Αξεπέραστα 2.300 χρόνια
Πρότυπο μαθηματικής ακρίβειας
και θεμέλιο τής Γεωμετρίας
H μαθηματική παραγωγή από την εποχή τού Θαλή μέχρι την εποχή τού Ευκλείδη (600-300 π.Χ.) έχει συγκεντρωθεί από τον Ευκλείδη με απαράμιλλη τάξη και επιστημονικότητα στο έργο του υπό τον τίτλο «Στοιχεία».
Όχι πολύ νεότερος των μαθητών τού Πλάτωνα ήταν ο Ευκλείδης, ο οποίος όχι μόνο συνάθροισε όλα τα μέχρι τής εποχής του στοιχεία τής Γεωμετρίας, αλλά και πολλά, που είχε βρει ο Εύδοξος ο Κνίδιος, τα συνέταξε, πολλά δε επίσης από αυτά, που είχε ανακαλύψει ο Θεαίτητος τα τελειοποίησε.
Επί πλέον δε, εκείνα τα θεωρήματα, τα οποία πριν από αυτόν δέν είχαν τις απαραίτητες αποδείξεις, τα διαμόρφωσε με αυστηρές αποδείξεις. Δεν είναι γνωστό, εάν στα «Στοιχεία» περιλαμβάνονται και θεωρήματα, τα οποία έχει τυχόν ανακαλύψει ο Ευκλείδης. Πολλές όμως ενδείξεις μαρτυρούν, ότι κατά πάσα πιθανότητα πολλά θεωρήματα είναι επινοήσεις τού Ευκλείδη.
Αφʼ ότου ο Ευκλείδης εξέδωσε τα «Στοιχεία» (υπολογίζεται περί το 320-310 π.Χ.), κανείς άλλος δέν έγραψε μέχρι και σήμερα παρόμοιο βιβλίο. Από τότε και σε διάστημα 2.300 ετών και πλέον τα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη παραμένουν το μαθηματικό στερέωμα τής ανθρωπότητας. Είναι γνωστές περί τις 1.800 εκδόσεις των «Στοιχείων» σε διάφορες γλώσσες. Παρά την επιβολή τού χριστιανισμού στο δυτικό κόσμο, τα «Στοιχεία» είναι το βιβλίο εκείνο, το οποίο είχε τις περισσότερες εκδόσεις παγκοσμίως μετά την Βίβλο.
Ο Ευκλείδης, λίγα έτη μετά το θάνατο τού Πλάτωνα, θεωρούνταν στην Αθήνα, όπου ζούσε, ως μεγάλος μαθηματικός, έπρεπε μάλιστα να είναι ο μεγαλύτερος, για να κληθεί από τον Πτολεμαίο στην Αλεξάνδρεια, να αναλάβει την οργάνωση και τη διεύθυνση τού ιδρυόμενου εκεί τότε πανεπιστημίου.
Ο Πρόκλος (410-485 μ.Χ.), από τους διευθυντές τής Ακαδημίας Πλάτωνα, αποκαλεί τον Ευκλείδη πλατωνικό, τουτέστιν γνώστη τής φιλοσοφίας τού Πλάτωνα. Στα σχόλιά του επί τού πρώτου βιβλίου των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη απαριθμεί κατά σειρά τους σπουδαίους μαθηματικούς μέχρι τον Ευκλείδη, οι οποίοι με τις ανακαλύψεις τους δημιούργησαν την μαθηματική επιστήμη.
Αρχίζει από το Θαλή τον Μιλήσιο και μνημονεύει ακολούθως τον Αναξίμανδρο, τον Μαμέρτιο (αδελφό τού ποιητή Στησιχόρου), τον Πυθαγόρα, τον Ιππία τον Ηλείο, τον Αναξαγόρα τον Κλαζομένιο, τον Οινοπίδη το Χίο, τον Ιπποκράτη το Χίο, τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο, τον Πλάτωνα, τον Λεωδάμαντα το Θάσιο, τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, τον Θεαίτητο τον Αθηναίο, τον Νεοκλείδη, τον Λέοντα, τον Εύδοξο τον Κνίδιο, τον Αμύκλα τον Ηρακλεώτη, τους αδελφούς Μέναιχμο και Δεινόστρατο, το Θεύδιο τον Μάγνητα, τον Αθήναιο τον εκ Κυζίκου, τον Ερμότιμο τον Κολοφώνιο και τον Φίλιππο τον Μενδαίο.
Είναι λοιπόν ο Ευκλείδης νεότερος των περί τον Πλάτωνα, μεγαλύτερος όμως τού Ερατοσθένη και τού Αρχιμήδη. Ακολουθούσε τη φιλοσοφία τού Πλάτωνα και γιʼ αυτό έθεσε ως επισφράγισμα τής συγγραφής των «Στοιχείων» την κατασκευή των λεγομένων πλατωνικών σχημάτων (την κατασκευή και εγγραφή σε σφαίρα των πέντε κανονικών πολύεδρων: τετράεδρου, κύβου, οκτάεδρου, δωδεκάεδρου και εικοσάεδρου).
Ένα από τα παληότερα σωζόμενα τμήματα των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη, που βρέθηκε στην Οξύρρυγχο
Σπουδαιότατα έργα τού Ευκλείδη χάθηκαν. Από μεταγενέστερους γνωρίζουμε τους τίτλους τους και σε γενικές γραμμές το περιεχόμενό τους. Τα έργα που χάθηκαν έφεραν τους τίτλους: «Περί διαιρέσεων» (σχημάτων), «Ψευδάρια», «Πορίσματα», «Τόποι προς επιφάνεια» (δύο βιβλία περί γεωμετρικών τόπων στο επίπεδο), «Περί κωνικών τομών» (τέσσερα βιβλία) και «Περί μηχανικής».
Ο Ευκλείδης είναι άξιος θαυμασμού για τη συγγραφή των «Στοιχείων» τής γεωμετρίας ένεκα τής τάξης και τής εκλογής των θεωρημάτων και των προβλημάτων των θεωρούμενων ως στοιχειωδών και απαραίτητων για κάθε άλλη μαθηματική έρευνα. Δέν παρέλαβε όσα απλά ήταν αναγκαία ως θεμέλιο, αλλά χρησιμοποίησε και όλα τα είδη των συλλογισμών και μεθόδους ανέλεγκτους, ακριβείς και οικείες προς τις επιστήμες.
Κατά τις αποδείξεις του χρησιμοποίησε όλες τις διαλεκτικές μεθόδους, την μεν διαιρετική για την εύρεση των ειδών, την δε οριστική στους ουσιώδεις λόγους, την δε αποδεικτική κατά την μετάβαση από τις θεμελιώδεις αρχές στα ζητούμενα, την δε αναλυτική κατά την μετάβαση αντίστροφα, από τα ζητούμενα προς τις θεμελιώδεις αρχές.
Επί πλέον, βλέπει κανείς στα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη τα ποικίλα είδη των αντιστροφών, και των απλούστερων και των συνθετότερων, και ποιά από τα θεωρήματα έχουν αντίστροφα και ποιά όχι. Ιδιαίτερα πρέπει να τονιστεί η οικονομία και η τάξη, η οποία παρατηρείται κατά τη σύνδεση των προηγούμενων προς τα επόμενα θεωρήματα και η δύναμη, με την οποία έχει διατυπωθεί κάθε ένα από αυτά.
Ο όρος άλγεβρα είναι αραβικός. Στοιχεία όμως τής άλγεβρας περιλαμβάνει ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του υπό μορφή γεωμετρικών θεωρημάτων, τα οποία οι νεότεροι ονομάζουν γεωμετρική άλγεβρα.
Τα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων»
Οι προτάσεις των «Στοιχείων» διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, σε θεωρήματα και σε προβλήματα. Στα θεωρήματα ανήκουν οι προτάσεις, των οποίων ζητείται η εύρεση τής αλήθειας, δηλαδή τού ισχυρισμού τους, αποδεικτικά. Στα προβλήματα ανήκουν οι προτάσεις, στις οποίες ζητείται η κατασκευή ορισμένου γεωμετρικού σχήματος.
Μετά την απόδειξη κάθε θεωρήματος ο Ευκλείδης επαναλαμβάνει την εκφώνησή του και προσθέτει: «όπερ έδει δείξαι». Στο τέλος κάθε προβλήματος προσθέτει την φράση: «όπερ έδει ποιήσαι».
Στο πρώτο βιβλίο των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη προτάσσονται 23 ορισμοί, 5 αιτήματα και 9 κοινές έννοιες. (Ο Αριστοτέλης αντί των όρων αίτημα και έννοια προτιμά τον όρο αξίωμα.) Ακολούθως έπονται 48 θεωρήματα και τα προβλήματα. (Το 47ο θεώρημα είναι το πυθαγόρειο θεώρημα).
Το δεύτερο βιβλίο περιέχει 14 θεωρήματα και προβλήματα, στα οποία κυρίως εξετάζονται γεωμετρικώς θεμελιώδεις ταυτότητες της άλγεβρας. Ως ενδέκατο πρόβλημα εξετάζεται το θεώρημα τής χρυσής τομής.
Το δέκατο βιβλίο είναι το εκτενέστερο όλων. Περιέχει τέσσερις ορισμούς και 115 θεωρήματα. Είναι το δυσκολότερο από όλα τα βιβλία των «Στοιχείων». Είναι ζήτημα αν υπάρχουν ελάχιστοι μαθηματικοί στον κόσμο, οι οποίοι το κατανοούν. Εξ άλλου δεν υπάρχει ομοφωνία μεταξύ των ειδικών για το σκοπό του βιβλίου αυτού, το οποίο σύμφωνα με ορισμένους αποσκοπεί στο να δείξει, ότι η αρμονία τού Σύμπαντος διέπεται από τη συμμετρία και την ασυμμετρία, οι οποίες συνδυαζόμενες παράγουν αρμονία, όπως θεωρείται ότι αυτό νοείται από την πλατωνική διδασκαλία.
Το ενδέκατο, δωδέκατο και δέκατο τρίτο βιβλία αφορούν στη στερεομετρία. Τού ενδέκατου βιβλίου προτάσσονται 28 ορισμοί, οι οποίοι καθορίζουν τα στερεά σχήματα και έπονται 39 θεωρήματα, στα οποία εξετάζονται τα πρίσματα. Η πυραμίδα, ο κώνος, ο κύλινδρος και η σφαίρα εξετάζονται σε 18 θεωρήματα τού δωδεκάτου βιβλίου, ενώ η σπουδή και η εγγραφή των πέντε κανονικών πολυέδρων σε σφαίρα γίνεται στο δέκατο τρίτο και τελευταίο βιβλίο των «Στοιχείων», το οποίο περιέχει επίσης 18 θεωρήματα.
Οι μέθοδοι απόδειξης, τις οποίες χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» είναι οι εξής τέσσερις: Η συνθετική, η τής απαγωγής σε άτοπο (ή σε αδύνατο), η αναλυτική και η τής τέλειας επαγωγής (ή τού αναδρομικού συλλογισμού). Κατά γενική ομολογία η συνθετική μέθοδος είναι η κατʼ εξοχή χρησιμοποιούμενη από τη μαθηματική επιστήμη. Ο Αριστοτέλης την ονομάζει δεικτική ή κατηγορική.
