράγμα άτοπο. (Παράδοξο του Russell).

Η ανυπαρξία του Παραδόξου.  Η ουσία του Παραδόξου είναι ότι δεν μπορεί να υπάρξει ένα σύνολο που να περιέχει τα πάντα. Γιατί αν υπάρχει, τότε θα περιέχει τον εαυτό του. Τότε όμως σε κάθε απόδειξη θα χρησιμοποιούμε ως αποδεικτικό στοιχείο αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε (αυτοαναφορά). Από την άλλη μεριά, αν το σύνολό μας δεν περιέχει τον εαυτό του (δηλαδή δεν περιέχει τα πάντα,) τότε μπορούμε να εργαστούμε επαγωγικά για κάθε απόδειξη, αλλά θα υπάρχει κάποιο στοιχείο έξω από το σύστημά μας, έτσι ώστε η κάθε μας απόδειξη να μην είναι πλήρης.

Με άλλα λόγια, αν το σύστημά μας είναι συνεπές δεν θα είναι πλήρες και το αντίστροφο, αν το σύστημά μας είναι πλήρες δεν θα είναι συνεπές. Αν δηλαδή το Παράδοξο υφίσταται, τότε το σύστημά μας δεν είναι συνεπές κι επομένως ο συλλογισμός μας ότι το Παράδοξο υφίσταται ήταν λάθος, άρα το Παράδοξο δεν υφίσταται. Από την άλλη μεριά, αν το Παράδοξο δεν υφίσταται τότε το σύστημά μας είναι συνεπές κι επομένως ο αρχικός μας συλλογισμός ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται ήταν σωστός. Και στις δύο περιπτώσεις βλέπουμε ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται!

Το ‘μέσα’ και το ‘έξω’ (Ο κόσμος και ο εαυτός)  Η όλη παραπάνω συλλογιστική, η οποία όπως είδαμε οδηγεί σε αυτοαναίρεση, οδήγησε τον Godel στο θεώρημα της πληρότητας. Σε ό,τι με αφορά αυτή τη στιγμή, το θεώρημα του Godel μας λέει ότι αν είμαστε ένα κομμάτι του κόσμου, τότε δεν μπορούμε να καταλάβουμε τα πάντα για τον κόσμο, γιατί ο κόσμος είναι μεγαλύτερος από εμάς (μπορούμε βέβαια να μαθαίνουμε ολοένα και περισσότερα για τον κόσμο). Αν βέβαια θεωρήσουμε ότι ο κόσμος είναι ένα κομμάτι μας, τότε και πάλι παραμένει το πρόβλημα με την έννοια ότι δεν μπορούμε να κατανοήσουμε πλήρως τον εαυτό μας, αφού θα πρέπει να ανακαλύπτουμε ολοένα και περισσότερους κόσμους. Σε κάθε περίπτωση το ‘Όλο είτε το προσδιορίσουμε ως ο ‘Κόσμος’ είτε ως ο ‘Παγκόσμιος Εαυτός’ δηλώνει ξεκαθαρα ό,τι …

1+1=2 Έστω το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Ο αριθμός 1 αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.

Ο αριθμός 2 επίσης αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.

Η πράξη της πρόσθεσης είναι μια συνάρτηση που όταν παίρνει έναν αριθμό δίνει τον αμέσως επόμενο.
Με αυτήν την έννοια 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, κοκ.

Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς η πράξη 1+1=2 ορίζεται και αποδεικνύεται από τις βασικές παραδοχές. Αν όμως ορίσουμε την πρόσθεση με έναν άλλο τρόπο, π.χ. με μια συνάρτηση η οποία παίρνοντας τιμές δίνει πίσω τον εαυτό της, τότε 1+1=1, 2+1=2, 3+1=3, κοκ

Εφόσον αυτή η πράξη ορίζεται για όλα τα μέλη του συνόλου, είναι συνεπής και σύμφωνα με αυτή την νέα παραδοχή 1+1=1

Διαπιστώνουμε ότι το πόσο κάνει 1+1 εξαρτάται από τις παραδοχές που έχουμε κάνει. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να ορίσουμε ένα λογικό σύστημα τέτοιο ώστε 1+1=0+0= 1 και 1+0=0+1=0. Αυτό θα αποτελούσε μιαν απλή ‘Boolean’ τύπου αριθμητική.

Βέβαια το παράδοξο που έκανε ευρέως τον Βέρναρτ Ράσελ ήταν αυτό του κουρέα: Θεωρούμε ένα χωριό που έχει έναν κανόνα ότι όποιος κάτοικος δεν ξυρίζεται μόνος του αλλα, τον ξυρίζει ο κουρέας. Ο κανόνας είναι δεσμευτικός. Το τοπίο φαίνεται ιδανικό αρκεί να μην σκεφτούμε ποιος θα κουρεύει τον κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού (ως κουρέας) ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αν όμως δεν ξυρίζεται μόνος του, παύει πλέον να ανήκει σε αυτήν την ομάδα των «αυτο-ξυριζόμενων», και μπορεί να ξυρίσει τον εαυτό του!  Πρόβλημα τα αυτοαναφερόμενα προβλήματα!

Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ’ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Ράσελ, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ’ αυτή την περίπτωση, δεν δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο.

Διαβάζω στο πρόγραμμα της ταινίας Blade Runner «…τα ανθρωποειδή στην ταινία είναι οι τέλειες μηχανές, αλλά προτίμησαν να πεθάνουν προκειμένου να νιώσουν έστω και για μια στιγμή το ανθρώπινο συναίσθημα…»

Τελικά, η ζωή είναι πάρα πολύ πολύπλοκη για να μπει σε ένα καλούπι, ούτε και επιδέχεται μονοσήμαντες απαντήσεις. Τελικά, δεν υπάρχουν σταθερές για να ακουμπήσουμε και μοναδικές αλήθειες για να ρυθμίσουμε τη σχέση μας με τη γνώση και με το άγνωστο. Είναι δύσκολο να ποσοτικοποιήσεις την ανθρώπινη δυνατότητα όπως και την ανθρώπινη ευφυϊα. Μια ευφυϊα σαν αυτή που εν-τόπισε, το Αρχιμήδειο στήριγμα.

Ότι κι αν σκεφτείς ή μπερδευτείς, σκέψου με τι ασχολείται ένας κουρέας… !

…και έχουμε και τα ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ και  τα Θεωρήματα μη πληρότητας του Kurt Gödel. -Δες και την ΛΟΓΙΚΗ
———————-

Bertrand Russell ( 1872-1970 , Βρετανός φιλόσοφος)