Τα Πάντα στη Φύση είναι Μαθηματικά

 Είναι γνωστό ότι οι φιλόσοφοι και φυσικοί της αρχαίας Ελλάδας, προσπάθησαν να τοποθετήσουν τη Γη στο κέντρο του σύμπαντος. Αντίθετα, ο μαθηματικός, φιλόσοφος και γεωμέτρης Πυθαγόρας ο Σάμιος (579 ή 572-500 ή 490 π.Χ.) ακολουθεί έναν ξεχωριστό δρόμο. Αυτός, αναγορεύει το Φυσικό κόσμο, ως έναν κόσμο μέσα στον οποίο δρα ένα πλήθος από ‘’μυστικές και ακατάληπτες δυνάμεις, κατανοητές μέσα από μαθηματικούς συμβολισμούς και μυθικές παραστάσεις’’.Ο Πυθαγόρας συνειδητοποίησε ότι οι αριθμοί βρίσκονταν σε όλα τα πράγματα. Από την αρμονία στη μουσική, τη δομή των όντων, τα φυσικά φαινόμενα, μέχρι τις τροχιές των πλανητών. Η διαπίστωση αυτή τον οδήγησε στο γνωστό ‘’τα πάντα είναι αριθμοί’’. Όπως και για το Θαλή το Μιλήσιο (μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος, 630 ή 635-543 π.Χ.), έτσι και για τον Πυθαγόρα, οι Θεοί υπάρχουν παντού. Ο Θαλής, δεν χρησιμοποιεί ένα φυσικό φαινόμενο για να τεκμηριώσει τον συλλογισμό του, αλλά χρησιμοποιεί εικόνες από μυθικές παραστάσεις και σύμβολα για να κατονομάσει τα φυσικά σώματα και φαινόμενα. Εξάλλου, ο διάσημος Ιταλός φυσικός αστρονόμος και φιλόσοφος Γαλιλαίος (Galileo Galelei, 1564-1642), θεωρούσε τη Φύση σαν ένα γιγάντιο βιβλίο που είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα. Πίστευε, ότι τα στοιχεία και τα σύμβολα αυτής της τέλειας γλώσσας είναι εκτός από τους αριθμούς, τα τρίγωνα, οι κύκλοι και άλλες γεωμετρικές παραστάσεις. Βέβαια, τέτοια τέλεια γεωμετρικά σχήματα τα συναντάμε σπανιότατα σε φυσικά αντικείμενα, όσο για την ακριβή περιγραφή της μορφής ενός ζωντανού οργανισμού ή ενός σύννεφου, είναι κυριολεκτικά αδιανόητη με όρους ευκλείδειας γεωμετρίας. Σήμερα όμως διαθέτουμε τα αναγκαία μαθηματικά εργαλεία για την περιγραφή αυτών των πολύπλοκων ή και απλών φυσικών φαινομένων. Ένα τέτοιο ισχυρότατο εργαλείο είναι η γεωμετρία των ‘’φράκταλ’’, που μας επιτρέπει τόσο τη στατική όσο και τη δυναμική περιγραφή πολύπλοκων φυσικών διεργασιών και όντων, όπως είναι οι ζωντανοί οργανισμοί.
Ας σταχυολογήσουμε λοιπόν μερικά φυσικά φαινόμενα, διεργασίες και όντα που στηρίζονται στα μαθηματικά ή και που τα μαθηματικά αποκαλύπτουν τα θαυμάσια της Φύσης.