Ο υδατόπυργος (αριστερά) αποτελείται από ένα κώνο, ένα κύλινδρο κι ένα ημισφαίριο. Ο όγκος του μπορεί να υπολογιστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία.
Δεξιά: Η ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό οριγκάμι.
Οι δήθεν μή ευκλείδειες γεωμετρίες
Τον 19ο αιώνα εξαγγέλθηκε, ότι εκτός τής γεωμετρίας τού Ευκλείδη ανακαλύφθηκαν και άλλα δύο είδη γεωμετριών, μη ευκλείδειων, των οποίων το μεν ένα είδος ονομάστηκε υπερβολική γεωμετρία, το δε άλλο ονομάστηκε ελλειπτική γεωμετρία.
Υποστηριζόταν, ότι η μεν γεωμετρία τού Ευκλείδη ισχύει για τις μικρές αποστάσεις, ενώ οι μή ευκλείδειες ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις και τα μεγάλα τρίγωνα.
Προϊόντος τού χρόνου παρατηρήθηκε, ότι ενώ ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί ως υπόβαθρο τής γεωμετρίας του 14 αξιώματα, οι ισχυριζόμενοι, ότι ανακάλυψαν τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, λαμβάνουν 13 αξιώματα τού Ευκλείδη, τα βαπτίζουν «απόλυτη γεωμετρία» και σε αυτά προσθέτουν ένα αξίωμα περί παραλλήλων, διαφορετικό τού πέμπτου ευκλείδειου αξιώματος περί παραλλήλων.
Δεδομένου, ότι οι νέες γεωμετρίες είναι κατά τα 13/14 ευκλείδειες, η πλέον εύστοχη ονομασία τους έπρεπε να είναι: «Ασκήσεις επί τής ευκλείδειας γεωμετρίας».
Το αξίωμα τού Ευκλείδη περί παραλλήλων πρεσβεύει, ότι «εάν σε ένα επίπεδο θεωρήσουμε ευθεία γραμμή και ένα σημείο τού επιπέδου εκτός τής ευθείας, από το σημείο αυτό άγεται μια μόνο παράλληλος προς την ευθεία».
Σύμφωνα με την υπερβολική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου άγονται άπειροι παράλληλοι προς την ευθεία».
Σύμφωνα με την ελλειπτική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου καμμία παράλληλος δέν άγεται προς την ευθεία».
Οι κατασκευαστές των δορυφόρων και των πυραύλων περιφρονούν τελείως τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, που δήθεν ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις, και χρησιμοποιούν για τις κατασκευές τους μόνο την ευκλείδεια γεωμετρία.
Εξ ίσου ενδιαφέρουσα είναι και η παρατήρηση, ότι κατά τα τελευταία έτη διδασκόταν στη θεωρία των συνόλων, σε όλα τα πανεπιστήμια τού κόσμου, ότι το μέρος είναι μεγαλύτερο τού όλου προς «μεγάλη έκπληξη και καγχασμό τού Ευκλείδη», ο οποίος διδάσκει, ότι το όλον είναι μεγαλύτερο τού μέρους.
Και ναι μέν ο Ησίοδος γράφει, ότι το ήμισυ είναι περισσότερο τού όλου, Αυτό όμως, όχι με την μαθηματική έννοια, αλλά με την έννοια, ότι αυτός, που έχει λίγα εισοδήματα, αλλά δαπανά με σύνεση, περνάει καλύτερα από τον πλούσιο, αλλά σπάταλο.
Αλλά και άλλες παρατηρήσεις σημειώνονται στις αρχές τής γεωμετρίας, από τη δημιουργία τής λεγομένης συμβολικής και τής μαθηματικής λογικής. Υποστηρίζουν λοιπόν, ότι η λογική είναι μια και ισχύει για όλες τις επιστήμες, όπως την διατύπωσε ο Αριστοτέλης, κι ότι αν υπάρχει συμβολική λογική και μαθηματική λογική, θα πρέπει να υπάρχει και φυσική λογική και φιλολογική λογική και φαρμακευτική λογική κ.τ.λ.. Τίποτε όμως, δέν ακούγεται για την ύπαρξη τέτοιων λογικών!
Ο Στοβαίος (ε΄αι. μ.Χ.) διέσωσε το ακόλουθο χαρακτηριστικό περιστατικό μεταξύ τού Ευκλείδη και κάποιου μαθητή του: Όταν κάποιος, που άρχισε να διδάσκεται γεωμετρία από τον Ευκλείδη, έμαθε το πρώτο θεώρημα, ρώτησε τον Ευκλείδη: «Και τώρα τι κέρδος θα έχω, αφού το έμαθα;»
Ο Ευκλείδης κάλεσε τον υπηρέτη του και τού είπε: «Δώσε του τρεις οβολούς, επειδή πρέπει να κερδίζει από εκείνα, τα οποία μαθαίνει.» (Ανθολογία Στοβαίου, εκδ. Μeineke, τομ. IV, σελ. 205.)
Πρότυπο μαθηματικής ακρίβειας
και θεμέλιο τής Γεωμετρίας
H μαθηματική παραγωγή από την εποχή τού Θαλή μέχρι την εποχή τού Ευκλείδη (600-300 π.Χ.) έχει συγκεντρωθεί από τον Ευκλείδη με απαράμιλλη τάξη και επιστημονικότητα στο έργο του υπό τον τίτλο «Στοιχεία».
Όχι πολύ νεότερος των μαθητών τού Πλάτωνα ήταν ο Ευκλείδης, ο οποίος όχι μόνο συνάθροισε όλα τα μέχρι τής εποχής του στοιχεία τής Γεωμετρίας, αλλά και πολλά, που είχε βρει ο Εύδοξος ο Κνίδιος, τα συνέταξε, πολλά δε επίσης από αυτά, που είχε ανακαλύψει ο Θεαίτητος τα τελειοποίησε.
Επί πλέον δε, εκείνα τα θεωρήματα, τα οποία πριν από αυτόν δέν είχαν τις απαραίτητες αποδείξεις, τα διαμόρφωσε με αυστηρές αποδείξεις. Δεν είναι γνωστό, εάν στα «Στοιχεία» περιλαμβάνονται και θεωρήματα, τα οποία έχει τυχόν ανακαλύψει ο Ευκλείδης. Πολλές όμως ενδείξεις μαρτυρούν, ότι κατά πάσα πιθανότητα πολλά θεωρήματα είναι επινοήσεις τού Ευκλείδη.
Αφʼ ότου ο Ευκλείδης εξέδωσε τα «Στοιχεία» (υπολογίζεται περί το 320-310 π.Χ.), κανείς άλλος δέν έγραψε μέχρι και σήμερα παρόμοιο βιβλίο. Από τότε και σε διάστημα 2.300 ετών και πλέον τα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη παραμένουν το μαθηματικό στερέωμα τής ανθρωπότητας. Είναι γνωστές περί τις 1.800 εκδόσεις των «Στοιχείων» σε διάφορες γλώσσες. Παρά την επιβολή τού χριστιανισμού στο δυτικό κόσμο, τα «Στοιχεία» είναι το βιβλίο εκείνο, το οποίο είχε τις περισσότερες εκδόσεις παγκοσμίως μετά την Βίβλο.
| Βιογραφικές πληροφορίες για τον Ευκλείδη δέν σώθηκαν. Δέν γνωρίζουμε ούτε τον τόπο ούτε το χρόνο τής γέννησης και τού θανάτου του. Το μόνο γνωστό είναι, ότι έδρασε στην Αλεξάνδρεια. Η ακμή του συμπίπτει με το χρόνο τής βασιλείας τού Πτολεμαίου τού Α΄ (323-285 π.Χ.). Σύμφωνα με όλες τις ενδείξεις ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος διευθυντής τής περίφημης Αλεξανδρινής Σχολής ή ο πρώτος πρύτανις τού πανεπιστημίου τής Αλεξάνδρειας, αν θελήσουμε να εκφράσουμε τον τίτλο του με το σύγχρονο τρόπο. |  Η φανταστική απεικόνιση τού Ευκλείδη είναι λεπτομέρεια από τον πίνακα «Η Φιλοσοφική Σχολή των Αθηνών» τού ιταλού ζωγράφου Ραφαήλ (περίπου 1.500 μ.Χ.). |
Ο Πρόκλος (410-485 μ.Χ.), από τους διευθυντές τής Ακαδημίας Πλάτωνα, αποκαλεί τον Ευκλείδη πλατωνικό, τουτέστιν γνώστη τής φιλοσοφίας τού Πλάτωνα. Στα σχόλιά του επί τού πρώτου βιβλίου των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη απαριθμεί κατά σειρά τους σπουδαίους μαθηματικούς μέχρι τον Ευκλείδη, οι οποίοι με τις ανακαλύψεις τους δημιούργησαν την μαθηματική επιστήμη.
Αρχίζει από το Θαλή τον Μιλήσιο και μνημονεύει ακολούθως τον Αναξίμανδρο, τον Μαμέρτιο (αδελφό τού ποιητή Στησιχόρου), τον Πυθαγόρα, τον Ιππία τον Ηλείο, τον Αναξαγόρα τον Κλαζομένιο, τον Οινοπίδη το Χίο, τον Ιπποκράτη το Χίο, τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο, τον Πλάτωνα, τον Λεωδάμαντα το Θάσιο, τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, τον Θεαίτητο τον Αθηναίο, τον Νεοκλείδη, τον Λέοντα, τον Εύδοξο τον Κνίδιο, τον Αμύκλα τον Ηρακλεώτη, τους αδελφούς Μέναιχμο και Δεινόστρατο, το Θεύδιο τον Μάγνητα, τον Αθήναιο τον εκ Κυζίκου, τον Ερμότιμο τον Κολοφώνιο και τον Φίλιππο τον Μενδαίο.
Είναι λοιπόν ο Ευκλείδης νεότερος των περί τον Πλάτωνα, μεγαλύτερος όμως τού Ερατοσθένη και τού Αρχιμήδη. Ακολουθούσε τη φιλοσοφία τού Πλάτωνα και γιʼ αυτό έθεσε ως επισφράγισμα τής συγγραφής των «Στοιχείων» την κατασκευή των λεγομένων πλατωνικών σχημάτων (την κατασκευή και εγγραφή σε σφαίρα των πέντε κανονικών πολύεδρων: τετράεδρου, κύβου, οκτάεδρου, δωδεκάεδρου και εικοσάεδρου).
Ένα από τα παληότερα σωζόμενα τμήματα των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη, που βρέθηκε στην Οξύρρυγχο
(περ. α΄αι. μ.Χ.). Αφορά στο δεύτερο βιβλίο, πρόταση 5.
Εκτός όμως των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης έγραψε και πολλά άλλα συγγράμματα, τα οποία έχουν θαυμαστή ακρίβεια και επιστημοσύνη. Τέτοια είναι τα «Οπτικά», τα «Κατοπτρικά» και τα «Στοιχεία τής Μουσικής».Σπουδαιότατα έργα τού Ευκλείδη χάθηκαν. Από μεταγενέστερους γνωρίζουμε τους τίτλους τους και σε γενικές γραμμές το περιεχόμενό τους. Τα έργα που χάθηκαν έφεραν τους τίτλους: «Περί διαιρέσεων» (σχημάτων), «Ψευδάρια», «Πορίσματα», «Τόποι προς επιφάνεια» (δύο βιβλία περί γεωμετρικών τόπων στο επίπεδο), «Περί κωνικών τομών» (τέσσερα βιβλία) και «Περί μηχανικής».
| ΤΑ «ΟΠΤΙΚΑ» ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Η επιστημονική βάση τής -ήδη γνωστής κατά την αρχαιότητα- Προοπτικής Μετά τη συστηματική διατύπωση των οπτικών νόμων, οι μεν ζωγράφοι τής αρχαιότητας υπολόγιζαν με γραφικές χαράξεις τις προοπτικές σμικρύνσεις στα έργα τους, οι δε αρχιτέκτονες οργάνωναν το χώρο, καθόριζαν τις μορφές των κτηρίων, εξουδετέρωναν τις «οπτικές απάτες» και δυσμορφίες και τόνιζαν τα στοιχεία, που αναδείκνυαν τη σύνθεσή τους. Στη ζωγραφική των κλασικών και ελληνιστικών χρόνων η ύπαρξη απεικονιστικής τεχνικής, που ονομαζόταν σκηνογραφία, καταγράφεται σε αρχαίες μαρτυρίες τού Πλούταρχου, τού Αριστοτέλη και τού Βιτρούβιου. Η ακρίβεια των χαράξεων και η προοπτική, που παρατηρείται σε τοιχογραφίες που έχουν διασωθεί, όπως η αρπαγή τής Περσεφόνης σε ταφικό μνημείο των Αιγών, γίνεται κατανοητή μόνο με την ύπαρξη συστήματος προοπτικής απεικόνισης.  Αριστερά: Γεωμετρικός αμφορέας τού ηʼ αι. π.Χ. χωρίς προοπτική.Δεξιά: Κρατήρ τού δ΄αι. π.Χ. με προοπτικά στοιχεία (ισομετρία). Στο έργο «Περί Αρχιτεκτονικής» τού Βιτρούβιου περιλαμβάνονται σπουδαίες πληροφορίες για την αρχαία τεχνική. Στο έβδομο -από τα δέκα- βιβλίο γίνεται αναφορά στο σάμιο ζωγράφο Αγάθαρχο, ο οποίος κατασκεύασε περίφημη διακόσμηση θεάτρου, όταν επρόκειτο να παιχτεί μια τραγωδία τού Αισχύλου και συνέγραψε πραγματεία για τα σκηνικά αυτά, όπου χρησιμοποιούνταν νόμοι τής προοπτικής, οι οποίοι προϋποθέτουν και ανάπτυξη των μαθηματικών, εκτός τής ανάπτυξης τής αισθητικής: «Επειδή παρατήρησα, ότι παρόμοιες εργασίες ήταν χρήσιμες για το σχεδιαζόμενο σύγγραμά μου, άντλησα από αυτές και άρχισα να γράφω. Πρώτα ο Αγάθαρχος στην Αθήνα, όταν επρόκειτο να παιχτεί μια τραγωδία τού Αισχύλου, έκανε την κατάλληλη διακόσμηση και έγραψε για αυτήν συναφή πραγματεία. Από αυτήν αργότερα παρορμηθέντες ο Δημόκριτος και ο Αναξαγόρας έγραψαν παρόμοια πραγματεία, πώς δηλαδή, εάν έχουν σχεδιασθεί εικόνες στη σκηνή, θα παρουσιάζονται στον παρατηρητή με βάθος οικοδομήματα κατά τους φυσικούς νόμους.»Οι καλλιτέχνες τής Αναγέννησης, προκειμένου να εμπλουτίσουν τις γνώσεις τους για την οπτική αντίληψη, ανέτρεχαν σε αρχαίες πηγές και μελετούσαν έργα φιλοσόφων και μαθηματικών, ειδικότερα δε τα «Οπτικά», που αποδίδονται στον Ευκλείδη, όπου επιχειρείται γεωμετρική ερμηνεία των οπτικών φαινομένων.
- Οι αναφορές στην ασάφεια των περιγραμμάτων των αντικειμένων, όταν παρατηρούνται από μεγάλη απόσταση, δηλαδή στην ατμοσφαιρική προοπτική, την εφαρμογή τής οποίας θα συναντήσουμε σε τοιχογραφίες τής ελληνιστικής περιόδου, και αναφορές στα αμφίρροπα σχήματα, απεικονίσεις των οποίων παρουσιάζονται σε ψηφιδωτά τής αρχαιότητας. - Οι προοπτικές παρατηρήσεις για τις οπτικές εικόνες διαφόρων επιπέδων και χωρικών σχημάτων, όπως ο κύκλος, ο κώνος, ο κύλινδρος και η σφαίρα από διάφορες θέσεις τού παρατηρητή, οι οποίες βασίζονται στην καμπυλόμορφη αντίληψη τού χώρου. - Οι αναφορές στην αντίληψη τής κίνησης. (Πηγή: Δρ. Α. Μ. Κουρνιάτη: «Οπτικά τού Ευκλείδη και προοπτικές απεικονίσεις»). |
Ο Ευκλείδης είναι άξιος θαυμασμού για τη συγγραφή των «Στοιχείων» τής γεωμετρίας ένεκα τής τάξης και τής εκλογής των θεωρημάτων και των προβλημάτων των θεωρούμενων ως στοιχειωδών και απαραίτητων για κάθε άλλη μαθηματική έρευνα. Δέν παρέλαβε όσα απλά ήταν αναγκαία ως θεμέλιο, αλλά χρησιμοποίησε και όλα τα είδη των συλλογισμών και μεθόδους ανέλεγκτους, ακριβείς και οικείες προς τις επιστήμες.
Κατά τις αποδείξεις του χρησιμοποίησε όλες τις διαλεκτικές μεθόδους, την μεν διαιρετική για την εύρεση των ειδών, την δε οριστική στους ουσιώδεις λόγους, την δε αποδεικτική κατά την μετάβαση από τις θεμελιώδεις αρχές στα ζητούμενα, την δε αναλυτική κατά την μετάβαση αντίστροφα, από τα ζητούμενα προς τις θεμελιώδεις αρχές.
Επί πλέον, βλέπει κανείς στα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη τα ποικίλα είδη των αντιστροφών, και των απλούστερων και των συνθετότερων, και ποιά από τα θεωρήματα έχουν αντίστροφα και ποιά όχι. Ιδιαίτερα πρέπει να τονιστεί η οικονομία και η τάξη, η οποία παρατηρείται κατά τη σύνδεση των προηγούμενων προς τα επόμενα θεωρήματα και η δύναμη, με την οποία έχει διατυπωθεί κάθε ένα από αυτά.
Ο όρος άλγεβρα είναι αραβικός. Στοιχεία όμως τής άλγεβρας περιλαμβάνει ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του υπό μορφή γεωμετρικών θεωρημάτων, τα οποία οι νεότεροι ονομάζουν γεωμετρική άλγεβρα.
Ο όρος άλγεβρα είναι απόδοση τού αραβικού al-jabr, που αποτε- λούσε τμήμα τού πλήρους τίτλου τού έργου «Αl-Kitāb al-mukhta- şar fī hisāb al-jabr wa-l-muqā- bala» («Συνοπτικό βιβλίο υπολο- γισμών με συμπλήρωση και εξίσωση» - βασισμένο στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη) τού μεγάλου άραβα μαθηματικού τού θ΄ αι. μ.Χ., Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī, που θεωρείται από τους δυτικούς ως ο πατέρας τής άλγεβρας μαζί με τον Διόφαντο.
Με τον όρο aljabr επικράτησε να χαρακτηρίζονται στα αραβικά και μεταγενέστερα έργα, που αναφέρονταν στο ίδιο θέμα, κι έτσι βαθμηδόν γενικεύτηκε ως όρος τής μαθηματικής επιστήμης.
O όρος αλγόριθμος επίσης προέρχεται από το όνομα τού ίδιου άραβα επιστήμονα (al-Khwārizmī, εκλατινισμένο).
Αριστερά εικονίζεται ο Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī σε επετειακό γραμματόσημο για τα 1.200 χρόνια από τη γέννησή του και δεξιά σελίδα από το έργο του.
|
Τα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων»
Οι προτάσεις των «Στοιχείων» διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, σε θεωρήματα και σε προβλήματα. Στα θεωρήματα ανήκουν οι προτάσεις, των οποίων ζητείται η εύρεση τής αλήθειας, δηλαδή τού ισχυρισμού τους, αποδεικτικά. Στα προβλήματα ανήκουν οι προτάσεις, στις οποίες ζητείται η κατασκευή ορισμένου γεωμετρικού σχήματος.
Μετά την απόδειξη κάθε θεωρήματος ο Ευκλείδης επαναλαμβάνει την εκφώνησή του και προσθέτει: «όπερ έδει δείξαι». Στο τέλος κάθε προβλήματος προσθέτει την φράση: «όπερ έδει ποιήσαι».
Στο πρώτο βιβλίο των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη προτάσσονται 23 ορισμοί, 5 αιτήματα και 9 κοινές έννοιες. (Ο Αριστοτέλης αντί των όρων αίτημα και έννοια προτιμά τον όρο αξίωμα.) Ακολούθως έπονται 48 θεωρήματα και τα προβλήματα. (Το 47ο θεώρημα είναι το πυθαγόρειο θεώρημα).
Το δεύτερο βιβλίο περιέχει 14 θεωρήματα και προβλήματα, στα οποία κυρίως εξετάζονται γεωμετρικώς θεμελιώδεις ταυτότητες της άλγεβρας. Ως ενδέκατο πρόβλημα εξετάζεται το θεώρημα τής χρυσής τομής.
 Ανδριάντας τού Ευκλείδη στο Μουσείο Φυσικής Ιστορίας τού πανεπιστημίου τής Οξφόρδης. | Στο τρίτο βιβλίο, όπου περιέχονται 37 θεωρήματα και προβλήματα, εξετάζονται οι ιδιότητες τού κύκλου, αφού προτίθενται 11 ορισμοί, στους οποίους καθορίζεται πότε οι κύκλοι είναι ίσοι, πότε ευθεία εφάπτεται κύκλου κ.λπ..Στο τέταρτο βιβλίο, αφού προτάσσονται επτά ορισμοί, εξετάζεται η κατασκευή των απλούστερων κανονικών πολυγώνων και η εγγραφή και περιγραφή αυτών σε κύκλο σε 16 προτάσεις. Στο πέμπτο βιβλίο προτάσσονται 18 ορισμοί και ακολουθούν 25 θεωρήματα, στα οποία ερευνώνται ιδιότητες των αναλογιών. Τον τέταρτο ορισμό οι νεώτεροι τον ονομάζουν αξίωμα τής συνέχειας, που χρησιμοποιείται στα ανώτερα μαθηματικά. Στο έκτο βιβλίο προτάσσονται πέντε ορισμοί και ακολουθούν 33 θεωρήματα, στα οποία γίνεται η έρευνα ομοίων σχημάτων. Το έβδομο, όγδοο και ένατο βιβλία περιέχουν τα στοιχεία τής θεωρίας των αριθμών. |
Το δέκατο βιβλίο είναι το εκτενέστερο όλων. Περιέχει τέσσερις ορισμούς και 115 θεωρήματα. Είναι το δυσκολότερο από όλα τα βιβλία των «Στοιχείων». Είναι ζήτημα αν υπάρχουν ελάχιστοι μαθηματικοί στον κόσμο, οι οποίοι το κατανοούν. Εξ άλλου δεν υπάρχει ομοφωνία μεταξύ των ειδικών για το σκοπό του βιβλίου αυτού, το οποίο σύμφωνα με ορισμένους αποσκοπεί στο να δείξει, ότι η αρμονία τού Σύμπαντος διέπεται από τη συμμετρία και την ασυμμετρία, οι οποίες συνδυαζόμενες παράγουν αρμονία, όπως θεωρείται ότι αυτό νοείται από την πλατωνική διδασκαλία.
Κατασκευή δωδεκάεδρου με βάση ένα κύβο. |  |
Οι μέθοδοι απόδειξης, τις οποίες χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» είναι οι εξής τέσσερις: Η συνθετική, η τής απαγωγής σε άτοπο (ή σε αδύνατο), η αναλυτική και η τής τέλειας επαγωγής (ή τού αναδρομικού συλλογισμού). Κατά γενική ομολογία η συνθετική μέθοδος είναι η κατʼ εξοχή χρησιμοποιούμενη από τη μαθηματική επιστήμη. Ο Αριστοτέλης την ονομάζει δεικτική ή κατηγορική.
Ο υδατόπυργος (αριστερά) αποτελείται από ένα κώνο, ένα κύλινδρο κι ένα ημισφαίριο. Ο όγκος του μπορεί να υπολογιστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία.Δεξιά: Η ευκλείδεια γεωμετρία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για το σχεδιασμό οριγκάμι.
Οι δήθεν μή ευκλείδειες γεωμετρίες
Τον 19ο αιώνα εξαγγέλθηκε, ότι εκτός τής γεωμετρίας τού Ευκλείδη ανακαλύφθηκαν και άλλα δύο είδη γεωμετριών, μη ευκλείδειων, των οποίων το μεν ένα είδος ονομάστηκε υπερβολική γεωμετρία, το δε άλλο ονομάστηκε ελλειπτική γεωμετρία.
Υποστηριζόταν, ότι η μεν γεωμετρία τού Ευκλείδη ισχύει για τις μικρές αποστάσεις, ενώ οι μή ευκλείδειες ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις και τα μεγάλα τρίγωνα.
Προϊόντος τού χρόνου παρατηρήθηκε, ότι ενώ ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί ως υπόβαθρο τής γεωμετρίας του 14 αξιώματα, οι ισχυριζόμενοι, ότι ανακάλυψαν τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, λαμβάνουν 13 αξιώματα τού Ευκλείδη, τα βαπτίζουν «απόλυτη γεωμετρία» και σε αυτά προσθέτουν ένα αξίωμα περί παραλλήλων, διαφορετικό τού πέμπτου ευκλείδειου αξιώματος περί παραλλήλων.
Δεδομένου, ότι οι νέες γεωμετρίες είναι κατά τα 13/14 ευκλείδειες, η πλέον εύστοχη ονομασία τους έπρεπε να είναι: «Ασκήσεις επί τής ευκλείδειας γεωμετρίας».
Το αξίωμα τού Ευκλείδη περί παραλλήλων πρεσβεύει, ότι «εάν σε ένα επίπεδο θεωρήσουμε ευθεία γραμμή και ένα σημείο τού επιπέδου εκτός τής ευθείας, από το σημείο αυτό άγεται μια μόνο παράλληλος προς την ευθεία».
Σύμφωνα με την υπερβολική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου άγονται άπειροι παράλληλοι προς την ευθεία».
Σύμφωνα με την ελλειπτική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου καμμία παράλληλος δέν άγεται προς την ευθεία».
Μετά την κατάκτηση των χωρών τής Εγγύς και Μέσης Ανατολής από τους άραβες, η αρχαία πολιτιστική κληρονομιά πέρασε στην αραβική γλώσσα. Από τα πρώτα ελληνικά έργα, που μεταφράστηκαν στα αραβικά, ήταν τα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη.
Από τους άραβες, που κατείχαν την Ιβηρική χερσόνησο, το έργο πέρασε τον μεσαίωνα στην Ευρώπη και άσκησε την πιο ισχυρή επίδραση στους ευρωπαίους μαθηματικούς, περισσότερο από κάθε άλλο σχετικό έργο τής αρχαιότητας. Έτσι ξεκίνησε η Αναγέννηση στην Ευρώπη κι όχι μέσω τού Βυζαντίου, όπως προπαγανδίζουν οι ρωμιοχριστιανοί θεωρητικοί.
Αριστερά εικονίζεται αραβικό σχόλιο στα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη. (Περίπου 1.250 μ.Χ., Λονδίνο, Βρετανικό Μουσείο).
Από τους άραβες, που κατείχαν την Ιβηρική χερσόνησο, το έργο πέρασε τον μεσαίωνα στην Ευρώπη και άσκησε την πιο ισχυρή επίδραση στους ευρωπαίους μαθηματικούς, περισσότερο από κάθε άλλο σχετικό έργο τής αρχαιότητας. Έτσι ξεκίνησε η Αναγέννηση στην Ευρώπη κι όχι μέσω τού Βυζαντίου, όπως προπαγανδίζουν οι ρωμιοχριστιανοί θεωρητικοί.
