Το σύνολο Mandelbrot είναι ένα καταπληκτικό παράδειγμα μιας μαθηματικής δομής με αυτο-ομοίωση και με σχεδόν όμοια στοιχεία μέσα σε αυτό. Είναι ίσως το πιο διάσημο παράδειγμα μιας φράκταλ δομής (εικόνα)
Η ιδέα ότι, εάν μεγεθύνετε αρκετά, θα συναντήσετε τελικά μια δομή που επαναλαμβάνει το αρχικό μοτίβο που είδατε σε μεγαλύτερες κλίμακες, υλοποιείται μαθηματικά στην έννοια του φράκταλ. Όταν παρόμοια μοτίβα εμφανίζονται επανειλημμένα σε ολοένα μικρότερες κλίμακες, μπορούμε να τα αναλύσουμε μαθηματικά και να δούμε αν έχουν τα ίδια στατιστικά χαρακτηριστικά με τις μεγαλύτερες δομές. Αν το κάνουν, είναι στη φύση τους σαν φράκταλ. Λοιπόν το ερώτημα που μπαίνει εδώ είναι αν το ίδιο το Σύμπαν είναι ένα fractal;
Η απάντηση φαίνεται να είναι σχεδόν, αλλά όχι αρκετά. Τι μας λέει η επιστήμη πίσω από αυτό;
Μαθηματικά, οι περισσότεροι από εμάς συνηθίζουμε σε πραγματικούς αριθμούς: αριθμούς που μπορούν να εκφραστούν σε δεκαδική μορφή, ακόμη και αν αυτό το δεκαδικό είναι απείρως μακρύ και ακόμη και αν δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Υπάρχουν όμως αριθμοί που υπάρχουν στα μαθηματικά περισσότεροι από τους πραγματικούς. Για παράδειγμα, υπάρχουν οι μιγαδικοί αριθμοί. Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν ένα πραγματικό μέρος αλλά και ένα φανταστικό μέρος, που είναι ένας πραγματικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με το i , το οποίο ορίζεται ως η τετραγωνική ρίζα του -1. Περιλαμβάνουν τους πραγματικούς αριθμούς, αλλά τους ξεπερνούν.
Το πιο διάσημο φράκταλ είναι το σύνολο Mandelbrot, το οποίο απεικονίζεται (στο μιγαδικό επίπεδο, όπου ο άξονας x είναι ο πραγματικός αριθμός και ο άξονας y είναι φανταστικός) στο παραπάνω διάγραμμα. Ο τρόπος με τον οποίο λειτουργεί το σετ Mandelbrot είναι να λάβετε υπόψη κάθε πιθανό μιγαδικό αριθμό, n και, στη συνέχεια, κοιτάξτε την ακόλουθη ακολουθία:
n,
n² + n,
(n² + n)² + n,
((n² + n)² + n)² + n,
και ούτω καθεξής. Κάθε νέος όρος είναι ο προηγούμενος όρος στο τετράγωνο, συν το n. Εάν αυτή η ακολουθία δεν αποκλίνει, πηγαίνοντας είτε στο θετικό είτε στο αρνητικό άπειρο, τότε η τιμή του n είναι μέλος του συνόλου Mandelbrot.
Όταν βλέπετε μια μικρή περιοχή που έχει πραγματικά πανομοιότυπες ιδιότητες με ολόκληρο το σύνολο, ονομάζουμε αυτές τις περιοχές «ομοιότητες». Εάν κάτι έχει σχεδόν τις ίδιες ιδιότητες με το μεγαλύτερο σετ αλλά με λεπτές διαφορές, εμφανίζει μία σχεδόν ομοιότητα, αλλά αν η μικρή περιοχή έχει πραγματικά πανομοιότυπες ιδιότητες με μια μεγαλύτερη περιοχή, τότε παρουσιάζει πραγματική αυτο-ομοιότητα .
Στο σύνολο Mandelbrot, μπορείτε να προσδιορίσετε πολλές περιοχές που δείχνουν τόσο ημι-ομοιότητα (που είναι πιο συχνή) όσο και πραγματική ομοιότητα (που είναι λιγότερο συχνή, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει). Το έχουμε επιδείξει μαθηματικά σε κλίμακες που εκτείνονται σε εκατοντάδες τάξεις μεγέθους, το οποίο είναι πολύ μεγαλύτερο από τις φυσικές κλίμακες που μας οδηγούν από τις μικρότερες υποατομικές αποστάσεις σε ολόκληρο το παρατηρήσιμο Σύμπαν.