Σχήμα της Γης. Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι το σχήμα της γης (πεπλατυσμένο σφαιροειδές), είναι το ιδανικό για την ελαχιστοποίηση της έλξης της βαρύτητας στα εξωτερικά της άκρα.
Ποταμοί. Κατά τον Albert Einstein (1879-1955 ), κάθε ποτάμι στην πορεία του χρόνου, έχει από τη φύση του την τάση να αποκτά ολοένα και πιο ελικοειδές σχήμα, πάνω στο ανάγλυφο που διατρέχει.
Όπως εξηγούσε ο ίδιος, το φαινόμενο αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε καμπή που συναντά αναγκάζει συγκεκριμένες ποσότητες νερού, από το εξωτερικό τμήμα του, να κινηθούν γρηγορότερα. Αν, για παράδειγμα, η μορφολογία του εδάφους οδηγεί τη ροή του νερού προς τα αριστερά, ο όγκος νερού που βρίσκεται πιο δεξιά πρέπει να κινηθεί ταχύτερα, καθώς έχει να καλύψει μεγαλύτερη απόσταση. Όμως, όσο ταχύτερα κινείται το νερό, τόσο μεγαλύτερη είναι η διάβρωση του εδάφους και τόσο περισσότερο αυξάνει η καμπή του ποταμού. Η καμπή λοιπόν αυξάνει την ταχύτητα και η
ταχύτητα την καμπή, με αποτέλεσμα το ποτάμι να αποκτά συνεχώς περισσότερες και μεγαλύτερες έλικες. Η φύση φαίνεται να οδεύει αναπόδραστα προς ολοένα και πιο σύνθετες και κατ’ επέκταση, χαοτικές καταστάσεις. Τη δεκαετία του 1990, ο Hans-Henrik-Stolum, καθηγητής γεωλογίας στο Πανεπιστήμιο του Cambridge, σκεπτόμενος ίσως τον ισχυρισμό του Πυθαγόρα για τους αριθμούς που διέπουν τα φυσικά φαινόμενα, υποστήριξε ότι κάθε ποτάμι κρύβει τον αριθμό 3,14, τον περίφημο λόγο π, τον άρρητο αριθμό που προκύπτει αν διαιρέσουμε την περίμετρο ενός κύκλου με τη διάμετρό του. Για να καταλήξει σε αυτό το συμπέρασμα, ο Stolumδιαίρεσε το συνολικό μήκος δεκάδων ποταμών με την απόσταση που χωρίζει (σε ευθεία γραμμή) την πηγή με τις εκβολές τους. Ο λόγος αυτός ήταν σχεδόν πάντα λίγο μεγαλύτερος από τρία και τις περισσότερες φορές προσέγγιζε τον αριθμό 3,14.

Μέλισσες. Η συμμετρία που κατεξοχήν εκφράζει την καλαισθησία και την ομορφιά είναι διάσπαρτη στον φυσικό κόσμο. Μερικές εικόνες μας πείθουν. Η φύση λοιπόν γεωμετρεί; Είναι γνωστό ότι η μέλισσα για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας επιλέγει το κανονικό εξάγωνο στέρεο-σχήμα και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο. Και γιατί συμβαίνει αυτό; Αφενός καλύπτει ακριβώς το προσφερόμενο επίπεδο για να κατασκευάσει την κηρύθρα της χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή, η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. Επιπλέον, με το εξάγωνο γίνεται καλύτερη διανομή-μοιρασιά για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού. Αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά (λογισμό μεταβολών) ότι, αν θέλουμε να διαμερίσουμε - να χωρίσουμε σε μικρότερα τμήματα - ένα δοχείο, ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνετε με την επιλογή κανονικών εξαγώνων.

Κύκλος ζωής τζιτζικιών. Τα τζιτζίκια, και συγκεκριμένα τα είδη Magicicadaseptendecim και Magicicada tredecim, παρουσιάζουν ένα χαρακτηριστικό κύκλο ζωής που είναι πολυετής. Δηλαδή, τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται με τη μορφή των τέλειων εντόμων, όπως τα γνωρίζουμε πάνω στα δένδρα, κάθε 17 και 13 χρόνια, αντίστοιχα. Ζευγαρώνουν, γενούν τα αβγά τους και πεθαίνουν την ίδια περίοδο. Τα αβγά τους εκκολαπτόμενα δίνουν, με μορφή σκουλικιού, τις προνύμφες και νύμφες τους (στάδια μεταμόρφωσης), που όμως παραμένουν για αρκετά χρόνια κάτω από την επιφάνεια του εδάφους. Σημασία εδώ έχει ότι ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα. Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι η μαθηματική αυτή ακρίβεια προστατεύει τα τζιτζίκια από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Μια άλλη εκδοχή διατυπώνει την άποψη ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5, κ.ο.κ.
Χιονονιφάδα.

