Τετάρτη, 5 Νοεμβρίου 2014

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ (ΜΕΡΟΣ Α’)

ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΒΙΟΥ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ 
Ο Πυθαγόρας, γιος του Μνήσαρχου και της Πυθαΐδας, γεννήθηκε στη Σάμο. Η γέννηση του πιθανολογείται ανάμεσα στο (592 και το 572 π.Χ.). Σημαντικός αριθμός ιστορικών ισχυρίζεται ως σίγουρη χρονολογία γέννησης του Πυθαγόρα το (585 π.Χ.). Το όνομα Πυθαγόρας, του το έδωσαν οι γονείς του προς τιμήν της Πυθίας που προφήτευσε την γέννηση του. Ο Πυθαγόρας, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης, θεωρητικός της μουσικής και ιδρυτής της Πυθαγόρειας σχολής.
Είναι ο κατεξοχήν θεμελιωτής των Ελληνικών μαθηματικών και δημιούργησε ένα άρτιο σύστημα για την επιστήμη των ουρανίων σωμάτων, που κατοχύρωσε με όλες τις σχετικές αριθμητικές και γεωμετρικές αποδείξεις. Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος που ονόμασε τον εαυτό του “φιλόσοφο” και ο πρώτος που ανακάλυψε τα μουσικά διαστήματα από μία χορδή. Ο Πρόκλος (Νεοπλατωνικός φιλόσοφος 410 – 485 π.Χ.) λέει πως πρώτος ο Πυθαγόρας ανύψωσε την γεωμετρία σε ελεύθερη επιστήμη, γιατί θεώρησε τις αρχές της από πάνω προς κάτω και όχι με βάση τα υλικά αντικείμενα.
Ο Απολλώνιος ο Λογιστικός, αναφέρει ότι προσέφερε εκατόμβη, όταν βρήκε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων κάθετων πλευρών. Ενώ ο Διογένης Λαέρτιος (Βίοι Φιλοσόφων), αναφέρει για τον Πυθαγόρα ότι : “Νεαρός ακόμη, παρακινημένος από τη φιλομάθειά του έφυγε από την πατρίδα του για να μυηθεί σε όλες τις Ελληνικές και βαρβαρικές τελετές. Πήγε και στην Αίγυπτο και τότε ο Πολυτάρκης τον σύστησε με επιστολή του στον Άμαση.
Έμαθε τέλεια τα Αιγυπτιακά, όπως λέει ο Αντιφών στο “Περί των εν αρετή πρωτευσάντων” και επισκέφτηκε τους Χαλδαίους και τους Μάγους. Κατόπιν στην Κρήτη με τον Επιμενίδη κατέβηκε στο Ιδαίον Άντρο, αλλά και στην Αίγυπτο είχε μπει στα άδυτα. Έτσι γνώρισε τα μυστικά για τους θεούς. Στη συνέχεια επέστρεψε στη Σάμο, επειδή όμως βρήκε την πατρίδα του τυραννοκρατούμενη από τον Πολυκράτη, αναχώρησε για τον Κρότωνα της Ιταλίας. Ο Πυθαγόρας με τη διδασκαλία του, αποσκοπούσε στα εξής:
  • Πρώτον, στο να οδηγήσει τον άνθρωπο στην κατανόηση των νόμων της φύσης και
  • Δεύτερον, στο να βελτιώσει και να αναπτύξει τις ικανότητές του.
Για τον Πυθαγόρα και τους υποστηρικτές του, τους Πυθαγόρειους η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις. Όπου οι αριθμοί και οι μαθηματικές σχέσεις είναι οι νόμοι που διέπουν τον φυσικό αλλά και τον πνευματικό μας κόσμο. Γνωστή θεωρείται η Πυθαγόρεια διδασκαλία της “μιμήσεως” κατά την οποία τα αισθητά υπάρχουν κατ’ απομίμηση ατελή του τέλειου νοητού κόσμου. Έτσι εισάγεται στην Ελληνική φιλοσοφία η αντίληψη των δύο κόσμων, ”Νοητού και Αισθητού” που επηρέασε στη συνέχεια, την θεωρία για τον κόσμο των Ιδεών του Πλάτωνα.
Η αληθινή πηγή της σοφίας για τους Πυθαγόρειους είναι η Τετρακτύς, δηλαδή οι τέσσερις πρώτοι φυσικοί αριθμοί που θεωρείται ότι συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Πραγματικά, από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς, μπορεί κανείς να κατασκευάσει τις αρμονικές αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της ογδόης. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την αρμονία (το άκουσμα για το ωραίο) που για τους Πυθαγόρειους είχε όχι απλώς γενική σημασία, αλλά κυριολεκτικά κοσμική. Η Τετρακτύς (τετράδα) του Πυθαγόρα, σημαίνει το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών, δηλαδή ο αριθμός 10 = (1+2+3+4).
Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν ως ρίζα και πηγή κάθε δημιουργίας την τετράδα αυτή των αριθμών και αποτελούσε τον μέγιστο και ιερότερο όρκο τους. Ο Πυθαγόρας απέδιδε στους αριθμούς μεταφυσικές ιδιότητες, λέγοντας ότι αυτοί, οι αριθμοί, διέπουν τις κινήσεις των αστέρων και ότι κατέχουν ορισμένη θέση στο Διάστημα. Οι Πυθαγόρειοι εργάσθηκαν με σημαντικές αποδόσεις και στη Γεωμετρία. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα, οι αριθμοί δεν είναι απλά σύμβολα ποσοτικών σχέσεων αλλά αποτελούν την ουσία του κόσμου, γι’ αυτό και είναι ιεροί.
Η μονάδα (1) συμβολίζει το πνεύμα, τη δύναμη εκείνη από την οποία προέρχεται το παν. Η δυάδα (2) δείχνει τις δύο μορφές της ύλης – Γη και Νερό. Η τριάδα (3) φανερώνει το χρόνο στις τρεις του διαστάσεις – παρόν, παρελθόν, μέλλον κ.ο.κ. Η κατανόηση των κοσμικών φαινομένων ήταν δυνατή με τη αριθμολογία, τη γεωμετρία και τη μουσική. Κατά το Διογένη το Λαέρτιο, ο Πυθαγόρας θεωρούσε ως αρχή όλων των πραγμάτων τη μονάδα. Από τη μονάδα προερχόταν η αόριστη δυάδα με την εκδήλωση της μονάδας και ως ύλης. Από τη μονάδα και την αόριστη δυάδα γίνονταν οι αριθμοί. Από τους αριθμούς τα σημεία.
Από αυτά οι γραμμές, από τις οποίες σχηματίζονται τα επίπεδα, και από αυτά τα στερεά. Επίσης, στους Πυθαγόρειους πρέπει να οφείλεται η γνώμη ότι η Γη στρέφεται γύρω από τον άξονά της και ταυτόχρονα γύρω από τον Ήλιο. Η ταχύτατη κίνηση όλων των ουράνιων σφαιρών δημιουργεί ήχους και οι τελευταίοι την αρμονία. Αρμονία επίσης για το σώμα είναι η ψυχή, η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου. Η ψυχή έχει τις ιδιότητες της ταυτότητας, της ετερότητας, της στάσης και της κίνησης (τετρακτύς).
Ο Πυθαγόρας δεν έγραψε κανένα έργο, έτσι το βάρος της διάσωσης της διδασκαλίας του έπεσε στους μαθητές του.. Ο Πυθαγόρας είχε πολλούς και πιστούς μαθητές. Κάθε φορά που έμπαιναν στο σπίτι του, τους έλεγε να λένε τα εξής. Που έσφαλα; τι έκανα; τι έπρεπε να κάνω και δεν έκανα; Οι μαθητές του επί πέντε χρόνια παρέμεναν σιωπηλοί και άκουγαν μόνο τις ομιλίες του Πυθαγόρα χωρίς ποτέ να βλέπουν τον ίδιο. Μετά το τέλος αυτής της δοκιμασίας, οι μαθητές του, γίνονταν μέλη του σπιτιού του και είχαν δικαίωμα να τον βλέπουν.
Η εισαγωγή των νέων μαθητών στη σχολή του Πυθαγόρα. γινόταν μετά από αυστηρή και πολύχρονη άσκηση. Ο υποψήφιος έπρεπε να παραμένει σιωπηλός, να είναι εγκρατής, να έχει ισχυρό χαρακτήρα. Ταυτόχρονα ήταν απαραίτητο να συνδέεται με στενή φιλία με τους άλλους μαθητές. Ο Πυθαγόρας. υποστήριζε ότι “φίλος εστίν άλλος εγώ” και “φιλίαν τ’ είναι εναρμόνιον ισότητα”. Διάφορα ρητά ήταν γραμμένα στις αίθουσες της σχολής, όπως “επί χοίνικος μη καθίζειν” (να μη φροντίζεις για το μέλλον), “τας λεωφόρους μη βαδίζειν” (να μην παρασύρεσαι από τη γνώμη του πλήθους, αλλά μόνο τη γνώμη των “επαϊόντων” να θεωρείς σεβαστή).
Πριν από το βραδινό τους ύπνο, οι μαθητές έπρεπε να ελέγχουν όσα έγιναν ή δεν έγιναν κατά την ημέρα που πέρασε. Γενικά όμως, η ηθική διδασκαλία των Πυθαγορείων περιέχεται μέσα σε 71 στίχους που είναι γνωστοί ως “Χρυσά Έπη” του Πυθαγόρα. Μολονότι η προσωπικότητα και το έργο του Πυθαγόρα υπήρξαν τόσο σημαντικά στην αρχαία Ελλάδα, εξαιτίας της μυστικότητας με την οποία περιβαλλόταν η διδασκαλία του, δεν υπάρχουν συγκεκριμένες πληροφορίες για τη ζωή του. Λέγεται ότι ήταν μαθητής του φιλόσοφου Φερεκύδη στη Λέσβο και του Θαλή και Αναξίμανδρου στη Μίλητο.
Όντας ακόμη έφηβος, η φήμη του έφθασε εις την Μίλητο προς τον Θαλήν και εις την Πριήνη προς τον Βίαντα, τους δύο εκ των επτά σοφών της αρχαιότητος και σε πολλά μέρη οι άνθρωποι εξεθείαζαν τον νεανία, αποκαλώντας τον, τον “εν Σάμω κομήτην”. Μόλις εις την Σάμο άρχισε να εμφανίζεται το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτους, εποχή όπου ο Πυθαγόρας ήταν περίπου δεκαοκτώ ετών, προβλέποντας ότι η τυραννία θα εμπόδιζε τα σχέδιά του και την φιλομάθειά του, έφυγε μαζί με τον Ερμοδάμαντα τον Κρεοφύλειο για την Μίλητο κοντά στον Φερεκύδη και στον φυσικό Αναξίμανδρο και στον φιλόσοφο Θαλή.
Με την προσωπικότητα και την ευφράδεια της ομιλίας του, κέρδισε τον θαυμασμό και την εκτίμηση όλων και κατέστη κοινωνός των διδασκαλιών των. Μάλιστα ο Θαλής διακρίνοντας την μεγάλη διαφορά του Πυθαγόρα εν συγκρίσει με τους άλλους νέους, του παραστάθηκε με ευχαρίστηση και του μετέδωσε όσες γνώσεις κατείχε, που ήταν δυνατόν να μεταδοθούν. Κοντά στον Θαλή ο Πυθαγόρας έλαβε την πρώτη του σοβαρή εκπαίδευση πάνω στα μαθηματικά, τη γεωμετρία και όσα έχουν σχέση με τους αριθμούς και τους υπολογισμούς.
Ήταν ο Θαλής που προέτρεψε τον Πυθαγόρα να μεταβεί στην Αίγυπτο και να συναναστραφεί με τους ιερείς της Μέμφιδος και της Διοσπόλεως, από τους οποίους ο ίδιος ο Θαλής είχε λάβει πολλές γνώσεις, προλέγοντας πως εάν ο Πυθαγόρας ερχόταν σε επαφή μαζί τους, θα γινόταν Θεϊκότερος και σοφότερος από όλους τους ανθρώπους. Είναι βέβαιο ότι έμεινε 22 χρόνια στην Αίγυπτο κοντά στους ιερείς της Μέμφιδος, της Ηλιούπολης και της Διοσπόλεως.
Όταν όμως ο βασιλιάς των Περσών Καμβύσης κατέλαβε την Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας. μεταφέρθηκε αιχμάλωτος στη Βαβυλώνα και έτσι είχε την ευκαιρία να συναναστραφεί και με τους Πέρσες μάγους. Ελευθερώθηκε μετά από 12 χρόνια με τη μεσολάβηση του Έλληνα προσωπικού γιατρού του βασιλιά Δημοκήδη. Επέστρεψε στη Σάμο σε ηλικία πλέον 56 χρόνων. Όταν έφτασε στην πατρίδα του, επιχειρούσε με κάθε τρόπο να μεταδώσει στους συμπατριώτες του μαθήματα των αριθμών καθώς και άλλες γνώσεις της πολύ πλούσιας παιδείας του.
Όμως οι Σάμιοι δεν έδειξαν το απαιτούμενο ενδιαφέρουν ούτε και ακολούθησαν τις διδασκαλίες του στον τρόπο ζωής τους, με αποτέλεσμα ο Πυθαγόρας να παραιτηθεί εν τέλει, από τις προσπάθειες διαπαιδαγώγησης τους. Τον θαύμαζαν βεβαίως και του προσέφεραν αξιώματα και μάλιστα τον ανάγκαζαν να συμμετέχει σε όλες τις δημόσιες λειτουργίες, ενώ η φήμη του, τόσο είχε απλωθεί σε όλη την Ελλάδα που άλλοι μεγάλοι φιλόσοφοι επίσης ήλθαν εις την Σάμο, ζητώντας να τον συναντήσουν. Ο Πυθαγόρας διαπίστωσε ότι η συμμόρφωσή του προς τα πρόσθετα αυτά καθήκοντα προς την πατρίδα δυσχέραινε την δυνατότητα να φιλοσοφεί.
Επιπλέον, η τυραννίδα του Πολυκράτους είχε πλέον επικρατήσει και ο φιλόσοφος την θεωρούσε εν μέρει υπεύθυνη για την αδιαφορία των Σαμίων προς τα μαθηματικά και την φιλοσοφία. Θεωρώντας πως δεν είναι σωστό ένας άνδρας φιλόσοφος με ελεύθερα φρονήματα να ζει κάτω από ένα τέτοιο πολίτευμα, απεφάσισε να μετοικίσει προς την νότια Ιταλία – είχε δε την γνώμη πως πατρίδα του είναι η χώρα εκείνη όπου περισσότεροι άνθρωποι είναι δυνατόν να βρεθούν με καλή διάθεση να μαθαίνουν. Κι έτσι λοιπόν έφυγε και κατευθύνθηκε προς την Σικελία, όπου τον υποδέχτηκαν με ευμένεια διάφορες Ιταλικές πόλεις. Έκανε μεγάλη εντύπωση στους εκεί κατοίκους.
Ήταν ένας άνδρας με μακρόχρονες περιπλανήσεις και εξαιρετικός από την ίδια του τη φύση, καλά προικισμένος από την τύχη, φιλελεύθερος στα φρονήματα και μεγάλος, με πολλή χάρη και ευπρέπεια στον λόγο και στο ήθος και σε όλα τα άλλα, με αποτέλεσμα να γοητεύσει τους ανώτατους άρχοντες της πόλεως. Συγκεκριμένα, στον Κρότωνα, όπου και νυμφεύθη, ίδρυσε την πρώτη σχολή και μύησε τους πρώτους μαθητές του. Το αντικείμενο ενασχόλησης του Πυθαγόρα ήταν η καθοδήγηση αυτής της σχολής, η οποία ήταν μία μυστική, θρησκευτική κίνηση, που είχε αναπτύξει και έντονη πολιτική δραστηριότητα.
Πιθανολογείται ότι η ίδρυση της σχολής έγινε γύρω στο 520 π.Χ, στην είσοδο της οποίας οι Πυθαγόρειοι είχαν χαράξει το ρητό: ”ΜΗΔΕΙΣ ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΕΙΣΗΤΩ”, δηλαδή «δεν μπορεί να εισέλθει και να συμμετάσχει κανείς στην αδελφότητα, ο οποίος δεν μετρά με γήινα μέτρα όλα τα αντικείμενα». Αυτό με άλλα λόγια σήμαινε, ότι η αδελφότητα πίστευε ότι «το θείο» είναι μέσα στον άνθρωπο και «μετρήσιμο» και όχι στα ουράνια και άπιαστο. Ο Πυθαγόρας, απέτρεψε οριστικά στάσεις και αναρχία όχι μόνο στην εποχή του αλλά και μεταξύ των απογόνων των μαθητών του.
Και για πολλές γενεές διατηρήθηκαν οι διδαχές του. Αυτός έκανε γνωστό το σοφό απόφθεγμα: “με κάθε τρόπο πρέπει να διώχνεται και να καυτηριάζεται με φωτιά, και με σίδερο και με άλλες επινοήσεις η αρρώστια από το σώμα, η πολυτέλεια από την κοιλιά, η επανάσταση από την πόλη, η διχόνοια από το σπίτι και απ’ όλα μαζί η αμετρία”. Οι ιδέες του, έκαναν ξεχωριστή εντύπωση, κυρίως στους νέους, και γρήγορα οδηγήθηκε στο δικαστήριο με την κατηγορία της διαφθοράς των νέων και της αθεΐας, όπου όμως τελικά αθωώθηκε. Ο Πυθαγόρας θεωρούσε ύψιστες αρετές τη σωφροσύνη, τη δικαιοσύνη και την ανδρεία.
Κατά τη γνώμη του, η σωφροσύνη αποτελεί το μέτρο αρετής ενός ανθρώπου, η δικαιοσύνη είναι αρετή που υπάρχει σε μια κοινωνία και η ανδρεία είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για να αποκτηθούν οι δύο προηγούμενες. Για τον Πυθαγόρα. αυτά δεν ήταν μόνο θεωρία, αλλά ο ίδιος προσπάθησε να τα πραγματώσει στον Κρότωνα. Πίστευε πως κατά την αρχή της δικαιοσύνης τα πράγματα όλα πρέπει να είναι κοινά και ο καθένας να θεωρεί και δικό του και ξένο οτιδήποτε. Αυτό κυρίως εφαρμόστηκε, όπως αναφέρθηκε, στη σχολή του.
Στον Κρότωνα, υπήρξε ένας άνδρας, ο Κύλων που παρότι καταγόταν από αριστοκρατική γενεά και διέθετε πλούτο μεγαλύτερο από των άλλων πολιτών, δεν διέθετε ευγενή χαρακτήρα αλλά ήταν φορτικός, βίαιος και τυραννικός. Χρησιμοποιούσε τον κύκλο των φίλων του και την δύναμη του πλούτου του για να μπορεί να αδικεί και όντας άπληστος είχε την αξίωση να κατέχει οτιδήποτε του φαινόταν καλό. Αυτός λοιπόν, πίστευε πως έπρεπε να γίνει μέτοχος και στην φιλοσοφία του Πυθαγόρα και να γίνει δεκτός μεταξύ των μαθητών. Προσήλθε εις τον Πυθαγόρα αυτοεπαινούμενος και επιθυμώντας να γίνει μαθητής του.
Όμως ο Πυθαγόρας διακρίνοντας από τη φυσιογνωμία του ανδρός και από άλλα σημάδια το ποιόν του, τον διέταξε αμέσως να φύγει και να επιστρέψει στις ασχολίες του. Ο Κύλων το εξέλαβε ως μεγάλη προσβολή και οργίστηκε πολύ. Συγκέντρωσε τους φίλους του, όπου κατηγόρησε τον Πυθαγόρα και μαζί τους άρχισε να προετοιμάζεται για να βλάψει αυτόν και τους μαθητές του. Φαίνεται πως υπήρχαν και πολιτικά αίτια όμως για το μίσος του Κύλωνος διότι ήθελε να μεταβάλλει το πατροπαράδοτο πολίτευμα του Κρότωνος που όριζε ορισμένο αριθμό πολιτών με το δικαίωμα να συμμετέχουν στην εκκλησία του δήμου (οι Χίλιοι).
Ο Κύλων ήθελε να συμμετέχουν όλοι, ώστε να μπορεί να εξαγοράζει πολιτική δύναμη, δωροδοκώντας πολλούς από εκείνους. Όμως, σε αυτά του τα σχέδια εναντιώθηκαν οι Πυθαγόρειοι Κροτωνιάτες Αλκίμαχος, Δείναρχος, Μέτων και Δημοκίδης. Ο Κύλων, υποβοηθούμενος από τον ρήτορα Νίνονα, που συνέγραψε βιβλίο που υποτίθεται πως περιείχε τις μυστικές διδασκαλίες των Πυθαγορείων, έβαλε να αναγνώσουν το πλαστό σύγγραμμα και άρχισε να συκοφαντεί τους Πυθαγόρειους πως ετοιμάζουν τυραννίδα.
Εντός ολίγων ημερών με δημαγωγία και συκοφαντία ξεσήκωσε τον λαό εναντίον των Πυθαγορείων και ο ίδιος με τους υποστηρικτές του, επιτέθηκαν στους συντρόφους την ημέρα που είχαν συγκεντρωθεί εις την οικία του Μίλωνος. Ο Πυθαγόρας έλειπε σε ταξίδι προς την Σύρο, για να περιποιηθεί τον άρρωστο Φερεκύδη που υπήρξε διδάσκαλός του. Επακολούθησε συμπλοκή όπου σκοτώθηκαν πολλοί από τους συντρόφους του Πυθαγόρα και πυρπόλησαν το οίκημα. Και σ΄ αυτό το σημείο αρχίζει η διαφωνία των ιστορικών για τον θάνατο του Πυθαγόρα. Δύο εκδοχές υπάρχουν για το θάνατο του.
Πρώτον, σύμφωνα με το Διογένη Λαέρτιο, οι Κροτωνιάτες έσφαξαν αυτόν μαζί με τετρακόσιους μαθητές του. Πρώτα έκαψαν το σπίτι του Μίλωνα στο οποίο λίγο πριν είχαν συγκεντρωθεί. Ο λόγος της σφαγής του, σύμφωνα πάντα με την ίδια μαρτυρία, είναι ο φόβος της μεγάλης δύναμης που είχε αποκτήσει στην πόλη του Κρότωνα και η συκοφαντία, από εχθρούς του, για την εγκαθίδρυση τυραννίας. Και δεύτερον, σύμφωνα με τον Δικαίαρχο, ο Πυθαγόρας, αφού κατέφυγε στο ιερό των Μουσών στο Μεταπόντιο, μένει σαράντα μέρες νηστικός και πεθαίνει από ασιτία.
Διάδοχος του Πυθαγόρα έγινε ο Αρισταίος ο Κροτωνιάτης που κατείχε αρίστως την διδασκαλία. Άλλοι επιφανείς Πυθαγόρειοι ήταν ο Φιλόλαος από το Μεταπόντιο και ο Αρχύτας ο Ταραντίνος. Μέσω του Φιλολάου κάποια συγγράμματα των μεταγενέστερων Πυθαγορείων παρεδόθησαν στον Δίωνα, μαθητή του Πλάτωνος με αποτέλεσμα την γόνιμη συνέχεια του Πυθαγορισμού μέσω της Πλατωνικής Ακαδημίας.
Ο Πυθαγόρας χρήζει παγκόσμιας αναγνώρισης. Το όνομα του είναι σήμερα ταυτισμένο με το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Σε ολόκληρο τον κόσμο γνωρίζουν τον μεγάλο αυτόν φιλόσοφο και μαθηματικό από το θεώρημά του και τον τιμούν ιδιαίτερα. Στο Άμστερνταμ, υπάρχει οδός που φέρει το όνομά του. Αγάλματα και μεγάλοι πίνακες ζωγραφικής αναφέρονται στον Πυθαγόρα και τη θεωρία του. Πολλά βιβλία και μελέτες σύγχρονων μαθηματικών έχουν γραφτεί για τη μεγάλη αυτή φυσιογνωμία των μαθηματικών, τον ΠΥΘΑΓΟΡΑ.

Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΚΑΙ Η ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗ ΘΡΗΣΚΕΙΑ
Το πρώτο κεφάλαιο στην ιστορία της αρχαίας Ελληνικής φιλοσοφίας έχει ολοκληρωθεί στα μέσα του 6ου αιώνα π.Χ. Η Μιλήσια κοσμολογία, με τον Θαλή, τον Αναξίμανδρο και τον Αναξιμένη, έχει ανοίξει ένα νέο πεδίο έρευνας στην ανθρώπινη εμπειρία, όπου κυρίαρχη είναι η έννοια της φύσης. Το σύνολο των φυσικών μεταβολών, ο αέναος κύκλος της γέννησης και της φθοράς των πραγμάτων, είναι το αντικείμενο της φιλοσοφικής αναζήτησης. Ο κόσμος των πρώτων φιλοσόφων είναι απρόσωπος. Στη φυσιοκρατική ερμηνεία των Μιλησίων δεν υπάρχει θέση για τους Θεούς των ποιητών και της παραδοσιακής λατρείας.
Οι ανθρωπόμορφοι Θεοί δεν απορρίπτονται ευθέως, γίνονται όμως πλέον περιττοί, αφού δεν τους αναγνωρίζεται καμία δικαιοδοσία στη φυσική πραγματικότητα. Παρ’ όλα αυτά ο Αναξίμανδρος και ο Αναξιμένης δεν διστάζουν να αποκαλέσουν το πρωταρχικό τους υλικό «Θείο», όχι για να του προσδώσουν κάποιες υπερφυσικές ικανότητες, αλλά για να τονίσουν την τελειότητα και την κυριαρχία του. Αν υπάρχει λοιπόν κάτι το θεϊκό στον κόσμο, αυτό δεν βρίσκεται έξω από τη φύση, αλλά είναι εγκόσμιο, είναι στοιχείο της ίδιας της φυσικής νομοτέλειας.
Το πρόβλημα της Θεότητας και της θρησκευτικής συμπεριφοράς των ανθρώπων θα έρθει στο προσκήνιο με την επόμενη γενιά των φιλοσόφων: τον Ξενοφάνη από τον Κολοφώνα της Μικράς Ασίας και τον Πυθαγόρα από τη Σάμο. Οι δύο άνδρες ήταν περίπου σύγχρονοι, και η πορεία της ζωής τους παρουσιάζει εντυπωσιακές ομοιότητες. Μεγαλώνουν στην Ιωνία του 6ου αιώνα και επηρεάζονται από το διανοητικό κλίμα της νέας φυσιοκρατικής αναζήτησης.
Εγκαταλείπουν αρκετά νωρίς την πατρίδα τους, μάλλον για πολιτικούς λόγους, ταξιδεύουν πολύ και εγκαθίστανται τελικά στην ίδια περιοχή, στη νότια Ιταλία, στην αποκαλούμενη Μεγάλη Ελλάδα. Εκεί διδάσκουν, αποκτούν φήμη και μαθητές. Και στο έργο τους υπάρχει κάτι κοινό, τουλάχιστον στη θεματολογία, αφού και οι δύο ασχολούνται με τη σχέση του ανθρώπου με το θείο. Εδώ όμως οι ομοιότητες σταματούν. Ο Ξενοφάνης είναι ένας περιπλανώμενος ποιητής, ένας κοσμοπολίτης που διαπνέεται από διαφωτιστικές ιδέες.
Καταγγέλλει την ανηθικότητα των Θεών του Ομήρου και του Ησιόδου, αρνείται τον ανθρωπομορφισμό τους, δείχνει τη σχετικότητα των παραστάσεων των Θεών στους διάφορους λαούς και, φτάνοντας τη συλλογιστική του στα άκρα, δεν διστάζει να υποστηρίξει ότι «αν είχαν χέρια τα βόδια, τα άλογα και τα λιοντάρια, και αν μπορούσαν να ζωγραφίσουν όπως οι άνθρωποι, τότε τα άλογα θα έδιναν μορφή αλόγων στους θεούς τους και τα βόδια μορφή βοδιών».
Ο Πυθαγόρας αντιθέτως, αν και δεν φαίνεται να επικροτεί την απλοϊκότητα του Ελληνικού Δωδεκάθεου, θα σεβαστεί το λατρευτικό και τελετουργικό στοιχείο της παραδοσιακής θρησκευτικής πρακτικής και θα αναζητήσει μια πολύ πιο βαθιά και βιωματική θρησκευτικότητα. Στη δική του προσέγγιση η φιλοσοφία συνδέεται άρρηκτα με τη θρησκεία. Ο φιλοσοφικός τρόπος ζωής οδηγεί τον άνθρωπο σε άμεση σχέση με το θείο.

Η ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΠΑΡΑΔΟΣΗ 
Έχουμε αναφερθεί στις δυσκολίες που αντιμετωπίζει όποιος προσπαθεί να φτάσει σε μια αντικειμενική αποτίμηση των Προσωκρατικών φιλοσόφων (Προσωκρατικούς ονομάζουμε όλους τους φιλοσόφους που έζησαν πριν από τον Σωκράτη). Η ερμηνεία γίνεται σε μεγάλο βαθμό από δεύτερο χέρι, αφού κανένα πλήρες φιλοσοφικό έργο δεν έχει διασωθεί από την πρώιμη αυτή περίοδο. Τα πράγματα είναι ακόμη πιο δύσκολα στην περίπτωση του Πυθαγόρα. Δεν μας λείπουν οι αρχαίες μαρτυρίες για τον Πυθαγόρα.
Για κανέναν άλλο αρχαίο φιλόσοφο δεν έχουν διασωθεί περισσότερες βιογραφικές και ανεκδοτολογικές λεπτομέρειες. Μόνο κατά τον 3ο αιώνα μ.Χ. γράφονται τρεις εκτεταμένες βιογραφίες του Πυθαγόρα, και όλες έχουν σωθεί: Διογένης Λαέρτιος, Βίοι φιλοσόφων· Πορφύριος, Πυθαγόρου βίος· Ιάμβλιχος, Περί του Πυθαγορείου βίου. Στη συγκεκριμένη όμως περίπτωση ο όγκος των πληροφοριών μας είναι αντιστρόφως ανάλογος της αξιοπιστίας τους. Το πρόβλημα με τον Πυθαγόρα είναι ότι τα περισσότερα από όσα γνωρίζουμε γι’ αυτόν προέρχονται από οπαδούς του, από ανθρώπους που αυτοπροσδιορίζονται ως «Πυθαγόρειοι».
Οι άνθρωποι αυτοί γράφουν, πολλούς αιώνες μετά τον Πυθαγόρα, όχι για να μεταδώσουν μια αντικειμενική εικόνα του πνευματικού τους πατέρα και του έργου του, αλλά για να προπαγανδίσουν την αξία της σχολής τους. Είναι σαν να προσπαθείς να αντλήσεις αντικειμενικά στοιχεία για τη ζωή και τη δράση του Ιησού μέσα από τη μεταγενέστερη Χριστιανική γραμματεία. Ο Πυθαγόρας είναι ο πρώτος Έλληνας φιλόσοφος που ίδρυσε σχολή. Και μάλιστα μια σχολή που θυμίζει περισσότερο κλειστή θρησκευτική αδελφότητα παρά φιλοσοφικό διδασκαλείο.
Ο ίδιος δεν έγραψε τίποτε – κατά πάσαν πιθανότητα συνειδητά. Στήριξε τη διδασκαλία του στη ζωντανή επαφή με τους μαθητές του, στην προβολή του δικού του υποδειγματικού τρόπου ζωής και στη θέσπιση αυστηρών κανόνων συμπεριφοράς και πίστης, που εξασφάλιζαν τη μύηση των νέων μελών και τη συνοχή της Πυθαγόρειας κοινότητας. Η σχολή του Πυθαγόρα αποδείχθηκε η πιο ανθεκτική φιλοσοφική σχολή του αρχαίου κόσμου. Οι Πυθαγόρειες κοινότητες γνώρισαν στιγμές ιδιαίτερης αίγλης και στιγμές παρακμής, αλλά δεν έπαψαν ποτέ να υπάρχουν, ακόμη και μετά το τέλος της Ελληνικής αρχαιότητας.
Η συνοχή που τις χαρακτηρίζει και εξηγεί τη μακροβιότητά τους δεν οφείλεται σε ένα αυστηρά καθορισμένο θεωρητικό πλαίσιο. Από πολύ νωρίς η Πυθαγόρεια φιλοσοφία αναμείχθηκε με άλλες συγγενείς φιλοσοφικές τάσεις, και ιδίως με τον Πλατωνισμό. Πιο σημαντική για τους Πυθαγόρειους ήταν η υπεράσπιση ενός συγκεκριμένου τρόπου ζωής, που υποτίθεται ότι εισήγαγε ο ίδιος ο ιδρυτής της σχολής τους. Ήταν λοιπόν απαραίτητο να συντηρηθεί και να εμπλουτιστεί ο μύθος της υποδειγματικής ζωής του Πυθαγόρα, ώστε να αποτελεί διαρκές παράδειγμα προς μίμηση για τους νεότερους οπαδούς του.
Οι λεπτομέρειες επομένως για τη ζωή του Πυθαγόρα είναι τόσο ανομοιογενείς και αναξιόπιστες, ώστε κάποιοι σκεπτικιστές έφτασαν στο σημείο να αμφιβάλουν και για την ίδια την ιστορική του ύπαρξη. Κάτι τέτοιο όμως είναι υπερβολικό, αφού το όνομα του Πυθαγόρα αναφέρεται σε πολύ παλιούς συγγραφείς, όπως ο σύγχρονός του Ξενοφάνης και οι λίγο μεταγενέστεροι Ηράκλειτος, Ηρόδοτος και Εμπεδοκλής.
Λένε ότι όταν κάποτε είδε να βασανίζουν ένα σκυλάκι, το συμπόνεσε και είπε: «Σταμάτα, μην το χτυπάς, γιατί είναι η ψυχή κάποιου φίλου· την αναγνώρισα όταν άκουσα τη φωνή του.»
(Ξενοφάνης, απόσπασμα 7)
Ο Πυθαγόρας, ο γιος του Μνησάρχου, περισσότερο απ’ όλους επιδόθηκε στην έρευνα· και αφού επέλεξε από αυτές τις γνώμες, έφτιαξε τη δική του σοφία: πολυμάθεια και δόλια τέχνη.
(Ηράκλειτος, απόσπασμα 129)
Ανάμεσά τους ήταν και κάποιος πολύμαθος, που κατείχε κάθε λογής σοφή τέχνη και απέκτησε τα πιο μεγάλα πνευματικά πλούτη· γιατί όποτε ήθελε από τα βάθη της καρδιάς του, εύκολα έβλεπε το κάθε πράγμα σε δέκα και είκοσι ανθρώπινες γενιές.
(Εμπεδοκλής, απόσπασμα 129)
Τι λένε αυτοί οι άνθρωποι για τον Πυθαγόρα; Ο Ξενοφάνης τον ειρωνεύεται, ο Ηράκλειτος απορρίπτει την «πολυμάθεια και τη δόλια τέχνη του», ο Εμπεδοκλής τον εξυμνεί και ο Ηρόδοτος συνδέει τις απόψεις του με ξένα μυστικά δόγματα. Από τις αναφορές αυτές συμπεραίνουμε ότι ο Πυθαγόρας θα πρέπει να ήταν ιδιαίτερα γνωστή και αμφιλεγόμενη προσωπικότητα της εποχής του. Με κάθε λοιπόν επιφύλαξη μπορούμε να φτάσουμε σε ένα σχεδίασμα της ζωής του Πυθαγόρα.
Ήταν σύγχρονος με τον Αναξιμένη και τον Ξενοφάνη – διαμορφώθηκε επομένως μέσα στο διανοητικό κλίμα της Ιωνικής φυσιοκρατικής σκέψης. Στα νεανικά του χρόνια πρέπει να ταξίδεψε αρκετά, και είναι πιθανό να γνώρισε από πρώτο χέρι τις δοξασίες των ανατολικών λαών και ιδίως των Αιγυπτίων. Το πιο πιθανό είναι να υπήρξε αυτοδίδακτος, αν και δεν αποκλείεται να μαθήτευσε κοντά στον Φερεκύδη από τη Σύρο, μια μυστηριώδη μορφή του 6ου αιώνα π.Χ., που ορισμένοι θεωρούν πρόδρομο της φιλοσοφικής σκέψης.
Ήρθε σε σύγκρουση με το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτη στη Σάμο, και εγκατέλειψε την πατρίδα του γύρω στο 530 π.Χ. Εγκαταστάθηκε στον Κρότωνα της νότιας Ιταλίας, και γρήγορα απέκτησε μεγάλη φήμη και κύρος, αφού εντυπωσίασε τους Κροτωνιάτες με τη σοφία και τις ιδιαίτερες ψυχικές του δυνάμεις. Γύρω του συγκροτήθηκε μια κοινότητα πιστών οπαδών, ανδρών και γυναικών, από την αριστοκρατική νεολαία της περιοχής. Η κοινότητα των Πυθαγορείων ασπαζόταν τα φιλοσοφικά και θρησκευτικά δόγματα του ιδρυτή της, είχε όμως και ενεργή ανάμειξη στην πολιτική ζωή της νότιας Ιταλίας.
Η επικράτηση των Πυθαγορείων στον Κρότωνα πιθανόν να συνέβαλε στην κυρίαρχη θέση της πόλεως αυτής στην περιοχή. Όπως όμως ήταν φυσικό, μια προσωπικότητα χαρισματική σαν του Πυθαγόρα προκαλεί και έντονες εχθρότητες. Μετά από ταραχές που ξέσπασαν στον Κρότωνα, ο Πυθαγόρας αναγκάστηκε να μετοικήσει στο κοντινό Μεταπόντιο, όπου και πέθανε. Μετά τον θάνατό του οι Πυθαγόρειοι συνέχισαν τη δράση τους, ακόμη και στη μητροπολιτική Ελλάδα με τον Φιλόλαο στα τέλη του 5ου αιώνα. Στα χρόνια του Πλάτωνα, κέντρο της Πυθαγόρειας φιλοσοφίας είναι ο Τάραντας στην νότια Ιταλία, και κυρίαρχη μορφή ο μεγάλος μαθηματικός Αρχύτας.

Η ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΩΣ ΤΡΟΠΟΣ ΖΩΗΣ
Η φιλοσοφία στην αρχαία Ελλάδα ξεκίνησε ως θεωρία. Ο φιλόσοφος τοποθετείται απέναντι στον κόσμο, τον παρατηρεί και τον ερμηνεύει. Στο πρώτο στάδιο της ανάπτυξής της η φιλοσοφία δεν ενδιαφέρεται για την εσωτερική φύση του ανθρώπου ούτε για τις μορφές της κοινωνικότητάς του. Ο άνθρωπος, όταν αποτελεί αντικείμενο παρατήρησης, αντιμετωπίζεται ως βιολογικό ον, ως μέρος της φύσης, το οποίο διέπεται από την ίδια νομοτέλεια με τα άλλα φυσικά όντα.
Η συμβολή της φιλοσοφίας στην ανθρώπινη γαλήνη και ευτυχία είναι μόνο έμμεση: η βοήθειά της περιορίζεται στην εξοικείωση του ανθρώπου με το φυσικό του περιβάλλον, αφού η φύση είναι λιγότερο απειλητική όταν είναι έλλογη. Για τα πάθη όμως του ανθρώπου, για τις εσωτερικές του αντιφάσεις, για τις σχέσεις του με τους άλλους ανθρώπους, η ποίηση και η θρησκεία εξακολουθούν να έχουν πολύ μεγαλύτερη σημασία από τη φιλοσοφία. Κατά μία έννοια, η ανθρώπινη ψυχή δεν έχει ακόμη ανακαλυφθεί από τους φιλοσόφους.
Το νέο στοιχείο που φέρνει ο Πυθαγόρας στην Ελληνική σκέψη είναι η σύλληψη της φιλοσοφίας ως τρόπου ζωής. Η φιλοσοφική μύηση δεν είναι απλώς εισαγωγή σε ένα θεωρητικό σύστημα, είναι ολοκληρωτική ψυχική μεταστροφή, στράτευση σε έναν νέο τρόπο ζωής. Στη διδασκαλία του Πυθαγόρα η έμφαση δίνεται στο βιωματικό στοιχείο και όχι στο γνωστικό. Γι’ αυτό η φιλοσοφία δεν μπορεί να καλλιεργηθεί σε απομόνωση: απαιτεί την ένταξη σε μια ομάδα ομοϊδεατών και ὁμακόων (που ακούν τα ίδια διδάγματα), σε μια αδελφότητα με αυστηρή ιεραρχία και κοινοκτημοσύνη αγαθών, όπου δεσπόζει η μορφή του δασκάλου και μύστη.
Η κοινότητα των Πυθαγορείων είναι κλειστή: ο κανόνας της σιωπής προστατεύει τα κοινά δόγματα από τα βέβηλα αφτιά των αμύητων. Σιωπή επιβάλλεται και στα νέα μέλη της κοινότητας κατά την περίοδο της μαθητείας τους, που κρατά πέντε χρόνια, ωσότου αποκτήσουν το δικαίωμα της εισόδου στον ενδότερο κύκλο των μυημένων και το πλεονέκτημα της προσωπικής επαφής με τον Πυθαγόρα. Η συμπεριφορά ενός Πυθαγορείου καθορίζεται από ένα σύνολο προτρεπτικών και απαγορευτικών κανόνων, που καλύπτουν ποικίλες πλευρές της καθημερινής ζωής.
Πρόκειται για τα Πυθαγόρεια «ακούσματα», για προφορικές δηλαδή εντολές και αφορισμούς που αποστηθίζονταν από τα μέλη της κοινότητας και συνέβαλλαν στην ενιαία στάση τους. Τα περισσότερα «ακούσματα» καθορίζουν κανόνες αποχής: «Μην τρως κουκιά,» «Μη σηκώνεις ό,τι πέφτει από το τραπέζι,» «Μην τεμαχίζεις το ψωμί,» «Μην αγγίζεις άσπρο κόκορα.» Άλλα πάλι θυμίζουν λαϊκά γνωμικά: «Μη σκαλίζεις τη φωτιά με το μαχαίρι,» «Μη μαδάς το στεφάνι,» «Μην παραβιάζεις τη ζυγαριά.» Μια τρίτη τέλος κατηγορία δίνει επιγραμματικές απαντήσεις σε κρίσιμες ερωτήσεις: «Τι είναι το πιο σοφό; Ο αριθμός.» «Τι είναι το πιο δίκαιο; Το να θυσιάζεις.» «Τι είναι το πιο ωραίο; Η αρμονία.»
Τα «ακούσματα» ονομάζονταν και «σύμβολα», γιατί, όπως φαίνεται από τα παραδείγματα που παραθέσαμε, κατά κανόνα έχουν αλληγορική σημασία και δεν είναι εύκολο να διακρίνει κανείς τον πραγματικό σκοπό της επιβολής τους. Το σίγουρο πάντως είναι ότι η τήρηση αυτών των εντολών ενίσχυε την εσωτερική συνοχή των πυθαγόρειων κοινοτήτων. Ποιο μπορεί να ήταν το κίνητρο ενός νέου για να υιοθετήσει τον τρόπο ζωής των Πυθαγορείων; Το κίνητρο αυτό πρέπει να ήταν ισχυρό, γιατί μόνο έτσι εξηγείται η γρήγορη ανάπτυξη και η μακροβιότητα των Πυθαγόρειων κοινοτήτων.
Η ιστορική πείρα δείχνει ότι μόνο η θρησκευτική ανησυχία μπορεί να προκαλέσει τόσο άμεση και ολοκληρωτική μεταστροφή. Η διανοητική περιέργεια, αν δεν συνδυαστεί με κάποιας μορφής αποκαλυπτική γνώση που διασφαλίζει την ευτυχία ή τη σωτηρία του ατόμου, δεν μπορεί να λειτουργήσει ως συνεκτικός ιστός μιας κλειστής κοινότητας ομοϊδεατών. Η Πυθαγόρεια αδελφότητα έχει χαρακτηριστικά θρησκευτικής αίρεσης και τα μέλη της ακολουθούν καθορισμένους κανόνες λατρευτικής πρακτικής. Ο ίδιος ο Πυθαγόρας ενσαρκώνει για τους οπαδούς του τη μορφή ενός «Θείου Ανδρός».
Του αποδίδονται Θεϊκή καταγωγή (λέγεται ότι ήταν γιος του Υπερβορείου Απόλλωνα) και υπερφυσικές ικανότητες. Έλεγαν ότι ήταν σε θέση να εμφανίζεται σε πολλά μέρη ταυτοχρόνως, ότι προφήτευε το μέλλον, επικοινωνούσε με τα ζώα και έκανε θαύματα. Ο θρύλος της μυθιστορηματικής ζωής του Πυθαγόρα θα πρέπει να καλλιεργήθηκε από τον ίδιο και να συντηρήθηκε από τους επιγόνους του, προκειμένου να έχουν τα νέα μέλη των πυθαγόρειων ομίλων ένα πρακτικό πρότυπο μίμησης. Ο Πυθαγόρειος επιζητεί τη διαφοροποίησή του από τους συνηθισμένους ανθρώπους.
Είναι ηθικολόγος, υπερασπιστής των καθιερωμένων ηθικών αξιών, όπως ο σεβασμός της οικογένειας, η απαγόρευση της μοιχείας, η ευσέβεια και η πιστή τήρηση του τελετουργικού της θρησκείας – αλλά αυτό δεν αρκεί. Η διαφοροποίηση επιτυγχάνεται με τον ομαδικό τρόπο ζωής, που στηρίζεται στην προβολή της φιλίας, της αλληλεγγύης και της κοινοκτημοσύνης. Επιτυγχάνεται όμως κυρίως με την υιοθέτηση ενός ασκητικού ιδεώδους: η μύηση στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία είναι μια διαδικασία κάθαρσης, μια πορεία εξαγνισμού της ψυχής, απελευθέρωσης από τις ανάγκες και τις δεσμεύσεις του σώματος.
Αυτό μαρτυρούν οι απαγορεύσεις που επιβάλλονται στα μέλη της Πυθαγόρειας κοινότητας σχετικά με τη διατροφή, τις λατρευτικές πρακτικές και την καθημερινή συμπεριφορά τους. Παρά την ανομοιογένειά τους, οι απαγορεύσεις αυτές αναδεικνύουν τη διαφορετική μοίρα του σώματος και της ψυχής.

Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ

ΟΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΦΙΛΟΣΟΦΟΙ

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.Χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν σε ένα μεγάλο οίκημα, το Ομακοείον, όπου ο Πυθαγόρας δίδασκε τους -και των δυο φύλων- μαθητές του. Η διδασκαλία γινόταν με προφορικό τρόπο και οι προϋποθέσεις για την είσοδο των μαθητών ήταν αυστηρές. Ο μαθητής έπρεπε να υιοθετήσει έναν εντελώς διαφορετικό τρόπο ζωής, να ασκηθεί στην εγκράτεια, να τηρεί απόλυτη σιωπή για κάποια έτη, να απέχει από συγκεκριμένες τροφές και να κάνει καθαρμούς.
Οι γνώσεις μας για τους Πυθαγόρειους, όπως και για τον ίδιο τον Πυθαγόρα, αντλούνται αποκλειστικά από έργα μεταγενέστερων συγγραφέων, στους οποίους περιλαμβάνονται και οι λεγόμενοι «Νεοπυθαγόρειοι». Αναπόφευκτα λοιπόν, είναι αδύνατον να αποδειχθεί τι πραγματικά ανήκει στη σκέψη του ίδιου του Πυθαγόρα και τι στους μαθητές του.

Ιδεολογία
Οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν πολύ μεγάλη σημασία στα Μαθηματικά, πρεσβεύοντας ότι αυτά αποτελούν την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής. Βάσει της πεποίθησης του Πυθαγόρα πως «τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων», οι Πυθαγόρειοι απέδωσαν στην Αριθμητική μέγιστη σημασία, μελετώντας τις ιδιότητές της. Καθώς δε ο αριθμός είναι κάτι που δε γίνεται αντιληπτό μέσω της αίσθησης, αλλά μέσω της νόησης, οι Πυθαγόρειοι αναγκάστηκαν να παύσουν να θεωρούν την ουσία των όντων ως υλική και προσιτή στις αισθήσεις.
Αντιθέτως η ουσία γίνεται αντιληπτή, κατά τους Πυθαγόρειους, μόνο μέσω της αφηρημένης σκέψης. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως η ψυχή δε χάνεται με τον θάνατο, αλλά ακολουθεί μια συνεχή διαδικασία μετενσάρκωσης, σε κατώτερες ή ανώτερες μορφές ζωής κάθε φορά, έως ότου επιτευχθεί η τελική κάθαρση που οδηγεί τελικά στην αθανασία της. Γι’ αυτό, τόσο με τα διδάγματα όσο και με τις ασκήσεις πειθαρχίας, καλλιεργούσαν τη φιλοσοφία της οποίας σκοπός είναι να καθαρίσει και να απελευθερώσει τον συσκοτισμένο νου από τα δεσμά του.
Πίστευαν ότι μόνον ο νους μπορεί να φθάσει στη γνώση της Αλήθειας για τους Θεούς και τον κόσμο. Και ότι για να συμβεί αυτό χρειάζεται να τιθασευτούν οι ορμές του σώματος και η ταραχή που προκαλούν τα ερεθίσματα των αισθήσεων, ώστε να φθάσει κάποιος σε σταθερή ευδιαθεσία και εγκράτεια, απαλλαγμένος από πάθη κι ελαττώματα. Η μουσική, δηλαδή η μελέτη των αριθμητικών αναλογιών της μουσικής κλίμακας (αρμονία), και η αριθμητική ερμηνεία της φύσης, ήταν οι κύριοι τομείς του έργου των Πυθαγορείων.
Η διδασκαλία του Πυθαγόρα μπορεί να διακριθεί σε δύο είδη: Εκείνη με αντικείμενο την ηθική διαμόρφωση προς βελτίωση της ψυχής κι εκείνη με αντικείμενο την γεωμετρία και τα μαθηματικά προς μελέτη της περί ουρανίων σωμάτων επιστήμης.

Ηθική Φιλοσοφία
Πρώτα τίμα τους αθάνατους θεούς, όπως κατά τον νόμο διάκεινται και να σέβεσαι τους όρκους.
Έπειτα τους λαμπρούς ήρωες και τους χθόνιους δαίμονες να σέβεσαι πράττοντας τα νόμιμα.
Και τους γονείς σου να τιμάς, καθώς και τους πλησιέστερους συγγενείς σου.
Από τους άλλους δε, με κριτήριο την αρετή να κάνεις φίλο σου τον άριστο.
Τα μετρημένα λόγια του να ακολουθάς, καθώς και τις ωφέλιμες πράξεις του.
Να μην μισήσεις δε τον φίλο σου για ασήμαντη αιτία
εφόσον μπορείς, διότι η δύναμη κατοικεί κοντά στην ανάγκη.

— Χρυσά Έπη
Στη συνέχεια παρότρυνε και τα εξής: να μην καταστρέφει κανείς ήμερο φυτό που παράγει καρπούς, ούτε να βλάπτει ζώο που απ’ τη φύση του δεν είναι βλαβερό για τους ανθρώπους. Να διαφυλάσσει πιστά όχι μόνο τα χρήματα αλλά και τους λόγους που του εμπιστεύτηκαν. Να θεωρεί πως υπάρχουν τρεις κατηγορίες πραγμάτων που αξίζουν σπουδής και τα οποία πρέπει να επιζητεί και να χρησιμοποιεί. Και πρώτα υπάρχει η κατηγορία των ενδόξων και των καλών, έπειτα των πραγμάτων που είναι συμφέροντα στη ζωή και τελευταία η κατηγορία των ευχάριστων.
Ο Πυθαγόρας δεν παραδεχόταν την προσφιλή στο λαό μα απατηλή πρόσκαιρη απόλαυση, αλλά εκείνη που είναι διαρκής, σεμνή και απαλλαγμένη από κάθε δόλο. Έλεγε πως υπάρχουν δύο κατηγορίες ηδονών. Αυτή που ενδίδει στις απαιτήσεις της κοιλιάς και που παρομοίαζε λόγω της τρυφηλότητας της με τις ανθρωποκτόνες ωδές των Σειρήνων και η άλλη που αναφέρεται στα καλά και τα δίκαια των αναγκαίων του βίου και που είναι και στο παρόν ευχάριστη και στο μέλλον βέβαιη. Την δεύτερη παρομοίαζε με τις αρμονικές ωδές των Μουσών και μόνον αυτή παραδεχόταν.
Συνιστούσε να προσέχει κανείς ιδιαίτερα, δύο στιγμές της καθημερινής του ζωής. Όταν πήγαινε για ύπνο και όταν σηκωνόταν απ’ τον ύπνο. Έλεγε μάλιστα, ποτέ να μην κοιμηθεί κάποιος αν δεν επισκοπήσει την ζωή του κατά τη διάρκεια της ημέρας εξετάζοντας: τι παρέβηκα, τι έκανα σωστό και τι έπρεπε να κάνω και δεν το έκανα. Πριν σηκωθεί δε από τον ύπνο, να εξετάζει πόσα και ποια έργα θα πράξει εντός της ημέρας που ακολουθεί.
Προέτρεπε να λέει κάποιος την αλήθεια, γιατί μόνον αυτό θα τον κάνει να μοιάσει με τους θεούς. Πολλά από όσα δίδασκε τα έλεγε με τρόπο συμβολικό. Ο Πορφύριος αναφέρει μερικά από αυτά τα συμβολικά παραγγέλματα, μαζί με τις ερμηνείες που είτε ο ίδιος απέδιδε, είτε είχαν παραδοθεί μέχρι την εποχή του από άλλους:
  • Να μην υπερβαίνεις τον ζυγό (να μην πλεονεκτείς).
  • Να μην σκαλίζεις την φωτιά με μαχαίρι (να μην προκαλείς τον οργισμένο με λόγους οξείς).
  • Να μην μαδάς τον στέφανο (να μην κακομεταχειρίζεσαι τους νόμους, που είναι τα στέφανα της πόλεως).
  • Να μην τρως την καρδιά σου (να μην φθείρεις τον εαυτό σου με θλίψεις και στεναχώριες).
  • Να μην κάθεσαι πάνω σε “χοίνικα” (να μην ζεις σαν τεμπέλης).
  • Όταν αποδημείς να μην θέλεις να επιστρέψεις (να μην προσκολλάσαι στη ζωή όταν πεθαίνεις).
  • Να μην βαδίζεις στις λεωφόρους αλλά στα μονοπάτια (να μην ακολουθείς τις γνώμες των πολλών, αλλά τις γνώμες των λογίων και μορφωμένων).
  • Να μην δέχεσαι χελιδόνια στον οίκο σου (να μην κάνεις φίλους ανθρώπους φλύαρους και ακρατείς στην γλώσσα).
  • Σύνδραμε στο να σηκώσει κάποιος ένα φορτίο, μη συνδράμεις στο να το αποθέσει. (να μην παροτρύνεις κανέναν στην μαλθακότητα και την τεμπελιά, αλλά να συντελείς στην εργασία και την αρετή).
  • Κυάμων απέχου (να μην συμμετέχεις σε εκλογή με κυάμους -κουκιά- διότι στην δημοκρατία εκλέγονται λαοπλάνοι φαφλατάδες και όχι σοφοί άνθρωποι).
  • Τις εικόνες των Θεών, μην φοράς σε δακτυλίδια (την γνώμη και τους λόγους σου για τους Θεούς, μην τις κάνεις πρόχειρα και φανερά ούτε να τις προφέρεις μπροστά στους πολλούς).
Μεγάλη δε σημασία απέδιδε στην διατροφή με ελαφρές τροφές, όπως ο κρίθινος άρτος, τα λαχανικά, το μέλι, και οι φρέσκοι ή αποξηραμένοι καρποί. Έλεγε πως δεν πρέπει κανείς να τρώει το παράγον μαζί με το παραγόμενο (π.χ. κοτόπουλο και αυγό) και να αποφεύγει σχεδόν όλα γενικώς τα θαλασσινά. Δίδασκε την πλήρη αποχή από την κρεοφαγία με εξαίρεση το κρέας της ιεροθυσίας, δηλαδή κρέας από σφάγια που θυσιάστηκαν κι αυτό όχι από κάθε μέρος του ζώου αλλά να αποφεύγουν την μέση, τους όρχεις και τα αιδοία, τον μυελό, τα πόδια και το κεφάλι.
Σπάνια δε ο ίδιος θυσίαζε έμψυχα και συχνότερα προσέφερε κριθάλευρο, πλακούντες, στεφάνους ανθέων και θυμιάματα. Ο Πορφύριος καταγράφει την παραδοθείσα εκδοχή ότι κάποια φορά που ο Πυθαγόρας θυσίασε βόδι από ζυμάρι, ανακάλυψε ότι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου έχει την ίδια δύναμη με τις πλευρές που την περιέχουν. Αυτό έμελλε να γίνει γνωστό ως Πυθαγόρειο θεώρημα και να χρησιμεύσει μεταξύ των Πυθαγορείων ως σημαντικό εργαλείο μελέτης των αρρήτων μεγεθών (αριθμοί που δεν εκφράζονται ως λόγος ακεραίων, όπως η τετραγωνική ρίζα του 2).

Έργο
Οι Πυθαγόρειοι αντιλαμβάνονταν τους αριθμούς ως πλήθος ορισμένων αντικειμένων και τους απεικόνιζαν σε ψήφους. Με αυτό τον τρόπο παράστασης των αριθμών κατόρθωσαν να προβούν σε μια πρώτη βασική ταξινόμηση κατηγοριοποιώντας τους σε «άρτιους» και «περιττούς». Έτσι ένας άρτιος αριθμός απεικονιζόταν με μια σειρά ψήφων που μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα μέρη, ενώ το αντίθετο συνέβαινε με έναν περιττό. Μια άλλη θεωρία της αριθμητικής των Πυθαγορείων είναι αυτή των «παραστατικών αριθμών» όπου κάθε αριθμός (ως σύνολο ψήφων) μπορεί να απεικονίσει κάποιο γεωμετρικό σχήμα.
Παραδείγματος χάριν, ο αριθμός 25 παριστάνει ένα τετράγωνο, ο αριθμός 21 ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ο αριθμός 30 ένα ορθογώνιο. Η μελέτη των παραστατικών αριθμών οδήγησε τους Πυθαγορείους στην ανακάλυψη της μεθόδου για την εύρεση των «πυθαγορείων τριάδων». Τέλος, η ανακάλυψη της ασυμμετρίας είναι, σύμφωνα με τον έγκυρο σχολιαστή Πάππο από την Αλεξάνδρεια, επίτευγμα που επίσης ανήκει στους Πυθαγόρειους.

Μεταφυσική
Οι αριθμοί για τους Πυθαγόρειους είναι σύμβολα που εκφράζουν την ουσία των όντων και των φαινομένων. Έτσι, ο αριθμός 7 για παράδειγμα εκφράζει το νου, την υγεία και το φως, ο 4 την δικαιοσύνη, ο 3 το γάμο, ο 6 την εμψύχωση, ο 8 τον έρωτα και τη φιλία. Θεωρούσαν τους άρτιους αριθμούς ατελέστερους σε σχέση με τους περιττούς, εξαιτίας της άπειρης διαιρετότητας τους εν αντιθέσει με τους δεύτερους που εμφανίζουν μία απαρτισμένη ολότητα με αρχή, μέση και τέλος. Ο αριθμός 5 για παράδειγμα παρουσιάζει ολότητα διότι οι πρώτες δύο μονάδες παρουσιάζουν την αρχή, οι δύο τελευταίες το τέλος και η μεσαία μονάδα τη μεσότητα.

Μουσική
Πολύ μεγάλη σημασία έδινε ο Πυθαγόρας στη μουσική την οποία μάλιστα κατέτασσε μαζί με την αστρονομία και τα μαθηματικά – γεωμετρία στις τρεις βασικές επιστήμες για την κατανόηση όλων των υπολοίπων και εν τέλει, της ίδιας της ζωής και των νόμων της φύσεως. Στον Πυθαγόρα οφείλεται η θεωρία της αρμονίας των ουρανίων σφαιρών, το πεντάγραμμο, οι διαβαθμίσεις των τόνων, οι μουσικοί φθόγγοι και γενικά ό,τι έχει να κάνει με την μουσική και την εξέλιξή της, ακόμη και αυτό το όνομά της, αφού πρώτος ο Πυθαγόρας θεώρησε ότι δεν είναι τυχαία η αναφορά των αρχαίων ποιητών όπως του Ησιόδου, του Ομήρου και του Ορφέως στις εννέα Μούσες και τον μουσηγέτη προστάτη τους θεό Απόλλωνα.

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ
Φιλοσοφική σχολή, οι βασικές αρχές της οποίας ανάγονται στη διδασκαλία του Σάμιου φιλοσόφου Πυθαγόρα. Ιδρύθηκε από τον ίδιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας και διατηρήθηκε για περισσότερους από δέκα αιώνες, διανύοντας περιόδους εξαιρετικής ακμής, αλλά και κατάπτωσης. Μεταξύ των πρωτοπυθαγορείων αναφέρονται οι Κέρκωψ (τον οποίο ο Αριστοτέλης θεωρεί συγγραφέα των έργων τα οποία οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν στον Ορφέα), Πέτρων, Ίππασος, Έκφαντος, Βροντίνος, ο αστρονόμος Φιλόλαος (εισηγητής του μη γεωκεντρικού συστήματος), ο ιατρός Αλκμέων κ.ά.
Μερικοί από τους Πυθαγόρειους, μετά τη διάλυση της σχολής στον Κρότωνα, όπου βρισκόταν η έδρα της, έφυγαν για την κυρίως Ελλάδα. Στη Θήβα, με τον Φιλόλαο και τους μαθητές του, Σιμμία και Κέβη (συνομιλητές του Σωκράτη στον Πλατωνικό διάλογο Φαίδων), και με τον Λύση, η σχολή γνώρισε νέα ακμή, έως την εποχή του Πλάτωνα (που είχε αρκετά στενές και γόνιμες σχέσεις με τον Πυθαγορισμό), με τον οποίο σταματάει η ιστορία του πρώτου Πυθαγορισμού.
Η παράδοση, όμως, της σχολής συνεχίστηκε κατά τον 1ο αιώνα π.Χ. και έως τον 2ο αιώνα μ.Χ., οπότε παρουσιάστηκε αναγέννηση της σχολής με τους Νεοπυθαγόρειους, μεταξύ των οποίων αναφέρονται ο Νιγίδιος Φίγουλος, ο Μοδεράτος από τα Γάδειρα, ο Απολλώνιος ο Τυανεύς, ο Νικόμαχος εκ Γεράσων, ο Νουμίνιος, ο Φιλόστρατος κ.ά. 
Η πρώτη Πυθαγόρεια κοινότητα αναφέρεται ως θρησκευτική, πολιτική και επιστημονική οργάνωση, στην οποία εάν ήθελε να γίνει κάποιος δεκτός έπρεπε να περάσει από αυστηρή δοκιμασία. Ξεχωριστό ρόλο, επίσης, έπαιζε η σιωπή που επιβαλλόταν στους κατηχούμενους.
Οι μαθητές έπρεπε να κρατούν μυστική τη διδασκαλία και η κοινολόγηση των θεωριών της σχολής μπορούσε να τους κοστίσει τη ζωή, όπως λέγεται ότι συνέβη στον Ίππασο (στον οποίο η παράδοση αποδίδει την ανακάλυψη της έννοιας των ασύμμετρων μεγεθών), που κρίθηκε ένοχος για την αποκάλυψη ενός μαθηματικού μυστικού.
Στη σχολή, όπως αναφέρεται, επικρατούσε η κοινοκτημοσύνη των αγαθών, η αγαμία και σειρά εντολών που αποτελούσαν αληθινή κατήχηση στην πυθαγόρεια ζωή (αποχή από τα όσπρια, το κρέας, τα μάλλινα ενδύματα, συγκομιδή μόνο των καρπών εκείνων που έπεφταν στη γη, κατάρτιση κάθε πρωί του προγράμματος όλης της ημέρας και κάθε βράδυ έλεγχος συνείδησης κλπ.). Εκτός από τις εντολές αυτές, υπήρχε και μια σειρά ερωτημάτων, οι απαντήσεις στα οποία ήταν ειδικές αλήθειες που ονομάζονταν ακούσματα (για παράδειγμα «ποιο πράγμα είναι το σοφότερο;» – «ο αριθμός»).
Είναι παραδεκτό ότι μέσα στη σχολή υπήρχε διάκριση μεταξύ ακουσματικών και μαθηματικών, που φαίνεται διαφορετική από τη διάκριση εξωτερικών, ή κατηχούμενων, και εσωτερικών, ή μυημένων· πιθανότατα, η πρώτη μαρτυρεί τη διάκριση, την οποία πραγματοποιούσαν κάποια ορισμένη στιγμή μεταξύ των ανθρώπων της πίστης, που δεσμεύονταν για ό,τι υπήρχε θρησκευτικό, μυητικό στη σχολή, και των ανθρώπων της επιστήμης, που είχαν την τάση να βγουν από τη μυστικιστική σιωπή για να αποδείξουν λογικά τις γνώσεις τους.
Η βασική θεωρία της σχολής συνίστατο στη βεβαίωση ότι η ουσία των όντων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις, απ’ όπου και η σημασία μερικών αριθμών, κυρίως η τετρακτύς της δεκάδος (στην οποία συνήθιζαν να ορκίζονται), η παράσταση δηλαδή του αριθμού δέκα με σημεία σε πυραμιδική κατάταξη:
Το 1 είναι η νόηση, το 2 είναι η γνώμη, το 4 ή το 9 (τετράγωνα του πρώτου άρτιου και του πρώτου περιττού) η δικαιοσύνη, το 5 είναι ο γάμος (ένωση του πρώτου άρτιου με τον πρώτο περιττό), και ιδιαίτερα σημαντικό είναι το 10, η μυστική δεκάδα στην οποία ορκίζονταν οι Πυθαγόρειοι και στο οποίο περιλαμβάνονται ο πρώτος αρτιοπέριττος, η μονάδα, ο πρώτος άρτιος, ο πρώτος περιττός και το πρώτο τετράγωνο.
Η αντίθεση άρτιων και περιττών βρίσκεται στη βάση των σειρών των άλλων νέων βασικών αντιθέσεων (άπειρο – πεπερασμένο, πολλαπλάσιο – μονάδα, αρσενικό – θηλυκό κλπ.). Από τη σειρά αυτή των αντιθέσεων γεννιέται έπειτα η αρμονία εκείνη, η οποία είναι το χαρακτηριστικό όλου του κόσμου, αλλά που αποκαλύπτεται ιδιαίτερα στις μουσικές συγχορδίες. Αρμονία θεωρούσαν και την ψυχή, η οποία μέσα από μια σειρά καθάρσεων τείνει προς την ενατένιση της ουράνιας αρμονίας.
Με βάση τις αντιλήψεις αυτές της αρμονίας, οι Πυθαγόρειοι οικοδόμησαν τη χαρακτηριστική τους κοσμολογία που συνοψίζεται ως εξής: γύρω από το κεντρικό πυρ περιστρέφονται τα δέκα ουράνια σώματα, στο εξωτερικό του βρίσκεται η περιοχή των απλανών αστέρων, στη μέση η περιοχή των πέντε πλανητών, του Ήλιου και της Σελήνης και, πιο κάτω, η υποσελήνια περιοχή, βασίλειο του γίγνεσθαι και της ατέλειας.
Για συμπλήρωση της δεκαδικής σειράς οι πυθαγόρειοι εισήγαγαν την Αντιγή (Αντίχθων), που βρίσκεται ανάμεσα στη Γη και στο κεντρικό πυρ, με την οποία εξηγούσαν τις εκλείψεις, αφού ο Ήλιος και η Σελήνη αντανακλούν σαν καθρέφτες το κεντρικό πυρ.
Σημαντική θέση, τέλος, καταλαμβάνουν οι Πυθαγόρειοι στην ιστορία της αρχαίας ρητορικής: όπως η ιατρική θεραπεύει το σώμα, έτσι και η μουσική και η ρητορική θεραπεύουν, κατά την αντίληψή τους, την ψυχή. Και η τέχνη της ομιλίας είναι στην ουσία ψυχαγωγία, δηλαδή ανύψωση και οδηγός της ψυχής.

Ιστορικά Στοιχεία
Η Πυθαγόρεια Σχολή ιδρύθηκε, όπως προδίδει και το όνομα της, από τον Πυθαγόρα. Ο Πυθαγόρας, υιός του Μνήσαρχου, γεννήθηκε στη Σάμο το 570 π. Χ. Σε κοντινή απόσταση προς τα ανατολικά, στην παράκτια πόλη της Μιλήτου ζούσε ο διάσημος φιλόσοφος Θαλής, ο πρώτος από τους μεγαλύτερους Έλληνες στοχαστές που διαμόρφωσαν τον πνευματικό κόσμο για τα επόμενα 1.000 χρόνια. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι ο νεαρός Πυθαγόρας ίσως είχε έρθει σε επαφή με τη σχολή της Μιλήτου, στην οποία πρωτοστατούσε ο Θαλής, γεγονός του εμφύτευσε το πάθος για τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία.
Επί πολλά χρόνια περιπλανήθηκε σε χώρες κυρίως της Ανατολής και λέγεται πως έμενε για ένα διάστημα στην Αίγυπτο και την Ινδία, όπου μελέτησε τα τεκταινόμενα στον επιστημονικό τομέα. Έπειτα γυρίζοντας στην Σάμο, λόγω της τυρρανίας του Πολυκράτη, μεταναστεύει στο Ελληνικό λιμάνι του Κρότωνα, στη νότια Ιταλία, όπου και ιδρύει την περίφημη Πυθαγόρεια Σχολή κάποια στιγμή μετά το 530 π.Χ., η οποία απέβλεπε όχι μόνο σε επιστημονική έρευνα αλλά και σε πολιτικοθρησκευτικό σκοπό.
Οι λόγιοι του Κρότωνα υποδέχθηκαν τον Πυθαγόρα, σαν ένα δημόσιο ρήτορα, ο οποίος είχε μία αποστολή. Ο σκοπός του ήταν να μορφώσει το λαό του Κρότωνα και να αποτελέσει την αφορμή ή την αιτία να αλλάξει ο τρόπος ζωής των εύπορων πολιτών με ροπή από την πολυτέλεια στην νηφαλιότητα, κάτι το οποίο πέτυχε όπως προδίδει η φήμη του ως «Αρχιτέκτονα της Χρυσής Εποχής » στον Κρότωνα. Γίνεται κατανοητό ότι οι ομιλίες του Πυθαγόρα είχαν πολιτική και θρησκευτική χροιά , χωρίς να γίνεται καθαρός διαχωρισμός ανάμεσα στα δύο, «η πολιτική είναι θρησκεία και η θρησκεία πολιτική».
Γι’ αυτό κατηγορείται ο Πυθαγόρας ότι η σκοπιμότητα και η πιο σημαντική επίπτωση του στους πολίτες του Κρότωνα δεν ήταν η ανώτερη μόρφωση, όπως οι περισσότεροι έχουμε στο μυαλό μας! Βέβαια η μόρφωση για τον Πυθαγόρα ήταν εξέχουσας σημασίας, διότι θεωρούσε ότι διαρκεί για μία ζωή και ότι μπορούσε να καλλιεργεί την αιώνια φήμη. Συνδυάζοντας αυτό το στοιχείο με το θρησκευτικό δόγμα του περί μετεμψυχώσεων κατανοούμε την βαρύνουσα σημασία που είχε η μόρφωση για τον Πυθαγόρα, κάτι που αντικατοπτριζόταν στις ομιλίες του.
Χαρακτηριστικά αναφέρει ο W.K.C Gurthie :”Η ευφυΐα του Πυθαγόρα πρέπει να διέθετε τόσο λογική όσο και θρησκευτική ποιότητα, που σπάνια υπάρχουν στον ίδιο άνθρωπο”. Δεν προκαλεί έκπληξη ότι εκείνος και η σχολή του προσέλκυσαν δύο διαφορετικούς τύπους ανθρώπων, από τη μία ενθουσιώδεις για την προώθηση της μαθηματικής φιλοσοφίας και από την άλλη θρησκευόμενους, το ιδανικό των οποίων ο «Πυθαγόρειος τρόπος ζωής», η ζωή της θρησκευτικής σέκτας που μοιάζει πολύ με εκείνη των Ορφικών και δικαιολογεί τις πρακτικές της με ένα παρόμοιο σύστημα μυστικιστικών πεποιθήσεων».
Ο Ορφισμός πρέσβευε ότι μέσω της έκστασης μπορούσε να επιτευχθεί η πνευματική ενόραση στη θεϊκή καταγωγή και τη φύση της ψυχής. Η Πυθαγόρεια Σχολή αποτελούσε μία ακαδημία για τη μελέτη κυρίως της φιλοσοφίας και των μαθηματικών αν και επεκτάθηκε και σε άλλους τομείς, όπως η αστρονομία και η μουσική. Αποτελούνταν από μία ομάδα ανθρώπων, οι οποίοι είχαν δεχθεί κάποιες αρχές, έπρατταν συλλογικά και λειτουργούσαν υπό άκρα μυστικότητα, βασικό χαρακτηριστικό της σχολής.
Λέγεται ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας πίστευε ότι οι μυστικές και καλά οργανωμένες δυνάμεις μπορούσαν να έχουν σημαντικά αποτελέσματα, στοιχεία που δεν αναφέρεται μόνο στη μόρφωση αλλά σε όλα τα επίπεδα ( θρησκευτικό, πολιτικό ).

Η Δομή της Πυθαγόρειας Σχολής
Η δομή της σχολής δεν αποτελούνταν κατά τα γνωστά από μαθητές και δασκάλους αλλά από τρεις διαφορετικές βαθμίδες. Κατ’ αρχάς υπήρχαν οι υποψήφιοι, οι οποίοι περνούσαν από μία σειρά δοκιμασιών ώσπου να γίνουν δεκτοί στη σχολή, ενώ το επόμενο βήμα, με την αποδοχή τους στη σχολή, ήταν η ακρόαση των διδασκαλιών χωρίς να υπάρχει το δικαίωμα οπτικής επαφής με τον διδάσκαλο, οι λεγόμενοι ακουσματικοί ή ακροατές. Σε αντίθεση με τους ακουσματικούς υπήρχαν και οι εκλεκτοί, οι οποίοι είχαν το δικαίωμα να παρακολουθούν και να συζητούν με τον Πυθαγόρα, τους λεγόμενους Μαθηματικούς ή μαθητευόμενους.
Αυτά τα άτομα ασχολήθηκαν με τα θέματα της «μάθησης», δηλαδή της έρευνας, αναζητώντας περαιτέρω απαντήσεις προς την κατανόηση της αλήθειας. Σαφώς δεν πρέπει να παραλείψουμε ότι στον κύκλο των Πυθαγορείων αναδύεται και η λέξη «φιλόσοφος», δημιούργημα Ελληνικό, το οποίο θα παραμείνει περνώντας μέσα στους αιώνες και στους περισσότερους λαούς ως λέξη Ελληνική και συνήθως αμετάφραστη. Φαίνεται, κατά πολλούς, ότι υπήρχαν τέσσερα μέρη της Πυθαγόρειας διδασκαλίας, τα οποία αναφέρονται από τον Πλάτωνα στη «Πολιτεία» ως το δευτερεύων μέρος του προγράμματος σπουδών.
Αριθμητική, Γεωμετρία, Αρμονία (Μουσική) και Αστρονομία. Αυτό είναι το κλασσικό quadrivium , η βασική διδασκόμενη γνώση που κάθε μορφωμένο άτομο οφείλει να κατέχει. Κατά την διδασκαλία τους, η αρμονία είναι εκείνη που αποκαθιστά την ενότητα ανάμεσα στα αντιτιθέμενα μέρη και τα συγκροτεί σε κόσμο. Η αρμονία είναι θεία και συνίσταται από αριθμητικούς λόγους. Όποιος επιτυγχάνει να κατανοήσει πλήρως αυτή την αριθμητική αρμονία γίνεται ο ίδιος θείος και αθάνατος. Μουσική, αρμονία και αριθμοί είναι άρρηκτα ενωμένα στην διδασκαλία του Πυθαγόρα.
Ακρογωνιαίος λίθος της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων είναι ο αριθμός, αφού σύμφωνα με την κοσμολογία τους «τα πάντα είναι αριθμός». Στηρίζονταν στην υπόθεση ότι οι ακέραιοι αριθμοί είναι η αιτία των διαφόρων ποιοτήτων του ανθρώπου και της ύλης, ότι οι αριθμοί ρυθμίζουν το σύμπαν και ποιοτικά και ποσοτικά. Χαρακτηριστικά αναφέρει ο Αριστοτέλης ότι «ο αριθμός είναι η πρώτη αρχή, τον λαμβάνουν (οι Πυθαγόρειοι) ως ύλη των όντων όσο και ως αυτό που συνιστά τις ιδιότητες του και τις μόνιμες καταστάσεις του. Αυτή η εξύψωση των αριθμών οδήγησε στη βαθιά μελέτη τους.
Βέβαια εκτός από την προαγωγή της επιστήμης των μαθηματικών, η ενασχόληση με τους αριθμούς κατείχε θέση και στη θρησκεία του Πυθαγορισμού. Οι Πυθαγόρειοι, επειδή οι αριθμοί δεν ήταν η πιο κατάλληλη βάση για να στηριχθεί η φιλοσοφία τους στράφηκαν προς τον συμβολισμό, συγχέοντας με αυτόν τον τρόπο τους αριθμούς με πράγματα και έννοιες. Η ιδέα ήταν ότι όλα τα πράγματα μπορούν να αναλυθούν σε αριθμούς και να επικυρωθούν από αυτούς. Την αντίθεση του στην συγκεκριμένη πλευρά της Πυθαγόρειας πίστης εξέφρασε ο Αριστοτέλης ρωτώντας «Πως είναι δυνατόν οι ιδιότητες – λευκό, γλυκό, ζεστό- να είναι αριθμοί;»
Ενώ κάποιοι άλλοι, όπως παραδείγματος χάριν ο W.K.C Gurthie φαίνεται να υπερασπίζεται τους Πυθαγορείους λέγοντας «Κοιτάζοντας πίσω, φαίνεται λες και ο Αριστοτέλης ήταν εκείνος που οδήγησε την επιστήμη σε λάθος δρόμο. Σήμερα η επιστημονική περιγραφή όλων των πραγμάτων στον φυσικό κόσμο παίρνει την μορφή αριθμητικών εξισώσεων. Αυτό που αντιλαμβανόμαστε ως φυσικές ιδιότητες (χρώμα, θερμότητα, φως, ήχος) εξαφανίζονται και αντικαθίστανται από αριθμούς που εκπροσωπούν μήκη κύματος και μάζες.»