Μπορείτε να βρείτε περιοχές σχεδόν (ή ημι-)ομοιότητας και ακριβούς ομοιότητας πανταχού παρόν μέσα στο Mandelbrot σε διάφορα επίπεδα ζουμ. Το γεγονός ότι αυτές οι μαθηματικές δομές επαναλαμβάνονται θεωρήθηκε κάποτε ότι έδινε πολλές υποσχέσεις για το Σύμπαν μας, μια υπόθεση που τώρα είναι πολύ αμφίβολη.
Από μαθηματική προοπτική, μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα ότι εάν ισχύουν οι ίδιοι κανόνες και προϋποθέσεις σε όλες τις κλίμακες, εξαρτώμενοι από τους κανόνες αυτούς, ενδέχεται να καταλήξετε σε μια παρόμοια δομή με το Σύμπαν, όπου αυτό που εμφανίζεται σε μεγάλες κλίμακες εμφανίζεται και σε μικρές κλίμακες. Αυτό ήταν ένα θέμα ιδιαίτερου ενδιαφέροντος στα τέλη του 20ού αιώνα, όταν είχαμε συνειδητοποιήσει δύο γεγονότα παράλληλα για τον Κόσμο.
Το Σύμπαν, στο σύνολό του, φαίνεται να έχει μια μεγάλης ποσότητας αόρατη μάζα μέσα του: αυτό που γνωρίζουμε σήμερα ως σκοτεινή ύλη.
Η συνολική χωρική καμπυλότητα του Σύμπαντος είναι συνεπής με το να είναι επίπεδη, πράγμα που σημαίνει ότι εάν προσθέσετε όλες τις μορφές ενέργειας που υπάρχουν στο Σύμπαν, ισούνται με την κρίσιμη πυκνότητα, καθορίζοντας τον ρυθμό διαστολής του σύμπαντος (μεταξύ άλλων).
Στη φυσική, την αστροφυσική και την κοσμολογία, γνωρίζουμε ότι δεν μπορούμε να προσομοιώσουμε επαρκώς ολόκληρο το Σύμπαν με αυθαίρετη ακρίβεια. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε, αντ ‘αυτού, είναι να κάνουμε κάποιες απλοποιητικές παραδοχές και, στη συνέχεια, να προσομοιώσουμε το Σύμπαν στις καλύτερες δυνατότητές μας κάτω από αυτό το σύνολο των υποθέσεων. Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα πράγματα που ξεκινήσαμε να κάνουμε ήταν να εκτελέσουμε προσομοιώσεις σκοτεινής ύλης στο Σύμπαν σε διάφορες κλίμακες. Ίσως είναι εκπληκτικό ότι όλες οι προσομοιώσεις απέδωσαν πρακτικά πανομοιότυπα αποτελέσματα.
Σύμφωνα με μοντέλα και προσομοιώσεις, όλοι οι γαλαξίες πρέπει να είναι ενσωματωμένοι σε φωτοστέφανα σκοτεινής ύλης, των οποίων η πυκνότητα κορυφώνεται στα γαλαξιακά κέντρα. Σε αρκετά μεγάλα χρονικά διαστήματα, ίσως ενός δισεκατομμυρίου ετών, ένα μόνο σωματίδιο σκοτεινής ύλης από τα περίχωρα του φωτοστέφανου θα ολοκληρώσει μια πλήρη τροχιά. Οι επιδράσεις του αερίου, της ανάδρασης, του σχηματισμού αστεριών, των σουπερνόβων και της ακτινοβολίας περιπλέκουν όλα αυτά το περιβάλλον, καθιστώντας εξαιρετικά δύσκολη την εξαγωγή καθολικών προβλέψεων της σκοτεινής ύλης, αλλά το μεγαλύτερο πρόβλημα μπορεί να είναι ότι τα κέντρα αιχμής που προβλέπονται από προσομοιώσεις δεν είναι τίποτα περισσότερο από αριθμητικά αντικείμενα.
Έτσι, εκτελούμε τις κοσμολογικές προσομοιώσεις μας αυτό που βρίσκουμε είναι τα εξής:
παράγουμε έναν υπέροχο κοσμικό ιστό,
όπου οι μικρές κλίμακες καταρρέουν πρώτα, μόλις η βαρύτητα στέλνει το σήμα της επίδρασης της από μια υπερβολική πυκνή περιοχή στη γύρω ύλη
όπου οι μεγαλύτερες κλίμακες καταρρέουν αργότερα, με τη μικρότερη δομή κλίμακας να τοποθετείται πάνω του
και ότι καθώς συνεχίζεται σε όλο και περισσότερο χρόνο, ακολουθούν ακόμη μεγαλύτερες κλίμακες, δημιουργώντας ένα εντελώς αυτοδύναμο Σύμπαν.