 Ο πρώτος που ασχολήθηκε με το γρίφο του εξαγωνικού σχήματος της χιονονιφάδας ήταν ο Γερμανός αστρονόμος και μαθηματικός Jahannes Kepler (1571-1630 ): "Πρέπει να υπάρχει κάποιος λόγος για τον οποίο, όποτε χιονίζει, οι αρχικοί σχηματισμοί του χιονιού επιδεικνύουν πάντα ένα εξάγωνο σχήμα. Γιατί δεν πέφτουν νιφάδες με πέντε ή επτά γωνίες ; γιατί πάντα με έξι, δεδομένου ότι δεν πέφτουν συμπυκνωμένες, αλλά παραμένουν διάσπαρτες ". Έχοντας μεγάλη εμπειρία σχετικά με τα σχήματα της φύσηςκαι τα μαθηματικά, έδωσε μια καλή εξήγηση για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας. Γνωρίζοντας ότι το χιόνι αποτελείται από συμπυκνωμένο ατμό, θεώρησε ότι πήζει σε σταγονίδια συγκεκριμένου σχήματος που έχουν επίσης έναν συγκεκριμένο τρόπο επαφής, συμπεραίνοντας ότι : " Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από τη σχηματική προσαρμογή και από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά". Ακόμη, συνδέοντας την εξαπλή μορφή της χιονονιφάδας με την κρυσταλλική φύση του πάγου, γρήγορα κατευθύνθηκε προς την ιδέα ότι αποτελούνται από μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων μικροσκοπικών μονάδων συνταιριασμένων σε σχήματα με κανονικότητα.

Ήχοι, Βιοφωσφορισμός. Οι μαθηματικοί του 17ου αιώνα παρατήρησαν πως εάν δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονται στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, αρχίζουν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ένα προς το άλλο (θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης). Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού, τα οποία δεν έχουν πλήρως εξηγηθεί, παρατηρούνται αρκετές φορές σε τζιτζίκια, γρύλλους και σε άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους. Εξάλλου, εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών. Έτσι, ο αμερικανός μαθηματικός Steven H. Strogatz (1959) από το πανεπιστήμιο Cornell, ΗΠΑ, μας πληροφορεί ότι, «Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» και υποστήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της ‘’συζευγμένης ταλάντωσης’’ που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού.

Το Κλίμα. Ένα από τα πιο απαιτητικά και πιο σημαντικά προβλήματα της εποχής μας είναι η ‘’μοντελοποίηση του παγκόσμιου κλίματος’’. Κάποια από τα βασικά ερωτήματα τα οποία οι επιστήμονες καλούνται να απαντήσουν στα ερωτήματα. Για πόσο καιρό ακόμα θα αντέξουν οι καλοκαιρινοί θαλάσσιοι πάγοι στην Ανταρκτική; Οι τυφώνες και τα υπόλοιπα ακραία καιρικά φαινόμενα χειροτερεύουν; Πόσο πολύ θα ανέβει η στάθμη της θάλασσας, καθώς θα λιώνουν οι πάγοι και με τι ρυθμό θα γίνει αυτή η μεταβολή; Πώς επηρεάζουν οι ανθρώπινες δραστηριότητες τις κλιματικές αυτές αλλαγές; Πώς μπορεί να καταγραφεί και να παρακολουθείται επαρκώς το κλίμα του πλανήτη; Εξάλλου, η Μαθηματική Ανάλυση, οι Διαφορικές Εξισώσεις, η Αριθμητική Ανάλυση, οι Πιθανότητες και η Στατιστική είναι μονάχα μερικές από τους κλάδους των μαθηματικών που χρησιμοποιούνται για την κατανόηση των ωκεανών, της ατμόσφαιρας και των πολικών πάγων, καθώς και τις σύνθετες αλληλεπιδράσεις μεταξύ αυτών των τεράστιων πλανητικών συστημάτων.
Η ακολουθία Fibonacci στα φυτά. Τα φυτά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τρόπο.