ΠΕΡΙ ΑΡΙΘΜΟΛΟΓΙΑΣ 
Πιο συγκεκριμένα, σύμφωνα με τον Burkert για τους Πυθαγορείους, η μονάδα αντιπροσωπεύει την ψυχή, την νοημοσύνη, το πνεύμα γιατί αυτό «δεν αλλάζει, είναι το ίδιο παντού, μία κυρίαρχη αρχή», το δύο υποδηλώνει την σκέψη, την άποψη, που ταλαντεύεται συνεχώς. Επειδή το «όλον» περιλαμβάνει τρία πράγματα «αρχή, μέση και τέλος» του έδωσαν τον αριθμό τρία , που είναι και ο αριθμός του σύμπαντος.
Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη στα «Μετά τα Φυσικά» η έννοια της Δικαιοσύνης ήταν συνδεδεμένη με τον αριθμό 4 και 9, τους τετράγωνους αριθμούς, που προκύπτουν από τον πρώτο άρτιο (2) και τον πρώτο περιττό (3) αριθμό, δίνοντας βαρύτητα στην έννοια της αμοιβαιότητας. Ο αριθμός 5 αναπαριστούσε το γάμο, με το σκεπτικό ότι ενώνει τον πρώτο άρτιο αριθμό, που ήταν θηλυκός, και τον πρώτο περιττό αριθμό, που ήταν αρσενικό. Ο αριθμός 7 αντιπροσωπεύει τον σωστό χρόνο επειδή ο Ήλιος λέγεται ότι καταλαμβάνει την έβδομη θέση μεταξύ των ουράνιων σφαιρών και ο αριθμός 10, όπως φανταζόμαστε και από την ιερότητα που προσέδιδαν οι Πυθαγόρειοι, αντιπροσωπεύει την τελειότητα.
Κάνοντας όμως αυτή την αναφορά στην σημασιολογία των αριθμών στην Πυθαγόρεια συλλογιστική οφείλουμε να τονίσουμε ότι αυτού του είδους οι εικασίες ανήκουν στην αριθμολογία, τη μελέτη του νοήματος των αριθμών και όχι στα μαθηματικά, την μελέτη των αριθμητικών και γεωμετρικών σχέσεων. Πριν αναλύσουμε την ενασχόληση με τους αριθμούς και την πρόοδο των Πυθαγορείων στα μαθηματικά δεν πρέπει να παραλείψουμε βέβαια την χρήση των αριθμών από τους Βαβυλωνίους και άλλους ανατολικούς λαούς, χρήση που περιοριζόταν στο να τακτοποιούν τα πράγματα αριθμητικά.
Ενώ είχαν φτάσει σε ένα υψηλό επίπεδο υπολογισμού, πολύ πριν από τους Έλληνες, τα αποτελέσματα εξυπηρετούσαν μόνο τρέχουσες ανάγκες. Κατά τον Ιάμβλιχο, ο Πυθαγόρας παρέμεινε για επτά έτη στη Βαβυλώνα κατά τη διάρκεια των οποίων διδάχθηκε από τους μάγους την θεωρία των αριθμών και έμαθε την «τελειότατη αναλογία» Α/Η=Ρ/Β όπου Η ο αρμονικός και Ρ ο αριθμητικός μέσος των Α και Β. Σημασία πολύ έχουν οι έρευνες των Πυθαγορείων επί των αναλογιών αριθμητικής, γεωμετρικής και αρμονικής, που προκύπτουν εάν θέσουμε τον λόγο (α-β)\(β-γ) και προκύπτουν οι ισοδύναμες σχέσεις:
  • β=(α+β)\2 αριθμητικός
  • β=α*γ γεωμετρικός
  • β=1\2*(1\α+1\γ) αρμονικός
Από την άλλη μεριά, οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τον αριθμό σαν σύμβολο, που έχει μέσα του νόημα και ξεπερνά το ρόλο του σαν όριο μίας απλής αρίθμησης και υπολογισμού. Και σε αυτή ακριβώς την διαφορετική φιλοσοφία περί των αριθμών έγκειται η θεμελίωση των μαθηματικών σαν επιστήμη. Μάλιστα λέγεται ότι η λέξη «μαθηματικά» πρωτοχρησιμοποιήθηκε από τους Πυθαγορείους και τον Πλάτωνα σύμφωνα με μαρτυρία του Εύδημου, μαθητή του Αριστοτέλη(300 – 350 π.Χ.) και συγγραφέα βιβλίου περί της ιστορίας των μαθηματικών, το οποίο χάθηκε.

ΠΕΡΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ 
Οι Πυθαγόρειοι θέλοντας να δώσουν πρωταρχική σημασία στην λειτουργία της όρασης αναπαριστούσαν τους αριθμούς ως πέτρες ή ψηφίδες και παρίσταναν έτσι γεωμετρικά σχήματα ενώ δεν χρησιμοποιούσαν συνεχή μεγέθη. Με αυτό τον τρόπο μπόρεσαν να προχωρήσουν στην αφαίρεση, κάτι στο οποίο υστερούσαν οι ανατολικοί λαοί. Διότι τα σχήματα ήταν τα πιο κατάλληλα για να δείξουν σχέσεις μεταξύ των αριθμών και η μόνη αίσθηση που μας επιτρέπει να αφαιρέσουμε ένα σχήμα ή ένα τύπο από ένα οποιοδήποτε αντικείμενο είναι η όραση.
Με τον όρο αφαίρεση, στη συλλογιστική, εννοούμε την τέχνη να διακρίνει κανείς μία ή περισσότερες κοινές ιδιότητες σε διαφορετικά πράγματα και να σχηματίζει έτσι μία γενική ιδέα γι’ αυτά. Έτσι λοιπόν ο οπτικός τύπος οδήγησε στην αφαίρεση και εξυπηρέτησε σημαντικά την μετάβαση από τον ειδικό στο γενικό και την ανάπτυξη των μαθηματικών σαν επιστήμη. Οι εικονικοί αυτοί αριθμοί ξεκινούν με τη μονάδα την αρχή, από την οποία προέρχονται με κάποιο ανεξήγητο τρόπο οι δύο αντιτιθέμενες αρχές του ορίου και του απείρου, του πεπερασμένου και του μη πεπερασμένου.
Όπως εξηγεί ο Αριστοτέλης, όταν η μονάδα προστεθεί σε έναν άρτιο αριθμό τον κάνει περιττό ενώ όταν προστεθεί σε έναν περιττό τον κάνει άρτιο. Κάτι τέτοιο δε θα συνέβαινε αν η μονάδα δεν εμπεριείχε και τις δύο μορφές. Η μονάδα είναι η αρχή, από την οποία προέρχονται όλα τα πράγματα, ενώ η ίδια δεν προέρχεται από τίποτα και είναι αδιαίρετη. Δεν είναι ένας αριθμός, αλλά είναι η αρχή των αριθμών. Χρησιμοποιώντας για μία ακόμη φορά τον Αριστοτέλη και πηγή το έργο «Μετά τα Φυσικά» μαθαίνουμε ότι οι Πυθαγόρειοι ταυτίζουν το άρτιο με το άπειρο και το περιττό με το πεπερασμένο.
Αυτό συμβαίνει διότι το περιττό αποτελεί σύνολο με αρχή μέση και τέλος ενώ ο άρτιος είναι διαιρετός επ’ άπειρον. Αυτή τη θέση του Πυθαγορισμού εκφράζει ο Ηeidel στις εικόνες για την καλύτερη κατανόηση της ταύτισης του περιττού με το πεπερασμένο και του άρτιου με το άπειρο. Επιλέγοντας δύο αριθμούς, εκ των οποίων ο ένας άρτιος (12) και ο άλλος περιττός (13) τους παριστάνει με τη γνωστή Πυθαγόρεια παράσταση με ψήφους. Παρατηρούμε πως στην πρώτη περίπτωση ο άρτιος αριθμός διαιρείται σε δύο μισά ενώ ο περιττός αριθμός δεν μπορεί να διαιρεθεί διότι «μία μονάδα βρίσκεται στη μέση».
Αυτή η παρατήρηση μπορεί να συγκριθεί και με εκείνη του Νικόμαχου: ως προς τον άρτιο αριθμό «μονάδος μέσον μη παρεμπιπτούσης» και ως προς τον περιττό «δια την προειρημένην της μονάδος μεσιτείαν», αν και ο ίδιος δεν κάνει κάποια περαιτέρω εξήγηση. Επίσης στο ίδιο κείμενο του Αριστοτέλη, παρατίθεται ο Πυθαγόρειος πίνακας των δέκα αντιθετικών αρχών . Σύμφωνα με τον Αριστοτέλη, μία πυθαγόρεια δοξασία ήταν ότι ο κόσμος στηριζόταν σε δέκα αρχές.
Αυτές τις αρχές τις συστοιχούσαν και τις εμφάνιζαν με τη μορφή εννοιολογικών διπόλων, ώστε τα μέρη των διπόλων, τα οποία άνηκαν στην ίδια συστοιχία, να αποτελούν μία απόλυτα συγγενική κλάση. Κατά τον Πυθαγόρα οι έννοιες αυτές ήταν πρωταρχικής σημασίας στην φιλοσοφία του, με σημαντικότερα ζεύγη τα πέρας – άπειρο και περιττό – άρτιο. Όταν επιβάλλεται ένα πέρας στο άπειρο και αόριστο, το αποτέλεσμα είναι η δημιουργία των αριθμών. Η μονάδα, όπως προείπαμε, περιλαμβάνει το πέρας και το άπειρο, το άρτιο και το περιττό.
Εφόσον το ένα δεν είναι ένας αριθμός παρά η πηγή των αριθμών, το πεπερασμένο και το άπειρο, που αυτό περιλαμβάνει, είναι οι έσχατες αρχές όλων των πραγμάτων. Η κοσμογονία των Πυθαγορείων είχε αριθμητικό χαρακτήρα. Σύμφωνα με αυτήν το σύμπαν δημιουργήθηκε από το ένα μετά από τη διαίρεση του, που πραγματοποιήθηκε από εισπνοή του απείρου. Το άπειρο εισβάλει στο αδιαφοροποίητο είναι, και το διασπά δημιουργώντας τη δυάδα. Ο κόσμος κυριολεκτικά δημιουργείται από το δίπολο «πέρας – άπειρο». Αρχικά υπήρχε το δίπολο.
Το είναι ήταν αδιαφοροποίητο, ενιαίο πεπερασμένο για τους Πυθαγορείους ταυτόσημο με τον αριθμό ένα. Το μη είναι ήταν ισχυρότατα συνδεδεμένο με το κενό. Το πεπερασμένο αδιαφοροποίητο όν περιορίζεται από το κενό που επεκτείνεται επ’ άπειρον. Αυτό το άπειρο εισβάλει στην αρχή της πυθαγόρειας κοσμογονίας και διασπά το πεπερασμένο είναι παρεμβαλλόμενο ανάμεσα στα δύο του κομμάτια. Δημιουργείται από τη μονάδα η δυάδα, από αυτήν η τριάδα κ.τ.λ. με τρόπο ώστε το πυθαγόρειο σύμπαν να αποτελεί ένα αντίγραφο αυτού που σήμερα θα λέγαμε σύνολο φυσικών αριθμών.
Για τους Πυθαγορείους ήταν «φυσιολογικό» να αναμένουν να υπακούει ο κόσμος που αποτελείται από διακριτές ψηφίδες σε σχέσεις, νόμους και αρμονίες εκφράσιμες με λόγους της μορφής a/b όπου α, b φυσικοί αριθμοί και b όχι μηδέν.
Ο πρώτος άρτιος αριθμός είναι το 2 (Διάς) ενώ ο πρώτος περιττός αριθμός το 3 (Σριάς). Το 4 είναι ο πρώτος τετράγωνος (τετραγωνικός) αριθμός, αφού σχηματίζοντας τον με ψηφίδες παίρνει την μορφή τετραγώνου. Το άθροισμα των παραπάνω αριθμών (1+2+3+4=10) έχει σαν αποτέλεσμα το δέκα, ο οποίος είναι για τους Πυθαγόρειους ιερός αριθμός. Παριστάνεται με ψηφίδες διατεταγμένες σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η επονομαζόμενη τετράκτυς.
Η τετράκτυς λέγεται ότι ονομάστηκε έτσι διότι στο τρίγωνο κάθε πλευρά έχει 4 ψηφίδες. Η τετράκτυς και ο αριθμός δέκα ήταν για τους Πυθαγορείους ιερές οντότητες. Ο Πυθαγόρειος όρκος με τον οποίο δεσμεύονταν τα μέλη της σχολής ήταν: «Μα τον Πυθαγόρα, που παρέδωσε στην γενεά μας την τετράκτυν, που περιέχει την ρίζα της αέναης φύσης, δεν θα προδώσω».Η τετράκτυς αποτελούσε και ένα από τα δύο σύμβολα που χαρακτήριζε τους Πυθαγόρειους.

ΠΕΡΙ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΩΝ ΠΟΛΥΕΔΡΩΝ 
Στον κατάλογο του ο Πρόκλος αποδίδει στον Πυθαγόρα την κατασκευή των κανονικών πολυέδρων. Ένα όμως σχόλιο του Ευκλείδη αναφέρει, ότι οι Πυθαγόρειοι γνώριζαν μόνο τρία κανονικά πολύεδρα (όπως και κατά τον Πάππο στη Συναγωγή) τον κύβο, το τετράεδρο και το δωδεκάεδρο και ότι εκείνος που ανακάλυψε πρώτος τα δύο άλλα ήταν ο Θεαίτητος. Οι έδρες του δωδεκαέδρου είναι κανονικά πεντάγωνα. Οι διαγώνιοι ενός τέτοιου πενταγώνου σχηματίζουν ένα αστεροειδές ως διακριτικό γνώρισμα των Πυθαγορείων, το δεύτερο χαρακτηριστικό σύμβολο τους.
Το είχαν θεσπίσει ως συνθηματικό σημείο αμοιβαίας αναγνώρισης, το αστεροειδές πεντάγωνον, το άλλως λεγόμενο και πεντάλφα ή πεντάγραμμο. Στον Σιμαίο του Πλάτωνα τα 5 κανονικά στέρεα αναφέρονται «κοσμικά στερεά» και από αυτά αποτελούνται όλα τα στοιχεία. Η αντιστοιχία ήταν η εξής: Έχοντας ως έναυσμα της ονομαστικής και όχι εννοιολογικής συνωνυμίας της λέξης «πεντάγραμμο», θα αναφερθούμε σε αυτό το σημείο στη μουσική και την αρμονία, που κατείχαν κεντρική θέση στη διδασκαλία του Πυθαγόρα.

ΠΕΡΙ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ
Καταρχάς ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που έθεσε τις βάσεις στην επιστήμη της Μουσικής με μία επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε την σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος (διάστημα) που δίνουν, χρησιμοποιώντας αρχικά ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος το «Μονόχορδον». Το πλεονέκτημα του Πυθαγόρειου υπολογισμού των διαστημάτων είναι το ότι αποτελεί έναν τρόπο που να στηρίζεται σε αριθμητικές πράξεις και όχι στην εμπειρία, που βασιζόταν η μέθοδος και οι προτάσεις του Αριστόξενου του Σαραντινού (νεότερος του Πυθαγόρα περί το 375 π.Χ. ) .
Οι βασικοί φθόγγοι της τότε γνωστής μουσικής κλίμακας συνδεόταν με την τετράκτυν και οι λόγοι των συχνοτήτων που δόθηκαν για τους συγκεκριμένους αυτούς φθόγγους ήταν λόγοι μεταξύ των αριθμών 1, 2, 3, 4. Οι λόγοι, που βρέθηκαν, υπήρξαν αποτέλεσμα εμπειρικών παρατηρήσεων πάνω σε μήκη παλλόμενων χορδών ή πάνω στα βάρη συγκεκριμένων συμπαγών μεταλλικών αντικειμένων που χρησιμοποιούνταν για σφυριά από τους μεταλλουργούς της αρχαιότητας, σύμφωνα με την παράδοση. Μέχρι τον 16ο αιώνα ο Πυθαγόρειος υπολογισμός των διαστημάτων υπήρξε ο πυρήνας της τεχνικής χορδίσματος των οργάνων.
Μία Πυθαγόρεια ιδέα, που σχετίζεται με τη μουσική, είναι γνωστή ως η «Αρμονία των Σφαιρών» ή εναλλακτικά η «Μουσική των Σφαιρών». Αυτή η θεωρία διασώζεται από τον Αριστοτέλη στο έργο του «Περί Ουρανού» και αναφέρεται στο σύνολο των ήχων, που παράγονται από την περιστροφή των πλανητών αλλά δεν γίνονται αντιληπτοί από τους ανθρώπους διότι συνεχίζονται αδιάκοπα και αδιατάραχτα. Επίσης το σύνολο των ήχων μεταβάλλεται ανάλογα με την απόσταση των πλανητών από τη γη και την ταχύτητα της κίνησης τους.
Η απόσταση ανάμεσα στα αστρικά σώματα ήταν πολύ σημαντική, επειδή το καθένα ήταν τοποθετημένο σε συμφωνία με μία αριθμητική αναλογία που αντιστοιχούσε επακριβώς στα ποσοστά της μουσικής κλίμακας. Έτσι οι ήχοι, που κάνουν τα αστέρια ταιριάζουν μεταξύ τους, δηλαδή καταλήγουν σε αρμονία.

ΠΕΡΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ 
Έχοντας παρατηρήσει την σημασία της τάξης και της αρμονίας για τους Πυθαγορείους είναι πολύ σημαντικό να αναφέρουμε ότι πρώτος ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε τη λέξη «κόσμος», αναφερόμενος στο σύμπαν, δηλαδή τάξη και αρμονία, αφού πίστευε πως το σύμπαν προήλθε από το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία. Ο Πυθαγόρας βέβαια δεν παρέμεινε μόνο στη μουσική και κοσμική αρμονία αλλά ασχολήθηκε και με θέματα αστρονομίας.
Πιθανολογείται πως ήταν ο πρώτος που θεώρησε ότι η γη είναι στρογγυλή και ακόμα ότι περιφέρεται γύρω από το «κεντρικό πυρ». Στη συνέχεια οι Πυθαγόρειοι ανέπτυξαν αυτή τη θεωρία λέγοντας πως γύρω από το κεντρικό πυρ δεν περιστρεφόταν μόνο η γη αλλά και άλλες σφαίρες, μία με όλους τους απλανείς αστέρες, μία με τον Ήλιο και τη σελήνη και μία με τους γνωστούς πλανήτες (Άρης, Ζεύς, Κρόνος, Ερμής, Αφροδίτη). Για να συμπληρωθεί ο ιερός αριθμός 10 παραδέχτηκαν ότι υπάρχει και ένα ακόμη ουράνιο σώμα με κυκλική κίνηση γύρω από το κοινό κέντρο, η «Αντίχθων».
Δικαιολόγησαν το γεγονός ότι το δέκατο ουράνιο σώμα δεν ήταν ορατό από τη Γη, διότι κατά την περιστροφή του βρισκόταν πάντα ακριβώς απέναντι από τη γη και έτσι βρισκόταν πάντα το κεντρικό πυρ ανάμεσα τους. Μετά την ανάλυση των επιτευγμάτων των Πυθαγορείων σε μουσική και αστρονομία επιστρέφουμε στο θεμελιώδες δόγμα της Πυθαγόρειας Σχολής, την τετράκτυ. Εξετάζοντας, με τη μέθοδο της αναπαράστασης των αριθμών με ψηφίδες, από την αρχή τους αριθμούς εξάγουμε σημαντικά συμπεράσματα για την τελειότητα της τετράκτυς.

ΤΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ο αριθμός 1 είναι γεωμετρικό σημείο, όπου γεωμετρικό σημείο ορίζεται ως «μονάδα εχούσης θέσιν» από τον Πυθαγόρα. Αν το συνδέσω με ένα ακόμη σημείο, η ένωση τους θα δημιουργούσε μία γραμμή. Αν προσθέσουμε ένα τρίτο σημείο και το συνδέαμε με τα άλλα δύο θα είχαμε ένα τρίγωνο, το πρώτο επίπεδο σχήμα. Και η σύνδεση ενός ακόμα, τέταρτου, σημείου με τα προηγούμενα μας δίνει την πρώτη στέρεα μορφή, την πυραμίδα.
Με αυτό τον τρόπο συγχέονται τα αριθμητικά μεγέθη με τα γεωμετρικά δομημένα πράγματα και έτσι δεν είναι παράξενο πως η πορεία από την μονάδα στο 4 δεν σημαίνει απλά πως η μονάδα έδωσε τους τρεις αριθμούς αλλά τις τρεις επόμενες διαστάσεις. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι αν εξισώσουμε αριθμούς με γεωμετρικά σημεία και μετά δημιουργήσουμε κάθε σχήμα συνδέοντας τα μπορεί να φτάσουμε στο συμπέρασμα ότι τα πράγματα που θα προκύψουν από μία τέτοια δομή ουσιαστικά αποτελούνται από αριθμούς και προκαλούνται από αυτούς, προσεγγίζοντας έτσι την Πυθαγόρεια φιλοσοφία περί αριθμών.
Σε αυτό το σημείο πρέπει να αναλύσουμε μια θεμελιώδη πρόταση, που έχει αναφερθεί προηγουμένως και έχει αποδοθεί στον Πυθαγόρα. Η πρόταση αυτή αναφέρεται στον διαχωρισμό των αριθμών μόνο σε άρτιους και περιττούς. Θέλοντας να αναπαραστήσουμε με την μέθοδο των Πυθαγορείων τους άρτιους και περιττούς αριθμούς, θα χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα του W.R.Knorr, ο οποίος καταφεύγει στην πιο απλή πυθαγόρεια αναπαράσταση των αριθμών, τοποθετεί τις ψηφίδες πάνω στην ίδια ευθεία.
Άρτιοι αριθμοί είναι εκείνοι που χωρίζονται σε δύο ίσα μέρη και το μέσον δεν περιέχει ψηφίδα. Ενώ περιττοί είναι εκείνοι που στο μέσον τους υπάρχει ψηφίδα, χωρίζοντας τους σε δύο ίσα μέρη. Με αυτό τον απλό τρόπο αναπαράστασης των αριθμών, οι Πυθαγόρειοι ήταν σε θέση να βγάλουν αρκετά συμπεράσματα, τα οποία συγκεντρώθηκαν μετέπειτα από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Οι πυθαγόρειοι ορισμοί, που αναφέρονται από τον Νικόμαχο, δεν διαφέρουν πολύ από εκείνους που αναφέρονται από τον Ευκλείδη στο Βιβλίο 7 των Στοιχείων και είναι οι εξής:
  • Άρτιος αριθμός είναι ο αριθμός, ο οποίος διαιρείται σε δύο ίσα μέρη και μπορεί να διαιρεθεί σε δύο άνισα μέρη, εκτός βέβαια από την θεμελιώδη δυάδα, η οποία διαιρείται μόνο σε 2 ίσα μέρη.
  • Περιττός αριθμός είναι ο αριθμός, ο οποίος διαιρείται μόνο σε δύο άνισα μέρη, τα οποία είναι πάντα διαφορετικού είδους, το ένα άρτιο και το άλλο περιττό, και διαφέρει από άρτιο αριθμό κατά μία μονάδα. Σε αντίθεση με τους άρτιους αριθμούς, των οποίων τα μέρη πρέπει να είναι πάντα του ίδιου είδους.
Ξεκινώντας λοιπόν με το συλλογισμό, ότι όλοι οι αριθμοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί, θα προσπαθήσουμε να προσεγγίσουμε το πρόβλημα του απείρου, που αντιμετώπιζαν οι Πυθαγόρειοι. Υπενθυμίζουμε ότι το άρτιο εξισώνεται με το άπειρο και το πέρας με το περιττό και επομένως οι αρχές άρτιο – περιττό δεν έχουν τη σημασία που φανταζόμαστε σήμερα. Επειδή η σειρά των αριθμών είναι ατελείωτη, δεν θα μπορούσε κανείς να εκτελεί διαδοχικές διαιρέσεις με το 2 και να σημειώνει αν το υπόλοιπο είναι 0 ή 1, άρα δεν αποδεικνύεται και η πρόταση ότι όλοι οι αριθμοί είναι είτε άρτιοι είτε περιττοί.
Αυτός ο απεριόριστος αριθμός πράξεων δεν αποτέλεσε εμπόδιο για τους Πυθαγορείους αλλά τους οδήγησε σε άλλα μαθηματικά μονοπάτια. Βρήκαν τρόπο να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα του απείρου χρησιμοποιώντας το γνώμονα. Ο γνώμονας είναι μία ράβδος τοποθετημένη κατακόρυφα σε υπαίθριο μέρος, έτσι ώστε το μήκος της σκιάς της κάθε φορά να δείχνει την ώρα της ημέρας. Αργότερα ο όρος χρησιμοποιείται και ως ονομασία ενός μηχανικού εργαλείου, κατάλληλου για την χάραξη ορθών γωνιών.
Μετά από αυτή τη χρήση, ως φυσικό επακόλουθο του σχήματος του, έφτασε να σημαίνει το σχήμα που απομένει εάν από ένα τετράγωνο αφαιρεθεί από τη μία του γωνία ένα άλλο μικρότερο (ή το σχήμα που αν προστεθεί σε ένα τετράγωνο αυξάνει το μέγεθος του χωρίς να αλλάζει το σχήμα του). Με τη χρήση λοιπόν του γνώμονα οι Πυθαγόρειοι περιόρισαν το άπειρο βαθμηδόν. Ο περιορισμός όμως αυτός νοείται με ένα ειδικό σχήμα που αντιπροσωπεύει το περιττό.
Η έννοια του περιττού ήταν συνδεδεμένη με την έννοια του πέρατος διότι η διαδικασία προσθήκης συνεχόμενων περιττών αριθμών στις πλευρές επάλληλων γνωμόνων οδηγεί πάντα στο ίδιο σχήμα, δηλαδή σε τετράγωνο. Ο λόγος των πλευρών είναι πάντα ίσος με τον αριθμό 1. Για παράδειγμα έστω γνώμονας α=9. Ξεκινούσαν με τον αριθμό 1, τον οποίο παρίσταναν με μία ψηφίδα. Τοποθετούσαν εν συνεχεία έναν γνώμονα που αναγκαστικά κάλυπτε δύο πλευρές του χώρου ολόγυρα από τις ψηφίδες.
Μετά τοποθετούσαν 3 ψηφίδες, μία σε κάθε πλευρά του γνώμονα και μία στην κορυφή του και ακολουθούσε νέος γνώμονας, τις πλευρές του οποίου κάλυπταν με πέντε ψηφίδες, μία από τις οποίες τοποθετούνταν σε ένα νέο γνώμονα και ο αριθμός 7 παριστάνονταν με επτά ψηφίδες, τοποθετημένες ανά 3 στις δύο πλευρές του γνώμονα και μία στην κορυφή. Συνέχιζαν τοποθετώντας μία ακόμη φορά τον γνώμονα για να σχηματίσουν τον αριθμό 9, που είναι και το ζητούμενο.
1+3+5+7+9=5²
Γενικεύοντας λοιπόν έχουμε 1+3+5+7+….+(2ν-1)=ν², όπου (2ν-1) ο γνώμονας και ν η πλευρά του τετραγώνου.
Αντιθέτως όταν συνεχόμενοι άρτιοι αριθμοί, ξεκινώντας από τον αριθμό 2 τοποθετούνται στις πλευρές επάλληλων γνωμόνων, έχουμε ως αποτέλεσμα ένα σχήμα, το οποίο δεν παραμένει σταθερό όπως συμβαίνει με το σχήμα των περιττών σχηματικών αριθμών. Το σχήμα αλλάζει μια και κάθε φορά η αναλογία του μήκους και του ύψους του μεταβάλλεται. Αυτή η μεταβολή είναι αναγκαστικά μη φραγμένη με την έννοια πως δεν υπάρχει άρτιος αριθμός Ν μετά τον οποίο να σταθεροποιείται ο λόγος των πλευρών του προκύπτοντος ορθογωνίου παραλληλογράμμου.
Σε αυτό το σημείο πρέπει να τονίσουμε ότι ο λόγος των πλευρών του σχήματος που προκύπτει, υπολογίζεται ως ο λόγος των αριθμών των ψηφίδων που βρίσκονται στις αντίστοιχες πλευρές αφού εξαιρεθεί η ψηφίδα που έχει τοποθετηθεί στην κορυφή του αντίστοιχου γνώμονα. Γι’ αυτό άλλωστε συμπεριλαμβάνεται στον πίνακα των αντιθέτων το ζεύγος τετράγωνο – ετερομήκες. Το ετερομήκες αναφέρεται σε μια ορθή γωνία, στην οποία η μία πλευρά υπερέχει από την άλλη κατά μία μονάδα.

ΠΕΡΙ ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΡΙΘΜΩΝ
  • Τέλειος θεωρείται ένας αριθμός που ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του εκτός από τον ίδιο.
  • Φίλιοι ονομάζονται δύο αριθμοί, όταν ο καθένας τους είναι το άθροισμα των διαιρετών του άλλου εκτός από τον ίδιο των αριθμό.
  • Ισοϋπόλοιποι ονομάζονται δύο αριθμοί ως προς τον μ όταν εμφανίζουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενοι δια του μ.
  • Ελλιπής ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου το άθροισμα των παραγόντων του είναι μικρότερο του αριθμού.
  • Υπερτελής ονομάζεται ένας αριθμός, του οποίου το άθροισμα τωνπαραγόντων του είναι μεγαλύτερο του αριθμού.
  • Αρτιάκις άρτιος ονομάζεται ο αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη και καθένα από τα μέρη αυτά είναι διαιρετό σε δύο ίσα μέρη και πάλι σε δύο ίσα μέρη μέχρι η διαίρεση των διαδοχικών υποδιαιρέσεων να φτάσει την αδιαίρετη μονάδα.
  • Περιττάκις περιττός ονομάζεται κάθε περιττός αριθμός που δεν είναι πρώτος.
  • Αρτιοπέριττος ονομάζεται ένας αριθμός που είναι άρτιος αλλά βρίσκεται σε αντιδιαστολή με τον αρτιάκις άρτιο γιατί επιδέχεται όπως και κάθε άρτιος την διαίρεση σε δύο ίσα μέρη αλλά τα δύο αυτά μισά δεν διαιρούνται σε δύο ίσα μέρη. Είναι δηλαδή οι αριθμοί της μορφής 2*(2ν+1).
  • Περισσάρτιος ονομάζεται ένας αριθμός που μπορεί να διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη, τα οποία επίσης μπορούν να διαιρεθούν σε δύο ίσα μέρη και αυτή η διαδικασία να συνεχίζεται μέχρι ένα σημείο πριν μπορέσουμε και φτάσουμε στην μονάδα.
  • Πρώτος και ασύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός όταν είναι περιττός και δεν δέχεται άλλη διαίρεση εκτός από τον εαυτό του και την μονάδα .Ή σύμφωνα με τον Ευκλείδη49 πρώτος είναι ένας αριθμός ο οποίος μπορεί να μετρηθεί μόνο από τη μονάδα.
  • Δεύτερος και σύνθετος ονομάζεται ένας αριθμός όταν δεν είναι πρώτος ή εναλλακτικά όταν μπορεί να μετρηθεί από κάποιον αριθμό εκτός της μονάδας.
  • Πρώτοι προς αλλήλους ονομάζονται δύο αριθμοί όταν και οι δύο είναι δεύτεροι και σύνθετοι αλλά μεταξύ τους δεν έχουν κανένα κοινό μέτρο.
ΠΕΡΙ ΤΟΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΕΝΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
Ο Ευτόκιος, στα σχόλιά του στα Κωνικά του Απολλώνιου, λέει ότι «οι αρχαίοι θεωρούσαν τις δύο ορθές γωνίες (τριγώνου) σε έκαστο είδος τριγώνου, πρώτα στο ισόπλευρο, κατόπιν στο ισοσκελές και τέλος στο σκαληνό. Οι μεταγενέστεροι ήταν που απέδειξαν το εξής καθολικότερο θεώρημα: το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με δύο ορθές». Ο Ευτόκιος βέβαια γράφει στις αρχές του έκτου αιώνα μ.Χ. Ίσως όμως να αντλεί πληροφορίες από αρχαιότερες πηγές.
Είναι όμως σημαντική η μαρτυρία του ότι η καθολική απόδειξη του θεωρήματος που βρίσκουμε στον Ευκλείδη δεν είναι η αρχική και ότι η αρχική απόδειξη προσέγγιζε το θεώρημα κατά περίπτωση. Ο Ευτόκιος δεν αναφέρει τους Πυθαγόρειους αλλά θα μπορούσαν οι ”αρχαίοι” στους οποίους αναφέρεται να ήταν οι πρώιμοι Πυθαγόρειοι. Πάντως το θεώρημα κάλλιστα θα μπορούσε να τους ήταν γνωστό γιατί αποδεικνύεται εύκολα με στοιχειώδη τρόπο. Παραθέτουμε σε αυτό το σημείο έναν τρόπο απόδειξής του:
Έστω τυχόν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και μία διαγώνιός του που το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα (μπορούμε εύκολα να δείξουμε την ισότητα μετρώντας ψήφους ή με την μέθοδο της εφαρμογής). Επειδή το άθροισμα των γωνιών του ορθογωνίου είναι τέσσερις ορθές γωνίες, το άθροισμα των γωνιών κάθε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές. Για σκαληνό τρίγωνο, μπορούμε να φέρουμε το ύψος του, χωρίζοντάς το έτσι σε δύο ορθογώνια τρίγωνα με άθροισμα γωνιών δύο ορθές το καθένα. Αφαιρώντας τις δύο ορθές γωνίες βγαίνει ότι το άθροισμα των γωνιών του σκαληνού τριγώνου είναι ίσο με δύο ορθές γωνίες.

ΤΟ ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ
Η παράγωγη των πρώτων αριθμών έγινε από τον νέο – Πυθαγόρειο Ερατοσθένη (276 – 194 π.Χ.) με τη μέθοδο του κόσκινου, το επονομαζόμενο «Κόσκινο του Ερατοσθένη». Ο ίδιος ο Ερατοσθένης ονόμασε τη μέθοδο του έτσι διότι μέσω αυτής παίρνουμε τους περιττούς αριθμούς χωρίς διακρίσεις όλους μαζί και από αυτούς με τη μέθοδο παραγωγής ξεχωρίζουμε όπως με ένα κόσκινο, τους πρώτους και ασύνθετους και τους δεύτερους και σύνθετους. Η μέθοδος του κόσκινου είναι η εξής: Εκθέτουμε όλους τους περιττούς αριθμούς, ξεκινώντας από το 3, σε μία όσο το δυνατόν μακρύτερη σειρά.
Μετά αρχίζοντας από τον πρώτο, τον αριθμό τρία, σημειώνουμε ανά τρείς τους αριθμούς παρατηρώντας ότι το τρία μπορεί να διαιρέσει κάθε αριθμό παραλείποντας δύο ενδιάμεσους. Αν θέλουμε να έχουμε και μία εικόνα για τους παράγοντες κάθε αριθμού μπορούμε να σημειώνουμε δίπλα σε κάθε αριθμό τον εκάστοτε διαιρέτη που εντοπίζουμε. Στη συνέχεια συνεχίζουμε με τον δεύτερο αριθμό, το πέντε και σημειώνουμε ανά πέντε αυτή τη φορά τους αριθμούς παρατηρώντας ότι το πέντε είναι παράγοντας των αριθμών που προκύπτουν αν μετρήσουμε αφήνοντας τέσσερις θέσεις κενές.
Ανάλογα συνεχίζουμε χωρίς διακοπή έτσι ώστε οι αριθμοί να διαδέχονται ο ένας τον άλλο ως διαιρέτες σύμφωνα με την θέση τους στη σειρά. Αν σημειώσουμε τώρα τους αριθμούς με κατάλληλα σημάδια, όπως στον πίνακα, θα βρούμε ότι κανένας από τους όρους που μεταλαμβάνει τη θέση του διαιρέτη δεν διαιρεί πάντα τους ίδιους αριθμούς, ούτε όλοι οι αριθμοί θα δεχθούν έναν διαιρέτη, αλλά μερικοί διαφεύγουν να μετρηθούν από οποιονδήποτε αριθμό, κάποιοι διαιρούνται από έναν μοναδικό και κάποιοι από δύο ή περισσότερους.
Αυτοί που δεν μετρούνται από κανέναν αριθμό είναι οι πρώτοι και ασύνθετοι και ξεχωρίζουν σαν να κοσκινίστηκαν με κόσκινο. Παρατηρούμε ότι, με βάση αυτής της εκδοχής του κόσκινου του Ερατοσθένη, στον πίνακα μας δεν παρουσιάζονται μόνο ποιοι είναι πρώτοι και ποιοι σύνθετοι αριθμοί αλλά και ποιοι είναι πρώτοι διαιρέτες κάθε σύνθετου αριθμού και με ποιο πηλίκο. Έτσι μπορούμε να δούμε αν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους ή όχι.

Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΚΕΨΗ
Η πυθαγόρεια σκέψη δομήθηκε μέσα από ένα κράμα θρησκευτικής πίστης και φιλοσοφίας. Κατά γενική ομολογία των μεταγενέστερων το πνεύμα του Ορφισμού διαπερνούσε την Πυθαγόρεια φιλοσοφία. Ή, για να το πούμε με άλλα λόγια, η φιλοσοφία του Πυθαγόρα υπήρξε η φιλοσοφική πραγμάτωση της Ορφικής πίστης.
Το βασικότερο δόγμα του Πυθαγόρα ήταν η πίστη στην αθανασία της ψυχής,η οποία αναπτύσσεται διαρκώς και αλλάζει σώματα προκειμένου να λυτρωθεί τελικά από τη θνητή ζωή και καθαρή να λάβει τη θέση της μεταξύ των αθανάτων όντων. Δηλαδή, ήταν αποδεκτή η θεωρία της μετενσάρκωσης της ψυχής, η οποία μέσα από έναν κύκλο γεννήσεων απελευ­θερώνεται από το θνητό σώμα. Επομένως,ο άνθρωπος κατά τους Πυθαγόρειους έχει σαν σκοπό της ζωής του να αποτινάξει το ζυγό του θνητού σώματος και να γίνει καθαρό πνεύμα, οπότε θα ενωθεί με το συμπαντικό πνεύμα στο οποίο ανήκει.
Ο Πυθαγόρας πιθανολογείται πως ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο «κόσμος» προκειμένου να υποδηλώσει το Σύμπαν σαν μια οργανωμένη τάξη. Το Σύμπαν διέπεται από μια τάξη και είναι οργανωμένο και έμψυχο. Δεν υπάρχει τίποτε άψυχο και κενό ζωής κατά τους Πυθαγόρειους. Με αυτόν τον τρόπο παρουσιάζεται η έννοια της «συγγένειας ολόκληρης της φύσης»· και όπως το Σύμπαν είναι «κόσμος» οργανωμένος, έτσι και ο άνθρωπος αποτελεί μια μικρογραφία αυτού του «κόσμου», ένα μικρόκοσμο. Μελετώντας αυτόν τoν μικρόκοσμο, ουσιαστικά σπουδάζουμε τις θεμελιώδεις δομές του Σύμπαντος.
Καταλαβαίνουμε, λοιπόν ότι για τους Πυθαγόρειους ο κόσμος δεν είναι ένα αντικείμενο έρευνας, πειραματισμού και επιβολής, αλλά μια ιερή τάξη γεμάτη δυνάμεις και η συμμετοχή σε αυτές δρα αποκαλυπτικά στη νόησή μας και διεγείρει βαθύτατα τον εσωτερικό μας κόσμο. Ένα άλλο σημαντικό στοιχείο της Πυθαγόρειας σκέψης είναι η έννοια του πέρατος ή ορίου.Από τη στιγμή που υφίσταται o κόσμος, η οργανωμένη τάξη στο Σύμπαν, προϋποθέτει την ύπαρξη ενός ορίου, καθώς οτιδήποτε δεν έχει προκαθορισμένα όρια είναι άμορφο και ταιριάζει στο χάος.
Ο κόσμος δημιουργείται με την παρέμβαση του ορίου στο άπειρο, οπότε αποκαλύπτεται μια καθορισμένη ενότητα. Το καθορισμένο και το απροσδιόριστο αποτελούν τις δυο βασικές αντίθετες αρχές για τους Πυθαγόρειους, από τις οποίες η πρώτη είναι το καλό και η δεύτερη το κακό, αφήνοντας να φανεί η έννοια του δυϊσμού στη φιλοσοφία τους. Ο Αριστοτέλης παραθέτει έναν πίνακα του Αλκμαίωνα του Κροτωνιάτη με τα βασικά αντίθετα των Πυθαγορείων:

πέρας —άπειρον
περιττόν —άρτιον
εν —πλήθος
δεξιόν —αριστερόν
άρρεν —θήλυ
ηρεμούν —κινούμενον
ευθύ —καμπύλον
φως —σκότος
αγαθόν —κακόν
τετράγωνον —ετερομήκες

 Εκείνο, όμως,που διαφοροποιεί εντελώς τη φιλοσοφική σκέψη του Πυθαγόρα από τους υπόλοιπους είναι ο τρόπος ή διαδικασία κάθαρσης και απελευθέρωσης της ψυχής. Πάνω στα μέσα για την επίτευξη αυτού του σκοπού οικοδομήθηκε ένα οικοδόμημα απέραντου πνευματικού ύψους. Ο Πυθαγόρας χρησιμοποιεί τα μαθηματικά για τη διείσδυση του στις πιο υψηλές περιοχές του νου και δεν το κάνει με κάποια δεισιδαιμονική αντιμετώπιση τους. Αντίθετα, θεμελιώνει τη μαθηματική επιστήμη και την ανάγει σε φιλοσοφική θεωρία .
Ξεφεύγει από τις μετρήσεις και τις λογιστικές ενασχολήσεις της και την αναβιβάζει σε επίπεδα ιδεών. Καθίσταται πρωτοπόρος του μαθηματικού στοχασμού, ανακαλύπτοντας νέες μαθηματικές θεωρίες και αρχές, που η εφαρμογή τους αποδείχθηκε διαχρονική. Το γνωστό σε όλους μας Πυθαγόρειο θεώρημα (το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών) αντλεί από εκείνες τις εποχές την καταγωγή του.
Αξιοσημείωτο επίσης είναι το ότι δε μελετούσαν τους αριθμούς αφηρημένα αλλά χρησιμοποιούσαν χαλίκια, με τα οποία σχημάτιζαν διάφορα σχήματα και εξέταζαν τις μεταξύ τους ανακύπτουσες σχέσεις .Όταν, για παράδειγμα, αναφέρονταν στους τριγωνικούς αριθμούς, δεν έκαναν τίποτε άλλο από το να μελετούν το σχήμα που δημιουργείται από την τοποθέτηση των αριθμών, Δηλαδή, ο τριγωνικός αριθμός 10 είναι η περίφημη τετρακτύς, ο τέλειος αριθμός, σχηματιζόμενος από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων (1+2 +3+4=10).
Με τον ίδιο τρόπο μελετούσαν τους τετράγωνους αριθμούς,τους κύβους κ.λπ, καθώς επίσης αναζητούσαν τις συμμετρικές τους σχέσεις,τις αναλογίες τους. Οι ίδιοι ανακάλυψαν τους μαθηματικούς μέσους, δηλαδή τον αριθμητικό,το γεωμετρικό και τον αρμονικό. Αλλά όλα τούτα δε θα είχαν ίσως ποτέ ανακαλυφθεί εάν οι αριθμοί δε συνδέονταν με έννοιες και ποιότητες. Οι αριθμοί δεν είναι ποσότητες απλώς, αλλά αντιπροσωπεύουν ιδέες και αρετές και κάθε συσχέτισή τους οδηγεί την ανθρώπινη διάνοια σε συνειδησιακές ανακαλύψεις.
Μέσω αυτών παρέχεται μια δυνατότητα ανάπτυξης και βελτίωσης της ανθρώπινης οντότητας. Στην ουσία οι Πυθαγόρειοι εξομοίωσαν ολόκληρη τ η φύση με τους αριθμούς και υπέθεσαν ότι τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων και όλος ο κόσμος είναι αρμονία και αριθμός. Η έννοια της ψυχής ως αρμονίας είχε πολύ ισχυρή επίδραση στη φιλοσοφία των Πυθαγορείων. Αλλά αυτή την έννοια κατά κανένα τρόπο δεν την ταύτιζαν με την εξισορρόπηση των δυνάμεων του φυσικού τους σώματος,αλλά με τον αριθμό.
Θεωρούσαν λοιπόν πως η αρμονία της ψυχής σχετίζεται με την τετρακτύν, τον τέλειο αριθμό. Δημιουργείται δε, μέσω της αρμονίας των πρώτων τεσσάρων αριθμών -1 ,2 ,3 , 4- καθώς αυτοί είναι οι ενσαρκωτές της. Σε τέτοιες βεβαίως ιδέες στηρίχθηκαν και χρησιμοποίησαν το μαθηματικό τους υπόβαθρο στο πεδίο της μουσικής. Ο ίδιος ο Πυθαγόρας ανακάλυψε ότι εκείνα τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας που ονομάζονται τέλειες αρμονίες, μπορούν να διατυπωθούν αριθμητικά ως αναλογίες μεταξύ των αριθμών 1,2,3,4.
Για παράδειγμα, η αναλογία δύο προς ένα μας δίνει την ογδόη ή τη διαπασών συμφωνία, όπως την αποκαλούσαν. Συνεπώς, επιβεβαίωσε με ακρίβεια ότι υφίσταται μια αριθμητική οργάνωση μέσα στην ίδια τη φύση του ήχου και κάτι τέτοιο δεν είχε να κάνει μόνο με τη μουσική που ακουγόταν από κάποιο όργανο, αλλά με το ίδιο το Σύμπαν. Διότι η μουσική εξέφραζε ακριβώς την υφιστάμενη συμπαντική αρμονία και ήταν ένα μέσο προσέγγισης της μέσω του ίδιου του κάλλους της.
Την αρμονία της τετρακτύος αναζήτησαν οι Πυθαγόρειοι και στον ουρανό, όπου διεπίστωσαν τις κανονικές κινήσεις των άστρων. Προκειμένου δε να δημιουργήσουν τη δεκάδα στο ηλιακό μας σύστημα, πρόσθεσαν και ένα δέκατο πλανήτη, την Αντιχθόνα, που δεν είναι ορατή από τη γη. Διακήρυτταν λοιπόν ότι η κίνηση των ουράνιων σωμάτων σίγουρα είχε σαν αποτέλεσμα να βγαίνει κάποιος ήχος, αφού κάτι τέτοιο συμβαίνει και με τα σώματα στη γη. Και αφού οι αποστάσεις μεταξύ τους είναι αναλογικές, επόμενο ήταν ότι θα παράγεται μουσική και αποκαλούσαν το φθόγγο των άστρων εναρμόνιο .
Ο Πυθαγόρας συνήθιζε να λέει πως αφουγκράζεται τη μουσική των ουράνιων σφαιρών και τον ακολούθησαν και αρκετοί άλλοι μεταξύ των Πυθαγορείων. Η φιλοσοφία των Πυθαγορείων κινήθηκε σε ένα πολυδιάστατο επίπεδο. Χρησιμοποίησε τα μαθηματικά, τη μουσική, την αστρονομία, αλλά και την ιατρική, καθώς οι πηγές αναφέρουν ότι έδιναν ιδιαίτερη σημασία στη φυσική αγωγή και τη δίαιτα, προκειμένου να διατηρούνται υγιείς. Η εφαρμογή της φιλοσοφίας τους ήταν όντως ένας πλήρης τρόπος ζωής και ασκούσαν ουσιαστικά την ψυχή τους προκειμένου να ταυτιστεί με την αρμονία του κόσμου.
Οι Πυθαγόρειοι όφειλαν να είναι σιωπηλοί και υπάκουοι, ενώ τα ανώτερά τους καθήκοντα ήταν σεβασμός προς το θείο, τους γονείς και το νόμο. Η μεταξύ τους συμπεριφορά στηριζόταν στη δικαιοσύνη. Αποδέχονταν την ύπαρξη μιας ιεραρχίας, στην οποία καθένας κατείχε την αρμόζουσα θέση.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ
Ο Πυθαγόρας δημιούργησε ένα δικό του φιλοσοφικό σύστημα το οποίο έχει ομοιότητες και διαφορές από τα άλλα της εποχής του, το οποίο εξετάζει την εκπόρευση της Φύσεως, την εκπόρευση του Πνεύματος ως και την περαιτέρω εξέλιξη και πορεία του πνεύματος.

Το Δόγμα της Μετεμψύχωσης
Ο Πυθαγόρας υπήρξε ηγέτης και εισηγητής ενός νέου τρόπου ζωής. Το συμπέρασμα αυτό εξάγεται με βεβαιότητα από τις διαθέσιμες μαρτυρίες. Αγνοούμε ωστόσο το ακριβές περιεχόμενο της θεωρητικής του διδασκαλίας. Αν κρίνουμε από τους μεταγενέστερους Πυθαγορείους, της κλασικής και της Ελληνιστικής εποχής, δύο είναι τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της Πυθαγόρειας σχολής. Η πεποίθηση ότι οι αριθμοί είναι αρχές των όντων. Και το δόγμα της μετεμψύχωσης – η πίστη δηλαδή ότι η ψυχή είναι αθάνατη και ότι μπορεί να μεταβαίνει μετά τον θάνατο του σώματος σε άλλα ζωικά είδη.
Οι δύο αυτές αντιλήψεις συνυπήρχαν στην Πυθαγόρεια παράδοση, δεν θα πρέπει όμως να είχαν πάντοτε την ίδια βαρύτητα, όπως δείχνει η διαίρεση των Πυθαγορείων της κλασικής εποχής σε «μαθηματικούς» και σε «ακουσματικούς». Στους «μαθηματικούς» πρωτεύον ήταν το ενδιαφέρον για τη γεωμετρία, την αστρονομία και τη θεωρία της μουσικής, ενώ «ακουσματικοί» χαρακτηρίζονταν όσοι ήταν προσανατολισμένοι προς τον θρησκευτικό και μυστικιστικό πυρήνα του Πυθαγορισμού. Ποια όμως ήταν η συμβολή του ίδιου του Πυθαγόρα στη διαμόρφωση αυτών των ιδεών;
Λένε ότι όταν κάποτε είδε να βασανίζουν ένα σκυλάκι, το συμπόνεσε και είπε: ”Σταμάτα, μην το χτυπάς, γιατί είναι η ψυχή κάποιου φίλου· την αναγνώρισα όταν άκουσα τη φωνή του”. Η ειρωνεία είναι έκδηλη στους στίχους αυτούς του Ξενοφάνη, όπου για πρώτη φορά στην αρχαία γραμματεία μνημονεύεται ο Πυθαγόρας. Για να γίνει όμως αντιληπτή η ειρωνεία στο κοινό του Ξενοφάνη, θα πρέπει να ήταν ήδη γνωστό ότι ο Πυθαγόρας πίστευε στη μετεμψύχωση.
Η πεποίθηση ότι ο Πυθαγόρας κήρυσσε το δόγμα της μετεμψύχωσης, και μάλιστα ότι ήταν ο εισηγητής του στον Ελληνικό χώρο, είναι κοινός τόπος στους αρχαίους συγγραφείς. Ο Ηρόδοτος θεωρεί ότι αυτή η δοξασία έχει Αιγυπτιακή καταγωγή, αφού, κατά τα λεγόμενά του, οι Αιγύπτιοι είναι οι πρώτοι που υποστήριξαν ότι η ψυχή του ανθρώπου είναι αθάνατη και ότι συμπληρώνει έναν κύκλο διαδοχικών μετενσαρκώσεων σε άλλα ζωικά είδη, που διαρκεί 3.000 χρόνια, πριν επιστρέψει σε ένα νέο ανθρώπινο σώμα.
Ο Πυθαγόρας, που είχε ιδιαίτερες σχέσεις με τους ανατολικούς πολιτισμούς, έφερε αυτή τη δοξασία στην Ελλάδα. Γύρω από τη μέριμνα για τη μεταθανάτια μοίρα της ανθρώπινης ψυχής οργανώθηκαν από τα τέλη του 6ου αιώνα ποικίλα θρησκευτικά κινήματα, σημαντικότερο από τα οποία αναδείχθηκε το κίνημα των Πυθαγορείων. Η ιδέα της μετεμψύχωσης είναι όντως νέα στην Ελλάδα, και το πιο λογικό είναι να υποθέσουμε ότι δεν την επινόησε ο Πυθαγόρας αλλά ότι την εισήγαγε από κάπου αλλού. Για τους αρχαίους Έλληνες η πηγή όλων των σεβαστών πνευματικών δανείων ήταν η Αίγυπτος.
Στην Αιγυπτιακή ωστόσο θρησκεία δεν πιστοποιείται το δόγμα της μετεμψύχωσης. Κατά μία εκδοχή η δοξασία αυτή έφτασε στην Ελλάδα από τη Σκυθία διαμέσου των Ελληνικών αποικιών του Εύξεινου Πόντου. Ο Πυθαγόρας, κατά την εκδοχή αυτή, είναι κάτι αντίστοιχο με τους «Σαμάνες» της βορειοανατολικής Ευρώπης. Οι Σαμάνες είναι σεβάσμιες μορφές ανθρώπων οι οποίοι, μετά από σκληρή εξάσκηση και νηστεία, έχουν αποκτήσει Θεϊκές δυνάμεις και είναι σε θέση ακόμη και στη διάρκεια της ζωής τους να αποδεσμεύσουν τον Θεϊκό εαυτό τους από το σώμα τους.
Κατά μία άλλη εκδοχή, οι Έλληνες γνώρισαν το δόγμα της μετεμψύχωσης από τους Ινδούς, με τους οποίους βρίσκονταν σε έμμεση επαφή από τους εμπορικούς δρόμους της Περσίας. Όπως και να έχουν τα πράγματα, το σημαντικό για μας δεν είναι η καταγωγή της πίστης στη μετεμψύχωση αλλά το γεγονός ότι ο Πυθαγόρας κατάφερε με επίκεντρο την πίστη αυτή να δημιουργήσει ένα νέο πνευματικό κίνημα στην Ελλάδα. Όποιος πιστεύει στη μετεμψύχωση θεωρεί ότι η ζωή συνεχίζεται και μετά τον θάνατο του σώματος.
Βεβαίως η πίστη σε κάποια μορφή μεταθανάτιας ζωής αποτελεί κοινό κτήμα των ανθρώπων από πολύ παλιά, όπως μαρτυρούν τα ταφικά έθιμα πολλών γνωστών πολιτισμών. Στα Ομηρικά έπη μάλιστα έχουμε περιγραφές του Άδη, όπου οι ψυχές των νεκρών παρουσιάζονται ως σκιές ή φαντάσματα που έχουν αποδεσμευτεί από το σώμα τους. Το δόγμα της μετεμψύχωσης προϋποθέτει ακόμη τη μεταθανάτια τιμωρία ή ανταμοιβή: ο κύκλος των διαδοχικών μετενσαρκώσεων δεν μπορεί να είναι τυχαίος, αλλά θα πρέπει να εξαρτάται από τον τρόπο που έζησε κανείς τη ζωή του.
Και η δοξασία αυτή θα πρέπει να προϋπήρχε στον Ελληνικό χώρο, αφού τα Ελευσίνια μυστήρια προετοίμαζαν τους πιστούς για μια καλύτερη ζωή στον Άδη ήδη από τον 7ο αιώνα π.Χ. Απέκτησε όμως πολύ μεγαλύτερη διάδοση κατά τον 5ο αιώνα, και είναι λογικό να υποθέσουμε ότι το Πυθαγόρειο ρεύμα έπαιξε κάποιο ρόλο σε αυτό. Ο πιστός ωστόσο που συμμετέχει στα Ελευσίνια μυστήρια ή σε παρόμοιες τελετές εκτελεί απλώς ένα θρησκευτικό καθήκον, χωρίς να εξαρτά τη σωτηρία του από μια ριζική αλλαγή της ζωής του.
Για τον Πυθαγόρειο αντιθέτως η προσχώρηση σε έναν νέο ασκητικό τρόπο ζωής είναι ο μοναδικός δρόμος για να ξεκινήσει ευνοϊκά ο κύκλος των μετενσαρκώσεων της ψυχής του. Με την πρακτική του επιδιώκει την καταπόνηση του σώματος και τον εξαγνισμό της ψυχής του. Επομένως, η ανθρώπινη ψυχή θεωρείται κάτι το εντελώς διαφορετικό από το σώμα, είναι μια οντότητα αθάνατη και αυθύπαρκτη που μπορεί να ζήσει και μέσα σε διαφορετικά σώματα. Εδώ εντοπίζεται η θεωρητική επανάσταση του Πυθαγόρα.
Για τον άνθρωπο της Αρχαϊκής εποχής η ψυχή και το σώμα αποτελούσαν ενότητα. Ακόμη και όταν με τη λυρική ποίηση διευρύνθηκε το φάσμα των ψυχικών διεργασιών και αναδείχθηκε η προσωπικότητα του ατόμου, η ψυχή εξακολουθούσε να βρίσκεται σε απόλυτη ισορροπία με το σώμα. Η διδασκαλία όμως του Πυθαγόρα διέρρηξε αυτή την ενότητα. Η ψυχή αυτονομείται, και η καλλιέργειά της γίνεται το πρωταρχικό καθήκον στις κοινότητες των Πυθαγορείων.
Με τη σιωπή, τη νηστεία, το αυστηρό τελετουργικό, την ομαδική ζωή, τη μίμηση του «Θείου Ανδρός», με πρακτικές δηλαδή κατά βάση θρησκευτικές, οι μαθητές του Πυθαγόρα προσδοκούσαν τη σωτηρία της ψυχής τους. Και η Πυθαγόρεια φιλοσοφία; Αν η διδασκαλία του Πυθαγόρα περιορίζεται στην προετοιμασία της ψυχής για τις μεταθανάτιες μετενσαρκώσεις της, γιατί θεωρούμε τον Πυθαγόρα φιλόσοφο και δεν τον αντιμετωπίζουμε απλώς ως θρησκευτικό μεταρρυθμιστή; Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό θα πρέπει να εξετάσουμε την Πυθαγόρεια αντίληψη για τους αριθμούς.

Μυστικισμός και Μαθηματικά
Στην εποχή του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη η θέση των Πυθαγορείων στην πνευματική σκηνή της Ελλάδας είναι πλήρως κατοχυρωμένη. Οι πιο σημαντικές επιτεύξεις στα μαθηματικά και την αστρονομία προέρχονται από τον κύκλο των Πυθαγορείων: το λεγόμενο Πυθαγόρειο θεώρημα, η ανακάλυψη των ασύμμετρων μεγεθών, η σφαιρικότητα του σύμπαντος, η κίνηση της Γης. Η θεωρία της μουσικής, προνομιακό πεδίο μελέτης των Πυθαγορείων, έχει αναδειχθεί σε αυτόνομο μαθηματικό κλάδο.
Αλλά και στη φιλοσοφία όλοι αναγνωρίζουν την ιδιαιτερότητα της Πυθαγόρειας παράδοσης, χαρακτηριστικό γνώρισμα της οποίας είναι η πρωταρχική σημασία των αριθμών. Μιλώντας συλλογικά για τους «λεγόμενους Πυθαγορείους», ο Αριστοτέλης αναγνωρίζει τη συμβολή τους στη φιλοσοφική σκέψη και θεωρεί ότι «η συστηματική ενασχόλησή τους με τα μαθηματικά τούς οδήγησε στην πεποίθηση ότι οι αρχές των μαθηματικών είναι και αρχές όλων των όντων».
Βασικό στοιχείο της φιλοσοφίας των Πυθαγορείων είναι η σύλληψη όλου του σύμπαντος ως «αρμονίας και αριθμού», μια σύλληψη που, κατά τον Αριστοτέλη, προήλθε από την ανακάλυψή τους ότι «οι ιδιότητες και οι αναλογίες των μουσικών αρμονιών ανάγονται στους αριθμούς». Όσο για τον Πλάτωνα, κοινή είναι η πεποίθηση ότι είναι βαθύτατα επηρεασμένος από την Πυθαγόρεια κοσμοθεωρία: υιοθετεί την αθανασία της ψυχής και τη μετεμψύχωση, ταυτίζει τη μέθοδο της φιλοσοφίας με τη μέθοδο των μαθηματικών, προβάλλει τη γεωμετρική δομή του σύμπαντος και ιδρύει τη δική του σχολή (την πλατωνική Ακαδημία) στα πρότυπα της οργάνωσης των Πυθαγορείων.
Εκατό χρόνια λοιπόν μετά τον Πυθαγόρα, η σχολή που αυτός ίδρυσε ως θρησκευτική αδελφότητα έχει στραφεί προς τη μαθηματική φιλοσοφία και έχει σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη των βασικότερων κλάδων της Ελληνικής επιστήμης. Δεν έχουμε καμία ένδειξη ότι στην πορεία της εξέλιξής τους οι Πυθαγόρειες κοινότητες αποκαθήλωσαν την ιερή εικόνα του πνευματικού τους πατέρα ή ότι εγκατέλειψαν τα δόγματά του· εξακολουθούσαν να υπερασπίζονται τον ομαδικό τρόπο ζωής, φρόντιζαν για τον εξαγνισμό της ψυχής τους, διατηρούσαν τις πολιτικές τους βλέψεις.
Πώς μπόρεσαν όμως οι Πυθαγόρειοι να συνδυάσουν δημιουργικά τη βαθιά θρησκευτικότητα με τη μαθηματική επιστήμη; Για τον σύγχρονο άνθρωπο αυτός ο συνδυασμός είναι αδιανόητος – η επιστήμη τοποθετείται στους αντίποδες της θρησκείας και του μυστικισμού. Αν παρακολουθήσουμε ωστόσο τη μακρά ιστορία της ανθρώπινης σκέψης, θα διαπιστώσουμε ότι αυτή η αντίληψη δεν είναι καθόλου αυτονόητη. Ειδικότερα τα μαθηματικά είχαν πάντοτε ιδιαίτερη αίγλη στους μυστικιστικούς κύκλους.
Το οικοδόμημα της μαθηματικής σκέψης είναι προϊόν της μεγαλύτερης δυνατής αφαίρεσης. Το χαρακτηρίζει η αυστηρότητα, η εσωτερική συνέπεια, η πληρότητα, όλα εκείνα δηλαδή τα στοιχεία που απουσιάζουν από την καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Αν σκεφτεί μάλιστα κανείς ότι τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν αρκετά νωρίς στην Ελλάδα, καταλαβαίνει γιατί αποτέλεσαν το υπόδειγμα της τελειότητας σε έναν κόσμο που έμοιαζε ακόμη χαοτικός και ανεξερεύνητος.
Όποιος αντιμετωπίζει με καχυποψία την καθημερινή ανθρώπινη εμπειρία και αναζητεί κάπου αλλού ένα σύμπαν σταθερότητας και αρμονίας (στην τελετουργική μέθεξη, στον εξαγνισμό της ψυχής του ή στις αμετάβλητες φιλοσοφικές έννοιες) είναι φυσικό να γοητεύεται από τη μαθηματική σκέψη. Μπορούμε να διακρίνουμε στο εσωτερικό της αρχαίας Ελληνικής φιλοσοφίας μια ισχυρή παράδοση που αξιοποιεί τη συγγένεια μαθηματικών και φιλοσοφίας.
Η τάση αυτή ξεκινά από τον Αναξίμανδρο, περνά από τους Πυθαγορείους και τον Παρμενίδη και καταλήγει στον Πλάτωνα και τις ποικίλες μορφές του Πλατωνισμού. Τώρα ίσως αντιλαμβανόμαστε γιατί ο συνδυασμός μαθηματικής επιστήμης και μυστικισμού, που χαρακτηρίζει την Πυθαγόρεια φιλοσοφία, δεν είναι τόσο παράλογος.

Οι Αριθμοί ως Αρχές των Όντων
”Όλα τα πράγματα που γνωρίζουμε έχουν αριθμό· γιατί χωρίς τον αριθμό δεν είναι δυνατόν ούτε να σκεφτούμε ούτε να γνωρίσουμε τίποτε”.
Φιλόλαος, απόσπασμα 4

”Η φύση συναρμόστηκε σε κοσμική τάξη από τα άπειρα και τα πεπερασμένα· και όλος ο κόσμος και όσα υπάρχουν μέσα σ’ αυτόν”.
Φιλόλαος, απόσπασμα 1

Τα παλαιότερα κείμενα που διαθέτουμε από την πυθαγόρεια παράδοση προέρχονται από τον Φιλόλαο, έναν σύγχρονο του Σωκράτη. Στα αποσπάσματα του Φιλόλαου τονίζεται η πρωταρχική σημασία του αριθμού, ο οποίος ανάγεται σε αρχή κατανόησης των πάντων. Αν τα υπάρχοντα πράγματα δεν είχαν αριθμητική δομή, δεν θα μπορούσαμε να τα γνωρίσουμε. Το ίδιο ισχύει και για όλο το σύμπαν, για την ίδια τη φύση. Το σύμπαν παράγεται από το πέρας και το άπειρο, τα οποία αποτελούν τα συστατικά στοιχεία των αριθμών. Η αρμονική τάξη της φύσης επιτρέπει την ουσιαστική της κατανόηση.
Στα κείμενα αυτά διακρίνεται η συμφιλίωση της πυθαγόρειας φιλοσοφίας με τη φυσιοκρατική παράδοση των Ιώνων Προσωκρατικών. Έννοιες όπως «φύση», «κόσμος», «άπειρο» ανήκουν στο οπλοστάσιο της Προσωκρατικής σκέψης. Το νέο στοιχείο είναι η σύνδεση της κοσμικής τάξης με τους αριθμούς και τη μουσική αρμονία. Οι αριθμοί καθορίζουν τις συμφωνίες των τόνων που παράγουν το αρμονικό μουσικό αποτέλεσμα. Οι αριθμοί βρίσκονται πίσω από τις αρμονικές κινήσεις των ουρανίων σωμάτων, από τη δεδομένη τάξη του σύμπαντος.
Άρα στην Πυθαγόρεια φιλοσοφία τα μαθηματικά, η μουσική και η αστρονομία συνδέονται στενά μεταξύ τους, αποτελούν «αδελφές επιστήμες», αφού σε όλες κυριαρχεί ο αριθμός (Πλάτων ”Πολιτεία”). Η μουσική θεωρία των Πυθαγορείων θεμελιώθηκε στην ανακάλυψη ότι βασικές μουσικές «αναλογίες», οι συμφωνίες δηλαδή των ήχων που παράγουν αρμονικό αποτέλεσμα, έχουν μορφή απλών αριθμητικών σχέσεων: 2/1 (η «οκτάβα»), 3/2 (η «πέμπτη»), 4/3 (η «τετάρτη»). Στις σχέσεις επομένως ανάμεσα στους τέσσερις πρώτους αριθμούς κρύβεται το μυστικό της μουσικής αρμονίας.
Το άθροισμα των τεσσάρων αυτών αριθμών (1+2+3+4) δίνει τον αριθμό 10, τον οποίο οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τέλειο αριθμό – στο λεξιλόγιό τους ονομαζόταν και «τετρακτύς». Ο τέλειος αριθμός 10 εμφανίζεται και στην αστρονομία των Πυθαγορείων. Σύμφωνα με μια ιδιότυπη αστρονομική σύλληψη, που ανάγεται στον Φιλόλαο, η Γη δεν είναι ακίνητη αλλά περιφέρεται γύρω από το κεντρικό πυρ (την «ἑστία») που καταλαμβάνει το κέντρο του κλειστού σφαιρικού σύμπαντος.
Γύρω από το κεντρικό πυρ κινούνται επίσης κυκλικά ο Ήλιος, οι υπόλοιποι γνωστοί πλανήτες και η σφαίρα των απλανών αστέρων. Έτσι όμως τα ουράνια σώματα ήταν εννέα – η Γη, ο Ήλιος, η Σελήνη, οι πέντε πλανήτες και οι απλανείς. Όπως λοιπόν μας εξηγεί ο Αριστοτέλης, οι Πυθαγόρειοι πρόσθεσαν άλλον έναν πλανήτη, έτσι ώστε ο αριθμός των ουρανίων σωμάτων να φτάσει στον τέλειο αριθμό 10 (Μετά τα φυσικά). Τον πρόσθετο πλανήτη τον ονόμασαν Ἀντίχθονα, δηλαδή αντι-Γη, γιατί βρίσκεται πάντοτε στους αντίποδες της Γης και δεν είναι ορατός από το κατοικημένο τμήμα της Γης.
Το ευφάνταστο αυτό αστρονομικό μοντέλο δεν είχε πρακτική χρησιμότητα, αφού δεν μπορούσε να εξηγήσει τα γνωστά αστρονομικά φαινόμενα. Φαίνεται όμως ότι τον Φιλόλαο και τους Πυθαγορείους δεν τους απασχολούσε η επίλυση των αστρονομικών προβλημάτων και η πρακτική εφαρμογή. Αυτό που ήθελαν ήταν να δώσουν απλώς μια εικόνα της τάξης και της αρμονίας του ουρανού. Στη δική τους περιγραφή ο ουρανός παρουσίαζε στοιχεία τελειότητας: ήταν κλειστός, δηλαδή είχε όρια, είχε πέρας· είχε το τελειότερο σχήμα, το σφαιρικό· η κίνησή του ήταν η κυκλική.
Το κυριότερο όμως ήταν ότι ο ουρανός εμπεριείχε δέκα ουράνια σώματα, ενσωμάτωνε επομένως τις βασικές αριθμητικές αναλογίες, γινόταν «αρμονία και αριθμός». Από εδώ πρέπει να προέκυψε και η διαδεδομένη πεποίθηση ότι υπάρχει η «αρμονία των σφαιρών», μια ουράνια δηλαδή μουσική, την οποία μπορούν να ακούσουν μόνο οι μυημένοι στον ενδότερο κύκλο της πυθαγόρειας αδελφότητας. Είναι σίγουρο ότι ο ίδιος ο Πυθαγόρας δεν δίδαξε αυτές τις προωθημένες αντιλήψεις. Και μόνο το γεγονός ότι στην εποχή του Πυθαγόρα οι πλανήτες ήταν άγνωστοι στην Ελλάδα αρκεί για να μας πείσει.
Είναι όμως εξίσου απίθανο να μην υπήρχε στην αυθεντική διδασκαλία του Πυθαγόρα τίποτε σχετικό με αυτές τις αντιλήψεις. Δεν μπορεί η θρησκευτική και μυστικιστική αδελφότητα των πρώτων Πυθαγορείων να μεταμορφώθηκε ξαφνικά και χωρίς αιτία σε κοινότητα μαθηματικών και αστρονόμων. Θα πρέπει να υπήρχε κάποιο ερέθισμα, κάποια αρχική ώθηση που έφερε αυτές τις εξελίξεις. Ένα ανέκδοτο για τον Πυθαγόρα, από μεταγενέστερη και όχι ιδιαίτερα αξιόπιστη πηγή (Ιάμβλιχος ”Περί του πυθαγορείου βίου”), ίσως μας δίνει το κλειδί της σωστής απάντησης.
Λέγεται λοιπόν ότι κάποτε ο Πυθαγόρας περπατούσε έξω από ένα σιδεράδικο και άκουσε τους ήχους που έβγαιναν από τα χτυπήματα του σφυριού στο αμόνι. Κάποιοι ήχοι παρήγαγαν αρμονικούς συνδυασμούς, που του θύμιζαν γνωστά μουσικά μοτίβα, και κάποιοι όχι. Μπήκε στο σιδεράδικο και παρατήρησε ότι οι συνδυασμοί των ήχων είχαν σχέση με τα μήκη των ράβδων του σιδήρου που σφυρηλατούσε ο σιδεράς. Μάλιστα κατάλαβε ότι οι βασικές συμφωνίες των ήχων παράγονταν όταν τα σίδερα είχαν μήκη ανάλογα με τις απλές αριθμητικές σχέσεις 2/1, 3/2, 4/3.
Έτσι έφτασε στην ανακάλυψη ότι η μουσική έχει άμεση σχέση με τους αριθμούς. Το ανέκδοτο αυτό δεν αποκλείεται να είναι κατασκευασμένο, μας δίνει όμως μια δυνατή εξήγηση για την ανάδειξη της σημασίας των αριθμών στην πυθαγόρεια φιλοσοφία. Ο Πυθαγόρας μπορεί όντως να έδωσε τη σωστή εξήγηση σε ένα εμπειρικό γεγονός με το οποίο όλοι οι οργανοπαίκτες της εποχής του ήταν εξοικειωμένοι.
Το μήκος των χορδών της άρπας μειώνεται και αυξάνεται ανάλογα με το σημείο που θα τοποθετήσει ο μουσικός το χέρι του παίζοντας την κάθε συγχορδία. Η ανακάλυψη τώρα της σχέσης μουσικής και αριθμών είναι σημαντικό ερέθισμα για να σκεφτεί κανείς για τον γενικό ρόλο των αριθμών στον κόσμο. Από την οδό αυτή ένα πνεύμα επιρρεπές στην αφαίρεση αλλά και στον μυστικισμό μπορεί να φτάσει στη σύλληψη όλου του κόσμου ως «αρμονίας και αριθμού».

Κοσμογονία 
Η κοσμογονία αναφέρεται στην εκπόρευση της Φύσεως εξ ενός Αυθύπαρκτου Αρχικού Αιτίου το οποίο για τους Πυθαγορείους είναι το Χάος και αυτό έγινε όταν υπήρξε μια Πρώτη Κίνηση στην ουσία του Χάους με αποτέλεσμα η ουσία του Χάους να αρχίσει γίνεται ουσία της Φύσεως και η ουσία της Φύσεως να ακολουθήσει μια ατελεύτητη εξελικτική πορεία. Αυθύπαρκτο Αρχικό Αίτιο (ΑΑΑ) είναι η αδημιούργητη αρχή από την οποία εκπορεύτηκε το Σύμπαν. Ο ορισμός ενός Αυθύπαρκτου Αρχικού Αιτίου ή Αδημιούργητης Αρχής αποτελεί μία αυθαιρεσία η οποία καθορίζεται ανάλογα με τα θρησκευτικά πιστεύω αυτού που την ορίζει.
Ο ορισμός της αδημιούργητης αρχής θα πρέπει να είναι άποψη λογικοφανής και όχι αυθαίρετη (όπως συμβαίνει με τα θρησκευτικά δόγματα) ώστε να μπορεί να γίνει αποδεκτή από την επιστημονική κοινότητα. Το ΧΑΟΣ ως ΑΑΑ περιγράφεται αφαιρετικά και θεωρείται ότι είναι το Άμορφο Άπειρο, τοΑνεκδήλωτο Παν, η Άποιος κατάσταση του Σύμπαντος, το εν Δυνάμει Είναι της Φύσεως. Πριν προχωρήσουμε ας εξετάσουμε τις προαναφερθείσες εκφράσεις που περιγράφουν το Χάος. Έτσι: Άμορφο Άπειρο σημαίνει το χωρίς μορφική υπόσταση άπειρο.
Ανεκδήλωτο Παν σημαίνει το Παν πριν οι ουσίες του εκδηλώσουν τους νόμους τους ώστε να συγκροτήσουν μορφικές υποστάσεις οι οποίες είναι κατανοητές από την ανθρώπινη διανόηση. Όποιος κατάσταση είναι εκείνη στην οποία δεν υπάρχει ποιοτική εκδήλωση των ουσιών του Χάους όπως π.χ. μεγαλύτερο – μικρότερο, θερμότερο – ψυχρότερο κλπ. Συνεπώς το ΧΑΟΣ θεωρείται ότι αποτελεί την «εν δυνάμει» κατάσταση των ουσιών της Φύσεως που σημαίνει ότι οι ουσίες της Φύσεως στο Χάος είχαν την δυνατότητα να εκδηλωθούν και να αποτελέσουν την Φύση εφόσον ενεργούσε επ’ αυτών μια «πρώτη κίνηση».

ΠΡΩΤΗ ΚΙΝΗΣΗ: ήταν το αίτιο που προκάλεσε την έναρξη της ενεργοποιήσεως της ουσίας του Χάους ώστε από την «εν δυνάμει» κατάστασή της να αρχίσει η εκπόρευση της Φύσεως. Εδώ όμως τίθεται το ερώτημα πως προκλήθηκε αυτήν η πρώτη κίνηση; επ’ αυτού υπάρχουν δυο απόψεις:

α) Η εκ του ΣΚΟΠΟΥ εξήγηση της πρώτης κινήσεως κατά την οποία η πρώτη κίνηση έγινε με σκοπό την δημιουργία της Φύσεως και η Φύση έγινε με σκοπό την εμφάνιση του πνεύματος. Η θεώρηση όμως της υπάρξεως σκοπού για την εκδήλωση αυτής της πρώτης κινήσεως προϋποθέτει βούληση και επομένως την προΰπαρξη κάποιου απολύτου εξωκοσμικού όντος το οποίο έκανε την πρώτη κίνηση.

