ΠΡΟΤΑΣΗ 3Ο λόγος της περιφέρειας κάθε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μικρότερος από 3 1/7 αλλά και μεγαλύτερος από 3 10/71.
Με σύγχρονο συμβολισμό, αυτό μας λέει: 3 10/71 < π < 3 1/7.
Αν μετατρέψουμε τα κλάσματα αυτά σε δεκαδικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα του Αρχιμήδη γράφεται 3,140845… < π < 3,142857… Επομένως, η σταθερά π έχει προσδιοριστεί, με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων, σε 3,14.
Το γεγονός ότι ο Αρχιμήδης κατέληξε σε αυτή την αριθμητική προσέγγιση αποτελεί άλλη μια ένδειξη των δυνατοτήτων του. Το στρατηγικό σχέδιό του ήταν και πάλι να χρησιμοποιήσει τα διαρκώς βοηθητικά εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα, μόνο που αυτή τη φορά, αντί να προσδιορίσει τα εμβαδά τους, επικεντρώθηκε στις περιμέτρους τους. Ξεκίνησε με ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο γνωρίζοντας πως κάθε πλευρά του εξαγώνου ισούται με την ακτίνα του κύκλου, έστω μήκους r. Άρα
Ομολογουμένως, πρόκειται για μια πολύ χονδροειδή εκτίμηση της τιμής του π, όμως ο Αρχιμήδης μόλις είχε αρχίσει. Στη συνέχεια διπλασίασε τον αριθμό των πλευρών του εγγεγραμμένου πολυγώνου του ώστε να πάρει κανονικό δωδεκάγωνο του οποίου την περίμετρο έπρεπε να υπολογίσει. Στο σημείο αυτό αφήνει τους σύγχρονους μαθηματικούς να κουνούν το κεφάλι τους από θαυμασμό, διότι ο προσδιορισμός της περιμέτρου του δωδεκαγώνου απαιτεί την αριθμητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας του 3. Με τις σημερινές αριθμομηχανές και τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές αυτό δεν μοιάζει με πραγματικό εμπόδιο, όμως την εποχή του Αρχιμήδη όχι μόνο τέτοιες συσκευές ήταν αδιανόητες, αλλά δεν υπήρχε καν ένα καλό σύστημα αριθμών για την διευκόλυνση τέτοιων υπολογισμών. Ωστόσο, έδωσε την ακόλουθη εκτίμηση:
που είναι εντυπωσιακά κοντά στην πραγματική τιμή.
Κατόπιν, ο Αρχιμήδης προχώρησε σε περαιτέρω διχοτομήσεις ώστε να πάρει ένα κανονικό 24γωνο, ένα κανονικό 48γωνο, και τέλος ένα κανονικό 96γωνο. Σε κάθε βήμα έπρεπε να προσεγγίζει περίπλοκες τετραγωνικές ρίζες, αλλά δεν κλονίστηκε. Όταν έφτασε στο 96γωνο, η προσέγγισή του ήταν
Σαν να μην έφτανε αυτό, ο Αρχιμήδης άλλαξε κατεύθυνση και έκανε παρόμοιες εκτιμήσεις για κανονικά περιγεγραμμένα 12γωνα, 24γωνα, 48γωνα και 96γωνα. Έτσι οδηγήθηκε στο άνω φράγμα του 3 1/7 για την τιμή του π. Τέτοιοι υπολογισμοί, λαμβάνοντας υπ’ όψιν το απολύτως φρικτό αριθμητικό σύστημα και τις καθόλου εύκολες διαδικασίες για την προσέγγιση των απαραίτητων τετραγωνικών ριζών, αποτελούν ασφαλή τεκμήρια για τις φοβερές ικανότητες του Αρχιμήδη.
Οι υπολογισμοί αυτοί ήταν το αριθμητικό ανάλογο του να τρέχει ένας αθλητής σε δρόμο μετ’ εμποδίων φορώντας στα πόδια του σιδερένια μπάλα και αλυσίδες.
Ωστόσο, βάζοντας σε τάξη την τεράστια διάνοια και την επιμονή του, ο Αρχιμήδης κατάφερε να δώσει την πρώτη επιστημονική εκτίμηση της κρίσιμης σταθεράς π.
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου