Τετραγωνισμός του κύκλου – Η λύση του Δεινόστρατου

Στην μεγάλη επιτομή του Πάππου, η οποία πρέπει να γράφτηκε στην εποχή του αυτοκράτορα Διοκλητιανού (284-305 μ.Χ.),αναφέρεται ότι ο Δεινόστρατος, ο αδελφός του Μεναίχμου και ο Νικομήδης χρησιμοποίησαν για τον τετραγωνισμό του κύκλου μια καμπύλη, η οποία για τον λόγο αυτό ονομάστηκε τετραγωνίζουσα. Την καμπύλη αυτή την ανακάλυψε ο Ιππίας φαίνεται όμως ότι ο Δεινόστρατος την χρησιμοποίησε για τον τετραγωνισμό του κύκλου. (Την τετραγωνίζουσα έχουμε περιγράψει στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας –η λύση του Ιππία)

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τετράγωνο ΟΑΓΔ, ένα ημικύκλιο ΑΔ και την τετραγωνίζουσα ΔΕ. Ονομάζουμε q=το μήκος του τόξου ΑΔ


Ο Πάππος, ενδεχόμενα ο ίδιος ο Δεινόστρατος (γύρω στο 350 π.Χ.), απέδειξε ότι:

(απόδειξη)

Από την (1) προκύπτει ότι το μήκος q του τεταρτοκυκλίου ΑΔ κατασκευάζεται ως τέταρτη ανάλογος των α,α ( το τμήμα α είναι η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει το τόξο) και του μήκους ΟΕ, όπου Ε είναι το σημείο στο οποίο η τετραγωνίζουσα τέμνει την ΟΑ. Μπορούμε τώρα να κατασκευάσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα με μήκος 4q, δηλ ίσο με το μήκος του κύκλου.

Ο Δεινόστρατος προφανώς γνώριζε την πρόταση που απέδειξε αργότερα ο Αρχιμήδης ότι:

Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, που η μία από τις κάθετες πλευρές του είναι ίση με το μήκος του κύκλου και η άλλη με το μήκος της ακτίνας του.



Έτσι για να τετραγωνίσουμε τον κύκλο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

• σχηματίζουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές ΑΓ= r και ΑΒ = 4q.
• παίρνουμε το μέσο Μ της ΑΒ και σχηματίζουμε το ορθογώνιο ΑΜΔΓ του οποίου το εμβαδό θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου.
• προεκτείνουμε την ΓΔ και παίρνουμε τμήμα ΔΕ = ΔΜ, κατασκευάζουμε το ημικύκλιο με διάμετρο την ΓΕ, στο σημείο Δ φέρουμε την κάθετη ΔΖ προς την ΓΕ και το τμήμα ΔΖ είναι η πλευρά x του ζητούμενου τετραγώνου


Πράγματι…