Δευτέρα, 26 Ιουνίου 2017

Η εικασία του Kepler και το στοίβαγμα των φρούτων

Φαίνεται σαν ένα μάλλον κοινό πράγμα για να ασχοληθούμε, αφού το βλέπουμε καθημερινά στα ράφια των σουπερμάρκετ αλλά και στα μανάβικα. Το στοίβαγμα των φρούτων και των λαχανικών είναι ωστόσο ένα περίπλοκο μαθηματικό πρόβλημα. Ο μανάβης βέβαια το κάνει αβίαστα, πιθανώς χωρίς ούτε καν να το σκέφτεται. Αλλά για τα τελευταία 400 χρόνια, οι μαθηματικοί προσπαθούσαν απεγνωσμένα να αποδείξουν κάτι που ονομάζεται εικασία του Kepler, ένα πρόβλημα που ουσιαστικά ισοδυναμεί με την τέχνη της αποτελεσματικής στοίβαξης των φρούτων.

Ναι, ακούγεται ακαδημαϊκά, αλλά μόνο και μόνο επειδή ήδη γνωρίζουμε διαισθητικά κάτι, αυτό δεν το καθιστά άνευ αξίας. Το πρόβλημα μπορεί να επεκταθεί πέρα από τον διάδρομο παραγωγής και το τοπικό σούπερ μάρκετ. Για παράδειγμα, όταν ο μαθηματικός και ο αστρονόμος του 17ου αιώνα Johannes Kepler διατύπωσε για πρώτη φορά τις εικασίες του, η βασική αφορούσε στην στοίβαξη των στρογγυλών οβίδων στα καταστρώματα των πλοίων.

Το κοινό που έχουν τα φρούτα με τις οβίδες είναι το σχήμα, αφού και τα δύο είναι σφαιρικά. Ποιος είναι λοιπόν ο πιο αποτελεσματικός τρόπος για να τοποθετήσεις σφαίρες στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο;

Γνωρίζουμε, διαισθητικά, ότι ο καλύτερος τρόπος για να το κάνουμε είναι να τις στοιβάζουμε σε σχήμα πυραμίδας, με τα υψηλότερα στρώματα των σφαιρών να στηρίζονται στα κενά μεταξύ των κατώτερων στρωμάτων. Το πρόβλημα έρχεται όταν προσπαθούμε να προσφέρουμε μια μαθηματική απόδειξη γι’ αυτήν τη λύση. Ο Kepler δεν μπορούσε να αποδείξει τις δικές του εικασίες και από τότε κανένας μαθηματικός δεν το έκανε. Δηλαδή, δεν μπορούσε να αποδειχτεί μέχρι τώρα … αλλά χρειάστηκε κάποια βοήθεια από τη σύγχρονη τεχνολογία για γίνει.

Μια διεθνής ομάδα μαθηματικών με επικεφαλής τον Thomas Callister Hales δημοσίευσε τελικά μια απόδειξη της εικασίας τόσο περίπλοκη που θα μπορούσε να επαληθευτεί με αξιοπιστία μόνο από έναν υπολογιστή, αναφέρει η ZME Science.

Ο Hales και η ομάδα του επέλεξαν μια «απόδειξη με εξάντληση», μια μέθοδο δηλαδή βίαιης δύναμης που χωρίζει το πρόβλημα σε έναν πιθανό αριθμό περιπτώσεων και στη συνέχεια αναλύει όλες αυτές τις περιπτώσεις. Η απόδειξη δημοσιεύθηκε στο περιοδικό Forum of Mathematics.

Τώρα μπορούμε να αποδείξουμε τι γνώριζε ήδη ο μανάβης, αλλά υπάρχει αξία σε αυτό; Η απάντηση είναι ναι. Για παράδειγμα, θα μπορούσε να βοηθήσει τους ερευνητές να κατανοήσουν την ατομική κατανομή των κρυστάλλων και θα μπορούσε να επεκτείνει κάποιες 2D εφαρμογές σε έναν 3D χώρο.

Οι αλγόριθμοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του προβλήματος θα μπορούσαν ακόμη να χρησιμοποιηθούν για την επαλήθευση της ασφάλειας των μηχανοκίνητων οχημάτων και παρόμοιων τεχνολογιών. Επομένως, η απόδειξη της εικασίας του Kepler δεν είναι απλώς μια ακαδημαϊκή νίκη.