Σε αυτό το σενάριο, έχετε μίνι-φωτοστέφανα μέσα σε κανονικά φωτοστέφανα και αυτά μέσα σε γιγαντιαία φωτοστέφανα, όλα συνδεδεμένα με νήματα που θα παράγουν και τα δικά τους φωτοστέφανα, ενώ ένας ακόμη μεγαλύτερος ιστός σχηματίζει μεγαλύτερες κλίμακες.
Τουλάχιστον, έτσι θα λειτουργούσε εάν κατοικούσαμε σε αυτό που είναι γνωστό ως Σύμπαν Αϊνστάιν-ντε Σίτερ : όπου το μόνο πράγμα που απαρτίζει το Σύμπαν είναι η ύλη, και έχουμε αρκετή ύλη για να φτάσουμε στην κρίσιμη πυκνότητα, όπου η ποσότητα όλων των «ουσιών» εξισορροπεί ακριβώς τον αρχικό ρυθμό επέκτασης. Σε αυτό το μοντέλο του Σύμπαντος, η δύναμη βαρύτητας είναι απεριόριστης εμβέλειας εξαπλώνεται προς τα έξω με την ταχύτητα του φωτός (που είναι ίση με την ταχύτητα της βαρύτητας) και δεν υπάρχει όριο στο πόσο μεγάλη ή μικρή μπορεί να γίνει μια κλίμακα. Οπότε θα δημιουργήσετε τις ίδιες δομές.
Αλλά το Σύμπαν μας διαφέρει ουσιαστικά από αυτό το σενάριο με τρεις σημαντικούς τρόπους.
1.) Δεν έχουμε μόνο έναν τύπο ύλης, αλλά δύο: την κανονική και την σκοτεινή ύλη. Ενώ η σκοτεινή ύλη συμπεριφέρεται με αυτόν τον αυτο-όμοιο τρόπο, η κανονική ύλη είναι περιορισμένη. Συγκρούεται, σχηματίζει δεσμευμένες δομές, θερμαίνεται και προκαλεί πυρηνική σύντηξη. Μόλις φτάσετε στις μικρές κλίμακες στις οποίες συμβαίνει αυτό, τελειώνει η ομοιότητα. Οι αλληλεπιδράσεις ανάδρασης μεταξύ της κανονικής και της σκοτεινής ύλης θα αλλάξουν τα προφίλ πυκνότητας των φωτοστέφανων με τρόπους που δεν είναι εύκολο να καταλάβουμε. Στην πραγματικότητα, αυτό παραμένει ένας ανοιχτός χώρος μελέτης στην έρευνα σκοτεινής ύλης σήμερα.
2.) Η ύλη συνδέεται με την ακτινοβολία, ένα εξαιρετικά σημαντικό συστατικό του Σύμπαντος. Η ακτινοβολία, επειδή έχει μια ενέργεια που εξαρτάται από το μήκος κύματος της, ήταν στην πραγματικότητα πιο σημαντική στο πρώιμο Σύμπαν. Όταν το Σύμπαν επεκτείνεται, γίνεται λιγότερο πυκνό. Ο αριθμός όμως των σωματιδίων (κανονική ύλη, σκοτεινή ύλη και φωτόνια) παραμένει ο ίδιος, ενώ ο όγκος αυξάνεται. Αλλά καθώς το Σύμπαν επεκτείνεται, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας σε αυτό επίσης μετατοπίζεται, γίνεται χαμηλότερο στην ενέργεια. Η ακτινοβολία ήταν σαφώς πιο σημαντική νωρίς στο σύμπαν και γίνεται λιγότερο σημαντική όσο περνάει ο χρόνος.