β) Η εκ της ΤΑΣΕΩΣ ΠΡΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗ εξήγηση της πρώτης κινήσεως κατά την οποία η πρώτη κίνηση οφείλεται στην τάση προς μεταβολή της ενεργού ουσίας γιατί η τάση προς μεταβολή είναι μια γενική ιδιότητα τόσο της Ουσίας του Χάους όσο και της Φύσεως, η οποία (ιδιότητα) εκδηλώνεται αυθόρμητα χωρίς καμία έξωθεν επέμβαση από κάποιο απόλυτο ον και επομένως το αίτιο της εκπορεύσεως της Φύσεως είναι ενδογενές.

ΟΙ ΟΥΣΙΕΣ ΤΗΣ ΦΥΣΕΩΣ: Εκ του Χάους εκπορεύτηκαν δυο ουσίες που είναι: η Αόριστη Δυάδακαι η Μονάδα.

α) ΑΟΡΙΣΤΗ ΔΥΑΔΑ είναι η Υλική Ουσία της Φύσεως ουσία η οποία κατά τους Πυθαγορείους είναι το άπειρο πλήθος των Ατόμων της ατομικής ουσίας τα οποία συγκροτούν όλες τις υλικές μορφές της φύσεως. Η ατομική ουσία είναι η ΜΗΤΕΡΑ των Κόσμων, το θήλυ της δημιουργίας και ο παθητικός παράγων των κόσμων γιατί υπόκειται στις ενεργητικές επιδράσεις της άλλης ουσίας προκειμένου να συγκροτηθούν οι μορφές.
Τα Άτομα της ατομικής ουσίας δεν έχουν καμιά σχέση ως όρος με τα άτομα που περιγράφει η φυσική, γιατί τα μεν γνωστά από την φυσική άτομα δεν είναι άτμητα αλλά συγκροτούνται από ταστοιχειώδη σωματίδια, ενώ τα Άτομα της μεριστής ουσίας είναι άτμητα και προφανώς αποτελούν την εσωτερική δομή των στοιχειωδών σωματιδίων

β) ΜΟΝΑΔΑ είναι η συνεχής ουσία η οποία με το Είναι της αποτελεί τον ουσιαστικό χώρο μέσα στον οποίο κινούνται και ενεργούν τα Άτομα της ατομικής ουσίας και συνεπώς είναι το άπειρο περιέχον του Σύμπαντος εντός του οποίου τα πάντα γίνονται. Η συνεχής ουσία είναι η πάντα συνεχής προς τον εαυτό της και το γεγονός αυτό δίνει την έννοια του χώρου, γιατί δεν είναι δυνατόν να νοηθεί χώρος χωρίς να έχει συνέχεια.
Η συνεχής ουσία είναι ο Λόγος και ΠΑΤΕΡΑΣ των Κόσμων, είναι το άρρεν της δημιουργίας και ο ενεργητικός παράγων των κόσμων, γιατί με τη δράση του επί της άλλης ουσίας της ατομικής προκαλεί την συγκρότηση των μορφών αλλά και την αποσύνθεση αυτών και συνεπώς αποτελεί το Λόγο της υπάρξεως των μορφών. Την συνεχή ουσία οι ΟΡΦΙΚΟΙ την αποκαλούσαν ΑΙΘΕΡΑ, ο Ησίοδος την αποκαλούσε ΕΡΩΤΑ για να καταδείξει την γο­νιμοποιό του ικανότητα, ο Ηρά­κλειτος και οι Στωικοί ΛΟΓΟ με την έννοια του αιτίου για να καταδείξουν ότι είναι το αίτιο της συνθέσεως και αποσυνθέσεως των μορφών του απείρου (Συνθετικός και Αποσυνθετικός Λόγος).
Συνεπώς ΜΟΝΑΔΑ ή ΣΥΝΕΧΗΣ ΟΥΣΙΑ είναι ο πανταχού παρών και τα πάντα πληρών, ο Λόγος της δημιουργίας και υπάρξεως των μορφών του απείρου, η Ανάγκη η οποία περικυκλώνει τον Κόσμο (κατά τον Πυθαγόρα), την οποία ούτε οι Θεοί αντιμάχονται (κατά τον Πιττακό), καθώς όλα κατ’ ανάγκη γίνονται (κατά τον Δημόκριτο). Είναι, τέλος, το παγκόσμιο Πυρ από το οποίο όλη η Φύση αναγεννιέται.

Πνευματογονία 
Πνευματογονία, είναι η γένεση του πνεύματος. Η λέξη πνεύμα έχει πάρα πολλές έννοιες εμείς όμως θα σταθούμε στην έννοια της γενέσεως και εκδηλώσεως της νοητικής Φύσεως. Κατά τον Νάγο «Το όλον της Φύσεως στον σπουδάζοντα αυτή εμφανίζει δυο μεγάλες και διακεκριμένες μεταξύ τους κατηγορίες: την Νοητική Φύση και την Μη Νοητική Φύση. Η Νοητική Φύσις γίνεται από την Μη Νοητική κατόπιν εκδηλώσεως νόμων οι οποίοι υπήρχαν σ’ αυτήν σε δυναμική όμως κατάσταση».
Διευκρινίζεται ότι Νοητική Φύση είναι οι ψυχικές ατομικότατες που υπάρχουν στην Φύση, ενώ Μη Νοητική Φύση είναι το σύνολο της υλικής ουσίας η οποία απλώς μετέχει στην συγκρότηση των μορφών της Φύσεως. Εκείνο όμως που, από την προαναφερθείσα διατύπωση, αποτελεί πρωτοποριακή για τα κοινωνικά και θρησκευτικά καθιερωμένα ιδέα είναι, ότι

α) Η Νοητική Φύση προέρχεται από την Μη Νοητική Φύση, που σημαίνει ότι είναι προϊόν εξελίξεως της υλικής ουσίας και

β) Ότι η εξέλιξη αυτή της υλικής ουσίας είναι αποτέλεσμα της εκδηλώσεως νόμων, οι οποίοι υπάρχουν στην υλική ουσία σε λανθάνουσα κατάσταση. Συνεπώς κανένα εξωτερικό αίτιο δεν παρεμβαίνει σε αυτές τις διεργασίες της γενέσεως του πνεύματος και τα πάντα είναι εκδήλωση φυσικών νόμων.

Η ΨΥΧΗ: Στην συνέχεια θα εξεταστεί το θέμα της ψυχής, για το οποίο έχουν διατυπωθεί πολλές απόψεις και μάλιστα συγκρουόμενες μεταξύ τους όμως εδώ θα αναφερθούμε μόνον στην άποψη των Πυθαγορείων η οποία, κατά την γνώμη μας, είναι η περισσότερο τεκμηριωμένη και σύννομη με την λογική. Η ΛΕΞΗ ΨΥΧΗ, σύμφωνα με τα λεξικά, σημαίνει: πνοή, αναπνοή, ζωτική δύναμη, πνεύμα κλπ. Οι ορισμοί αυτοί όμως δεν επαρκούν για να κατανοήσουμε τι είναι ψυχή, πως συγκροτή­θηκε η ψυχή, ποιο είναι το περιεχόμενο της κλπ.
Κατά τους Πυθαγορείους η ψυχή είναι ένα άτομο της ατομικής ουσίας στο οποίο έχει εισδύσει εντός του η Συνεχής Ουσία με αποτέλεσμα να έχει συνέχεια με το Άπειρο. Εκείνο που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι το άτομο της ατομικής ουσίας που γίνεται ψυχικό άτομο είναι άτομο το οποίο έφθασε στο ανώτερο εξελικτικό του επίπεδο γι αυτό είναι ενδιαφέρον να δούμε ποία είναι αυτά τα εξελικτικά επίπεδα. Τα άτομα της ατομικής ουσίας με την συμμετοχή της συνεχούς ουσίας σχηματίζουν όλες τις μορφές του Απείρου.
Οι λειτουργίες των μορφών αυτών είναι τέτοιες ώστε να συντελούν στην εξέλιξη, δηλαδή στον πολλαπλασιασμό των ενεργειών των ουσιών που τις συγκροτούν. Η χωρίς διακοπή εκδήλωση δυνάμεων εκ των ουσιών προκαλεί την εκδήλωση μορφών με τελειότερη σύνθεση. Κατ’ αυτόν τον τρόπο τα άτομα της ατομικής ουσίας εξελίσσονται διερχόμενα δια τεσσάρων καταστάσεων ή «ριζωμάτων», όπως τα χαρακτήριζε ο Εμπεδοκλής. Οι καταστάσεις αυτές έχουν μεν τις ονομασίες στερεά, υγρά, αέρια και πυρώδης.
Ο χαρακτηρισμός των τεσσάρων ριζωμάτων με αυτές τις ονομασίες είναι συμβολικός και οι ονομασίες αφορούν τέσσερα εξελικτικά στάδια των ατόμων της ατομικής ουσίας. Σε κάθε μία αυτών των καταστάσεων τα Άτομα της Ατομικής ουσίας επέτυχαν ορισμένη εξέλιξη που σημαίνει την εκδήλωση ορισμένων δυνάμεων και κατόπιν αυτού με την αλληλεπίδραση τους με την Συνεχή Ουσία μετατρέπονται σε άλλη κατάσταση την πέμπτη κατάσταση, ευρισκομένη πέραν των γνωστών σε μας τεσσάρων εξελικτικών καταστάσεων του φυσικού Κόσμου.
Η μετατροπή στην πέμπτη κατάσταση γίνεται ως εξής: Η Συνεχής ουσία επιδρά στα Άτομα της Ατομικής ουσίας που βρίσκονται στην τετάρτη κατάσταση και εξ αυτής της επιδράσεως μετατρέπονται αυτά σε μία νέα κατάσταση (η οποία είναι ενδιάμεση μεταξύ τετάρτης και πέμπτης) στην οποία τα άτομα αυτά δεν μετέχουν πλέον σε συγκρότηση μορφών, αλλά είναι ανεξάρτητα. Στην νέα κατάσταση των ατόμων της ατομικής ουσίας η Κίνηση (νόμος της κινήσεως) εμφανίζεται ως συστολή τους και η Ζωή (νόμος της ζωής) ως διαστολή τους.
Επειδή όμως η συστολή και η διαστολή δεν βρίσκονται σε ισοδυναμία, λόγω της αυξήσεως της δυναμικής τους ενέργειας πέραν αυτής που απόκτησαν στην τετάρτη κατάσταση, τα άτομα αυτά βρίσκονται σε αστάθεια. Τότε η Συνεχής ουσία εισέρχεται εντός αυτών των ατόμων και κα­τα­λαμβάνει θέση μεταξύ του κέντρου και της πε­ριφέ­ρειάς τους, κα­τορθώνοντας να φέρει την συστολή και την διαστολή των ατόμων σε ισοδύναμη κατάσταση και έτσι δημιουρ­γούνται άτομα πέμπτης καταστάσεως τα οποία είναι πλέον ΨΥΧΙΚΑ ΑΤΟΜΑ ή άλλως οι ΨΥΧΙΚΕΣ και συνεπώς είναι το τρίτο αυτό είδος ουσίας που αναφέρει ο Πλάτωνας στον Τίμαιο.
Στις προηγούμενες καταστάσεις τα Άτομα της Ατομικής ουσίας δεν είχαν συνέχεια προς το Άπειρο, βρίσκονταν μόνον εντός της συνεχούς ουσίας, ενώ στην πέμπτη κατάσταση έχουν συνέχεια προς το Άπειρο, λόγω της Συνεχούς ουσίας που έχουν εντός τους.

Η Αποθέωση
Κατά τους Πυθαγορείους η ψυχική ατομικότητα από της συγκροτήσεώς της εξελίσσεται αενάως. Θα περάσει αρχικά από τέσσερα εξελικτικά επίπεδα: το επίπεδο των ερπετών, το επίπεδο των ιχθύων, το επίπεδο των πτηνών και τέλος το επίπεδο των θηλαστικών. Εκ του επιπέδου των θηλαστικών θα έλθει στο ανθρώπινο επίπεδο όταν αποκτήσει την λογική νόηση το οποίο είναι εξελικτικό άλμα στην εξελικτική πορεία της φύσεως. Εις το ανθρώπινο επίπεδο η ψυχή θα περάσει τέσσερα εξελικτικά στάδια ώστε να επιτύχει την άνοδό του σε Θειότερους κόσμους δηλαδή την αποθέωσή της.
Η αποθέωση είναι ο τελικός στόχος του εξελιγμένου ανθρωπίνου πνεύματος που έχει αποκτήσει πνευματικό οργανισμό ο οποίος δεν υπόκειται στην διαδικασία της φθοράς και απο­σύν­θεσης του υλικού οργανισμού. Με την αποθέωσή του ο άνθρωπος γίνεται Θεός με την έννοια που δίδουν οι Έλληνες και όχι οι οπαδοί των βιβλικών θρησκειών και κατακτά την Αιώνια Ζωή δηλαδή ζωή η οποία να μην διέρχεται δια της διαδικασίας του θανάτου. Στο σημείο αυτό είναι ενδιαφέρον να δούμε τι είναι Θεοί γιατί στο θέμα αυτό υπάρχει μεγάλη παραπληροφόρηση.
Κατά την Ελληνική παράδοση οι Θεοί είναι αποτέλεσμα εξέλιξης του ανθρωπίνου πνεύματος και τα λειτουργήσαντα μυστήρια απέβλεπαν στο να δείξουν στους μύστες τους την οδό προς την αποθέωση. Όπως ο άνθρωπος με την διάνοια και τις δυνατότητες που του εξασφαλίζει η οργανική του φύση γίνεται κύριος και ρυθμιστής των φυσικών δυνάμεων του περιβάλλοντός του και επομένως κυρίαρχος αυτών, έτσι και οι Θεοί είναι κύριοι νόμων και δυνάμεων των φυσικών και προπαντός των πνευματικών κόσμων και όχι μόνο σύμβολα των μεγάλων εικόνων της Φύσεως.
Συνεπώς οι Θεοί (πνεύματα) είναι συνειδήσεις οι οποίες επιτέλεσαν τον αναμορφω­τικό εκείνο κύκλο από τον οποίο μπόρεσαν να αντλήσουν αιώνιο οργανικό μέσο και έτσι κυριάρχησαν ως συνειδήσεις του Απείρου που έχουν θεία Θέληση. Όλες οι συνειδήσεις της Φύσεως είναι προι­κισμένες να προαχθούν στις σφαίρες της καθαρής γνώ­σεως και να καταστούν Θείες Συνειδήσεις με ατελεύτητη εξέλιξη στον άπειρο χρόνο. Η σχέση του Θεού πνεύματος προς τα κατόπιν αυτού ερχόμενα νοητικά όντα διέπεται υπό ενός αρμονικού νόμου, του Νόμου της Αγάπης.
Συνεπώς ο άνθρωπος οφείλει προς τους Θεούς πνεύματα μόνον αγάπη και επειδή διέπεται από τον αυτόν αρμονικό νόμο με τους άλλους ανθρώπους, οφείλει την ίδια αγάπη να εκδηλώνει και προς τους συ­ναν­θρώπους του. Οσονδήποτε και αν θεωρηθεί εξελιγμένη η νοητική προσωπι­κότητα (ακόμα και αν έχει διανόηση πολύ υπέρτερη της ανθρώπινης) οι ακτίνες ενέργειας της δια­νοήσεώς της δεν είναι δυνατόν να διέρχονται το άπειρον και να εκτείνονται εις αυτό άνευ ορίου.
Οι ακτίνες της διανοήσεως των Θεών (που είναι νοητικές προσωπικότητες), ενεργούν επί ορισμένου κόσμου και έχουν σχέσεις μόνον προς αυτόν, συνεπώς δεν έχουν καμία ταύτιση με το Αίτιο Εκπορεύσεως της φύσεως δηλαδή με τον Δημιουργό όπως επικράτησε να λέγεται.

Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΓΙΑ ΤΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Αριθμητική και Γεωμετρία
Για τον Πυθαγόρα η μουσική και τα μαθηματικά γίνεται άσκηση με σκοπό την υπέρβαση των σωματικών περιορισμών και την κάθαρση της ψυχής, για να μπορέσει η τελευταία να απελευθερωθεί από τον κύκλο της μετενσάρκωσης για να φτάσει τελικά στη θεότητα από την οποία προέρχεται. Όπως στον άνθρωπο υπάρχουν η ψυχή και το σώμα, έτσι και στον κόσμο δύο αρχές βρίσκονται σε αντίθεση, το όριο (το πέρας) και το άπειρο. Στην περίπτωση αυτή η σύγκρουση είναι φαινομενική, γιατί στην πραγματικότητα το πέρας είναι αυτό που διοικεί και οργανώνει τον κόσμο.
H ύψιστη έκφραση του πέρατος είναι ο αριθμός, ο οποίος αποτελεί κλειδί για την κατανόηση της τάξης που βάζει το πέρας στον κόσμο. Η θεωρία των αριθμών είναι το πιο χαρακτηριστικό στοιχείο του Πυθαγορισμού. Τα αντικείμενα «είναι» αριθμοί ή «ομοιάζουν» με αριθμούς. Ο Πυθαγόρας «συνέλαβε» τους αριθμούς κατά την προσπάθειά του να βρει μια πρωταρχική, άυλη, αναλλοίωτη αρχή των όντων. Οι αριθμοί είναι αυτοί λοιπόν που αποτελούν την πρώτη αρχή, την προσδιοριστική δύναμη του κόσμου και στη σχέση ανάμεσά τους βρίσκεται η ουσία των όντων.
Για το λόγω του ότι είναι αυτή η ίδια η ουσία του κόσμου και όχι απλώς σύμβολα ποσοτικών σχέσεων, οι αριθμοί θεωρούνται «ιεροί». Ακόμη και οι αφηρημένες έννοιες στον Πυθαγορισμό συνδέονται με τους αριθμούς. Π.χ. η δικαιοσύνη συνδέεται με τον αριθμό 4 δηλαδή με τον πρώτο τετραγωνικό αριθμό και ο γάμος με τον αριθμό 5. Ο άνθρωπος παριστάνεται με τον αριθμό 250 κ.λ.π. Οι ψυχολογικοί συνειρμοί που λειτούργησαν εδώ δεν έχουν αποσαφηνιστεί.
Κοσμική Αρμονία: στον Πυθαγορισμό κοσμική σημασία έχει η «ιερή δεκάδα»: η μυστική της ονομασία, τετρακτύς της δεκάδας, συνεπάγεται ότι 1+2+3+4=10, αλλά μπορεί να νοηθεί και ως το «τέλειο τρίγωνο». Όπως είπαμε η ουσία των όντων σύμφωνα με τον Πυθαγόρα είναι οι αριθμοί. Επιπλέον πίστευε ότι το σύμπαν προήλθε από το χάος και απέκτησε μορφή με το μέτρο και την αρμονία, γι’ αυτό και πρώτος το ονόμασε «Κόσμο», δηλαδή τάξη και αρμονία. Αρμονία όμως για το σώμα είναι η ψυχή, η οποία διατηρεί κάποια συμμετρία ανάμεσα στο υλικό και το πνευματικό στοιχείο του ανθρώπου.
Η ψυχή έχει τις ιδιότητες της ταυτότητας, της ετερότητας, της στάσης και της κίνησης. Αυτή είναι η «τετρακτύς» για την ψυχή. Αυτές οι φιλοσοφικές του αντιλήψεις επηρέασαν τον Πλάτωνα, ο οποίος αργότερα θεωρεί ότι η αρμονία της μουσικής καθρεφτίζει την αρμονία της ψυχής. Σύμφωνα με τον Πυθαγόρα το σύμπαν βρίσκεται σε διάταξη αρμονίας και η θεωρία του, η θέασή του, είναι αυτή που φέρνει την κάθαρση. Αυτό οδήγησε στη θεωρία του Πυθαγόρα για την «Αρμονία των σφαιρών». Το σύνολο των ήχων, δηλαδή, που παράγονται από την περιστροφή των πλανητών, ανάλογα πάντα με την απόστασή τους από τη γη, και οι οποίοι, όμως, δεν ακούγονται.
Στην αριθμητική η συμβολή του Πυθαγόρα δεν ήταν τόσο σημαντική όσο η συμβολή του στην επιστήμη της Γεωμετρίας. Παρόλα αυτά ο Πυθαγόρας είναι αυτός που δημιούργησε τον Πυθαγόρειο Πίνακα ή Άβακα, τον πασίγνωστο σε όλους μας πίνακα πολλαπλασιασμού ή αλλιώς προπαίδεια. Είναι δηλαδή ο πίνακας που δίνει τα γινόμενα των δέκα πρώτων ακέραιων αριθμών. Στη Γεωμετρία η συμβολή του είναι αξιοσημείωτη αφού είναι αυτός που ανακάλυψε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών.
Αυτή η θεωρία του σήμερα ονομάζεται στην επιστήμη της γεωμετρίας «Πυθαγόρειο Θεώρημα». Σήμερα σκεφτόμαστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα ως αλγεβρική σχέση a2 + b2 = c2 , από την οποία το μήκος μιας πλευράς ενός ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να βρεθεί, λαμβάνοντας υπόψη τα μήκη των άλλων δύο πλευρών. Αλλά ο Πυθαγόρας δεν την αντιλήφθηκε έτσι. Γι’ αυτόν ήταν μια γεωμετρική δήλωση για τα εμβαδά. Και μόνο με την ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας, περίπου το 16ο αιώνα, το Θεώρημα εξοικειώθηκε στην αλγεβρική του μορφή.
Είναι σημαντικό να αντέξει αυτό στο μυαλό, εάν πρόκειται να επισημάνουμε την εξέλιξη του Θεωρήματος κατά τη διάρκεια των 2.500 ετών από τότε που ο Πυθαγόρας υποθετικά το απέδειξε πρώτος και το έκανε αθάνατο. Και δεν ήταν ούτε καν ο πρώτος που ανακάλυψε το Θεώρημα. Ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους και ενδεχομένως στους Κινέζους, τουλάχιστον χίλια έτη πριν από αυτόν.
Μουσική διάστημα  Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών, αυτό δηλαδή που ονομάζεται σήμερα στην αριθμητική και στη γεωμετρία λόγος, στη μαθηματική θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομάζεται «Διάστημα».

Θεωρία της Μουσικής 
Στη θεωρία της Μουσικής μάλιστα η λέξη διάστημα είχε διπλή σημασία. Διότι αφενός μεν ονομαζόταν διάστημα η αριθμητική σχέση με την οποία εκφραζόταν ο λόγος του μουσικού διαστήματος, αφετέρου δε αυτή η λέξη ήταν σύμφωνη με την καθημερινή έννοιά της και το «τμήμα ευθείας», δηλαδή την απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Το μουσικό διάστημα, που εκφραζόταν ως «σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους» στη θεωρία της Μουσικής του Πυθαγόρα ονομαζόταν αρχικά διάστημα = απόσταση δυο σημείων απ’ αλλήλων. Το «διάστημα» αυτό είχε πράγματι δύο συνοριακά σημεία (πέρατα, όρους), τα οποία δινόντουσαν ως αριθμοί.
Πιο συγκεκριμένα ο Πυθαγόρας ήταν αυτός που πρώτος έθεσε τις βάσεις της επιστήμης της Μουσικής με μια επιστημονικά θεμελιωμένη θεωρία της Μουσικής. Ανακάλυψε τη σχέση ανάμεσα στο μήκος των χορδών και το τονικό ύψος που δίνουν. Για να το πετύχει αυτό χρησιμοποίησε ένα έγχορδο όργανο, που το δημιούργησε ο ίδιος, το «Μονόχορδο». Με άλλα λόγια οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν μια σχέση απόλυτα σταθερή ανάμεσα στο μήκος των χορδών της λύρας και των βασικών συγχορδιών (1/2 για την όγδοη, 3/2 για την πέμπτη και 4/3 για την τέταρτη).
H θαυμαστή ιδιότητα αυτών των αρμονικών σχέσεων έγκειτο στο ότι περιλάμβαναν τους τέσσερις πρώτους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4), το άθροισμα των οποίων ισούται με το 10, τον ιερό αριθμό των Δελφών (Τετρακτύς). Σε αυτή την αντίληψη για τις ιδιότητες των αριθμών, οι οποίοι εκφράζουν επιστημονικούς όρους της πραγματικότητας και αναπαριστούν συμβολικά τη θεία τάξη, έχει τις ρίζες της όλη η ανάπτυξη των πυθαγόρειων μαθηματικών, τα οποία ήταν ταυτόχρονα και επιστήμη και αριθμητικός μυστικισμός.
Όταν είχαν σχέση με το δεύτερο, οι αριθμοί άρχισαν να εκλαμβάνονται ως σύμβολα της ζωής, των αρετών και των αξιών – π.χ., το 4, δηλαδή το δύο στο τετράγωνο, ήταν το σύμβολο της δικαιοσύνης (πυθαγόρεια αριθμολογία). Είναι φανερό ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που εισήγαγε στην Ελλάδα αυτές τις αντιλήψεις. Τα ιδιαίτερα διαφέροντα του Πυθαγόρα ήταν πρώτα και κύρια τα μαθηματικά. Μπορούμε να θεωρήσουμε βέβαιο πως αυτό δεν σημαίνει απλώς ότι έτρεφε δεισιδαιμονίες περί τους αριθμούς, αλλά ότι έκαμε πραγματικές και σημαντικές προόδους στα μαθηματικά. Οι ανακαλύψεις που έκανε ήταν ολοκληρωτικά και εκπληκτικά καινούριες.
H πιο εκπληκτική του ανακάλυψη, και αυτή που λένε ότι άσκησε την ευρύτερη επίδραση πάνω στη σκέψη του και ότι υπήρξε το θεμέλιο της μαθηματικής του φιλοσοφίας, αφορούσε το πεδίο της μουσικής. Ανακάλυψε ότι αυτά τα διαστήματα της μουσικής κλίμακας που ακόμη και τώρα ονομάζονται τέλειες αρμονίες μπορούν να διατυπωθούν αριθμητικά ως αναλογίες μεταξύ των αριθμών 1,2,3 και 4. Οι αριθμοί αυτοί προστιθέμενοι μας δίνουν το 10, αριθμό που, σύμφωνα με τον περίεργο πυθαγόρειο συνδυασμό μαθηματικών και μυστικισμού, ονομαζόταν τέλειος αριθμός.
Γραφικά παριστανόταν με το σχήμα το καλούμενο “τετρακτύς”, δηλαδή: Η Τετρακτύς αποτελούσε την ουσία της διδασκαλίας των Πυθαγορείων. Είναι το άθροισμα των πρώτων τεσσάρων φυσικών αριθμών (1+2+3+4=10) που συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις. Από αυτούς τους τέσσερις αριθμούς, είναι δυνατόν να κατασκευασθούν οι αναλογίες της τέταρτης, της πέμπτης και της ογδόης αρμονικής. Οι αναλογίες αυτές δημιουργούν την Αρμονία που για τους Πυθαγόρειους είχε σημασία κυριολεκτικά κοσμική. Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν την Τετρακτύν για να ορκισθούν, επικαλούμενοι τον Πυθαγόρα σαν κάποιο Θεό.
H αναλογία 2:1 μας δίνει την ογδόη, η αναλογία 3:2 την πέμπτη και η αναλογία 4:3 την τετάρτη. Αν τώρα κάποιος δεν γνώριζε αυτό το πράγμα, δεν ήταν κάτι που θα το αντιμετώπιζε καθώς θα έπαιζε τη λύρα και θα κτυπούσε τις χορδές με μια κάποια πιθανότητα να κάμει και σφάλματα . H ανακάλυψη ήταν ότι υφίσταται μια σύμφυτη τάξη, μια αριθμητική οργάνωση μέσα στην ίδια τη φύση του ήχου, και η ανακάλυψη παρουσιαζόταν σαν αποκάλυψη σχετική με τη φύση του Σύμπαντος.
Χάρη στην ανακάλυψη του Πυθαγόρα, η μουσική παρουσίαζε στους οπαδούς του το καλύτερο παράδειγμα της πρακτικής εφαρμογής αυτής της αρχής. Την ορθότητα της αρχής τόνιζε η ομορφιά της μουσικής, προς την οποία ο Πυθαγόρας -όπως και οι περισσότεροι Έλληνες- ήταν ευαίσθητος, γιατί η λέξη “κόσμος” σήμαινε για τον Έλληνα και την ομορφιά και την τάξη. Το πέρας ταυτιζόταν με την ομορφιά, και άλλη μια απόδειξη αυτής της αρχής ήταν το ότι, αν την εφαρμόζαμε στο πεδίο των ήχων, από τη δυσαρμονία γεννιόταν η ομορφιά.
Επομένως το όλο πεδίο του ήχου, που εκτεινόταν απεριόριστα και προς τις δύο αντίθετες κατευθύνσεις, υψηλά ή χαμηλά, αποτελούσε παράδειγμα του απείρου. Το πέρας αντιπροσωπεύεται από το αριθμητικό σύστημα των αναλογιών ανάμεσα στις αρμονικές νότες, σύστημα που επιβάλει την τάξη στο σύνολο. Το σύστημα αυτό οριοθετείται με βάση ένα κατανοητό σχέδιο. Το σχέδιο αυτό δεν το επινόησε ο άνθρωπος, αλλά υπήρχε ανέκαθεν και περίμενε τον άνθρωπο να το ανακαλύψει. Αυτή η διαδικασία, που την συναντούμε εδώ σε ένα μοναδικό, εκπληκτικό παράδειγμα, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως αποτελούσε την κύρια αρχή που λειτουργεί μέσα στο Σύμπαν ως σύνολο.
Δεν είναι λοιπόν απορίας άξιο (αν συλλογιστούμε ότι η φιλοσοφία τότε βρισκόταν στο αρχικό της στάδιο και απουσίαζε κάθε συστηματική μελέτη της λογικής, ακόμα και της γραμματικής) το γεγονός ότι οι Πυθαγόρειοι εξέφρασαν την καινοφανή τους πεποίθηση με τη φράση ότι “τα όντα είναι οι αριθμοί”. Έτσι, αυτή η φράση μας δίνει την κύρια γραμμή της σκέψης τους. Μαθηματικά και μουσική. Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας…
Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και “Πυθαγόρειος κανών” γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα.
Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ΄ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του “κόμματος του Διδύμου”, που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9 δηλαδή 81/80).
Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) – μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω.
Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά “κυβερνούν” τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.
Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία.
Στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η Ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του “Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο” πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια – κάτι, παρεμπιπτόντως, που είχε προτείνει δύο χιλιάδες χρόνια πριν από τον Μπαχ ο Αριστόξενος, όμως δεν εισακούστηκε
Συμπερασματικά, παρά τον ηθικοθρησκευτικό χαρακτήρα της διδασκαλίας του, ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του διαμόρφωσαν φιλοσοφικές αρχές που επηρέασαν την Πλατωνική και Αριστοτελική διανόηση, κυρίως όμως συνέβαλαν στην ανάπτυξη των μαθηματικών, της μουσικής και της δυτικής φιλοσοφίας. Καθιέρωσαν την αντίληψη ότι η πραγματικότητα -συμπεριλαμβανομένης της μουσικής και της αστρονομίας- είναι στο βαθύτερο επίπεδό της μαθηματικής φύσης .Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο.
Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά αναφέρω ότι η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.
Η μουσική κλίμακα του Πυθαγόρα κατασκευάζεται με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ενώ οι 12 και 8 την αναλογία 3/2. Επίσης ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12, ενώ το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9.
Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8. Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου). Με τη χορδή «ανοιχτή» δηλαδή σε θέση να μπορεί να ταλαντώνεται όλο το μήκος της (λόγος 1, συχνότητα 1), έκρουσε και άκουσε ένα μουσικό τόνο.
Στη συνέχεια περιόρισε το μέρος της χορδής που ταλαντώνεται στο μισό της μήκος, και βρήκε ότι ο ήχος που ακούστηκε είναι η διαπασών, αυτό που σήμερα ονομάζουμε οκτάβα. Το ύψος λοιπόν του ήχου επηρεάζεται από το μήκος της χορδής και μάλιστα όταν η αναλογία του μήκους είναι 1/2 (συχνότητα 2/1) έχουμε το διάστημα της οκτάβας. Έτσι ορίστηκαν τα άκρα της μουσικής κλίμακας, η υπάτη και η νήτη.
Στη συνέχεια μετακινώντας τον καβαλάρη σε διάφορα σημεία, βρήκε ότι αν ταλαντωνόταν τα 3/4 της χορδής (συχνότητα 4/3) προέκυπτε ο τέταρτος φθόγγος από τους οκτώ μιας μουσικής κλίμακας, η μέση, ενώ αν ταλαντωνόταν τα 2/3 της χορδής (συχνότητα 3/2) προέκυπτε ο πέμπτος φθόγγος, η παραμέση. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας το λόγο 9/8 ως εξής:
  • Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής.
  • Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής.
  • Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής.
  • Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.
Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση χορδών ίσου μήκους και πάχους, το μήκος ηχητικού σωλήνα κ.τ.λ. Ο χωρισμός και καθορισμός των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε, ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα τόσο για τη μουσική και τη θεωρία της όσο και για τα μαθηματικά και τη δύναμή τους να ερμηνεύουν τον κόσμο με αριθμούς όπως εξάλλου δίδασκε και ο Πυθαγόρας. Πέρα από τη μεγάλη σημασία για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια από πριν.
Με το πέρασμα του χρόνου, η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα τροποποιήθηκε είτε για πρακτικούς είτε για καθαρά φιλοσοφικούς λόγους, όμως ο Πυθαγόρας είχε δείξει έναν δρόμο που και οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες ακολουθούν. Ακόμα και σήμερα υπολογίζουμε μαθηματικά τα μουσικά διαστήματα τα οποία βέβαια έχουν διαφοροποιηθεί σημαντικά από τότε. Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα (περί το 375 π.Χ.) υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία «ο Μουσικός». Η μέθοδός του ήταν κυρίως εμπειρική.
Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το ένα δωδέκατο του τόνου. Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.
Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις. Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π.
Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων. Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2 στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1.
Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.
Τιμή Σταθεράς και Ονομασία Μονάδας των Μουσικών Διαστημάτων
12………………Συγκερασμένο Ευρωπαϊκό ημιτόνιο
53 ……………..Κόμμα του Μερκάτορα
68 ……………..Αραβική μονάδα, βυζαντινό ηχομόριο
72 ……………..Βυζαντινό ηχομόριο
301 ……………Savart
665 ……………Delfi unit
1200 ………….Cent

ΤΑ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΥΣΤΗΡΙΑ 
Κέντρο του Πυθαγορικού συστήματος και δεσμού είναι τα Πυθαγόρεια Μυστήρια, αποκαλούμενα από τον Ηρόδοτο ”Όργια”. Δεν είχαν περιορισμένο σκοπό με ορισμένα μυστικά δόγματα, όπως το δόγμα της μετεμψύχωσης, αλλά ο σκοπός τους ήταν ευρύτερος. Η ηθικότητα, η αγνότητα, η εγκράτεια και η τάση για ότι οδηγεί στη σωματική και πνευματική υγεία ήταν βασικές απαιτήσεις, αλλά χωρίς την καλλιέργεια της τέχνης και επιστημονικής ενέργειας, οι μαθητές δεν προάγονταν σε ανώτερο βαθμό.
Τα Πυθαγόρεια Μυστήρια ιδρύθηκαν στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας τον 5ο αιώνα π.Χ. από τον ίδιο τον Πυθαγόρα. Αρχικά οι δοκιμασίες ήταν εύκολες και κατά τη συνέχεια δυσκόλευαν αρκετά. Εκτός από τις δοκιμασίες, αντικείμενο εξέτασης ήταν ο προηγούμενος βίος των δοκίμων και ειδικότερα οι ενασχολήσεις και οι φιλίες τους, οι επιθυμίες και οι ορέξεις τους. Ο Πυθαγόρας πολύ δύσκολα παραδεχόταν τους δοκίμους. Παρακολουθούσε τις κινήσεις του σώματος τους, τα λόγια τους, τις χειρονομίες τους, το βάδισμά τους, τη φιλομάθεια τους και τα παρόμοια.
Δοκιμάζονταν επίσης η αντοχή τους στη σιωπή και στη μοναξιά κι αν ήταν προπαρασκευασμένοι να καταπνίγουν τις τιμές και τον εγωισμό τους. Αφού ολοκληρώνονταν οι δοκιμασίες παρακαλούνταν οι δόκιμοι να γυρίσουν σπίτι τους ή γίνονταν δεκτοί και δέχονταν τα συγχαρητήρια των συμμαθητών τους, γιατί από εκείνη τη στιγμή ήταν μέλη του Πυθαγορικού συνδέσμου, έπαιρναν τον Α’ Βαθμό και κατοικούσαν στο Μικρό Αστύ, αφού παρέδιδαν τα υπάρχοντά τους στους κοινούς ταμίες τους, τους ”οικονόμους της εταιρείας” καθόσον ο Πυθαγόρας πίστευε ότι : ”Κοινά τα των φίλων”.
Κατά το μαθητή του Ιάμβλιχο: Όταν έρχονταν νέοι που ήθελαν να ζήσουν δίπλα του, δεν τους δεχόταν αμέσως κοντά του μέχρι να τους δοκιμάσει και να τους κρίνει. Αρχικά ζητούσε να μάθει πως συναναστρέφονταν με γονείς, συγγενείς, έπειτα παρατηρούσε τη σιωπή και κυρίως την ομιλία τους. Κοίταζε το παράστημα, το βάδισμα, την όλη κίνηση του σώματος και με τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της φύσης τους, διέκρινε καθαρά τον αθέατο χαρακτήρα και το ήθος τους. Και όποιον δοκίμαζε έτσι, του επέβαλλε να απομονωθεί τρία χρόνια, για να εξετάσει αν έχει σταθερότητα και αληθινή φιλομάθεια.
Έπειτα, διέταζε τους μαθητές του πενταετή σιωπή, προσπαθώντας να μάθει πόσο εγκρατείς είναι, καθώς αυτή είναι η δυσκολότερη απ’ όλες τις εγκράτειες. Κατά αυτό το χρονικό διάστημα τα υπάρχοντα του καθενός, γίνονταν κοινά, αφού δίνονταν στους αποδεδειγμένα ικανούς προς τούτο Πυθαγόρειους, που ονομάζονταν πολιτικοί και που ήταν μερικά οικονομικοί (έμπειροι στα οικονομικά) και νομοθετικοί (στα νομοθετικά πράγματα).
Έπειτα από τη πενταετή σιωπή οι υποψήφιοι κρινόμενοι από τη ζωή (τους) και την υπόλοιπη συμπεριφορά τους, γίνονταν στο εξής ”εσωτερικοί” και άκουγαν και έβλεπαν προσεχτικά τον Πυθαγόρα μέσα σε παραπετάσματα. Σε περίπτωση απόρριψης υποψηφίου, αυτός παραλάμβανε την περιουσία που είχε προσφέρει διπλή, και σ’ αυτόν σα να ήταν νεκρός ύψωναν μνήμα ο ”ομάκοοι” συνακροατές, γιατί έτσι λέγονταν οι όλοι γύρω από τον Πυθαγόρα.
Στις Πυθαγορικές θεωρίες ιδιαίτερα επίδραση άσκησαν τα Ορφικά και Καβείρια Μυστήρια. Γενικά, υπάρχει ο ισχυρισμός ότι ο Πυθαγόρας έγινε ζηλωτής του τρόπου έκφρασης του Ορφέα. Η Ορφική “αίρεση” είχε μεγάλη συγγένεια και αναλογία με το Πυθαγορικό σύστημα από θεωρητικής και φιλοσοφικής άποψης. Τόσο που στα χρόνια του Πεισίστρατου ήταν αδύνατο να ξεχωρίσουν τα γνήσια Ορφικά από τα Πυθαγόρεια.
Επίσης, όσοι μυούνταν στα Ορφικά Μυστήρια τηρούσαν με θρησκευτική ευλάβεια μυστικές διατάξεις, οι οποίες είχαν μεγάλη ομοιότητα με τις Πυθαγορικές αρχές. Κατά την άποψη του Σπ. Νάγου αποτελούνταν από εννέα βαθμούς, όσες και οι αριθμητικές μονάδες. Διαιρούνταν σε τρεις κατηγορίες.
  • Σ’ αυτά που είχαν σχέση με τη διαμόρφωση του ανθρώπου και καταδείκνυαν την προέλευσή του.
  • Σ’ αυτά που δίδασκαν δυνάμεις που αποτελούν τις μορφές της φύσεως και τις ποικιλίες των οργάνων των διαφόρων μορφών και
  • Στα μεγάλα και ιερά, για τα οποία δεν επιτρεπόταν στους μύστες να αναφέρουν λέξη για την ύπαρξή τους.
Στην πρώτη ομάδα μυούνταν άντρες και γυναίκες και υποβάλλονταν σε πενταετή σιγή, ενώ στη δεύτερη μυούνταν μόνο εξαγνισμένοι σε σώμα και νου και καθαροί από ανομήματα. Τέλος, στην τρίτη η μύηση επιτρεπόταν μόνο σε φωτισμένους και εμπνευσμένους νέους και αγνές κοπέλες με ψυχικό κάλλος. Στον Κρότωνα το 504 π.Χ. προκλήθηκε στάση κατά την οποία οι στασιαστές έκαψαν τους ναούς των Πυθαγορείων και σκότωσαν πολλούς μαθητές του Πυθαγόρα. Έκτοτε τα Πυθαγόρεια σταμάτησαν.
Μύηση
Απόκρυφες τελετές παρόμοιες μ’ αυτές που γίνονταν στα Αιγυπτιακά και Ινδικά Μυστήρια κάλυπταν τη διδασκαλία και τη μύηση στους διάφορους βαθμούς. Η είσοδος στη σχολή δεν επιτρεπόταν στους βέβηλους και οι γνώσεις ήταν αποκλειστικό προνόμιο των μυστών και απαγορεύονταν να τις γράφουν και να τις μεταδίδουν, κυρίως τις μαθηματικές.

Σύμβολα
Κατά τον Πλούταρχο, ο Πυθαγόρας στην Αίγυπτο είχε δάσκαλο τον Οινοφέα τον Ηλιοπολίτη. Και επειδή, θαύμαζε τους ιερείς, μιμήθηκε τη συμβολική και μυστηριώδη γλώσσα και συνδύασε τα δόγματά του με αλληγορίες. Τα ιερογλυφικά γράμματα διαφέρουν ελάχιστα από τα Πυθαγόρεια παραγγέλματα, όπως είναι π.χ. να μην κάθεσαι πάνω σε φοίνικα, να μη σκαλίζεις τη φωτιά με μαχαίρι στο σπίτι σου κτλ. Ο Ιάμβλιχος παράλληλα υποστηρίζει πως αξιόλογος τρόπος της Πυθαγορικής διδασκαλίας ήταν και αυτός με τα σύμβολα. Αυτός ο τρόπος καλλιεργούνταν απ’ όλους σχεδόν τους Έλληνες επειδή ήταν παλιός.
Εκτός από τον Πυθαγόρα και άλλοι Πυθαγόρειοι, λόγω του περιορισμού της εχεμύθειας, έκαναν χρήση των συμβόλων και μ’ αυτά κάλυπταν τις μεταξύ τους διαλέξεις και συγγραφές. Μετά τον θάνατο του μεγάλου διδασκάλου μερικοί από τους μαθητές του έδωσαν περιλήψεις των δογμάτων του. Παρόλα αυτά, παραμένουν αρκετά σύμβολα καθώς και η εσωτερική του διδασκαλία ανερμήνευτα.

Δάμων και Φιντίας
Ήταν και οι δύο Πυθαγόρειοι από τις Συρακούσες στα χρόνια του Διονυσίου του Νεώτερου. Η φιλία τους ήταν παρομοιώδης. Κατά την παράδοση που υπάρχει, όταν ο Φιντίας καταδικάστηκε σε θάνατο ο Δάμωνας προσφέρθηκε να φυλακιστεί αντί του φίλου του. Ο τύραννος Διονύσιος δέχτηκε, αλλά επειδή την καθορισμένη για την εκτέλεση μέρα ο Φιντίας δεν είχε εμφανιστεί, αποφάσισε να θανατώσει τον Δάμωνα. Την τελευταία, όμως, στιγμή έφτασε τρέχοντας ο Φιντίας για να πάρει τη θέση του. Ο Διονύσιος συγκινήθηκε και τους άφησε ελεύθερους.
”Τι η παρέβην; Τι δ’ ερεξα; Τι μοι δέον ουκ ετελέσθη;”
(Τι κακό έκανα; Τι καλό έκανα; Τι έπρεπε να κάνω και δεν το έκανα;)

Η ΚΟΥΠΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ
Η κούπα του Πυθαγόρα είναι ίσως το πιο γνωστό «κεραμικό» της Σάμου, ένα πήλινο ποτήρι που αδειάζει κατά έναν «μαγικό» τρόπο όταν εκείνος που το κρατάει αποδειχτεί… πλεονέκτης και θέλει να πιει περισσότερο απ’ όσο πρέπει. Είναι κύπελλο ειδικής κατασκευής που βασίζεται στην εφαρμογή μιας απλής υδραυλικής αρχής. Εσωτερικά έχει μία γραμμή που ορίζει ως που πρέπει να γεμίσει. Μία σταγόνα παραπάνω και η κούπα αδειάζει όλο τον οίνο της από μία κρυφή οπή στη βάση. Κατά την τοπική παράδοση της Σάμου, ο φιλόσοφος έφτιαξε την κούπα για να πίνει με μέτρο τον οίνο.
Η «κούπα του Πυθαγόρα» ή αλλιώς «δίκαιη κούπα» που κατασκεύασε ο Σάμιος φιλόσοφος, μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής είχε ως στόχο την υπόδειξη και την τήρηση του μέτρου, «μέτρον άριστον». Καλείται επίσης “κούπα του δικαίου” διότι πλην της υδραυλικής, αντανακλά και μία από τις βασικές αρχές του δικαίου, αυτήν της Ύβρεως και Νεμέσεως. Όταν το όριο ξεπερνιέται (ύβρις), δεν χάνονται μόνον όσα έχουν ξεπεράσει το όριο, αλλά και όλα τα προηγούμενα που είχαν αποκτηθεί (νέμεσις).
Η «δίκαιη κούπα», η οποία χρονολογείται περίπου από τον 6ο αιώνα π.Χ., είναι ένα αριστούργημα της υδραυλικής τεχνολογίας των αρχαίων Ελλήνων, αλλά και ένα μέσο διδαχής. Πέρα από τον περιορισμό της κατανάλωσης κρασιού μέσα από ένα «έξυπνο ποτήρι», ο Πυθαγόρας ήθελε να διδάξει στους μαθητές του την εγκράτεια και την τήρηση του μέτρου. Όταν ξεπερνιέται το μέτρο πρόκειται για «ύβρις», η οποία έχει ως αποτέλεσμα την τιμωρία, «τίσις». Όλοι οι άνθρωποι οφείλουν να απολαμβάνουν με μέτρο όσα τους παρέχονται δίχως να επιζητούν εναγωνίως περισσότερα.
Διά της απλής εφαρμογής μιας υδραυλικής αρχής, ο φιλόσοφος Πυθαγόρας μας διδάσκει από τα βάθη του χρόνου, να δεχόμαστε το άριστο μέτρο και να απολαμβάνουμε τον οίνο που ήδη έχουμε στην κούπα μας αντλώντας την μέγιστη ωφέλεια. Εάν κάποιος αντί να δεχθεί την άριστη ποσότητα (αυτή που του αναλογεί και που αρκεί για να τον ικανοποιήσει), υπερβεί έστω και λίγο τα όρια, η κούπα ξεχειλίζει, χύνοντας στο έδαφος όλη την προϋπάρχουσα ποσότητα.
Μη απολαμβάνοντας αυτό που ήδη υπάρχει και ζητώντας κάτι παραπάνω από τα επιτρεπτά όρια, φεύγει μέσα από τα χέρια του και αυτό που θα έπρεπε να τον είχε ευχαριστήσει αλλά που δεν το κατεδέχθη, ζητώντας το πέραν των ορίων επιπλέον.

Λειτουργία
Στο εσωτερικό της υπάρχει χαραγμένη μία γραμμή, η οποία οριοθετεί την ποσότητα του κρασιού. Αν ο χρήστης δεν υπερβεί τη γραμμή, τότε μπορεί να απολαύσει το «ποτό» του. Ωστόσο, αρκεί μία παραπάνω σταγόνα για να ξεπεράσει τα όρια της γραμμής και τότε η κούπα να αδειάσει, χύνοντας όλο το κρασί από τη βάση της.

Ο Μηχανισμός
Στο κέντρο της κούπας υπάρχει μία στήλη που είναι τοποθετημένη πάνω από έναν σωλήνα που οδηγεί στο κάτω μέρος της. Όσο γεμίζει η κούπα, παράλληλα η στάθμη του κρασιού ανεβαίνει και στο εσωτερικό της κεντρικής στήλης. Από τη στιγμή που το υγρό δεν ξεπερνά την οριοθετημένη γραμμή δεν δημιουργείται κανένα πρόβλημα. Μόλις, όμως το υγρό υπερβεί τη γραμμή, τότε τα μόριά του παρασύρουν το ένα το άλλο, έχοντας ως αποτέλεσμα το άδειασμα της κούπας.
Η υδροστατική πίεση δημιουργεί ένα σιφόνι στον εσωτερικό σωλήνα, το οποίο αδειάζει όλο το περιεχόμενο της κούπας από την οπή που υπάρχει. Η κατασκευή του Πυθαγόρα ακολουθεί το νόμο που ανέπτυξε ο Pascal αιώνες αργότερα για τα συγκοινωνούντα δοχεία. Πρόκειται για την απλή αρχή του σιφονιού. H κούπα αυτή όντως χρησιμοποιήθηκε κατά την εκσκαφή του Ευπαλίνειου ορύγματος, προκειμένου να ελέγχεται η ποσότητα του νερού που μοιραζόταν στους δούλους, αλλά και στα μεγάλα θαλάσσια ταξίδια των Σαμιωτών εμπόρων, για τον ίδιο σκοπό.

ΑΠΟΦΘΕΓΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΑ 
  • Η Αρχή είναι το ήμισυ του παντός.
  • Ο άνθρωπος είναι θνητός με τους φόβους του, και αθάνατος με τις επιθυμίες του.
  • Άσε τους μεγάλους δρόμους και πάρε τα στενά.
  • Όσο ο Άνθρωπος συνεχίζει να είναι ο άσπλαχνος καταστροφέας των κατώτερων ζώντων όντων δεν θα γνωρίσει ποτέ υγεία και ειρήνη. Γιατί όσο οι άνθρωποι κατασφάζουν τα ζώα, θα σκοτώνουν ο ένας τον άλλο. Πράγματι, αυτός που σπείρει τον καρπό του φόνου και του πόνου δεν μπορεί να δρέψει χαρά και αγάπη.
  • Είναι αδύνατο να θεωρείται ελεύθερος αυτός που είναι δούλος στα πάθη του και κυριαρχείται από αυτά.
  • Αν λέγεται κάποιο ψέμα, να το αντιμετωπίζεις με ηρεμία
  • Να κάνεις αυτά που νομίζεις πως είναι σωστά, έστω κι αν κάνοντας αυτά πρόκειται να σε κακολογήσουν. Γιατί ο όχλος είναι κακός κριτής κάθε καλού πράγματος
  • Ποτέ να μην κάνεις τίποτα αισχρό, ούτε μαζί με άλλον, ούτε μόνος σου. Περισσότερο απ’ όλους να ντρέπεσαι τον εαυτό σου
  • Ο κόσμος είναι αριθμοί.
  ΜΕΡΟΣ Β’