Αριστερά εικονίζεται αραβικό σχόλιο στα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη. (Περίπου 1.250 μ.Χ., Λονδίνο, Βρετανικό Μουσείο).
Οι κατασκευαστές των δορυφόρων και των πυραύλων περιφρονούν τελείως τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, που δήθεν ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις, και χρησιμοποιούν για τις κατασκευές τους μόνο την ευκλείδεια γεωμετρία.
Εξ ίσου ενδιαφέρουσα είναι και η παρατήρηση, ότι κατά τα τελευταία έτη διδασκόταν στη θεωρία των συνόλων, σε όλα τα πανεπιστήμια τού κόσμου, ότι το μέρος είναι μεγαλύτερο τού όλου προς «μεγάλη έκπληξη και καγχασμό τού Ευκλείδη», ο οποίος διδάσκει, ότι το όλον είναι μεγαλύτερο τού μέρους.
Και ναι μέν ο Ησίοδος γράφει, ότι το ήμισυ είναι περισσότερο τού όλου, Αυτό όμως, όχι με την μαθηματική έννοια, αλλά με την έννοια, ότι αυτός, που έχει λίγα εισοδήματα, αλλά δαπανά με σύνεση, περνάει καλύτερα από τον πλούσιο, αλλά σπάταλο.
Αλλά και άλλες παρατηρήσεις σημειώνονται στις αρχές τής γεωμετρίας, από τη δημιουργία τής λεγομένης συμβολικής και τής μαθηματικής λογικής. Υποστηρίζουν λοιπόν, ότι η λογική είναι μια και ισχύει για όλες τις επιστήμες, όπως την διατύπωσε ο Αριστοτέλης, κι ότι αν υπάρχει συμβολική λογική και μαθηματική λογική, θα πρέπει να υπάρχει και φυσική λογική και φιλολογική λογική και φαρμακευτική λογική κ.τ.λ.. Τίποτε όμως, δέν ακούγεται για την ύπαρξη τέτοιων λογικών!
| Πατριαρχείο εναντίον Ευκλείδη: Ο αφορισμός τού Ανθρακίτη.  Ο Μεθόδιος Ανθρακίτης καταδικάστηκε από το Πατριαρχείο τον 18ο αιώνα και φυλακίστηκε, γιατί δίδασκε Φιλοσοφία και Μαθηματικά. Σε επιστολή του προς τους προκρίτους των Ιωαννίνων, που έγραψε μετά τη δίκη του, αναφέρει: «Γενομένης συνόδου παρεστάθηκα έμπροσθέν τους. Πόσοι ήσαν δέν δύναμαι να μετρήσω. Μού παρουσίασαν τα τετράδια διδασκαλίας μου με γνώμες από αρχαίους φιλοσόφους και την Γεωμετρίαν τού Ευκλεί- δου. “Είναι δικά σου;”... “Δέν είναι δικές μου γνώμες, είναι γνώμες των φιλοσόφων.” Τα κατεδίκασαν και τα έκαυσαν. »Την άλλην Κυριακήν άναψαν φωτιά εις τρία μέρη της αυλής των Πατριαρχείων. Ολόγυρα, δια να ευχαριστηθούν το σωτήριον θέαμα, ευρίσκοντο κληρικοί και λαός άπειρος, γεμιτζήδες, παπουτσήδες, ραφτάδες. Συναθροίζουν Λογικές, Φυσικές, Ευκλείδην και έτερα Μαθηματικά και τα ρίπτουν στις πυρές. Οι φλόγες αντιφέγγισαν στα πρόσωπά τους, όχι όμως το φως μα τα σκοτάδια... »Μού ζήτησαν να ομολογήσω, ότι παρεκινήθην από σατανικήν συνεργίαν, εθελοκακίαν και φρενοβλάβειαν και να τα αναθεματίσω ως δυσσεβή και γέμοντα πάσης βλασφημίας και ότι ουδέποτε πλέον θα διδάξω, ειδάλλως θα είμαι υπόδικος τω αιωνίω αναθέματι.» (Δ. Φωτιάδης, «Η Επανάσταση του ʼ21», τ. Α , σελ. 160. Το επίσημο κείμενο τής καθαίρεσης τού Μεθοδίου τού Ανθρακίτου, Ιερεμίου Γʼ, «Καθαίρεσις διεξοδική τού κακοΜεθοδίου, του όντος από την επαρχίαν Αχρίδος, δια τα μιαρά και ασεβείας γέμοντα συγγράμματα αυτού», εκδ. 1720, τ. 3, σελ. 868-873). |
Ο Στοβαίος (ε΄αι. μ.Χ.) διέσωσε το ακόλουθο χαρακτηριστικό περιστατικό μεταξύ τού Ευκλείδη και κάποιου μαθητή του: Όταν κάποιος, που άρχισε να διδάσκεται γεωμετρία από τον Ευκλείδη, έμαθε το πρώτο θεώρημα, ρώτησε τον Ευκλείδη: «Και τώρα τι κέρδος θα έχω, αφού το έμαθα;»
Ο Ευκλείδης κάλεσε τον υπηρέτη του και τού είπε: «Δώσε του τρεις οβολούς, επειδή πρέπει να κερδίζει από εκείνα, τα οποία μαθαίνει.» (Ανθολογία Στοβαίου, εκδ. Μeineke, τομ. IV, σελ. 205.)
Δεν υπάρχουν σχόλια :
Δημοσίευση σχολίου