Αυτό σημαίνει, για τις πρώτες εκατοντάδες χιλιάδες χρόνια του Σύμπαντος (και ειδικά κατά τα πρώτα ~ 10.000 περίπου), η υπερβολική πυκνότητα του υλικού αγωνίζεται να αναπτυχθεί, καθώς η ακτινοβολία λειτουργεί με σκοπό να την “διαβρώσει”. Υπάρχει ένα χαμηλότερο όριο στις κλίμακες στις οποίες το Σύμπαν είναι παρόμοιο ακόμη και στις πρώτες στιγμές: οι μικρότερες δομές κλίμακας σας θα έχουν τουλάχιστον ~ 100.000 ηλιακές μάζες σε αυτές, που είναι περίπου οι μάζες των σφαιρικών σμηνών και των μικρότερων γνωστών νάνων γαλαξιών. Κάτω από αυτό, οι μόνες δομές που παίρνεται, σχηματίζονται από ακατάστατες συγκρούσεις και αλληλεπιδράσεις μεταξύ διαφόρων κανονικών δομών που βασίζονται στην ύλη.
3.) Το Σύμπαν μας κατασκευάζεται επίσης κατά ένα μεγάλο μέρος από σκοτεινή ενέργεια, η οποία κυριαρχεί σήμερα στο ενεργειακό περιεχόμενο του Σύμπαντος. Εάν το Σύμπαν συνεχίσει να επεκτείνεται ενώ έλκεται από την βαρύτητα, και εάν η ίδια η επέκταση δεν επιταχύνεται , δεν θα υπήρχε ανώτερο όριο στο πόσο μεγάλες θα μπορούσαν να είναι αυτές οι κοσμικές αυτο-όμοιες δομές. Αλλά επειδή υπάρχει σκοτεινή ενέργεια, θέτει βασικά ένα ανώτατο όριο στο μέγεθος αυτών των δομών στο Σύμπαν: περίπου μερικά δισεκατομμύρια έτη φωτός.
Αυτό μπορεί να ακούγεται τεράστιο, αλλά σε ένα παρατηρήσιμο Σύμπαν που εκτείνεται σε μία έκταση 46 δισεκατομμύρια έτη φωτός προς όλες τις κατευθύνσεις, ακόμη και μια δομή που θα ήταν 10 δισεκατομμύρια έτη φωτός και στις τρεις διαστάσεις – μια τιμή πολύ μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη γνωστή δομή στο Σύμπαν , παρεμπιπτόντως – θα καταλάμβανε μόνο το 1% του όγκου του Σύμπαντος. Απλά δεν έχουμε δομές τόσο μεγάλες και ποτέ δεν θα έχουμε.
Όταν τα παίρνετε όλα αυτά μαζί, μας βοηθά να συνειδητοποιήσουμε ένα αληθινό αλλά ίσως αντιφατικό γεγονός για το Σύμπαν: τόσο στις μικρότερες όσο και στις μεγαλύτερες κοσμικές κλίμακες, το Σύμπαν δεν μοιάζει με φράκταλ και ότι μόνο οι ενδιάμεσες κλίμακες έχουν κάποια πιθανότητα στην εμφάνιση συμπεριφοράς που να μοιάζει με φράκταλ.
Ωστόσο, αυτό το ίδιο σύμπαν είναι ένα πλούσιο πεδίο σπουδών. Οι άνθρωποι δουλεύουν για να μετρήσουν τη διάσταση του φράκταλ του Σύμπαντος για περισσότερες από τρεις δεκαετίες τώρα, προσπαθώντας να αποκρυπτογραφήσουν εάν μπορεί να περιγραφεί καλά από μία απλή παράμετρο fractal ή εάν απαιτούνται πολλαπλές. Το κοντινό Σύμπαν δεν είναι ένα καλό μέρος για να το μετρήσετε, καθώς η σκοτεινή ενέργεια το έχει μεγαλώσει πάρα πολύ τα τελευταία 6 δισεκατομμύρια χρόνια.
Αλλά αν κοιτάξουμε αντικείμενα που βρίσκονται με μια ερυθρά μετατόπιση ~ 2 ή και μεγαλύτερη, θα κοιτάζουμε πίσω στο χρόνο σε μια εποχή όπου η σκοτεινή ενέργεια ήταν ασήμαντη: είναι το τέλειο εργαστήριο για να μελετήσετε ακριβώς τι είδους αρχικές ιδιότητες είχε το Σύμπαν. Με μια νέα γενιά επίγειων και διαστημικών παρατηρητηρίων που θα συνδεθούν τα επόμενα χρόνια, επιτέλους θα έχουμε τη σύγκριση μεταξύ θεωρίας και παρατήρησης που πάντα θέλαμε. Το Σύμπαν δεν είναι ένα αληθινό φράκταλ, αλλά ακόμη και στους τομείς όπου είναι σχεδόν σαν ένα φράκταλ, υπάρχουν ακόμα μερικά συναρπαστικά κοσμικά μαθήματα που περιμένουν να μάθουμε.
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου