Η κωδωνοειδής καμπύλη (ή καμπύλη του Gauss)

Θα εξηγήσουμε παρακάτω τι είναι η κωδωνοειδής καμπύλη (κατανομή Gauss). Εάν πάρουμε ένα μεγάλο και σωστά επιλεγμένο δείγμα πληθυσμού και το μετρήσουμε ως προς διάφορες παραμέτρους, όπως το ύψος, για παράδειγμα, των ενηλίκων Ελλήνων, ή το βάρος των Ελληνίδων (και λέγοντας σωστά επιλεγμένο, εννοούμε ότι δεν θα μετρήσουμε μόνο παίκτες του μπάσκετ – μπολ ή νεαρές κοπέλες που προσέχουν τη σιλουέτα τους) θα παρατηρήσουμε ότι οι περισσότερες μετρήσεις μας συγκεντρώνονται γύρω από μια τιμή, λ.χ. τα 1,75μ. ύψους και τα 55 κιλά βάρους, αντιστοίχως. Όσο περισσότερο απομακρυνόμαστε από αυτές τις τιμές, είτε προς τα πάνω, είτε προς τα κάτω, όλο και λιγότερα άτομα του δείγματός μας θα δίνουν τις πιο ακραίες μετρήσεις. Λίγοι Έλληνες έχουν ύψος πάνω από 1,90μ. και ακόμη λιγότεροι είναι οι δίμετροι. Επίσης, λίγες ενήλικες Ελληνίδες ζυγίζουν κάτω από 45 κιλά και ακόμη λιγότερες κάτω από 40. Η απόκλιση αυτή από τη μέση τιμή δίνει όλο και λιγότερες ακραίες τιμές με έναν ομαλό τρόπο, με την προϋπόθεση πάντα ότι το δείγμα μας είναι σωστά επιλεγμένο και ικανοποιητικού μεγέθους. (Φυσικά, αναφερόμαστε σε ορισμένα παραδείγματα. Δεν είναι πάντα απαραίτητο να συμβαίνει το ίδιο. Έτσι λ.χ. στην κατανομή του βαθμού σε “κακές χρονιές” των πανελληνίων εξετάσεων, οι περισσότεροι συγκεντρώνονται στο κάτω άκρο και αρκετοί στο άνω – όσοι κράτησαν το βαθμό τους από την προηγούμενη, “εύκολη”, ίσως, χρονιά.)

Αυτή η “κανονική μείωση”, δημιουργεί τη λεγόμενη καμπύλη κανονικής κατανομής ή καμπύλη του Gauss, από το όνομα του μαθηματικού που ανέπτυξε τη σχετική θεωρία, και έχει το σχήμα της καμπάνας (κώδωνα). Η ίδια λοιπόν κωδωνοειδής καμπύλη σχηματίζεται και όταν κατανέμουμε το γενικό πληθυσμό (και όχι αποκλειστικά π.χ. τα μέλη της MENSA, της παγκόσμιας οργάνωσης των “έξυπνων” ή άτομα με το σύνδρομο Down), σύμφωνα π.χ. με το νοητικό πηλίκο.

Όπως παρατηρείτε, στην καμπύλη που παραθέτουμε, αυτή ανυψώνεται όσο πλησιάζουμε στο μέσον, είτε από δεξιά, είτε από αριστερά, ακριβώς γιατί οι περισσότεροι άνθρωποι εμπίπτουν χονδρικά στον μέσο όρο. Αντιθέτως, τα άκρα είναι πεπλατυσμένα, διότι λίγοι είναι οι εξαιρετικά ευφυείς κι επίσης λίγα είναι τα καθυστερημένα άτομα, σε σύγκριση με το σύνολο του πληθυσμού. Το πόσο ύψος θα έχει η καμπύλη στο μέσον και το πόσο χαμηλή θα είναι στα άκρα, δηλαδή η κύρτωσή της (που αποτελεί ξεχωριστό στατιστικό δείκτη), εξαρτάται και από το πόσο κανονική είναι η κατανομή.

Η κωδωνοειδής καμπύλη (κατανομή Gauss). Όπως φαίνεται, τα περισσότερα άτομα, συγκεντρώνονται γύρω από τη μέση τιμή, που για το I.Q. είναι το 100. Όσο πιο πολύ αποκλίνουμε από αυτή, τόσο λιγοστεύουν οι άνθρωποι που ανήκουν στις όλο και πιο ακραίες κατηγορίες, καθυστερημένοι ή ευφυείς (Παρασκευόπουλος, 1984).

Μία από τις πρώτες εφαρμογές της κανονικής κατανομής, έγινε το 1809 από τον μεγάλο Γερμανό Μαθηματικό Carl F. Gauss, ο οποίος διαπίστωσε ότι τα σφάλματα που γίνονται σε αστρονομικές παρατηρήσεις μπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή. Στη συνέχεια, διαπιστώθηκε επίσης, ότι τα τυχαία σφάλματα (όχι τα συστηματικά) που εμφανίζονται σε διάφορες μετρήσεις ακολουθούν με ικανοποιητική προσέγγιση κανονική κατανομή. Για το λόγο αυτό, η κανονική κατανομή ονομάζεται και κατανομή των σφαλμάτων (law of errors). Επίσης, είναι γνωστή ως κατανομή του Gauss (Gaussian distribution), για τη μεγάλη συνεισφορά του Gauss στην ανάδειξη των ιδιοτήτων και της σημασίας της. Τέλος, ως πρόσθετη σχετική πληροφορία , αναφέρουμε ότι στο γερμανικό χαρτονόμισμα των δέκα μάρκων υπήρχαν, φωτογραφία του Gauss, η κανονική καμπύλη και ο μαθηματικός τύπος της!! 

Αυξάνοντας το μέγεθος του δείγματος και κατασκευάζοντας το ιστόγραμμα με ολοένα και μικρότερου πλάτους κλάσεις ( c → 0 ), το αντίστοιχο πολύγωνο προσεγγίζει μια ομαλή-λεία καμπύλη. Η κανονική καμπύλη έχει κωδωνοειδή μορφή, είναι συμμετρική και οι «ουρές» της πλησιάζουν τον οριζόντιο άξονα ομαλά (ασυμπτωτικά). Η μέση τιμή και η διάμεσος ταυτίζονται. Επίσης, η κορυφή ταυτίζεται με τη μέση τιμή και τη διάμεσο. Έτσι, η περιοχή που παρουσιάζει τη μεγαλύτερη πυκνότητα, βρίσκεται και αυτή στο μέσο της κατανομής. Δηλαδή, όταν οι τιμές μιας μεταβλητής είναι κανονικά κατανεμημένες, τότε γύρω από τη μέση τιμή τους υπάρχουν σχετικά πολλές τιμές ενώ μακριά από τη μέση τιμή βρίσκονται σχετικά λίγες τιμές.