Θαλής: ο πατέρας της γεωμετρίας

Ο Εύδημος (4ος-3ος αι. π.Χ.) αποδίδει στον Θαλή τον Μιλήσιο (περ. 624-548 π.Χ.) τα εύσημα για την εισαγωγή της γεωμετρίας από την Αίγυπτο στην Ελλάδα: αυτός της έδωσε ώθηση, κάνοντας πολλές ανακαλύψεις και επισημαίνοντας τις αρχές στους διαδόχους του, αντιμετωπίζοντας κάποια θέματα από γενική άποψη και άλλα με εμπειρικό τρόπο. Δεν αναφέρεται με ποιον τρόπο εννοούσε αυτήν τη γενίκευση, αλλά μία πάγια παράδοση υποδεικνύει τον Θαλή σαν τον πατέρα της θεωρητικο-επαγωγικής γεωμετρίας με την ευκλείδεια έννοια. Όμως, το ζήτημα δεν είναι τόσο προφανές. Στην πραγματικότητα, ο Πρόκλος (410-485) αναπαράγει από τον Εύδημο πληροφορίες που θα μπορούσαν να επιβεβαιώσουν τον ρόλο του Θαλή. Εκείνος απέδειξε πρώτος ότι η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο μέρη, και αυτό ενισχύει, αναμφίβολα, την παραδοσιακή θέση (Ευκλ., σελ. 157, Friedlein). Προσδιόρισε, επίσης, ότι οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες, αλλά εκφραζόταν ομοίως ακόμα με αρχαϊκούς όρους (στο ίδιο, σελ. 250). Ακόμα, ανακάλυψε το θεώρημα της ισότητας των γωνιών απέναντι από την κορυφή (στο ίδιο, σελ. 299). Επίσης, ήξερε εκείνο που για μας είναι το δεύτερο κριτήριο της ισότητας των τριγώνων, κι αυτό γιατί πρόκειται για θεωρητική προϋπόθεση για τη μέθοδο που χρησιμοποιείται ώστε να υπολογιστεί η απόσταση ενός πλοίου στη θάλασσα (στο ίδιο σελ. 352). Τέλος, υπενθυμίζεται η παράδοση, σύμφωνα με την οποία γίνεται απόπειρα επίλυσης ενός άλλου προβλήματος: να υπολογιστεί το ύψος μιας πυραμίδας από την προβαλλόμενη σκιά της. Επομένως, φαίνεται δύσκολο να πιστέψουμε ότι είναι πραγματικά οικείες στον Θαλή αντιλήψεις που στην πραγματικότητα ανήκουν στις επόμενες εξελίξεις στη γεωμετρία. Για παράδειγμα, η ιδέα της απόδειξης, που συνεπάγεται την εξαγωγή συμπερασμάτων από αξιώματα και θεωρήματα πιο απλά, ή η αφηρημένη έννοια της αναλογικότητας, στην οποία βασίζεται το θεώρημα που είναι παγκοσμίως γνωστό με το όνομά του. Σχετικά με το θεώρημα των απέναντι γωνιών, ο Πρόκλος διευκρινίζει ότι το αποδεικνύει ο Ευκλείδης. Έπειτα, είναι φανερό το συμπέρασμα σύμφωνα με το οποίο ο Εύδημος καταλήγει ότι ο Θαλής γνωρίζει ήδη μία αρχή που μόνο αργότερα θα αποδεικνυόταν, βάσει μιας δικής του πρακτικής διαδικασίας. Κυρίως, οι ιδέες του πρέπει να ερμηνεύονται υπό το πρίσμα των γνώσεων των Αιγυπτίων, που αυτός εισήγαγε στην Ελλάδα. Τίθεται εδώ το γενικότερο πρόβλημα της προέλευσης των μαθηματικών, πρόβλημα στενά συνυφασμένο με τη σχέση ανάμεσα στην Ελλάδα και στην Εγγύς Ανατολή. Το θέμα είναι στο επίκεντρο ανοιχτών αντιπαραθέσεων ανάμεσα στους αρχαίους. Στις μέρες μας συχνά καταλήγει σε αντιπαράθεση δύο ακραίων θέσεων: από τη μία η θέση του «ελληνικού θαύματος», ανεπανάληπτος καρπός της ελληνικής ευφυΐας. Από την άλλη η πεποίθηση ότι οι Έλληνες οφείλουν πολλά στα επιτεύγματα των γειτονικών πολιτισμών και ότι ex Oriente lux, δηλαδή το φως έρχεται από την Ανατολή. Η εξέταση των μαθηματικών γνώσεων μας επιτρέπει να απομακρυνθούμε από αυτήν την άκαμπτη εναλλακτική.

Η σχέση με τα μαθηματικά της Ανατολής
Ο Ηρόδοτος (484-424 π.Χ.) αποδίδει στους Αιγύπτιους την εφεύρεση της γεωμετρίας, στους Βαβυλώνιους του ηλιακού ωρολογίου, του γνώμονα και της υποδιαίρεσης της μέρας σε ,2 μέρη (2. 109). Συγκεκριμένα, επιμένει να διηγείται την προέλευση της γεωμετρίας. Ο φαραώ Σέσωστρις μοίρασε τη γη σε ίσα μέρη ανάμεσα σε όλους τους Αιγύπτιους και κάθε χρόνο εισέπραττε από αυτά τους φόρους. Με τις διαβρώσεις εξαιτίας της ροής του Νείλου, η ζημιά προκαλούσε την επέμβαση των υπαλλήλων που μετρούσαν τη συρρίκνωση του εδάφους και υπολόγιζαν εκ νέου τους οφειλόμενους φόρους. Αυτό, καταλήγει ο Ηρόδοτος, οδήγησε στη γέννηση της γεωμετρίας, η οποία ακολούθως εισήχθη στην Ελλάδα.

Στον Κατάλογο των γεωμετρών ο Εύδημος επαναλαμβάνει όσα αναφέρει ο Ηρόδοτος, δραματοποιώντας τις ζημιές που προκαλούνταν από τον ποταμό: στη θέση των διαβρώσεων, αυτός κάνει λόγο για επαναλαμβανόμενους κατακλυσμούς που αφάνιζαν τις περιουσίες. Η ουσία, όμως, παραμένει η ίδια, όπως δείχνει το ίδιο το όνομά της, η γεωμετρία γεννιέται από την πρακτική ανάγκη να μετρηθεί η γη. Με τον ίδιο τρόπο, προσθέτει ο Εύδημος, η γνώση των αριθμών κατάγεται από τους Φοίνικες, λόγω των εμπορικών δραστηριοτήτων τους. Εξάλλου, ο Πλάτων ήδη αναφέρεται σε συμφέροντα πρακτικής φύσεως, τα οποία αποτελούν κίνητρο γι’ αυτούς τους λαούς. Όπως άλλοι Έλληνες, βλέπει με μεγάλο θαυμασμό τη βαθιά και αρχαία γνώση της οποίας οι Αιγύπτιοι είναι θεματοφύλακες: μεταξύ άλλων, αποδίδει σε αυτούς την εφεύρεση των αριθμών, του υπολογισμού, της γεωμετρίας και της αστρονομίας, τοποθετώντας την στην πολύ μακρινή εποχή του μύθου του θεού Θωθ (Φαιδρός, 274c). Ωστόσο ασκεί σκληρή κριτική και στους Φοίνικες και στους Αιγύπτιους, από τη στιγμή που λόγω της υπερβολικής επιθυμίας τους για πλούτο, κατέληξαν να διαστρεβλώνουν την ορθή εκπαίδευση των μαθηματικών (Πολιτεία 436a· Νόμοι 747c). Τα άμεσα τεκμήρια που παραθέτουμε, επιβεβαιώνουν σε γενικές γραμμές αυτές τις μαρτυρίες. Οι πάπυροι και οι πήλινες πλάκες μας παραθέτουν πολλά κείμενα, από τα οποία προκύπτουν -πέρα από συγκεκριμένα χαρακτηριστικά- μερικές απόψεις κοινές ανάμεσα στα αιγυπτιακά μαθηματικά και σε εκείνα των λαών της Μεσοποταμίας. Πρόκειται για διαδικασίες υπολογισμού και τεχνικές μέτρησης, όχι μόνο στοιχειώδους φύσεως, αλλά και πιο πολύπλοκες. Αυτές ανταποκρίνονται στις πρακτικές ανάγκες που συνδέονται με τη λειτουργία το>ν δύο μεγάλων κρατικών μηχανισμών. Έτσι βρίσκουμε υπολογισμούς με σκοπό την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων που αφορούν ανάγκες οικοδομικές και διοικητικές: όγκοι πυραμίδων, γωνίες καναλιών, ποσότητα ανθρώπινου δυναμικού, διανομή προμηθειών, κατανομή αγαθών, ενδιαφέρον για δάνεια, μερίσματα αγρών… Αντιθέτως λείπουν εκείνα τα χαρακτηριστικά που καθιστούν τα μαθηματικά μορφή γνώσης ανώτερη από απλούς υπολογισμούς και μετρήσεις. Συχνά τα αποτελέσματα είναι κατά προσέγγιση, ενώ δεν υπάρχουν αποδείξεις γενικών θεωρημάτων και κανόνων. Επίσης δεν υπάρχουν αποδείξεις ούτε για αναφορές στις γενικές ιδιότητες των αριθμών και των σχημάτων ούτε για τις συνθήκες επίλυσης των προβλημάτων.

Από όσα έχουμε δει μέχρι τώρα, φαίνεται να έχει δίκιο όποιος αντιπαραβάλλει τα εφαρμοσμένα μαθηματικά των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων με τα καθαρά μαθηματικά των Ελλήνων. Με την επιφύλαξη των περιορισμών που επισημάνθηκαν, πρέπει να ληφθούν υπόψη και άλλες απόψεις, που θα κάνουν την εικόνα πληρέστερη. Αιγυπτιακές και βαβυλωνιακές πηγές αναφέρουν πρακτικές, οι οποίες, αν και αφορούν συγκεκριμένες περιπτώσεις, έχουν χαρακτήρα τυχερού παιχνιδιού ή εικασίας. Βαβυλωνιακά κείμενα παρουσιάζουν προβλήματα οργανωμένα με συγκεκριμένη μέθοδο, σύμφωνα με μία σειρά προοδευτικής πολυπλοκότητας και διαδικασιών επαλήθευσης, αν και διαφορετικά από την ευκλείδεια αντίληψη της απόδειξης. Παρουσιάζουν επίσης κάποια περιεχόμενα που επικαλούνται το θεώρημα του Θαλή και του Πυθαγόρα, τους μηνίσκους του Ιπποκράτη, τους όγκους των πυραμίδων όπως ασχολήθηκε μαζί τους ο Ευκλείδης στο δωδέκατο βιβλίο των Στοιχείων, μερικά μεταγενέστερα αποτελέσματα και μεθόδους του Ήρωνα (μέσα του 1ου αι.) και του Διόφαντου (3ος αι.). Από την άλλη μεριά, για τους Έλληνες, τα αιγυπτιακά μαθηματικά δεν προσανατολίζονται μόνο στην πρακτική.

Ο Ισοκράτης (436-338 π.Χ.) αφηγείται ότι στο σύνταγμα που παρέδωσε ο Βούσιρις στους Αιγυπτίους, οι άντρες προορίζονται για τις επιχειρήσεις, ενώ οι νέοι πρέπει να παραβλέπουν τις ηδονές για να αφιερώνονται στη μελέτη της αστρονομίας, των υπολογισμών και της γεωμετρίας. Αυτές οι επιστήμες χαίρουν εκτίμησης, από τη μια για την πρακτική χρησιμότητά τους και από την άλλη σαν μέσο για την πραγμάτωση της αρετής (Βούσιρις 23). Και ο Αριστοτέλης γνωρίζει ότι τα αιγυπτιακά μαθηματικά δεν αφορούν μόνο την πρακτική δραστηριότητα. Στις αρχικές σελίδες των Μεταφυσικών περιγράφει την εξέλιξη των τεχνικών, που ξεκινούν από αυτές που αφορούν τnv επιβίωση. Μόλις ικανοποιηθούν οι άμεσες ανάγκες, αναπτύσσονται οι τέχνες που επιτρέπουν την ευχάριστη ζωή. Τέλος ανακαλύπτονται οι επιστήμες που δεν έχουν άλλο σκοπό από την ίδια τη γνώση, και αυτό συμβαίνει όταν οι άνθρωποι είναι ελεύθεροι από πρακτικές ασχολίες. Γι’ αυτό, καταλήγει ο Αριστοτέλης, οι μαθηματικές τέχνες έχουν τις ρίζες τους στην Αίγυπτο, όπου στην κάστα των ιερέων αναγνωριζόταν μια τέτοια ελευθερία (Μεταφυσικά, 1,1). Επομένως, μπορούμε να επαναλάβουμε για τους μαθηματικούς της Ανατολής αυτό που ο Εύδημος επιβεβαιώνει στον Θαλή: κάποια πράγματα τα χειρίζονται με εμπειρικό τρόπο και άλλα από μία γενικότερη οπτική γωνία, θα μπορούσε να συμπληρωθεί μία μακρά λίστα από μαθηματικές γνώσεις που οι Έλληνες απόκτησαν από τους Αιγύπτιους και, πιθανόν εν μέρει μέσω αυτών, από τους λαούς της Μεσοποταμίας: για παράδειγμα, τα συστήματα αρίθμησης, τις τέσσερις απλές πράξεις, τις δυνάμεις και τις ρίζες, τις αλγεβρικές εξισώσεις, το εμβαδόν, τους βασικούς όγκους… Το μελανό σημείο είναι άλλο. Όπως συμβαίνει σε κάθε πολιτισμική ανταλλαγή, οι Έλληνες δεν περιορίστηκαν να αφομοιώσουν παθητικά αυτές τις γνώσεις, αλλά ταυτόχρονα τις επεξεργάστηκαν εκ νέου σε βάθος. Χάρη στις μελέτες τους, τα μαθηματικά απελευθερώνονται από τις πρακτικές ανάγκες και κατακτούν τη διάσταση της θεωρητικής γνώσης, τη γνώση που φέρει τον ίδιο της τον σκοπό -σύμφωνα με τα λόγια του Αριστοτέλη-, την ελεύθερη γνώση, όπως ελεύθερος είναι ο άνθρωπος που υπάρχει για τον εαυτό του και όχι για κάποιον άλλον (Μεταφυσικά, 1,2). Σε αυτήν τη διαδικασία θεμελιώδη ρόλο παίζουν οι Πυθαγόρειοι.