Όμως η ακολουθία Fibonacci (ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,…., ενώ ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989) κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους. Όμως, πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ως το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.

Εξάλλου, έχει διαπιστωθεί ότι τα ροδοπέταλα στο τριαντάφυλλο διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφεται μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα, που αναπτύσσονται από την ίδια περιοχή. Η αμέσως γειτονική ομάδα ροδοπετάλων έχει 8 ροδοπέταλα συνολικά συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης. Η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα, συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών ροδοπετάλων, περιλαμβάνει συνολικά 13, η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα. Δηλαδή, τα ροδοπέταλα διατάσσονται έτσι ώστε οι αριθμοί που προκύπτουν να είναι όροι της ακολουθίας Fibonacci δηλαδή, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. …..

Η ακολουθία Fibonacci στα κουνέλια. Σε ένα κτήμα γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι, μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο; Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια, Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι, Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια, Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια. Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο. Σύνολο 5 ζευγάρια . Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …... Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον, τόσα νεογέννητα ζευγάρια, όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων.

Τα Fractal στη φύση. Τρία χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών οντοτήτων στα οποία εκδηλώνεται η αυτό-ομοιότητα (Self-similarity= είναι η ιδιότητα ενός σχήματος να είναι όμοιο με ένα ή περισσότερα τμήματά του. Έτσι στο κλαδί της φτέρης οποιοδήποτε φυλλαράκι της και αν μεγεθύνουμε θα πάρουμε ένα μεγαλύτερο φύλλο αλλά και το συνολικό κλαδί) είναι το κουνουπίδι, η φτέρη και οι ακτογραμμές. α) Η φτέρη ανήκει στην κατηγορία των φυτών που εκδηλώνουν την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας με τον καλύτερο τρόπο. Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα το καθένα από τα οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη αρχική εικόνα της φτέρης. Η φτέρη δηλαδή. είναι ένα ‘’φυσικό φράκταλ’’ μια και διαθέτει την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας. β)Αν από ένα κουνουπίδι αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι αυτό μοιάζει με το αρχικό, αλλά είναι ένα μικρότερο αντίγραφο. Αν, από το πρώτο αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι είναι ακόμα μικρότερο, αλλά εξακολουθεί να μοιάζει με το αρχικό. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, κάποια στιγμή, δεν θα ισχύει η ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας. Δηλαδή και το κουνουπίδι είναι ένα φυσικό φρακταλ μια και διαθέτει την ιδιότητα της αυτό-ομοιότητας. γ) Ας παρατηρήσουμε χάρτες που περιγράφουν ακτογραμμές σε διαφορετικές κλίμακες. Αυτό που μας αποκαλύπτεται είναι μια όμοια κατανομή κόλπων και ακρωτηρίων. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια ακτογραμμή παρουσιάζει φράκταλ δομή με την έννοια ότι αν μεγεθύνεται εμφανίζονται νέοι κόλποι και ακρωτήρια και παρόλα αυτά εξακολουθεί να μοιάζει με ακτογραμμή.

Τα Μυρμήγκια. Αυτά τα έντομα, αναπτύσσουν μια τεχνική για να βρουν τη συντομότερη διαδρομή από τη φωλιά τους προς την πηγή της τροφής τους και αντίθετα. Τα μυρμήγκια ξεκινούν την αναζήτηση της τροφής γύρω από την πηγή με τυχαίο τρόπο και καθώς κινούνται αφήνουν μια ποσότητα ουσίας που ονομάζεται ‘’φερομόνη’’ και με αυτό τον τρόπο μαρκάρουν το μονοπάτι που έχουν διανύσει. Η ποσότητα της φερομόνης στο κάθε μονοπάτι εξαρτάται από την απόσταση, την ποιότητα και την ποσότητα της τροφής που βρέθηκε. Το επόμενο μυρμήγκι που θα φύγει από τη φωλιά του είναι πολύ πιθανό να ακολουθήσει τη φερομόνη που θα υπάρχει σε κάποιο μονοπάτι, αφήνοντας μια ποσότητα φερομόνης στο ίδιο μονοπάτι. Καθώς, η ποσότητα φερομόνης στο συγκεκριμένο μονοπάτι όλο και αυξάνεται, όλο και περισσότερα μυρμήγκια ακολουθούν αυτό το μονοπάτι. Όμως, καθώς η ώρα περνά η φερομόνη, ιδιαίτερα από τα μονοπάτια που δεν πηγαίνουν πολλά μυρμήγκια, ελαττώνεται. Τελικά από όλα τα υπόλοιπα μονοπάτια η φερομόνη εξαφανίζεται και όλα τα μυρμήγκια ακολουθούν τελικά το ίδιο μονοπάτι, που είναι και η βέλτιστη ή η σχεδόν βέλτιστη λύση.

Όστρακα, Κυκλώνες, Γαλαξίες. Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, με τη γνωστή αδυναμία τους στην τελειότητα της αρμονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε ‘’μέσο και άκρο λόγο’’. Αυτό σημαίνει, με απλά λόγια, να χωρίσουμε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου τμήματος. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε από τους αρχαίους ‘’Χρυσή Τομή ή Θεία Αναλογία’’ και ισούται, περίπου, με 1,62. Κατά τους αρχαίους Έλληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον ‘’υπερουράνιο’’ τόπο. H φαινομενικά απλή αυτή κατασκευή απέκτησε μεγάλη σημασία με το πέρασμα των αιώνων. Για παράδειγμα, είναι γνωστό ότι υπάρχουν άνθρωποι με ψηλά πόδια και άλλοι με κοντά. Ο ζωγράφος της Αναγέννησης Λεονάρντο ντα Βίντσι (1452-1519) θεωρούσε ότι ο πιο ‘’φυσικός’’ στο ανθρώπινο μάτι είναι εκείνος ο άνθρωπος στον οποίο ο ομφαλός χωρίζει το σώμα σε μέσο και άκρο λόγο. Έτσι, για έναν ‘’μέσο’’ άνθρωπο με ύψος 1,80 μέτρα, ο ομφαλός βρίσκεται σε απόσταση 1,10 από το έδαφος. Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι η ‘’Χρυσή Τομή’’ αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο αρχιτέκτονας του Παρθενώνα Ικτίνος (έζησε τον 5ο αιώνα στην Αθήνα) χρησιμοποίησε τη Χρυσή αναλογία στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Ωστόσο, κανένας δεν μπορούσε να φανταστεί ότι η ‘’Χρυσή τομή’’ χαρακτηρίζει επίσης τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες.

H σημασία της Χρυσής Τομής δεν περιορίζεται όμως στις καλές τέχνες. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται ‘’Λογαριθμική Σπείρα ή Σπείρα Ανάπτυξης’’. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των Χρυσών ορθογωνίων. Αν κόψουμε ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το μικρότερο ορθογώνιο που απομένει είναι πάλι Χρυσό. Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία από ολοένα και μικρότερα Χρυσά ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα μέσα στο άλλο. H λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των Χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο. Γιατί όμως και στη Φύση έχει ‘’επιλεγεί’’ η λογαριθμική σπείρα (είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων,) για να δημιουργηθούν μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος, στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.

Σημειώνεται ότι τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. Για παράδειγμα, η ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από το διαθέσιμο χώρο. H δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού, ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος, οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, που δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. Φαίνεται λοιπόν ότι η Χρυσή Τομή αποτελεί έναν αριθμό με παγκόσμιες ιδιότητες, παρόμοιο με τον αριθμό π = 3,14 , ο οποίος ισούται με το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου διά τη διάμετρό του. Για το λόγο αυτό οι μαθηματικοί παριστάνουν τη Χρυσή Τομή με ένα άλλο ελληνικό γράμμα, το ‘’φ’’, οπότε έχουμε ότι φ = 1,62. Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η ‘’Χρυσή αναλογία’’, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό τμήματα του φυσικού κόσμου. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα ‘’Χρυσό’’ δεκάγωνο.